Deberes 2 do bimestre (1)
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Este documento presenta una lista de integrales indefinidas que deben ser calculadas. Contiene más de 50 integrales que involucran funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y raíces cuadradas. El objetivo es practicar el cálculo de integrales indefinidas utilizando las propiedades básicas de la integración.
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- 1. DEBER GENERAL DE CÁLCULO EN UNA VARIABLE
- 2. 1 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ∫(√ 𝑥 + 1 √ 𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫(3𝑥 − 4)4 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥. cos(𝑥) (𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 2 𝑑𝑥 ∫(𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑒 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫(𝑡𝑎𝑛( 𝑥))2 𝑑𝑥 ∫(𝑠𝑒𝑛( 𝑥))2 𝑑𝑥 ∫ (1 + √ 𝑥) 2 2𝑥√ 𝑥 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ (𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑛)2 √ 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 1 + 𝑥4 𝑑𝑥 ∫ 1 𝑥2 − 4𝑥 + 13 𝑑𝑥 ∫ ln(ln 𝑥) 𝑥(ln 𝑥) 𝑑𝑥 ∫ x + 1 𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ e 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑥 ln(𝑥2 + 1) + 1 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 𝑥2 + 3 𝑥2(𝑥2 + 9) 𝑑𝑥
- 3. 2 ∫ 𝑑𝑥 √−𝑥2 − 6𝑥 − 6 ∫ 𝑑𝑥 𝑥(𝑥7 + 1) ∫ 𝑑𝑥 √5−2𝑥 + 𝑥2 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 sin2 𝑥 − 6 sin 𝑥 + 5 ∫ sin 𝑥 . cos 𝑥 𝑑𝑥 √2 − sin4 𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 3𝑎𝑥2 − 2𝑏𝑥 √𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 cos 𝑥 (𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1) 𝑚 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 √15 + 2𝑥 − 𝑥2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 √2 − 𝑒2𝑥 + 3𝑒 𝑥 ∫ 3𝑥𝑑𝑥 √𝑥4 + 6𝑥2 + 5 ∫ 3𝑥 + 1 √5𝑥2 + 1 𝑑𝑥 ∫ (6 − 𝑥)𝑑𝑥 √4𝑥4 − 12𝑥 + 7 Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ ln(cos 𝑥). tan 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑒−𝑥 + 𝑒 𝑥 ∫ √ ln(𝑥 + √1 + 𝑥2) 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ sec2 𝑥 𝑎 + 𝑏 tan 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑎sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2𝑥 − √arcsin 𝑥 √1 − 𝑥2 𝑑𝑥
- 4. 3 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 √1 + 𝑒 𝑥 + 𝑒2𝑥 ∫ 𝑑𝑥 √−26 − 16𝑥 − 2𝑥2 ∫ 𝑑𝑥 √√ 𝑥 + 1 ∫ 𝑥2 + 2𝑥 √𝑥3 + 3𝑥2 + 1 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 + 3𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 √ 𝑥√9 − 𝑥 ∫ 𝑥2 + 1 (𝑥3 + 3𝑥 − 7)2 𝑑𝑥 ∫ √1 + 𝑥2 + √1 − 𝑥2 √1 − 𝑥4 𝑑𝑥 1. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: a. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑦(1+𝑥3) 2. Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con condiciones iniciales: a. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 √𝑥+2 :𝑦(2) = −1 1. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: a. √1 + 𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑦 + 𝑥2 2. Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con condiciones iniciales: a. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥3 + 2 𝑥2 :𝑦(1) = 1 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ sin4 𝑥 𝑑𝑥 ∫ cos5 𝑥 𝑑𝑥 ∫ ctan3 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ tan2(𝑥 + 1) 𝑑𝑥
- 5. 4 ∫ sin7 5𝑥 cos3 5𝑥 𝑑𝑥 ∫ √sin 𝑥 cos5 𝑥 𝑑𝑥 ∫ sin4 ( 𝑥 2 ) cos2 ( 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 ∫ sec4 𝑥 tan4 𝑥 𝑑𝑥 ∫ tan3 4𝑥 sec9/2 4𝑥 𝑑𝑥 ∫ sec7 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ sin 3𝑥 sin 5𝑥 𝑑𝑥 ∫ cos 𝑥 3 cos 𝑥 2 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ cos4 3𝑥 𝑑𝑥 ∫ sin6 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ sin5 𝑥 2 𝑑𝑥 ∫(sin2 3𝑥 + cos 3𝑥)2 𝑑𝑥 ∫ ctan3 ( 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 ∫ tan5 3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 cos3 2𝑥3 𝑑𝑥 ∫ ctan 3𝑥 csc4 3𝑥 𝑑𝑥 ∫ cos2 𝑥 sin2 4𝑥 𝑑𝑥 ∫ cos 𝑥 cos 2𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
- 6. 5 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 ∫ ln (𝑥 + √1 + 𝑥2) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 sin 3𝑥 𝑑𝑥 ∫(𝑥3 + 5𝑥2 − 2) 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 ∫(2𝑥4 + 2𝑥 − 1) cos 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥5 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫(𝑥3 + 𝑥 + 5) 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ ln2 𝑥 𝑥5/3 𝑑𝑥 ∫(7 + 𝑥 − 3𝑥2)𝑒−2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥 ∫(𝑥2 + 5𝑥 + 6) cos 2𝑥 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ ln3 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 (1 + 𝑥2)2 𝑑𝑥 ∫ arctan √ 𝑥 𝑑𝑥 ∫ arctan 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 tan2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥
- 7. 6 ∫(𝑥2 + 5𝑥 + 1)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫(2𝑥4 + 2𝑥 − 1) sin 2𝑥 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 𝑥2 (9 + 𝑥2) 1 2⁄ 𝑑𝑥 ∫ 1 𝑥3√𝑥2 − 4 𝑑𝑥 ∫ (2𝑥 − 5) √4𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ √𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑥 + 1 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 1 𝑥2√16 + 9𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 (16 − 𝑥2)3/2 𝑑𝑥 ∫ √25 − 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 √2𝑥2 + 7 𝑑𝑥 ∫ sec2 𝑥 tan2 𝑥 √2 + sec2 𝑥 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ (𝑥 + 1) √9 − 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑥2√1 + 𝑥2 ∫ 𝑒 𝑥 √(𝑒2𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 5)3 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 (2𝑥2 + 1)√𝑥2 + 1
- 8. 7 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 2𝑥2 + 41𝑥 − 91 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) 𝑑𝑥 ∫ 2𝑥2 − 5 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 𝑑𝑥 ∫ 3𝑥 + 2 𝑥(𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 + 4𝑥 + 1 𝑥4 + 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 ∫ 4𝑥2 − 8𝑥 (𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 𝑥2 + 9𝑥 − 1 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑑𝑥 ∫ (5𝑥 − 7) (𝑥 − 3)(𝑥2 − 𝑥 − 2) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 (𝑥4 − 3𝑥2 + 2) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 − 3𝑥 + 4 (𝑥 − 1)3(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 + 𝑥 − 1 (𝑥2 + 2)2 𝑑𝑥 ∫ 4𝑥3 + 4𝑥2 − 18𝑥 + 6 𝑥4 − 3𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2𝑥2 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 3𝑥 − 2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 ∫ 2𝑥2 𝑥4 + 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 ∫ 4𝑥2 + 6 𝑥3 + 3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 15 (𝑥2 + 5)(𝑥2 + 2𝑥 + 3) 𝑑𝑥
- 9. 8 ∫ 𝑥4 + 1 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑥3 + 𝑥2 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 4𝑥2 − 8𝑥 (𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 ∫ 4𝑥2 − 8𝑥 (𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥7 + 2 (𝑥2 + 𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥2 + 1)4 ∫ 𝑥 + 2 (𝑥2 + 2𝑥 + 2)3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥9 (𝑥4 − 1)2 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 𝑑𝑥 2 sin 𝑥 − 3 cos 𝑥 − 5 ∫ 𝑑𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 ∫ 2 − sin 𝑥 2 + cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 8 3 cos 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 ∫ sin 2𝑥 sin4 𝑥 + cos4 𝑥 𝑑𝑥 ∫ sin 𝑥 cos2 𝑥 1 + a2 cos2 𝑥 𝑑𝑥 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: ∫ 2 + 𝑥 √4 − 2𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ √ 1 − 𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥
- 10. 9 ∫ 1 − √3𝑥 + 2 1 + √3𝑥 + 2 𝑑𝑥 ∫ 2𝑥2 − 3𝑥 √𝑥2 − 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑥4√1 + 𝑥2 ∫ √ 𝑥(1 + 2𝑥3)𝑑𝑥 ∫ √𝑥2 + 9 𝑥3 𝑑𝑥 ∫ √1 + 𝑥1/43 𝑑𝑥
- 11. 10 ∫ 𝑥3(1 + 2𝑥)− 3 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑥11√1 + 𝑥4 ∫ 𝑑𝑥 𝑥11√1 + 𝑥4 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥2 + 1)√𝑥2 − 1 ∫ 𝑑𝑥 √𝑥23 (1 + √ 𝑥 3 ) a. Integración de funciones hiperbólicas: ∫ cosh2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ cosh3 𝑥 𝑑𝑥 ∫ sinh3 𝑥 cosh 𝑥 𝑑𝑥 b. Fórmulas de reducción: i. ∫ tan5 𝑥 𝑑𝑥 ii. ∫ secn 𝑥 𝑑𝑥
- 12. 11 1. Exprese la integral como sumas de Riemamm: ∫ sin(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 𝜋 0 ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 5 2 2. Exprese el límite como una integral definida: lim 𝑛→∞ ∑(3𝑥𝑖 2 + 2𝑥𝑖 − 1)∆𝑥 𝑛 𝑖=1 3. Resuelva la integral indefinida partiendo de la definición con sumas de Riemamm ∫ 𝑥𝑑𝑥 4 1 4. Calcular 𝐹′(𝑥) siendo: a. 𝐹(𝑥) = sin (∫ sin (∫ sin3 𝑡𝑑𝑡 𝑦 0 ) 𝑑𝑦 𝑥 0 ) b. 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 1 + sin2 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 1+sin2 𝑡 𝑥3 0 0 5. Calcular las siguientes integrales definidas: ∫ (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 2 −1 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 3 −3 ∫ (5𝑥4 − 43) 𝑑𝑥 1 −1 ∫ 𝑥 (𝑥2 + 1)3 𝑑𝑥 1 0 ∫ (3𝑥2 − 4𝑥 + 2)𝑑𝑥 3 2
- 13. 12 6. Calcular las siguientes integrales definidas: a. ∫ √(𝑥 − 2)23 3 + √(𝑥 − 2)23 𝑑𝑥 29 3 ∫ 𝑥 (1 + 𝑥2)2 𝑑𝑥 2 1 ∫ √ 𝑥 √ 𝑥 − 1 𝑑𝑥 9 4 Calcular 𝐹′(𝑥) siendo: a. 𝐹(𝑥) = ∫ ln2 𝑡 𝑑𝑡 𝑥2 𝑥 b. 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 1 + sin6 𝑡 + 𝑡2 𝑥2 3 𝐹(𝑥) = ∫ sin 𝑡 𝑡 𝑑𝑡 tan 𝑥 1+𝑥2 2. Sea 𝑓 una función continua para toda x que cumple la relación: a. Si ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑔(𝑥)𝑦𝑓(𝑥) = − 1 1+𝑥2 tan 𝑥 3 , Hallar 𝑔(𝑥) b. Si ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 2 ln|sec 2𝑥 + tan 2𝑥| 1 ctan 𝑥 −2 , Hallar 𝑓 ( 𝜋 2 ) c. Si ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = −2√1 − sin 𝑥 sin 𝑥 3 , Hallar 𝑓(𝑥) d. Si ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 sin 𝑥 𝑘 = 𝑔(𝑥)𝑦𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, Hallar 𝑔(𝜋) e. Sea 𝑓 una función derivable tal que 𝑓(0) = 𝑓′(0) = 0 se define las funciones: 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢,𝐻(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, 𝑔(𝑥) −𝑔(𝑥) 𝑥 0 Hallar 𝐷2 𝐻(𝑥) para 𝑥 = 0 f. Sea 𝑓 una función derivable tal que 𝑓(1) = 𝑓′(1) = 𝑓′′(1) = 1 se define la función: 𝐺(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑓(𝑥) 0 , Hallar la segunda derivada de 𝐺 en el punto 𝑥 = 1 g. Calcular lim ℎ→0 1 ℎ (𝑥 − ∫ sin2 𝑡 𝑑𝑡 𝑥+ℎ 0 − ∫ cos2 𝑡 𝑑𝑡 𝑥+ℎ 0 ) h. Dada la función 𝑓(𝑥) definida para todo 𝑥 por la formula 𝑓(𝑥) = 3 + ∫ 1+sin 𝑡 2+𝑡2 𝑑𝑡 𝑥 0 , hallar las constantes “a”, ”𝑏”𝑦“𝑐” del polinomio cuadrático 𝑃(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 sabiendo que: 𝑃(0) = 𝑓(0), 𝑃′(0) = 𝑓′(0), 𝑃′′(0) = 𝑓′′(0)
- 14. 13 3. Calcular las siguientes integrales indefinidas: a. ∫ tan3 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 4 0 ∫ cos3 𝑥 √sin 𝑥 3 𝑑𝑥 −𝜋 4 − 𝜋 2 b. ∫ 1 𝑥2 sin 1 𝑥 𝑑𝑥 2 𝜋 1 𝜋 ∫ arctan √ 𝑥 𝑑𝑥 1 0 c. ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 2 1 ∫ 𝑥8(1 − 𝑥3) 5 4𝑑𝑥 1 0 ∫ √1 − 𝑥2 𝑥2 𝑑𝑥 1 √2/2 ∫ 𝑥 (𝑥 + 1)2(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 1 0
- 15. 14 ∫ √ 𝑥√2 − 𝑥𝑑𝑥 1 0 ∫ √ 1 + 𝑥 1 − 𝑥 𝑑𝑥 3/5 0 ∫ √ 1 + 𝑥 1 − 𝑥 𝑑𝑥 3/5 0 ∫ 1 𝑥 − √ 𝑥 3 𝑑𝑥 27 0 1. Hallar el área de la figura limitada por la curva 𝑦3 = 𝑥, la recta 𝑦 = 1, la vertical 𝑥 = 8. 2. Hallar el área de la figura limitada por la curva 𝑦 = 𝑥3 , la recta 𝑦 = 8 y el eje OY. 3. El área dentro de la intersección de las curvas 𝑦 = sin 𝑥 y 𝑦 = cos 𝑥 en el intervalo [0, 𝜋] 4. Hallar el área de la porción en el primer cuadrante limitada superiormente por 𝑦 = 2𝑥 e inferiormente por 𝑦 = 𝑥√3𝑥2 + 1 5. Hallar el área limitada por las siguientes curvas: a. 𝑦2 = 2𝑥,𝑦 = −4 + 𝑥 b. 𝑦 = 𝑥2 ,𝑦3 = 𝑥,𝑥 + 𝑦 = 2 6. Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas 𝑦 = √ 𝑥 + 1 3 − √𝑥 − 1 3 ,𝑥 = 1,𝑥 = −1 1. Encontrar el área de la figura plana que forman las curvas 𝑦 = √1 − 𝑥 − √ 𝑥; 𝑦 = ±√ 𝑥 2. Hallar el área limitada por las siguientes curvas: a. 𝑦2 = 4𝑥, 𝑥 = 12 + 2𝑦 − 𝑦2 b. 𝑦 = 𝑥2 ,𝑦 = 8 − 𝑥2 ,4𝑥 − 𝑦 + 12 = 0
- 16. 15 3. Hallar el área limitada por las curvas 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2, 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥2 − 25 4. Calcular el área limitada por las curvas: a. 𝑦 = 𝑥2 ,𝑦 = 2𝑥 − 1,𝑦 − 4 = 0 b. 𝑦 = arctan 𝑥 ,𝑦 = arccos 3𝑥 2 , 𝑦 = 0 1. Completar el cuadro de valores y realizar el gráfico en coordenadas polares de las siguientes curvas: a. 𝑟 = 1 + cos 𝜃 𝜃 ° 𝜃(rad) 𝑟 = 𝑓(𝜃) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360
- 17. 16 b. 𝑟 = 4 sin 𝜃 𝜃 ° 𝜃(rad) 𝑟 = 𝑓(𝜃) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360
- 18. 17 c. 𝑟2 = 4 sin 𝜃 𝜃 ° 𝜃(rad) 𝑟 = 𝑓(𝜃) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360
- 19. 18 d. 𝑟2 = sin 2𝜃 𝜃 ° 𝜃(rad) 𝑟 = 𝑓(𝜃) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360
- 20. 19 e. 𝑟 = 2 sin 3𝜃 𝜃 ° 𝜃(rad) 𝑟 = 𝑓(𝜃) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360
- 21. 20 1. Calcular el área limitada por: a. La curva 𝑟 = cos 𝜃 b. La curva 𝑟 = 1 + cos 𝜃 c. La curva 𝑟 = 4sin 𝜃 d. La primera espiral de Arquímedes definida por 𝑟 = a. 𝜃 e. Las curvas 𝑟1 = 1 2 y 𝑟2 = 3 4 común a las dos curvas en [ 𝜋 6 , 𝜋 3 ] f. Las curvas 𝑟1 = 4 sin 𝜃y 𝑟2 = 2 común a las dos curvas g. Las curvas 𝑟1 = 2 cos 2𝜃 y 𝑟2 = 1 , tal que esté fuera de 𝑟2 y dentro de 𝑟1
- 22. 21 1. Calcular el área limitada por: a. La curva 𝑟 = 1 − cos 𝜃 b. La curva 𝑟 = 4cos 𝜃 c. La curva 𝑟2 = 4sin 𝜃 d. La curva 𝑟2 = sin 2𝜃 e. La curva 𝑟 = 2sin 3𝜃 f. La curva 𝑟 = acos 2𝜃 g. Los lazos interior y exterior del caracol 𝑟 = 1 − 2 sin 𝜃 h. Las curvas 𝑟1 = 3 − 2 sin 𝜃 y 𝑟2 = 3 − 2 cos 𝜃 común a las dos curvas
- 23. 22 i. Las curvas 𝑟1 = 3 sin 𝜃 y 𝑟2 = 2 − sin 𝜃, tal que esté dentro de 𝑟1 y fuera de 𝑟2 j. Las curvas 𝑟1 = 𝑎(1 + cos 𝜃) y 𝑟2 = 𝑎 cos 𝜃, tal que esté dentro de 𝑟1 y fuera de 𝑟2 k. Las curvas 𝑟1 = 2(sec 𝜃 − 2 cos 𝜃) y 𝑟2 = 1, tal que esté dentro de 𝑟1 y fuera de 𝑟2
- 24. 23 1. Completar el cuadro de valores y realizar el gráfico de las siguientes curvas descritas de forma paramétrica: a. La curva 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑎 sin 𝑡 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 0 180 15 195 30 210 45 225 60 240 75 255 90 270 105 285 120 300 135 315 150 330 165 345 180 360
- 25. 24 b. La curva 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 0 180 15 195 30 210 45 225 60 240 75 255 90 270 105 285 120 300 135 315 150 330 165 345 180 360
- 26. 25 c. La curva 𝑥 = cos3 𝑡 ; 𝑦 = sin3 𝑡 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 0 180 15 195 30 210 45 225 60 240 75 255 90 270 105 285 120 300 135 315 150 330 165 345 180 360
- 27. 26 d. El primer arco de la cicloide definida por 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡); 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡) y el eje de las X 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 0 180 15 195 30 210 45 225 60 240 75 255 90 270 105 285 120 300 135 315 150 330 165 345 180 360
- 28. 27 1. Calcular el área de la región limitada por: a. La curva 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑎 sin 𝑡 b. La curva 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡 1. Calcular el área limitada por: a. La curva 𝑥 = cos3 𝑡 ; 𝑦 = sin3 𝑡 b. El primer arco de la cicloide definida por 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡); 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡) y el eje de las X 1. Hallar la longitud del arco de la parábola descrita por 6𝑦 = 𝑥2 desde el origen de coordenadas al punto (4, 8 3 ) 2. Calcular la longitud de cada una de las siguientes curvas: a. La catenaria definida por 𝑦 = 1 2 (𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 ) desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 2 b. 𝑥 = ln(𝑠𝑒𝑐 𝑦) entre 𝑦 = 0 y 𝑦 = 𝜋 y entre 𝑦 = 0 y 𝑦 = 1 c. 𝑓(𝑥) = ∫ √cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 desde 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝜋 2
- 29. 28 d. 𝑓(𝑥) = ∫ tan 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝜋 4 3. Encontrar la longitud de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2 4. Hallar la longitud total de la hipociloide 𝑥2/3 + 𝑦2/3 = 𝑎2/3 1. Hallar la longitud del arco de la curva 𝑦2 = 4𝑥 − 𝑥2 , comprendida entre los dos puntos en que corta al eje X. 2. Hallar la longitud del arco de la curva 𝑦 = ln𝑥 desde 𝑥 = √3 hasta 𝑥 = √8 3. Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5𝑦3 = 𝑥2 comprendida dentro de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 6 4. Calcular la longitud del arco de la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥 entre los puntos (0,1) y (1,e) 5. Hallar la longitud total del lazo de la curva 6𝑦2 = 𝑥(𝑥 − 2)2 si 𝑥 ∈[0, 2] 6. Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica 𝑦2 = 2 3 (𝑥 − 1)3 comprendida dentro de la parábola 𝑦2 = 𝑥 3 1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios: a. 𝑥 = sin 𝑡 y 𝑦 = cos 𝑡 entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 2𝜋 b. 𝑥 = 𝑎(2 cos 𝑡 − cos 2𝑡) y 𝑦 = 𝑎(2 sin 𝑡 − sin 2𝑡)
- 30. 29 1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios: a. Del arco de la envolvente del círculo definida por: 𝑥 = 𝑅(cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡) y 𝑦 = 𝑅(sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡) desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 𝜋 b. Las coordenadas del punto P que divide al primer arco de la cicloide definida por: 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡) y 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡), en dos partes cuyas longitudes están en relación de 2 a 1
- 31. 30 1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios: a. 𝑟 = sin 𝜃 entre 𝜃 = 0 y 𝜃 = 𝜋 2 b. La primera espira de la espiral de Arquímedes definida por 𝑟 = 𝑎𝜃; 𝑎 > 0 1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios: a. 𝑟 = 2 cos 𝜃 entre 𝜃 = 0 y 𝜃 = 𝜋 3 b. 𝑟 = 2 sin3 ( 𝜃 3 ) 1. Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h unidades y de radio de la base “a” unidades 2. Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las curvas 𝑦 = 𝑥2 + 4 e 𝑦 = 2𝑥2 alrededor del eje X 3. Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥 sin 𝑒 𝑥 , 𝑥 = 0, 𝑥 = ln ( 𝜋 4 ), alrededor del eje X. 1. Hallar el volumen de tronco del cono generado al girar el área limitada por2𝑦 = 6 − 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4 alrededor del eje X 2. Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de la región R limitada por la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥 sin 𝑒 𝑥 , 𝑥 = 0, 𝑥 = ln ( 𝜋 4 ) alrededor del eje X 3. Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del eje Y la figura acotada por la curva ( 𝑥 𝑎 ) 2 + ( 𝑦 𝑏 ) 3/2 = 1 4. Dada la región plana R en el primer cuadrante limitada por 3𝑦 − 4𝑥 = 6, 4𝑦 − 3𝑥 = 8, 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 25. Hallar el volumen generado, si se rota R alrededor del eje X. 5. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie comprendida entre las parábolas 𝑦 = 𝑥2 ,𝑦 = √ 𝑥 6. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas 𝑥 + 𝑦2 + 3𝑦 = 6,𝑥 + 𝑦 = 3 alrededor de la recta 𝑦 = 3 7. Calcular el volumen generado al hacer rotar la región encerrada por las curvas (𝑦 − 4)2 = 4 − 4𝑥,𝑦 + 2𝑥 = 2, gira alrededor de la recta 𝑦 = −1 8. La región limitada por las curvas 𝑥2 𝑦2 = 1; 𝑦(𝑥2 + 3) = 4 gira alrededor de la recta 𝑦 + 1 = 0. Hallar el volumen del sólido que se genera 9. Calcular el volumen que genera la elipse 𝑥2 4 + 𝑦2 3 = 1, al girar alrededor del eje X. 10. Un ingeniero civil piensa que para almacenar agua, una cisterna debe tener la forma de una esfera y construye una en la azotea de su casa de radio R=1m y desea encontrar el volumen que puede almacenar pero planteándolo como un problema de integral definida por el método del anillo.
- 32. 31 11. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 alrededor de la recta 𝑦 = 6 12. Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, donde x es mayor igual a cero y menor igual a 𝜋 2 , rota alrededor del eje Y. 13. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por 𝑥2 − 4 = 𝑦,𝑦 = −3𝑥 alrededor de la recta 𝑥 = 1 14. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas dadas alrededor de la recta dada: a. 𝑦 = √ 𝑥 − 1 √ 𝑥 , 𝑥 = 1, 𝑥 = 4, 𝑦 = 0 alrededor de 𝑦 = −2 b. 𝑥 + 𝑦 = 1, √ 𝑥 + √ 𝑦 = 1 alrededor de 𝑥 = 0 1. Determinar si las siguientes integrales impropias son convergentes: a. ∫ 𝑑𝑥 1+𝑥2 +∞ 0 ∫ 𝑒 𝑥 1 −∞ 𝑑𝑥 2. Determinar si las siguientes integrales impropias son convergentes: a. ∫ 𝑑𝑥 √1−𝑥 1 0 b. ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 √𝑥 − 1 2 1 1. Analizar la convergencia, y si son convergentes las siguientes integrales impropias determinar su valor: a. ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 0 b. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 1 c. ∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 +∞ 0 d. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 1 0
- 33. 32 e. ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 +∞ 1 f. ∫ ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 1 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ g. ∫ 𝑒−|𝑥| 𝑑𝑥 +∞ −∞ h. ∫ 𝑑𝑥 4 − 𝑥2 2 −∞ i. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ j. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ ∫ 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 +∞ 0 1. Analizar la convergencia de las siguientes integrales impropias: a. ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 7 +∞ 1 ∫ ln 𝑥3 𝑑𝑥 +∞ 𝑒 b. ∫ 𝑑𝑥 (1 − 𝑥)3/2 1 0
- 34. 33 1. Empleando los criterios de convergencia, indicar cuáles de las siguientes integrales son convergentes: a. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 1 b. ∫ ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 1 c. ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 1 +∞ 1 d. ∫ 2𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 3 +∞ 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ln 𝑥 2 1 ∫ 𝑥𝑑𝑥 ln 𝑥 𝑒 1 ∫ 𝑥3 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 +∞ 0 e. ∫ 𝑑𝑥 𝑥 ln2 𝑥 +∞ 1 f. ∫ 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 +∞ 0 ∫ sin2 𝑥 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 1 ∫ 𝑑𝑥 √𝑥(1 − 𝑥2) 1 0 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 − cos 𝑥 1 0