El documento describe las propiedades y definiciones esenciales de los espacios vectoriales, incluyendo operaciones de suma y multiplicación por un escalar, subespacios, independencia lineal y bases. Se proporcionan ejemplos concretos para ilustrar conceptos como el espacio vectorial nulo, combinaciones lineales y matrices de transición entre bases. Además, se establece que la dimensión de un espacio vectorial se define por el número de vectores en una base que genera dicho espacio.

1. Es un conjunto constituido por un número infinito de
vectores para los cuales se han definido las operaciones
de adición y multiplicación por un escalar, y además están
definidos sobre un determinado campo k.
Esquemáticamente puede representarse como:
+
V1, V2,…,Vn k
Espacio vectorial

2. El campo k puede referirse a alguno de los siguientes
números:
• Complejos
• Reales
• Racionales
• Irracionales
• Enteros
• Naturales

3. 1. Si x y y son de V, entonces x + y es de V.
2. Para todo x, y de V, x + y = y + x
3. Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z
Existe un único vector 0 de V, tal que 0 + x = x + 0
4. Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que
x + (−x) = (−x) + x = 0
Sea V un conjunto de elementos en el que se definen
las operaciones de suma de vectores y producto por un
escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si
se cumple lo siguiente:

4. 6. Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V.
7. k(x + y) = kx + ky
8. (k1+k2)x = k1x+ k2x
9. k1(k2x) = (k1k2)x
10. 1x = x

5. Ejemplo 1:
Determinar si cada uno de los conjuntos:
a. V = {1}
b. V = {0}
bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales.
Entonces:
c. V = {1}, viola muchos de los axiomas.
d. V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial.
Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.

6. Ejemplo 2:
Considere el conjunto V de todos los números reales positivos.
Si X y Y denotan números reales positivos, entonces escribimos
vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define
como x + y = xy, además el producto por un escalar como kx =
xk
. Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.
1. Para x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0
2. Para todo x = x, y = y de V,
x + y = x + y = y + x = y + x
3. Para x = x , y = y, z = z de V
x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z
4. Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = x
El vector nulo 0 es 1 = 1

7. Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo
un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de
vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W
se denomina un subespacio de V.
Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es
cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto
por un escalar definidas en V:
1. Si x y y son de W, entonces x + y es de W.
2. Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W.
Subespacio vectorial

8. Ejemplo 3:
Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (−, ).
Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de
valor real.
Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(−, ) es un subespacio del
espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (−, ).

9. Un conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} de un espacio vectorial V, se
dice que son linealmente independientes si la única combinación
lineal de ellos es igual a cero, es en la que los escalares son cero y
satisfacen:
k1v1 + k2v2 + …+ knvn = 0
Son k1= k2 = … = kn = 0.
Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es
linealmente dependiente.
Vectores linealmente independientes

10. Un conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} de un espacio vectorial V, se
dice que son linealmente independientes si la única combinación
lineal de ellos es igual a cero es en la que los escalares no todos
son cero y satisfacen:
k1v1 + k2v2 + …+ knvn = 0
Son k1= k2 = …  kn = 0.
Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es
linealmente dependiente.
Vectores linealmente dependientes

11. Un conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} se dice que es linealmente
independiente; las únicas constantes que satisfacen:
k1v1 + k2v2 + …+ knvn = 0
Son k1= k2 = … = kn = 0.
Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es
linealmente dependiente.
Independencia lineal

12. Ejemplo 4:
Sean u = (-1,2), v =(1,2) y w (2,3) vectores en IR3. Exprese si es posible u como
combinación lineal de v y w.
Se tienen que determinar dos números reales los cuales denotamos por k
y m, tales que:
(-1, 2) = k (1,2) + m (2,3)
De la igualdad anterior se tiene que: (-1, 2) = (k +2m,2k +3m)
Se forma el sistema de ecuaciones:
k + 2 m = -1
2k + 3m = 2
Resolviendo el sistema, se tiene las soluciones k = 7 y m = - 4, por lo tanto:
(-1, 2) = 7 (1,2) -4 (2,3)

13. Ejemplo 4:
Determinar si los vectores de IR3 v = ( 1, 3, 0), u = (3, 0, 4) y w =
(11, -6, 12) son linealmente independientes o dependientes.
Hacemos la combinación lineal de ellos igual a cero:
k( 1, 3, 0) + m(3, 0, 4) + n(11, -6, 12) = (0, 0, 0)
Por lo que se forma el sistema de ecuaciones de 3 x 3:
k + 3 m + 11 n = 0
3 k + 0 m – 6 n = 0
0 k + 4 m + 12 n =0
Resolviendo el sistema, se tienen las soluciones k = 1, m = - 3 y n
= - 2, por lo tanto: son linealmente dependientes.
(-1, 2) = 7 (1,2) -4 (2,3)

14. Considere un conjunto de vectores B = {v1, v2, …, vn} de un
espacio vectorial V. Si el conjunto es linealmente
independiente y si todo vector de V puede expresarse
como combinación lineal de estos vectores, entonces se
dice que B es una base de V.
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en
Rn
es una base de Rn
.
Dimensión de un espacio vectorial
Se dice que el número de vectores de una base B del
espacio vectorial V es la dimensión del espacio.
Base de un espacio vectorial

15. Ejemplo 5:
Consideremos el espacio vectorial formado por:
A = {(x, y, z) en R3 tales que 4x – y -2z = 0}
Vamos a encontrar una base para H.
Tomemos un vector (x, y, z) en A, entonces satisface el hecho de
que:
4x – y - 2z = 0
Podemos reescribir esta condición despejando a y:
y = 4x -2z

16. Ejemplo 5:
Así podemos escribir los vectores de A de la siguiente manera:
De donde podemos decir que los vectores:
Generan a A. Ahora vamos a probar que son linealmente
independientes haciendo una combinación lineal de ellos igual
a cero.

17. Ejemplo 5:
Así podemos escribir los vectores de A de la siguiente manera:
Entonces tenemos que a = 0, 4a – 2b = 0 y b = 0, por lo tanto:
Son linealmente independientes. En conclusión los vectores
anteriores cumplen las condiciones para ser una base de A.

18. Como vimos anteriormente, si un espacio vectorial V tiene al
menos una base que genera a todo el espacio vectorial,
entonces cualquier vector se puede escribir como combinación
lineal de los vectores de la base.
Si {v1, v2, . . . , vn} es una base para el espacio vectorial V y si v
está en V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2,
. . ., cn tales que v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn.
Base de un espacio vectorial

19. En R2 {(1, 0), (0, 1)} forman la base canónica, por lo tanto:
(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)
Supongamos que hay otra combinación lineal de estos vectores
que nos dan el vector:
(x, y)(x, y) = a (1, 0) + b(0, 1)
Como ambas combinaciones dan el mismo vector tenemos que:
x (1, 0) + y (0, 1) = a (1, 0) + b(0, 1)
Donde tenemos que:
(x, y) = (a, b) por lo tanto x = a, y = b
y la combinación lineal es única.
Ejemplo 5:

20. La matriz de transición de la Base A a la Base B, se forma con
los vectores de coordenadas de las combinaciones lineales.
Las características de la matriz de transición son:
• Sus columnas son vectores de coordenadas obtenidos a partir
de la combinación lineal de una base respecto a otra.
• Son matrices cuadradas (por ser combinaciones lineales entre
bases).
• Siempre tienen inversa (por ser matrices cuadradas y cumplir
det≠0).
La matriz de transición permite el cambio de coordenadas de
una base a otra; por tanto, con la matriz de transición es posible
calcular el vector de coordenadas.
Matriz de transición

21. Encontrar la matriz de transición de la base canónica IR3 a la
base B:
Para ello escribiremos la matriz C cuyas columnas son los
vectores de B:
Ésta es la matriz de transición de la base B a la base canónica.
Ejemplo 6:

22. Los vectores de la base B se encuentran expresados en
términos de la base canónica. Entonces la matriz de C-1
será la
matriz que estamos buscando.