El documento habla sobre los conceptos básicos de álgebra lineal como espacios vectoriales, subespacios, dependencia e independencia lineal, bases y dimensiones. Explica que un espacio vectorial consiste en un conjunto de vectores sobre un campo donde se cumplen propiedades como conmutatividad y asociatividad de la suma y escalar. Un subconjunto es un subespacio si también cumple estas propiedades. La dependencia e independencia lineal de vectores depende de si su combinación lineal solo tiene solución trivial. Una base genera todo el espacio vector

1. Algebra lineal

2. Espacios vectoriales Un espacio vectorial E=(V,F) Es un conjunto de elementos llamados vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que x-x=0

3. Espacios vectoriales Cada elemento dol campo es llamado un escalar µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x  1 la unidad multiplicativa del campo

4. Espacios vectoriales ejemplos

5. Espacios vectoriales Teorema 0v=v0=0 0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el resultado

6. Subespacio Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V

7. Subespacio ejemplos

8. Creación de espacios Teorema. Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V Si v1,…vn están en S, entonces también  1v1+…+  nvn, donde  i son elementos del campo (S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos

9. Creación de espacios Preguntas importantes ¿En qué condiciones dos conjuntos S1, S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de Q  S tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?

10. Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. El vector y=  1v1+  2v2+...+  nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.

11. Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. S es linealmente independiente si  1v1+  2v2+...+  nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.

12. Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.

13. Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación: [v1 v2 ... vn] =0  1  2 ...  n

14. Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n entonces tiene solución única Si la matriz [v1 ... vn] es de rango menor a n, entonces tiene más de una solución.

15. Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase

16. Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)

17. Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes espacios

18. Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación lineal) de los vectores x 1 ,...,x r ; y xi es una C.L. de los vectores y 1 ,...,y s . Entonces z es una C.L. de los vectores y 1 ,...,y s . z=a 1 x 1 +...+a r x r z=a 1 (b 11 y 1 +...+b 1s y s )+...+a r (b r1 y 1 +...+b rs y s ) Es una propiedad de transitividad

19. Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x 1 ,...,x n son L.D. Suponer que x 1 ,...,x k (k<n) son L.D.  a 1 x 1 +...+a k x k =0 con ai diferente de nulo.  a 1 x 1 +...+a k x k +0x k+1 +...+0x n =0 es solución y el sistema es L.D.

20. Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1, ..., vn} es un conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros. Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=  1 v1+  2 v2+...+  n vn, a donde Es la representación del vector Coordenadas  1  2 ...  n