Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo definiciones de espacio vectorial, subespacio vectorial, dependencia lineal, bases y dimensión. Se proporcionan ejemplos ilustrativos y se demuestran algunas propiedades fundamentales de los espacios vectoriales.
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
Contenido.
- Ejemplos de espacios vectoriales.
- Combinación lineal.
- Dependencia lineal.
- Independencia lineal.
- Base y dimensión de un espacio vectorial.
- Espacio nulo de una matriz.
- Rango de una matriz.
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
Contenido.
- Ejemplos de espacios vectoriales.
- Combinación lineal.
- Dependencia lineal.
- Independencia lineal.
- Base y dimensión de un espacio vectorial.
- Espacio nulo de una matriz.
- Rango de una matriz.
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espacios vectoriales, algebra y geometria primer año de ingenieria, licenciatura en sistemas, economia, licenciatura y profesorado en Fisica, geofisica y tecnicatura universitaria en Optica universidades, instituciones,
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
Se denomina motor de corriente alterna a aquellos motores eléctricos que funcionan con alimentación eléctrica en corriente alterna. Un motor es una máquina motriz, esto es, un aparato que convierte una forma determinada de energía en energía mecánica de rotación o par.
UNIVERSIDAD NACIONAL ALTIPLANO PUNO - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA.
Resumen de espacios vectoriales
1. Tema 1
Espacios Vectoriales.
1.1. Definici´on de Espacio Vectorial
Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los n´umeros Naturales,
Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Definici´on 1.1.2. Sea R el conjunto de los n´umeros reales. Un espacio vectorial sobre
R consta de un conjunto no vac´ıo V , una ley de composici´on interna sobre V , ‘+’, y una
aplicaci´on de R × V en V , ‘·’, (ley externa), verificando las siguientes propiedades:
(1) (V, +) es un grupo abeliano, esto es, para todo u, v, w ∈ V ,
• (1.1) u + v = v + u. (Conmutativa).
• (1.2) u + (v + w) = (u + v) + w. (Asociativa).
• (1.3) Existe 0 ∈ V tal que para todo u ∈ V , 0 + u = u. (Elemento neutro).
• (1.4) Para todo u ∈ V , existe u ∈ V tal que u + u = 0 (opuesto de u).
(2) Para todo u, v ∈ V y para todo α, β ∈ R,
• (2.1) α · (u + v) = α · u + α · v.
• (2.2) (α + β) · u = α · u + β · u.
• (2.3) α · (β · u) = (α · β) · u.
• (2.4) 1 · u = u.
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2. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
Notas 1.1.3.
(1) Los elementos de V se denominar´an vectores y los de R escalares.
(2) El elemento u cuya existencia asegura (1.4) es ´unico y se notar´a por −u.
Ejemplos 1.1.4. Son espacios vectoriales sobre R:
M(n × m, R). (Conjunto de las matrices con coeficientes en R con n filas y m co-
lumnas).
Un conjunto con un ´unico elemento {0} es un espacio vectorial que llamaremos
espacio vectorial trivial.
El conjunto R[X] de los polinomios en X, de grado menor o igual que n, con coefi-
cientes en R es un espacio vectorial sobre R.
Proposici´on 1.1.5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo u, v ∈ V y todo
α, β ∈ R se verifica que:
(1) α · 0 = 0.
(2) 0 · u = 0.
(3) α · (u − v) = α · u − α · v.
(4) (α − β) · u = α · u − β · u.
(5) (−α) · u = −α · u.
Definici´on 1.1.6. Llamaremos espacio num´erico sobre R, de dimensi´on n, al conjunto:
Rn
= {(a1, . . . , an) | ai ∈ R, i = 1, . . . , n}
En Rn
definimos las siguientes operaciones:
(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn).
a · (a1, . . . , an) = (a · a1, . . . , a · an).
Nota 1.1.7. Los elementos de Rn
se denominan vectores y los notaremos por u, v, . . ..
Proposici´on 1.1.8. Rn
es un espacio vectorial sobre R.
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3. Grupos A y D Curso 2014/2015
1.2. Subespacios vectoriales
Definici´on 1.2.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Diremos que L ⊂ V (L = ∅) es un
subespacio vectorial (o una variedad lineal) de V sobre R si L, con las leyes de composici´on
interna y externa de V , es un espacio vectorial.
Proposici´on 1.2.2. L ⊂ V es subespacio vectorial de V si y s´olo si.
(a) ∀u, v ∈ L ⇒ u + v ∈ L.
(b) ∀u ∈ L, ∀α ∈ R ⇒ α · u ∈ L.
Condiciones que se pueden resumir en una sola:
∀α, β ∈ R , ∀u, v ∈ L ⇒ α · u + β · v ∈ L.
1.3. Dependencia lineal
Definici´on 1.3.1. Diremos que v ∈ V es combinaci´on lineal de v1, . . . , vn ∈ V si existen
α1, . . . , αn ∈ R tales que:
v = α1 · v1 + · · · + αn · vn
Ejemplos 1.3.2. .
(1) 0 es combinaci´on lineal de cualquier conjunto de vectores.
(2) u es combinaci´on lineal de cualquier conjunto que contenga a u.
(3) En R[x] todo polinomio de grado menor o igual a n es combinaci´on lineal de los
polinomios {1, x, x2
, . . . , xn
}.
Definici´on 1.3.3. Sea A ⊂ V . Se llama subespacio vectorial engendrado por A, y se
designa por L(A), al conjunto de todas las combinaciones lineales de un n´umero finito de
elementos de A. Si A = ∅, se define L(∅) = {0}.
Proposici´on 1.3.4. .
(1) L(A) es un subespacio vectorial de V .
3
4. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
(2) L(A) ⊃ A.
(3) Si A ⊂ B ⇒ L(A) ⊂ L(B).
(4) Si A es un subespacio vectorial de V , entonces L(A) = A.
(5) L(L(A)) = L(A).
Definici´on 1.3.5. Diremos que V es un espacio vectorial de dimensi´on finita si existe un
n´umero finito de elementos de V , u1, . . . , un, tales que:
V = L(u1, . . . , un)
Un tal conjunto diremos que es un sistema de generadores de V .
Ejemplos 1.3.6. .
(1) Rn
es de dimensi´on finita.
(2) R[x] (polinomios en la indeterminada x con coeficientes en R) no es de dimensi´on
finita.
(3) El conjunto de los polinomios en la indeterminada x, de grado menor o igual que
n, con coeficientes en R, s´ı es un espacio vectorial de dimensi´on finita.
Definici´on 1.3.7. Sean u1, . . . , un ∈ V .
(1) u1, . . . , un son linealmente dependientes si existen α1, . . . , αn ∈ R ,no todos nulos,
tales que:
α1 · u1 + · · · + αn · un = 0
(2) u1, . . . , un son linealmente independientes si:
α1 · u1 + · · · + αn · un = 0 ⇒ α1 = · · · = αn = 0
Ejemplos 1.3.8. .
(1) Si 0 ∈ {u1, . . . , un}, entonces u1, . . . , un son linealmente dependientes
(2) Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes se le a˜naden cualesquiera
otros vectores, resulta un conjunto de vectores linealmente dependientes.
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5. Grupos A y D Curso 2014/2015
(3) Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es
un conjunto de vectores linealmente independientes.
Proposici´on 1.3.9. Si v es combinaci´on lineal de v1, . . . , vn, entonces el conjunto {v, v1, . . . , vn}
es linealmente dependiente.
Demostraci´on:
Por hip´otesis existen α1, . . . , αn ∈ R tales que:
v = α1 · v1 + · · · + αn · vn
Entonces:
(−1)v + α1 · v1 + · · · + αn · vn = 0
y no todos los coeficientes son nulos, porque el primero es −1.
Proposici´on 1.3.10. Si los vectores v1, . . . , vn son linealmente dependientes, alguno de
ellos es combinaci´on lineal de los dem´as.
1.4. Bases y dimensi´on
Definici´on 1.4.1. Decimos que B = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V es una base de V si se verifica:
(1) V = L{u1, u2, . . . , un}. Esto es, {u1, u2, . . . , un} es un sistema de generadores
de V .
(2) {u1, u2, . . . , un} son linealmente independientes.
Ejemplo 1.4.2. {(1, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 1)} es una base de Rn
.
Teorema 1.4.3. Todo espacio vectorial de dimensi´on finita tiene una base.
Teorema 1.4.4. En un espacio vectorial de dimensi´on finita todas las bases tienen el
mismo n´umero de elementos.
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6. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
Definici´on 1.4.5. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensi´on finita. Se llama
dimensi´on de V , dim(V ), al n´umero de elementos de cualquier base de V . Si V = {0},
convenimos en que tiene dimensi´on cero.
Ejemplo 1.4.6. dim(Rn
) = n.
Corolario 1.4.7. Sea V un espacio vectorial con dim(V ) = n.
(1) Todo conjunto de n vectores linealmente independiente es una base.
(2) Todo conjunto con m´as de n vectores es linealmente dependiente.
(3) Todo sistema de generadores de V tiene al menos n elementos.
(4) Todo sistema de generadores con n elementos es una base.
(5) Todo subespacio de V es de dimensi´on finita y tiene dimensi´on menor o igual
que n.
(6) Toda base de un subespacio de V puede ampliarse a una base de V .
Teorema 1.4.8. Si B = {u1, . . . , un} es una base de V , entonces para cada v ∈ V existe
un ´unico (α1, . . . , αn) ∈ Rn
tal que:
v = α1 · u1 + · · · + αn · un
Este elemento de Rn
se denomina coordenadas de v respecto de B y lo notaremos por:
vB = (α1, . . . , αn)
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7. Grupos A y D Curso 2014/2015
1.5. Ejercicios resueltos
1.- El vector (2, 1, −3) es combinaci´on lineal de los vectores (1, −1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0),
ya que existen α1, α2, α3 ∈ R tales que:
(2, 1, −3) = α1(1, −1, 1) + α2(1, 0, 0) + α3(1, 1, 0) = (α1 + α2 + α3, −α1 + α3, α1)
de donde se obtiene el sistema:
α1 + α2 + α3 = 2
−α1 + α3 = 1
α1 = −3
cuya soluci´on es α1 = −3, α2 = 7, α3 = −2. Por tanto, existen α1, α2, α3 ∈ R tales
que: (2, 1, −3) = −3(1, −1, 1) + 7(1, 0, 0) − 2(1, 1, 0).
2.- En el espacio vectorial R3
, los vectores (1, −1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0) son linealmente
independientes, ya que la ´unica forma de expresar el vector nulo como combinaci´on
lineal de los tres es con todos los escalares iguales a cero. Es decir, si:
α1(1, −1, 1) + α2(1, 0, 0) + α3(1, 1, 0) = (α1 + α2 + α3, −α1 + α3, α1) = (0, 0, 0)
se obtiene el sistema:
α1 + α2 + α3 = 0
−α1 + α3 = 0
α1 = 0
que es compatible determinado y cuya
´unica soluci´on es la trivial α1 = α2 = α3 = 0, luego los tres vectores son linealmente
independientes.
3.- El conjunto de vectores (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) forman una base de R3
.
Tenemos que comprobar que esos vectores son linealmente independientes y que
forman un sistema de generadores de R3
.
En primer lugar, son linealmente independientes ya que si disponemos esos vectores
en forma matricial, resulta : A =
1 0 0
1 1 0
1 1 1
y se verifica que rango(A) = 3, por lo
que los tres vectores que conforman la matriz son linealmente independientes.
Por ´ultimo, comprobamos que constituyen un sistema de generadores de R3
: Para
comprobarlo, se escribe el vector (a, b, c) ∈ R3
como combinaci´on lineal de los tres:
(a, b, c) = α1(1, 1, 1) + α2(0, 1, 1) + α3(0, 0, 1) = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
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8. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
α1 = a
α1 + α2 = b
α1 + α2 + α3 = c
⇐⇒
1 0 0
1 1 0
1 1 1
α1
α2
α3
=
a
b
c
Es un sistema lineal con variables α1, α2, α3 y t´erminos independientes a, b, c. La
matriz del sistema tiene rango 3 como se vio anteriormente y coincide con el rango
de la matriz ampliada, por lo que el sistema tiene soluci´on ´unica. Esa soluci´on es el
conjunto de escalares que nos permite escribir la combinaci´on lineal.
4.- El conjunto A = {(x, y) ∈ R2
: x + y = 1} no es un subespacio vectorial de R2
ya
que (0, 0) /∈ A.
5.- El conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0} es un subespacio vectorial de R3
.
Para comprobarlo, aplicamos la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vec-
torial:
∀u, v ∈ A, ∀α, β ∈ R : αu + βv ∈ A.
Si u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ A, entonces u1 + u2 + u3 = 0, v1 + v2 + v3 = 0,
por lo que:
αu + βbfv = α(u1, u2, u3) + β(v1, v2, v3) = (αu1 + βv1, αu2 + βv2, αu3 + βv3).
Para que αu, βv ∈ A se debe cumplir:
αu1 + βv1 + αu2 + βv2 + αu3 + βv3 = 0, en efecto:
αu1 +βv1 +αu2 +βv2 +αu3 +βv3 = α(u1 +u2 +u3)+β(v1 +v2 +v3) = α·0+β·0 = 0,
∀α, β ∈ R, por tanto, A es un subespacio vectorial de R3
.
6.- El conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3
: x · y = 0} no es un subespacio vectorial de R3
.
A pesar de que (0, 0, 0) ∈ A, comprobaremos con un contraejemplo que no se verifica
la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vectorial.
Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) ∈ A dado que, en ambos casos x · y = 1 · 0 =
0 · 1 = 0, pero u + v = (1, 1, 2) /∈ A, pues x · y = 1 · 1 = 1 = 0.
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9. Grupos A y D Curso 2014/2015
7.- Sea el subespacio A ∈ R3
, generado por los vectores u = (1, 0, 1) y v = (1, 1, 1), es
decir A = (1, 0, 1), (1, 1, 1) . Determinar una base, unas ecuaciones param´etricas y
unas ecuaciones impl´ıcitas de A.
a) A = u, v = (1, 0, 1), (1, 1, 1) .
Los vectores que generan el subespacio son linealmente independientes, ya que
rg
1 1
0 1
1 1
= 2, por lo que forman una base de A y dim(A) = 2.
b) Ecuaciones param´etricas: escribimos un vector gen´erico x = (x, y, z) ∈ A como
combinaci´on lineal de los vectores de la base:
(x, y, z) = λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1) = (λ + µ, µ, λ + µ)
de d´onde obtenemos las ecuaciones param´etricas.
x = λ + µ
y = µ
z = λ + µ
λ, µ ∈ R.
Aparecen dos par´ametros igual a la dimensi´on de A.
c) Para las ecuaciones impl´ıcitas consideramos que ∀(x, y, z) ∈ A, los vectores
(x, y, z), (1, 0, 1), (1, 1, 1) son linealmente dependientes y que el rango de la ma-
triz que forman debe coincidir con la dimensi´on de A:
rg
x 1 1
y 0 1
z 1 1
= 2 ⇐⇒
x 1 1
y 0 1
z 1 1
= 0 ⇐⇒ z − x = 0
Luego el subespacio A tiene una ecuaci´on impl´ıcita
A = {(x, y, z) ∈ R3
: z − x = 0}.
8.- Calcular la dimensi´on, una base, unas ecuaciones impl´ıcitas y unas ecuaciones pa-
ram´etricas del subespacio de R3
: A = {(x, y, z) ∈ R3
: x+y +z = 0, −x+y +z = 0}
a) Comenzamos con las ecuaciones impl´ıcitas. El rango de la matriz del sistema
formado por las ecuaciones que definen a A es dos:
rg
1 1 1
−1 1 1
= 2
por lo que las dos ecuaciones que definen A son un par de ecuaciones impl´ıcitas.
9
10. Curso 2014/2015 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
b) Para obtener las ecuaciones param´etricas de A resolvemos el sistema:
x + y + z = 0
−x + y + x = 0
.
Dado que el rango de la matriz del sistema es 2, como se vio anteriormente,
y que un menor principal de la matriz es
1 1
−1 1
, le damos a la variable z el
valor de un par´ametro, z = λ y resolvemos el sistema:
x + y = −λ
−x + y = −λ
que
tiene por soluci´on: x = 0, y = −λ, z = λ, que son las ecuaciones param´etricas
del subespacio A.
c) Para obtener una base de A usamos las ecuaciones param´etricas:
∀(x, y, z) ∈ A : (x, y, z) = (0, −λ, λ) = λ(0, −1, 1),
por lo que cualquier vector de A est´a generado por (0, −1, 1) que es una base
de A. Por tanto, la dimensi´on de A es 1.
1.6. Ejercicios Propuestos
1.- Hallar t ∈ R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado
por los vectores u = (1, 2, 3), v = (1, 3, −1).
2.- Determinar a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinaci´on lineal de (1, 2, −1, −2)
y de (0, 1, 2, 1).
3.- Demostrar que los vectores u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1) forman una
base de (R3
, +, ·), y encontrar las coordenadas de los vectores de la base can´onica
respecto de dicha base.
4.- Determinar qu´e conjuntos son subespacios vectoriales de (R3
. + .·):
A = {(x, y, z) : x − y + z = 0}, B = {(x, y, z) : x + 2y + z = 1},
10
11. Grupos A y D Curso 2014/2015
C = {(x, y, z) : x − y = 0, x − z = 0, }, D = {(x, y, z) : x − y + z = 0, y + z = 1},
E = {(x, y, z) : x = 0, y = z}, F = {(x, y, z) : x · y = 0}
5.- Demostrar que el conjunto E = {(a, 0, b, a) , a, b ∈ R } es un subespacio vectorial de
(R4
, +, ·). En caso afirmativo, h´allese una base del mismos.
6.- Calcular una base, unas ecuaciones param´etricas, unas ecuaciones impl´ıcitas y la
dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales:
a) H1 = (1, 0, 1), (−1, 1, 0)
b) H2 = (1, 1, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 2)
c) H3 = {(x, y, z) ∈ R3
: x = y − z
d) H4 = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0, x − 2z = 0
7.- Sea P3[x] el Espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x de grado
menor o igual que 3.
Probar que si p(x) es un polinomio de grado 3, entonces p(x), p (x), p (x), p (x)
es una base.
T´omese p(x) = x3
− 3x, y h´allense las coordenadas de q(x) = x3
+ x − 2 respecto de
dicha base.
8.- Sean los conjuntos:
F[x] = p(x) ∈ P3[x] : p(0) + p (0) = 0 , G[x] = p(x) ∈ P3[x] : p (x) = 0 .
Demostrar que F[x] y G[x] son subespacios vectoriales de P3[x], y encontrar sendas
bases para cada uno de ellos.
11