Un espacio vectorial es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío, una operación de suma y una operación de producto escalar que cumplen con siete propiedades fundamentales. Un subespacio vectorial cumple con las propiedades de cierre bajo suma y producto escalar. La dependencia e independencia lineal de vectores se definen en términos de si existe una combinación lineal no trivial que iguale a cero. La dimensión de un espacio vectorial es el número máximo de vectores linealmente independientes en una base.

1. ESPACIO VECTORIAL
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO ‘’SANTIAGO MARIÑO’’
ING. ELÉCTRICA – EV
PROFESOR:
Ramón A. Aray L.
BACHILLER:
COBIS, ROLANDO. C.I: 26,991,770

2. INTRODUCCIÓN
Un espacio vectorial es una estructura
algebraica creada a partir de un conjunto no
vacío, una operación interna (Suma) y una
operación externa (Producto Escalar). Los
cuales cuentan con siete propiedades
fundamentales. Además de estudiar el espacio
vectorial, estaremos estudiando lo que seria
subespacio vectorial, Combinación lineal,
Dependencia lineal , Independencia lineal,
entre otros temas.

3. ¿QUE ES UN ESPACIO VECTORIAL?
Un espacio vectorial es una terna (V, +,
·), donde V es un conjunto no vacío y
+, · son dos operaciones del tipo + : V ×
V → R, · : R × V → V a las que
llamaremos ‘’suma de vectores’’ y
‘’producto por escalares‘’

4. LOS CUALES TIENEN LAS SIGUIENTES
PROPIEDADES:
1. u + (v + w)=(u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento
opuesto).
5. λ(µv)=(λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R
(distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).

5. EJEMPLOS
1. Si n es un número natural, se considera el
espacio euclídeo Rn = {(x1,...,xn); xi ∈
R} con la suma y producto por escalares
siguientes:
(x1 ...,xn)+(y1,...,yn)0(x1 + y1,...,xn + yn).
λ(x1,...,xn)=(λx1, . . . , λxn).
Siempre se supondrá que Rn tiene esta
estructura vectorial y que llamaremos usual.

6. EJEMPLOS
2. Sea V = {(x, y) ∈ R2; x − y = 0} con la suma
y producto por escalares como antes.
3. Sea V = {p} un conjunto con un único
elemento y con p + p = p y λp = p.
4. Sea V = {f : R → R; f es aplicación} y
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ R.

7. ¿QUE ES UN SUBESPACIO VECTORIAL?
Sea V un espacio vectorial y U un
subconjunto suyo. Se dice que
U es un subespacio vectorial de V si
satisface las siguientes
propiedades:

8. PROPIEDADES:
1. Si u, v ∈ U, entonces u + v ∈ U.
2. Si λ ∈ R y u ∈ U, entonces λu ∈ U.
3. Con la suma y producto por escalares de V
, U es un espacio vectorial.

9. COMBINACIÓN LINEAL
Se dice que un vector a es
combinación lineal de otros
vectores b,c,d, si existen números
reales α, β y λ tales que:
a: α b + β c + λ d

10. EJEMPLO
1. Sea los vectores b = (1,-2,3), c = (2, 3, 4) y los escalares
α = 3 y β = 2
Encontremos un vector a, tal que a sea combinación lineal
de los vectores b y c.
De acuerdo con la definición, podemos escribir que:
a = α b + β c
= 3 (1, -2, 3) + 2( 2, 3, 4)
= ( 3, -6, 9) + (4, 6, 8)
a = ( 7, 0, 17)
Luego: a = ( 7, 0, 17) es una combinación lineal de los
vectores a y b

11. DEPENDECIA LINEAL DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores v1,
v2……. vkf, se dice que son linealmente
dependientes o que forman un sistema
ligado, si y solo si existe un conjunto de
escalares, α1, α2……. αkf no todos
iguales a cero, tales que:
α1 v1 + α2 v2 + ……. αk vk = 0

12. INDEPENDECIA LINEAL DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores v1,
v2……. vkf, se dice que son linealmente
independientes o que forman un
sistema libre, si los números, α1, α2,
α3……. αkf que verifican α1 v1 + α2 v2 +
……. αk vk = 0 han de ser
necesariamente tales que
α1= α2 = α3 = αk = 0

13. EJEMPLOS
1.- El conjunto de vectores S = {v1, v2 , v3}, donde los
vectores v1 = (1,0,0),
v2 = (0,1,0) y v3= (0,0,1), son linealmente
independientes.
Por ser linealmente independientes , deben existir
escalares α1, α2 y α3 que verifiquen la siguiente
igualdad :
α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = 0

14. EJEMPLOS
Solución
Sustituyendo los vectores por sus componentes
tendremos que:
α1 (1,0,0) , α2 ( 0,1,0) α3 (0,0,1) = 0
Efectuando las operaciones obtendremos que:
(α1, α2, α3) = (0,0,0) => α1= 0 , α2= 0, α3= 0

15. EJEMPLOS
2.- Estudiar la dependencia o
independencia lineal de los vectores:
v1= (1, -2, 3), v2= (5,6,-1) y
v3= (3, 2, 1)

16. EJEMPLOS
Solución:
Debemos escribir, de acuerdo con la definición, la ecuación siguiente:
α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = 0
Sustituyendo por las componentes de cada vector se tendrá que:
α1 (1,-2,3) , α2 ( 5,6,-1) α3 (3,2,1) = (0,0,0)
Multiplicando el escalar por cada componente del vector
(α1, -2 α1, 3 α1) + (5α2, 6α2, -α2) + (3α3, 2α3, α3) = (0,0,0)
Aplicando suma de vectores
(α1 + 5α2 + 3α3, -2 α1 + 6α2 + 2α3, -3 α1 + 6α2 + 2α3) = (0,0,0)

17. EJEMPLOS
Aplicando la igualdad de vectores se tiene que:
(E1) α1 + 5α2 + 3α3 = 0
(E2) -2 α1 + 6α2 + 2α3 = 0
(E3) -3 α1 + 6α2 + 2α3 = 0
Las ecuaciones E2 y E3 son proporcionales, puesto que E# = -2E2. Esto nos
indica que podemos eliminar la ecuación E3, quedándonos:
α1 + 5α2 + 3α3 = 0 α1 + 5α2 = -3α3
16α2 + 8α3 = 0 16α2 = -8α3 => α2 = -1/2t
2E1 + E3
-3E1 + E3
α1 + 5α2 + 3α3 = 0 (E1)
16α2 + 8α3 = 0 (E2)
-16α2 - 8α3 = 0 (E3)

18. BASE
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un
sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la
vez linealmente independiente.
Propiedades.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más
pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S
(lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como
combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

19. EJEMPLO
La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n:
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un
determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . .
,an)∈ ℜ n se puede expresar
como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

20. DIMENSIÓN
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el
mismo número de vectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores
independientes que podemos
tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo
rango que puede tener un
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho
espacio.
conjunto de vector es de dicho espacio.

21. EJEMPLO
P2= {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales}
tiene dimensión 3.
Una base de P2 es, por ejemplo, la formada por los tres
polinomios siguientes:
1+0x+0x2, 0+x+0x2, 0+0x+x2 (es decir, los polinomios 1,
x, x2).
Otra base: 1+2x+3x2, 4+x2, 3–x–5x2.

22. ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ
El espacio nulo de una matriz se puede definir como
Esto es, es el conjunto de todas las soluciones del sistema .
Estos conceptos también se aplican para las transformaciones lineales.
Sea una transformación lineal T tal que . El espacio nulo se define
como
Se le denomina nulidad, , a la dimensión de N. Se le representa como

23. RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz Es el número de filas (o
columnas) linealmente independientes.
Utilizando esta definición se puede calcular
usando el método de Gauss.
También podemos decir que el rango es: el
orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
Utilizando esta definición se puede calcular el
rango usando determinantes.

24. CONCLUSIÓN
La forma en que un Espacio vectorial esta
constituido por dos partes, las cual una es de
suma y la otra es el producto escalar, que
mayormente se denominan parte interna y
externa. Los ejemplos realizados se aplican
algunas propiedades fundamentales del
espacio vectorial y a su vez analizaron los
términos de combinación lineal, dependencia e
independencia lineal y al igual que la base y
dimensión del espacio vectorial.

25. BIBLIOGRAFÍA
Ely Brett C. (2003). Matemáticas II. Barquisimeto – Edo. Lara.
JOHNEVE, C.A