1. ESTABILIDAD Prof. Paolo Castillo Rubio

3. 1. Polos de la función de transferencia Este método es fácil de usar, y se aplica tanto a sistemas de lazo abierto como de lazo cerrado. Para que un sistema sea estable se necesita que todos los polos de la ecuación característica estén situados en el lado izquierdo del plano ; es decir, la función de transferencia está definida por: Donde el polinomio A(s) es la ecuación característica del sistema. Al encontrar las raíces de esta ecuación se encuentran los polos del sistema , ya que esta ecuación se puede escribir como:

4. Al situar los polos en el plano complejo, éstos deben quedar situados del lado izquierdo del plano ; es decir, la parte real debe ser estrictamente negativa , tal como se ilustra en la figura:

5. Si el sistema tiene algún polo al lado derecho del plano (con la parte real mayor a cero), se puede mostrar que la solución transitoria de una respuesta escalón contiene una función exponencial creciente del tipo e at , donde a>0. Ésta corresponde a un sistema inestable . Uno de los problemas que se presenta con este método es el grado de la ecuación característica, dada la complejidad para obtener los polos ( método de la bisección ).

6. En el caso de sistemas con polos complejos, como se muestra en la figura, entre más cerca se encuentren al lado derecho del plano, mayor es la variación y menor es la estabilidad.

7. La posición de los polos es de suma importancia para el dimensionado de reguladores , puesto que un proceso puede ser estable en lazo abierto y, al retroalimentarlo, sus polos pueden pasar al lado derecho del plano o, viceversa, el sistema de lazo abierto es inestable y, al retroalimentarlo, es estable. La colocación de los polos en un sistema de lazo cerrado ha tenido gran importancia en el área de control, este método se llama el lugar geométrico de las raíces ( root-locus ), en donde se escogen los polos dominantes y, por este medio, se dimensiona el regulador.

8. 2. Método de Routh-Hurwitz Este método, también conocido como el Método de Routh, se basa en la ecuación característica del sistema, funciona para cualquier grado, en sistemas de lazo abierto y de lazo cerrado, con la excepción en estos últimos de sistemas con tiempo muerto. Una desventaja que presenta este método es que no da ninguna información de qué tan estable es el sistema, o en dónde están situados los polos del sistema.

9. Supóngase la siguiente ecuación característica, donde B 0 es un número positivo: A partir de esta ecuación, se propone un diagrama algebraico, en donde los dos primeros renglones se obtienen directamente de la ecuación característica, mientras que los otros se obtienen a través de una multiplicación cruzada. Los espacios vacíos del lado derecho se pueden llenar con ceros. El número de renglones depende del grado de la ecuación. Para que el sistema sea estable se necesita que todos los coeficientes de la primera columna sean estrictamente positivos (>0).

11. 3. Criterio simplificado de estabilidad de Nyquist El criterio de estabilidad de Nyquist es un método analítico en el campo de las frecuencias, el cual se puede usar aun cuando la función de transferencia no sea racional, por ejemplo, que contenga tiempo de retardo. Para introducir este criterio se empezará con un razonamiento algo simplificado sobre las posibilidades de resonancia en sistemas de lazo cerrado. Primero, el cambio al campo de frecuencias se hace con: s = s + j w , en donde la parte real, s , es tan pequeña que se supone igual a cero.

12. En el sistema de lazo cerrado de la figura, con señal de referencia R = 0, se abre la retroalimentación después del comparador y se introduce ahí una señal sinusoidal (señal de estímulo) con amplitud “1” y frecuencia “ w [rad/s]”.

13. Puesto que E 2 = -GHE 1 , la señal estacionaria en el punto 2 se decidirá por la función de frecuencia del circuito de línea -G(j w )H(j w ); es decir, tiene amplitud |GH(j w )|, y un desfase de -180°+ ے GH(j w ). Suponiendo que para cierta frecuencia el ángulo de la señal w = w p , el circuito tiene un desfase negativo de 180°. La señal en el punto 2 tendrá un desfase total de -360° y por ello estará en fase con la señal de entrada sen( w t). Dependiendo del tamaño del valor de la función de frecuencia, se pueden encontrar tres diferentes valores de la amplitud en el punto 2:

14. a) |GH(j w )| = 1. La señal en el punto 2 es de la misma magnitud que la señal de estímulo, por ello, el sistema no notará cuando se cierre la conexión entre el punto 1 y 2, sino que continuará en resonancia con amplitud constante. El sistema, por ello, se encuentra, en este caso, en los límites entre la estabilidad y la no estabilidad. b) |GH(j w )| < 1. La señal en el punto 2 tiene menor amplitud que la señal de estímulo y, con ello, se puede esperar que disminuya al cerrar el circuito. Éste es un sistema estable. c) |GH(j w )| > 1. La señal en el punto 2 tiene mayor amplitud que la señal de estímulo y, con ello, se puede esperar que aumente al cerrar el circuito. Éste es un sistema inestable.

15. Los tres casos se ven fácilmente al dibujar el diagrama de Nyquist para el circuito GH, como se muestra en la figura:

19. 4. Criterio completo de Nyquist El criterio completo de Nyquist se puede encontrar con la ayuda de la teoría de funciones complejas en matemáticas, más específicamente con el principio de variación de argumentos de Cauchy. Se tiene la función compleja continua F(s) de la variable compleja “s”. Si “s” varía a través de la curva cerrada L 1 en el plano complejo, los valores de la función compleja F(s) también van a moverse a través de la curva cerrada L 2 . Se dice que la función F(s) de un espejo de la curva L 1 en la curva L 2 .

20. El principio de la variación de argumentos dice que el número de vueltas “N” en sentido positivo, con que la curva F(s) rodea el origen, es igual a la diferencia entre la cantidad de ceros “Z” y la cantidad de polos “P” de la función F(s) dentro de la curva cerrada L 1 (ningún polo o cero puede estar en la curva). Un polo o cero de orden m se cuenta m veces. O sea, N = Z - P

21. El problema de estabilidad en sistemas lineales retroalimentados es equivalente con la pregunta de si cierta función 1 + GH tiene ceros en el lado derecho del plano. El principio de variación de argumentos podría, entonces, usarse como si la curva L 1 diera una curva que contiene el lado derecho del plano. Esta curva se le suele llamar “el camino de Nyquist” . El polo que comúnmente está en el origen se rodea con un pequeño medio círculo (r -> 0) y toda la parte derecha del plano, se supone rodeada por el medio círculo grande (R -> oo ).

22. Para la aplicación del criterio de Nyquist se estudia la construcción del camino de Nyquist del circuito en línea GH. Puesto que los ceros de la función 1 + GH son interesantes, se deben contar las vueltas al punto -1 +j0 para encontrar N. Los posibles polos de 1 + GH en el lado derecho del plano son idénticos con los correspondientes polos de GH, los cuales se suponen conocidos. La estabilidad del sistema de lazo cerrado se presenta como resultado del valor de Z en N = Z – P. Para que un sistema sea estable se requiere Z = 0.

23. Como se muestra en la figura, el camino de Nyquist se divide en cuatro partes, cuyos espejos en el plano GH se deben estudiar por separado:

24. I: s = j w ; eje imaginario positivo; la construcción es idéntica a la de la curva “común” de Nyquist G(j w )H(j w ). II: s = Re j j , donde j va desde + p /2 hasta - p /2; medio círculo grande. III: s = -j w ; eje imaginario negativo; G(-j w )H(-j w ) es el complejo conjugado de G(j w )H(j w ); por lo tanto, la construcción de la curva “común” de Nyquist es un espejo con respecto al eje de los reales. IV: s = re j j , donde j va desde - p /2 hasta + p /2; medio círculo pequeño.

25. El camino de Nyquist en el plano GH para el circuito de línea: Se muestra en la siguiente figura. La curva “común” de Nyquist , corresponde a s = j w (I), se muestra continua. El medio círculo grande (II) se construye alrededor del origen, lo cual es válido para todos los sistemas con mayor grado en el denominador. La construcción del medio círculo pequeño (IV) es un medio círculo grande alrededor del origen en el lado derecho del plano. Independientemente del valor de K 1 (>0) la curva completa de Nyquist no rodea el punto -1 + j0, por lo que el sistema es estable para todos los valores de K 1 .