Este documento describe el método del lugar geométrico de las raíces, introducido en 1848 por Evans, para resolver ecuaciones algebraicas. El método involucra dibujar las "ramas geométricas" de las raíces de una ecuación a medida que varía un parámetro desde cero hasta el infinito. Esto permite resolver el caso particular de un valor del parámetro viendo cómo cambian las raíces en general. El documento explica cómo dibujar estas ramas considerando simetrías, número de ramas, puntos de inicio y fin, asintotas y

1. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Prof. Paolo Castillo Rubio

2. MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES ( ROOT-LOCUS ) En 1848, Evans introdujo este método que es gráfico y elegante, para la solución de ecuaciones algebraicas como:

3. Dicho método se basa en el encajamiento ( imbedding ) y parte de que, en lugar de solucionar la ecuación para valores fijos de los parámetros, se soluciona la ecuación para todos aquellos valores de algún parámetro (o combinación de parámetros). Se puede, por ejemplo, escribir la ecuación como: En donde, por ejemplo, los polinomios son:

4. En lugar de solucionar: Se soluciona: Para valores positivos reales del parámetro K. Se puede decir, que el caso particular de K = 1 está contemplado en el caso general (valores positivos reales de K), de ahí el nombre de encajamiento. Lo destacable de esto, es que el problema general es más fácil de solucionar que el caso particular.

5. Con el lugar geométrico de las raíces de la última ecuación en relación con el parámetro K, se dice que son las ramas geométricas para las raíces de la ecuación, cuando el parámetro K varía desde cero al infinito. Para solucionar la ecuación con la ayuda del método se dibujan las ramas de las raíces y, por medio de la gráfica, se lee el lugar de las raíces para K = 1 y con ello se ha solucionado el problema inicial. El método es muy práctico, ya que da una visión de cómo las raíces de la ecuación característica cambian en relación con un (o varios) parámetros del sistema.

6. DIBUJO DEL LUGAR GEOMÉTRICO El lugar geométrico fue definido como las ramas de las raíces de la ecuación: En donde 0 ≤ K < ∞ . En esta ecuación P(s) y Q(s) son polinomios en función de la variable compleja s. Si sólo se necesita trabajar con los valores reales, se puede escribir la ecuación como:

7. La primera de estas ecuaciones, se le llama condición de argumento y a la segunda condición de magnitud . Todos los puntos que satisfagan la condición de argumento están situados en la rama de la raíz. Para dibujar las ramas, uno se aboca a las ecuaciones: Para parametrizar las ramas de las raíces con ayuda de K, se usa:

8. El trazo del lugar geométrico se facilita si se toman en cuenta las siguientes aclaraciones: Simetría. Cuando los polinomios P(s) y Q(s) tienen coeficientes reales, es la rama geométrica simétrica con respecto a los ejes reales. Número de ramas. El número de ramas es igual al grado mayor de P(s) y Q(s). Puntos de inicio y fin. Las curvas empiezan en los ceros de P(s) (K = 0) y terminan en los ceros de Q(s) (K = ∞ ) o en el infinito. Puntos cercanos de inicio y fin. En la cercanía de los ceros de P(s) o Q(s) se encuentra fácilmente la condición de argumento.

9. Asíntotas. De la condición de argumento se puede, en principio, saber la apariencia de las ramas para el valor mayor de | s | . Raíces múltiples. Dejar que s 0 sea un punto del lugar geométrico que corresponde al valor K 0 del parámetro.