Criterio de Nyquist para análisis de estabilidad

w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional de
México
Instituto Tecnológico de
Matamoros
CONTROL II
TEMA IIa: ESTABILIDAD RELATIVA Y CRITERIO DE
ESTABILIDAD DE NYQUIST

Utiliza los conceptos de margen de ganancia y margen
de fase, así como el criterio de estabilidad de Nyquist
para analizar la estabilidad de un sistema de control.
Competencia Específica

SUBTEMAS
1.5 Margen de fase y margen de ganancia.
1.6 Criterio de estabilidad de Nyquist.

1.5 Márgenes de Ganancia y de Fase
Son conceptos que se utilizan para analizar la
estabilidad de un sistema utilizando los diagramas de
Bode.
El método permite determinar la estabilidad relativa de
un sistema de control en lazo cerrado con un simple
análisis del sistema en lazo abierto.
Margen de ganancia (MG):
Es una medida de la estabilidad relativa, se define como
la magnitud del recíproco de la función de transferencia
de lazo abierto y se calcula a la frecuencia c, a la cual,
el ángulo de fase es de -180º.

MG =
1
G(jωc)
= −20 log G(jωc)
Donde:
G jωc = −180°
ωc = frecuencia de cruce de ganancia o frecuencia
crítica.
MARGEN DE FASE (m):
Es una medida de la estabilidad relativa y se define
como la suma de 180º al ángulo de fase g de la función
de transferencia de lazo abierto de ganancia unidad.
m = 180° +  jωg °

Donde:
G jωg = 1 ó G jωg dB
= 20 log 1 = 0 dB
ωg = frecuencia de cruce de ganancia.
ESTABILIDAD RELATIVA:
Los conceptos de margen de ganancia y margen
permiten determinar la estabilidad de un sistema según
el siguiente criterio:
Un sistema es estable si MG > 0 y m > 0
Estos conceptos no solo indican la estabilidad en
términos absolutos sino que permiten dar un margen de
que tan lejos está un sistema de la estabilidad o
inestabilidad, esto ya que entre más pequeños se hagan
los valores del margen de ganancia y de fase más
tendera el sistema hacia la inestabilidad y viceversa.

EJEMPLO 1
Determine los márgenes de ganancia y fase para un sistema
cuya función de transferencia de lazo abierto está dada por:
G s =
5
s(s2 + 2s + 4)
SOLUCIÓN:
G jω =
5
4jω
jω 2 + 2jω + 4
4
=
1.25
jω 0.25 jω 2 + 0.5jω + 1
G(jω) =
1.25
0.25 jω 3 + 0.5 jω 2 + jω
=
1.25
−0.5ω2 + jω 1 − 0.25ω2
En dB:
G(jω) dB = 20 log 1.25 − 20 log ω − 20 log 1 − 0.25ω2 2 + 0.5ω 2
G jω = 0° − 90° − tan−1
0.5ω
1 − 0.25ω2

Para calcular el margen de ganancia buscamos la
frecuencia donde el ángulo sea -180.
−180° = 0° − 90° − tan−1
0.5ωc
1 − 0.25ωc
2
Observamos que la tangente inversa será 90 en c=n, es
decir, en la frecuencia de corte del factor cuadrático.
jω 2
4
=
jω
2
2
=
jω
ωn
2
→ ωn = ωc = 2 rad
s
A esa frecuencia calculamos el margen de ganancia:
G(j2) =
1.25
−0.5 2 2 + j(2) 1 − 0.25(2)2
G(j2) =
1.25
−2 + j2 − j2
=
1.25
2
= 0.625
MG = −20 log 0.625 = 4.08 dB

Para calcular el margen de fase buscamos la frecuencia
donde la magnitud sea 1 o 0 dB .
G(jωg) =
1.25
−0.5ωg
2 + jωg 1 − 0.25ωg
2
= 1
Entonces
1.25
−0.5ωg
2 2
+ ωg − 0.25ωg
3 2
= 1
1.25
0.25ωg
4
+ ωg
2 − 0.5ωg
4 + 0.0625ωg
6
= 1
Elevando al cuadrado ambos términos:
1.5625
0.0625ωg
6 − 0.25ωg
4
+ ωg
2
= 1
0.0625ωg
6
− 0.25ωg
4
+ ωg
2
− 1.5625 = 0

Resolviendo en Matlab:
De las 6 raíces 4 son complejas y 2 son reales. De las 2
reales tomamos la frecuencia positiva. Entonces:
ωg = 1.443 rad
s
Obtenemos el ángulo de fase a esa frecuencia y
calculamos el margen de fase:
G jω = 0° − 90° − tan−1
0.5(1.443)
1 − 0.25(1.443)2
= −146.4°

Márgenes de Ganancia y de Fase en Matlab
El comando “margin” calcula el margen de ganancia
(MG), el margen de fase (m) y las correspondientes
frecuencias de cruce (c y g)
Cuando se introduce el comando margin, Matlab
produce las representaciones de Bode con los
márgenes de ganancia y de fase marcados con líneas
verticales. En la parte superior de la gráfica aparecen los
valores de ambos márgenes, así como las
correspondientes frecuencias de cruce de ganancia. Los
argumentos requeridos para este comando son el
numerador y denominador de la función de
transferencia, es decir:
margin(num,den)

m = 180 − 146.4 ° = 33.6°
Se observa que MG>0 y m>0, entonces el sistema es
estable.
Esto se puede comprobar aplicando la función escalón a
la función de transferencia de lazo cerrado.
En Matlab:

EJEMPLO 2
Determine los márgenes de ganancia y fase en Matlab
para el sistema del ejemplo anterior:
G s =
5
s(s2 + 2s + 4)
SOLUCIÓN:

EJEMPLO 3
Evalúe la estabilidad de dos sistemas cuyas funciones
de transferencia de lazo abierto están dadas por:
1. G s =
3s + 1
s(5s3 + 3𝑠2 + 4s + 2)
2. G s =
3s + 1
5s3 + 3𝑠2 + 4s + 2
SOLUCIÓN:
Resolvemos ambos sistemas en Matlab utilizando el
comando margin.
Sistema 1

De acuerdo al resultado
se observa que MG=-19.5 dB
a c=0.879 rad/s y m=-
71.9 a g=1.12 rad/s.
Por tanto se concluye que el
sistema es inestable porque
los márgenes son negativos,
comprobemos con la
respuesta al escalón en lazo
cerrado.

Sistema 2
En la figura se observa que MG= a c= rad/s y m=17 a
g=1.15 rad/s. Por tanto, el sistema es estable,
comprobemos con la respuesta al escalón en lazo cerrado.

NOTA:
Para obtener un desempeño satisfactorio del sistema el
margen de fase debe estar entre 30 y 60 y el de
ganancia debe ser mayor a 6dB.

1.6 Criterio de estabilidad de Nyquist
El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la
respuesta en frecuencia de lazo abierto con la
estabilidad en lazo cerrado.
Se basa en un teorema de la variable compleja que se
fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano
complejo.
TRANSFORMACIÓN DE CONTORNOS EN EL PLANO
s
Suponga que se quiere transformar una serie de valores
de s en el plano s, donde todos ellos forman una
trayectoria cerrada o contorno , utilizando la función:
F s = 2s + 1

Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene
su representación en el plano F(s). Se evalúan todos los
puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano
F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva
la misma forma que el contorno del plano s,
(Transformación conforme).
Ambos contornos se consideran que tienen un sentido
positivo.

Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s,
utilizando otra función de transformación:
En este caso la transformación es no conforme pero
conserva el sentido positivo.
Existe una característica muy interesante que ocurre
cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la
función:

1. Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
el mismo sentido del contorno en plano s.
2. Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra
al origen.
3. Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
sentido contrario.

4. Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no
encierra al origen.

Todos estos resultado son consecuencia del principio del
argumento (Teorema de Cauchy).
TEOREMA DE CAUCHY:
Si un contorno en el plano s rodea Z ceros y P polos de
F(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de F(s)
cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del
reloj a lo largo de contorno s, el contorno
correspondiente en el plano F(s), rodea al origen de
dicho plano, N = Z – P veces en la misma dirección.
CRITERIO DE NYQUIST:
Sea la ecuación característica:
1 + G s = 0 →
K i=1
m
s + si
k=1
n
s + sk
= 0

Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s)
deben de estar localizados en la parte izquierda del
plano s. Por tal motivo se escoge un contorno en el
plano s que encierre toda la parte derecha del plano y
por medio del teorema de Cauchy se determina que
ceros están dentro del contorno. Esto se logra
graficando en el plano F(s) y observando el número de
rodeos al origen.
Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo
abierto G(s) por ser relativamente más sencillo,
entonces:
1 + G s = 0 → G s = −1
Con este cambio los rodeos se analizarán sobre el punto
(-1 + j0) del plano F(s).

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST:
Un sistema de retroalimentación es estable si y
solamente si, el contorno G en el plano G(s) no rodea
el punto (-1 +j0) cuando el número de polos de G(s) en
la parte derecha del plano s es cero.

Un sistema de control con retroalimentación es estable
si y solamente si, en el contorno G el número de
rodeos al punto (-1 +j0) en el sentido contrario al
movimiento del reloj es igual al número de polos de G(s)
con partes reales positivas.
ESTABILIDAD RELATIVA Y CRITERIO DE NYQUIST
El criterio de estabilidad de Nyquist se define en
términos del punto (-1 + j0) en la gráfica polar. La
proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa
de un sistema.
El margen de ganancia. Se define como el recíproco de
la ganancia G(jω) para la frecuencia en que el ángulo
de fase alcanza -180°.

El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá
que multiplicar la ganancia del sistema para que el lugar
geométrico pase a través del punto (-1 + j0).
El margen de fase, se define como el ángulo de fase
que se debe girar el lugar geométrico G(j) para que el
punto de magnitud unitaria pase a
través del punto (-1 + j0) en el plano G(j).

EJEMPLO:
Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:
)
5
)(
4
(
)
(



s
s
s
K
s
G
SOLUCIÓN:
Para realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos:
s

G

Plano s

 j



s


 0



 j


 0

Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde la
frecuencia hasta , (gráfica polar).

 0
 


Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la
frecuencia . En este caso se cambia
la variable s de la función por donde
representa un radio de valor infinito y es
una evaluación angular de 90º a -90º.

 j



 j


j
e



j
e
Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde la
frecuencia hasta , (espejo de la
gráfica polar).

 0



 j

Contorno s

1
T
2
T
3
T
4
T

Tramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la
frecuencia . En este caso se cambia la
variable s de la función por donde
representa un radio de valor muy pequeño y es
una evaluación angular de -90º a 90º. El tramo se
diseña para rodear a posibles ceros o polos en el
origen de la función a evaluar.

 0


 0


 j
e  
j
e
T1. Se cambia en la función la variable s por y se obtiene la gráfica polar

j








20
4
5
)
5
)(
4
(
)
(
)
5
)(
4
(
)
( 2
2
3
j
j
K
j
j
j
K
j
G
s
s
s
K
s
G












se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador
)
20
(
9
)
20
(
9
)
20
(
9
)
( 2
2
2
2
2
2





















j
j
j
K
j
G








400
41
)
20
(
400
41
9
)
( 3
5
2
2
4








K
j
K
j
G
Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde hasta
0





0













 j
K
K
j
K
G
400
9
)
0
(
400
)
0
(
41
)
0
(
)
)
0
(
20
(
400
)
0
(
41
)
0
(
9
)
0
( 3
5
2
2
4



0
0
)
(
400
)
(
41
)
(
)
)
(
20
(
400
)
(
41
)
(
9
)
0
( 3
5
2
2
4
j
K
j
K
G 
















Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores
muy pequeños para aproximar y valores muy grande de para aproximar
cuando
0

 
.




Entonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar.
0





como a la frecuencia  el valor es final es 0+j0,
se tiene que la gráfica polar llega a cero por el
cuadrante superior izquierdo. Como se inició en el
cuadrante inferior izquierdo, existe un cruce por el
eje real y su valor se obtiene al igualar a cero la
parte imaginaria de la ecuación resultante:




400
41
)
20
(
0 3
5
2





K
j
20




 2
20
0 
y esta frecuencia se evalúa en la parte real
400
)
20
(
41
)
20
(
9
)
Re( 2
4




K

180
1
)
Re(
K



Se obtiene otro punto para la
gráfica. Con ellos se dibuja de
manera aproximada la gráfica
polar. (Nota: para una mejor
aproximación de la gráfica, se
pueden evaluar más frecuencias)

 j
180
K

Figura. Gráfica polar.
jv
u

T2. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde 90º a -90º

j
e

)
5
)(
4
(
)
(



s
s
s
K
s
G
)
5
)(
4
(
)
(





 


 j
j
j
e
e
e
K
j
G

Infinito
Infinito
pequeño
pequeño





 3
3
0
)
)(
(
)
( j
j
j
j
j
e
e
K
e
e
e
K
j
G 







Plano s

 j



s


 0



 j


 0

Contorno s

2
T
El punto ej90 en el plano s mapea al punto
0-270 = 0-90 en el plano F(s).
El punto ej80 en el plano s mapea al punto
0-240 en el plano F(s).
El punto e-j30 en el plano s mapea al punto 090 .en
el plano F(s).
Se evalúan todos los puntos posible hasta deducir
que el tramo 2 forma en el plano F(s)

El resultado es tres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección
antihoraria.
jv
u
0

radio
Plano F(s), tramo 2.
T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1)

 0




180
K

jv
u
Plano F(s), tramo 2.
T4. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde -90º a 90º

 j
e
)
5
)(
4
(
)
(



s
s
s
K
s
G
)
5
)(
4
(
)
(


 






 j
j
j
j
e
e
e
K
e
G
muy muy pequeño relativ, grande







 j
j
j
j
e
e
K
e
K
e
G 




)
5
)(
4
(
)
(
Plano s

 j



s


 0



 j


 0

Contorno s

2
T
El punto en el plano s mapea al punto . en
el plano F(s).
º
90

e
 º
90
e

El punto en el plano s mapea al punto .
en el plano F(s).
º
45

e

º
45
e

P


 j

 0



j
Plano F(s)
Contorno . Tramo 4.
P


0






 j
180
K

Figura. Gráfica de Nyquist.
jv
u
T1
T3
T4
T2
1

Criterio de Nyquist:
Como el sistema no tiene polos inestables en
lazo abierto, para que sea estable se necesita
que no haya rodeos al punto -1. Entonces el
rango de estabilidad es
180
0 
 K

Criterio de estabilidad de Nyquist en Matlab
Utilizando el comando nyquist de Matlab se obtiene la
traza polar de una función de transferencia para todo el
rango de frecuencias de -. Analizando esta traza
podemos verificar si se presentan cualquiera de los
siguientes casos:
1. Si el punto -1 + j0 no está rodeado, entonces el
sistema será sistema es estable siempre y cuando
no haya polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho
del plano “s”; de lo contrario, el sistema será
inestable.

2. Si el punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces
en sentido contrario al de las agujas del reloj,
entonces el sistema será estable si el número de
rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj
es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano
derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema será
inestable.
3. Si el punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces
en el sentido de las agujas del reloj, entonces el
sistema será inestable.

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