ESTADÍSTICA CAPÍTULO 04 MEDIDAS DESCRIPTIVAS Y DIAGRAMA DE CAJAS.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
AYACUCHO- PERÚ DAMF 2020-I

TEMA:
MG. AGUILAR ALTAMIRANO, ERICK E. DAMF 2020-I

TEMA:
Son los cálculos numéricos que se realizarán con todos los datos
de la población o todos los datos de la muestra.
MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN
O VARIABILIDAD
MEDIDAS DE FORMA
Estadísticos de tendencia central
1. Media aritmética
2. Media aritmética ponderada
3. Media aritmética total a partir
de medias de sus partes.
4. Media geométrica
5. Media armónica
6. Media cuadrática
7. Media cúbica
Estadísticos de localización:
1. Moda
2. Cuantilas ó Fractilas
Mediana; Cuartiles; Deciles; Percentiles
• Varianza
• Desviación típica
• Coeficiente de variación
• Desviación media
• Rango
• Rango intercuartílico
• Desviación Cuartílica.
• Momentos
• Indice De Asimetría
• Indice de Kurtosis

TEMA:
SIGLA Cursos CRED Nota
IC-343 Métodos Numéricos 3 12
IC-345 Resistencia de Materiales I 5 13
IC-341 construcciones I 4 8
IC-347 Mecánica de Fluidos I 4 11
IC-337 Laboratorio Mecánica de Fluidos I 1 15
IC-349 Tecnología de concreto 3 8
IC-333 Laboratorio Tecnología de concreto 1 11
Índice Académico 2020
Un estudiante de la carrera de ingeniería civil
quiere saber cuál es el índice académico que obtuvo durante el
ciclo 2020 I, para ello construye su cuadro de cursos y las notas
que obtuvo:

TEMA:
SIGLA Cursos CRED Nota
IC-343 Métodos Numéricos 3 12
IC-345 Resistencia de Materiales I 5 13
IC-341 construcciones I 4 8
IC-347 Mecánica de Fluidos I 4 11
IC-337 Laboratorio Mecánica de Fluidos I 1 15
IC-349 Tecnología de concreto 3 8
IC-333 Laboratorio Tecnología de concreto 1 11
Índice Académico 2020
1
1
3 12 5 13 4 8 4 11 1 15 3 8 1 11
10.81
3 5 4 4 1 3 1
n
i i
i
n
i
i
p x
MP
p
=
=
 +  +  +  +  +  + 
= = =
+ + + + + +



TEMA:
Se desea obtener la media aritmética de las edades de los
150 alumnos del curso de Estadística en el ciclo 2020 I de la escuela
Profesional de Ingeniería Civil, para realizar el trabajo en equipo, se divide
el curso en cuatro grupos diferentes y se encomienda a tres compañeros
del mismo curso obtener los datos y calcular la media aritmética de cada
grupo; para luego presentarlo al docente. ¿cuál será la edad promedio de
los 150 estudiantes?
Grupo promedios Núm. De Est.
A 18.7 35
B 20.1 46
C 19.5 29
D 22.5 40
150
Total

TEMA:
Grupo promedios Núm. De Est.
A 18.7 35
B 20.1 46
C 19.5 29
D 22.5 40
150
Total
1
1
18.7 35+20.1 46+19.5 29+22.5 40 3044.6
20.3 años
35+46+29+40 150
n
i i
i
n
i
i
n x
x
n
=
=
   
= = = 



TEMA:
En una empresa quieren saber la proporción media de mujeres en los diferentes
departamentos. Para ello, se recoge el porcentaje de mujeres en los cinco principales
departamentos.

TEMA:
5
32.6 53.5 28.9 48.2 67.4 43.9%
MG =     =
Cuando se quiera determinar la media de porcentajes, calculamos la media
geométrica que es más representativa.

TEMA:
Un tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en
mal estado que no permitían correr. Los primeros 100 km los recorre a
120km/h, los siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los
terceros a 100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Para calcular el promedio
de velocidades, calculamos la media armónica.

TEMA:
Ésta no tiene un uso muy extenso en el mundo científico. Suele utilizarse principalmente para
calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.
4
52.61
1 1 1 1
120 20 100 130
MH = =
+ + +

TEMA:
Un profesor pide a sus alumnos que realicen
un experimento en el laboratorio. Espera que los alumnos obtengan 5
litros de ácido clorhídrico. Anota en una tabla una columna con las
cantidades de ácido obtenidos por cada alumno y en la otra el error por
falta o exceso de la cantidad esperada, de la siguiente manera:

TEMA:
Al profesor no le importa si el error se produjo por falta o por exceso, sino la cantidad de
ácido de diferencia respecto a la esperada. Para ello, utiliza la media cuadrática:
2
2 2 2 2 2 2
1 0.68 ( 0.38) ( 1.02) (1.12) (0.23) ( 0.72)
0.76
6
n
i
i
x
RMS
n
= + − + − + + + −
= = =


TEMA:
2
S S
=
. 100%
S
C V
x
= 

TEMA:
PARA DATOS TABULADOS
1
1 2
i
d
Mo L A
d d
 
= +  
+
 
i
L
1 1 2 1
;
i i i i
d f f d f f
− +
= − = −
i
f
: Límite inferior del intervalo modal.
A : Amplitud del intervalo modal
: Frecuencia del intervalo modal.

TEMA:
50%
50%
25% 25% 25% 25%
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
P1 P10 P25 P99
P50 P75 P90
1%
Me=Q2=D5=P50
Q1=P25 Q3=P25
P10=D1 P90=D9
Q1 Q2 Q3
Me
MEDIANA:
CUARTIL:
DECIL:
PERCENTIL:

TEMA:
3 1
.
R I Q Q
= −
3 1
2
Q Q
Q
−
=

TEMA:
PARA DATOS TABULADOS
1 1
/ /
1 1
i i
j k i i j k i i
i i i i
j j
n F H
k k
C L w C L w
F F H H
− −
− −
   
   
− −
   
   
   
   
= +  = +
− −
   
   
   
/
j k
C
1,2,...( 1)
j k
= −
 )
1
;
i i i
I L L +
=
i
w
1
i i
F y F−
i : Es la enumeración de las clases existentes en la tabla de frecuencia.
k : Es la división de las frecuencias acumuladas en “k” partes iguales.
: Es la j-ésima cuantila
: Es el intervalo donde se encontrará la cuantila, denominado también clase cuantila.
: Es el ancho del intervalo o amplitud de clase.
: Son las frecuencias absolutas acumuladas.

TEMA:
FÓRMULA PARA EL PERCENTIL
1
1
100
i
j i
i i
j
n F
P L A
F F
−
−
 
 
−
 
 
 
 
= +
−
 
 
 
La fórmula corresponde al caso especial donde k =100 es decir al percentil.

TEMA:
Observación:
Si As < 0 ? la distribución será asimétrica negativa.
Si As = 0 ? la distribución será simétrica.
Si As > 0 ? la distribución será asimétrica positiva.
( )( ) ( )( )
2 2
3 3
3 3
. .
;
1 2 1 2
N M n m
As As
N N n n s

= =
− − − −
Medida de Fisher
Pearson (valor en spss)
Coeficiente de Karl Pearson (Aproximación)
( )
3 x Me
As
s
−

x Md
As
s
−

Coeficiente de yule bowley o medida cuartílica ó
media asimétrica
Ó
3 1
3 1
2
Q Me Q
As
Q Q
− +
=
−
75 50 25
75 25
2
P P P
As
P P
− +
=
−
Ó
La Medida de Bowley varía entre -1 y 1

TEMA:
x Md Mo
  x Md Mo
= = x Md Mo
 

TEMA:
Medida de Fisher
Kurtosis de Pearson (valor en spss)
Medida basada en Cuartiles y Percentiles
( )
4
4
1
4 4
n
i
i
x x
M
k
s ns
=
−
= =
 ( )
4
4
1
4 4
k
i i
i
f m x
M
k
s ns
=
−
= =

DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS
Nota: Este estadístico se compara con:
Si k < 3 ? la distribución es platicútica
Si k = 3 ? la distribución es normal o mesocúrtica
Si k > 3 ? la distribución es leptocúrtica
( )
( )( )
( )
( )
2
4
4
. 1 3 1
1 2 ( 3) 2 ( 3)
n n n
K m
n n n s n n
+ −
= −
− − − − −
3 1
3 1
90 10 90 10
2
( ) 2( )
Q Q
Q Q
k
P P P P
−
−
= =
− −
K (letra griega minúscula kappa) = Coeficiente percentil
de curtosis
Nota: Este estadístico se compara con:
Si k< 0,263? la distribución es platicúrtica
Si k= 0,263? la distribución es normal o mesocúrtica
Si k> 0,263? la distribución es leptocúrtica
Esta medida no es muy utilizada pero para cuestiones
prácticas es buena la aproximación.

Es un gráfico para variables cuantitativas, permite
observar al valor máximo, mínimo, los cuartiles, rango
intercuartílico, la variabilidad y forma de los datos, datos
raros (atípicos y extremos, si los hubiera) además permite
establecer, en el mismo gráfico, comparaciones entre
subgrupos, pueden graficarse de manera vertical u
horizontal
MG. AGUILAR ALTAMIRANO, ERICK E.

Áreasdedescripciónestadísticadeunavariablecuantitativa
Tendencia central
=
RESUMIR
Posición no central
=
CA
TEGORIZAR
o Moda
o Mediana
o Media aritmética
o Cuartiles
o Deciles
o Percentiles
Dispersión
=
VARIABILIDAD
Forma
=
SIMETRÍA y CONCENTRACIÓN
o Varianza
o Desviación típica
o Asimetría
o Curtosis

El gráfico de caja se construye en base a cinco medidas estadísticas: el valor mínimo, el valor
máximo, la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil de los datos.
Morfología del gráfico de caja en caso de analizar una variable NORMALMENTE distribuida.

Lo más llamativo del gráfico es la «caja», esta
se define a partir del rango intercuartílico (Q3 –
Q1) que contendrá al 50% de los valores centrales
La forma de la caja puede ser:
a) Cuadrada
b) Rectangular –achatada
c) Rectangular -expandida
Las distintas morfologías describe si,
el 50 por ciento de los valores
centrales, (a) se distribuyen de forma
normal o, (b) por el contrario sus
valores se concentran o, (c)se
dispersan

Morfologíadelacaja
En este gráfico de caja, en el que se analiza
la tasa bruta de suicidio en el mundo, según
el sexo de las personas, se aprecia que
“los hombres se suicidan mas que
las mujeres” (Ver valor diferencial de
sus respectivas medianas, 13,10
frente a 3,8).
La diferente varibailidad de las
distribuciones se expresa a través de
la forma de las cajas. La mayor
dispersión en la distribución de la tasa
de suicidios en hombres, se ilustra con
la expansión de la caja (distribución
platicurtica) que contrasta con la
mayor homgeniedad de la mujeres.

Laposicióndelamediana
La línea que divide la caja representa la mediana de la distribución y es un detector
de simetría.
Si la línea se sitúa en el centro de la caja la distribución es simétrica. Si por el
contrario se aproxima a los límites de la caja (Q1 ó Q3) tendremos un diagnóstico de
asimetría, positiva o negativa respectivamente.

La posiciónde la mediana
FUENTE: ‘Life expectancy at birth’ (2012). UN Statistics Division_Social indicators
La representación
gráfica de esperanza
de vida al
nacer describe una
distribución ‘asimétrica
negativa’
LA MAYORÍA DE LOS
PAÍSES SE SITÚAN
EN LOS VALORES
SUPERIORES DE LA
VARIABLE.

La posiciónde la mediana
La representación
gráfica de renta per
capita describe una
distribución ‘asimétrica
positiva’.
LA MAYORÍA DE LOS
PAÍSES SE SITUAN
EN LOS VALORES
INFERIORES DE LA
VARIABLE.
FUENTE: ‘Per capita gross domestic product (GDP) in US dollars’ (2012). UN Statistics Division_Socialindicators

LOS BIGOTES
De la caja se prolongan dos segmentos (superior e inferior) denominados por Tukey bigotes –whisker- que
señalan el límite para la detección de valores atípicos.
La longitud de los bigotes expresa la variabilidad de la distribución, en el 25 por ciento de los valores bajos
(por debajo de Q1) y altos (por encima de Q3)

Longituddelosbigotes
La tasa bruta de suicidio entre hombres y
mujeres muestra la diferencial variabilidad
de las distribuciones, por encima y por
debajo de los valores centrales..

Son aquellos valores de una base de datos, que son
extremadamente mayores o menores (diferentes al resto),
pudiendo ser causados por algún error o caso extremo.
1 1.5
Min Q RI
= − 
3 1.5
Max Q RI
= + 
1 3
Min Q RI
= − 
Inferiores: Son aquellos valores menores a
Superiores: Son aquellos valores mayores a
3 3
Max Q RI
= + 

1 1.5
Min Q RI
= − 
3 1.5
Max Q RI
= + 
1 3
Min Q RI
= − 
3 3
Max Q RI
= + 
1
3
min ; .
1.5 ; .
max ; .
1.5 ; .
X si no existenval atípicos
L
Q RI siexistenval atípicos
X si no existenval atípicos
U
Q RI siexistenval atípicos

= 
− 


= 
+ 


Valoresatípicos y extremos
Los países identificados
como valores extremos
(rentas que se alejan en
más de 3 unidades de
longitud de caja del tercer
cuartil) se representan con
una estrella: Mónaco,
Liechtenstein,
Luxemburgo, Noruega,
etc.
Los países identificados
como valores atípicos
(rentas que se alejan en
más de 1,5 unidades de
longitud de caja del tercer
cuartil) se representan
mediante un círculo: San
Marino, Dinamarca,
Finlandia, Austria, etc.

Correspondencia gráficode
caja
Y la curvanormal
Fuente: “Box plot”, Wikipedia, Boxplot and a probability density function of a Normal N(0,1σ2) Population,
disponible en línea https://en.wikipedia.org/wiki/Box_plot#/media/File:Boxplot_vs_PDF.svg

Histogramaygráficodecaja

Perspectivacomparada
El gráfico de caja
permite comparar,
EN EL MISMO
GRÁFICO, distintos
subconjuntos
referidos a la
misma variable.
En este ejemplo,
vemos las
distribuciones de la
tasa de población
encarcelada, según
continente.

Culturaestadística
El gráfico de caja fue propuesto por
John Wilder Tukey (1915-2000).
Tukey fue un polifacético científico:
matemático, químico y estadístico. En
1977 publicó el libro «Exploratory
Data Analysis» (popularizado por su
acrónimo EDA) en el cual propone
una nueva didáctica de la enseñanza
de la estadística descriptiva mediante
innovadoras herramientas. Para el, la
representación gráfica y sinténtica de
los datos era un inestimable potencial:
Exploratory data analysis is detective work-
-numerical detective work- or
detective work- -or graphical
work. A detective investigating
counting
detective
a crime
needs both tools and understanding
(Tukey, 1977: 1)

Fuente de los datosestadísticos
información sobre la participación de las mujeres en los parlamentos
nacionales de distintos países del mundo la distribución está referida a
información actualizada a 1/01/2013.

Recursosparaelanálisisdeladistribución
Medidas estadísticas
% Mujeres
en los
parlamentos
N 190
Tendencia central
Media 18,92
Mediana 17,12
Dispersión
Desviación típica 11,48
Varianza 131,71
Coeficiente de variación 60,68 %
Rango 56,25
Mínimo 0,00
Máximo 56,25
Forma
Asimetría 0,599
Curtosis -0,014
Posición no central
Percentiles 25 10,51
50 17,12
75 25,06

El gráfico de caja y sus componentes
Q1= 10,51 %
Q3= 25,06 %
2 unidades
de análisis
ATIPICOS
Bigote superior
largo
> VARIABILIDAD
Me= 17,12 %,
LIGERAMENTE desplaza hacia Q1
Bigote inferior
corto
< VARIABILIDAD
El eje vertical
muestra la
escala de
valores de la
variable que, en
este caso se
expresa como
un porcentaje
que oscila entre
0,0 (mínimo) y
56,3 (máximo).

Estadísticosdescriptivos
Tendenciacentral
Me= 17,12 %,
LIGERAMENTE desplaza hacia Q1
El promedio de mujeres en los
parlamentos es de tan sólo 18,9
por ciento.
La distribución está afectada por
un diagnóstico de asimetría
positiva, por lo que parece más
adecuado referirse a la mediana
que, rebaja el centro de gravedad
en dos puntos porcentuales la
presencia femenina en las
asambleas nacionales (17,12 %).

Dispersión
Bigote superior
largo
> VARIABILIDAD
Bigote inferior
corto
< VARIABILIDAD
Desde el punto de vista de la
variabilidad, el promedio de alejarse de
la media aritmética es 11,48 puntos
(desviación típica) y, por tanto, la
distribución presenta una gran
heterogeneidad (el coeficiente de
variación -cociente entre Sx y
promedio- alcanza un 60,62 %).
Ello implica que la participación de las
mujeres en los parlamentos describe
situaciones muy dispares que oscilan
entre ninguna mujer en la Asamblea
Nacional (0,0 % = mínimo, Arabia
Saudí) a un máximo de 56,25 por
ciento (Ruanda).

Posiciónno central
Bigote inferior representa
el 25 % de países con mas
baja representación de
mujeres en parlamentos
[0,0 – 10,51 %]
Este desolador
diagnóstico encubre
realidades muy
diferentes entre países.
El 25 por ciento de los
países con más baja
representación 0,0 -
10,5 %.
Asombra comprobar
que Japón, uno de los
países con mayor
desarrollo económico y
tecnológico del mundo,
se sitúe entre los
territorios más
desiguales (7,92 %).

Posiciónno central
Bigote superior
representa el 25 % de
países con mas alta
representación demujeres
en parlamentos
[25,06 – 45,20 %]
El 25 por ciento de los países
con mayor representación
25,06 – 45,20 %.
Sorprende que sea Ruanda
el territorio con mayor
porcentaje de diputadas
(56,25 %), por delante de los
países nórdicos -Suecia,
Finlandia, Islandia y
Noruega-, vanguardia
histórica de la participación
parlamentaria de las mujeres.

Perspectivacomparada,segúnsexo
Si establecemos
la comparación,
según sexo,
apreciamos un
evidente
diagnóstico
desigualdad.
de
Mientras
mediana
la
de la
representación
parlamentaria
de varones se
sitúa en 82,9 %,
la de las
mujeres sólo
alcanza el 17,1
%

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