Este documento describe diferentes medidas de tendencia central como la media, mediana y moda. Explica que las medidas de tendencia central resumen cómo se agrupan los datos alrededor de un punto central. Define la media como la suma de los valores dividida por el número total de valores. La mediana es el valor central cuando los datos están ordenados. La moda es el valor que más se repite. También introduce conceptos como cuartiles, deciles y percentiles para dividir los datos en partes iguales.

1. UNIDAD 2. MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
DOCENTE: ING. GINETH SALO

2. 1 INTRODUCCIÓN

3. Son medidas estadísticas que se usan para
describir como se puede resumir la
localización de los datos.
Ubican e identifican el punto alrededor del
cual se centran los datos.
Las medidas de tendencia central nos indican
hacia donde se inclinan o se agrupan más los
datos.
Las más utilizadas son: la media, la mediana
y la moda.

4. 2 MEDIA O MEDIA
ARITMETICA

5. Expresa como los datos se agrupan
alrededor de uno central o promedio.
Es la medida mas popular. Es la suma
de las observaciones entre el número
de observaciones.

6. Se tienen 6 niños y se desea conocer el promedio
o la media de edad.
x = 6
i=1xi = 7 + 3 +9 +2 + 4 +6 == 5.16
6 6
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS
NOMBRE EDAD
JOSÉ 7
MARIA 3
LUIS 9
MARTA 2
LUCY 4
PEDRO 6

7. Calcular el promedio para cada variable
EJEMPLO DE DATOS NO AGRUPADOS
EDAD MATERIA CRÉDITOS CALIFICACIÓN
18 Bioquímica 5 3,8
21 Anatomía 2 4,1
30 Epidemiología 2 4,5
17 Investigación 3 4,3
16 Ética 1 3,9
20 Patología 2 3,5
24 Inglés 1 4,2
La edad
promedio es de:
20,86 = 21 años
El crédito
promedio es
de: 2,29 = 2
créditos.
La calificación
promedio es de:
4,04 = 4 puntos

8. - MEDIA ARITMETICA O DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS
x= fi * xc
N
∑: signo de sumatoria.
N = numero de datos de la población.
fi: frecuencia absoluta.
Xc: Marca de clase o punto medio.
- MEDIA ARTITMETICA PONDERADA O DATOS AGRUPADOS POR
FRECUENCIA
x= (x1*f1) + (x2*f2)+(x3*f3) + …. + (xn*fn)
N
MEDIA ARITMETICA EN DATOS AGRUPADOS

9. Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1,
respectivamente, su media aritmética es:
EJEMPLO CON DATOS AGRUPADOS
Frecuencia
5 3
8 2
6 4
2 1
TOTAL 10
Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1,
respectivamente, su media aritmética es:
x= (x1*f1)+(x2*f2)+(x3*f3)+ ….+(xn*fn) = 5(3) + 8(2) + 6(4) + 2(1) = 5,7
N 10

10. Para los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en una
tabla de frecuencia:
EJEMPLO CON DATOS AGRUPADOS
Intervalo de
clase
Fi
5,2 – 6,0 3
6,1 – 6,9 5
7,0 – 7,8 9
7,9 – 8,7 7
8,8 – 9,6 5
9,7 – 10,5 3
Total 32
x=  fi * xc
N
Xc
5,6
6,5
7,4
8,3
9,2
10,1
Fi*xc
16,8
32,5
66,6
58,1
46,0
30,3
250,4
X= 250,4 = 7,83
32

11. • La media aritmética viene expresada en las
mismas unidades que la variable.
• En su cálculo intervienen todos los valores de la
distribución.
• Es el centro de gravedad de toda la distribución,
representando a todos los valores observados.
• Es única.
• Su principal inconveniente es que se ve afectada
por los valores extremadamente grandes o
pequeños de la distribución.
VENTAJAS E INCONVENIENTES

12. 3 MEDIANA

13. En ocasiones se le llama media posicional,
porque queda exactamente en la mitad de
un grupo de datos, luego de que los datos se
han colocado de forma ordenada.
En este caso la mitad (50%) de los datos
estará por encima de la mediana y la otra
mitad (50%) estará por debajo de ella.
La mediana es el valor intermedio cuando los
valores de los datos se han ordenado.
DEFINICIÓN

14. La mediana (Me) es el “valor central”, el valor del
medio después de ordenar los datos.
Para hallar la mediana de una distribución debemos:
1. Ordenar las observaciones en orden ascendente.
2. Si el número de observaciones n es impar, M es la
observación central de la lista ordenada. Me se
halla contando (n+1)/2 observaciones desde el
comienzo de la lista.
3. 3. Si el número de observaciones n es par, Me es la
media de las dos observaciones centrales de la
lista ordenada.
DEFINICIÓN

15. Los salarios de siete empleados fueron los
siguientes (en 1000s):
28, 60, 26, 32, 30, 26, 29.
¿Cuál es la mediana?
Ejemplo: Número. de observaciones es impar.
Primero, ordenar los salarios.
Luego, localizar el valor en el medio.
26, 26, 28, 29, 30, 32, 60
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS

16. Supongamos que se agrega al grupo el salario de
un empleado más ($31000)
28, 60, 26, 32, 30, 26, 29, 31.
¿Cuál es la mediana?
Ejemplo: Número. de observaciones es par.
Primero, ordenar los salarios.
Luego, localizar el valor en el medio.
Hay dos valores en el medio.
26, 26, 28, 29, 29,5, 30, 31, 32, 60
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS

17. PROMEDIO= Talla = 2157 = 166cm
n 13
El 50% de los niños tienen estaturas menores a 168cm y el otro 50%
estaturas mayores a 168cm.
EJEMPLO CON DATOS NO AGRUPADOS

18. Calcular la mediana para cada variable
EJEMPLO DE DATOS NO AGRUPADOS
EDAD MATERIA CRÉDITOS CALIFICACIÓN
18 Bioquímica 5 3,8
21 Anatomía 2 4,1
30 Epidemiología 2 4,5
17 Investigación 3 4,3
16 Ética 1 3,9
20 Patología 2 3,5
24 Inglés 1 4,2
EDAD
16
17
18
20
21
24
30
CRÉDITOS
1
1
2
2
2
3
5

19. Donde:
Li: Limite inferior real de la clase que contiene la mediana. n: tamaño de
la muestra.
Fi-1 = AFA: Frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene la
mediana.
Fi: frecuencia de clase absoluta de la clase mediana.
(i): Amplitud de clase
Para identificar la clase mediana se divide n/2 y la primera clase que
contenga una frecuencia acumulada mayor que n/2
EJEMPLO DATOS AGRUPADOS

20. Para los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en una
tabla de frecuencia:
EJEMPLO CON DATOS AGRUPADOS
Intervalo de
clase
fi
5,2 – 6,0 3
6,1 – 6,9 5
7,0 – 7,8 9
7,9 – 8,7 7
8,8 – 9,6 5
9,7 – 10,5 3
Total 32
Xc
5,6
6,5
7,4
8,3
9,2
10,1
fi*xc
16,8
32,5
66,6
58,1
46,0
30,3
250,4
Fa
3
8
17
24
29
32
n = 32, entonces n/2 = 32/2 = 16. Buscar la primera frecuencia acumulada mayor
que 16, esa sera la clase mediana
Me = 6,95 + (16 – 8) (0,9)
9
Me = 7,75 = 7,8

21. • Es la medida más representativa en el caso
de variables que solo admitan la escala
ordinal.
• Es fácil de calcular.
• En la mediana solo influyen los valores
centrales y es insensible a los valores
extremos u “outliers ”.
• En su determinación no intervienen todos
los valores de la variable.
VENTAJAS E INCONVENIENTES

22. 4 MODA

23. La moda es el dato que más se
repite o el dato que ocurre con
mayor frecuencia.
Un grupo de datos puede no tener
moda, tener una moda (unimodal),
dos modas (bimodal) o más de dos
modas (multimodal).
DEFINICIÓN

24. a) Se tiene una muestra con valores
20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30.
Mo = 25 es unimodal
b) Se tiene una muestra con valores
20, 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30.
Mo= 20 y 25, se dice que es bimodal.
c) Se tiene una muestra con valores
20, 23, 24, 25, 25, 26, 30 y 30.
Mo= 20, 25 y 30, se dice que es multimodal.
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS

25. El gerente de una tienda de ropa posee la
siguiente información sobre la talla de los
pantalones que se vendieron ayer:
31, 34, 36, 33, 28, 34, 30, 34, 32, 40.
La moda es 34
En muchos casos, la moda nos da
información mas valiosa que la mediana:
33.2.
EJEMPLO DE DATOS NO AGRUPADOS

26. Calcular la moda para cada variable
EJEMPLO DE DATOS NO AGRUPADOS
EDAD MATERIA CRÉDITOS CALIFICACIÓN
18 Bioquímica 5 3,8
21 Anatomía 2 4,1
30 Epidemiología 2 4,5
17 Investigación 3 4,3
16 Ética 1 3,9
20 Patología 2 3,5
24 Inglés 1 4,2
No existe moda
en la edad
El crédito con
mayor
frecuencia es: 2
No existe
moda en la
calificación.

27. En los datos agrupados la Mo es la marca de clase de la clase que
contenga la mayor frecuencia absoluta.
MODA EN DATOS AGRUPADOS
Intervalo de
clase
fi
5,2 – 6,0 3
6,1 – 6,9 5
7,0 – 7,8 9
7,9 – 8,7 7
8,8 – 9,6 5
9,7 – 10,5 3
Total 32
Xc
5,6
6,5
7,4
8,3
9,2
10,1
fi*xc
16,8
32,5
66,6
58,1
46,0
30,3
250,4
Fa
3
8
17
24
29
32
Mo = 7,4

28. También se puede calcular a través de la formula:
Donde
Lir: limite inferior verdadero de la clase modal.
Fi: es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi-1: es la frecuencia de clase absoluta anterior a la clase modal
fi+1: es la frecuencia de clase absoluta posterior a la de la clase
modal.
i: es el intervalo o amplitud de clase.
La clase modal es aquella que contiene la mayor frecuencia
absoluta.
MODA EN DATOS AGRUPADOS

29. d1 = 9 – 5 = 4
d2= 9 – 7 = 2
EJEMPLO EN DATOS AGRUPADOS CON EL USO DE LA FORMULA
Intervalo de
clase
fi
5,2 – 6,0 3
6,1 – 6,9 5
7,0 – 7,8 9
7,9 – 8,7 7
8,8 – 9,6 5
9,7 – 10,5 3
Total 32
Xc
5,6
6,5
7,4
8,3
9,2
10,1
fi*xc
16,8
32,5
66,6
58,1
46,0
30,3
250,4
Fa
3
8
17
24
29
32
Mo = 6,95 + 4 (0,9)
4 + 2
Mo = 7,55 = 7,6
Es mejor utilizar la formula para el calculo de la
moda.

30. - Su cálculo es sencillo.
- Es de fácil interpretación.
- Es la única medida de posición central
que puede obtenerse en las variables
de tipo cualitativo.
- En su determinación no intervienen
todos lo valores de la distribución.
VENTAJAS E INCONVENIENTES

31. 5
CUARTILES,
DECILES Y
PERCENTILES

32. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes.
Cada una de las partes representa una cuarta
parte, o el 25% de las observaciones. Los
cuartiles son percentiles específicos.
Los cuartiles se definen de la siguiente manera
• Q1 = primer cuartil, o percentil 25.
• Q2 = segundo cuartil, o percentil 50 (La
mediana).
• Q3 = tercer cuartil, o percentil 75.
DEFINICIÓN - CUARTILES

33. Para encontrar la posición:
FORMULA DATOS NO AGRUPADOS
Este cuartil equivale
al 50% por lo tanto
también debe de ser
igual a la mediana.

34. • Se dividen los datos en 10 partes iguales.
• Se calcula desde el D1 al D9
DEFINICIÓN - DECILES

35. Para encontrar la posición:
FORMULA DATOS NO AGRUPADOS
Este decil equivale al
50% por lo tanto
también debe de ser
igual a la mediana.

36. • Se dividen los datos en 100 partes iguales
Percentiles
• Se calcula del P1 al P99
DEFINICIÓN - PERCENTILES

37. Para encontrar la posición:
FORMULA DATOS NO AGRUPADOS
Este percentil
equivale al 50% por
lo tanto también
debe de ser igual a la
mediana.

38. De 20 estudiantes tenemos sus
evaluaciones de una examen calcular el
𝑄1,𝐷5, 𝑃75.
5,5,8,7,9,10,7,6,8,7,8,9,10,10,8,7,6,5,9,6
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS

39. Primero debe ordenarse los números de
forma ascendente:
5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10,10,10
𝑄1 = (20+1) = 5.25
4
esta es la Posición y la vamos a buscar en la serie de datos ya
ordenada.
𝑸𝟏 = 6
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS

40. Ahora vamos a calcular el 𝐷5
5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10,10,10
• 𝐷5 = 5(𝟐𝟎+𝟏) = 10.5
10
esta es la Posición y la vamos a buscar en la serie de datos
ya ordenada.
Por lo tanto se calcula después de haber encontrado la
posición que es 10.5 se realiza lo siguiente:
7+8 = 7.5
2
por lo tanto la mitad es: 𝐷5 =7.5
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS

41. Ahora vamos a calcular P75:
5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10,10,10
𝑃75 = 75(20+1) = 15.75
100
esta es la Posición y la vamos a buscar
en la serie de datos ya ordenada.
𝑷𝟕𝟓 = 𝟗
EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS

42. Fórmula:
Donde:
• 𝑄𝑛,𝐷𝑛, 𝑃𝑛= Cuartil, decil, y percentil que desea calcular
• Li= Limite real inferior donde se encuentra la frecuencia
del cuartil, decil, y percentil.
• 𝑓𝑎 = Frecuencia acumulada anterior a la 𝑓𝑄𝑛,𝐷𝑛,𝑃𝑛
• 𝑓𝑄,𝐷,𝑃= Frecuencia de la clase cuartil, decil y percentil
donde se localiza
• C= Amplitud de clase
CUARTILES DECILES Y PERCENTILES (DATOS AGRUPADOS)

43. En un Banco se tomo la muestra de 40 personas
que realizan sus diferentes movimientos, para el
banco es de gran importancia atender a sus
clientes lo más pronto posible.
Desean saber de las cuarenta personas que
tiempo se tardan en atender al 25%, 50% y 75%.
Para esto hay que calcular: Las medidas de
posición.
EJEMPLO

44. 𝑄1 = 40 = 10 posición
4
Aplicación de fórmula:
𝑄1 = 8.15 + (10 − 9)∗ 1.1
11
𝑄1 = 8.25
D5= 5(40) = 20 Posición
10
𝐷5 = 8.15 + (20 − 9) ∗ 1.1
11
D5= 9.25
EJEMPLO - SOLUCIÓN
INT. CLASE f MARCA DE
CLASE
fa
7,1 – 8,1 9 7,6 9
8,2 – 9,2 11 8,7 20
9,3 – 10,3 8 9,8 28
10,4 – 11,4 7 10,9 35
11,5 – 12,5 1 12,0 36
12,6 – 13,6 1 13,1 37
13,7 – 14,7 1 14,2 38
14,8 – 15,8 2 15,3 40
TOTAL 40

45. P75 = 75(40) = 30 posición
100
Aplicación de fórmula:
P75 = 10,35 + (30 − 8)∗ 1.1
7
P75 = 10,66
EJEMPLO - SOLUCIÓN
INT. CLASE f MARCA DE
CLASE
fa
7,1 – 8,1 9 7,6 9
8,2 – 9,2 11 8,7 20
9,3 – 10,3 8 9,8 28
10,4 – 11,4 7 10,9 35
11,5 – 12,5 1 12,0 36
12,6 – 13,6 1 13,1 37
13,7 – 14,7 1 14,2 38
14,8 – 15,8 2 15,3 40
TOTAL 40

46. En el Banco podemos argumentar que:
• el 25% de los 40 clientes que esperaron
para ser atendidos 8 minutos con 25
segundos.
• El 50 % de los 40 clientes para que fueran
atendidos tuvieron que esperar 9 minutos
con 25 segundos por lo tanto fueron 20
personas.
• El 75% de los 40 clientes esperaron mas de
11 minutos.
CONCLUSIÓN

47. 1) Encontrar la media aritmética de los números 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2,
8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5 y 4.
2) De 100 números, 20 fueron 4, 40 fueron 5, 30 fueron 6 y los
restantes fueron 7. Encuéntrese la media aritmética de estos
números.
3) En los cajeros automáticos de cinco lugares de una ciudad
grande, se registró la cantidad de transacciones por día. Los datos
fueron 35, 49, 225, 50, 30, 65, 40, 55, 52, 76, 48, 325, 47, 32 y 60.
Encontrar: a) la cantidad mediana de transacciones y b) la cantidad
media de transacciones.
4) La altura promedio de las 35 personas adultas de una aldea es de
1,65m. Al analizar solo las alturas de los 20 hombres, la media es de
1,70m ¿Cuál es el promedio, en metros, de las alturas si
consideramos solo a las mujeres?
EJEMPLOS PARA PRACTICAR