Tema de estadística

1. PAUL ESCOBAR CARDEÑA
Ing. José A. Escobar Díaz
jescobardiaz128@hotmail.com
1

3. ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS
UNIDIMENSIONALES
a) Frecuencia Absoluta (fi)
Es el número de veces que se presenta un valor o categoría
de una variable. Se representa por fi.
f1 + f2 + f3 + …………….……fk = n
b) Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi)
Es el número de datos igual o inferior (“menor o igual que”)
al valor considerado de la variable o la suma de las
frecuiencias absolutas menor o igual que el valor
considerado de la variable. Es decir:
F1 = f1
F2 = f1 + f2
-----------------------------
Fk = f1 + f2 + ……….+ fk 3

4. ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS
UNIDIMENSIONALES
c) Frecuencia Relativa (hi)
Es igual a la frecuencia absoluta sobre el numero de
observaciones.
h1 =f1/n
b) Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)
Es el resultado de cada frecuencia absoluta acumulada
dividida entre el numero total de observaciones.
H1 = F1/n
H2 = F2/n
-----------------------------
Hk = Fk/n
4

5. 1. Identificar el tipo de variable cuantitativo discreto o
continuo.
2. Determinar el mayor (Xmax) y el menor (Xmin).
3. Calcular R donde R = Xmax – Xmin.
4. Si la variable es cuantitativa discreta
– El rango es pequeño, entonces trabajar con los valores
originales ordenados de las variables.
– Si el rango es grande entonces trabajar con los datos
ordenados agrupados en intervalo de clase (ver
Sturges).
5
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

6. 5. Si la variable es cuantitativa continua:
– Determinar el numero de intervalos (entre 5 y 20).
– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n
– Si n = 50
– m = 1 + 3,322log(50) = 6,6439
– Se redondea a m = 7 intervalos de clase.
– Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la
derecha.
– El menor del intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) – menor
unidad/2.
– Marca de clase= (xmax 1er intervalo - X`min )/2
6
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

7. Problemas
• Si la variable es cuantitativa continua:
– Determinar el numero de intervalos (entre 5 y 20).
– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n
– Si n = 50
– m = 1 + 3,322log(50) = 6,6439
– Se redondea a m = 7 intervalos de clase.
– Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la
derecha.
– El menor del intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –
menor unidad/2.
– Marca de clase= (xmax 1er intervalo - X`min )/2
7

9. Distribución de Frecuencias
Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos
1 1 7 1 13 2 19 1 25 2
2 1 8 0 14 1 20 4 26 2
3 0 9 5 15 5 21 1 27 1
4 2 10 2 16 4 22 2 28 1
5 2 11 1 17 5 23 1 29 2
6 2 12 2 18 2 24 4 30 1
9

10. Distribución de Frecuencias
x fi h1 Fi Hi hi% Hi%
0 2 0.067 2 0.067 6.67 6.667
1 11 0.367 13 0.433 36.67 43.333
2 11 0.367 24 0.800 36.67 80.000
3 3 0.100 27 0.900 10.00 90.000
4 3 0.100 30 1.000 10.00 100.000
Total 30 100
10

12.  Se desea conocer la distribución de un proceso
mediante la elaboración de una Tabla de
Frecuencias y un Histograma:
a) Recopilar datos, mínimo que sean 50 datos
y 100 datos como deseable.
b) Encontrar el valor máximo (Xmax) y el
valor mínimo (Xmin)
c) Calcular el “intervalo de clase” (c), el cual
debe ser múltiplo de la unidad mínima de
medición.
12
Problema Nº 01:

13. 27,9
27,9
28,1
27,8
27,8
28,1
28,0
28,0
28,3
27,8
28,0
28,3
28,4
27,8
27,9
28,1
28,3
27,6
27,2
27,5
28,8
28,1
27,6
27,9
27,7
28,1
28,4
28,5
28,0
28,2
28,1
28,0
28,3
28,2
27,9
27,5
28,3
27,6
28,0
28,3
28,0
28,1
28,4
28,1
28,0
28,1
27,8
28,0
28,3
27,8
27,6
28,0
27,8
28,3
28,2
27,5
27,9
28,0
27,9
27,9
27,9
28,1
28,5
27,9
28,0
28,9
28,6
28,3
28,6
28,7
28,5
27,8
27,9
27,8
28,1
28,0
27,9
27,9
28,0
27,5
28,1
27,8
28,0
27,9
27,7
28,4
28,1
27,6
28,1
27,8
27,8
27,9
28,3
27,9
28,3
27,7
27,9
28,1
27,7
28,313

14. c = (Xmax – Xmin)/K
c = (28,9 – 27,2)/10 = 0.17 => 0.2
K = número de clases (número de barras en el
gráfico), y que por experiencia se sugiere que
tome los siguientes valores:
14
NUMERO DE DATOS VALORES DE K
de 50 a 100 Aprox. de 6 a 10
de 100 a 200 Aprox. de 7 a 12
mas de 250 Aprox. de 10 a 20
Problema Nº 01 (continua):
JAPONES

15. d) Se calcula el límite de la 1era clase.
Xmin – Unidad mínima /2 = 27.2 - 0.1/2= 27.15
e) Se calcula la marca de clase de cada intervalo.
Punto medio = (Limite superior – Limite inferior)/2
f) Se llena la Tabla de Frecuencia
g)Se va marcando la clase donde corresponde cada
dato.
h)Se suman las marcas de clase y se determina la
frecuencia de cada clase (fi, Fi, hi y Hi).
i)Se hace una grafica de barras, en donde el eje de
“X” representa los valores de medición (las clases),
y el eje “Y” la frecuencia . 15
Problema Nº 01 (continua):

16. CLASE MC MARCAS fi Fi hi Hi
[27.15 - 27.35) 27.25 / 1 1 0.01 0.01
[27.35 - 27.55) 27.45 //// 4 5 0.04 0.05
[27.55 - 27.75) 27.65 ///////// 9 14 0.09 0.14
[27.75 - 27.95) 27.85 ///////////////////////////// 29 43 0.29 0.43
[27.95 - 28.15) 28.05 ////////////////////////////// 30 73 0.30 0.73
[28.15 - 28.35) 28.25 /////////////// 15 88 0.15 0.88
[28.35 - 28.55) 28.45 /////// 7 95 0.07 0.95
[28.55 - 28.75) 28.65 /// 3 98 0.03 0.98
[28.75 - 28.95] 28.85 // 2 100 0.02 1.00
100 1.00
Problema Nº 01 (continua):
TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

17. Problema Nº 02:
El Area de Control de Calidad de la empresa
FUNDIDOS S. A. esta llevando a cabo un
seguimiento a un lote de piezas mecanizadas en su
taller de metalmecánica, para esto ha tomado una
muestra aleatoria y se necesita obtener el siguiente
análisis estadístico descriptivo:
– Tabla de Frecuencias.
– Histogramas.
– Polígonos de Frecuencia (tarea para el alumno).
– Ojivas (tarea para el alumno).
17

18. 1279,5
1285,0
1280,0
1273,0
1284,0
1280,5
1275,5
1278,0
1279,5
1275,0
1267,0
1272,0
1282,0
1276,0
1269,5
1266,0
1273,5
1285,5
1275,5
1283,5
1285,0
1273,0
1278,0
1273,0
1280,0
1277,5
1286,0
1280,0
1281,0
1275,0
1278,5
1279,5
1273,5
1275,0
1276,5
1271,5
1284,5
1276,0
1268,5
1272,5
1284,5
1286,0
1271,0
1265,5
1283,0
1282,5
1272,5
1275,5
1275,0
1282,0
1271,0
1280,5
1266,0
1282,5
1284,5
1276,0
1279,0
1281,0
1276,0
1287,5
1273,5
1272,5
1279,5
1279,0
1276,0
1281,5
1273,0
1271,5
1275,5
1277,0
1278,0
1283,5
1274,5
1279,0
1287,5
1276,0
1279,5
1268,0
1269,0
1285,5
1268,0
1272,5
1266,5
1278,0
1267,0
1271,0
1275,5
1277,0
1280,5
1269,0
1284,0
1287,0
1275,5
1280,0
1280,5
1278,0
1275,5
1280,0
1274,5
1285,0
1282,0
1276,5
1268,5
1275,5
1269,0
1271,5
1280,5
1287,0
1276,5
1272,0 18

19. 1. Se identificó que la variable es cuantitativa continua.
2. Se tiene que (Xmax) = 1287.5 y (Xmin)= 1265.5
3. R =(Xmax) - (Xmin)= 1287.5 – 1265.5 = 22
4. Como el rango es grande entonces trabajamos con los
datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver
Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:
– Determinar el numero de intervalos
– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n
– Si n = 110
– m = 1 + 3,322log(110) = 7.78
19
1-9
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

20. • Se redondea a m = 8 intervalos de clase.
• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la der.
• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –
menor unidad/2.
• X`min = 1265.5 – 0.1/2 = 1265.45
• Amplitud de Clase= a = R/m = 22/8 = 2.75 = 2.8
• Marca de clase= MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2
• MC1 = 1265.45 + 2.8 = 1268.25
• Y se empieza la tabla
20
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

21. INTERVALOS MC fi Fi hi Hi
[1265.45 - 1268.25 ) 1266.85 8 8 0.07 0.07
[1268.25 - 1271.05 ) 1269.65 9 17 0.08 0.15
[1271.05 - 1273.85 ) 1272.45 16 33 0.15 0.30
[1273.65 - 1276.65 ) 1275.25 23 56 0.21 0.51
[1276.65 - 1279.45 ) 1278.05 12 68 0.11 0.62
[1279.45 - 1282.25 ) 1280.85 21 89 0.19 0.81
[1282.25 - 1285.05 ) 1283.65 13 102 0.12 0.93
[1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 8 110 0.07 1.00
110 1.00

22. Histograma fi
0
5
10
15
20
25
[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]
22

23. Histograma Fi
0
20
40
60
80
100
120
[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]
23

24. Histograma hi
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]
24

25. Histograma Hi
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]
25

26. Problema Nº 03:
Las estaturas en centímetros de 50 estudiantes mujeres
un grupo se registraron. Los datos son:
26
157 155 171 150 163 150 172 161 154 174
163 148 152 163 149 158 176 164 157 153
169 161 160 164 155 162 151 167 167 167
170 158 163 175 169 169 158 150 156 157
174 162 150 151 165 170 156 170 153 154
Agrupe adecuadamente los datos y elabore la respectiva
tabla de frecuencias y el histograma de frecuencias
relativas.

27. 1. Se identificó que la variable es cuantitativa continua.
2. Se tiene que (Xmax) = 176 y (Xmin)= 148
3. R =(Xmax) - (Xmin)= 28
4. Como el rango es grande entonces trabajamos con los
datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver
Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:
– Determinar el numero de intervalos
– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n
– Si n = 50
– m = 1 + 3,322log(50) = 6,470678
27
1-9
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

28. • Se redondea a m = 7 intervalos de clase (se reajustará según
se hagan los cálculos).
• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la derecha.
• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) – menor
unidad/2.
• X`min = 148 – 1/2 = 147.5
• Amplitud de Clase = a = R/m = 28/6.4706 = 4.327
• Marca de clase = MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2
• MC1 = 147.5 + 2.163 = 149.66
• Y se empieza la tabla
28
1-9
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

29. INTERVALOS MC fi Fi hi Hi
[147.50 – 151.83 ) 149.66 8 8 0.16 0.16
[151.83 – 156.15) 153.99 9 17 0.18 0.34
[156.15– 160.48 ) 158.31 7 24 0.14 0.48
[160.48 – 164.81 ) 162.64 10 34 0.20 0.68
[164.81 – 169.14 ) 166.97 7 41 0.14 0.82
[169.14 – 173.46 ) 171.30 5 46 0.10 0.92
[173.46 – 177.79 ] 175.62 4 50 0.08 1.00
50 1.00 29

30. Problema Nº 03: En un estudio de dos semanas
sobre la productividad de los trabajadores de una
fundición, se obtuvieron los siguientes datos sobre
el número total de piezas aceptables que
produjeron los trabajadores:
• Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias.
• Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia.
30
1-9
PROBLEMA

31. 31
65 36 49 84 79 56 28 43 67 36
43 78 37 40 68 72 55 62 22 82
88 50 60 56 57 46 39 57 73 65
59 48 76 74 70 80 75 56 45
75 62 72 63 32 80 64 53 74 34
76 60 48 55 51 54 45 44 35 51
21 35 61 45 33 61 60 85 68
45 53 77 42 69 52 68 52 47
62 65 75 61 73 50 53 59 41 54
41 74 82 78 26 35 47 70 38 70

32. 1. Se identificó que la variable es cuantitativa discreta.
2. Se tiene que (Xmax) = 88 y (Xmin)= 21
3. R =(Xmax) - (Xmin)= 88-21= 67
4. Como el rango es grande entonces trabajamos con los
datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver
Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:
– Determinar el numero de intervalos
– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n
– Si n = 97
– m = 1 + 3,322log(97) = 7.60 = 8
32
1-9
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

33. • Se redondea a m = 8 intervalos de clase.
• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la der.
• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –
menor unidad/2.
• X`min = 21 – 1/2 = 20.5
• Amplitud de Clase= a = R/m = 67/8 = 8.375 = 9
• Marca de clase= MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2
• MC1 = 20.5 + 4.5 = 25
• Y se empieza la tabla
33
1-9
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
PARA VARIABLES CUANTITATIVA

35. DIAGRAMA DE PUNTOS
(herramienta útil para pocos datos)
Ejemplo: Datos de resistencia a la tensión de
muestras de mortero Portland (Kg/cm2) con
polímero agregado:
16.85 16.40 17.21 16.35 16.52
17.04 16.96 17.15 16.59 16.57
mortero Portland sin modificar:
17.50 17.63 18.25 18.00 17.86
17.75 18.22 17.90 17.96 18.15

36. 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5
* * ** * * * * * * + + + + + + + + + +
* = Mortero modificado
+ = Mortero sin modificar
DIAGRAMA DE PUNTOS
(herramienta útil para pocos datos)

38. Gráfica de tallo y hojas
(“Stem-and-Leaf ”)
Es una gráfica usada para datos cuantitativos.
Ejemplo: Los siguientes datos representan pesos de una
muestra de 15 varones adultos.
165 178 185 169 152 180 175 189 195 200 183
191 197 208 179
Hacer su gráfica de “Stem-and Leaf”.
Solución: En este caso las ramas la forman los primeros dos
dígitos de los datos, y las hojas serán dadas por los últimos
dígitos de los datos.
38

39. Gráfica de tallo y hojas
(“Stem-and-Leaf ”)
Luego el “stem-and leaf “ será de la siguiente manera:
Interpretación: El uso del “stem-and-leaf” es
exactamente igual al del Histograma, la única diferencia
está en que del “stem-and-leaf” se pueden recuperar los
datos muestrales, pero de un histograma no se puede
hacer. En este ejemplo el “stem-and-leaf” es asimétrico a
la izquierda, no tiene mucha variabilidad ni “outliers”.
39

40. Ejemplo: Resistencia a la Tensión de 80 muestras de aleación
Aluminio-Litio
105 221 183 186 121 181 180 143 97 154
153 174 120 168 167 141 245 228 174 199
181 158 176 110 163 131 154 115 160 208
158 133 207 180 190 193 194 133 156 123
134 178 76 167 184 135 229 146 218 157
101 171 165 172 158 169 199 151 142 163
145 171 148 158 160 175 149 87 160 237
150 135 196 201 200 176 150 170 118 149
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS

41. Tallo Hoja Frecuencia
7 6 1
8 7 1
9 7 1
10 5 1 2
11 5 8 0 3
12 1 0 3 3
13 4 1 3 5 3 5 6
14 2 9 5 8 3 1 6 9 8
15 4 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 8 12
16 3 0 7 3 0 5 0 8 7 9 10
17 8 5 4 4 1 6 2 1 0 6 10
18 0 3 6 1 4 1 0 7
19 9 6 0 9 3 4 6
20 7 1 0 8 4
21 8 1
22 1 8 9 3
23 7 1
24 5 1
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS