Este documento contiene 10 ejercicios sobre estructuras algebraicas. Los ejercicios involucran analizar si ciertas operaciones definidas en diferentes conjuntos cumplen las propiedades para ser grupos, incluyendo la existencia de elemento neutro e inversos. También involucran determinar si las operaciones son conmutativas o no. Al final se incluyen las respuestas a los ejercicios.

1. Algebra – Cátedra Bernardello - FCE 2010
Unidad 1 - Estructuras Algebraicas
Ejercicios Adicionales de la Unidad 1
1) Sea A {a , b , c } y " " una operación definida en él , tal que :
a b c a) Analizar si es " " una L.C.I en A
a a b c b) Indicar cual es el elemento neutro.
b b c c c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A
c c b a d) Determine si " " es conmutativa en A.
2) Sea A {a , b , c} y " " una operación definida en él :
Completar la siguiente tabla sabiendo:
a b c a) " " es una L.C.I. en A.
a b) e = a es el elemento neutro.
b c) b’ = c y c’ = b
c c d) " " es conmutativa en A
3) Sea A {a , b , c , d} y " " una operación definida en él tal que
a b c d a) Analizar si " " es una L.C.I en A
a c a b a b) Indicar cual es el elemento neutro.
b a b c d c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A
c d c a b d) Determine si " " es conmutativa en A
d c d b a
4) Sea A {a , b , c, d} y " " una operación definida en él tal que:
a b c d Completar la siguiente tabla sabiendo:
a a) " " es una L.C.I. en A.
b c b b) e = a es el elemento neutro.
c c b c) a’ = a b’ = b c’= d y d’ = c
d c d) " " es conmutativa en A
5) Sea A { 1 ; 1} . Analizar si (A , +) y ( A , . ) tiene estructura de grupo siendo “+”
y “.” la suma y la multiplicación habitual respectivamente.
6) Sea A {x / x 3n n N0} .
Analizar si (A; .) tiene estructura de grupo siendo “.” la multiplicación habitual.
7) Indicar V ó F justificando la respuesta
La ley a * b = a – 2b es asociativa en Z.
8) Siendo A {x / x 4} . Analizar si ( A, . ) tiene estructura de grupo
abeliano y si la adición es ley interna en A
9) Defina una operación en el conjunto A = {m, p, q, r} que sea ley interna, que tenga
elemento neutro pero no inverso. Justificar
10) Sea G {x / 2 x 2} y " " el producto habitual en Z.
Probar que (G, ) tiene estructura de grupo abeliano.
Alicia Fraquelli – Andrea Gache 1

2. Algebra – Cátedra Bernardello - FCE 2010
Ejercicios Adicionales -Unidad 1
Respuestas
1) a) " " es una L.C.I en A
b) e = a.
c) a’= a , b’= no existe , c’= c
d) " " no es conmutativa en A.
2)
a b c a b c
a a b c a a b c
b b b a b b c a
c c a c c c a c
3) a) " " es una L.C.I en A
b) e = b.
c) a’= no existe , b’= b , c’= d , d’= c
d) " " no es conmutativa en A
4)
a b c d
a a b c d
b b a c b
c c c b a
d d b a c
5) (A, +) no es grupo. porque + no es ley interna en A.
(A, . ) es grupo abeliano
6) No es grupo, A no es simetrizable para la multiplicación
7) Falso
8) El conjunto es A { 4, 3, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4} entonces ( A, . ) no tiene estructura
de grupo abeliano , la multiplicación de elementos de A no es ley de composición
interna
La adición en A no es ley de composición interna
9) Sugerencia : Plantee el ejercicio usando una tabla a partir de la cual defina la
operación
10) Sugerencia: Se recomienda definir la operación mediante una tabla de doble
entrada.
Alicia Fraquelli – Andrea Gache 2