anillos, campos algebra lineal

1. • Grupo
- Grupo conmutativo
• Anillo
- Anillo conmutativo
• Campo o cuerpo

2. UNA ESTRUCTURA ALGEBRAICA se define como un
conjunto en el que están definidas una o mas operaciones.
Las estructuras algebraicas que estudiaremos serán:
• Grupo
• Anillo
• Campo o cuerpo
Las estructuras algebraicas desempeñan un papel muy
importante en muchas ramas de la ciencia como por ejemplo:
la teoría de la relatividad, física nuclear, mecánica cuántica y
cristalografía.
Esta poderosa herramienta matemática fue creada a
principios del siglo XIX, entre algunos de los matematicos
mas importantes a quienes debemos su creacion es Evariste
Galois, Augustin Louis Cauchy.

3. INTRODUCCIÓN
Los grupos, como objeto algebraico con una sola operación,
representan la mas simple de las estructuras formales, están
formados por conjuntos donde podemos combinar dos
elementos de este, quizás de varias maneras, para obtener
un tercer elemento también del conjunto y además, estas
operaciones algebraicas están sujetas a reglas indicadas en
lo que se llaman axiomas o postulados definitorios del
sistema.

4. Definición de Grupo:
Sea G un conjunto no vació con una operación binaria, esto
es, a cada par de elementos ab € G. Entonces G se llama un
grupo si se cumplen los siguientes axiomas:
1)Para toda a, b, c perteneciente a G, tenemos (ab)c = a(bc)
(ley asociativa).
2) Existe un elemento e perteneciente a G, llamado el
elemento identidad, tal que ae = ea = a para toda a
perteneciente a G.
3) Para cada a perteneciente a G existe un elemento a-1
perteneciente a G, llamado el inverso de a, tal que
aa-1
=a-1
a=e

5. de los grupos.
Si G es un grupo, entonces.
Propiedades a) el elemento identidad de G es único;
b) toda a € G tiene un inverso único en G;
c) para toda a € G, (a-1
)-1
=a;
d) para a, b € G, (ab)-1
= b-1
a-1
;
Nota: se dice que el elemento identidad es el uno de G.
también se dice que es el cero en el caso aditivo

6. SubgruposSubgrupos
En general, estaremos interesados en subconjuntos de G
que tengan propiedades algebraicas derivadas de las de
G. Un subconjunto H de un grupo G se dice que es un
subgrupo de G si respecto al producto en G,H forma un
grupo.
Para ser un subgrupo debe de cumplir con los siguientes
criterios. Un subconjunto no vacio H del grupo G es un
subgrupo de G si;
4) Para toda a, b € H  ab € H (cerradura)
5) Para toda a € H  a-1
€ H (inversa)

7. GRUPO CONMUTATIVO
Formalmente, un grupo es un conjunto de elementos junto
con una operación que satisface las propiedades: asociativa,
elemento neutro, elemento reciproco.
pero si además de cumplir las 4 anteriores cumple
6) ab= ba (propiedad conmutativa)
para cualquier pareja de elemento del grupo, entonces se
dice que es un grupo conmutativo o abeliano.

8. Ejemplos
Grupo
 El conjunto Z ( números enteros) de signo cualquiera
con la adición.
 El conjunto Q (números racionales de signo cualquiera
con la adición.
 El conjunto R (números reales) con la adición.
 El conjunto Q positivos con la multiplicación.
 El conjunto R positivos con la multiplicación.
 El conjunto Q no nulos con la multiplicación.
 Las matrices de mxn bajo la adición.
 Los números complejos ≠ 0 con la multiplicación.
 Los números complejos con la adición.

9. Subgrupos
 El conjunto N (números naturales) con la adición y la
multiplicación.
 El conjunto Z con la multiplicación.
 El conjunto Z múltiplos de 5
Grupo conmutativo
 El conjunto Z con la operación de la adición, ya que el
orden de los sumandos no altera la suma.
 El conjunto de los números racionales con la adición

10. Comprobación de los ejemplos dados.
Grupos
El conjunto de los números enteros de signo cualquiera
con la adición.
± 1, ± 2, ± 3 0= e y a-1
= -a
1) (a+b)+c=a+(b+c)
(-1+2)+(-3)=-1+(2+(-3))  (1)+(-3)= -1(-1) -2= -2
2) a+e = e+a=a
-1+0=0-1=-1  -1 = -1= -1
3)a+a-1
= a-1
+a=e
-1+1=1+(-1)=0  0 = 0 = 0 si es un grupo

11. El conjunto de los números racionales con la adición.
1/2, 1/3, 1/4 0=e a-1
= -a
1)(a+b)+c=a+(b+c)
(1/2+1/3)+1/4=1/2+(1/3+1/4)  5/6+1/4 = 1/2+7/12 
13/12=13/12
2) a+e=e+a=a
1/2+0= 0+1/2 =1/2  1/2 = 1/2 = ½
3)a+a-1
= a-1
+a=e
1/2 – 1/2 = -1/2+1/2=0  0 = 0 = 0 si es un grupo

12. El conjunto R positivos con la multiplicación.
a=9 b=10 c=19 e=1 a-1
= 1/a
1)(a*b)*c=a*(b*c)
(9*10)*19=9*(10*19)  90*19=9*190  1710=1710
2)a*e=e*a=a
9*1=1*9=9  9 = 9 = 9
3)a*a-1
= a-1
*a=e
9*1/9=1/9*9=1  9/9=9/9=1  1=1=1 si es un grupo

13. 





=
b
a
M
0
0
El conjunto de a, b € Z con la multiplicación.






=
30
01
a 





=
90
02
b 





=
90
010
c 





=
10
01
e a -1






=
10
03
3/1
1 ) (a*b)*c=a*(b*c)






30
01






90
02






90
010
=






30
01






90
02






90
010






270
02






90
010
= 





30
01






810
020







2430
020






2430
020
=

14. 2) a*e=e*a=a






30
01






10
01
= 





10
01






30
01
= 





30
01







30
01
= 





30
01






30
01
=
3) a*a-1
= a-1
*a=e






30
01






10
03
3/1 = 





10
03
3/1 





30
01
= 





10
01






10
03/1






10
03
= 





3/10
01






30
01
= 





10
01


15. 





10
01






10
01






10
01
= Si es un grupo.
=
POR LO TANTO :

16. El conjunto de los números enteros con la sustracción.
± 1, ± 2, ± 3 0= e y a-1
= -a
1)(a-b)-c=a-(b-c)
(-1-2)-(-3)=-1-(2-(-3))  (-3)+3= -1 -5  0= -6
2)a-e=e-a=a
-1-0= 0+1= -1  -1 =1= -1
3)a-a-1
= a-1
-a=e
-1-1=1-(-1)=0  -2 = 2 =0 no es un grupo

17. El conjunto de los números racionales con la sustracción.
1/2, 1/3, 1/4 0=e a-1
= -a
1) (a-b)-c=a-(b-c)
(1/2-1/3)-1/4=1/2-(1/3-1/4)  1/6-1/4=1/2-(1/12) 
-1/12=5/12
2)a-e=e-a=a
1/2-0 = 0-1/2 = 1/2  1/2 = -1/2 = 1/2
3)a-a-1
= a-1
-a=e
1/2-(-1/2)= -1/2-1/2 =0  1= -1=0 no es un grupo

18. Subgrupos
El conjunto Z( números enteros) con la multiplicación.
9,10,19 a-1
= -a
4) a*b € H;
9*10=90 si € H
5) a-1
€ H
a-1
= -9 si € H si es un subgrupo

19. El conjunto Z (números enteros ) múltiplo de 5 con la
multiplicación
25, 75, 125 a-1
; -a
4) a*b € H;
25*75=1875 si € H
5) a-1
€ H
a-1
= 1/25 si € H no es un subgrupo

20. Grupo conmutativoGrupo conmutativo
El conjunto de los números enteros de signo cualquiera
con la adición.
a = -1 b= 2 c= -3
6) a+b = b+a
-1+2 = 2-1  1=1 si es grupo conmutativo
El conjunto de los números racionales con la adición.
a=1/2 b=1/3
6) a+b = b+a
1/2 + 1/3 = 1/3 + 1/2  5/6 = 5/6 si es grupo conmutativo

21. El conjunto de los números reales positivos con la
multiplicación.
a=9 b=10 c=19
6) a*b = b*a
9*10=10*9  90 = 90 si es un grupo conmutativo
El conjunto de los números enteros con la sustracción.
± 1, ± 2, ± 3 a= -1 b=2 c= -3
6)a-b = b-a
-1-2 = 2+1  -3=3 no es un grupo conmutativo

22. Definición:Definición:
El concepto de grupo tiene su origen en el conjunto de
aplicaciones o permutaciones de un conjunto sobre si mismo.
A diferencia, los anillo surgen de manera más familiar,
abstrayendo las propiedades de los enteros ordinarios, de los
que pueden considerarse una generalización.
Un anillo a diferencia de un grupo, es un sistema formado por
un conjunto y dos operaciones binarias con los símbolos (+) y
(•) sin que estos signifiquen necesariamente que se trata de la
adición y multiplicación de números.

23. Propiedades de los Anillos:Propiedades de los Anillos:
1.- Para todo a, b, c, ε A tenemos (a+b)+c = a+(b+c)
2.- Para todo a, b ε A tenemos a+b = b+a
3.- Existe un elemento 0 ε A, llamado el elemento cero tal que
a + 0 = 0 +a = a para toda a ε A
4.- Para cada a ε A existe un elemento –a ε A, llamado el
negativo de a, tal que a+(-a) = (-a)+a = 0
5.- Para todo a, b, c ε A tenemos (a • b) • c = a • (b • c)
6.- Para todo a, b, c ε A tenemos a • (b + c) = a • b + a • c
y (b+c) • a = b • a + c • a

24. Aplicación de las Propiedades:
Sea a = 3 b = 5 c = -2
1.- (a+b)+c = a+(b+c)
(3+5)+(-2) = 3+[5+(-2)]  8+(-2) = 3+3  6 = 6
2.- a+b = b+a
3+5 = 5+3  8 = 8
3.- a + 0 = 0 +a = a
3+0 = 0+3  3 = 3
4.- a+(-a) = (-a)+a = 0
3+(-3) = (-3)+3  0 = 0

25. 5.- (a • b) • c = a • (b • c)
(3 • 5) • -2 = 3 • (5 • -2)  15 • -2 = 3 • -10
 -30 = -30
6.- a • (b + c) = a • b + a • c
3 • [5+(-2)] = 3 • 5 + 3 • -2
 3 • 3 = 15 + (-6)  9 = 9
(b+c) • a = b • a + c • a
[5+(-2)] • 3 = 5 • 3 + (-2) • 3
 3 • 3 = 15 + (-6)  9 = 9

26. De los 4 primeros postulados de la definición anterior se
sigue que un anillo es grupo abeliano para la primera
operación; y de los grupos abelianos son validas en la
estructura (a, +) conocida como “la estructura aditiva” del
anillo.
Al elemento 0 del postulado 3, que representa al idéntico
para la primera operación, se le conoce como el cero del
anillo.
El postulado 5, de la definición se refiere a la segunda
operación, y establece que debe ser asociativa.

27. Las propiedades a que se refiere al postulado 6, se conoce
como propiedades distributivas: cuando dos operaciones
(+) y (•), definidas en un conjunto A son tales que:
a, b, c ε A a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
Se dice que la operación (•) es distributiva por la izquierda
sobre la operación (+).
Cuando son tales que:
a, b, c ε A (b + c) • a = (b • a) + (c • a)
Se dice que (•) es distributiva por la derecha sobre (+).

28. Ejemplos:
 Los números enteros con la adición y la multiplicación.
 Los números racionales con la adición y la multiplicación.
 Los números reales con la adición y la multiplicación.
 Los números complejos con la adición y la multiplicación.
 Los polinomios con la adición y la multiplicación.
 Las matrices cuadradas de orden n con la adición y la
multiplicación.

29. A se llama un anillo conmutativo si ab = ba para todo a,
b ε A. decimos también que A es un anillo con elemento
identidad si existe un elemento diferente de cero 1ε A tal
que a • 1 = 1 • a = a para todo a ε A.
Un subconjunto no vacío S de A se llama un subanillo de
A si S mismo forma un anillo para las operaciones de A.
observamos que S es un subanillo de A si y sólo si a, b ε
S implica a – b ε S y ab ε S.
Un anillo conmutativo A con elemento identidad se llama
un dominio de integridad si A no tiene divisores de cero,
esto es, si ab = 0 implica a = 0 o b = 0.

30. Las matrices cuadradas de orden n, con la adición y la
multiplicación usuales, no constituyen un dominio entero ya
que no son un anillo conmutativo y, además, contiene
divisores propios de cero.
Un anillo conmutativo es un dominio entero si no tiene
divisores de cero.
Un anillo se dice que es un anillo con división si sus
elementos distintos de cero forman un grupo bajo la
multiplicación.
El elemento unidad o identidad bajo la multiplicación se
escribirá como 1, y el inverso de un elemento a bajo la
multiplicación se denotara como a-1
.

31. Campo o cuerposCampo o cuerpos
Esta es la estructura algebraica mas completa y contiene las propiedades comunes a
los sistemas numéricos mas completos algebraicamente; entre los que se encuentra
los números racionales, los números reales y los números complejos con sus
respectivas operaciones de adición y multiplicación.
Sea K un conjunto de por lo menos dos elementos, y sean (+) y (•) dos operaciones
binarias definidas en K. El sistema (k, +, •) tiene estructura de campo si:
)ac()ab(a)cb(y
)ca()ba()cb(akc,b,a)9
1aaquetala,0a,ka)8
ka,aa1quetalk1)7
abbakb,a)6
c)ba()cb(akc,b,a)5
0aaquetalkaka)4
ka,aa0quetalko)3
abbakc,b,a)2
c)ba()cb(akc,b,a)1
11
⋅+⋅=⋅+
⋅+⋅=+⋅∈∀
=⋅∃≠∈∀
∈∀=⋅∈∃
⋅=⋅∈∀
⋅⋅=⋅⋅∈∀
=+−∈−∃∈∀
∈∀=+∈∃
+=+∈∀
++=++∈∀
−−

32. Un anillo conmutativo K con elemento identidad se llama un cuerpo
(o también un campo) si toda a ε K ≠ 0 tiene un inverso multiplicativo,
esto es, existe un elemento a-1
ε K tal que aa-1
= a-1
a = 1.
Un cuerpo es necesariamente un dominio de integridad, pues si ab =
0 y a≠0, entonces
b=1 • b = a-1
ab = a-1
• 0 = 0
Hacemos notar que un cuerpo puede considerarse como un anillo
conmutativo en el cual los elementos diferentes de cero forman un
grupo para la multiplicación.
El hecho esencial acerca de un campo es que este es un conjunto de
elementos que se pueden sumar multiplicar, de tal manera que por
una parte la adición y la multiplicación satisfacen las reglas
ordinarias de la aritmética y por otra se puede dividir por elementos
distintos de cero.

33. Ejemplos:
 Se denota con Q el conjunto de los números racionales, esto es, el
conjunto de todas las fracciones m/n, donde m y n son enteros y además
n≠0. se puede verificar fácilmente que Q es un campo.
2
1
4
3
*
5
2
*
3
5
4
3
*
5
2
*
3
5
c)ba()cb(akc,b,a)5
0
3
5
3
5
0aaquetalkaka)4
3
5
3
5
0
ka,aa0quetalko)3
15
31
3
5
5
2
5
2
3
5
abbakc,b,a)2
60
169
4
3
5
2
3
5
4
3
5
2
3
5
c)ba()cb(akc,b,a)1
4
3
c,
5
2
b,
3
5
a
=





=





⋅⋅=⋅⋅∈∀
=+−
=+−∈−∃∈∀
=+
∈∀=+∈∃
=+=+
+=+∈∀
=+





+=





++
++=++∈∀
===
12
23
3
5
*
4
3
3
5
*
5
2
3
5
*
4
3
5
2
12
23
4
3
*
3
5
5
2
*
3
5
4
3
5
2
*
3
5
)ac()ab(a)cb(y
)ca()ba()cb(akc,b,a)9
1
15
15
3
5
*
5
3
5
3
3
5
1aaquetala,0a,ka)8
3
5
3
5
*
1
1
ka,aa1quetalk1)7
3
2
3
5
*
5
2
5
2
*
3
5
abbakb,a)6
1
11
=





+





=





+
=





+





=





+
⋅+⋅=⋅+
⋅+⋅=+⋅∈∀
===





=⋅∃≠∈∀
=
∈∀=⋅∈∃
==
⋅=⋅∈∀
−
−−

34.  Se denota con Z el conjunto de todos los enteros. Entonces Z no resulta un campo,
debido a que no se satisface la condición (si x ε de K, entonces –x es un elemento de K.
si además x≠0, entonces x-1 también es un elemento de k) en realidad, si n es un
entero diferente de cero, entonces n-1 = 1/n no es un entero (excepto en el caso trivial
en el cual n=1 o bien n= -1). Por ejemplo, ½ no es un entero.
( ) ( )
( ) ( ) 1208*5*38*5*3
c)ba()cb(akc,b,a)5
033
0aaquetalkaka)4
330
ka,aa0quetalko)3
83553
abbakc,b,a)2
16853853
c)ba()cb(akc,b,a)1
8c,5b,3a
==
⋅⋅=⋅⋅∈∀
=+−
=+−∈−∃∈∀
=+
∈∀=+∈∃
=+=+
+=+∈∀
=++=++
++=++∈∀
===
( )
ENTEROSLOSAPERTENECE
NOYA
3
1
OBSERVARPODEMOSCOMO
1
3
3
3*
3
1
3
1
3
1aaquetala,0a,ka)8
33*1
ka,aa1quetalk1)7
153*55*3
abbakb,a)6
1
11
===
=⋅∃≠∈∀
=
∈∀=⋅∈∃
==
⋅=⋅∈∀
−
−−