Analisis-grafico-de-funciones

Fatela
Preuniversitarios
Matemática - Análisis de Funciones - 1 -17
MATEMÁTICA GUÍA º 11
“A ÁLISIS GRAFICO DE FU CIO ES”
En esta guía se tratará sobre:
Análisis de Funciones: Se realizará un análisis completo de todos los
aspectos relevantes de la gráfica de las funciones:
1) Dominio.
2) Imagen.
3) Ceros.
4) Conjuntos de Positividad y de Negatividad.
5) Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.
6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.
7) Ordenada al Origen.
8) Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.
9) Rectas Asíntotas y Polos.
A ÁLISIS DE FU CIO ES
1) Dominio atural:
El "dominio natural" de una función es el conjunto de todos los números
reales para los cuales la función está definida. O sea es el conjunto de todos los
valores de "x" a los se le asigna un valor de "y".
Si una función está dada gráficamente, su dominio se puede obtener
proyectando todos los puntos de la "curva" perpendicularmente sobre el eje "x",
como se muestra en el gráfico que sigue.
El conjunto así obtenido es el dominio de la función.
Si la función está dada en forma analítica, o sea por su fórmula, el dominio
natural se puede obtener aún sin graficar según los siguientes criterios:
4
5
6
3
2
1
y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
Dominio de la función
Se obtiene proyectando
todos los puntos de la
gráfica sobre el eje "x"
(−∞ ; 2] U (4 ; ∞ )
Recta Asíntota

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a) Funciones Polinómicas:
En todas las funciones polinómicas el dominio está formado por todos los
números reales; pues siempre es posible elevar un número real a una potencia de
exponente natural, luego multiplicarla por otro real, y por último sumar o restar
con otro término similar.
b) Funciones Racionales:
La función racional está formada por un cociente entre dos polinomios, en
forma genérica de grados "m" y "n" respectivamente.
En una función de este tipo el dominio es igual a todo el conjunto de
números reales salvo los valores aislados de "x" que hacen cero al polinomio
denominador. Esto es así debido a que no podemos "nunca" dividir por cero.
En la siguiente gráfica se muestra una función racional, y se observa que su
dominio incluye a todos los números reales distintos a "2". En ese punto la
función presenta una discontinuidad llamada polo o asíntota vertical: al
acercarnos más y más a x = 2 la función crece o decrece indefinidamente (crece
hasta +∞ o decrece hasta −∞.
Además posee una asíntota horizontal de ecuación y = 1.
0
1
y
−5 x5
3
−3
Df = » = (−∞ ; ∞)
Funciones Polinómicas
Su Dominio son todos
los números Reales
P0 = 5
P1 = 2 x + 3
P2 = 4 x2
− x + 1
P3 = 2 x3
+ 7 x2
− 5 x + 8
Polinomio de grado cero:
Polinomio de grado uno:
Polinomio de grado dos:
Polinomio de grado tres:
Pn = an xn
+ an-1 xn-1
+ ... + a2 x2
+ a1 x + a0Polinomio de grado "n":
m
n
P (x)
f(x) =
Q (x)
Df = { }1 2 nR X ;X ;... X−
Ceros de Qn
(x)
Función
Racional

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c) Funciones Irracionales con Radicales de Índice Par:
La función irracional compuesta de una raíz cuadrada (o de índice par) de
una expresión que depende de "x", tiene como dominio el conjunto de valores de
"x" en los cuales el radicando no sea negativo (puede ser positivo o cero).
En caso contrario, el radicando negativo haría imposible la existencia de la
función, pues la raíz cuadrada (o de índice par) de un número negativo no tiene
resultado real, como vimos en la guía N° 1 "Conjuntos Numéricos".
0
1
y
x
5
3
y = 3 x−
Df = ( ]; 3−∞
−5
Función Irracional
0
1
y
−5
x
5
3
−3
x
y =
x 2−
Recta Asíntota
Recta Asíntota
Df = { }2−»
Df = ( ) ( );2 2;−∞ ∞∪
3 − x ≥ 0
3 ≥ x
x ≤ 3
Para calcular el dominio en
estos casos, hay que plantear
una inecuación: el radicando
debe ser mayor o igual a cero: ⇒ Df = ( ];3−∞

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En el caso de que la expresión irracional (de índice par) se halle en el
denominador, habrá que exigirle al radicando que sea estrictamente mayor a
cero, pues de lo contrario al hacerse cero dicho radicando se podrá extraer su
raíz que también es cero, pero luego no se puede dividir por cero y la función no
existirá en dicho punto.
Más adelante en el curso, se tratarán los dominios naturales de las
funciones trascendentes al álgebra: las funciones Exponenciales, Logarítmicas y
Trigonométricas.
2) Imagen de una Función:
0
1
y
−5 x5
3
−3 If = (−∞ ; 3]
Imagen de la función
Se obtiene proyectando
todos los puntos de la
gráfica sobre el eje "y"
Para Practicar
1) Dadas las siguientes funciones hallar su dominio natural
analíticamente, y confirmar los resultados graficando con
el simulador digital "Graficador de Funciones"
a) y = 4 − x ℜ = (−∞; ∞)
b)
2 x
y =
x + 1
ℜ − {−1}
c) y = 3 x 6− [2; ∞)
d)
2
x
y =
5 2x−
(−∞; 5/2)
e) y = x2
+ 3 x − 4 ℜ = (−∞; ∞)
f)
( )
5x 3
y =
x x 2
−
−
ℜ − {0; 2}
g) y = 2 x -1
+ 5 ℜ − {0}
3 2 0x − >2
y =
3 x 2− 3 2x >
2
3
x > ⇒ Df =
2
;
3
 
∞ 
 
En este caso el radicando debe
ser estrictamente mayor a cero:

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La imagen de una función es el conjunto de valores que toma la función "y"
cuando la variable independiente "x" toma todos los valores del dominio.
Gráficamente se puede obtener proyectando sobre el eje "y" todos los
puntos de la "curva" que representa a la función.
Las funciones lineales de pendientes distintas de cero (rectas oblicuas)
tienen como imagen el conjunto de todos los números reales.
Las funciones cuadráticas en cambio tienen como imagen un intervalo de
longitud infinita desde un cierto punto "Yv" hasta infinito si el coeficiente
cuadrático "a" es
positivo; o bien desde
"−∞" hasta "Yv" si "a"
es negativo. Dicho
intervalo siempre es
cerrado en el extremo
finito "Yv", pues el
vértice pertenece a la
función.
0
1
y
−5 x5
3
−3
If = {2}
Imagen de recta
horizontal
y = 2
0
1
y
−5 x5
3
−3
If = (−∞ ; ∞)
Imagen de
rectas oblicuas
0
1
y
−5 x5
2
−3
If = [2; ∞)
−1
If = (−∞; −1]
Imagen de
Funciones
Cuadráticas

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En ocasiones se pide encontrar el conjunto imagen de una función en la
cual se restringe o limita su dominio natural a un conjunto prefijado.
Por ejemplo en la parábola siguiente: y = x2
+ 2 x − 1, se especifica que el
dominio debe restringirse al intervalo (−2;1]. Se pide hallar su imagen.
En primer lugar
encontramos el vértice
de la parábola, a fin de
determinar si se halla
adentro o afuera del
dominio limitado por
(−2;1]. En este caso
vemos que se ubica
adentro del mismo
(como va a resultar
habitual en la mayoría
de los ejercicios de este
tipo).
Luego graficamos
la función completa
(línea punteada) y resaltamos el tramo a considerar que corresponde al dominio
restringido (línea llena), prestando atención a los extremos del mismo: si está
incluido se coloca punto lleno, si no lo está va punto vacío.
Por último se proyectan horizontalmente todos los puntos de la curva sobre
el eje "y", hallándose el conjunto imagen.
3) Ceros de la función:
Los ceros de una función son los valores de "x" que hacen cero a la misma.
No todas las funciones tienen ceros, puesto que puede haber curvas que no
corten al eje "x". Esto ocurre, como hemos visto antes, en algunas funciones
cuadráticas (parábolas) con discriminante negativo; y en general puede ocurrir
en funciones polinómicas de grado par: 2, 4, 6 etc.
0
1
y
−4
x
4
3
−3
X1 = −4 Ceros de la Función
Gráficamente los ceros
son los puntos donde la
gráfica corta al eje "x"
X2 = 4
0
y
x
1
2
−2
−2
Imagen = [−2; 2]

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4) Conjuntos de Positividad y de egatividad:
Se llama Conjunto de Positividad o Intervalo de Positividad al conjunto de
todos los valores de "x" para los cuales la función es positiva.
Gráficamente corresponde al intervalo (o los intervalos) de valores de "x"
en los cuales la "curva" está por encima del eje "x".
Análogamente el Conjunto de Negatividad o Intervalo de Negatividad es el
conjunto de todos los valores de "x" para los cuales la función es negativa.
Gráficamente corresponde al intervalo (o los intervalos) de valores de "x"
en los cuales la "curva" está por debajo del eje "x".
En las funciones continuas, los ceros son los valores de “x” que separan los
conjuntos de positividad y de negatividad. Como el número cero no es positivo
ni negativo, el cero de la función no debe incluirse en los conjuntos de
positividad ni de negatividad. En estos casos dichos conjuntos son siempre
intervalos abiertos.
0
1
y
−4 x3
3
2
Conjuntos de Positividad
(−∞; −4)∪(−4; 2)∪(3; ∞)
+ +++++
Conjunto de
Negatividad:
(2; 3)
0
1
y
−4
x
4
3
−2
Conjuntos de Negatividad
(−∞; −4) ∪ (4; ∞)
Conjunto de Positividad: (−4; 4)
+
− −
+

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En las funciones discontinuas, tanto los ceros como los polos o asíntotas
verticales son los valores de “x” que separan (o pueden separar) los conjuntos de
positividad y de negatividad, como se observa en el gráfico anterior.
En funciones discontinuas también pueden darse conjuntos de positividad
o negatividad cerrados o semicerrados.
5) Extremos Relativos: Máximos y Mínimos
Los extremos relativos se pueden ubicar gráficamente como "picos" y
"valles": son los puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente
(picos), o de ser decreciente a creciente (valles).
Como se trata de puntos del plano deben indicarse como pares ordenados.
0
1
y
x3
3
−2
−2
Mínimo Relativo (3; −2)
Máximo Relativo (−2; 3)
0
y
−4 x3
Conjuntos de Positividad
(−∞; −4)∪[1; 3)∪(3; ∞)
Conjunto de Negatividad: (−4; 1)
+
−−−−
+
1
1
+

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6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento:
Una función es creciente en un punto si al crecer "x" (movernos hacia la
derecha) crece "y". Una función es decreciente si al crecer "x" decrece "y".
En las funciones continuas los extremos relativos separan los intervalos de
crecimiento de los intervalos de decrecimiento.
Los intervalos de crecimiento son los conjuntos de valores de "x" para los
cuales la función es creciente.
Análogamente, los intervalos de decrecimiento son los conjuntos de valores
de "x" para los cuales la función es decreciente.
Los extremos relativos "nunca" están incluidos en intervalos de crecimiento
o de decrecimiento, debido a que en dichos puntos la función no es creciente ni
decreciente. Son puntos donde la función es estacionaria.
Por ello los intervalos de crecimiento o de decrecimiento son siempre
intervalos abiertos.
0−1
y
x2
−2
−4
Intervalos de
Crecimiento:
(−4; −1) ∪ (2; ∞)
Punto de
discontinuidad
Polo Extremo Relativo
Intervalos de
Decrecimiento:
(−∞; −4) ∪ (−1; 2)
0
1
y
x3
2
−2
−2
Intervalo de CrecimientoInter. de Decrecimiento
(−∞; −2) (3; ∞)(−2; 3)
Intervalo de Crecimiento

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Cuando la función es discontinua, los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento pueden estar separados por los puntos de discontinuidad (saltos) y
polos (rectas asíntotas verticales) además de los extremos relativos ya vistos,
como se muestra en el gráfico precedente.
7) Ordenada al Origen:
La ordenada al origen, tal como vimos en rectas y parábolas, es el valor que
toma la función (y) cuando la variable independiente se hace cero.
Gráficamente corresponde al valor donde la curva corta al eje "y".
No todas las funciones tienen ordenada al origen, puesto que en algunas
funciones el número cero no está dentro del dominio de la misma, o sea en x = 0
la función no está definida. Esto ocurre, por ejemplo, en la Hipérbola Equilátera.
8) Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos
Las funciones pueden presentar también máximos o mínimos absolutos en
todo el dominio natural o en una determinada restricción a este dominio.
El máximo absoluto es el mayor valor que toma la función (y) en todo el
dominio o en un intervalo considerado.
Análogamente, el mínimo absoluto es el menor valor de la función (y) en el
dominio o intervalo considerado.
Los extremos absolutos difieren entonces de los relativos, ya que éstos
últimos son máximos o mínimos locales (picos o valles), pero nada dicen acerca
de que la función pueda tomar un valor mayor a un máximo relativo o menor a
un mínimo relativo para otros valores de "x".
Por consiguiente, de existir los extremos absolutos son únicos.
Las rectas oblicuas (no paralelas a los ejes coordenados) no tienen
máximos y mínimos absolutos, pues la función crece y decrece indefinidamente.
Las parábolas presentan sólo un mínimo absoluto si el coeficiente
cuadrático "a" es positivo, y es igual a la ordenada del vértice "Yv". Coincide en
este caso con el mínimo relativo o local. No hay máximos absolutos.
0
y
x3
3
−2
Hipérbola Equilátera
1
y =
x
Dominio= ℜ − {0}
⇒ ∃ f(0)
f(0) =1
f(0) = − 4
No tiene ordenada
al origen

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Pero si el coeficiente cuadrático "a" es negativo, la parábola presentará un
máximo absoluto igual a "Yv" coincidiendo también con el máximo relativo en
el vértice. En este caso no hay mínimos absolutos.
Considerando sólo el dominio natural de las siguientes funciones, se tiene:
Si se restringe el
dominio natural a un
determinado intervalo
acotado, entonces las
rectas oblicuas y las
parábolas presentarán
máximos y mínimos
absolutos en el citado
intervalo. Por ejemplo
la función:
y = x2
+ 2 x − 1, con un
dominio restringido al
intervalo ( − 2; 1 ]
presenta máximo y mínimo absoluto en dicho intervalo.
Aún así, existen otras
funciones que podrían no
admitir un extremo absoluto
aún restringiendo el dominio
natural a un cierto intervalo
acotado.
Por ejemplo: en (−2;2)
la función dada no tiene ni
máximo ni mínimo absoluto.
0
y
x3
3
−2
Recta oblicua: No
hay máximos ni
mínimos absolutos
Mín. Abs. y = 1
Máx. Abs. y = −1
0
y
x1
2
−2
−2
Máximo Absoluto
Mínimo Absoluto
0
y
x2−2
No tiene
Extremos
Absolutos

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9) Rectas Asíntotas y Polos:
Las rectas asíntotas son rectas a las cuales las funciones se aproximan
"infinitamente" pero nunca las tocan.
Pueden ser verticales (polos), horizontales o inclusive oblicuas.
En los "polos" en general la función no está definida y al acercarnos a ellos
la función adopta valores mayores que cualquier valor fijado arbitrariamente;
decimos que tiende a "+∞". O bien valores menores que cualquier valor negativo
fijado en forma arbitraria; decimos que tiende a "−∞".
Puede ser
que por un lado
tienda a "+∞" y
por el otro a
"−∞", o bien que
tienda por ambos
lados a uno de
estos valores.
La recta asíntota horizontal significa que cuando la variable independiente
"x" se hace mayor que cualquier valor arbitrariamente fijado, o sea tiende a "∞",
la función tiende a tomar un valor constante "y".
Si una función no tiene asíntota horizontal puede tener una asíntota oblicua,
o sea que al tender "x" a "∞", la función "y" también tiende a "∞", pero lo hace
acercándose "infinitamente" a una recta de pendiente distinta de cero (oblicua).
En el presente curso no abundaremos más en este tema de las asíntotas
oblicuas.
0
1
y
−5
x
5
3
−3
Recta Asíntota
Vertical: x = 2
Recta Asíntota
Oblicua
y = ½ x + 1
0
1
y
−5
x
5
3
−3
Recta Asíntota
Vertical: x = 2
Recta Asíntota
Horizontal y = 1

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Para Practicar
Dadas las siguientes funciones hallar:
Dominio.
Imagen.
Ceros.
Conjuntos de Positividad y de Negatividad.
Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.
Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.
Ordenada al Origen.
Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.
Polos y Asíntotas
1)
2)

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3)
4)
5)
Y

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6)
7)

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Trabajo Práctico º 11 : "Análisis Gráfico de Funciones"
11.1) Dadas las siguientes funciones hallar su dominio natural analíticamente, y
confirmar los resultados graficando con el simulador digital "Graficador de
Funciones"
a) y = 3 6x−
b)
x 2
y =
x + 2
−
c) y = − x + 5
d) y = −x2
+ 5 x − 2
e)
x 2
y =
x
+
f) y = 5 −3 x −2
g)
( )( )
( )
x 1 x 5
y =
5x x 2
− +
+
11.2) Dadas las siguientes funciones en forma analítica, representar
gráficamente con el Simulador Digital "Graficador de Funciones",
y de su gráfica hallar:
Dominio.
Imagen.
Ceros.
Conjuntos de Positividad y de Negatividad.
Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.
Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.
Ordenada al Origen.
Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.
Polos y Asíntotas.
a) ( )( )
1
y = x x 2 x 3
5
− − + y = -1/5*x*(x-2)*(x+3)
b)
( )
( )
x 21 1
y = .
5 x 3 5
−
− +
+
y = -1/5*(x-2)/(x+3)+1/5
c) y = (x+1). log2 (x + 3) − 3 y = (x+1)*(log(x+3)/log(2))-3
d) y = ( ) ( ) ( )
21
. x 1 . x 2 . x 5
15
+ − + y = 1/15*(x+1)^2*(x-2)*(x+5)
e) ( )3. x 2
y 15.2 .sen x 2 1
− −
= − − + y = -15*2^(-3*abs(x-2))*sen(x-2)+1
(Para esta última función, usar la apariencia inicial del Simulador, sin el
detalle que brindaría la tecla de acercamiento "zoom")
Tipear
:

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Respuestas del trabajo Práctico º 11 "Análisis Gráfico de Funciones"
11.1)
a) Df = (−∞; ½] e) Df = (0; ∞)= ℜℜℜℜ+
b) Df = ℜℜℜℜ −{−2} f) Df = ℜℜℜℜ −{0}
c) Df = (−∞; ∞) g) Df = ℜℜℜℜ −{0; −2}
d) Df = (−∞; ∞)
11.2)
a) Df = (−∞; ∞); If = (−∞; ∞) ; Ceros: X1 = −3; X2 = 0; X3 = 2
C +
= (−∞; −3) ∪ (0; 2); C −−−−
= (−3; 0) ∪ (2; ∞)
Máx. Rel. (1,1; 0,8); Mín. Rel. (−1,8; −1,7)
IC = (−1,8; 1,1); ID = (−∞; −1,8)∪ (1,1; ∞)
f(0) = 0; Máx. Abs. y Mín. Abs.: No tiene; Polos: No tiene.
b) Df = ℜ − {−3}; If = ℜ − {0}; Ceros: No tiene.
C +
= (−3; ∞); C −−−−
= (−∞; −3)
Máx. Rel. y Mín. Rel. : No tiene.
IC = ∅; ID = (−∞; −3) ∪(−3; ∞)
f(0) = 1/3; Máx. Abs. y Mín. Abs.: No tiene; Polos: X = −3
Asíntota Horizontal: y = 0.
c) Df = (−3; ∞) ; If = (−3,3; ∞); Ceros: X1 = −2,7; X2 = 0,6;
C +
= (−3; −2,7)∪(0,6; ∞); C −−−−
= (−2,7; 0,6)
Máx. Rel. : No tiene ; Mín. Rel. : (−1,6; −3,3);
IC = (−1,6; ∞); ID = (−3; −1,6)
f(0) = −1,3; Máx. Abs.: No tiene; Mín. Abs.: −3,3; Polos: X = −3
d) Df = (−∞; ∞); If = (−3,6; ∞) ; Ceros: X1 = −5; X2 = −1; X3 = 2
C +
= (−∞; −5) ∪ (2; ∞); C −−−−
= (−5; −1) ∪ (−1; 2)
Máx. Rel. (−1; 0); Mín. Rel.: (−3,9; −3,6) y (1,1; −1,6)
IC = (−3,9; −1)∪(1,1; ∞) ; ID = (−∞;−3,9)∪ (−1; 1,1)
f(0) = −0,7; Máx. Abs.: No tiene; Mín. Abs.:−3,6; Polos: No tiene.
e) Df = (−∞; ∞); If = (−1,6; 3,6) ; Ceros: X1 = 2,1; X2 = 3,3;
C +
= (−∞; 2,1) ∪ (3,3; ∞); C −−−−
= (2,1; 3,3)
Máx. Rel. (1,6; 3,6); Mín. Rel.: (2,5; −1,6)
IC = (−1; 1,6)∪(2,5; 5); ID = (1,6; 2,5); Estable: (−∞;−1)∪(5; ∞)
f(0) = 1,2; Máx. Abs.: 3,6; Mín. Abs.:−1,6; Polos: No tiene.
Asíntota Horizontal: y = 1.

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