Un anillo consiste en un conjunto A con dos operaciones binarias internas, la suma y el producto. (A,+) forma un grupo abeliano y (A,*) forma un semigrupo. La multiplicación es distributiva sobre la suma. Un ejemplo de anillo es (Z4, +, *), donde Z4 son los residuos cuadráticos módulo 4 y se comprueba que cumple las propiedades de un anillo como la asociatividad, la existencia del elemento neutro y la distributividad. Un subconjunto S de un anillo A forma un subanillo si

1. ANILLOS
Es una terna (A,+, *) donde A es un conjunto y + y * son
operaciones internas binarias sobre R, llamadas suma y
producto respectivamente.
(A,+) es un grupo abeliano.
(A,*) es un semigrupo.
La multiplicación es distributiva con respecto a la adición.
Para todo a,b, c perteneciente a A a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

2. Axiomas
 1° LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
Si a ∈ β ∧ b ∈ β ⇒ a + b ∈ β ∧ a ∗ b ∈ β
 2° ASOCIATIVIDAD: Si a,b y c ∈ β se cumple :
a + b + c = a + b + c ∧ a ∗ b ∗ c = a ∗ b ∗ c
 3° EXISTENCIA DEL NEUTRO (IDENTIDAD):
a + 0 = a a ∗ 1 = a
 4° COMPLEMENTARIDAD (INVERSO):
a + a,
= 1 a ∗ a,
= 0
 5° CONMUTATIVIDAD:Si a,b y c ∈ β se cumple :
a + b = b + a a ∗ b = b ∗ a
SEMIGRUPO
MONOIDE
GRUPO
GRUPO
ABELIANO

3. Axiomas
ADICIÓN
 La adición es LCI : a ∈ 𝐴 ∧ b ∈ 𝐴 a + b ∈ 𝐴
 La adición es asociativa en 𝐴 ∶ a, b, c ∈ 𝐴 : a + b + c = a + b + c
 Existe el neutro en la adición = cero a + 0 = 0 + a = a
 Todo elemento de 𝐴 tiene inverso aditivo: a + −a = 0
 La adición es conmutativa: a + b = b + a
PRODUCTO
 El producto es LCI : a ∈ 𝐴 ∧ b ∈ 𝐴 a ∗ b ∈ 𝐴
 El producto es asociativo en 𝐴 : a, b, c ∈ 𝐴 : a ∗ b ∗ c = a ∗ b ∗ c
 El producto es distributivorespecto a la adición:
a ∗ b + c = a ∗ b + (a ∗ c)
a, b, c ∈ 𝐴
a + b ∗ c = a ∗ c + (b ∗ c)

4. Comprobaremos si (ℤ𝟒, +,∗) es anillo.
Sus operacionesbinarias quedan definidas según las siguientes tablas.
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
* 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1

5.  𝑨𝟏: La adición es LCI: a ∈ ℤ𝟒 ∧ b ∈ ℤ𝟒 a + b ∈ 𝐴
0 + 1 = 1
 𝑨𝟐: a, b, c ∈ ℤ𝟒 : a + b + c = a + b + c
0 + ( 1 + 2 ) = ( 0 + 1 ) + 2
0 + 3 = 1 + 2
3 = 3
 ∃ neutro aditivo: a + 0 = 0 + a = a e = 0
0 + 3 = 3 + 0 = 3
 ∃ inverso aditivo: a + −a = e
0 + 0 = 0 ; 1 + 3 = 0 ; 2 + 2 = 0 ; 3 + 1 = 0
 Conmutatividad :
1 + 2 = 2 + 1 3 + 2 = 2 + 3 1 + 3 = 3 + 1
3 = 3 1 = 1 0 = 0
Por lo tanto (ℤ𝟒, +) es grupo abeliano.

6.  El producto es LCI: a ∈ ℤ𝟒 ∧ b ∈ ℤ𝟒 a ∗ b ∈ ℤ𝟒
0 ∗ 0 = 0 1 ∗ 2 = 2 3 ∗ 3 = 1 3 ∗ 1 = 3
 Asociatividad:a, b, c ∈ ℤ𝟒 : a ∗ b ∗ c = a ∗ b ∗ c
0 ∗ ( 1 ∗ 2 ) = ( 0 ∗ 1 ) ∗ 2
0 ∗ 2 = 0 ∗ 2
0 = 0
 Distributividad del producto respecto a la adición:
0 ∗ 1 + 2 = 0 ∗ 1 + 0 ∗ 2
0 ∗ 3 = 0 + 0
0 = 0
Por lo tanto (ℤ𝟒, +, +) es anillo.

7.  Anillo conmutativo:
Sea (A,+, *) un anillo. Si además la operación producto es conmutativa (∀ a, b ∈

8.  Anillo de división:
Cuando sus elementos no nulos son invertiblesy da como resultado el elemento
identidad: ℤ𝟒
′
= { 1 ∗ 3 }
 Subanillo:
Sea (A,+, *) un anillo sea S ⊂ A un subconjunto.Decimos que S es un subanilloA si
(S, +,∗) es un anillo.
ℤ𝟒 posee los subanillos triviales : H𝟏= [0] y H𝟒 = 0 , 1 , 2 , 3
Y los no triviales H𝟐= 0 , 2
 Dominiode integridad:
Sea A un anillo conmutativo y unitario. Entonces A es un dominio de integridad si y
solo si se satisface en A la propiedadcancelativa, es decir :
xy = xz ∧ x ≠ 0 ⇒ y = z
ℤ𝟒 no es DDI, ya que : ∃ 2 ≠ 0 cuyo producto es igual a 0

9.  Sea K un anillo y L un subanillo de K, si LK y KL es parte de L, este se
llama ideal (bilateral).
 De modo que si a es un elemento cualquiera del anillo K, x elemento del ideal L, se
cumple que ax, también xa están en L