Aceleración de partículas en sistemas de fuerzas

C. Briceño | cbricenom2016@gmail.com
DINÁMICA
Facultad de Ingeniería Civil
ICV5101
Profesora:
Mag. Ing. Carolina Paola Briceño
Meléndez
cbricenom2016@gmail.com
Semestre:
2016-2
Basado en el libro de Ferdinand P., Beer
E. y Russell Johnston, Jr.

La aceleración puede descomponerse en sus componentes
tangencial y normal.
 Radio de curvatura
C: Centro de curvatura
et

Vector tangencial unitario.
en

Vector normal unitario.
dtdt

a


dv

d(vet ) Aceleración
instantánea.
dt
det
t

 dv 
dt
(e )  va 
dt ρ
2
t na


dv
(e

) 
v
(e

)
atan

dv Aceleración
tangencial.
ρ
a
dt
2
n

v Aceleración
normal.
C

Desde el punto A se dispara un proyectil con velocidad vo.
a) Si se denota mediante α el ángulo formado por la tangente a la trayectoria y
la horizontal en el punto dado C, hallar el radio de curvatura de la trayectoria en
C es

Un automovilista que viaja a lo largo de la parte recta de una carretera, está
disminuyendo la rapidez de su automóvil a razón constante antes de salir de la
carretera por una rampa circular con radio de 560 ft. Continúa desacelerando a la
misma tasa constante de manera que 10 s después de entrar a la rampa, su rapidez
ha bajado a 20 mi/h, a partir de entonces mantiene dicha rapidez. Si se sabe que a
esta rapidez constante la aceleración total del automóvil es igual a un cuarto de su
valor antes de entrar a la rampa, determine el valor máximo de la aceleración total del
automóvil.

Un auto inicia su movimiento desde el reposo en A y su velocidad
incrementa en atan = (6 - 0,06s) m/s². Determinar la magnitud de la
aceleración total del auto cuando alcance el punto B de la trayectoria
donde sB = 40 m.

El movimiento relativo de 2 partículas se
definen en base a sistemas de referencia.
rA,rB
  Vectores de posición en
A y B.
rB/A
 

r 

r
B A
Posición relativa
vB/A
  v

v

B A Velocidad relativa
aB/A
  a

a

B A
Aceleración relativa
x-y: Sistema de referencia fijo.
x’-y’:Sistema de referencia en
movimiento (traslación)

El automóvil A viaja hacia el este con una rapidez
constante de 36 km/h.
Cuando el automóvil A cruza la intersección que se
muestra, el automóvil B parte del reposo desde
una distancia de 35 m al norte de la intersección y
se mueve hacia el sur con una aceleración
constante de 1.2 m/s2. Determine la posición,
velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s
después de que A cruza la intersección.
3

En un instante dado en una carrera de aviones, el avión A vuela horizontalmente
en línea recta, y su rapidez aumenta a razón de 8 m/s2. El avión B vuela a la
misma altura que el avión A y, al rodear un pilar, sigue una trayectoria circular de
300 m de radio. Si se sabe que en un instante dado la rapidez de B está
disminuyendo a razón de 3 m/s2, determine, para las posiciones mostradas, a) la
velocidad de B relativa a A, b) la aceleración de B en relación con A.
3

El movimiento del pin P está controlado por los movimientos de las guías
deslizantes A y B con respecto a las cuales el pin desliza. Si el movimiento de
las guías está dado por las velocidades y aceleraciones mostradas, determinar
las componentes tangencial y normal de la aceleración del pin P en ese
instante.

La aceleración puede expresarse en componentes radiales
y transversales.
-er
Vector radial unitario.eθ
Vector transversal unitario.

dθ
der 
dθ
deθ 

La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por
medio de la relación ϴ = (4t² – 8t), donde y t se expresan
en radianes y segundos, respectivamente. El collarín B se
desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia
desde O es r=10+6 sen t, donde r y t se expresan en
pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t =1 s,
determine a) la velocidad
del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la
aceleración del collarín relativa a la varilla

CAPÍTULO 2 CINÉTICA DE
PARTÍCULAS: SEGUNDA
LEY DE NEWTON

Si la fuerza resultante en una partícula no es nula, el modulo
de su aceleración será proporcional al modulo de la fuerza.
OXY: Sistema de referencia fijo.
F: Resultante de fuerzas.
a: Aceleración absoluta de
la partícula.
O X
Y
F y a : vectores
m : escalar
F  m a

Los sistemas de unidades más usados son el Sistema
Internacional (SI) y el Foot-Pound-Second (FPS)
s2
1N  kg.
m
s2
1pound 1lb.
ft
Sistema
Internacional
s2
1kgf 1kg*9,8
m
 9,8 N
1 lbf= 32.2 pound 1lb* 32.2ft/s2
Unidades FPS

16
amF


• Componentes rectangulares
   
zmFymFxmF
maFmaFmaF
kajaiamkFjFiF
zyx
zzyyxx
zyxzyx








• Componentes tangenciales y normales
2
t t n n
t n
F ma F ma
dv v
F m F m
dt 
 
 
 
 
La segunda ley de Newton puede expresarse en:

17
 
 




rrmmaF
rrmmaF rr
2
2




• Componentes radiales y transversales
La segunda ley de Newton puede expresarse en:

En el instante mostrado, el bloque (m =1,8 kg) está conectado a un
resorte no deformado.
a)Si el bloque es liberado desde el reposo en la posición mostrada,
determine su velocidad cuando llega al suelo.
b)Si es jalado hasta que toque el suelo y luego liberado desde el reposo
en esta posición, halle la máxima altura (medida desde el suelo) que
alcanza el bloque.
a) v = 1.373 m/s
b) Xmax= 0.159 m

Los bloques A y B pesan 150 N y 100 N, respectivamente. El coeficiente de
rozamiento cinético entre A y el plano inclinado es 0,30. La superficie horizontal
sobre la que se apoya B es lisa. Cuando los bloques están en la posición
representada, el bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad de 1,5
m/s. Hallar la tensión de la cuerda y las aceleraciones de los bloques.
T= 45.82 N
aA= 2.247 m/s²
aB= 4.494 m/s²

Una bola para demolición B (mB = 60 kg) está unida a un cable de
acero AB de 14 m de largo y oscila en el arco vertical que se indica en
la figura. C es el punto de máximo alcance en el péndulo (parte
superior). Determine la tensión en el cable en C cuando:
El camión se encuentra en reposo.
El camión se mueve con velocidad constante.
El camión se mueve con aceleración constante a=2m/s2
a) T = 553.1 N
b) T=553.1 N
c) T= 594.1 N

El bloque A (m = 20 kg) se encuentra en reposo en x = 6 m cuando
repentinamente se empieza a aplicar sobre él una fuerza horizontal
constante hacia la izquierda de 5 kN. Determine la velocidad de A después
de que ésta haya recorrido 2 m.
La placa B triangular homogénea (m = 100 kg) es lisa, y no se mueve
durante el movimiento del bloque A. El coeficiente de fricción entre el
bloque A y el suelo es μk = 0,30.
5000 N
μ K  0,30
v  30.34 m/s

Los dos bloques (mA=mB=m) son soltados del reposo. Determinar la
aceleración de los bloques. Desprecie la fricción en todas las
superficies de contacto.
aA=8.662 m/s²
aB=3.153 m/s²

El bloque mostrado reposa sobre la superficie lisa cuando se empieza a
jalar la cuerda con una fuerza vertical constante P desde x = 2 m.
Determinar la velocidad del bloque en x = 0,6 m.
v=2.30 m/s

Una partícula (m = 3 kg) se mueve a lo largo de una varilla vertical
parabólica lisa de ecuación y= 0,3x .Un resorte de rigidez k = 50 N/m
está conectado a la masa y tiene una longitud sin deformar de 0,6 m.
Cuando la partícula pasa por el punto A se está moviendo a 2,80 m/s.
En ese instante,
¿Cuál es la fuerza que ejerce la varilla sobre la partícula?
N = 19.66 N

El sistema se suelta del reposo, determinar las tensiones en las cuerdas y las
aceleraciones de los bloques. Desprecie la fricción. mA=60kg, mB= 40kg
T = 376.32 N
aA= -0.392m/s²
aB= 0.392 m/s²

Los bloques mostrados están en reposo cuando de repente se le aplica al
bloque A una fuerza horizontal de 200 N hacia la derecha y al bloque C una
fuerza horizontal de 100 N hacia la izquierda, determinar las aceleraciones de
los bloques . mA= 3 kg, mB= 8 kg , mc= 5 kg, desprecie fricción
aA= 7.69 m/s²
aB= 8.97 m/s²
ac= 3.08 m/s²

El motor A enrolla el cable con una velocidad 𝑣 = 2𝑡3/2
m/s, t en segundos, se
conoce que el máximo momento flector que puede soportar la viga es
M = 12 kN-m, determinar el instante t para el cual la viga empieza a fallar
mB= 150 kg , la viga y poleas tienen pesos despreciable
t = 7.083s

En el sistema de entrega por tubo neumático que se muestra, la presión de
aire obliga al recipiente cilíndrico de masa m a moverse por el tubo curvo
fijo de radio R. El tubo se encuentra en un plano horizontal y el coeficiente
de fricción entre el cilindro y el tubo es μ. Determinar la fuerza de propulsión
P necesaria para mantener una rapidez constante de vo para
el cilindro.
P = m μ 𝑔2 +
𝑣𝑜4
𝑅2

CINÉTICA DE UNA
PARTÍCULA: Métodos de
trabajo y energía

Trabajo de una fuerza
rd

cos
x y
dU F dr
F ds
F dx F dy



 
•Desplazamiento de una partícula
• Trabajo de una fuerza correspondiente a
un desplazamiento: F rd

El trabajo es una cantidad escalar en unidades [Nm o J]
Si y tienen la misma direcciónF rd

dU Fds
F rd

dU Fds 
Si es perpendicular aF rd
 0dU 
Si y tienen direcciones opuestas

El trabajo de una fuerza durante un desplazamiento finito:
 
2
1
2 2
1 1
1 2
cos
A
A
s s
t
s s
U F dr
F ds F ds
 
 

 
El trabajo entonces se puede representar como el área
bajo la curva de la gráfica Ft vs s.
 
2
1
1 2
A
x y
A
U F dx F dy  
Ft = Componente tangencial
Y si usamos coordenadas rectangulares

Diferentes casos particulares
Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo
  xFU  cos21
Trabajo de la fuerza del peso
 
2
1
1 2
2 1
y
y
U W dy
W y y W y
  
     

• Trabajo hecho por el peso = producto del peso W por el
desplazamiento vertical Dy
• El trabajo por el peso es + cuando Dy < 0, es decir el
cuerpo se mueve hacia abajo
x ydU F dx F dy W dy   

• La magnitud de una fuerza ejercida por un resorte es
proporcional a su deformación
 lb/in.orN/mconstantspring

k
kxF
• Trabajo por una fuerza ejercida por resorte,
2
22
12
12
1
21
2
1
kxkxdxkxU
dxkxdxFdU
x
x



• El trabajo de este tipo de fuerza es positivo cuando x2 < x1,
cuando el resorte está retornando a la posición indeformada.
Diferentes casos particulares

Energía cinética de una partícula: Principio de trabajo y energía
dvmvdsF
ds
dv
mv
dt
ds
ds
dv
m
dt
dv
mmaF
t
tt



F

• Integrando desde A1 a A2 ,
éticaEnergíaCinmvTTTU
mvmvdvvmdsF
v
v
s
s
t




2
2
1
1221
2
12
12
22
1
2
1
2
1
Trabajo de = cambia la energía cinéticaF

• Unidades
JmNm
s
m
kg
s
m
kg 2
2
2
2
1 










 mvT
1 1 2 2T U T  Principio de trabajo y energía

Dos bloques están unidos por un cable inextensible en la forma que se
muestra. Si el sistema se suelta desde el reposo, determine la velocidad
del bloque A después de que éste se ha movido 2 m. Suponga que el
coeficiente de fricción cinética entre el bloque A y el plano es µk = 0.25 y
que la polea no tiene peso ni fricción.
v = 4.43 m/s

El bloque A (mA = 300 g) de latón (no magnético) y el imán B de acero
(mB = 200 g) están en equilibrio dentro de un tubo de latón bajo el
efecto de la fuerza repelente del imán C de acero localizado x = 4 mm
del punto B. La fuerza repelente es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre B y C. Si A se retira repentinamente,
determinar la máxima velocidad de B.
v max = 0.163 m/s

Un vehículo de 2 000 lb parte del reposo en el punto 1 y desciende sin fricción
por la pista que se indica. a) Determine la fuerza que ejerce la pista sobre el
vehículo en el punto 2, donde el radio de curvatura de la pista es de 20 ft. b)
Determine el valor mínimo seguro del radio de curvatura en el punto 3.
N= 10000 lbf
Ρ = 50 ft

Se utiliza un resorte para detener un paquete de 60 kg que se desliza sobre una
superficie horizontal. El resorte tiene una constante k 20 kN/m y se sostiene
mediante cables de manera que se encuentre inicialmente comprimido 120 mm.
Sabiendo que el paquete tiene una velocidad de 2.5 m/s en la posición que se
indica y que la máxima compresión adicional del resorte es de 40 mm,
determine
a) el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la superficie, b) la
velocidad del paquete cuando éste pasa otra vez por la posición mostrada..
µk = 0.20
V3= -1.103 m/s

Un tractocamión entra a una pendiente descendente de 2 por ciento viajando a
108 km/h y debe bajar su velocidad a 72 km/h en 300 m. La cabina tiene una
masa de 1 800 kg y el remolque de 5 400 kg. Determine
a) la fuerza de frenado promedio que se debe aplicar, b) la fuerza promedio
ejercida sobre el acoplamiento si 70 por ciento de la fuerza de frenado la
proporciona el remolque y 30 por ciento la cabina.
a) Fb = 7.41 KN
b) Fc = 3.71 KN ( compresión)

Los dos bloques idénticos que se muestran en la figura se sueltan desde el
reposo. Si se ignoran las masas de las poleas y se sabe que los coeficientes de
fricción estática y cinética son µs 0.30 y µk 0.20, determine
a) la velocidad del bloque B después de que éste se ha movido 2 m, b) la tensión
en el cable.
a) vB= 2.98 m/s ( inclinación -60°)
b) T= 10.59 N

El sistema que se muestra, compuesto por un collarín A de 40 lb y un
contrapeso B de 20 lb está en reposo cuando se aplica una fuerza constante de
100 lb al collarín A. a) Determine la rapidez de A justo antes de que golpee el
soporte en C. b) Resuelva el inciso a) suponiendo que el contrapeso B se
sustituye por una fuerza hacia abajo de 20 lb. No tome en cuenta la fricción ni
las masas de las poleas.
vA= 10.36 ft/s ( hacia abajo

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