Estática

1. INTRODUCCIÓN
ESTÁTICA
FIM / MC337
Recopilado por: Ing. Jose Ganoza

2. Índice
1. Historia.
2. Ubicación en la Mecánica.
3. Álgebra vectorial.
4. Momento central.
5. Teorema de Varignon.
6. Momento áxico.
7. Par de fuerzas.
8. Momento o torque de una par
de fuerzas.
9. Ejercicios.
10. Recordar que …
11. Clasificación.
12. Conclusiones.
13. Referencias.

3. 1. Historia
Se remonta a los tiempos de Aristóteles (384-322 a. de
J.C.) y Arquímides (287-212 a.de J.C.). Recién Newton
(1642-1727) formuló satisfactoriamente sus principios
fundamentales.

4. 2. Ubicación en la Mecánica
La Mecánica: ciencia que describe
y predice las condiciones de reposo o
movimiento de los cuerpos bajo la
acción de fuerzas.
La cinemática: estudio del geometría
del movimiento sin referencia a las
causas del mismo.
La cinética: estudio de las relaciones
entre las fuerzas y el movimiento de los
cuerpos en los que actúan.
La estática: estudio del
estado de equilibrio de los
cuerpos bajo la acción de
fuerzas.
La dinámica: estudio
del movimiento de los
cuerpos considerando,
tanto la cinemática como
cinética.

5. 3. Diagrama de cuerpo libre
El joven de 80 kg está de pie sobre la viga y jala con una fuerza de 40 kg. Si el
coeficiente de fricción estática en D es 0.4, determine las fuerzas en los apoyos A y B
de la viga. La viga es uniforme y pesa 100 kg. Ignore el tamaño de las poleas y el
espesor de la viga.

6. 4. Sistemas de referencia: 1D, 2D, 3D

7. 5. Suma de vectores

A
D
R

A
D
R
180° - 

8. 6. Descomposición de vectores
Es un proceso inverso al de la suma de vectores. Normalmente ocurre según dos
direcciones arbitrarias. Un caso especial es cuando esta direcciones son ortogonales.

9. 7. Descomposición en el espacio cartesiano
P = Px i + Py j + Pz k
P
y
x
z
P
y
x
z
Px
Py
Pz

10. 8. Ángulos directores
Los cálculos proporcionan los ángulos
directores que hace el vector con los lados
positivos de los ejes X, Y Z.

11. 9. Producto escalar o producto punto de dos vectores
i . i = 1 , j . j = 1 , k . k = 1
i . j = j . i = 0 ,
j . k = k . j = 0 ,
k . i = i . k = 0

12. Propiedades del Producto escalar

13. 10. Producto vectorial o producto cruz de dos vectores
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k , j x k = i , k x i = j ,
i x k = - j , j x i = - k , k x j = - i

14. 11. Producto vectorial como un determinante

15. 12. Triple Producto Mixto Escalar

16. 13. Los octantes

17. 14. Momento central (o de una fuerza respecto a un punto)
M = r x F
M = (xi + yj + zk) x (Fxi + Fyj + Fzk)
M = (yFz – zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k

18. 15. F un vector deslizante
La transmisibilidad de F se observa
cuando se desliza de A hacia B y
causa el mismo efecto.
r1 x F = r2 x F
r2 x F = (r1 + r) x F
Se observa que r = cF
r2 x F = r1 x F + r x F
r2 x F = r1 x F + cF x F
r2 x F = r1 x F

19. 16. Teorema de Varignon
Establece que:
El momento de una fuerza es
igual a la suma de los
momentos de sus fuerzas
componentes.
F = F1 + F2 + F3 + ……. + Fn
M = r x F = r x (F1 + F2 + ………+ Fn)
M = r x F1 + r x F2 + ……… + r x Fn
M = σ𝑖=1
𝑛
r x F i

20. Teorema de Varignon

21. 17. Momento de una fuerza respecto a un eje o
momento áxico
El momento de la fuerza F
respecto al eje L se define
como el momento de la
proyección de F sobre el
plano P respecto al eje L o al
punto o.
M = (r x F).

22. 17. Momento de una Fuerza respecto de un Eje
• Considere una línea L y una fuerza F
(fig.a). Sea MP el momento de F
respecto a un punto arbitrario P sobre L
(fig.b). El momento de F respecto a L
es la componente de MP paralela a L,
que se denota con ML.
• La magnitud del momento de F
respecto a L es ML, y cuando el pulgar
de la mano derecha apunta en la
dirección de ML, el arco de los dedos
indica el sentido del momento respecto
a L.
• En términos de un vector unitario e a lo
largo de L, ML está dado por:

23. SIGUE: Momento de una Fuerza respecto de un
Eje
• El momento MP = r x F, por lo que
también se puede expresar ML como:
• El triple producto escalar mixto en esta
expresión está dado en términos de las
componentes de los tres vectores por:
• Si el resultado anterior es positivo
entonces el vector ML tiene la misma
dirección que el vector unitario e.

24. CASOS ESPECIALES

25. 18. Ejemplo
Dada la fuerza F = (4i – 8j + 3k)N que
pasa por el punto A = (-3, 8 , 2) m,
determinar los momentos de F con
respecto a:
• Al origen.
• Los ejes x, y, z.
• Tres ejes paralelos a los ejes x, y, z
que concurren en el punto B = (2,3,
-1) metros.
Solución:
El momento respecto al origen es:
Mo= (-3i+8j+2k)m x (4i – 8j + 3k)N
Mo= (40i + 17j - 8k) m.N
El momento respecto al eje x, y, z:
Eje x: Mx = (Mo.i)i = 40i m.N
Eje y: My = (Mo.j)j = 17j m.N
Eje z: Mz = (Mo.k)k = -8k m.N

26. 19. Ejemplo
Con respecto al punto B, se tiene el
vector BA = (-3, 8 , 2) - (2, 3, -1) =
(-5, 5, 3) m.
El momento respecto al punto B se
tiene:
MB= (-5i+5j+3k)m x (4i – 8j + 3k)N
MB= (39i + 27j + 20k) m.N
El momento respecto al eje x, y, z:
Eje x: Mx = (MB.i)i = 39i m.N
Eje y: My = (MB.j)j = 27j m.N
Eje z: Mz = (MB.k)k = 20k m.N

27. 20. Momento de un par de fuerzas
Un par se compone de dos fuerzas
iguales, paralelas y de sentido
contrario.
Mo = r1 x F + r2 x (-F)
Mo = r1 x F - r2 x F
Mo = (r1 – r2) x F
Mo = r x F

28. 21. Ejemplo
¿Cuál es el momento del par si
F = 10 lb?
Solución:
BA = r = 4i pies
F = 10 lb (4j-4k)/42 = 52(j – k)lb
M = r x F =
Mo = 202 (j + k) pies.lb

29. EJERCICIOS

30. Ejercicio 1.1
1. Determinar la proyección de una fuerza de 100 N, que tiene
por coseno directores a: 0.29, 0.4, -0.87, sobre una recta de
con coseno directores -0.2, 0.6, 0.775. Exprese su respuesta
en forma vectorial.
2. ¿Para qué valor de m son ortogonales entre sí los vectores
que parten del origen a los puntos (3,-6,2) y (-4,8,m).
3. Si a = 3i+5j+7k; b = 8i-4j+2k; c = 5i+11j -2k. Calcular:
a) 3a.2b b) (a x b).c c) (a . b)c d) (a x b) x c
30

31. Ejercicio 1.2
31

32. Sumar los pares
mostrados en la figura.
Ejercicio 1.3

33. Calcular el momento de la fuerza de 250 N, aplicada en el mango de la
llave, respecto del centro de la cabeza del tornillo.
Ejercicio 2.1

34. 34
Calcular el momento de la
tensión T respecto del punto O
y respecto del punto P.
Ejercicio 2.2

35. Para elevar la barra telescópica OBC, el marco triangular OAB se conecta a la
polea y se le ejerce una tensión de 780 lb en el cable debido a la potencia del
winche en D. Calcular el momento Mo de la tensión respecto de O.
Ejercicio 2.3

36. El tensor es ajustado hasta que la tensión
en el cable AB alcanza 2.4 kN. Determinar:
a) La expresión vectorial de esta tensión T
cuando actúa en A.
b) La magnitud de la proyección de T
sobre AC.
c) Los ángulos directores de la tensión T.
Ejercicio 3.1

37. Calcular el momento de la fuerza P
respecto del eje AD. Considerar:
a=2 ft; b=5 ft; c=6 ft; d=8 ft; e=3 ft;
P=240 lb
Ejercicio 3.2

38. Dos paneles de madera de 0.6 x 1.2 m
c/u con un peso de 12 kg, están clavados
entre sí en BE como se muestra. Se
sostienen mediante rótulas en A y F y,
por el alambre BH. Determine:
a) La ubicación de H en el plano x-y si la
tensión en el alambre debe ser mínima.
b) La tensión en BH.
Ejercicio 3.3

39. Recordar que…
LEY DE COSENOS
En un sistema de tres fuerzas se
tiene…

40. Recordar que…
LEY DE SENOS
En un sistema de tres fuerzas se
tiene…

41. Recordar que…Ley de Senos
En un sistema de tres fuerzas en equilibrio se tiene…

42. Conclusiones
Con la participación de los alumnos…

43. Referencias
• BEER, Ferdinand P. (2010) Mecánica vectorial para ingenieros:
estática. México, D.F.: McGraw-Hill.
• HIBBELER, R. C. (2010) Ingeniería mecánica: estática. México, D.F.:
Pearson Educación.
• BEDFORD, Anthony (1996) Mecánica para ingeniería: estática.
Wilmington, DL: Addison-Wesley Iberoamericana.
• HUANG, T.C. Mecánica para ingenieros: estática.