SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 43
Descargar para leer sin conexión
INTRODUCCIÓN
ESTÁTICA
FIM / MC337
Recopilado por: Ing. Jose Ganoza
Índice
1. Historia.
2. Ubicación en la Mecánica.
3. Álgebra vectorial.
4. Momento central.
5. Teorema de Varignon.
6. Momento áxico.
7. Par de fuerzas.
8. Momento o torque de una par
de fuerzas.
9. Ejercicios.
10. Recordar que …
11. Clasificación.
12. Conclusiones.
13. Referencias.
1. Historia
Se remonta a los tiempos de Aristóteles (384-322 a. de
J.C.) y Arquímides (287-212 a.de J.C.). Recién Newton
(1642-1727) formuló satisfactoriamente sus principios
fundamentales.
2. Ubicación en la Mecánica
La Mecánica: ciencia que describe
y predice las condiciones de reposo o
movimiento de los cuerpos bajo la
acción de fuerzas.
La cinemática: estudio del geometría
del movimiento sin referencia a las
causas del mismo.
La cinética: estudio de las relaciones
entre las fuerzas y el movimiento de los
cuerpos en los que actúan.
La estática: estudio del
estado de equilibrio de los
cuerpos bajo la acción de
fuerzas.
La dinámica: estudio
del movimiento de los
cuerpos considerando,
tanto la cinemática como
cinética.
3. Diagrama de cuerpo libre
El joven de 80 kg está de pie sobre la viga y jala con una fuerza de 40 kg. Si el
coeficiente de fricción estática en D es 0.4, determine las fuerzas en los apoyos A y B
de la viga. La viga es uniforme y pesa 100 kg. Ignore el tamaño de las poleas y el
espesor de la viga.
4. Sistemas de referencia: 1D, 2D, 3D
5. Suma de vectores

A
D
R

A
D
R
180° - 
6. Descomposición de vectores
Es un proceso inverso al de la suma de vectores. Normalmente ocurre según dos
direcciones arbitrarias. Un caso especial es cuando esta direcciones son ortogonales.
7. Descomposición en el espacio cartesiano
P = Px i + Py j + Pz k
P
y
x
z
P
y
x
z
Px
Py
Pz
8. Ángulos directores
Los cálculos proporcionan los ángulos
directores que hace el vector con los lados
positivos de los ejes X, Y Z.
9. Producto escalar o producto punto de dos vectores
i . i = 1 , j . j = 1 , k . k = 1
i . j = j . i = 0 ,
j . k = k . j = 0 ,
k . i = i . k = 0
Propiedades del Producto escalar
10. Producto vectorial o producto cruz de dos vectores
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k , j x k = i , k x i = j ,
i x k = - j , j x i = - k , k x j = - i
11. Producto vectorial como un determinante
12. Triple Producto Mixto Escalar
13. Los octantes
14. Momento central (o de una fuerza respecto a un punto)
M = r x F
M = (xi + yj + zk) x (Fxi + Fyj + Fzk)
M = (yFz – zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k
15. F un vector deslizante
La transmisibilidad de F se observa
cuando se desliza de A hacia B y
causa el mismo efecto.
r1 x F = r2 x F
r2 x F = (r1 + r) x F
Se observa que r = cF
r2 x F = r1 x F + r x F
r2 x F = r1 x F + cF x F
r2 x F = r1 x F
16. Teorema de Varignon
Establece que:
El momento de una fuerza es
igual a la suma de los
momentos de sus fuerzas
componentes.
F = F1 + F2 + F3 + ……. + Fn
M = r x F = r x (F1 + F2 + ………+ Fn)
M = r x F1 + r x F2 + ……… + r x Fn
M = σ𝑖=1
𝑛
r x F i
Teorema de Varignon
17. Momento de una fuerza respecto a un eje o
momento áxico
El momento de la fuerza F
respecto al eje L se define
como el momento de la
proyección de F sobre el
plano P respecto al eje L o al
punto o.
M = (r x F).
17. Momento de una Fuerza respecto de un Eje
• Considere una línea L y una fuerza F
(fig.a). Sea MP el momento de F
respecto a un punto arbitrario P sobre L
(fig.b). El momento de F respecto a L
es la componente de MP paralela a L,
que se denota con ML.
• La magnitud del momento de F
respecto a L es ML, y cuando el pulgar
de la mano derecha apunta en la
dirección de ML, el arco de los dedos
indica el sentido del momento respecto
a L.
• En términos de un vector unitario e a lo
largo de L, ML está dado por:
SIGUE: Momento de una Fuerza respecto de un
Eje
• El momento MP = r x F, por lo que
también se puede expresar ML como:
• El triple producto escalar mixto en esta
expresión está dado en términos de las
componentes de los tres vectores por:
• Si el resultado anterior es positivo
entonces el vector ML tiene la misma
dirección que el vector unitario e.
CASOS ESPECIALES
18. Ejemplo
Dada la fuerza F = (4i – 8j + 3k)N que
pasa por el punto A = (-3, 8 , 2) m,
determinar los momentos de F con
respecto a:
• Al origen.
• Los ejes x, y, z.
• Tres ejes paralelos a los ejes x, y, z
que concurren en el punto B = (2,3,
-1) metros.
Solución:
El momento respecto al origen es:
Mo= (-3i+8j+2k)m x (4i – 8j + 3k)N
Mo= (40i + 17j - 8k) m.N
El momento respecto al eje x, y, z:
Eje x: Mx = (Mo.i)i = 40i m.N
Eje y: My = (Mo.j)j = 17j m.N
Eje z: Mz = (Mo.k)k = -8k m.N
19. Ejemplo
Con respecto al punto B, se tiene el
vector BA = (-3, 8 , 2) - (2, 3, -1) =
(-5, 5, 3) m.
El momento respecto al punto B se
tiene:
MB= (-5i+5j+3k)m x (4i – 8j + 3k)N
MB= (39i + 27j + 20k) m.N
El momento respecto al eje x, y, z:
Eje x: Mx = (MB.i)i = 39i m.N
Eje y: My = (MB.j)j = 27j m.N
Eje z: Mz = (MB.k)k = 20k m.N
20. Momento de un par de fuerzas
Un par se compone de dos fuerzas
iguales, paralelas y de sentido
contrario.
Mo = r1 x F + r2 x (-F)
Mo = r1 x F - r2 x F
Mo = (r1 – r2) x F
Mo = r x F
21. Ejemplo
¿Cuál es el momento del par si
F = 10 lb?
Solución:
BA = r = 4i pies
F = 10 lb (4j-4k)/42 = 52(j – k)lb
M = r x F =
Mo = 202 (j + k) pies.lb
EJERCICIOS
Ejercicio 1.1
1. Determinar la proyección de una fuerza de 100 N, que tiene
por coseno directores a: 0.29, 0.4, -0.87, sobre una recta de
con coseno directores -0.2, 0.6, 0.775. Exprese su respuesta
en forma vectorial.
2. ¿Para qué valor de m son ortogonales entre sí los vectores
que parten del origen a los puntos (3,-6,2) y (-4,8,m).
3. Si a = 3i+5j+7k; b = 8i-4j+2k; c = 5i+11j -2k. Calcular:
a) 3a.2b b) (a x b).c c) (a . b)c d) (a x b) x c
30
Ejercicio 1.2
31
Sumar los pares
mostrados en la figura.
Ejercicio 1.3
Calcular el momento de la fuerza de 250 N, aplicada en el mango de la
llave, respecto del centro de la cabeza del tornillo.
Ejercicio 2.1
34
Calcular el momento de la
tensión T respecto del punto O
y respecto del punto P.
Ejercicio 2.2
Para elevar la barra telescópica OBC, el marco triangular OAB se conecta a la
polea y se le ejerce una tensión de 780 lb en el cable debido a la potencia del
winche en D. Calcular el momento Mo de la tensión respecto de O.
Ejercicio 2.3
El tensor es ajustado hasta que la tensión
en el cable AB alcanza 2.4 kN. Determinar:
a) La expresión vectorial de esta tensión T
cuando actúa en A.
b) La magnitud de la proyección de T
sobre AC.
c) Los ángulos directores de la tensión T.
Ejercicio 3.1
Calcular el momento de la fuerza P
respecto del eje AD. Considerar:
a=2 ft; b=5 ft; c=6 ft; d=8 ft; e=3 ft;
P=240 lb
Ejercicio 3.2
Dos paneles de madera de 0.6 x 1.2 m
c/u con un peso de 12 kg, están clavados
entre sí en BE como se muestra. Se
sostienen mediante rótulas en A y F y,
por el alambre BH. Determine:
a) La ubicación de H en el plano x-y si la
tensión en el alambre debe ser mínima.
b) La tensión en BH.
Ejercicio 3.3
Recordar que…
LEY DE COSENOS
En un sistema de tres fuerzas se
tiene…
Recordar que…
LEY DE SENOS
En un sistema de tres fuerzas se
tiene…
Recordar que…Ley de Senos
En un sistema de tres fuerzas en equilibrio se tiene…
Conclusiones
Con la participación de los alumnos…
Referencias
• BEER, Ferdinand P. (2010) Mecánica vectorial para ingenieros:
estática. México, D.F.: McGraw-Hill.
• HIBBELER, R. C. (2010) Ingeniería mecánica: estática. México, D.F.:
Pearson Educación.
• BEDFORD, Anthony (1996) Mecánica para ingeniería: estática.
Wilmington, DL: Addison-Wesley Iberoamericana.
• HUANG, T.C. Mecánica para ingenieros: estática.

Más contenido relacionado

Similar a 01_Introducción.pdf. Diapositiva del curso.

Introduccion a la estructura fuerzas y momento
Introduccion a la estructura   fuerzas y momentoIntroduccion a la estructura   fuerzas y momento
Introduccion a la estructura fuerzas y momento
Moisés Galarza Espinoza
 
05 ejercicios complementarios-mecanica
05   ejercicios complementarios-mecanica05   ejercicios complementarios-mecanica
05 ejercicios complementarios-mecanica
Quimica Tecnologia
 
Tippens fisica 7e_diapositivas_05b
Tippens fisica 7e_diapositivas_05bTippens fisica 7e_diapositivas_05b
Tippens fisica 7e_diapositivas_05b
Robert
 
Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012
Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012
Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012
Ausbel Joab Cuyo Ttito
 

Similar a 01_Introducción.pdf. Diapositiva del curso. (20)

Fuerzas estatica
Fuerzas estaticaFuerzas estatica
Fuerzas estatica
 
Momento de una fuerza con respecto a un punto
Momento de una fuerza con respecto a un puntoMomento de una fuerza con respecto a un punto
Momento de una fuerza con respecto a un punto
 
Introduccion a la estructura fuerzas y momento
Introduccion a la estructura   fuerzas y momentoIntroduccion a la estructura   fuerzas y momento
Introduccion a la estructura fuerzas y momento
 
05 ejercicios complementarios-mecanica
05   ejercicios complementarios-mecanica05   ejercicios complementarios-mecanica
05 ejercicios complementarios-mecanica
 
Estática 02 momento-2014
Estática 02  momento-2014Estática 02  momento-2014
Estática 02 momento-2014
 
Uii estatica
Uii estaticaUii estatica
Uii estatica
 
Uii estatica
Uii estaticaUii estatica
Uii estatica
 
FUERZAS EN EL ESPACIO
FUERZAS EN EL ESPACIOFUERZAS EN EL ESPACIO
FUERZAS EN EL ESPACIO
 
Fisica b vectores y fuerzas x
Fisica b vectores y fuerzas xFisica b vectores y fuerzas x
Fisica b vectores y fuerzas x
 
Estudiante
EstudianteEstudiante
Estudiante
 
Fuerza 2d[7]
Fuerza 2d[7]Fuerza 2d[7]
Fuerza 2d[7]
 
Condicion de equilibrio
Condicion de equilibrioCondicion de equilibrio
Condicion de equilibrio
 
Tippens fisica 7e_diapositivas_05b
Tippens fisica 7e_diapositivas_05bTippens fisica 7e_diapositivas_05b
Tippens fisica 7e_diapositivas_05b
 
Campos vectoriales
Campos vectorialesCampos vectoriales
Campos vectoriales
 
Ejercicios de estatica
Ejercicios de estaticaEjercicios de estatica
Ejercicios de estatica
 
Estatica
Estatica Estatica
Estatica
 
Estatica - Ejercicios Resueltos 2 (1).pdf
Estatica - Ejercicios Resueltos 2 (1).pdfEstatica - Ejercicios Resueltos 2 (1).pdf
Estatica - Ejercicios Resueltos 2 (1).pdf
 
Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012
Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012
Capitulo iii texto mecanica de solidos i-setiembre 2012
 
Vectores.pdf
Vectores.pdfVectores.pdf
Vectores.pdf
 
momento de una fuerza
momento de una fuerzamomento de una fuerza
momento de una fuerza
 

Último

TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
FRANCISCOJUSTOSIERRA
 
Automatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdf
Automatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdfAutomatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdf
Automatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdf
SAULMUOZ16
 

Último (20)

368165951-Procedimiento-de-Gruas-e-Izaje.doc
368165951-Procedimiento-de-Gruas-e-Izaje.doc368165951-Procedimiento-de-Gruas-e-Izaje.doc
368165951-Procedimiento-de-Gruas-e-Izaje.doc
 
ESFUERZO EN VIGAS SESIÓN 5 PROBLEMA RESUELTOS.pdf
ESFUERZO EN VIGAS SESIÓN 5 PROBLEMA RESUELTOS.pdfESFUERZO EN VIGAS SESIÓN 5 PROBLEMA RESUELTOS.pdf
ESFUERZO EN VIGAS SESIÓN 5 PROBLEMA RESUELTOS.pdf
 
Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25
Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25
Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25
 
Diagramas de Tiempo.pptpara electronica aplicada
Diagramas de Tiempo.pptpara electronica aplicadaDiagramas de Tiempo.pptpara electronica aplicada
Diagramas de Tiempo.pptpara electronica aplicada
 
Presentación de proyecto y resumen de conceptos (3).pdf
Presentación de proyecto y resumen de conceptos (3).pdfPresentación de proyecto y resumen de conceptos (3).pdf
Presentación de proyecto y resumen de conceptos (3).pdf
 
REAJUSTE DE PRECIOS EN LOS CONTRATOS ADMINISTRATIVOS DE OBRA PUBLICA PACTADOS...
REAJUSTE DE PRECIOS EN LOS CONTRATOS ADMINISTRATIVOS DE OBRA PUBLICA PACTADOS...REAJUSTE DE PRECIOS EN LOS CONTRATOS ADMINISTRATIVOS DE OBRA PUBLICA PACTADOS...
REAJUSTE DE PRECIOS EN LOS CONTRATOS ADMINISTRATIVOS DE OBRA PUBLICA PACTADOS...
 
Ciclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptx
Ciclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptxCiclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptx
Ciclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptx
 
TERRENO DE FUNDACION - CURSO DE PAVIMENTOS
TERRENO DE FUNDACION - CURSO DE PAVIMENTOSTERRENO DE FUNDACION - CURSO DE PAVIMENTOS
TERRENO DE FUNDACION - CURSO DE PAVIMENTOS
 
Circuitos_basicos_de_neumatica miquel carulla .pdf
Circuitos_basicos_de_neumatica  miquel carulla .pdfCircuitos_basicos_de_neumatica  miquel carulla .pdf
Circuitos_basicos_de_neumatica miquel carulla .pdf
 
UNIDAD III Esquemas de comunicacion pptx
UNIDAD III Esquemas de comunicacion pptxUNIDAD III Esquemas de comunicacion pptx
UNIDAD III Esquemas de comunicacion pptx
 
Escenario económico - Desarrollo sustentable
Escenario económico - Desarrollo sustentableEscenario económico - Desarrollo sustentable
Escenario económico - Desarrollo sustentable
 
Embriologia-2 en ganado bovino lechero .ppt
Embriologia-2 en ganado bovino lechero .pptEmbriologia-2 en ganado bovino lechero .ppt
Embriologia-2 en ganado bovino lechero .ppt
 
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
 
50870516-hidroponia. descargado en novppt
50870516-hidroponia. descargado en novppt50870516-hidroponia. descargado en novppt
50870516-hidroponia. descargado en novppt
 
CLASES DE ARRANQUE DE UN MOTOR ELECTRICO.pptx
CLASES DE ARRANQUE DE UN MOTOR ELECTRICO.pptxCLASES DE ARRANQUE DE UN MOTOR ELECTRICO.pptx
CLASES DE ARRANQUE DE UN MOTOR ELECTRICO.pptx
 
ESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docx
ESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docxESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docx
ESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docx
 
ESTRATEGIA comercial de productos en mineria.pptx
ESTRATEGIA comercial de productos en mineria.pptxESTRATEGIA comercial de productos en mineria.pptx
ESTRATEGIA comercial de productos en mineria.pptx
 
Diseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdf
Diseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdfDiseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdf
Diseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdf
 
DIFERENCIA DE COMPRESION Y TENSION EN UN CUERPO
DIFERENCIA DE COMPRESION Y TENSION EN UN CUERPODIFERENCIA DE COMPRESION Y TENSION EN UN CUERPO
DIFERENCIA DE COMPRESION Y TENSION EN UN CUERPO
 
Automatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdf
Automatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdfAutomatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdf
Automatizacion Industria_Teoria y Control (1).pdf
 

01_Introducción.pdf. Diapositiva del curso.

  • 2. Índice 1. Historia. 2. Ubicación en la Mecánica. 3. Álgebra vectorial. 4. Momento central. 5. Teorema de Varignon. 6. Momento áxico. 7. Par de fuerzas. 8. Momento o torque de una par de fuerzas. 9. Ejercicios. 10. Recordar que … 11. Clasificación. 12. Conclusiones. 13. Referencias.
  • 3. 1. Historia Se remonta a los tiempos de Aristóteles (384-322 a. de J.C.) y Arquímides (287-212 a.de J.C.). Recién Newton (1642-1727) formuló satisfactoriamente sus principios fundamentales.
  • 4. 2. Ubicación en la Mecánica La Mecánica: ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. La cinemática: estudio del geometría del movimiento sin referencia a las causas del mismo. La cinética: estudio de las relaciones entre las fuerzas y el movimiento de los cuerpos en los que actúan. La estática: estudio del estado de equilibrio de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. La dinámica: estudio del movimiento de los cuerpos considerando, tanto la cinemática como cinética.
  • 5. 3. Diagrama de cuerpo libre El joven de 80 kg está de pie sobre la viga y jala con una fuerza de 40 kg. Si el coeficiente de fricción estática en D es 0.4, determine las fuerzas en los apoyos A y B de la viga. La viga es uniforme y pesa 100 kg. Ignore el tamaño de las poleas y el espesor de la viga.
  • 6. 4. Sistemas de referencia: 1D, 2D, 3D
  • 7. 5. Suma de vectores  A D R  A D R 180° - 
  • 8. 6. Descomposición de vectores Es un proceso inverso al de la suma de vectores. Normalmente ocurre según dos direcciones arbitrarias. Un caso especial es cuando esta direcciones son ortogonales.
  • 9. 7. Descomposición en el espacio cartesiano P = Px i + Py j + Pz k P y x z P y x z Px Py Pz
  • 10. 8. Ángulos directores Los cálculos proporcionan los ángulos directores que hace el vector con los lados positivos de los ejes X, Y Z.
  • 11. 9. Producto escalar o producto punto de dos vectores i . i = 1 , j . j = 1 , k . k = 1 i . j = j . i = 0 , j . k = k . j = 0 , k . i = i . k = 0
  • 13. 10. Producto vectorial o producto cruz de dos vectores i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k , j x k = i , k x i = j , i x k = - j , j x i = - k , k x j = - i
  • 14. 11. Producto vectorial como un determinante
  • 15. 12. Triple Producto Mixto Escalar
  • 17. 14. Momento central (o de una fuerza respecto a un punto) M = r x F M = (xi + yj + zk) x (Fxi + Fyj + Fzk) M = (yFz – zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k
  • 18. 15. F un vector deslizante La transmisibilidad de F se observa cuando se desliza de A hacia B y causa el mismo efecto. r1 x F = r2 x F r2 x F = (r1 + r) x F Se observa que r = cF r2 x F = r1 x F + r x F r2 x F = r1 x F + cF x F r2 x F = r1 x F
  • 19. 16. Teorema de Varignon Establece que: El momento de una fuerza es igual a la suma de los momentos de sus fuerzas componentes. F = F1 + F2 + F3 + ……. + Fn M = r x F = r x (F1 + F2 + ………+ Fn) M = r x F1 + r x F2 + ……… + r x Fn M = σ𝑖=1 𝑛 r x F i
  • 21. 17. Momento de una fuerza respecto a un eje o momento áxico El momento de la fuerza F respecto al eje L se define como el momento de la proyección de F sobre el plano P respecto al eje L o al punto o. M = (r x F).
  • 22. 17. Momento de una Fuerza respecto de un Eje • Considere una línea L y una fuerza F (fig.a). Sea MP el momento de F respecto a un punto arbitrario P sobre L (fig.b). El momento de F respecto a L es la componente de MP paralela a L, que se denota con ML. • La magnitud del momento de F respecto a L es ML, y cuando el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección de ML, el arco de los dedos indica el sentido del momento respecto a L. • En términos de un vector unitario e a lo largo de L, ML está dado por:
  • 23. SIGUE: Momento de una Fuerza respecto de un Eje • El momento MP = r x F, por lo que también se puede expresar ML como: • El triple producto escalar mixto en esta expresión está dado en términos de las componentes de los tres vectores por: • Si el resultado anterior es positivo entonces el vector ML tiene la misma dirección que el vector unitario e.
  • 25. 18. Ejemplo Dada la fuerza F = (4i – 8j + 3k)N que pasa por el punto A = (-3, 8 , 2) m, determinar los momentos de F con respecto a: • Al origen. • Los ejes x, y, z. • Tres ejes paralelos a los ejes x, y, z que concurren en el punto B = (2,3, -1) metros. Solución: El momento respecto al origen es: Mo= (-3i+8j+2k)m x (4i – 8j + 3k)N Mo= (40i + 17j - 8k) m.N El momento respecto al eje x, y, z: Eje x: Mx = (Mo.i)i = 40i m.N Eje y: My = (Mo.j)j = 17j m.N Eje z: Mz = (Mo.k)k = -8k m.N
  • 26. 19. Ejemplo Con respecto al punto B, se tiene el vector BA = (-3, 8 , 2) - (2, 3, -1) = (-5, 5, 3) m. El momento respecto al punto B se tiene: MB= (-5i+5j+3k)m x (4i – 8j + 3k)N MB= (39i + 27j + 20k) m.N El momento respecto al eje x, y, z: Eje x: Mx = (MB.i)i = 39i m.N Eje y: My = (MB.j)j = 27j m.N Eje z: Mz = (MB.k)k = 20k m.N
  • 27. 20. Momento de un par de fuerzas Un par se compone de dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario. Mo = r1 x F + r2 x (-F) Mo = r1 x F - r2 x F Mo = (r1 – r2) x F Mo = r x F
  • 28. 21. Ejemplo ¿Cuál es el momento del par si F = 10 lb? Solución: BA = r = 4i pies F = 10 lb (4j-4k)/42 = 52(j – k)lb M = r x F = Mo = 202 (j + k) pies.lb
  • 30. Ejercicio 1.1 1. Determinar la proyección de una fuerza de 100 N, que tiene por coseno directores a: 0.29, 0.4, -0.87, sobre una recta de con coseno directores -0.2, 0.6, 0.775. Exprese su respuesta en forma vectorial. 2. ¿Para qué valor de m son ortogonales entre sí los vectores que parten del origen a los puntos (3,-6,2) y (-4,8,m). 3. Si a = 3i+5j+7k; b = 8i-4j+2k; c = 5i+11j -2k. Calcular: a) 3a.2b b) (a x b).c c) (a . b)c d) (a x b) x c 30
  • 32. Sumar los pares mostrados en la figura. Ejercicio 1.3
  • 33. Calcular el momento de la fuerza de 250 N, aplicada en el mango de la llave, respecto del centro de la cabeza del tornillo. Ejercicio 2.1
  • 34. 34 Calcular el momento de la tensión T respecto del punto O y respecto del punto P. Ejercicio 2.2
  • 35. Para elevar la barra telescópica OBC, el marco triangular OAB se conecta a la polea y se le ejerce una tensión de 780 lb en el cable debido a la potencia del winche en D. Calcular el momento Mo de la tensión respecto de O. Ejercicio 2.3
  • 36. El tensor es ajustado hasta que la tensión en el cable AB alcanza 2.4 kN. Determinar: a) La expresión vectorial de esta tensión T cuando actúa en A. b) La magnitud de la proyección de T sobre AC. c) Los ángulos directores de la tensión T. Ejercicio 3.1
  • 37. Calcular el momento de la fuerza P respecto del eje AD. Considerar: a=2 ft; b=5 ft; c=6 ft; d=8 ft; e=3 ft; P=240 lb Ejercicio 3.2
  • 38. Dos paneles de madera de 0.6 x 1.2 m c/u con un peso de 12 kg, están clavados entre sí en BE como se muestra. Se sostienen mediante rótulas en A y F y, por el alambre BH. Determine: a) La ubicación de H en el plano x-y si la tensión en el alambre debe ser mínima. b) La tensión en BH. Ejercicio 3.3
  • 39. Recordar que… LEY DE COSENOS En un sistema de tres fuerzas se tiene…
  • 40. Recordar que… LEY DE SENOS En un sistema de tres fuerzas se tiene…
  • 41. Recordar que…Ley de Senos En un sistema de tres fuerzas en equilibrio se tiene…
  • 43. Referencias • BEER, Ferdinand P. (2010) Mecánica vectorial para ingenieros: estática. México, D.F.: McGraw-Hill. • HIBBELER, R. C. (2010) Ingeniería mecánica: estática. México, D.F.: Pearson Educación. • BEDFORD, Anthony (1996) Mecánica para ingeniería: estática. Wilmington, DL: Addison-Wesley Iberoamericana. • HUANG, T.C. Mecánica para ingenieros: estática.