trabajo etapa 4 sistemas dinamicos

1. Etapa 4
ECBTI/ZAO/Sistemas Dinámicos
Yopal, abril 20 de 2022

2. ESPACIOS DE ESTADOS
Cuando se aborda el control de procesos físicos se realizan, por lo general, tres etapas:
a. Obtener un modelo matemático que proporcione un comportamiento lo más
cercano posible al sistema físico.
b. Analizar las propiedades más importantes del proceso por medio del modelo
matemático obtenido.
c. Una vez comprobadas las características del modelo y del sistema, diseñar un
sistema de control que proporcione y/o garantice determinadas especificaciones de
acuerdo con el diseño deseado o esperado.

3. ESPACIOS DE ESTADOS
Punto central
del curso
Ecuaciones
Diferenciales
Función de
Transferencia
Espacios de
Estados
Modelado en el
Dominio del Tiempo
Modelado en el
Dominio de la Frecuencia
Modelado en
Espacios de Estados

4. ESPACIOS DE ESTADOS
Nacen de la necesidad de trabajar con sistemas complejos, en donde se requieren bastantes
procedimientos, se tienen varias entradas y salidas o son sistemas cuyo comportamiento varía con el
tiempo, permitiendo así trabajar con lo que se conoce como ESTADO DEL SISTEMA.
ESTADO: En un sistema dinámico, se define como el conjunto más pequeño de variables que determinan
el funcionamiento del sistema cuando se conocen dichas variables en un tiempo inicial (Comportamiento
inicial del sistema).
VARIABLES DE ESTADO: Conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema
dinámico. Se representan de forma matricial.
VECTOR DE ESTADO: Vector que se forma con las n variables de estado, determina la forma única el
estado de x(t) para cualquier tiempo.
ሶ
𝒙 𝒕 = 𝑨𝒙 𝒕 + 𝑩𝒖(𝒕)
𝒚 𝒕 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕)

5. ESPACIOS DE ESTADOS

6. ESPACIOS DE ESTADOS
𝐴 = 𝐵 =
𝐶 = 𝐷 = 0
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

7. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
=
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+ 𝑢(𝑡)
𝑑𝑉
𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
𝒅𝒊𝑳(𝒕)
𝒅𝒕
=
−1
8
−1
4
1
6
−1
3
𝑉𝐶 𝑡
𝒊𝑳(𝒕)
+
1
8
1
6
𝑉(𝑡)
A B
A B
Ecuación de estado del sistema
ሶ
𝒙 𝒕 = 𝑨𝒙 𝒕 + 𝑩𝒖(𝒕)

8. ESPACIOS DE ESTADOS
𝑦 =
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+ 𝑢(𝑡)
𝑦 =
1
2
−
𝑣𝑐(𝑡)
𝒊𝑳(𝒕)
+
1
2
𝑉(𝑡)
C
D
D
C
Ecuación de salida del sistema
𝒚 𝒕 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕)

9. ESPACIOS DE ESTADOS
𝑦(𝑡) = 𝑉𝐶
La FT del sistema es:
Escriba aquí la ecuación.
𝐹𝑇 = 𝐻 𝑆 =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
𝑉𝐶
𝑢(𝑡)
=
3
18𝑠2 + 56𝑠 + 3
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐

10. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡 =
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
=
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+ 𝑢(𝑡)
ሶ
𝑋2 𝑡 =
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐

11. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡 =
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
= −3 𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+ 𝑢(𝑡)
ሶ
𝑋2 𝑡 =
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐

12. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡 =
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
=
−3
1
2
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+ 𝑢(𝑡)
ሶ
𝑋2 𝑡 =
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐

13. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡 =
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
=
−3
1
2
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+
1
2 𝑢(𝑡)
ሶ
𝑋2 𝑡 =
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐

14. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡 =
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
=
−3
1
2
1
3
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+
1
2 𝑢(𝑡)
ሶ
𝑋2 𝑡 =
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐

15. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡 =
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
=
−3
1
2
1
3
−1
9
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+
1
2 𝑢(𝑡)
ሶ
𝑋2 𝑡 =
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐+ 0𝑉1

16. ESPACIOS DE ESTADOS
ሶ
𝑋1 𝑡 =
𝑑𝐼𝐿1(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
2
𝑉1 − 3𝐼𝐿1 +
1
2
𝑉
𝑐
ሶ
𝑋1 𝑡
ሶ
𝑋2 𝑡
=
−3
1
2
1
3
−1
9
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+
1
2
0
𝑢(𝑡)
ሶ
𝑋2 𝑡 =
𝑑𝑉𝑐 𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝐿1 −
1
9
𝑉
𝑐+ 0𝑉1

17. ESPACIOS DE ESTADOS
𝑦 =
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+ 𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑉𝐶
𝑦 = 0 1
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
+ 0 𝑢(𝑡)
𝑦 = 0 1
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
0 𝐼𝐿1 1 𝑉
𝑐

18. ESPACIOS DE ESTADOS

19. ESPACIOS DE ESTADOS

20. ESPACIOS DE ESTADOS

21. ESPACIOS DE ESTADOS

22. ESPACIOS DE ESTADOS

23. Controlabilidad - Observabilidad
La controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser
controlado por medio de sus entradas, mientras que la observabilidad es la propiedad que indica si
el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas.

24. ¡GRACIAS!