Este documento trata sobre el control de sistemas no lineales. Explica la diferencia entre sistemas lineales y no lineales, y cómo se representan y resuelven matemáticamente cada uno. También describe algunas aplicaciones del control geométrico como la cuasilinealización y el uso del álgebra de Lie para controlar sistemas no lineales como el oscilador de Chua y la sincronización de sistemas de Lorenz. Finalmente, menciona la transmisión oculta de datos usando un oscilador de Duffing.

1. Control de Sistemas No
Lineales
1ª Jornada Académica sobre los Sistemas de
Telecomunicaciones
Dr. Carlos Jiménez Gallegos, Academia de Ingeniería Cuautepec ISEI

2. Agenda de la presentación
Ofrecemos características útiles para cada momento
Continuidad y
Determinismo
Lineales contra
No Lineales
Control
Geométrico
Aplicaciones

3. Continuidad y Determinismo
En esta plática se hablará sólo de sistemas dinámicos continuos y deterministas

4. Continuidad
Continuo Discreto
Definido para todo tiempo Definido sólo en instantes determinados del
tiempo

5. Determinismo
• Asumimos que la naturaleza que integra el
sistema dinámico es conocida, o que al menos
la solución del sistema no depende de un
proceso aleatorio.
• El estado de un sistema es producto de su
historia y punto de partida del su futuro
푥 푡 = 푓(푥 푡 , 푥 푡 ,…)

6. El Diablito de Laplace
Podemos mirar el estado presente del universo como el
efecto del pasado y la causa de su futuro.
Se podría concebir un intelecto que en cualquier
momento dado conociera todas las fuerzas que animan
la naturaleza y las posiciones de los seres que la
componen; si este intelecto fuera lo suficientemente
vasto como para someter los datos a análisis, podría
condensar en una simple fórmula el movimiento de los
grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero.
Para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así
como el pasado estarían frente sus ojos.

7. Sistemas Lineales vs
Sistemas No Lineales
Comparemos estos dos paradigmas a través de sus modelos matemáticos

8. A) Modelos Lineales
Sistemas Lineales vs Sistemas No lineales
Son sistemas dinámicos en donde se cumple la
superposición y la homogeneidad

9. Modelos Lineales
• Los sistemas lineales son un subconjunto
del universo de los sistemas. Su importancia
radica en la conjunción de dos elementos:
• muchos sistemas pueden representarse por
modelos lineales de razonable fidelidad
• existen poderosas herramientas para
analizar y sintetizar este tipo de sistemas.

10. Sistemas Lineales
• Superposición: La propiedad de superposición
encierra la idea que la salida del sistema se puede
calcular separando los efectos de componentes del
estado y/o componentes de la salida, y luego
sumando (superponiendo) las respuestas a cada uno
de esos componentes.
• Homogeneidad: se expresa en que, en los sistemas
lineales, la proporcionalidad en la entrada y/o el
estado se propaga a la salida sin alteración.

11. Existen dos representaciones principales para los Sistemas Lineales
Función de Transferencia
La función de transferencia utiliza la transformada de Laplace para formar relaciones
algebraicas a partir de ecuaciones diferenciales
푓 = 0
푘 = 5 푏 = 6 푚 = 1
푓푘 = −5푥(푡) 푓푏 = −6
푑푥
푑푡
푓푚 = −
푑2푥
푑푡2

12. Función de Transferencia
푑2푥(푡)
푑푡2 + 6
푑푥(푡)
푑푡
+ 5푥(푡) = 푢(푡)
ℒ Transformada de Laplace
푠2푥(푠) + 6푠푥(푠) + 5푥(푠) = 푢(푠)
푦 푡 = 푥(푡)
푠2 + 6푠 + 5 푦(푠) = 푢(푠)
퐻 푠 =
1
푠2 + 6푠 + 5

13. Función de Transferencia
x =
H(s)
u(s)
Entrada
y(s)
Salida
퐻 푠 =
1
푠2 + 6푠 + 5
퐻 푠 =
푦(푠)
푢(푠)

14. Y cuando las computadoras aparecieron tomó fuerza el
Espacio de Estados
El Espacio de Estados representa al sistema como una ecuación diferencial de primer
orden matricial y una ecuación algebraica a la salida
푥1 = 푥 푡
푥2 =
푑푥(푡)
푑푡
푋 =
푥1
푥2
푋 =
푥1
푥2
푥 2 = 푥 = −
푘
푚
푥1 −
푏
푚
푥2 +
1
푚
푢
푋 =
0 1
−5 −6
푋 +
0
1
푢
푦 = 1 0 푋 + 0 푢

15. Espacio de Estados
푥 = 퐴푥 + 퐵푢
푦 = 퐶푥 + 퐷푢

16. Se le llama solución a las función del tiempo que cumple
el modelo (ecuación diferencial que le dio origen)
Solución de los
Sistemas Lineales

17. Para la función de transferencia
• Los sistemas lineales que proceden de sistemas causales sólo
tienen modos (polos) reales de primer orden o pares
complejos conjugados.
• En la función de transferencia se pueden calcular las
fracciones parciales y aprovechar la superposición para
calcular la respuesta como los suma de transformadas
inversas de funciones pequeñas:
푦(푠)
훿(푠)
=
1
푠2 + 6푠 + 5
=
0.25
푠 + 1
+
−0.25
푠 + 5

18. Para la función de transferencia
푦 푡 = 0.25푒−푡 − 0.25푒−5푡

19. Para el espacio de estados
En la solución misma podemos notar la homogeneidad y la superposición
푥 푡 = 푥 0 푒퐴푡 +
푡
푒퐴 푡−휏 퐵푢 휏 푑휏
0
Podemos notar que la solución tiene un término de decaimiento en el estado y
una integral de convolución en la señal de entrada.
La solución de este sistema generalmente se encuentra de forma numérica
usando una aproximación de la función exponencial (serie de Taylor)
푒퐴푡 = 퐼 + 퐴푡 +
퐴푡 2
2!
+
퐴푡 3
3!
+ ⋯

20. Para el espacio de estados
• La exponencial también se puede expresar
como:
푒 퐴푡 = ℒ−1 푠퐼 − 퐴 −1
• Que está muy relacionada a la función de
transferencia pues el determinante
푑푒푡 푠퐼 − 퐴
• Es el denominador de
퐻(푠)

21. B) Modelos No Lineales
Modelos Lineales vs Modelos No lineales
Aunque no cumplen la homogeneidad o la superposición resultan
mejores aproximaciones de los fenómenos complejos

22. Un sistema no lineal se puede escribir en la llamada
Forma Normal
푥 = 푓 푥, 푥 ,…; , 푡 + 푔 푥, 푡 푢(푡)
푦 푡 = ℎ(푥, 푡)
Donde f, g y h son funciones vector valuadas
posiblemente variantes en el tiempo

23. Sistema No lineal
• En 1963 Lorenz presento su modelo meteorológico conocido
como oscilador de Lorenz
푥 1 = 휎(푥2 − 푥1)
푥 2 = 휌푥1 − 푥2 − 푥1푥3
푥 3 = −훽푥3 + 푥1푥2

24. Solución de los
Sistemas No
Lineales
No siempre es posible encontrar una solución analítica,
por lo que frecuentemente se recurre a la simulación o
cálculo numérico de esta

25. Solución de sistemas Lineales
Suma2
Suma
Suma1
Mux
Multiplexor
1
s
Integrador
1
s
Integrador1
1
s
Integrador2
24.74
Ganancia1
8/3
Ganancia2
10
Ganancia
Dot Product1
Dot Product
loren
A Archivo

26. C) Guerra de Modelos
Lineales vs no lineales
¿Quién es quién en los modelos?

27. Para comparar veamos un
Ejemplo Ilustrativo
Ecuación de Lotka-Volterra poblaciones presa depredador
푑푐
푑푡
= 훼푐 푡 − 훽푐 푡 푧(푡)
푑푧
푑푡
= −훾푧 푡 + 훿푐 푡 푧(푡)
Imaginemos una población de conejos y de zorros. Todos
los coeficientes son positivos

28. Lineal vs No lineal
• A) En el punto de equilibrio
Subtract
Subtract1
Subtract2
Subtract3
No Lineal
Lineal
1
s
Integrator
Integrator1
1
s
1
s
Integrator2
1
s
Integrator3
0.4
Gain
0.018
Gain1
0.023
Gain3
-K-Gain4
-K-Gain6
0.8
Gain2
Dot Product
-C-Constant
-C-Constant1

29. Lineal vs No lineal
• Fuera del punto de equilibrio

30. Control Geométrico
Ahora comienza lo divertido

31. Nada tan poderoso como el:
Álgebra de Lie
Sea f(x) y g(x) campos vectoriales y h(x) una función real
valuada
1) La derivada de h(x) en la dirección de f(x)
퐿푓휆 푥 =
푛
푖=1
휕휆
휕푥
푓푖 (푥)
1) Corchete de Lie entre f(x) y g(x)
푓, 푔 푥 =
푑푔
푑푥
푓 푥 −
푑푓
푑푥
푔(푥)

32. Cuasi Linealización
휙1 = ℎ(푥)
휙2 = 퐿푓ℎ(푥)
⋮
휙푟 = 퐿푓
푟−1ℎ(푥)
푧 푖 = 푧푖+1 1 ≤ 푖 < 푟
푧 푟 = 푏 푧 + 푎 푧 푢
푧푗 = 푞푗 푟 + 1 ≤ 푗 < 푛

33. Esquema del sistema cuasilineal

34. Estrategia de Control
1) Se busca la “inversión de la planta”
푢 =
1
푎(휙 푥 )
−푏 휙 푥 + 푣
2) v es la dinámica que se le quiere inducir
푧 푟 = 휂 + 휇푢
3) Se asume que η se puede estimar y que μ no pasará
por cero
휂푘 = 푧 푟,푘 − 휇 푢푘−1
푢푘 =
1
휇
−휂푘 + 푣푘

35. Aplicaciones
Estilice, edite y anime los archivos multimedia

36. El oscilador de Chua
• Utilizado en comunicaciones y electrónica
푥 1 = 훼(푥2 − 푥1 − 휓 푥1 )
푥 2 = 푥1 − 푥2 + 푥3
푥 3 = −훽푥2

37. Control del Sistema
• En menos de 10 segundos el sistema va a cero

38. Sincronización de dos sistemas de
Lorenz
Suma
Osciloscopio1
Osciloscopio
Mux
Multiplexor1
Mux
Multiplexor
X1
X2
X3
tau
Lorenz1
U
X1
X2
X3
Lorenz
1/8
Ganancia
Entrada Control U
Control discreto 2do Orden
lorloren.mat
A Archivo

39. Observe la Señal de control

40. Transmisión de Datos
• Transmitamos información de forma oculta
Ganancia Entrada Control U
datos
del
Workspace
Suma
Osciloscopio3
Osciloscopio2
Osciloscopio1
U
X1
X2
Oscilador de Duffing1
U
X1
X2
Oscilador de Duffing
Mux
Multiplexor2
Mux
Multiplexor1
0.2
Control discreto
salida
Al Workspace
sound.mat
A Archivo

41. Señal a la entrada Señal develada
Nada por Aqui Nada por acá

42. Estoy a sus órdenes para
cualquier duda.
carlosjiga@gmail.com
carlos.jimenez@uacm.edu.mx

43. Los esperamos en
15 dias !