El documento explica los conceptos de exactitud, precisión y error en medición. La exactitud se refiere a qué tan cerca está una medición del valor real, mientras que la precisión se refiere a qué tan consistentes son múltiples mediciones bajo las mismas condiciones. El error surge de desviaciones sistemáticas o aleatorias de los valores reales.

1. Exactitud
En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de acercarse
al valor de la magnitud real. La exactitud es diferente de la precisión.
La exactitud depende de los errores sistemáticos que intervienen en la medición, denotando la proximidad de una
medida al verdadero valor y, en consecuencia, la validez de la medida.
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Suponiendo varias mediciones, no estamos midiendo el error de cada una, sino la distancia a la que se encuentra la
medida real de la media de las mediciones (cuán calibrado está el aparato de medición).
Esta cualidad también se encuentra en instrumentos generadores de magnitudes físicas, siendo en este caso la
capacidad del instrumento de acercarse a la magnitud física real.
Precisión
En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar el
mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones. Esta cualidad debe evaluarse a
corto plazo. No debe confundirse con exactitud ni con reproducibilidad.
La precisión refleja la proximidad de distintas medidas entre si, y es función exclusiva de los errores accidentales
Error
-El error, en filosofía, es un concepto que pertenece a la esfera del juicio, es decir, de las actitudes valorativas. En
general, se denomina error a todo juicio o valoración que contraviene el criterio que se reconoce como válido, en el
campo al que se refiere el juicio.
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-Un error es algo equivocado o desacertado. Puede ser una acción, un concepto o una cosa que no se realizó de
manera correcta.
-Idea, opinión o expresión que una persona considera correcta pero que en realidad es falsa o desacertada.
-Diferencia entre el resultado real obtenido y la previsión que se había hecho o que se tiene como cierta:
TEOR�A DE ERRORES
ERRORES INHERENTES, POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO
Existen tres tipos básicos de errores en una computación numérica: inherentes, por truncamiento,
y por redondeo. Cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.
1. ERRORES INHERENTES
Son errores que existen en los valores de los datos, causados por incertidumbre en las mediciones,
por verdaderas equivocaciones, o por la naturaleza necesariamente aproximada de la representación,
mediante un número finito de dígitos, de cantidades que no pueden representarse exactamente con el
número de dígitos permisible.
Por ejemplo, si necesitamos usar en un cálculo, podemos escribirlo
como 3.14, 3.1416,3.1415926535589793..., etc. En muchos casos aún una fracción simple no tiene
representación decimal exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión
finita de números 3. Muchas fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en
otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y en binario es0.000110011001100...
2. ERRORES POR TRUNCAMIENTO
Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos.

2. Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular el seno de cualquier ángulo X,
expresado en radianes:
(4)
Por supuesto que no podemos usar todos los términos de la serie en un cálculo, porque la serie es
infinita; entonces, los términos omitidos introducen un error por truncamiento.
3. ERRORES POR REDONDEO
Estos errores se introducen en los procesos de computación por el hecho de que las computadoras
trabajan con un número finito de dígitos después del punto decimal y tienen que redondear.
Como nos interesa el redondeo de punto flotante, revisaremos la forma de representación de un
número de punto flotante.
DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
La función p(x)=a0+a1x+a2x2
+..........+anxn
, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama
polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2
+bx+c es
un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más
sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las
operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los
polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además
la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las
derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.
Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios,
para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz
cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos
esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el
bachillerato.
A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex
, ..., pero,
aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas:
¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para
obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos
desarrollados por el análisis matemático. Examinemos uno de estos métodos.
Fórmula de Taylor

3. Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los
órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto
x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su
gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.
Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2
, tal
que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y
segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es
natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras
derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x
próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:
f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2
+ ...... + (1/n!) f (n)
(a) (x-a) n
El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x
puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras
derivadas.
Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se
demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más
rápidamente que (x-a)n
. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x
próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n
.
Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una
verdadera igualdad.
Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un
término más, llamado resto:
f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2
+ ...... +(1/n!) f (n)
(a)(x-a)n
+(1/(n+1)!) f (n+1)
(c)(x-a)n+1
El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso,
no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al
intervalo de extremos a y x.
La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.
Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones
derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios
cuyo grado viene determinado por la precisión deseada.

4. La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado,
es muy importante desde el punto de vista práctico.
La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un
número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde
constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones.
En las siguientes escenas podemos observar cómo la gráfica de las funciones se va "tapando"
con la gráfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x
calculamos la diferencia entre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al
aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los
polinomios de Taylor para a=0.
1.- Aproximación de la función y = sen (x)
Actividades
1.- Observa que la función y=sen(x) es una función impar sen(-x)=-sen(x). El polinomio de
Taylor correspondiente sólo tiene potencias impares de x.
2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar
el grado del polinomio.
2.-Aproximación de la función y = cos (x)

5. Actividades
1.- Observa que la función y=cos(x) es una función par cos(-x)=cos(x). El polinomio de Taylor
correspondiente sólo tiene potencias pares de x.
2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar
el grado del polinomio.
3.-Aproximación de la función y = ex
Actividades
1.- Observa que para x=1 obtenemos el valor del número e.
2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar
el grado del polinomio.
4.-Aproximación de la función y = ln (1+x)

6. Actividades
1.- Da valores a x (entre -1 y 1) y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real
al aumentar el grado del polinomio.
Autor: Mariano Banzo Marraco.