coordenadas, simetria, dominio de funciones

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.U. P. Santiago Mariño
Alumno:
Daniel Guzmán
26543453
Profesor:
Pedro Beltrán
FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
Diciembre 2019

2. Introducción
La asignatura de Ampliación de Matemáticas para el grado de
ingeniería, estudia entre otros apartados, la integración múltiple (integrales dobles
e integrales triples), Geometría Diferencial (estudio de curvas y superficies) y las
integrales de línea y de superficie. Para una correcta comprensión de estos temas
es necesario poseer un conocimiento, si no profundo, sí escogido, de la teoría de
funciones de varias variables. Para trabajar con los dominios de este tipo de
funciones necesitaremos una pequeña iniciación a la topología del espacio
euclídeo que nos permita conocer los conceptos de conjunto abierto, conjunto
cerrado, interior de un conjunto, ..., que tanto aparecen en toda la bibliografía que
el alumno va a encontrar de la asignatura. A lo largo de estos temas serán muy
frecuentes los casos en que sea necesario derivar funciones de varias variables y,
más precisamente, derivar la composición de funciones de este tipo.

3. sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores y puntos que permiten definir unívocamente
la posición de cualquier punto de un espacio
euclídeo.

4. Coordenadas caresianas
UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS SE DEFINE POR DOS
EJES ORTOGONALES EN UN SISTEMA BIDIMENSIONAL Y TRES EJES
ORTOGONALES EN UN SISTEMA TRIDIMENSIONAL, QUE SE CORTAN
EN EL ORIGEN 0.
El primero que expresó la posición de un punto en
el plano o en el espacio fue Descartes, por lo que se
suele referir a ellas como coordenadas cartesianas.
en este sistema de coordenadas, la posición de un punto
p en el plano queda determinada mediante una pareja de
números reales ( x, y) de los cuales el primero, x ,
representa la distancia del punto p al eje coordenado y,
en tanto que el segundo, y , representa la distancia del
punto p al eje x. esto se representa en la forma:

5. EJEMPLO

6. sistema de coordenadas polares
PARA REPRESENTAR PUNTOS EN EL
PLANO SE UTILIZA EN MUCHAS
OCASIONES EL SISTEMA DE
COORDENADAS POLARES EN ESTE
SISTEMA SE NECESITAN UN ÁNGULO (Θ)
Y UNA DISTANCIA (R).
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
PARA MEDIR Θ, EN RADIANES,
NECESITAMOS UNA SEMIRRECTA
DIRIGIDA LLAMADA EJE POLAR Y PARA
MEDIR R, UN PUNTO FIJO LLAMADO
POLO.

7. relación entre coordenadas polares y
cartesianas.

8. SISTEMA DE COORDENADAS
CILÍNDRICAS
La primera coordenada es la distancia (r) existente
entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo (ϕ)
que forman el eje y la recta que pasa por ambos
puntos, y la tercera es la coordenada (z) que determina
la altura del cilindro.
SE DEFINEN TRES VECTORES UNITARIOS, Y
PERPENDICULARES ENTRE SÍ QUE FORMAN
UNA BASE ORTONORMAL.

9. aplicación del sistema
de coordenadas
cilindricas

10. SISTEMA DE COORDENADAS
ESFÉRICAS
un sistema de coordenadas esféricas se usa en
espacios euclídeos tridimensionales. este sistema
de coordenadas esféricas está formado por tres ejes
mutuamente perpendiculares que se cortan en el
origen
La primera coordenada (r) es la distancia entre el
origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos
que es necesario girar para alcanzar la posición del
punto. Se definen tres vectores unitarios
perpendiculares entre sí que forman una base
ortonormal.

11. aplicación del sistema
de coordenadas
esfericas

12. Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas

16. Simetría
El conocer la simetría que una gráfica pueda tener
nos ahorraría trabajo al graficarla, y en otros casos
como veremos, es de absoluta necesidad conocer
tales simetrías.
Se puede apreciar en la animación anterior que una gráfica
es simétrica respecto al eje polar si los puntos (r,A) y (r,-
A) están en la gráfica, o lo que es equivalente, si al
sustituír A por -A en la ecuación de la curva resulta una
ecuación equivalente.
Grafica los puntos con coordenadas (r,-A) y (-r, -A) y verás
que son el mismo. Por lo tanto, otra prueba de simetría respecto
al eje x es sustituir (r,A) con (-r, -A) y ver si resulta una ecuación
equivalente.
Como vimos en la animación de arriba, una gráfica
es simétrica respecto al eje y si los
puntos (r,A) y (-r,-A) están en la gráfica, o lo que es
equivalente, si al sustituír r por -r y A por -A en la
ecuación de la curva resulta una ecuación
equivalente.

17. Función de varias variables
Definición Por una función de varias variables entendemos una función
f : D ⊂ R n −→ R m que a cada punto X ∈ D le hace corresponder un
único punto Y ∈ R m, que notaremos en la forma Y = f(X) y que
llamaremos imagen del punto X mediante la función f . El conjunto D se
llama dominio de la función. Formalmente se indica en la forma
f : D ⊂ R n −→ R m X = (x1,..., xn) 7−→ f(X) = (f1(x1,..., xn),..., fm(x1,..., xn)),
donde cada fi , i = 1,...,m, es una función fi : D ⊂ R n → R que se llama
componente i-ésima de f . En forma abreviada, una función de m componentes se
escribe como f = (f1,..., fm).

18. Ejemplo

20. Dominio de funciones de Varias
Variables
Entendemos como dominio de una función de varias variables aquellos
puntos del espacio origen para los cuales la función puede evaluarse.
Efectivamente si nos fijamos en los siguientes ejemplos de funciones f:R2→R.
Ejemplo 4:
Vemos que si queremos evaluar la función para el caso (x,y)=(0,0) no podemos, puesto que nos encontramos
con una división por cero que no puede efectuarse. Por lo tanto observamos que existe un punto para el cual
la función no es evaluable. En este caso diremos que el dominio de la función es el conjunto de los puntos del
espacio R2 excepto el origen de coordenadas (0,0). Representando el resultado del dominio por
exclusión tendremos que:
Dom f = R2-{(0,0)}
Ejemplo 5:
En este caso ya no anula al denominador sólo el punto (0,0). Efectivamente, si estudiamos la ecuación de dos
variables:
x2-y2=0
Tenemos que:
O sea, en este caso los puntos del espacio R2 para los que la función no es evaluable son los que pertenecen a las
rectas y=x e y=-x, donde queda contemplado también el punto (0,0). Con lo que daremos el resultado
del dominio por exclusión así:
Dom f = R2-{(x,y)∈R2 : y=x ; y=-x}

23. conclusión
Sea D un conjunto de pares ordenados, ) (x, y , de números reales, 2 D R
. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada
par ordenado ) (x, y en D un único número real, denotado por ) f (x, y . El
conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los
valores de la función es el rango de la función.
Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para
representar los valores de la función: z f (x, y) . La variable z es la
variable dependiente y x y y las variables independientes. Normalmente
no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el
caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito
de una función de dos variables es el conjunto más amplio de (x, y)
donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real.
Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de
dos variables la representación es una región en el plano.

24. Bibliografía
• Barrientos, A (2007). Fundamentos de robótica. (2da
edición). Madrid: Ed. Mc Graw Hill.
• Craig, J. (2006). Robótica. (3ra edición). México: Ed.
Pearson Education.
• Hayt, W. (2006). Teoría Electromagnética. (7ma
edición). México: Ed. Mc Graw Hil