Derivadas

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerios del poder popular para la educación
Universidad politécnica territorial Andrés Eloy blanco
Barquisimeto Edo – Lara
Realizado por:
Hervin Valles
C.I: 18632575
Naiyerlis Amaro
Roiver Barragan
Sección DL1302

2. ¿Qué son las derivadas?
Las derivadas son un cálculo diferencial, que es una rama de la matemática
que estudia los cambios de las funciones, y una parte importante de los análisis
matemáticos para calcular el valor del límite de la función. Pero, ¿a qué
corresponde? Se trata de la cercanía entre un punto y otro. Entonces, cuando
hablamos de una derivada nos referimos al valor en la que se transforma dicha
función con respecto a una variable en la pendiente de la recta.
¿Para qué se usan las derivadas?
Las derivadas, en las matemáticas, se usan para una cantidad de aplicaciones
diferenciales. Por ejemplo, para el cálculo de las aceleraciones, que es la variación
de la velocidad y el tiempo de un punto a otro. También para el cálculo de las
velocidades, que es la cantidad vectorial usada para medir el desplazamiento
posicional en función al tiempo. Y, otro uso común de las derivadas es para
optimizar las funciones, en específico, para maximizar o minimizar una función.
Cálculo de las derivadas
Sabemos qué son las derivadas y para qué se usan, pero, ¿cómo se calculan
realmente? Existen dos métodos – según su definición y según las funciones–, los
cuales explicaremos a continuación. También puedes hacer una calculadora de
derivadas.
Según su definición
Es el método de cálculo de las derivadas más complicado por la cantidad de
procedimientos a realizar, y en ocasiones suele ser muy complejo de entender.
Quienes logran calcular las derivadas con este método demuestran una gran
destreza en la rama de las matemáticas y no se recomienda para cálculos rápidos.
El método es conocido como diferenciación, procedimiento de determinación
diferencial de una función. Por ejemplo, supongamos que tenemos una función

3. determinada con ‘x’, y una vez que obtenemos la derivada que corresponde a la
función ‘x’ se sustituye de acuerdo al valor, pero particularizando en el proceso.
Según las funciones
Es el método más usado y recomendado para calcular las derivadas cuando
corresponde a análisis matemático. Debido a que según su definición suele
cometerse errores y esta es una versión más sencilla de hacerlo. Para ello
necesitaremos una tabla de derivadas, de donde sacaremos la información o
fórmulas necesarias para conseguir el valor de una derivada en un punto de la
tangente. Las tablas de las derivadas suelen ser generales, por lo que es
sumamente importante memorizarlas. También vienen acompañadas de unas
reglas.
Tabla de las derivadas
Como mencionamos anteriormente, las tablas de las derivadas son fórmulas e
información usada para poder calcular el valor del límite de un punto de las
funciones. Es una herramienta gráfica esencial para desarrollar con velocidad
cálculos diferenciales, sin tener que emplear el método de definición, que es
bastante complicado y tedioso.
Sin embargo, la tabla debe ser memorizada, o mantenerla cerca cuando se vaya a
calcular una derivada. Existen múltiples tipos de tablas para derivadas, como las
derivadas compuestas. Aunque algunos la consideran innecesaria, ya que una vez
que se domina la fórmula de la derivada tradicional, una compuesta no es un
inconveniente.
Tipos de derivadas
Existen muchos tipos de derivadas que responden de acuerdo a la naturaleza del
instrumento matemático para encontrar el valor del límite de una función en un
determinado punto. Aquí mencionaremos los más relevantes y utilizados para
simplificar la comprensión.

4. Derivadas de una función
Suelen ser las más comunes, y usadas en la práctica, de todas las alternativas
diferenciales que existen. En primer lugar, expliquemos qué es una función. Es la
relación entre un conjunto llamado dominio, y representado con ‘x’, con otra
magnitud.
Entonces, cuando derivamos una función lo que estamos es buscando un punto
determinado del límite del cociente. Por ejemplo, en f(x) buscamos un punto
específico de x=a. Posteriormente en el gráfico se busca ese punto y se traza una
línea de la derivada, sustituyendo el valor en la fórmula.
Derivadas algebraica
Las derivadas en algebraica corresponden a las pendientes de una tangente
correspondiente a una función en un cierto punto. Aquí se encuentra la función en
el determinado punto. Estas suelen ser cálculos matemáticos y ecuaciones de
polinomios, donde cualquier valor es relativo.
Derivadas de un producto
En este caso las derivadas se obtienen mediante la multiplicación. Debemos
multiplicar la derivada por el segundo producto que se encuentra en la ecuación
matemática y luego se le suma por el segundo factor. Es un cálculo sencillo que
responde a matemáticas de productos y operaciones binarias realizadas en ciertos
contextos.
Derivadas del cociente
Las derivadas del cociente, que es la cantidad conseguida de la división de
números, se obtienen mediante la multiplicación del denominador. También se debe
multiplicar al mismo tiempo por el numerador.
Reglas de las derivadas
Las derivadas tienen ciertas reglas que deben seguirse al momento de realizar
operaciones matemáticas. Conozcamos cuáles son y a qué responden en la
práctica.
• Suma y resta de derivadas. La suma o resta de una derivada de dos funciones,
corresponde a la suma y resta de las derivadas de las funciones.
• Derivadas del producto. Las derivadas de un producto, que es sinónimo de
multiplicación, corresponden a la derivada de la primera función por la segunda.
• Derivada del cociente. Cuando existen dos funciones hay que multiplicar el
denominador sin derivar y restar dicho numerador sin restar por la derivada del
denominador. Luego, hay que dividirlo entre el denominador al cuadrado.

5. Ejemplos de una derivada
Ya sabemos la teoría y las nociones básicas para poder calcular las derivadas,
ahora es momento de conocer algunos ejemplos sencillos
En el caso número uno, si tenemos la siguiente función f(x) =-4x+2-, la derivada
corresponde al punto f (x) =-4. En el caso número dos, si tenemos la siguiente
función, f(x) = x5 –x3 +3, mediante la resolución, conseguimos que la derivada
siguiente: f (x) = 5×4 –3×2.
Ejemplo 1
Derivar por definición la función identidad f(x) = x.
Para resolver derivadas por definición escribimos la fórmula.
Luego evaluamos la función dada en “x+h” y en “x”. En este caso, como se trata de
la función identidad, el resultado es el mismo:
Reemplazamos los valores calculados en la fórmula y simplificamos:

6. En este caso si bien calculamos la función derivada para todos los puntos (y no para
uno solo), como podemos ver no aparece la variable “x” en la función derivada. Esto
es porque la derivada vale “1” para todos los puntos. Tiene sentido ya que la
pendiente de la función identidad es siempre “1” para todos los valores de “x”.
Ejemplo 2
Derivar por definición la función f(x) = x + 2.
Nuevamente escribimos la fórmula de derivada por definición.
Ahora calculamos el valor de f(x+h), lo que significa evaluar la función en “x+h” o
dicho de otra manera reemplazar el “x” de la función por el argumento en el cual la
evaluamos que es “x+h”.
Luego evaluamos la función en “x”. No debemos reemplazar nada ya que se trata
de la función original.
Por último reemplazamos en la fórmula los valores hallados y simplificamos.
Nuevamente en este caso no aparece “x” en la función derivada ya que la pendiente
de la función original es “1” para todos los valores de “x”.

7. Ejemplo 3
Derivar por definición la función f(x) = 2x – x2.
Escribimos la fórmula de derivada por definición.
Calculamos f(x+h), lo que significa reemplazar cada “x” de la función original por
“x+h”.
Aplicamos la propiedad distributiva y desarrollamos el cuadrado.
Reemplazamos los valores en la función original, simplificamos y calculamos
el límite.

8. Propiedades.
Regla de la cadena
La regla de la cadena es una norma de la derivación que nos dice que,
teniendo una variable y que depende de u, y si esta depende a la variable x,
entonces la razón de cambio de y respecto a x puede estimarse como el producto
de la derivada de y con respecto a u por la derivada de u respecto a x. En términos
matemáticos, se puede traducir de esta manera:

9. Para utilizar bien esta regla es importante poder identificar correctamente si una
función es compuesta, así como determinar la función exterior e interior.
Por ejemplo, si tenemos (4x+7)2, se trata de una función compuesta donde 4x+7 es
la función interna a la que podemos asignar el nombre y, mientras que la función
externa es y2.
Esta regla es de utilidad, por ejemplo, en funciones trigonométricas que afectan
polinomios o expresiones algebraicas, como lo veremos en los ejemplos más
adelante.
Ejemplos de regla de la cadena
Veremos algunos ejemplos de aplicación de la regla de la cadena:

10. Recta tangente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual a la derivada de
la función en dicho punto.

11. Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a la
curva para
1Calculamos la derivada
2La pendiente buscada es
Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el
punto y cuya pendiente es igual a , viene dada por
Ejemplo: Hallar la recta tangente a la curva en
1 Calculamos el punto de la gráfica de la curva por donde pasa la recta tangente

12. 2 Calculamos la pendiente de la recta tangente en
3 la ecuación de la recta tangente es
La derivación implícita
Es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a
funciones definidas por una ecuación en que la variable “y” no está despejada. La
ventaja de este método es que no requiere despejar la variable “y” para encontrar
la derivada. Como hemos visto en los ejemplos revisados para conseguir la derivada
implícita de “y” con respecto de “x”. Primero se deben derivar ambos miembros de
la ecuación con respecto a x tomando en cuenta en todo momento que, y es función
de x, y por consiguiente al tener que derivar y con respecto a x, hay que aplicar la
regla de la cadena. Finalmente, se debe despejar dy/dx.
Además, de la derivación implícita en esta sesión también abordaremos el tema de
las derivadas de orden superior. El interés de realizar derivaciones de orden
superior se debe a que la derivada es una herramienta matemática muy versátil que
permite evaluar el cambio en una función, y su aplicación depende mucho de las
interpretaciones que se hagan de sus resultados. Muchos problemas requieren de
la estimación de múltiples derivadas sucesivas.
Es importante destacar que esta sesión constituye el cierre de las estrategias
ligadas a las reglas de derivación de funciones. En la última sesión del curso nos
estaremos enfocando en la aplicación de las derivadas a la solución de problemas
ligados con diversas áreas de conocimiento que van desde la geometría y la física

13. hasta la economía. Hay funciones que se presentan de forma explícita, es decir,
donde la variable “y” está escrita en función de la variable “x”.
Ejemplos:
Sin embargo, hay otras funciones que no pueden ser planteadas de tal manera que
la variable “y” quede escrita en función únicamente de la variable “x”.
Ejemplos:
En algunos textos, se establece que una función implícita es una relación que se
expresa en términos de x y y por ejemplo:
A fin de derivar este tipo de funciones se tienen que derivar término a término los
elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la
derivada.

14. Ejemplo 1: Determina la derivada de la siguiente función implícita.
Ejemplo 2: Determina la derivada de la siguiente función implícita.
cos⁡(x+y) = sen(x-y)
Se derivan ambos miembros de la igualdad:

15. Derivadas de orden superior
Las derivadas de orden superior de una función se obtienen al derivar ésta,
tantas veces como lo indique el orden de la derivada requerida.
La derivada de una función se llama primera derivada y se representa de la siguiente
manera:
Si obtenemos la derivada de la derivada de una función a la función obtenida se le
llama segunda derivada y se representa como:
El proceso puede repetirse tantas veces como se requiera. A este proceso se le da
el nombre de derivadas sucesivas.

16. Ejemplo 1: Encuentra la segunda derivada de la siguiente función.
y = cos3 x
Obtenemos primero la 1ª. Derivada:
A partir de la función obtenida se obtiene la segunda derivada:
Ejemplo 2: Encuentra la cuarta derivada de la siguiente función.
fx = x3+2x2-x
Obtenemos las derivadas de manera sucesiva de tal modo que el resultado obtenido
es:

17. Derivada Logarítmica.
La derivada de un logaritmo de base z aplicado a un número x es igual a 1
entre x La derivada de un logaritmo de base z aplicado a un número x es
igual a 1 entre x por logaritmo natural de z. En términos matemáticos, la
fórmula que debemos utilizar es la siguiente:
El logaritmo natural es la función de logaritmo aplicada con base e.
Asimismo, si se trata de una función sobre la cual se está calculando el logaritmo,
aplicamos la regla de la cadena, con lo que tendríamos lo siguiente, donde y es una
función de x.
Debemos recordar que un logaritmo es la operación por la cual se calcula el
exponente al que se está elevando la base para hallar un número x determinado.
Es decir, lo podemos resumir de la siguiente forma:

18. Por lo tanto, el logaritmo natural sigue el cálculo siguiente:
Ejemplos de derivada de logaritmo
Veamos algunos ejemplos de derivada de logaritmo. En este primer caso,
recordemos que estamos usando la regla de la cadena.