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Expresiones Algebraicas
- 1. Expresiones Algebraicas • Arturo J. Cabrita D. • Sección: IN0114 • Matemática Inicial • Informática
- 2. Índice C r i t e r i o s … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . S u m a d e E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s . … … … … … … … … … … … … … … . R e s t a d e E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s … … … … … … … … … … … … … … . . Va l o r N u m é r i c o d e E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s … … … … … … … … . . . M u l t i p l i c a c i ó n d e E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s … … … … … … … … … . . D i v i s i ó n d e E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s … … … … … … … … … … … … … . P r o d u c t o s N o t a b l e s d e E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s … … … … … … . . F a c t o r i z a c i ó n p o r P r o d u c t o s N o t a b l e s . … … … … … … … … … … … . . E j e r c i c i o d e P r o d u c t o s N o t a b l e s … … … … … … … … … … … … … … … . B i b l i o g r a f í a … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . … … … … . … . 3 … … … … . … . 4 … … … … . … . 5 … … … … . … . 6 … … … … . … . 7 … … … … . … . 8 … … … … . … . 9 … … … … . . . 1 0 … … … . . … . 11 … … … … … 1 2 P á g i n a
- 3. Criterios: Criterios Ponderación Elaboración de ejercicios 10% Impacto visual 3% Originalidad 3% Uso de Slideshare 2% Creación y publicación 2% Total 20 %
- 4. Suma de Expresiones Algebraicas Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir todos los términos semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma. Suma de Polinomios Suma de Monomios La suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio. Para realizar la suma de dos o más polinomios, se deben sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar. 2 Agrupamos los monomios del mismo grado. 1 Ordenamos los polinomios, si no lo están. 3 Sumamos los monomios semejantes. Ejemplo 1: Ejemplo 2:
- 5. Resta de Expresiones Algebraicas Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio. Cuando los factores son iguales, el resultado será un monomio, ahora cuando los monomios no son similares, al sumarlos se obtendrá un polinomio. Resta de Polinomios Resta de Monomios Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio. 5 +𝑥3 − 𝑥2 + 6 −5𝑥2 +4𝑥 − 6 𝑥3 6𝑥2 + 4𝑥 x3–x2+6–(5x2–4x+6) = x3–x2+6+(−5x2+4x–6) Ejemplo 1: Ejemplo 2: c + 6b2 –3a + 5b 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c 2. Agrupamos las restas de los términos comunes, y efectuamos las restas [4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c = 7a + 3a2 + b – 14b2 – c
- 6. Valor numérico de las Expresiones Algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una misma expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se asigne a cada una de las variables de la misma. Es el resultado que se obtiene al otorgar un valor determinado a su variable y realizar los cálculos correspondientes 6 Valor numérico de un Polinomio Ejemplo 1: Ejemplo 2: Hallar el valor numérico de 2x3+ 5x -4 =, para x =2. 2x3 + 5x -4 2 . 23 + 5 . 2 -4 = 2 . 8 + 10 – 4 = 16 + 10 – 4 = 22 Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica 𝑎𝑏2 − 𝑎2𝑏 − 𝑎2𝑏2 = cuando a = 3 e b = -2 Sustituimos las variables por los valores 3 (-3) (-2)2 – 2 (-3)2 (-2) - (-3)2 (-2)2 = Resolvemos las potencias: 3 (-3) (+4) – 2 (+9) (-2) - (+9) (+4) = Después, los productos: -36 + 36 – 36 = -36
- 7. Multiplicación de Expresiones Algebraicas consiste en realizar una operación entre los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término llamado producto. Para multiplicar dos monomios se aplica la regla de los signos, se multiplican los coeficientes y para las literales iguales se escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales son diferentes se pone cada literal con su correspondiente exponente. 7 Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los términos semejantes. Multiplicación de Polinomios Multiplicación de Monomios 2 a . 7 a (2.7) a = 14 a2 Ejemplo 1: Ejemplo 2: Se multiplican los coeficientes (2 y 3) y se suman los exponentes de la x (1 y 1): 2x . 3x = =6x2
- 8. División de Expresiones Algebraicas La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo. La división de un monomio entre monomio es muy simple, la parte numérica se efectúa mediante una división común y la parte de las letras se aplica la regla de los exponentes. 8 División de Polinomios División de Monomios Para la división de polinomio entre polinomio se debe considerar ordenar cada término del divisor y el dividendo con respecto a una letra, considerando el exponente de mayor a menor. Ejemplo 1: Ejemplo 2: (15n2 – 11mn + 6m2 ):(m-n ) En este caso ordenamos según la m: (6m2 – 11mn + 15n2 ):(m-n) 2. Se dividen los primeros términos, y luego se multiplica por el divisor. 6m(m n) = 6m2 - 6mn Procedemos luego a cambiar el signo a este producto, esto es - 6m2 + 6mn y se suma al dividendo. Luego queda: (6m2 + 11mn + 15n2 ) : (m-n) = 6m −6𝑚2 + 6𝑚𝑛 0 − 5𝑚𝑛 + 15𝑛2 Quedando como resultado final: 6m - 5n −5𝑚3𝑛4𝑝5 4𝑚2𝑛2𝑝3 = −5𝑚3−2𝑛4−2𝑝5−3 4 = −5𝑚𝑛2𝑝2 4
- 9. “ ” 9 Ejemplo 2: Ejemplo 1: (5x2y + 7x) . (5x2y – 7x)= =(5x2y)2 – (7x)2 =52 . x2.2 . y2 – 72 . x2 =25x4y2 – 49x2 (2x+3y)3 (2x+3y)3 = (2x)3 + 3(2x)2 (3y) + 3(2x)(3y)2 + (2x)3 = 4x3 + 3(4x2)(3y) + 3(2x)(9y2) + 8y3 = 4x3 + 36x2y + 54xy2 + 8y3 son productos cuyo resultado se obtiene sin tener que realizar la operación de multiplicar, sino conociendo ciertas reglas fijas. Dicho de otra manera, se puede decir que son productos cuyo resultado se obtiene sin que se necesite efectuar la multiplicación, solamente con aprender su desarrollo, se llega al resultado. Productos Notables de Expresiones Algebraicas
- 10. “ ” 10 Factorización de Productos Notables Es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de términos algebraicos en un producto. Factorizar es descomponer un número en factores más pequeños de modo que al multiplicarlos obtengo el número. Ejemplo 1:
- 11. “ ” 11 24𝑥8 𝑦3 − 16𝑥6 𝑦7 𝑧3 Paso 1. Conseguir el mayor factor común de 24 y 16, y el de los factores comunes de las variables. 8𝑥6 𝑦3 Paso 2. Reescribimos cada término del polinomio en función del factor común. Para esto dividimos cada término entre el factor común para obtener un segundo factor. 24𝑥8 𝑦3 8𝑥6𝑦3 = 3𝑥2 16𝑥6 𝑦7 𝑧3 8𝑥6𝑦3 = 2𝑦4 𝑧3 Paso 3. Sustituimos cada término por el factor común, se usa la propiedad distributiva 8𝑥6 𝑦3 (3𝑥2 − 2𝑦4 𝑧2 ) Paso 4. Revisamos los pasos realizados y reescribimos la expresión factorizada. 24𝑥8𝑦3 − 16𝑥6𝑦7𝑧3 = 8𝑥6𝑦3(3𝑥2 − 2𝑦4𝑧2) Ejemplo 2: Ejercicio de Factorización: