Este documento describe los métodos para integrar funciones racionales. Explica que las funciones racionales impropias pueden escribirse como una suma de funciones polinomiales y propias. Para integrarlas, primero se divide el polinomio de grado mayor entre el de grado menor, y luego se integra. También cubre funciones racionales propias, factorizando el polinomio divisor para hallar las constantes de integración mediante sumas de fracciones o sistemas de ecuaciones. Proporciona ejemplos para ilustrar los pasos.

1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integración de Funciones Racionales
ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS

2. FUNCIONES RACIONALES IMPROPIAS
Son aquellas que pueden escribirse como una suma de una 1. Se realiza la división de polinomios:
función polinomial y una función propia, mediante la P(x) Q(x)
siguiente ecuación:
Donde: C(x)
R(x)
2. Se reescribe la función:
(NOTA IMPORTANTE: Repase división de Polinomios)
3. Calcular la integral
Al momento de integrar funciones racionales y se observe
que el grado del polinomio P(x) es mayor o igual al grado
del polinomio Q(x) se está en presencia de una función A B
racional impropia.
ASe integra de manera directa
¿Cómo integrar una función de este tipo?
Primero intente con método de sustitución, si esto no BSe integra por método de sustitución.
funciona, realice la división de polinomios y reescriba la
función como en (1)
Ejemplo 1. Halle
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3. Entonces, (Nota Importante: Cuando se aplica el método de Ruffini,
siempre que no sea posible reducir completamente los
coeficientes, estos coeficientes se convierten en otro
polinomio, como el caso anterior.)
FUNCIONES RACIONALES PROPIAS El próximo paso, es hallar los valores de las constantes A y
B. Para ello realizamos la suma de fracciones primeramente
Caso 1.
Cuando se factoriza el polinomio Q(x) y se obtiene, como
resultado de la factorización, factores lineales y ninguno de
estos factores lineales se repite. Se comienzan los despejes y nos queda:
Se aplica propiedad distributiva:
Ejemplo 2. Halle
Se agrupan términos semejantes:
Se factoriza: por método Ruffini:
X=-1 3 1 -2
-3 2 Igualamos los polinomios, entonces:
3 -2 0
(Se forma un Sistema de Ecuaciones)
Cómo no se puede seguir reduciendo, con los coeficientes
que quedaron (3 y -2), se forma una un binomio, es decir:
3x-2 (y no se cambian sus signos) (-1) (Se multiplica por -1 y se simplifica B)
Entonces,
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4. Ejemplo 3. Halle
Se factoriza: por método Ruffini:
Sustituyendo A en una de las ecuaciones originales, hallamos
X=2 1 4 -3 -18
el valor de B. (en este caso, sustituimos en la primera 2 12 18
ecuación) X=-3 1 6 9 0
-3 -9
X=-3 1 3 0
-3
1 0
Al obtener los valores de las constantes A y B, podemos
resolver la integral.
Entonces,
Ambas integrales se resuelven por método de sustitución. El próximo paso, es hallar los valores de las constantes A, B
y C. Para ello realizamos la suma de fracciones
Caso 2. (Nota Importante: como en este caso tenemos 3 fracciones
Cuando se factoriza el polinomio Q(x) y se obtiene, como hallamos el máximo común divisor –M.C.D. – para poder
resultado de la factorización, factores lineales y alguno de realizar la suma). Repase M.C.D.
estos factores lineales se repite.
El M.C.D. en este caso es
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5. Se comienzan los despejes y nos queda: Cuando X=2, en ambos lados de la ecuación:
(*)
(*)
A partir de (*) existen dos formas de existen dos formas
hallar las incógnitas A, B y C en este caso: Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación y
nos queda:
1. Se desarrollan los factores cuadráticos presentes:
Cuando X=-3, en ambos lados de la ecuación:
Se aplica propiedad distributiva: Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación y
nos queda:
Se agrupan términos semejantes:
Cuando X=0, en ambos lados de la ecuación:
Igualamos los polinomios, entonces:
Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación y
(Se forma un Sistema de Ecuaciones) nos queda:
Pero sabemos que , y los sustituimos en la
Se resuelve el Sistema de Ecuaciones usando el Álgebra
lineal (Método de Gauss) –Nota: si el número de ecuaciones ecuación para despeja B.
e incógnitas se hace muy grande se utiliza un software
matemático: Maple, MatLab, Derive… entre otros) –
2. Se toman los valores de las raíces halladas por Ruffini
Se despeja B.
(X=2 y X=3) y en X=0, y sustituyen en (*) como sigue
a continuación:
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6. Al obtener los valores de las constantes A y B, podemos
resolver la integral.
Cada integral se resuelve por método de sustitución:
Ejercicios Propuestos.
a.
b.
c.
d.
Los Ejercicios Propuestos fueron tomados del conjunto de
problemas de la sección 8.5 del libro: Cálculo. Purcell y
Otros, 8va. Edición. Pág 397
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