El documento explica el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método involucra descomponer una matriz original en dos matrices triangulares, una inferior (L) y una superior (U), de tal forma que L*U = A. Luego se resuelven dos sistemas triangulares para encontrar las incógnitas. Se proveen los pasos detallados y dos ejemplos numéricos para ilustrar el proceso.

1. LU PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES METODOS NUMERICOS O2 - 5 CYNDY ARGOTE JONATHAN CELIS JONATHAN PEREZ JHONATAN QUINTERO LINA MARGARITA GOMEZ

3. DESCOMPOSICION LU Su nombre se deriva de las palabras inglesas “Lower" y “Upper”. Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

4. PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU Obtener la matriz triangular inferior “L” y la matriz triangular superior “U”. Resolver Ly = b (para encontrar y). El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre “y”. Realizar Ux = y (para encontrar x). El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada “x”, la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

6. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U]) Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero).

7. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L]) Construir una matriz de igual orden que la matriz original con unos en la diagonal principal y ceros para los elementos que cumplan j > i. Como los elementos debajo de la diagonal principal se ubican el múltiplo de Gauss usado en la descomposición para conseguir el “cero” en la posición correspondiente.

8. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones: 4X1 -2X2 -X3 = 9 5X1 +X2 -X3 = 7 X1 +2X2 -X3 = 12 4 -2 -1 9 A = 5 1 -1 b = 7 1 2 -1 12

9. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 SOLUCION 1. Se halla “U”: 4 -2 -1 5 1 -1 R2 R2 – (5/4)*R1 1 2 -1 R3 R3 – (1/4)*R1 4 -2 -1 0 7/2 ¼ 0 5/2 -3/4 R3 R3 – (5/2)/(7/2)*R2

10. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 SOLUCION 1. Se halla “U”: 4 -2 -1 U = 0 7/2 ¼ 0 0 -13/14 2. Se halla “L”: 1 0 0 1 0 0 L = ? 1 0 L = 5/4 1 0 ? ? 1 ¼ 5/7 1

11. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 3. Se verifica L*U = A 1 0 0 4 -2 -1 5/4 1 0 x 0 7/2 ¼ = ¼ 5/7 1 0 0 -13/14 4+0+0 -2+0+0 -1+0+0 4 -2 -1 5+0+0 -5/2+7/2+0 -5/4+1/4+0 = 5 1 -1 1+0+0 -1/2 +5/2+0 -1/4+5/28-13/14 1 2 -1

12. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 4. Se despeja “Y” de L*Y = b 1 0 0 Y1 9 5/4 1 0 * Y2 = 7 ¼ 5/7 1 Y3 12 Y1 = 9 Y1 = 9 5/4Y1 + Y2 = 7 Y2 = -17/4 1/4Y1 + 5/7Y2 +Y3 = 12 Y3 = 179/14

13. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 5. Se despeja “X” de U*X = Y 4 -2 -1 X1 9 0 14/4 ¼ * X2 = -17/4 0 0 -13/14 X3 179/14 4X1 -2X2 -X3 = 9 X1 = -17/13 14/4X2 +1/4X3 = -17/4 X2 = -3/13 -13/14X3 = 179/14 X3 = -179/13

14. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°2 Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones: 11X1 -3X2 -2X3 = 18 5X1 -2X2 -8X3 = 13 4X1 -7X2 +2X3 = 2 11 -3 -2 18 A = 5 -2 -8 b = 13 4 -7 2 2

15. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°2 SOLUCION 1. Se halla “U”: 11 -3 -2 5 -2 -8 R2 R2 – (5/11)*R1 4 -7 2 R3 R3 – (4/11)*R1 11 -3 -2 0 -7/11 -78/11 0 -65/11 30/11 R3 R3 – (-65/11)/(-7/11)*R2

16. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°2 SOLUCION 1. Se halla “U”: 11 -3 -2 U = 0 -7/11 -78/11 0 0 480/7 2. Se halla “L”: 1 0 0 1 0 0 L = ? 1 0 L = 5/11 1 0 ? ? 1 4/11 65/7 1

17. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°2 SOLUCION 3. Se verifica L*U = A 1 0 0 11 -3 -2 5/11 1 0 x 0 -7/11 -78/11 = 4/11 65/7 1 0 0 480/7 11+0+0 -3+0+0 -2+0+0 = 11 -3 -2 5+0+0 -15/11-7/11+0 -10/11-78/11+0 = 5 -2 -8 4+0+0 -12/11 -65/11+0 -8/11+5070/77+480/7 = 4 -7 2

18. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°2 SOLUCION 4. Se despeja “Y” de L*Y = b 1 0 0 Y1 18 5/11 1 0 * Y2 = 13 4/11 65/7 1 Y3 2 Y1 = 18 Y1 = 18 5/11Y1 + Y2 = 13 Y2 = 53/11 4/11Y1 + 65/7Y2 +Y3 = 2 Y3 = -345/7

19. FACTORIZACION LU EJEMPLO N°2 SOLUCION 5. Se despeja “X” de U*X = Y 11 -3 -2 X1 18 0 -7/11 -78/11 * X2 = 53/11 0 0 480/7 X3 -345/7 11X1 -3X2 -2X3 = 18 X1 = 13/8 -7/11X2 -78/11X3 = 53/11 X2 = 7/16 480/7X3 = -345/7 X3 = -23/32

20. FACTORIZACION LU DIAGRAMA DE FLUJO factor = A i,k /A k,k A i,k = factor A i,j = A i,j - factor*A k,j 1 1 El numero de iteraciones se hacen de acuerdo al orden de la matriz. Para k = 1 Para k = 2 Inicio A, n, b 2 Se almacenan los términos de la matriz L K = 1, n-1 i = k+1, n j = k+1, n

21. FACTORIZACION LU DIAGRAMA DE FLUJO 2 Sustitución hacia delante: L* Y = b sum = bi sum = sum – A i,j *bi bi = sum 3 Se almacenan los nuevos “b” ( Y ) i = 2, n j = 1, i-1

22. FACTORIZACION LU DIAGRAMA DE FLUJO Sustitución hacia atrás: U* X = Y 3 X n = b n /A n,n sum = 0 sum = sum + A i,j *X j X i = (b i – sum)/A i,j Xi Fin! i = n-1, 1, -1 j = i+1, n i = 1, n

23. FACTORIZACION LU Referencias de consulta http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte20.pdf http://www.ditutor.com/matrices/matriz_simetrica.html http://www.cramster.com/reference/wii.aspx?wiki_name=Band_matrix Chapra, Steven; Canale, Raymond. Métodos númericos para ingenieros. 3ra Edición. Mc Graw Hill 2000.

24. GRACIAS