Logica Difusa

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
AMPLIACION MARACAIBO
Fernando Yepez
12.071.568

2. Introducción
“Un sistema inteligente” sería aquel que posee una habilidad
parecida al ser humano para resolver problemas dentro de un
dominio específico, tiene capacidad para adaptarse,
aprender en un ambiente cambiante y explicar como se toman
las decisiones ( o acciones)”.
En el último siglo ha existido un interés creciente por la
construcción de máquinas inteligentes.
• 1947, Se definió la Cibernética ( Norbert Wiener)
“un estudio unificado del control y de la comunicación
en los animales y las máquinas”.

3. • 1947, Se definió la Cibernética ( Norbert Wiener)
“un estudio unificado del control y de la comunicación
en los animales y las máquinas”.
• La época de la cibernética coincide con el desarrollo de
varios paradigmas:
- Evolución de los computadores analógicos a digitales.
- Teoría formal de la computación ( Alan Turing).
- Computador basado en lógica digital: John Von Neumann
- Primeros modelos del neuron: McCulloch-Pitts (1943),
perceptron (1957)
- La inteligencia artificial (IA), 1960, John McCarthy
Introducción

4. “Buscaban definir los métodos algorítmicos capaces de hacer
pensar a los computadores !!”
Hubo una gran efervescencia en la década del 60, debido
A los resultados iniciales se pensaba que se “conseguiría
construir máquinas realmente inteligentes”.
Hubo un declive de las otras áreas: la cibernética y la redes
neuronales.
Inteligencia Artificial:

5. 1969, Marvin Minsky, mostró mediante un estudio riguroso
formal, limitaciones en los perceptrones para resolver
algunos problemas. Esto causó una perdida de confianza en
el área de redes neuronales.
La Inteligencia Artificial (AI) algunas ideas:
El ser humano utiliza el lenguaje como medio para razonar y
sacar conclusiones.
“La IA busca imitar el comportamiento inteligente,
tratando de expresarlo en formas de lenguaje o reglas
Simbólicas”
Inteligencia Artificial:

6. La Inteligencia Artificial (AI) algunas ideas:
“La IA manipula simbolos basandose en la suposición que el
Comportamiento inteligente puede ser almacenado en bases
de conocimiento estructuradas simbólicamente”.
El mayor desarrollo de la IA son los sistemas expertos o
Sistemas basados en conocimiento:
“Son complejos programas (software) en los que se codifica
el conocimiento de expertos en una materia muy concreta en
forma de reglas de decisión”.
- La IA se sustenta en el binomio: lógica boolena-máquina de
Von Neumann.
Inteligencia Artificial:

7. Adquisición de
Conocimiento
InterfacedeUsuario
Facilidad de
Explicación
Máquina de
Inferencia
Base de Datos
Global
Computador
Host
etc...
KB
Hechos
Reglas
Ingeniero de
Conocimiento
Humano
Experto
Pregunta
Respuesta
Usuario
(Novato)
Estructura de un sistema experto
Inteligencia Artificial:

8. Algunas definiciones de IA:
•“AI is the study of agents that exist in an evironment and
perceive and act”. (Russell, Norvig, artificial Intelligence:
a Modern approach, 1995).
• “Is the art of making computer do smart things”.
(Waldrop,87).
• “AI is a programming style, where programs operate on
data according to rules in order to accomplish goals”
(Tylor, 88).
Inteligencia Artificial:

9. Sistemas difusos
Introducción
Los sistemas difusos son utilizado en muchos campos de la
ingeniería. Hacen del parte del área se que se ha
denominado softcomputing.
Lotfi A. Zadeh (1992):
“Soft computing is an emerging approach to computing
which parallels the remarkable ability of the human mind to
reason and learn in an environment of uncertainty and
imprecision”.

10. Softcomputing cubre en algunos paradigmas recientes:
- Redes neuronales.
- Lógica difusa y sistemas basados en
razonamiento difuso.
- Técnicas de optimización basadas en
algoritmos genéticos y re-cocimiento simulado.
Inteligencia computacional:

11. Los sistemas difusos:
Han sido desarrolladas buscando modelar la forma como el
cerebro manipula información imprecisa.
La redes neuronales:
Son modeladas a partir de la arquitectura física del
cerebro.
Sistemas difusos

12. Los sistemas difusos y las redes neuronales:
• Estimadores libres de modelos.
• Sistemas dinámicos.
• Ambos tienen la capacidad de modelar procesos no
lineales complejos con un grado arbitrario de exactitud.
• Son tecnologías complementarias:
­ Sistemas difusos con habilidades de aprendizaje.
­ Redes neuronales con una estructura determinada
por la forma y el proceso de razonamiento propio
de las reglas difusas “If-then”.
Sistemas difusos

13. Los sistemas difusos y las redes neuronales
Redes neuronales:
• Realizan un mapeo no lineal de entrada-salida.
• Poseen la capacidad de generalización.
• Tienen la propiedad de la “adaptabilidad”.
• Son tolerantes a fallas.
• Tienen habilidad de aprendizaje.
Sistemas difusos

14. La fusión de las dos tecnologías produce sistemas con
diferentes características:
• Sistemas neurodifusos: Sistemas difusos provistos de
métodos de sintonía propios de las redes neuronales
pero sin alterar su funcionalidad.
• Redes neuronales difusas: Conservan las propiedades y
la arquitectura de las redes neuronales y simplemente
se “fuzifican” algunos de sus elementos.
Sistemas difusos

15. La expresión del conocimiento
Cuando se trabaja con la solución de problemas existen dos
tipos de conocimiento:
Conocimiento objetivo: El cual se expresa en forma de
modelos matemáticos. Estos modelos son usados
corrientemente en la solución de problemas en el campo de
la ingeniería.
Conocimiento subjetivo: el cual es representado en forma
lingüística que es imposible de cualificar con modelos
matemáticos tradicionales.
Ex: “Si el valor de la ganancia es muy alto entonces el
Sistemas difusos

16. Qué es un conjunto de acuerdo con la teoría clásica?
Es una reunión de elementos que cumplen alguna condición pre-
establecida.
Notación: A = { x / x cumple alguna condición}
Ejemplo: A = { x ∈ R / x > 5 }
Conjuntos discretos se pueden
representar con diagramas. Por
ejemplo el conjunto B (de números
enteros entre 1 y 5):
B
1 Así:
2 1 ∈ B
3 2 ∈ B
4 3 ∈ B
5 4 ∈ B
5 ∈ B
conjuntos difusos

17. La función característica o de pertenencia
Se puede definir un conjunto estableciendo su función de
pertenencia ( también llamada función característica).
La función asume la siguiente forma para conjuntos clásicos:
Sea el conjunto A, la función de pertenencia μA(x) será:
1, si x ∈ A
μA(x) =
0, a x∉ A.
conjuntos difusos

18. Ejemplo: sea el conjunto A:
A ={ El conjunto de los números reales mayores que 5}
o equivalentemente:
A = { x ∈ R / x ≥ 5}
Entonces: μA(4) = 0
μA(6) = 1
Gráfica de μA(x) 3 4 5 6 7 ….
μA
1
R
conjuntos difusos

19. Conjuntos difusos
La pertenencia de los elementos al conjunto puede ser gradual, lo
cual se expresa mediante la función de pertenencia, que en este
caso puede tomar valores dentro del intervalo [0,1]
Ejemplo:
Sea el conjunto universal X ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sea el
conjunto A = {el número apropiado de cursos que un estudiante debe
tomar en el primer semestre de Ingeniería electrónica}
A, lo podríamos definir considerando sus elementos junto con sus
valores de pertenencia:
A ={ (1, 0.1), (2,0.3), (3,0.4), (4,0.6), (5,1), (6,0.9), (7,0.6), (8,0.3)
(9, 0.1) }
conjuntos difusos

20. Definición de Conjuntos difusos
Sea U una colección de objetos denotados genéricamente por u,
entonces un conjunto difuso A en U se define como el conjunto de
pares ordenados:
A = { (u, μA(u)) / u ∈ U}
μA(u) es la función de pertenencia de u en A, la cual mapea cada
elemento de U a un valor de pertenencia entre 0 y 1.
Función de pertenencia
u1 u2 U
μA(u)
1
0.6
conjuntos difusos

21. Ejemplo
Sea B= “El conjunto de números enteros cercanos a 9”
B = 0.1/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 0.8/10 + 0.5/11 + 0.1/12
1
0.8
0.5
0.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N
Notación B = ∑N μB(x)/ x (Representación de conjuntos discretos)
Conjuntos difusos

22. Tipos corrientes de funciones de pertenencia
Tipo Z Tipo triangular
Tipo trapezoidal
Lineal por trazos
Tipo S
Otras formas: gaussiana, en forma de campana, etc.
Conjuntos difusos

23. Algunas definiciones relacionadas con conjuntos difusos :
1. El soporte de un conjunto difuso:
Support(A) = { x / μA(x) > 0}
2. Core: Core(A) = { x / μA(x) = 1}
3. Conjuntos difusos normales: si su “core” no es vacio.
4. Fuzzy singleton: es un conjunto normal con soporte en un
solo punto
Conjuntos difusos

24. Conjuntos difusos
Representación de los conjuntos difusos :
Dado un conjunto universal U ={x1, x2, ….,xn}, un conjunto A
definido en U puede ser representado usando el conjunto de pares
ordenados:
Igualmente puede ser representado como:
Donde + indica unión de los elementos (no suma).
1 1 2 2{( , ( )),( , ( )),.....,( , ( ))}A A n A nA x x x x x xµ µ µ=
31 2
1 2 3
.... n i
n i
x x xx x
A
µ µ µ µ µ
= + + + + =∑

25. α - cuts
Un α-cut (o conjunto de nivel α) de un conjunto difuso A* es un
conjunto Aα clásico que contiene todos los elementos del conjunto
universo U que tienen un grado de pertenencia en A* más grande
o igual a α.
O sea:
El conjunto de todos los niveles α∈(0,1] que representan distintos
α-cuts de un conjunto A dado es llamado el conjunto de nivel de
A. O sea:
{ / ( ) , (0,1]}AA x U xα µ α α= ∈ ≥ ∈
{ / ( ) , lg }A A x para a un x Uα µ αΠ = = ∈
Conjuntos difusos

26. Primero recordemos las operaciones entre conjuntos clásicos
Para conjuntos clásicos, consideremos dos conjuntos A y B:
- entonces la unión de A y B será un conjunto C = A ∪ B, que
contendrá tanto los elementos de A como los de B.
- La intersección de A y B , será un conjunto D = A ∩ B, que
contendrá los elementos comunes entre A y B.
- El complemento de A, será un conjunto A, que contendrá todos los
elementos del conjunto universal que no pertenezcan a A.
Conjuntos difusos

27. Ejemplo (conjuntos clásicos):
Sean los conjuntos A = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
y U = { 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} el conjunto
universal.
Entonces: C = A ∪ B = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
D = A ∩ B = {4, 5, 6 }
A = {0, 7, 8, 9, 10, 11}
Conjuntos difusos

28. Operaciones entre conjuntos clásicos: se pueden realizar
operación entre conjuntos clásicos usando la función pertenencia.
Se realizan con base
a las funciones de
pertenencia
Función de pertenencia del
conjunto resultado Operador
( ) max( ( ), ( ))A B A BC A B u u uµ µ µ∪= ∪ ⇒ =
( ) min( ( ), ( ))A B A BD A B u u uµ µ µ∩= ∩ ⇒ =
( ) 1 ( )AA
A u uµ µ⇒ = −
Conjuntos difusos

29. Propiedades de las operaciones entre conjuntos clásicos:
Sean A, B y C conjuntos clásicos y A, B, y C sus complementos
Sea X el conjunto universo y Φ el conjunto vacío
Propiedad
Conmutativa A∪B = B∪A, A∩B = B∩A
Asociativa (A∪B) ∪ C = A∪(B ∪ C)
(A∩B) ∩ C = A∩(B ∩ C)
Distributiva A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪ C)
A ∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
Conjuntos difusos

30. Propiedad
Contradicción A ∩ A = Φ
Tercero excluido A ∪ A = X
ley de Morgan A∪ B = A ∩ B
A ∩ B = A ∪ B
Conjuntos difusos