1. Sistemas Inteligentes
y Redes Neuronales
(WOIA)
MSc. Ing. José C. Benítez P.
Sesión: 10
Conjuntos Difusos

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Sesión 10. Conjuntos Difusos
Introducción a los conjuntos.
Introducción a los conjuntos crisp y difusos.
Conjuntos difusos.
La interpretación de Kosko.
Tipos de funciones de pertenencia.

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Introducción a los conjuntos
• En matemáticas, un conjunto es una colección de
elementos considerada en si misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:
personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está
definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
• Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que
todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los
números naturales, si se considera la propiedad de ser un
número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

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Introducción a los conjuntos
• Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y
por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como
una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o
añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por
ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}
= {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
= {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
• Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los
números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas
en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además,
los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de
manera similar a las operaciones con números.

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Introducción a los conjuntos
• Los conjuntos son un concepto primitivo; no es posible
definirlos en términos de nociones más elementales, por lo
que su estudio puede realizarse de manera informal,
apelando a la intuición y a la lógica.
• Los conjuntos son el concepto fundamental de la
matemática: mediante ellos puede formularse el resto de
objetos matemáticos, como los números y las funciones,
entre otros.
• El estudio detallado de los conjuntos requiere de la
introducción de axiomas y conduce a la teoría de
conjuntos.

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Introducción a los conjuntos
• La teoría de conjuntos como disciplina independiente se
atribuye usualmente a Georg Cantor; en sus
investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un
estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades.
• La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser
determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de
«axiomatización» de la matemática, en el que todos los
objetos matemáticos, como los números, las funciones y
las diversas estructuras, fueron construidos con base en los
conjuntos.

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Introducción los conjuntos crisp y difusos
Conjuntos Clásicos (crisp):
Surgen de forma natural, por la necesidad del ser
humano de clasificar objetos y conceptos.
- Conjunto de Frutas: Manzana ∈ Frutas, Lechuga ∉
Frutas…
- Función de pertenencia A(x), x∈X:
• X es el Universo de Discurso.
• Restricción de la Función A: X → { 0, 1 }
- Conjunto Vacío ⇒ ∅(x)=0, ∀ x∈X
- Conjunto Universo ⇒ U(x)=1, ∀x∈X

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Introducción los conjuntos crisp y difusos
Conjuntos Difusos (fuzzy):
Relajan la restricción, A: X→ [0,1]
– Hay conceptos que no tienen límites claros:
• ¿La temperatura 25oC es “alta”?
• Definimos, por ejemplo:
Alta(30)=1,
Alta(10)=0,
¿Cual es el valor de Alta(25)?,
=> Alta(25)=0.75
...

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Conjuntos difusos
Definición:
Un conjunto difuso A se define como una Función de
Pertenencia que enlaza o empareja los elementos de un
dominio o Universo de discurso X con elementos del intervalo
[0,1]:
A: X→ [0,1]
• Cuanto más cerca esté A(x) del valor 1, mayor será la
pertenencia del objeto x al conjunto A.
• Los valores de pertenencia varían entre 0 (no pertenece en
absoluto) y 1 (pertenencia total).

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Conjuntos difusos
• Un conjunto difuso, es un conjunto que puede contener
elementos de forma parcial; es decir que la propiedad x∈A
puede ser cierta con un grado de verdad.
• Se mide esta posibilidad de pertenecer (o pertenencia) con un
número μA(x) entre 0 y 1, llamado grado de pertenencia de x a
A. Si es 0, x no pertenece a A, si es 1, entonces x∈A,
totalmente, y si 0<μA(x)<1, x pertenece a A de una manera
parcial.
• Un subconjunto A de B se caracteriza, por tanto, por esta
función de pertenencia μA, de B en [0,1]. Es preciso fijar el
conjunto B para definir la función μA que a su vez define A.
Por eso se habla de subconjunto difuso y no de conjunto
difuso.

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Conjuntos difusos
• Nótese que μA es una proposición en el contexto de la lógica
difusa, y no de la lógica usual binaria, que sólo admite dos
valores: cierto o falso.
• La teoría de los subconjuntos difusos o borrosos fue desarrollada
por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar
matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías
de objetos.
• Los subconjuntos difusos (o partes borrosas de un conjunto)
fueron inventados para modelar la representación humana de
los conocimientos (por ejemplo para medir nuestra ignorancia o
una imprecisión objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión,
de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial.

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Conjuntos difusos
Representación:
Un conjunto difuso A puede representarse como un conjunto
de pares de valores: Cada elemento x∈X con su grado de
pertenencia a A. También puede ponerse como una “suma” de
pares:
– A = { A(x)/x, x∈X}
–
(Los pares en los que A(xi)=0, no se incluyen)
Ejemplo:
• Conjunto de alturas del concepto difuso “Alto” en Personas:
A = 0.25/1.75 + 0.2/1.8 + 0.15/1.85 + 0.1/1.9
(su universo es discreto).

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Conjuntos difusos
Representación:
• Si el Universo es Continuo:
• La suma y la integral no deben considerarse como
operaciones algebraicas.
Contexto:
• Es fundamental en la definición de conjuntos difusos.
• Ejemplo:
No es lo mismo el concepto “Alto” aplicado a personas
que a edificios.

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Conjuntos difusos
Gráfico de dos conjuntos difusos.

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Conjuntos difusos
Función de Pertenencia:
Un conjunto difuso puede representarse también
gráficamente como una función, especialmente cuando
el universo de discurso X (o dominio subyacente) es
continuo (no discreto).
Abscisas (eje X): Universo de discurso X.
Ordenadas (eje Y): Grados de pertenencia en el
intervalo [0,1].
Ejemplo: Concepto de Temperatura “Alta”.

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Conjuntos difusos
Función de Pertenencia:
Ejemplo: Concepto de Temperatura “Alta”.
Alta(30)=1,
Alta(10)=0,
=> Alta(25)=0.75

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Interpretación de Kosko (1992)
• Un Universo X es un conjunto (finito o infinito) de valores.
• Por ejemplo: X = {x1, x2 , ... , xn}, donde X tiene n valores.
• Cada subconjunto de X es miembro del conjunto potencia
de X, denotado como P(X) o 2X.
– P(X) tiene 2n elementos, incluyendo ∅ (conj. vacío).
– Cada valor de X puede pertenecer al subconjunto o no
pertenecer.
• Cada uno de los 2n elementos de P(X), puede
representarse como un vector de n dimensiones (Kosko,
1992). Forma un hipercubo unidad n-dimensional.

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Interpretación de Kosko (1992)
• Conjuntos Crisp: Cada uno de los componentes de ese
vector toma un valor en el conjunto {1,0}, según ese
componente de X pertenezca o no a ese elemento de P(X).
Ejemplo: El conjunto vacío tiene n ceros {0, 0, ... 0}.
• Conjuntos Difusos: Cada uno de los componentes de ese
vector toma un valor en el intervalo [0,1], según ese
componente de X pertenezca a ese elemento o no.
Existen infinitos valores posibles.
• Ejemplo con n=2: P(X)={∅,{x1},{x2},{x1, x2} } →
– Crisp: P(X)={[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]}.
Son las 4 esquinas de un cuadrado unidad.
– Difuso: Cubre toda la superficie del cuadrado.

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Interpretación de Kosko (1992)

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Tipos de Funciones de Pertenencia
Función de Pertenencia:
A: X→ [0,1]
• Cualquier función A es válida.
• Su definición exacta depende:
del concepto a definir,
del contexto al que se refiera,
de la aplicación...
• En general, es preferible usar funciones simples,
debido a que simplifican muchos cálculos y no
pierden exactitud, debido a que precisamente se
está definiendo un concepto difuso.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
1. Triangular:
Definido por sus límites inferior a y superior b, y el
valor modal m, tal que a < m < b.
También puede representarse así:
A(x;a,m,b) = máx { mín{ (x-a)/(m-a), (b-x)/(b-m) }, 0 }

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Tipos de Funciones de Pertenencia
2. Función Γ (gamma):
Definida por su límite inferior a y el valor k>0.
Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a.
Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido aún.
La primera definición tiene un crecimiento más rápido.
Nunca toman el valor 1, aunque tienen una asíntota horizontal en 1.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
3. Función G (gamma):
Se aproximan linealmente por:
La función opuesta se llama Función L.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
4. Función S:
Definida por sus límites inferior a y superior b, y el valor m, o
punto de inflexión tal que a<m<b.
Un valor típico es: m=(a+b) / 2.
El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
5. Función Gausiana:
Definida por su valor medio m y el valor k>0.
Es la típica campana de Gauss.
Cuanto mayor es k, más estrecha es la campana.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
6. Función Trapezoidal:
• Definida por sus límites inferior a y superior d, y los límites
de su soporte, b y c, inferior y superior respectivamente.
• En general, la función Trapezoidal se adapta bastante bien a
la definición de cualquier concepto, con la ventaja de su
fácil definición, representación y simplicidad de cálculos.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
7. Función Pseudo-Exponencial:
• Definida por su valor medio m y el valor k>1.
• Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más
rápido aún y la “campana” es más estrecha.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
8. Función Trapecio Extendido:
• Definida por los cuatro valores de un trapecio [a, b, c, d], y
una lista de puntos entre a y b, o entre c y d, con su valor de
pertenencia asociado a cada uno de esos puntos.

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Tipos de Funciones de Pertenencia
8. Función Trapecio Extendido:
• En casos particulares, el Trapecio Extendido puede ser
de gran utilidad.
• Éste permite gran expresividad aumentando su
complejidad.
• En general, usar una función más compleja no añade
mayor precisión, pues debemos recordar que se está
definiendo un concepto difuso.

30. Preguntas
Al término de la experiencia de aprendizaje el alumno
debe ser capaz de responder las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es un conjunto?.
2. ¿Cuales son las características de los conjuntos?.
3. ¿Cuales son los tipos de conjuntos?.
4. ¿Cuál es la utilidad de los conjuntos?.
5. ¿Qué es un conjunto crisp?. Dar ejemplos.
6. ¿Qué es un conjunto difuso?. Dar ejemplos.
7. ¿Cómo se representa un conjunto difuso?.
8. ¿En qué consiste la interpretación de Kosko?.
9. Listar los tipos de funciones de pertenencia.
10. Indicar 3 características de cada FdP.
11. Indicar la función generadora de cada FdP.
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Sesión 10. Conjuntos difusos
Sistemas Inteligentes y Redes Neuronales
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