El documento trata sobre la dinámica rotacional, elasticidad, movimiento oscilatorio y trabajo y energía en el movimiento armónico simple y la rotación. Explica conceptos como la fuerza, el trabajo, la energía cinética y potencial en sistemas como una partícula sobre la que actúa una fuerza, un sólido rígido, un sistema masa-resorte y un péndulo simple. También describe tipos de oscilaciones como la libre, amortiguada y autosostenida.

1. DINAMICA ROTACIONAL, ELASTICIDAD, MOVIMIENTO OSCILATORIO,
M.A.S
TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE;
ROTACION
Consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza , función de la posición de la
partícula en el espacio, esto es y sea un desplazamiento elemental
(infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo .
Llamamos trabajo elemental, , de la fuerza durante el desplazamiento
elemental al producto escalar ; esto es,
Si representamos por la longitud de arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en
el desplazamiento elemental, esto es , entonces el vector tangente a la
trayectoria viene dado por y podemos escribir la expresión anterior en la
forma
donde representa el ángulo determinado por los vectores y y es la componente
de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental .
El trabajo realizado por la fuerza durante un desplazamiento elemental de la partícula
sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva, nula o negativa,
según que el ángulo sea agudo, recto u obtuso.

2. Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre
dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos
desplazamientos elementales y el trabajo total realizado por la fuerza en ese
desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea
Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de a lo largo de la curva que
une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de sobre la curva entre los
puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar que dependerá en general
de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la fuerza sea conservativa, en
cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del camino seguido para ir del punto A al
punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada. Así, podemos afirmar que el trabajo no es
una variable de estado.
Casos particulares
Fuerza constante sobre una partícula
En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo,
dirección3 y sentido4 ), se tiene que
es decir, el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto
escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición inicial y la final.
Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que
se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el
trabajo también será nulo.
Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado
sobre esta ella, entonces representará al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

3. Trabajo sobre un sólido rígido
Para el caso de un sólido el trabajo total sobre el mismo se calcula sumando las
contribuciones sobre todas las partículas. Matemáticamente ese trabajo puede expresarse
como integral:
Si se trata de un sólido rígido las fuerzas de volumen puede escribirse en términos de
la fuerza resultante , el momento resultante , la velocidad del centro de
masas y la velocidad angular :
Trabajo y energía cinética
Para el caso de una partícula tanto en mecánica clásica como en mecánica relativista es
válida la siguiente expresión:
Multiplicando esta expresión escalarmente por la velocidad e integrando respecto al tiempo
se obtiene que el trabajo realizado sobre una partícula (clásica o relativista) iguala a la
variación de energía cinética:
Rotación
Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de
referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto
permanece fijo.

4. La rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un
conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el
vector velocidad angular , que es un vector de carácter deslizante y situado
sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad
se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».
La rotación también puede ser oscilatoria, como en el péndulo (izquierda). Los
giros son completos sólo cuando la energía es lo suficientemente alta (derecha).
El gráfico superior muestra la trayectoria en el espacio físico.
En ingeniería mecánica, se llama revolución a una rotación completa de una
pieza sobre su eje (como en la unidad de revoluciones por minuto), mientras que
en astronomía se usa esta misma palabra para referirse al movimiento orbital de
traslación de un cuerpo alrededor de otro (como los planetas alrededor del Sol).
SISTEMA MASA- RESORTE
Un ejemplo de Movimiento Armónico Simple se muestra en la figura. Se supone
movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.

5. El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en
ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o
acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza
mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay
que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesta a la fuerza externa
aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica.
Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a :
En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el
resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una
deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a moverse con M.A.S.
oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero
negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la
posición de equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la
deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será máxima pero
positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.
A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante (recuperadora)
con la aceleración a(t).

6. Energía de un M.A.S.
En el MAS la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de
equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la
partícula que realiza el MAS es la suma de su energía potencial más su energía cinética.
Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que
podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento)
y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza
conservativa). Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética
Ec = 1/2 m v2
y el valor de la velocidad del m.a.s.
v = dx / dt = A w cos (w t + jo)
sustituyendo obtenemos
Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 w2cos2 (w t + jo)
Ec = 1/2 k A2 cos 2(w t + jo)

7. a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen2 + cos2 = 1
Ec = 1/2 k A2 [ 1 - sen2(w t + jo)]
Ec = 1/2 k[ A2 - A2sen2(w t + jo)]
de donde la energía cinética de una partícula sometida a un MAS. queda
Ec = 1/2 k [ A2 - x2]
Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la
partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el
extremo de la trayectoria.
La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la
partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.
Por ello el valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado por la expresión
Ep = 1/2 k x2
Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial más la
energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un
MAS. será:
Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2
E = 1/2 k A2
En el MAS. La energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su
amplitud permanece también constante.

8. PÉNDULO SIMPLE Y OSCILACIONES
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un
hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego
se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un
arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos
su movimiento en la dirección tangencial y en la
dirección normal.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de
masa m son dos
 el peso mg
 La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la
dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.
 Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su
trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe
man=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la
tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de
equilibrio, T=mg+mv2/l

9. Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0
 Principio de conservación de la energía
En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en
energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la energía es
solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del péndulo es parte
cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor
máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad
es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
 Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe

10. mat=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La
ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial.
Oscilaciones
Se denomina oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un
medio o sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica.
Oscilación, en física, química e ingeniería es el movimiento repetido de un lado a otro en
torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir desde
una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición
central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce
como frecuencia de la oscilación empleada en el MAS (Movimiento Armónico Simple).
Una oscilación en un medio material es lo que crea el sonido. Una oscilación en una
corriente eléctrica crea una onda electromagnética.
Tipos de oscilaciones
Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por
causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso
cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.
FIGURA 01: Oscilación libre. La envolvente dinámica muestra fases de ataque y caída

11. Oscilación amortiguada
Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría
vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción
(o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la
consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada
vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el
movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.
FIGURA 02: Oscilación amortiguada
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva
exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la
partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de
reposo.
La representación matemática es , donde es el
coeficiente de amortiguación. Notemos que la amplitud es también una función
del tiempo (es decir, varía con el tiempo), mientras que a y son constantes que dependen
de las condiciones de inicio del movimiento.
No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de propiedades

12. intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene
constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación
muy grande.)
Oscilación autosostenida
Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se pierde debido
a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación autosostenida. Éste es por
ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos
sostenidamente una flauta.
FIGURA 03: Oscilación autosostenida. La envolvente dinámica presenta una fase casi
estacionaria (FCE), además de las fases de ataque y caída
La acción del arco sobre la cuerda repone la energía perdida debido a la amortiguación,
logrando una fase (o estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi estacionaria -y
no estado estacionario, como suele encontrarse en alguna literatura- debido a que, en
condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema
sea exactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. En consecuencia, la
amplitud durante la fase casi estacionaria no es en rigor constante, sino que sufre pequeñas
variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra habilidad para compensar la energía
perdida.
Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde producto de

13. la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación menor, cuyas características
dependen de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa
introduciendo. También en este caso el sistema termina por detenerse, aunque demore más
tiempo. (En música lo llamaríamos decrescendo.)
Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por
la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación
existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. (En música lo
llamaríamos crescendo.)
Oscilación forzada
Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante
(llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos
puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su
frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la
frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra,
cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía".
Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema
se produce una oscilación forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de
las características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en
particular su relación.
Resonancia
Si, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del generador (ƒg) coincide con la
frecuencia natural del resonador (ƒr), se dice que el sistema está en resonancia.
La amplitud de oscilación del sistema resonador R depende de la magnitud de la fuerza

14. periódica que le aplique el generador G, pero también de la relación existente entre ƒg y ƒr.
Cuanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del generador y la frecuencia del
resonador, menor será la amplitud de oscilación del sistema resonador (si se mantiene
invariable la magnitud de la fuerza periódica que aplica el generador). O, lo que es lo
mismo, cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador y el resonador,
mayor cantidad de energía se requerirá para generar una determinada amplitud en la
oscilación forzada (en el resonador).
Por el contrario, en el caso en que la frecuencia del generador y la del resonador
coincidieran (resonancia), una fuerza de pequeña magnitud aplicada por el
generador G puede lograr grandes amplitudes de oscilación del sistema resonador R. La
Figura 04 muestra la amplitud de oscilación del sistema resonador, para una magnitud
constante de la fuerza periódica aplicada y en función de la relación entre la frecuencia del
generador ƒg y la frecuencia del resonador ƒr.
FIGURA 04: Curva de resonancia a = f (t)
ƒg/ƒr = 1 => Resonancia
En un caso extremo el sistema resonador puede llegar a romperse. Esto es lo que ocurre
cuando un cantante rompe una copa de cristal emitiendo un sonido con la voz. La ruptura
de la copa no ocurre solamente debido a la intensidad del sonido emitido, sino

15. fundamentalmente debido a que el cantante emite un sonido que contiene una frecuencia
igual a la frecuencia natural de la copa de cristal, haciéndola entrar en resonancia. Si las
frecuencias no coincidieran, el cantante debería generar intensidades mucho mayores, y aún
así sería dudoso que lograra romper la copa.
El caso de resonancia es importante en el estudio de los instrumentos musicales, dado que
muchos de ellos tienen lo que se conoce como resonador, como por ejemplo la caja en la
guitarra. Las frecuencias propias del sistema resonador (caja de la guitarra) conforman lo
que se denomina la curva de respuesta del resonador. Los parciales cuyas frecuencias
caigan dentro de las zonas de resonancia de la caja de la guitarra serán favorecidos frente a
los que no, de manera que el resonador altera el timbre de un sonido.
HIDROSTÁTICA
La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en
estado de reposo; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o
posición.
Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de
adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le da el
nombre de fluidez.
Son fluidos tanto los líquidos como los gases, y su forma puede cambiar
fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas.
Los principales teoremas que respaldan el estudio de la hidrostática son
el principio de Pascal y el principio de Arquímedes.

16. Principio de Pascal
En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático
francés Blaise Pascal (1623-1662).
El principio de Pascal afirma que la presión aplicada sobre un fluido no
compresible contenido en un recipiente indeformable se transmite con igual
intensidad en todas las direcciones y a todas partes del recipiente.
Este tipo de fenomeno se puede apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la
cual funciona aplicando este principio.
Definimos compresibilidad como la capacidad que tiene un fluido para
disminuir el volumen que ocupa al ser sometido a la acción de fuerzas.
Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sólido sumergido total o
parcialmente en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba con una
fuerza igual al peso del volumen de fluido desalojado.
El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho
fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del objeto,
éste flotará y estará sumergido sólo parcialmente.
Propiedades de los fluidos
Las propiedades de un fluido son las que definen el comportamiento y
características del mismo tanto en reposo como en movimiento.

17. Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido.
Propiedades primarias o termodinámicas:
Densidad
Presión
Temperatura
Energía interna
Entalpía
Entropía
Calores específicos
Propiedades secundarias
Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos.
Viscosidad
Conductividad térmica
Tensión superficial
Compresión