El documento describe el movimiento armónico simple. Explica que es un movimiento periódico en el que una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento mantiene oscilando un cuerpo alrededor de su posición de equilibrio. Incluye ejemplos como un resorte o péndulo y define conceptos clave como periodo, frecuencia y amplitud. También presenta las ecuaciones matemáticas que rigen este tipo de movimiento.

1. Movimiento Armónico Simple
Concepto:
Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es
directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si
dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se
producirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas
fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o
llevar al cuerpo a su posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un
ejemplo de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio.
El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio
estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza
neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, pequeños
desplazamientos darán lugar a la aparición de una fuerza que tenderá a llevar a la
partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal fuerza se denomina fuerza
restauradora.
Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte,
el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la
rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la
corriente eléctrica en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más.
Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de movimiento, un
cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía
mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre se encuentran presente fuerzas
de rozamiento, que disminuyen la energía mecánica a medida que transcurre el tiempo, en
este caso las oscilaciones se llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa
impulsora de tal manera que la pérdida de energía se equilibre con la energía de entrada,
el movimiento se llama oscilación forzada.
En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son los mínimos
locales de la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un entorno de un mínimo
local.
Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuación diferencial
que describe su movimiento es de la forma:
d 2x
dt
Con solución dada por:
2
0
.x
0 [1]

2. x(t )
A.sen(
t
)
A. cos( 0 t
)
0
o bien,
x(t )
Ambas soluciones son válidas por la relación:
sen x
cos ( x
2
)
Luego:
x(t )
A.sen(
0
t
)
A. cos( 0 t
2
)
A. cos( 0 t
´' )
Dónde:
'
2
Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es análogo. De esta
manera, tenemos:
Posición:
x(t )
A.sen(
0
t
)
Velocidad:
v(t )
0
A. cos( 0 t
)
0
A2
x(t ) 2
Aceleración:
a(t )
2
0
A.sen( 0t
)
2
0
.x(t )
Energía
Cinética
K
Potencial:
1
m.v 2
2
1
2
2
0
.A 2 .cos 2 (
0
t
)

3. 1
2
U
2
0
. A 2 .sen 2 (
0
t
)
Mecánica
E
K U
:
1
2
2
0
.A2
Definición de algunos términos básicos:
Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.
Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.
Elongación, x(t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0).
Amplitud (A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición de
equilibrio.
Frecuencia angular (ω):
2
T
2 .f
Fase
( t
)
Fase inicial
( )
Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido cuando
conocemos, su frecuencia o el periodo.
Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme.
Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con amplitud A,
mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos parten simultáneamente
de la misma posición indicada en la figura y ambos tienen el mismo periodo:

4. Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:
x(t )
v( t )
a(t )
A.sen(
0
A. cos(
2
0
0
t
)
t
)
A.sen( 0t
)
0
Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un punto
cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):

r (t )
ˆ
x(t )i
y (t ) ˆ
j
Y obtendremos:

r (t )
ˆ
A. cos( 0t )i A.sen( 0t ) ˆ
j

v (t )

a(t )
0
2
0
ˆ
A..sen( 0t )i
0
ˆ
A..cos( 0t )i
0
A. cos( 0t ) ˆ
j
2
A.sen( 0t ) ˆ
j

5. Vemos que las componentes
de estas magnitudes coinciden con las propias del
movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como una
proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la misma
circunferencia.
Relación entre el movimiento armónico simple y el péndulo simple.
Supongamos que de un hilo de longitud suspendemos una bolita de masa , lo colgamos
del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición de equilibrio:
La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posición de
equilibrio) es la componente tangencial del peso:
F
mgsen
Si el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño:
sen
x
l
En este caso podremos escribir:
ma
De donde:
mg.sen
mg
mg
x
;
l

6. ma
mg
x
l
d 2x
dt 2
g
x
l
a
g
x
l
g
l
2
0
0
De la ecuación [1]
Como:
2
T
2
2
T
2
2
2
T
T
2
g
l
T
2
2
l
g
l
g
Por lo que se tiene que:
T
l
g
2
Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento de un resorte.
Supongamos que a un resorte, de constante de elasticidad k, le sujetamos un objeto de
masa m, lo estiramos o comprimimos una distancia x y lo hacemos oscilar ligeramente
respecto a su posición de equilibrio:
La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja al objeto a su posición de equilibrio):
F
kx
Si sumamos las fuerzas a lo largo de la línea de movimiento del resorte sobre la superficie,
podremos escribir:
ma
kx
a
k
x
m
d 2x
dt 2
d 2x
dt 2
k
x
m
k
x
m
k
m
T
2
2
0
0
De la ecuación [1]
Como:
2
T
2
2
T
2
2
T
2
2
m
k
k
m

7. T
2
m
k
Por lo que se tiene que:
T
2
m
k
El periodo
de un sistema vibratorio es el tiempo que requiere este para completar un
ciclo o vibración completa. En el caso de la vibración, es el tiempo total para el
movimiento combinado, hacia atrás y hacia delante, del sistema. El periodo es el número
de segundos por ciclo.
La frecuencia
es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el
número de ciclos por segundo. Como
es el tiempo de vibración,
. La unidad
de frecuencia es el Hertz
que equivale a un
La grafica de un movimiento vibratorio
El movimiento que se muestra a continuación es el de ascenso y descenso de una masa
sujeta en el extremo de un resorte. Un ciclo completo es desde hasta , o desde hasta
, o desde e hasta . El tiempo que transcurre en un ciclo es ,o sea el periodo.

8. El desplazamiento
es la distancia de la posición del objeto que vibra, medida
desde la posición de equilibrio (posición normal de reposo), es decir, desde el centro de su
trayectoria de vibración. Al desplazamiento máximo se llama amplitud.
Una fuerza restauradora es aquella que se opone al desplazamiento del sistema; es
necesaria para que ocurra una vibración. En otras palabras, es una fuerza cuya dirección
siempre es tal que empuja o hala el sistema a su posición de equilibrio (reposo normal).En
el caso de una masa en el extremo de un resorte, al estirar el resorte, este tira de la masa
hacia atrás hasta llevarla a su posición de equilibrio, mientras que un resorte
comprimido la empuja hacia atrás hasta llevarla también a la posición de equilibrio.
Movimiento armónico simple (M.A.S) es el movimiento vibratorio de un sistema que
obedece la ley de Hooke. Debido a que la semejanza de su grafica con las curvas de las
funciones seno y coseno, el M.A.S se llama con frecuencia movimiento senoidal. Una
característica central del M.A.S es que el sistema oscila a una sola frecuencia constante.
Eso es lo que hace que el movimiento armónico sea “simple”.
Un sistema Hookeano (Un resorte, un alambre, una varilla, etc.) es aquel que regresa a su
configuración original después de haber sido deformado, y a continuación, dejado en
libertad. Es más, cuando ese sistema se estira una distancia (para compresión, es
negativa), la fuerza de restitución ejercida por el resorte se expresa por la ley de Hooke
El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene direccion opuesta a la
deformacion. La constante del resorte tiene unidades de
y es una medida de la
rigidez (dureza) del resorte. La mayoria de los resortes obedecen la ley de Hooke si las
deformaciones son pequeñas.
En algunas ocasiones es util expresar dicha ley en terminos de la fuerza externa
necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad . Esta fuerza es el negativo de la
fuerza restauradora , y por lo tanto
La energía potencial elástica almacenada en un resorte de Hooke
una distancia
es
. Si la amplitud del movimiento es
que se deforma
para una masa sujeta en el
extremo de un resorte, entonces la energía de vibración del sistema es
para todo
tiempo. Sin embargo, esta energía está completamente almacenada en el resorte cuando
, esto es, cuando la masa tiene su máximo desplazamiento.

9. El intercambio de energía entre la energía cinética y la energía potencial ocurre
constantemente en un sistema que vibra. Cuando este pasa por su posición de equilibrio,
la
y la
. Cuando el sistema tiene su máximo desplazamiento,
entonces
Y la
. De la ley de la conservación de la energía, en
un sistema en el que no hay pérdidas por fricción
= constante.
Para una masa
que se encuentra en el extremo de un resorte (cuya propia masa es
despreciable), esta se convierte en
Donde el movimiento de
es la amplitud del movimiento.
La rapidez en un M.A.S. esta dada por la ecuación anterior de la energía
La aceleración en el M.A.S. esta dada por la ley de Hooke,
estas dos ecuaciones por F nos da
El signo menos indica que la dirección de
desplazamiento
. Téngase presente que ni
y
. Igualando
siempre es opuesta a la dirección del
son constantes.
Circulo de referencia
Supóngase que un punto se mueve con rapidez constante
alrededor de un círculo,
como se muestra en la siguiente imagen. Este círculo se llama círculo de referencia para el
M.A.S. El punto es la proyección del punto sobre el eje , que coincide con el diámetro
horizontal del círculo. El movimiento del punto . De un lado hacia otro del punto como
centro en el M.A.S. La amplitud del movimiento es , que es el radio del círculo. El tiempo
que emplea
en dar una vuelta alrededor del círculo es el periodo
del movimiento.
La velocidad,
del punto tiene un componente escalar en de
Cuando esta cantidad es positiva,
apunta en dirección positiva de las
negativa, , apunta en dirección negativa de las .
; cuando es

10. Periodo en el M.A.S.: El periodo en un M.A.S. Es el tiempo que emplea el tiempo
dar una vuelta al círculo de referencia, por lo tanto,
Pero
es la rapidez máxima del punto
cuando
Da
, es decir,
es el valor de
en
en el M.A.S.

11. De donde se puede obtener el periodo de M.A.S.
Para un resorte de Hooke.
Aceleracion en terminos de
: eliminando la cantidad
entre las dos ecuaciones
, se encuentra
El péndulo simple describe de manera aproximada un M.A.S. si el ángulo de oscilación no
es muy grande. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud en un lugar donde la
aceleración de la gravedad es , esta dado por
El movimiento senoidal (o M.A.S) se puede expresar analíticamente; podemos ver que el
desplazamiento horizontal del punto esta dado por
. Como
,
donde la frecuencia angular
es la velocidad angular del punto de referencia
localizado en el círculo, de donde
En forma similar, la componente vertical del movimiento del punto
esta dado por

12. La amplitud es el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio
Y es de 0.75 cm. El periodo es el tiempo empleado para completar un circulo , por
ejemplo, el utilizado de hasta .Por esto el periodo es de 0.20 s. La frecuencia es
Un resorte realiza 12 oscilaciones en 40 s. Calcular el periodo y la frecuencia de
oscilación
Cuando una masa de 400g se cuelga un resorte vertical, el resorte se estira 35 cm. ¿Cuál
es la constante del resorte, y cuál será el nuevo alargamiento si agregamos una masa de
400 g a la que se colgó primero?
Utilizamos

13. Para obtener
Con la carga adicional de 400 g, la fuerza total que estira el resorte es 7.84 N. Por
consiguiente
Como se puede observar, cada carga extra de 400 g estira el resorte la misma cantidad, ya
sea que el resorte este o no cargado.
a) Considérese que pasa cuando a la masa se le da un desplazamiento
. Un
resorte se alarga una distancia . Cada uno de ellos ejercerá una fuerza de
magnitud
sobre la masa en dirección contraria al desplazamiento. Por
ello la fuerza restauradora será
Comparado con
Se puede ver que el sistema tiene una constante de resorte de
. Por lo mismo,

14. b) Cuando la masa se desplaza una distancia y hacia abajo, cada resorte se estira
una distancia y , la fuerza neta de desplazamiento sobre la masa es entonces
y
Comparando con
la constante resulta ser
, la misma que en a).
Por consiguiente, en esta situación resulta ser también
Hidrostática
La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en
estado de equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o
posición. Los principales teoremas y Principios que respaldan el estudio de la
hidrostática son La Ecuación Fundamental de la Hidrostática, el principio de
Pascal y el principio de Arquímedes.
Un fluido es un conjunto de moléculas que están dispuestas al azar y se mantienen
juntas por medio de débiles fuerzas de cohesión, así por fuerzas ejercidas por las
paredes de un recipiente. Líquidos y gases son fluidos. Para explicar efectos como
el empuje hidrostático que actúa sobre un cuerpo sumergido y la fuerza
ascensional que actúa sobre el ala de un avión primero, consideramos la mecánica
de un fluido en reposo, es decir, estática de los fluidos.
Peso especifico
El peso específico de una sustancia es el peso de una unidad de volumen de dicha
sustancia. En los líquidos,
puede considerarse constante para las variaciones
ordinarias de presion. El peso especifico del agua para las temperaturas mas
comunes es de
Densidad de un cuerpo
sistema técnico de unidades, la densidad del agua es
. En el
Presión: Los fluidos no sostienen esfuerzos cortantes ni esfuerzos, por lo que el
único esfuerzo que puede ser ejercido sobre un cuerpo sumergido en un fluido
estático es el que tiende a comprimir el cuerpo desde todos lados. En otras
palabras, la fuerza ejercida por un fluido estático sobre un objeto es siempre
perpendicular a las superficies del objeto.

15. La presión en un fluido se puede medir con el aparato que se muestra en la
siguiente figura. Este aparato consta de un cilindro al vacío que encierra un
embolo ligero conectado a un resorte. Cuando el aparato se sumerge en un fluido,
este presiona sobre la parte superior del embolo y comprime el resorte hasta que la
fuerza hacia dentro ejercida por el fluido queda balanceada por la fuerza hacia
afuera ejercida por el resorte. La presión del fluido se puede medir directamente si
el resorte se calibra de antemano.
Si
es una magnitud de la fuerza ejercida sobre el embolo y
es el área
superficial del embolo, entonces la presión
del fluido en el nivel al cual el
aparato se haya sumergido se define cómo la razón
.
La presión es una cantidad escalar porque es proporcional a la magnitud de la
fuerza sobre el embolo. Si la presión varía sobre un área, podemos evaluar la
fuerza infinitesimal
Donde
es la presión en la ubicación del área
. La presión ejercida por un
fluido varía con la profundidad. Por lo tanto, para calcular la fuerza total ejercida
sobre una pared vertical plana de un recipiente, debemos integrar la ecuación
sobre el área superficial de la pared.
Debido a que la presión es la fuerza por unidad de área, tiene unidades de Newton
por metro cuidado
en el sistema SI. Otro nombre para la unidad de
presión del SI es el pascal
La flotación es un fenómeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua parece
pesar menos que en el aire. Si el cuerpo es menos denso que el fluido, entonces
flota. El cuerpo humano normalmente flota en el agua, y un globo lleno de helio
flota en el aire.

16. El principio de Arquímedes establece que: Si un cuerpo está parcial o totalmente
sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al
peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para demostrar este principio,
consideremos una porción arbitraria de fluido en reposo. En la figura a), el
contorno irregular es la superficie que delimita esta porción de fluido. Las flechas
representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la superficie de
frontera.
Todo el fluido está en equilibrio, así que la suma de todas las componentes de
fuerza sobre esta porción de fluido es cero. Por tanto, la suma de todas las
componentes de las fuerzas de superficie debe ser una fuerza hacia arriba de
igual magnitud que el peso
del fluido dentro de la superficie. Además, la suma
de los momentos de torsión sobre la porción de fluido debe ser cero, así que la
línea de acción de la componente resultante de las fuerzas superficiales debe
pasar por el centro de gravedad de esta porción de fluido.
Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo reemplazamos por un
cuerpo sólido cuya forma es idéntica (b). La presión en cada punto es exactamente
la misma que antes, de modo que la fuerza total hacia arriba ejercida por el fluido
sobre el cuerpo también es la misma, igual en magnitud al peso
del fluido que
se desplazó para colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arriba la fuerza
de flotación que actúa sobre el cuerpo sólido. La linea de acción de la fuerza de
flotación pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado (que no
necesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo).
Principio de Arquímedes. (a) Un elemento de un fluido en equilibrio. La fuerza de
flotación del fluido circundante es igual al peso del elemento, (b) Si el elemento de
fluido se sustituye por un cuerpo de idéntica forma, el cuerpo experimenta la misma
fuerza de flotación que en (a). Esta fuerza es igual al peso del fluido desplazado.