El documento describe el movimiento armónico simple, un tipo de movimiento oscilatorio en el que un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones sin perder energía. Se define como un movimiento cuya ecuación diferencial es proporcional al desplazamiento desde la posición de equilibrio. Se presentan ejemplos como un resorte o péndulo y se establece que el periodo depende solo de las características del sistema y es independiente de la amplitud.

1. Movimiento Armónico Simple
Concepto:
Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una
fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde
su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la
posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta
respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de
fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a
su posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo
de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio.
El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de
equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos
en los cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio
es estable, pequeños desplazamientos darán lugar a la aparición de una fuerza
que tenderá a llevar a la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal
fuerza se denomina fuerza restauradora.
Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un
resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un
instrumento musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales
como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de
corriente alterna y muchísimos otros más.
Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de
movimiento, un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales
sin perder energía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre se
encuentran presente fuerzas de rozamiento, que disminuyen la energía
mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se
llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera
que la pérdida de energía se equilibre con la energía de entrada, el movimiento
se llama oscilación forzada.

2. En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son los
mínimos locales de la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un
entorno de un mínimo local.
Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuación
diferencial que describe su movimiento es de la forma:
]1[0.
2
0
2
 x
dt
xd

Con solución dada por:
)(.)( 0   tsenAtx
o bien,
)cos(.)( 0   tAtx
Ambas soluciones son válidas por la relación:
)
2
(cos

 xxsen
Luego:
)'´cos(.)
2
cos(.)(.)( 000 

  tAtAtsenAtx
Dónde:
2
'

 
Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es
análogo. De esta manera, tenemos:
Posición:
)(.)( 0   tsenAtx
Velocidad:

3. 22
000 )()cos(.)( txAtAtv  
Aceleración:
)(.)(.)(
2
00
2
0 txtsenAta  
Energía
Cinética
)t(cos.A.v.mK  0
222
0
2
2
1
2
1
Potencial:
)(..
2
1
0
222
0   tsenAU
Mecánica
:
22
0 .
2
1
AUKE 
Definición de algunos términos básicos:
Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.
Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.
Elongación, x(t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio
(x=0). Amplitud (A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la
posición de equilibrio.
Frecuencia angular (ω):
f
T
.2
2


 
Fase
(  t )
Fase inicial

4. ( )
Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido
cuando conocemos, su frecuencia o el periodo.
Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular
uniforme.
Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con
amplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos
parten simultáneamente de la misma posición indicada en la figura y ambos
tienen el mismo periodo:
Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:
)(.)( 0   tsenAtx
)tcos(.A)t(v  00
)(.)( 0
2
0   tsenAta
Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un
punto cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):
jtyitxtr ˆ)(ˆ)()( 


5. Y obtendremos:
jtsenAitAtr ˆ)(.ˆ)cos(.)( 00  

jtAitsenAtv ˆ)cos(.ˆ)(..)( 0000  

jtsenAitAta ˆ)(.ˆ)cos(..)( 0
2
00
2
0  

Vemos que las componentes X de estas magnitudes coinciden con las propias del
movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como
una proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la
misma circunferencia.
Relación entre el movimiento armónico simple y el péndulo simple.
Supongamos que de un hilo de longitud l suspendemos una bolita de masa m, lo
colgamos del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición de
equilibrio:

6. La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posición
de equilibrio) es la componente tangencial del peso:
mgsenF 
Si el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño:
l
x
sen  
En este caso podremos escribir:
l
x
mgmgsenmgma  . ;
De donde:
l
g
x
l
g
dt
xd
x
l
g
a
l
x
mgma 
2
02
2
0 
De la ecuación [1]
Como:
g
lT
l
g
TTT












 





 



222
2
2
222
g
lT

2
Por lo que se tiene que:

7. g
l
T 2
Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento de un
resorte.
Supongamos que a un resorte, de constante de elasticidad k, le sujetamos un
objeto de masa m, lo estiramos o comprimimos una distancia x y lo hacemos
oscilar ligeramente respecto a su posición de equilibrio:
La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja al objeto a su posición de
equilibrio):
kxF 
Si sumamos las fuerzas a lo largo de la línea de movimiento del resorte sobre la
superficie, podremos escribir:
m
k
x
m
k
dt
xd
x
m
k
dt
xd
x
m
k
akxma 
2
02
2
2
2
0
De la ecuación [1]
Como:
k
mT
m
k
TTT












 





 



222
2
2
222
k
mT

2
Por lo que se tiene que:
k
m
T  2

8. El periodo (T) de un sistema vibratorio es el tiempo que requiere este para
completar un ciclo o vibración completa. En el caso de la vibración, es el tiempo
total para el movimiento combinado, hacia atrás y hacia delante, del sistema. El
periodo es el número de segundos por ciclo.
La frecuencia (f) es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de
tiempo o el número de ciclos por segundo. Como (T) es el tiempo de vibración,
f = 1 t⁄ . La unidad de frecuencia es el Hertz Hz que equivale a un ciclo s⁄ .
La grafica de un movimiento vibratorio
El movimiento que se muestra a continuación es el de ascenso y descenso de
una masa sujeta en el extremo de un resorte. Un ciclo completo es desde 𝐚
hasta 𝐛, o desde 𝐜 hasta 𝐝, o desde e hasta 𝐟. El tiempo que transcurre en
un ciclo es 𝐓, o sea el periodo.
El desplazamiento (x o y ) es la distancia de la posición del objeto que vibra,
medida desde la posición de equilibrio (posición normal de reposo), es decir,

9. desde el centro de su trayectoria de vibración. Al desplazamiento máximo se
llama amplitud.
Una fuerza restauradora es aquella que se opone al desplazamiento del
sistema; es necesaria para que ocurra una vibración. En otras palabras, es una
fuerza cuya dirección siempre es tal que empuja o hala el sistema a su posición
de equilibrio (reposo normal).En el caso de una masa en el extremo de un
resorte, al estirar el resorte, este tira de la masa hacia atrás hasta llevarla a
su posición de equilibrio, mientras que un resorte comprimido la empuja hacia
atrás hasta llevarla también a la posición de equilibrio.
Movimiento armónico simple (M.A.S) es el movimiento vibratorio de un sistema
que obedece la ley de Hooke. Debido a que la semejanza de su grafica con las
curvas de las funciones seno y coseno, el M.A.S se llama con frecuencia
movimiento senoidal. Una característica central del M.A.S es que el sistema
oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que hace que el movimiento
armónico sea “simple”.
Un sistema Hookeano (Un resorte, un alambre, una varilla, etc.) es aquel que
regresa a su configuración original después de haber sido deformado, y a
continuación, dejado en libertad. Es más, cuando ese sistema se estira una
distancia x (para compresión, x es negativa), la fuerza de restitución ejercida
por el resorte se expresa por la ley de Hooke
F = −kx
El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene direccion
opuesta a la deformacion. La constante del resorte k tiene unidades deN m⁄ y
es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoria de los resortes
obedecen la ley de Hooke si las deformaciones son pequeñas.
En algunas ocasiones es util expresar dicha ley en terminos de la fuerza
externa
Fext necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad x. Esta fuerza es el
negativo de la fuerza restauradora , y por lo tanto

10. Fext = kx
La energía potencial elástica almacenada en un resorte de Hooke (EPe) que se
deforma una distancia x es
1
2
kx2
. Si la amplitud del movimiento es x0 para una
masa sujeta en el extremo de un resorte, entonces la energía de vibración del
sistema es
1
2
kx0
2
para todo tiempo. Sin embargo, esta energía está
completamente almacenada en el resorte cuando x = ± x0 , esto es, cuando la
masa tiene su máximo desplazamiento.
El intercambio de energía entre la energía cinética y la energía potencial
ocurre constantemente en un sistema que vibra. Cuando este pasa por su
posición de equilibrio, la EC = máxima y la (EPe) = 0 . Cuando el sistema tiene su
máximo desplazamiento, entonces EC = 0 Y la EPe = máxima . De la ley de la
conservación de la energía, en un sistema en el que no hay pérdidas por fricción
EC = EPe= constante.
Para una masa m que se encuentra en el extremo de un resorte (cuya propia
masa es despreciable), esta se convierte en
1
2
mv2
+
1
2
kx2
=
1
2
kx0
2
Donde el movimiento de x0 es la amplitud del movimiento.
La rapidez en un M.A.S. esta dada por la ecuación anterior de la energía
|v| = √(x0
2
− x2)
k
m
La aceleración en el M.A.S. esta dada por la ley de Hooke, F = −kx y F = ma.
Igualando estas dos ecuaciones por F nos da
a = −
k
m
x
El signo menos indica que la dirección de a⃗⃗ (y F⃗ )siempre es opuesta a la
dirección del desplazamiento x⃗⃗ . Téngase presente que ni F⃗⃗ ni a⃗⃗ son constantes.

11. Circulo de referencia
Supóngase que un punto P se mueve con rapidez constante v0 alrededor de un
círculo, como se muestra en la siguiente imagen. Este círculo se llama círculo de
referencia para el M.A.S. El punto A es la proyección del punto P sobre el eje x,
que coincide con el diámetro horizontal del círculo. El movimiento del punto A.
De un lado hacia otro del punto O como centro en el M.A.S. La amplitud del
movimiento es x0 , que es el radio del círculo. El tiempo que emplea P en dar
una vuelta alrededor del círculo es el periodo T del movimiento. La velocidad,
v⃗ 0, del punto A tiene un componente escalar en x de vx = v0 sen θ
Cuando esta cantidad es positiva, v⃗ x apunta en dirección positiva de las x;
cuando es negativa,v⃗ x, apunta en dirección negativa de las x.
Periodo en el M.A.S.: El periodo Ten un M.A.S. Es el tiempo que emplea el
tiempo P en dar una vuelta al círculo de referencia, por lo tanto,
T =
2πr
v0
=
2πx0
v0

12. Pero v0 es la rapidez máxima del punto A, es decir, v0 es el valor de |vx| en el
M.A.S. cuando x = 0:
|vx| = √(x0
2
− x2)
k
m
Da
v0 = x0√
k
m
De donde se puede obtener el periodo de M.A.S.
T = 2π√
m
k
Para un resorte de Hooke.
Aceleracion en terminos de T: eliminando la cantidad k
m⁄ entre las dos
ecuaciones a = −(k m⁄ )x y T = 2π√m k⁄ , se encuentra
a = −
4π2
T2
x
El péndulo simple describe de manera aproximada un M.A.S. si el ángulo de
oscilación no es muy grande. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud
L en un lugar donde la aceleración de la gravedad es g, esta dado por
T = 2π√
L
g

13. El movimiento senoidal (o M.A.S) se puede expresar analíticamente; podemos
ver que el desplazamiento horizontal del punto P esta dado por x = x0 cos θ .
Como θ = ωt = 2πft , donde la frecuencia angular ω = 2πf es la velocidad
angular del punto de referencia localizado en el círculo, de donde
x = x0 cos 2πft = x0 cos ωt
En forma similar, la componente vertical del movimiento del punto P esta dado
por
y = x0 sen 2πft = x0 sen ωt
vx = v0 sen 2πft
La amplitud es el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio
Y es de 0.75 cm. El periodo es el tiempo empleado para completar un circulo ,
por ejemplo, el utilizado de A hasta B .Por esto el periodo es de 0.20 s. La
frecuencia es
f =
1
T
=
1
0.20s
= 5.0 ciclos s⁄ = Hz

14. Un resorte realiza 12 oscilaciones en 40 s. Calcular el periodo y la frecuencia
de oscilación
T =
intervalo de tiempo
oscilacion efectuadas
=
40s
12
= 3.3s
f =
oscilacion efectuadas
intervalo de tiempo
=
12
40s
= 0.30Hz
Cuando una masa de 400g se cuelga un resorte vertical, el resorte se estira 35
cm. ¿Cuál es la constante del resorte, y cuál será el nuevo alargamiento si
agregamos una masa de 400 g a la que se colgó primero?
Utilizamos Fext = ky, donde
Fext = mg = (0.400 kg)(9.81 m s2⁄ ) = 3.92 N
Para obtener
k =
F
y
(3.92N)
0.35m
= 11 N m⁄
Con la carga adicional de 400 g, la fuerza total que estira el resorte es 7.84 N.
Por consiguiente
y =
F
k
=
3.92 N
11.2 N m⁄
= 0.70 m = 2 × 35 cm
Como se puede observar, cada carga extra de 400 g estira el resorte la misma
cantidad, ya sea que el resorte este o no cargado.

15. a) Considérese que pasa cuando a la masa se le da un desplazamiento x > 0.
Un resorte se alarga una distancia x. Cada uno de ellos ejercerá una
fuerza de magnitud (20 N m⁄ )x sobre la masa en dirección contraria al
desplazamiento. Por ello la fuerza restauradora será
F = −(20 N m⁄ )x − −(20 N m⁄ )x = −(40 N m⁄ )x
Comparado con F = −kx
Se puede ver que el sistema tiene una constante de resorte de 40 N m⁄ . Por lo
mismo,
T = 2π√
m
k
= 2π√
0.30 kg
40 N m⁄
= 0.54 s.
b) Cuando la masa se desplaza una distancia y hacia abajo, cada resorte se
estira una distancia y , la fuerza neta de desplazamiento sobre la masa
es entonces
F = −(20 N m⁄ )y − (20 N m⁄ )y = (40 N m⁄ ) y
Comparando con F = −ky la constante k resulta ser 40 N m⁄ , la misma que
en a). Por consiguiente, en esta situación resulta ser también 0.54 s.

16. Hidrostática
La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los
fluidos en estado de equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que
alteren su movimiento o posición. Los principales teoremas y Principios
que respaldan el estudio de la hidrostática son La Ecuación Fundamental
de la Hidrostática, el principio de Pascal y el principio de Arquímedes.
Un fluido es un conjunto de moléculas que están dispuestas al azar y se
mantienen juntas por medio de débiles fuerzas de cohesión, así por
fuerzas ejercidas por las paredes de un recipiente. Líquidos y gases son
fluidos. Para explicar efectos como el empuje hidrostático que actúa
sobre un cuerpo sumergido y la fuerza ascensional que actúa sobre el
ala de un avión primero, consideramos la mecánica de un fluido en
reposo, es decir, estática de los fluidos.
Peso especifico
El peso específico ω de una sustancia es el peso de una unidad de
volumen de dicha sustancia. En los líquidos, ω puede considerarse
constante para las variaciones ordinarias de presion. El peso especifico
del agua para las temperaturas mas comunes es de 1000 kg m3⁄
Densidad de un cuerpo ρ(ro) = masa por unidad de volumen = ω g⁄ . En el
sistema técnico de unidades, la densidad del agua es
1000 9,80665 = 101,972(≈ 102)⁄ UTM m3⁄ o kg seg2
m4⁄
Presión: Los fluidos no sostienen esfuerzos cortantes ni esfuerzos, por
lo que el único esfuerzo que puede ser ejercido sobre un cuerpo
sumergido en un fluido estático es el que tiende a comprimir el cuerpo
desde todos lados. En otras palabras, la fuerza ejercida por un fluido

17. estático sobre un objeto es siempre perpendicular a las superficies del
objeto.
La presión en un fluido se puede medir con el aparato que se muestra en
la siguiente figura. Este aparato consta de un cilindro al vacío que
encierra un embolo ligero conectado a un resorte. Cuando el aparato se
sumerge en un fluido, este presiona sobre la parte superior del embolo y
comprime el resorte hasta que la fuerza hacia dentro ejercida por el
fluido queda balanceada por la fuerza hacia afuera ejercida por el
resorte. La presión del fluido se puede medir directamente si el resorte
se calibra de antemano.
Si F es una magnitud de la fuerza ejercida sobre el embolo y A es el
área superficial del embolo, entonces la presión P del fluido en el nivel
al cual el aparato se haya sumergido se define cómo la razón F A⁄ .
P =
F
A
La presión es una cantidad escalar porque es proporcional a la magnitud
de la fuerza sobre el embolo. Si la presión varía sobre un área, podemos
evaluar la fuerza infinitesimal
dF = PdA (i)

18. Donde P es la presión en la ubicación del área dA. La presión ejercida
por un fluido varía con la profundidad. Por lo tanto, para calcular la
fuerza total ejercida sobre una pared vertical plana de un recipiente,
debemos integrar la ecuación (i) sobre el área superficial de la pared.
Debido a que la presión es la fuerza por unidad de área, tiene unidades
de Newton por metro cuidado (N m2⁄ ) en el sistema SI. Otro nombre
para la unidad de presión del SI es el pascal (Pa)
𝟏 𝐏𝐚 = 𝟏 𝐍 𝐦 𝟐⁄
La flotación es un fenómeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua
parece pesar menos que en el aire. Si el cuerpo es menos denso que el
fluido, entonces flota. El cuerpo humano normalmente flota en el agua, y
un globo lleno de helio flota en el aire.
El principio de Arquímedes establece que: Si un cuerpo está parcial o
totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba
sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para
demostrar este principio, consideremos una porción arbitraria de fluido
en reposo. En la figura a), el contorno irregular es la superficie que
delimita esta porción de fluido. Las flechas representan las fuerzas que
el fluido circundante ejerce sobre la superficie de frontera.
Todo el fluido está en equilibrio, así que la suma de todas las
componentes y de fuerza sobre esta porción de fluido es cero. Por
tanto, la suma de todas las componentes y de las fuerzas de superficie
debe ser una fuerza hacia arriba de igual magnitud que el peso mg del
fluido dentro de la superficie. Además, la suma de los momentos de
torsión sobre la porción de fluido debe ser cero, así que la línea de
acción de la componente y resultante de las fuerzas superficiales debe
pasar por el centro de gravedad de esta porción de fluido.
Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo
reemplazamos por un cuerpo sólido cuya forma es idéntica (b). La presión
en cada punto es exactamente la misma que antes, de modo que la fuerza
total hacia arriba ejercida por el fluido sobre el cuerpo también es la
misma, igual en magnitud al peso mg del fluido que se desplazó para
colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arriba la fuerza de
flotación que actúa sobre el cuerpo sólido. La linea de acción de la

19. fuerza de flotación pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado
(que no necesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo).
Principio de Arquímedes. (a) Un elemento de un fluido en equilibrio. La
fuerza de flotación del fluido circundante es igual al peso del elemento,
(b) Si el elemento de fluido se sustituye por un cuerpo de idéntica
forma, el cuerpo experimenta la misma fuerza de flotación que en (a).
Esta fuerza es igual al peso del fluido desplazado.