El documento describe el movimiento armónico simple. Este movimiento es periódico y vibratorio, producido por una fuerza recuperadora directamente proporcional a la posición. La posición en función del tiempo sigue una función senoidal. Ejemplos incluyen un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo, y los puntos de una cuerda de guitarra vibrando.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
CIENCIA Y TECNOLOGIA
I.U.T “ANTONIO JOSE DE SUCRE”
BARQUISIMETO, ESTADO-LARA
Participante
Moreno Brigitte
C.I.V-15230696

2. Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento
vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en
ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es
directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función
del tiempo por una función se sinusoidal (seno o coseno). Si la descripción de un
movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un
movimiento armónico, pero no un m.a.s.
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s.
oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su
trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a
ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la
partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida
hacia éste.
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que
un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección
determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y
abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa
de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una
guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el
movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos
que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento
ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos
de la cuerda.
Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox,
tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal

3. que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo
negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está
dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su
elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define
entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene
la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:
La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma
Dónde:
Es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.
Es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
Es la frecuencia angular
Es el tiempo.
Es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el
instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:
Y por lo tanto el periodo como:
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto
del tiempo la expresión
.
Velocidad

4. La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento
armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:
Aceleración
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo
de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto
al tiempo de encuentro:
Amplitud y fase inicial
La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones
iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación y de la
velocidad inicial.
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(10)
Dinámica del movimiento armónico simple
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es
directamente proporcional:
Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese
caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de
newton tendríamos:

5. Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple
en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que
actúa sobre ella:
Energía del movimiento armónico simple
Energía cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica(Em) en el movimiento armónico en
función de la elongación.
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por
tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo
escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la
expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza
(esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo,
obteniéndose:
La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene
valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.
La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la
velocidad:
La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el
punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

6. Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía
cinética y potencial) permanece constante.
Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente
considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo
tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos y .
Se obtiene entonces que,
O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial
nula, en el punto de equilibrio
El péndulo simple
El péndulo es otro sistema mecánico que muestra movimiento periódico, consiste
en una pomada parecida a una partícula de masa m, suspendida de una cuerda
ligera de longitud l que esta fija en los extremossuperior. El movimiento se
presente en el plano vertical y es impulsado por la fuerza gravitacional.
Paraángulos pequeños el movimiento es muy parecido al del oscilador armónico
simple.
La fuerzas que actúan en la pomada son la fuerza T, que ejerce la cuerda y la
fuerza gravitacional mg, la componente tangencial 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃) de la fuerza
gravitacional siempre actua hacia 𝜃=0 opuesta al desplazamiento de la pomada
desde la posición mas baja, por lo tanto la componente tangencial es una fuerza
restauradora y se puede aplicar la segunda ley de Newton del movimiento en
dicha dirección
𝐹𝑠 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛( 𝜃) = 𝑚
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
Donde s es la posición de la pomada, por otra parte

7. 𝑠 = 𝜃𝑙 →
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
=
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
𝑙
Por lo que:
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑔
𝑙
sin(𝜃)
Así, para ángulos pequeños, la ecuación se puede aproximar a:
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑔
𝑙
𝜃
Usando el hecho de que:
sin(𝜃) ≈ 𝜃
Así:
𝜃 = 𝜃 𝑚𝑎𝑥cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
Donde 𝜃 𝑚𝑎𝑥 es la posición angular máxima y 𝜔 = √
𝑔
𝑙
es la velocidad angular,
finalmente, el periodo T, viene dado por
𝑇 =
2𝜋
𝜔
Y la frecuencia 𝑓 =
1
𝑇
Oscilaciones Amortiguadas
El movimiento armónico simple, no describe los fenómenos reales, en vista de que
de ser así, cualquier movimiento oscilatorio perduraría para siempre, lo contrario
es lo que se observa, dichas oscilaciones dependiendo del medio con el tiempo se
vuelven cada vez más pequeñas, o incluso puede que el objeto nisiquiera lo haga,
es lo que estudiaremos a continuación.
Cuando no le permitimos a un objeto oscilar libremente diremos que este esta
amortiguado, es decir hay una fuerza que se mueve en dirección contraria a la
fuerza restauradora del resorte, podemos suponer y esta suposición se ajusta a la
experimentación que depende de la velocidad y del medio y apunta en dirección

8. contraria a la velocidad del objeto, así, aplicando la segunda ley de Newton
obtenemos:
∑𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣 𝑥 = 𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
Agrupando términos tenemos:
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 + 𝑏𝑣 𝑥 = 0
Cuya solución es:
𝑥( 𝑡) = 𝐴𝑒
−𝑡
2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
Donde 𝜔 viene dada por la expresión:
𝜔 = √
𝑘
𝑚
− (
𝑏
2𝑚
)2
Y a la expresión
𝜔0 = √
𝑘
𝑚
Se conoce como la frecuencia natural del sistema, así pues se ve que cuando la
fuerza retardadora es pequeña, las oscilaciones decaen exponencialmente con el
tiempo.
Ahora bien podemos distinguir tres tipos de amortiguamiento:
𝑘
𝑚
− (
𝑏
2𝑚
)2
> 0
Decimos que el sistema esta sobreamortiguado, acá el comportamiento del
sistema no es oscilatorio, al desplazarse no vuelve a la posición de equilibrio
𝑘
𝑚
− (
𝑏
2𝑚
)
2
= 0
Decimos que el sistema esta críticamente amortiguado, acá(
𝑏
2𝑚
)
2
es exactamente
el valor que hace que el sistema no oscile

9. 𝑘
𝑚
− (
𝑏
2𝑚
)2
< 0
El sistema esta subamortiguado, el sistema oscilan pero sus oscilaciones decaen
exponencialmente con el tiempo
Oscilaciones forzosas no amortiguadas
Es un sistema similar al del movimiento armónico simple, el objeto oscila, pero
sometido a una fuerza 𝐹(𝑡) = 𝐹0 sin(𝜔0 𝑡), por lo que la ecuación del movimiento
es de la forma:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑘
𝑚
=
𝐹0 sin(𝜔0 𝑡)
𝑚
Cuya solución es:
𝑥( 𝑡) = 𝐶𝑠𝑖𝑛( 𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑) +
𝐹0
𝑘⁄
1 − (
𝜔0
𝜔 𝑛
⁄ )2
sin(𝜔0 𝑡)
El primer sumando se conoce como vibracion natural que decaera
exponencialmente con el tiempo y el segundo seconoce como vibracion u
oscilacion continua que es la unica que a la larga permanecera
Oscilaciones forzosas amortiguadas
Es el sistema más general que se puede estudiar, además de haber una vibración
forzosa hay una fuerza amortiguadora, su ecuación de movimiento es:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 =
𝐹0 sin(𝜔0 𝑡)
𝑚
Como solo permanece la solución forzosa, ya que la vibración libre decae con el
tiempo, solo daremos la solución no homogénea de esta ecuación (obtenida por
coeficientes indeterminados o variación e parámetros)
𝑋 =
𝐹0
𝑘⁄
√[(1)− (
𝜔0
𝜔 𝑛
⁄ )2]
2
+ [2(𝑐/𝑐 𝑛)(
𝜔0
𝜔 𝑛
⁄ )]
2

10. El factor 𝑐/𝑐 𝑛 es el factor de amortiguación del sistema:
Hidrostática
Es el estudio de los fluidos en estado de reposo, para poder determinar dicho
estado con total precisión, necesitamos conocer las siguientes cantidades:
La densidad:
𝜌 =
𝑚
𝑉
Donde m es la masa del fluido y V es el volumen que este ocupa
La presión que este ejerce sobre el recipiente que lo contiene
𝑃 =
𝐹
𝐴
Y dos leyes básicas cuyos descubridores fueron el francés Blas pascal y el griego
Arquímedes de Siracusa que pueden enunciarse de la siguiente manera:
Pascal: un cambio en la presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución a
todos los puntos del fluido y a las paredes del contenedor
Lo que equivale al hecho de que el fluido que este a la misma altura tienen la
misma presión, la expresión matemática es:
𝑃1 − 𝑃0= 𝜌𝑔∆ℎ

11. Donde las Presiones en la formula se miden a alturas diferentes
Arquímedes:la magnitud de la fuerza de flotación sobre un objeto siempre es igual
al peso del fluido desplazado por el objeto
Los problemas acá se resuelven aplicando los diagramas de movimiento, a la
fuerza de Arquímedes se le denomina fuerza boyante