El documento trata sobre el estado estacionario y flujo de potencia en sistemas eléctricos. Explica conceptos como líneas de transmisión, matriz de admitancia, clasificación de barras, y método de Gauss-Seidel para resolver el flujo de potencia.
1. EL4001 - Conversión de la Energía y Sistemas Eléctricos Eduardo Zamora D.
Clase 19: Estado Estacionario yClase 19: Estado Estacionario yClase 19: Estado Estacionario yClase 19: Estado Estacionario yClase 19: Estado Estacionario yClase 19: Estado Estacionario yClase 19: Estado Estacionario yClase 19: Estado Estacionario y
Flujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de Potencia
2. TemasTemasTemasTemas
- Líneas de Transmisión
- El Sistema Eléctrico
- Matriz de Admitancia
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- Matriz de Admitancia
- Flujo de Potencia
- Clasificación de Barras
- Método de Gauss - Seidel
3. Líneas de TransmisiónLíneas de TransmisiónLíneas de TransmisiónLíneas de Transmisión
Las características eléctricas
de la línea dependerán de la
configuración de esta.
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4. Líneas de TransmisiónLíneas de TransmisiónLíneas de TransmisiónLíneas de Transmisión
Características eléctricas de una línea:
- Resistencia: propia del conductor utilizado.
- Inductancia: debido a los flujos magnéticos provocados por
las corrientes que se transportan.
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las corrientes que se transportan.
- Capacitancia: efecto debido a cercanía entre conductores
cargados o entre conductor y tierra.
R’ [Ω/km] Resistencia por unidad de longitud
L’ [H/km] Inductancia por unidad de largo
C’ [F/km] Capacitancia por unidad de largo
5. Líneas de TransmisiónLíneas de TransmisiónLíneas de TransmisiónLíneas de Transmisión
Modelo π de la línea
Si la longitud de la línea es l,
se tendrá para este modelo:
Z = (R’ + jωL’) l
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Y = jωC’l
Obs: Definimos
Reactancia X’ [Ω/km] = ωL’
Susceptancia B’ [S/km] = ωC’
6. El Sistema EléctricoEl Sistema EléctricoEl Sistema EléctricoEl Sistema Eléctrico
Ya conocemos los elementos
principales de un sistema eléctrico:
- Centrales Generadoras
- Líneas de Transmisión
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- Líneas de Transmisión
- Transformadores
- Consumos
Los nodos de la red los
denominamos “Barras”
7. El Sistema Eléctrico ChilenoEl Sistema Eléctrico ChilenoEl Sistema Eléctrico ChilenoEl Sistema Eléctrico Chileno
Subsistemas:
- Sistema Interconectado del Norte Grande (SING)
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- Sistema Interconectado Central (SIC)
- Pequeños Sistemas Aislados (Aisén y Magallanes)
10. SIC: Entorno de SantiagoSIC: Entorno de SantiagoSIC: Entorno de SantiagoSIC: Entorno de Santiago
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11. Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]
Definamos:
Si = potencia aparente que se inyecta a la barra i.
Donde Si = Pi + jQi
I = corriente inyectada a la barra i (“entrando al sistema”).
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Ii = corriente inyectada a la barra i (“entrando al sistema”).
Vi = voltaje en la barra i.
La matriz de admitancia Y es tal que:
Obs: [Y] es de n x n, donde n es el número de barras.
[ ] VYI
rr
⋅=
12. Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]
De esta forma se cumplirán las siguientes relaciones:
∑=
⋅=
n
n
1k
kiki VYI
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∑=
⋅⋅=⋅=
n
1k
*
k
*
iki
*
iii VYVIVS
¿Y cómo calculamos la matriz de admitancia?
13. Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]
Si utilizamos el modelo π de línea:
- Existe 1 o más líneas
conectadas a la barra i, que la
conectan directamente con otra
barra del sistema.
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- Pueden existir admitancias
directamente conectadas entre
la barra i, y tierra (por ejemplo,
consumos pasivos).
- Denotemos por α(i) el
conjunto de nodos o barras que
se conectan con la barra i.
14. Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]
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( )
( )
( )
( ) ( )
∑∑
∑∑
∈∈
∈∈
⋅−+
++⋅=
⋅+
−⋅+
⋅=
iαk
k
ikiαk ik
ikLiii
iLi
iαk
ki
ikiαk
iiki
V
z
1
z
1
yyVI
:términosOrdenando
VyVV
z
1
VyI
15. Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]Matriz de Admitancia [Y]
Así es posible identificar cada término de la matriz de admitancia:
( )
1
diagonalelemento
z
1
yyY
iαk ik
ikLiii
++= ∑∈
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diagonalladefuera
z
1
Y
ik
ik −=
- La matriz de admitancia, para los casos que estudiaremos, es
simétrica. Yik = Yki.
- Notar que si la barra i no está unida a la barra k, entonces Yik = 0.
16. Flujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de Potencia
Denotemos todas las variables en notación polar:
Vi = |Vi| < δi.
Yik = |Yik| < θik.
Además:
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Además:
SGi : potencia generada en barra i. PGi + jQGi.
SLi : potencia consumida en barra i. PLi + jQLi.
SGi – SLi : potencia neta inyectada en la barra i.
17. Flujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de PotenciaFlujo de Potencia
( ) ( ) ( )
( )∑
∑
∑
=
=
−−<⋅⋅=
−<⋅−<⋅<=
⋅⋅=⋅=−=
n
n
1k
ikikkkiii
n
1k
*
k
*
iki
*
iiLiGii
θYδVδVS
VYVIVSSS
Conocidas
las tensiones
en todas las
barras es
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( )
( )
( )∑
∑
∑
=
=
=
−−⋅⋅⋅=−=
−−⋅⋅⋅=−=
−−<⋅⋅=
n
1k
ikkiikkiLiGii
n
1k
ikkiikkiLiGii
n
1k
ikkiikkii
θδδsenYVVQQQ
θδδcosYVVPPP
Entonces
θδδYVVS
barras es
posible
determinar
los flujos de
potencia en
todo el
sistema.
18. Clasificación de BarrasClasificación de BarrasClasificación de BarrasClasificación de Barras
En la práctica no es posible fijar la tensión de todas las barras
del sistema.
Habrá consumos o generación que podrán modelarse como de
potencia aparente constante, independiente del voltaje.
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En otras barras puede requerirse cierto nivel de tensión fijo para
alimentar determinada potencia activa.
Por último, se requiere de una barra de tensión y ángulo fijo,
que sirva de referencia para los ángulos de las tensiones.
Así, tendremos 3 tipos de barras, con 2 variables fijas y otras 2
a despejar según el modelo:
19. Clasificación de BarrasClasificación de BarrasClasificación de BarrasClasificación de Barras
Barra Slack: Es la “barra infinita”. Su tensión y su ángulo (0°) son
fijos independiente de los flujos de potencia. Es única en el sistema y
se asocia a barras “grandes”. Se desconoce P y Q.
Barra PV: Aquella en la que se conoce la potencia inyectada P y
cuya tensión V es fija. Se puede tratar de barras cercanas a
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cuya tensión V es fija. Se puede tratar de barras cercanas a
generadores que puedan controlar tensión, o a barras que por
requerimiento de operación deban tener tensión fija. Se desconoce Q
y δ.
Barra PQ: Se conoce P y Q inyectados. En general se trata de barras
de consumo a potencia constante. También incluye barras de
“pasada” que tienen P = Q = 0.
20. Método de GaussMétodo de GaussMétodo de GaussMétodo de Gauss ---- SeidelSeidelSeidelSeidel
Queremos encontrar V, δ para todas las barras del sistema. Por cada
barra:
- 6 variables (P,Q,V,δ,I,φ)
- 2 ecuaciones derivadas de I = Y V (Re, Im)
- 2 ecuaciones derivadas de S = V I* (Re, Im)
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- 2 ecuaciones derivadas de S = V I* (Re, Im)
- 2 variables conocidas
Como se trata de un sistema no lineal que involucra potencias, corrientes
y tensiones, se utilizan métodos iterativos para su resolución:
- Gauss – Seidel
- Newton - Raphson
21. Método de GaussMétodo de GaussMétodo de GaussMétodo de Gauss ---- SeidelSeidelSeidelSeidel
La “Receta” para GaussLa “Receta” para Gauss –– SeidelSeidel
1. Designar las barras del sistema: PQ, PV, Slack, y obtener los
valores de sus variables conocidas.
2. Definir un punto de origen para el método iterativo (voltajes
iniciales).
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iniciales).
1. Si la barra es PQ, V0 = 1<0° [p.u.]
2. Si la barra es PV, V0 = V<0° [p.u.]
3. Si la barra es Slack, V = V<0° [p.u.] (fijo)
Esto corresponde a una recomendación. Salvo la barra Slack, las
tensiones de barra PQ y ángulo de barra PV son arbitrarios, pero
la convergencia del método requiere partir “cerca de la solución”.
22. Método de GaussMétodo de GaussMétodo de GaussMétodo de Gauss ---- SeidelSeidelSeidelSeidel
Resolvemos en orden para cada barra la iteración correspondiente:
BarrasBarras PQPQ::
Estimamos la corriente Ii usando los voltajes de la iteración
anterior (m). *
jQP
+
=
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Como:
Despejamos Vi
m+1 para la iteración siguiente:
m
i
ii
i
V
jQP
I
+
=
∑=
⋅=
n
1k
m
kiki VYI
⋅−=<= ∑≠
+++
ik
m
kiki
ii
1m
i
1m
i
1m
i VYI
Y
1
δVV
23. Método de GaussMétodo de GaussMétodo de GaussMétodo de Gauss ---- SeidelSeidelSeidelSeidel
Barras PVBarras PV
Estimamos Qi con los datos de la iteración anterior.
Estimamos la corriente:
⋅⋅= ∑=
n
1k
*m
k
*
ik
m
ii VYVImQ
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Estimamos la corriente:
Despejamos δi para la siguiente iteración (Vi es dato):
*
m
i
ii
i
V
jQP
I
+
=
⋅−=<=< ∑≠
++
ik
m
kiki
ii
1m
i
1m
i VYI
Y
1
δV
24. Método de GaussMétodo de GaussMétodo de GaussMétodo de Gauss ---- SeidelSeidelSeidelSeidel
BarraBarra SlackSlack
No requiere entrar al proceso de iteración, ya que sus valores de
tensión y ángulo son fijos. Sin embargo, de todas formas se utiliza
este valor para los cálculos en las otras barras.
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El método converge relativamente rápido (orden de 10
iteraciones), aunque claramente el tiempo dependerá de la
precisión que se quiera obtener.
25. Método de GaussMétodo de GaussMétodo de GaussMétodo de Gauss ---- SeidelSeidelSeidelSeidel
VariantesVariantes deldel métodométodo
Gauss – Seidel con actualización de variables
- En cada cálculo utilizo los valores más recientes de tensión, es
decir, para calcular Vi
m+1 utilizo V1
m+1, ...Vi-1
m+1, Vi
m, ...Vn
m.
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i 1 i-1 i n
Gauss – Seidel con factores de aceleración
- Si llamamos Vio
m+1 al valor calculado con el método tradicional,
definimos ∆V = Vio
m+1 –Vi
m, entonces, Vi
m+1 = Vi
m + α∆V, donde α
se escoge usualmente entre 1.5 y 1.8
26. Método de GaussMétodo de GaussMétodo de GaussMétodo de Gauss ---- SeidelSeidelSeidelSeidel
Observaciones:
- Si en una barra PV asociada a un generador se obtiene Q superior
a Qmax dado por la carta de operación, esta barra debe cambiarse a
PQ, con Q = Qmax. Esto se debe a que la central pierde capacidad
de regular tensión al verse limitada en su entrega de reactivos.
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de regular tensión al verse limitada en su entrega de reactivos.
- El flujo de potencia activa es desde barras de ángulos mayores
hacia barras de ángulos menores.
