Sistema Por Unidad

1. Las corrientes también se expresan en función de las componentes simétricas.
𝐼𝑎 = 𝐼𝑎0 + 𝐼𝑎1 + 𝐼𝑎2
𝐼𝑏 = 𝐼𝑎0 + a2
Ia1 + aIa2
𝐼𝑐 = 𝐼𝑎0 + aIa1 + a2
𝐼a2
En forma matricial resulta:
Ia
I𝑏
Ic
=
1
1
1
1
a2
a
1
a
a2
Ia0
Ia1
Ia2
Iasim =
Ia
I𝑏
Ic
COMPONENTES SIMÉTRICOS
𝐼𝑎 = 𝐼𝑎0 + 𝐼𝑎1 + 𝐼𝑎2
𝐼𝑏 = 𝐼𝑏0 + 𝐼𝑏1 + 𝐼𝑏2
𝐼𝑐 = 𝐼𝑐0 + 𝐼𝑐1 + 𝐼𝑐2
Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS

2. Cuando se requiere conocer los elementos de secuencia en función de los
fasores desequilibrados se pueden utilizar las siguientes ecuaciones:
Ia0 = 1
3 (Ia + Ib + Ic)
Ia1 = 1
3 ( Ia + aIb + a2
Ic)
Ia2 = 1
3 (Ia + a2
Ib + aIc)
COMPONENTES SIMÉTRICOS
Isim =
Ia0
Ia1
Ia2
Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS
𝐼𝑎𝑠𝑖𝑚 = 𝐴𝐼𝑠𝑖𝑚
𝐼𝑠𝑖𝑚 = 𝐴−1𝐼𝑠𝑖𝑚
Con la notación antes expuesta, se puede escribir:

3. COMPONENTES SIMÉTRICOS
𝐼𝑛 = I𝑎 + Ib + Ic
𝐼𝑛 = 3𝐼0
Para la conexión estrella sin neutro, no existe camino de retorno en el
sistema trifásico, In es cero y las corrientes de línea no contiene n
componentes de secuencia cero.
En las cargas trifásicas en conexión delta, no se dispone de camino de
retorno por el neutro, y por tanto, las corrientes que de línea que van a la
carga delta no poseen componentes de secuencia cero.
Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS
En una conexión estrella, con camino de retorno por neutro, la suma de las
corrientes de línea, es igual a la corriente que circula por el neutro 𝐼𝑛.
I𝑎 + Ib + Ic = 0

4. POTENCIA EN FUNCIÓN DE LAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS
La potencia compleja transmitida por las tres líneas de un sistema
trifásico, independientemente de su estado de operación puede ser
expresado como:
S𝑡 = 𝑉
𝑎 𝑉𝑏 𝑉
𝑐
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
∗
S𝑡 =
𝑉
𝑎
𝑉𝑏
𝑉
𝑐
𝑇
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
∗
Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS
S𝑡 = S𝑎 + 𝑆b + 𝑆c
S𝑡 = V𝑎𝐼𝑎
∗ + V𝑏𝐼𝑏
∗
+ V𝑐𝐼𝑐
∗
Siendo las tensiones 𝑉
𝑎, 𝑉𝑏, 𝑉
𝑐 los voltajes de línea a neutro.
En notación matricial la potencia aparente del sistema trifásico puede ser
expresada por:

5. POTENCIA EN FUNCIÓN DE LAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS
Una vez transpuesta la matriz de tensiones se puede escribir:
Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS
S𝑡 = 𝑉𝑠𝑖𝑚
𝑇
𝐼𝑎𝑠𝑖𝑚
∗
Se sabe que la tensión y la corriente pueden ser expresadas en función de sus
componentes simétricas por:
𝐼𝑠𝑖𝑚 = 𝐴𝐼𝑠𝑖𝑚
𝑉𝑠𝑖𝑚 = 𝐴𝑉𝑠𝑖𝑚
Sustituyendo en la ecuación de potencia aparente:
S𝑡 = 𝑉𝑠𝑖𝑚
𝑇 𝐴 𝑇𝐼𝑠𝑖𝑚
𝑇

6. POTENCIA EN FUNCIÓN DE LAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS
Por propiedades de la matriz A resulta que 𝐴 𝑇
= 𝐴 resulta que:
Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS
𝐴 𝑇
𝑥 𝐴 ∗
= 3𝑈 =
3
0
0
0
3
0
0
0
3
Siendo U la matriz identidad, en donde la diagonal principal tiene valores no
nulos iguales a uno, y el resto de los elementos de la matriz valen cero.
S𝑡 = 3𝑉𝑠𝑖𝑚
𝑇
𝐼𝑠𝑖𝑚
∗
S𝑡 = 3V𝑎0𝐼𝑎0
∗
+ 3V𝑎1𝐼𝑎1
∗
+ V𝑎2𝐼𝑎2
∗

7. EJEMPLO DE APLICACIÓN
7
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

8. EJERCICIO 1
Hallar las componentes simétricas de los siguientes voltajes:
𝑉
𝑎 = 130∠0°
𝑉𝑏 = 220∠150°
𝑉
𝑐 = 270∠ − 25°
V0 = 1
3 (V𝑎 + V𝑏 + V𝑐)
V0 = 1
3 [130 + 220∠150° + 270∠ − 25° ]
V0 = 1
3 {130 + 220 cos 150 + 𝑗𝑠𝑒𝑛 150 + 270 cos −25 + 𝑗𝑠𝑒𝑛 −25 }
V0 = 1
3 [130 + 220 −0.866 + 𝑗0.5 + 270 0.90 + 𝑗 − 0.422 ]
V0 = 1
3 (130 − 190.52 + 110𝑗 + 244.70 − 114.10𝑗)
V0 = 1
3 [184.18 − 4.1𝑗]
V0 = 61.39 − 1.36𝑗 𝑉
𝑎 = 61.40∠ − 1.26°
Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS

9. Autores:
COMPONENTES SIMÉTRICOS

10. COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

11. EJERCICIO 2
En la delta el conductor de la línea c está abierto. La corriente
a la carga en la línea a es de 10 < 0° y la de la línea b es 10 <
180°. Utilizando la corriente de línea “a” como referencia
encontrar las componentes simétricas de las corrientes de
línea.
z 1
z 1
z 1
a
b
c
Ic = 0
Ia = 10 arg 0
Ib = 10 arg 180
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

12. EJERCICIO 2
Solución:
Corrientes de línea 𝐼𝑎 = 10∠0°
𝐼𝑏 = 10∠180°
𝐼𝐶 = 0
I0
I1
I2
=
1
3
1
1
1
1
a
a2
1
a2
a
Ia
Ib
Ic
I0 = 1
3 (Ia + Ib + Ic)
I0 = 1/3(10∠0° + 180∠0°)
I0 = 1/3[(10(cos 0 + jsen(0) ) + ( 180(cos 0 + jsen(0))]
I0 = 1 − 1 = 0
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

13. EJERCICIO 2
I1 = 1
3 ( Ia + aIb + a2Ic)
I1 = 1/3[(10∠0° + 1∠120° 180∠0° ]
I1
= 1
3 [(10 cos 0 + jsen 0 + ( 1[cos(120° + 𝑗𝑠𝑒𝑛(120°)])
∗ 180 cos 0° + 𝑗𝑠𝑒𝑛 0° )]
I1 = 1
3 [ 10 + (−0.5 + 𝑗0.866 ) + (180)]
I1 = 63.16 + 𝑗0.866
I2 = 1
3 (Ia + a2
Ib + aIc)
I2 = 1/3[(10∠0° + 1∠ − 120° 180∠0° ]
I2
= 1
3 [(10 cos 0 + jsen 0 + ( 1[cos(−120° + 𝑗𝑠𝑒𝑛(−120°)])
∗ 180 cos 0° + 𝑗𝑠𝑒𝑛 0° )]
I2 = 1
3 [ 10 + (−0.5 − 𝑗0.866 ) + (180)]
I2 = 63.16 − 𝑗0.866
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

14. PROBLEMA PROPUESTO
14
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

15. EJERCICIO 1
Dado un sistema trifásico a tres hilos desbalanceado, donde
sabemos que las tensiones simples de la carga son:
𝑉0 = 425∠45°
𝑉1 = 220∠45°
𝑉2 = 425∠75°
Calcular las componentes simétricas de las tensiones simples
anteriores y las componentes simétricas de las tensiones de
línea
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

16. Definición de Sistemas Por Unidad
16

17. 17
Definición:
El sistema por unidad de cualquier cantidad se define como la relación
entre la cantidad real y la cantidad base o de referencia y se expresa como
un decimal.
En la Ingeniería Eléctrica, en el campo de los sistemas eléctricos de
potencia, se requiere de variables como:
* Potencia (S) * Tensión (V)
* Corriente (I) * Impedancia(Z)
Los valores por unidad corresponden simplemente a un cambio de
escala de las magnitudes principales
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒(𝑝𝑜𝑟 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑) ≡
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

18. 18
I
V
S .

I
Z
V .

Las magnitudes: S, V, I y Z no son independientes:
4 magnitudes
2 relaciones
Se elegirán 2 magnitudes como valores base,
las restantes quedarán determinadas.

19. 19
base
base V
S ,
base
base
base
V
S
I 
base
base
base
base
base
S
V
I
V
Z
2


En general se elige S y V como valores base

20. 20
)
( pu
X
X
x
base

)
(
04444
.
0
100
150
10
2
2
pu
S
V
Z
Z
Z
z
base
base
base




Dada una magnitud X en unidades físicas (V, Ω, kA) se define x en p.u. como:
Ejemplo: Eligiendo Vbase=150 kV y Sbase=100 MVA
Z=10Ω expresado en pu será:

21. 21
• Sirven para el análisis de sistemas de potencia.
• Todas las cantidades son expresadas como una
fracción decimal de valores de base.
• Los valores base son arbitrarios.
• Mantienen y respetan las relaciones básicas que
rigen las leyes de los circuitos eléctricos.
• Cuando se selecciona una base, se toman como
valores bases, los valores nominales de los
generadores y de los transformadores.
• Si los valores nominales de los generadores y de los
transformadores son diferentes, se toma como base
a los valores nominales de voltaje y potencia
aparente más repetidos.
Características

22. Ventajas:
La impedancia equivalente en por unidad de un transformador es la misma
cuando se refiere al lado primario o al lado secundario.
Evita el reconocer el tipo de conexión Δ ó Y en los transformadores.
Evita el trabajo con cantidades muy grandes en potencias de diez.
Reduce el empleo de √3 en cálculos trifásicos.
El sistema por unidad es sencillo para el cálculo mediante computadores.
Los fabricantes usualmente especifican la impedancia del equipo en por unidad o
por ciento en base a los valores de potencia y voltaje de placa
22

23. 23
CANTIDAD UNIDAD En VA y Ω en VA y V
I [A]
V [V] [V]
S [VA] [VA] [(VA)]
Z [V/A]
ϴ f.p adimensional






 2
/
1
2
/
1
)
(VA






V
VA)
(
 
2
/
1
2
/
1
)
.(VA

]
[ 





)
(
2
VA
V

24. 24
Valores por unidad para las cuatro variables básicas V, I, Z y S:

25. Para que el sistema por unidad pueda ser correctamente empleado en los
sistemas eléctricos de potencia; deben satisfacer las identidades y leyes de
circuitos eléctricos;
Ley de Ohm.
Identidades de Potencia.
Leyes de Kirchoff.
Identidades Trifásicas.
25

26. 26
Ejemplo:
Suponga que se esta trabajando en el sistema de 400 kV
(este voltaje corresponde al nominal Un) en EDELCA, y
tómese ese valor como base.
Si una de las líneas en la Subestación ( S/E) Santa Teresa
tiene un voltaje de 390 kV en un instante dado.
Determinar el valor de este voltaje en el sistema por
unidad V[p.u].

27. 27
Vbase = 400 kV (línea-línea, rms)
- Tomando en cuenta la definición de la variable voltaje en el
sistema por unidad resulta:
Solución:
- La base es un valor arbitrario, pero se toma el voltaje
nominal del sistema de EDELCA (400kV) como base para este
problema.

28. 28
• El voltaje en la línea de la Subestación Santa Teresa está 2.5%
por debajo de su valor nominal.
• Se recuerda que se admite un margen de tolerancia de ±5%

29. 29
Ejemplo 2:
Un generador de 25 MVA, 13.8 kV tiene reactancia subtransitoria X” = 0.20 p.u, y
esta conectado a una línea de transmisión de potencia a través de un
transformador elevador con valores nominales de 30 MVA, 13.8/230 kV dY, con
reactancia de 8%. Si la base a usarse en los cálculos es de 100 MVA, 220 kV para la
línea de transmisión. ¿Qué valores en el sistema por unidad deben usarse para la
reactancia del transformador?. Trazar el diagrama de impedancias.
En este caso hay dos zonas de iguales valores
bases:

30. Tema de la presentacion Autor de la presentación 30
Se procede a calcular el voltaje base de la zona 1, desconocido, por el uso de la
relación de transformación
adecuada.

31. Tema de la presentacion Autor de la presentación 31
Se procede a aplicar los respectivos cambios de bases:
En el generador G:
En el transformador T:
Finalmente el diagrama de impedancias resulta:

32. CONCLUSIONES
Los desequilibrios de fase son producidos por cargas
monofásicas desiguales conectadas a las redes trifásicas. La
alimentación de cargas trifásicas con un sistema asimétrico
puede producir diferentes inconvenientes técnicos.
Las cargas desequilibradas producen consumos desiguales y,
por lo tanto, un cierto error en la medición de los mismos.
Es necesario buscar una simetría de las cargas en cada una de
las fases para que éstas no produzcan desequilibrios en el
sistema.
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

33. CONCLUSIONES
Las prestatarias del suministro eléctrico son muy estrictas al
exigir un correcto equilibrio de las cargas en sus clientes
conectados a alimentadores trifásicos. Ellas mismas buscan
solucionar el problema alimentando a sus clientes domiciliarios
alternando su conexión desde distintas fases.
Mediante el método de las componentes simétricas, es posible
obtener la respuesta de cada elemento del sistema en una única
fase y aplicar los resultados obtenidos al resto de las fases del
circuito. En otras palabras, es posible resolver sistemas
asimétricos y desequilibrados, de la misma forma que
resolveríamos los sistemas equilibrados.
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores:

34. Conclusiones
De una manera general, la experiencia de trabajar con valores en
por unidad, familiariza con valores típicos de impedancia de los
diferentes equipos, además de otras cantidades que tienen
también un comportamiento visiblemente típico en los rangos
por unidad como las corrientes de cortocircuito y los voltajes de
los buses.
Generalmente los fabricantes especifican la impedancia de una
pieza de equipo en por ciento o en por unidad sobre la base de
los valores de placa nominales, por lo cual es de mucha ayuda
para nosotros conocer de este tema.
34

35. Gracias por su Atención
COMPONENTES SIMÉTRICOS Autores: