presentación sobre formaciones de imágenes en espejos

1. 36. FORMACIÓN DE LAS IMÁGENES
Programa de Ingeniería Mecánica
Universidad de Córdoba

2. 36.1 IMÁGENES FORMADAS POR ESPEJOS
PLANOS
EL ESPEJO PLANO
Imagine una fuente puntual de luz colocada en O en la figura 36.1,
a una distancia p (conocida como distancia objeto) frente a un
espejo plano. Los rayos luminosos divergentes que salen de la
fuente son reflejados por el espejo. Después de reflejarse, los rayos
siguen un proceso de divergencia. Las líneas discontinuas de la
figura 36.1 son extensiones de los rayos divergentes hacia atrás,
hasta un punto de intersección en I. Para el observador parece que
los rayos divergentes surgen del punto I detrás del espejo. El punto
I, que está a una distancia q detrás del espejo, se conoce como
imagen del objeto en O. A la distancia q se le llama distancia de
imagen. Independientemente del sistema en estudio, siempre
localizará las imágenes extendiendo hacia atrás los rayos
divergentes, hasta el punto en que hacen intersección.

3. CLASIFICACIÓN DE LAS IMÁGENES
Las imágenes se clasifican en reales o virtuales. Una imagen real
es la que se forma cuando los rayos luminosos pasan a través y
divergen del punto de imagen; una imagen virtual es la que se
forma cuando los rayos luminosos no pasan a través del punto de
imagen, sino que sólo parecen divergir de dicho punto. La
imagen formada por el espejo en la figura 36.1 es virtual. La
imagen de un objeto vista en un espejo plano es siempre virtual.
A pesar de que existe un número infinito de posibles direcciones
hacia las cuales los rayos luminosos pueden salir de cada punto del
objeto (representado por la flecha azul), sólo es necesario elegir dos
rayos para determinar dónde se formará la imagen. Uno de esos
rayos parte de P, sigue una trayectoria perpendicular hasta el espejo
y se refleja sobre sí mismo. El segundo rayo sigue la trayectoria
oblicua PR y se refleja como se muestra en la figura 36.2, de
acuerdo con las leyes de la reflexión.

4. La imagen formada por un objeto colocado frente a un
espejo plano está tan lejos detrás del espejo como lo está el
objeto frente a él. La geometría en la figura 36.2 también
revela que la altura del objeto h es igual a la altura de la
imagen h’. El aumento lateral M de una imagen se define
como sigue:
Para un espejo plano, M = +1 para cualquier imagen porque
h’= h. El valor positivo de la amplificación significa que la
imagen es vertical.

5. 36.2 IMÁGENES FORMADAS POR ESPEJOS ESFÉRICOS
ESPEJOS CÓNCAVOS
Primero se considera la reflexión de luz desde la superficie interior
cóncava de un espejo esférico, como se muestra en la figura 36.6.
Este tipo de superficie reflectora se llama espejo cóncavo. La figura
a muestra que el espejo tiene un radio de curvatura R, y su centro
de curvatura es el punto C. El punto V es el centro de la sección
esférica, y una línea a través de C y V se llama eje principal del
espejo. Muestra una sección transversal de un espejo esférico, con
su superficie representada por la línea curva negra sólida.
Se divide en dos tipos: los espejos cóncavos y los convexos.
Ahora considere una fuente de luz puntual colocada en el punto O de la figura 36.6b, donde O
es cualquier punto sobre el eje principal, a la izquierda de C. En la figura se muestran dos rayos
divergentes que se originan en O. Después de reflejarse en el espejo, estos rayos convergen y se
cruzan en la imagen que aparece en el punto I. Después continúan divergiendo, alejándose de I
como si en ese punto existiera un objeto. Como resultado, la imagen en el punto I es real.

6. Para calcular la distancia de la imagen q utilice la figura 36.9, si
conoce la distancia objeto p y el radio de curvatura R. Por regla,
estas distancias se observan a partir del punto V. La figura 36.9
muestra dos rayos que salen de la punta del objeto. Uno de
estos rayos pasa a través del centro de curvatura C del espejo e
incide en el espejo, perpendicular a la superficie de este,
reflejándose de regreso sobre sí mismo. El segundo rayo incide
en el espejo en su centro (punto V) y se refleja como se
muestra, en cumplimiento con la ley de la reflexión. La imagen
de la punta de la flecha se localiza en el punto donde se cruzan
ambos rayos. En el amplio triángulo rectángulo color oro de la
figura 36.9, tan θ= h/p, y con el triángulo rectángulo azul vemos
que tan θ= -h’/q. Se introduce el signo negativo porque la
imagen está invertida, por lo que h’ se considera negativa. En
consecuencia, por la ecuación 36.1 y por estos resultados,
encontramos que el aumento de la imagen es igual a

7. Además, observe del triángulo recto verde en la figura
36.9 y del triángulo rectángulo dorado más pequeño que
de donde surge
Si compara las ecuaciones 36.2 y 36.3,
Por simple álgebra, lo anterior se reduce a

8. La ecuación 36.4 se denomina ecuación del espejo.
Si el objeto está muy lejos del espejo, es decir, si p
es mucho más grande que R de forma que se puede
decir que p tiende a infinito, entonces 1/p ≈ 0, y por
la ecuación 36.4 q ≈ R/2. Es decir, cuando el objeto
está muy lejos del espejo, el punto imagen está a la
mitad del camino entre el centro de curvatura y el
punto central sobre el espejo, como se observa en la
figura 36.10a. Los rayos incidentes del objeto son
esencialmente paralelos en esta figura porque se
supone que la fuente está muy lejos del espejo. En
este caso en especial, se le llama al punto de imagen
foco F y a la distancia de imagen distancia focal ƒ,
donde
La distancia focal es un parámetro particular de un
espejo determinado, y puede ser utilizada para
comparar un espejo con otro. Al combinar las
ecuaciones 36.4 y 36.5 la ecuación del espejo se
expresa en función de la distancia focal:

9. 36.2 IMÁGENES FORMADAS POR ESPEJOS ESFÉRICOS
ESPEJOS CONVEXOS
La figura 36.11 muestra la formación de una imagen en un espejo
convexo, es decir, plateado de forma que la luz sea reflejada en la
superficie exterior convexa. A veces éste se conoce como espejo
divergente porque los rayos de cualquier punto de un objeto
divergen después de haberse reflejado, como si vinieran de algún
punto de detrás del espejo. La imagen de la figura 36.11 es virtual
porque los rayos reflejados sólo dan la impresión de originarse en
el punto imagen, como se indica mediante las líneas discontinuas.
Además, la imagen siempre es vertical y es menor que el objeto.
Se divide en dos tipos: los espejos cóncavos y los convexos.
No deducirá ecuaciones para los espejos esféricos convexos, porque puede utilizar las
ecuaciones 36.2, 36.4 y 36.6 tanto para espejos cóncavos como convexos, siempre y cuando
sigamos el procedimiento siguiente: identifique la región en la cual los rayos luminosos se
mueven hacia el espejo como cara frontal del mismo y el otro lado como cara posterior.

10. DIAGRAMAS DE RAYOS PARA LOS
ESPEJOS
La posición y el tamaño de las
imágenes formadas por los espejos
se determinan convenientemente
mediante diagramas de rayos.
Estas construcciones gráficas
revelan la naturaleza de la imagen
y sirven para verificar resultados
calculados a partir de las
representaciones matemáticas
utilizando las ecuaciones del
espejo y del aumento. La tabla
36.1 resume los signos
convencionales para todas las
cantidades.
Para dibujar el diagrama de un rayo, es necesario conocer la posición del
objeto y la localización del foco, así como el centro de curvatura del
espejo. Después, dibuje tres rayos principales para localizar la imagen
como se muestra en los ejemplos de la figura 36.13. Estos rayos salen
todos del mismo punto objeto y se dibujan como sigue.

11. En el caso de espejos cóncavos, trace los tres rayos principales siguientes:
•El rayo 1, desde la parte superior del objeto, en paralelo al eje principal, y se
refleja a través del foco F.
•El rayo 2, desde la parte superior del objeto a través del foco (o como si
viniera del foco si p < f) y se refleja paralelo al eje principal.
•El rayo 3, desde la parte superior del objeto a través del centro de curvatura C
y se refleja de regreso sobre sí mismo.
En el caso de los espejos convexos, trace los tres rayos principales siguientes:
•El rayo 1, se dibuja desde la parte superior del objeto paralelo al eje principal
y se refleja alejándose del foco F.
•El rayo 2, se dibuja desde la parte superior del objeto hacia el foco en la cara
posterior del espejo y se refleja paralelo al eje principal.
•El rayo 3, se dibuja desde la parte superior del objeto hacia el centro de
curvatura C en la cara posterior del espejo y se refleja de regreso sobre sí
mismo.

13. 36.3 IMÁGENES FORMADAS POR REFRACCIÓN
En esta sección se describe la manera en que se forman
las imágenes cuando los rayos luminosos siguen el
modelo de onda bajo refracción en la frontera entre dos
materiales transparentes. Considere dos medios
transparentes con índices de refracción n1 y n2, donde los
límites entre los dos medios forman una superficie
esférica de radio R (figura 36.16). Suponga que el objeto
en O está en el medio cuyo índice de refracción es n1.
Consideremos los rayos paraxiales que salen de O. Como
verá, todos estos rayos se refractan en la superficie
esférica y se enfocan en un único punto I, el punto
imagen.

14. La figura 36.17 muestra un rayo simple que sale del punto
O y se refracta hacia el punto I. La ley de Snell de la
refracción aplicada a este rayo da
Ya que θ1 y θ2 se consideran pequeños, utilice la
aproximación para ángulos pequeños sen θ ≈ θ (ángulos en
radianes) y escriba la ley de Snell como
Ahora considere que el ángulo externo de un
triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores opuestos; aplique esta regla a los
triángulos OPC y PIC de la figura 36.17 y obtiene
Si combina las tres expresiones y elimina θ1 y θ2,

15. La figura 36.17 exhibe tres triángulos rectángulos que tienen un cateto vertical
común de longitud d. En el caso de los rayos paraxiales (a diferencia del rayo de
ángulo relativamente grande que se muestra en la figura 36.17), los catetos
horizontales de estos triángulos son aproximadamente p para el triángulo que
contiene el ángulo α, R para el que contiene el ángulo β y q para el triángulo
que contiene el ángulo γ. En la aproximación por ángulos pequeños, tan θ ≈ θ,
por lo que puede escribir las correspondencias aproximadas de estos triángulos
como sigue:
Reemplace estas expresiones en la ecuación 36.7 y después
divida entre d para obtener

16. Igual que en el caso de los espejos, es necesario utilizar una convención para los signos si
desea aplicar esta ecuación a diferentes casos. El lado de la superficie en el cual se originan los
rayos luminosos se define como la cara frontal. El otro se llama cara posterior. A diferencia de
los espejos, donde se forman las imágenes reales en la cara frontal de la superficie reflectante,
las imágenes se forman por refracción de los rayos de luz en la cara posterior de la superficie.
Debido a la diferencia de ubicación de las imágenes reales, las reglas convencionales para los
signos de la refracción para q y R son opuestas a las reglas para los signos de la reflexión. Las
reglas para los signos en superficies refractoras esféricas se resumen en la tabla 36.2.

17. SUPERFICIES REFRACTORAS PLANAS
Si una superficie refractora es plana, en tal caso R es infinito y la
ecuación 36.8 se reduce a
Por esta expresión el signo de q es opuesto al signo de p. Por lo tanto, de acuerdo con
la tabla 36.2, la imagen formada por una superficie refractora plana está en el mismo
lado de la superficie que el objeto, esto se ilustra en la figura 36.18 para el caso en
que el objeto está en el medio del índice n1, y éste es mayor que n2. En este caso se
forma una imagen virtual entre el objeto y la superficie. Si n1 es menor que n2, los
rayos de la cara posterior divergen entre sí en ángulos más pequeños que los de la
figura 36.18. Como resultado, se forma la imagen virtual a la izquierda del objeto.