Este documento describe las características de las funciones lineales y recíprocas. Explica que las funciones lineales tienen la forma y=mx+b y pendiente m, mientras que las funciones recíprocas tienen la forma f(x)=1/x. También discute cómo encontrar la función inversa y las propiedades como creciente, decreciente, dominio y alcance.

1. Funciones
Básicas y sus
Características
Manuel A. Medina
Michael Andújar

2. Introducción
 Durante la clase de pre-cálculo,
estaremos observando las diferencias
que existen entre los distintos tipos de
funciones básicas que existen, en este
caso observaremos la recta con su
ecuación de y = mx + b representada por
y = 6x-1, y a su vez observaríamos la
gráfica de la función inversa, con su
ecuación de f(x)=1/(6x-1).

3. Función Lineal
 La función lineal es del tipo: y = mx+b
 Pendiente : es el aumento de la ordenada (Y), cuando la
abscisa (X), aumenta una unidad, y suele ser representado
por la letra (m).
 Pendiente: ΔY/ΔX
 Función Creciente : La función es creciente si al aumentar
la variable independiente (X) aumenta la variable
dependiente (Y).
 Función Decreciente : La función es decreciente si al
aumentar la variable independiente (X) disminuye la otra
variable (Y).
 Dominio : El dominio establece una correspondencia entre
dos conjuntos de elementos de forma que a todo
elemento del conjunto de partida se le asocie un elemento
único del conjunto de llegada.
 Alcance: El alcance establece el valor recorrido de la
gráfica en el eje de (Y).

4. Función Recíproca
 Lafunción recíproca se le conoce a una
ecuación que en su numerador está el
valor de 1.
 Ejemplo:
 Función Lineal:
 Función Recíproca:

5. Función Inversa
 Sea f(x) una función, decimos que g(x) es la función inversa
de f(x), y la denotamos por el símbolo f -1, si se cumplen las
siguientes dos condiciones: (f o f -1)(x) = x y (f -1 o f) (x) = x .
Para saber si una función tiene inversa podemos hacer la
prueba de la línea horizontal en la gráfica de la
función, denotada como Y = X ; si la recta horizontal corta
la gráfica en un solo punto, esa función tiene
inversa, pero, si la recta corta la gráfica en dos puntos o
más es necesario partir el dominio de la gráfica para
poder hallar la inversa ya que la regla dice que la recta
horizontal puede cortar un solo punto de la gráfica para
poder hallar la inversa de esa función.
 Esto quiere decir que la función lineal tiene inversa, pero
en la función de valor absoluto, hay que partirle el dominio
para hallar su inversa ya que no pasa la prueba de la línea
horizontal.

6. Método para hallar la Función
Inversa
• Halle la función inversa de f(x) = 2x + 5
 Escriba (y) en vez de f(x): y= 2x+5
 Despeja para la variable (x): y-5/2= x
 Intercambia la variable (x) con la variable (y): x-5/2= y
 Escribe f -1(x) en vez de (y): f -1(x) = x-5/2

7. Función lineal
 Función Lineal: y = 6x-1
*Dominio: todos los números reales { x l x = R}
* Alcance: (-∞,∞)
* Intercepto en Y : (0, -1)
* Intercepto en X : (⅙, 0)
* Pendiente : 6
* Asíntota Vertical: No tiene
* Asíntota Horizontal: No tiene
* Asíntota Oblícua: No tiene

8. Función Recíproca
 Función Recíproca:
* Dominio: todos los números reales { x |x ≠ ⅙}
* Alcance: (-∞,0)U(0,∞)
* Intercepto en Y : (0, -1)
* Intercepto en X : No tiene
* Asíntota Vertical: X = ¼
* Asíntota Horizontal: Y = 0
* Asíntota Oblícua: No tiene

9. Gráfica Función Lineal

10. Inversa: Gráfica Función Lineal

11. Gráfica Función Recíproca

12. Inversa: Gráfica Función Recíproca

13. Propiedades de las funciones
 Decimos que la función f(x) es creciente si a medida
que la (x) aumenta también la (y) aumenta. Sin
embargo, una función es decreciente si a medida que
la (x) aumenta la (y) disminuye. Otra de las propiedades
que hemos estudiados es la función par y la función
impar. En una función par se cumple que f(-x) = f(x)
para todo valor del dominio y las gráficas son simétricas
al eje de (y), mientras que cuando la función es impar
se cumple que f(-x) = -f(x) para todo valor del dominio y
las gráficas son simétricas al origen.

14. Propiedades de las funciones (cont.)
 Cuando hablamos de las transformaciones de las
funciones debemos incluir lo que son las
traslaciones, las contracciones, los estiramientos y
las reflexiones. Una traslación puede ser vertical u
horizontal. Si conocemos la gráfica de
f(x) entonces la nueva función dada por: g(x) =f(x)
+ c representa una traslación vertical de la gráfica
de f(x). Si c > 0 la gráfica se traslada c unidades
hacia arriba y si c < 0 entonces la traslación es de c
unidades hacia abajo; mientras que una traslación
horizontal de la gráfica de f(x) indica que si c > 0 la
gráfica se traslada c unidades hacia la derecha y
si c < 0 entonces la traslación es de c unidades
hacia la izquierda.

15. Propiedades de las funciones (cont.)
 Los estiramientos y las contracciones son otras propiedades
de las funciones, las cuales también pueden ser verticales u
horizontales. Si se conoce la gráfica de f(x) entonces la
nueva función dada por g(x) = cf(x) representa un
estiramiento vertical de la gráfica de f (x) si c > 1 pero si 0 <c
< 1 entonces es una contracción vertical. Por otro lado g(x) =
f(cx) representa un estiramiento horizontal de la gráfica de
f(x) donde si 0 < c < 1 y si c > 1 entonces representa una
contracción horizontal de la gráfica de f(x).
 Por último es importante saber que las gráficas pueden sufrir
una transformación que indica que si se conoce la gráfica
de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) = - f(x)
representa una reflexión de la gráfica de f a través del eje de
(x).

16. Conclusión
 Al culminar este trabajo podemos establecer la
diferencia que existen entre la función lineal y la
función recíproca ya que cada una tiene
características peculiares que las distinguen. Sin
embargo, a ambas se les pueden aplicar e
identificar las diferentes propiedades que hemos
estudiado en clase. Ambas funciones pertenecen
al conjunto de las funciones básicas y es
importante que las conozcamos y podamos
identificarlas para saber que procedimiento
habremos de seguir cuando debamos trabajar
con alguna de ellas.
 Una de las cualidades es que la función de y=6x-
1, y f(x)=1/(6x-1), son recíprocas, pero no son
inversas.