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Matemática Aplicada 2013
Ing. Silvana Edith Lazarte
FUNCIONES
Dados dos conjuntos: A y B
Se llama FUNCIÓN de A en B a una correspondencia tal que a cada
elemento de A le corresponde un único elemento del conjunto B

xA

yB

variable independiente

variable dependiente

f
A

x
xx

B

y=f(x)
y=f(x)

Cuando A y B son subconjuntos de los números reales se dice que las
funciones son ESCALARES o NUMÉRICAS
Identifiquemos las funciones:
A

B

a)

A

B

b)

B

A

c)

a) No es función porque a un elemento de A le pertenecen dos elementos
del conjunto B
b) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde un
elemento de B
c) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde el
elemento de B
Formas de expresar una función:

Imagen de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
Dominio de f: Dom f
Conjunto de valores que toma la variable independiente
Rango de f: Rgo f
Conjunto de valores que toma la variable dependiente
Ejemplos:
A

B

f
1
2
3
4

m
n
p
q

g

A
s
t
u

Dom f={ 1,2,3,4}

Dom f={ s,t,u,}

Rgo f={ m,n,p,q}

Rgo f={ r}

B

r
Fórmulas:
Forma explícita: Cuando tiene la forma

Forma implícita: Cuando tiene la forma

y= f(x)

F(x,y)=0

Ejemplo: y=2x

Ejemplo: 3x+y-5=0

Notación de Conjuntos:
Por numeración o extensión
Se enumeran Todos los pares de
valores relacionados por medio de la
función.

Ejemplo: f={(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)}

Por Propiedad o Comprensión:
Se indica con una fórmula la propiedad
que cumplen los pares (x,y)
Ejemplo: f={(x,y)/y=2x}

Funciones dadas por tablas:
Se utilizan cuando los datos son pocos porque las tablas pueden ser muy extensas
y difíciles de manejar
Formas Gráficas:
Diagrama de Venn:
Es posible utilizar esta forma de
representación cuando los valores son
pocos

En un sistema de ejes cartesianos:

En el eje horizontal van los valores
posibles
de
la
variable
independiente y en el eje de las
ordenadas
va
el
valor
de
y=f(x).Obtenemos un punto en el
plano
Ejemplo: Ganancias de una empresa en función del precio del producto que
comercializa

Imágenes de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
Intersección con los ejes coordenados
Intersección con el eje de
las ordenadas:
Es el punto Q(0,y).
Puede existir o no existir;
es el valor de y
que satisface la condición f(0)

Intersección con el eje de las abscisas:
Son los puntos de la forma P(x,0). Pueden no existir.
A los valores de x que satisfacen esta condición se los denomina ceros de la
función x=a es un cero de f si y solo si f(a)=0
Ceros de una función
Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de
una función
 Una función se dice creciente en el intervalo (a,b) si se
cumple que:
x1<x2 
f(x1)<f(x2) para todo x1, x2 a,b)


Una función se dice decreciente en el intervalo (a,b) si
se cumple que:
x1<x2 
f(x1)>f(x2) para todo x1, x2 a,b)
Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes
La siguiente gráfica representa la tasa de crecimiento de una
población determinada. Vemos que es una función creciente

Gráfica realizada con Graphmática
Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes
La gráfica representa la demanda de un producto en función del precio. Esta
función es decreciente en el intervalo (o,)

Gráfica realizada con Graphmática
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función:

Hasta el punto 0,83 la función es creciente y el mínimo valor es 3.
Desde 0,83 en adelante la función es decreciente
Máximos y Mínimos Absolutos

Una función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si
para todo x perteneciente al dominio, xa, entonces la imagen de x es
menor que la de a.
Simbólicamente:
x  Domf , xa , f(x)<f(a)
Una función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a si para todo
x perteneciente al dominio, xa, la imagen de x es mayor que la de a.
Simbólicamente:
x  Domf , xa , f(x)>f(a)
Ejercicios: Determinar máximos y mínimos absolutos
Respuestas:
a) La función de la gráfica no alcanza máximo ni mínimo
absoluto ya que no existe un valor del dominio que
cumpla la definición
b) La función sólo alcanza mínimo absoluto en x=0, ya
que f(0)<f(x), x  Domf
c) Sólo posee máximo absoluto en x=2 , ya que f(x)<f(2) ,
 x  Dom f
d) Sólo posee mínimo absoluto en x=1 , ya que f(1)<f(x) ,
 x  dom f
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  • 1. Matemática Aplicada 2013 Ing. Silvana Edith Lazarte
  • 2. FUNCIONES Dados dos conjuntos: A y B Se llama FUNCIÓN de A en B a una correspondencia tal que a cada elemento de A le corresponde un único elemento del conjunto B xA yB variable independiente variable dependiente f A x xx B y=f(x) y=f(x) Cuando A y B son subconjuntos de los números reales se dice que las funciones son ESCALARES o NUMÉRICAS
  • 3. Identifiquemos las funciones: A B a) A B b) B A c) a) No es función porque a un elemento de A le pertenecen dos elementos del conjunto B b) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde un elemento de B c) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde el elemento de B
  • 4. Formas de expresar una función: Imagen de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
  • 5. Dominio de f: Dom f Conjunto de valores que toma la variable independiente Rango de f: Rgo f Conjunto de valores que toma la variable dependiente Ejemplos: A B f 1 2 3 4 m n p q g A s t u Dom f={ 1,2,3,4} Dom f={ s,t,u,} Rgo f={ m,n,p,q} Rgo f={ r} B r
  • 6. Fórmulas: Forma explícita: Cuando tiene la forma Forma implícita: Cuando tiene la forma y= f(x) F(x,y)=0 Ejemplo: y=2x Ejemplo: 3x+y-5=0 Notación de Conjuntos: Por numeración o extensión Se enumeran Todos los pares de valores relacionados por medio de la función. Ejemplo: f={(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)} Por Propiedad o Comprensión: Se indica con una fórmula la propiedad que cumplen los pares (x,y) Ejemplo: f={(x,y)/y=2x} Funciones dadas por tablas: Se utilizan cuando los datos son pocos porque las tablas pueden ser muy extensas y difíciles de manejar
  • 7. Formas Gráficas: Diagrama de Venn: Es posible utilizar esta forma de representación cuando los valores son pocos En un sistema de ejes cartesianos: En el eje horizontal van los valores posibles de la variable independiente y en el eje de las ordenadas va el valor de y=f(x).Obtenemos un punto en el plano Ejemplo: Ganancias de una empresa en función del precio del producto que comercializa Imágenes de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
  • 8. Intersección con los ejes coordenados Intersección con el eje de las ordenadas: Es el punto Q(0,y). Puede existir o no existir; es el valor de y que satisface la condición f(0) Intersección con el eje de las abscisas: Son los puntos de la forma P(x,0). Pueden no existir. A los valores de x que satisfacen esta condición se los denomina ceros de la función x=a es un cero de f si y solo si f(a)=0
  • 9. Ceros de una función
  • 10. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de una función  Una función se dice creciente en el intervalo (a,b) si se cumple que: x1<x2  f(x1)<f(x2) para todo x1, x2 a,b)  Una función se dice decreciente en el intervalo (a,b) si se cumple que: x1<x2  f(x1)>f(x2) para todo x1, x2 a,b)
  • 11. Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes La siguiente gráfica representa la tasa de crecimiento de una población determinada. Vemos que es una función creciente Gráfica realizada con Graphmática
  • 12. Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes La gráfica representa la demanda de un producto en función del precio. Esta función es decreciente en el intervalo (o,) Gráfica realizada con Graphmática
  • 13. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hasta el punto 0,83 la función es creciente y el mínimo valor es 3. Desde 0,83 en adelante la función es decreciente
  • 14. Máximos y Mínimos Absolutos Una función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si para todo x perteneciente al dominio, xa, entonces la imagen de x es menor que la de a. Simbólicamente: x  Domf , xa , f(x)<f(a) Una función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a si para todo x perteneciente al dominio, xa, la imagen de x es mayor que la de a. Simbólicamente: x  Domf , xa , f(x)>f(a)
  • 15. Ejercicios: Determinar máximos y mínimos absolutos
  • 16. Respuestas: a) La función de la gráfica no alcanza máximo ni mínimo absoluto ya que no existe un valor del dominio que cumpla la definición b) La función sólo alcanza mínimo absoluto en x=0, ya que f(0)<f(x), x  Domf c) Sólo posee máximo absoluto en x=2 , ya que f(x)<f(2) ,  x  Dom f d) Sólo posee mínimo absoluto en x=1 , ya que f(1)<f(x) ,  x  dom f