FUNCIONES REALES

1. INTEGRANTES:
VALOR JOSE MANUEL
CI.21362.644
SECCION:
VIRTUAL: VV
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
NUCLEO BARCELONA
INGENIERIA DE SITEMAS
PROFESOR:
PEDRO BELTRAN
12-06-16

2. En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es
una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro
conjunto de elementos Y (el dominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único elemento del
dominio f(x). Comúnmente, el término función se utiliza cuando el
dominio son valores numéricos, reales o complejos.
Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo
uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las
funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones
matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.
A.-FUNCION

3. B.-RELACION
En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce
como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre
de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre
ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

4. :
C.-CLASIFICACION DE LAS
FUNCIONES
•Función Inyectiva:
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto
(dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de .
Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor
tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que
tengan la misma imagen. Así, por ejemplo, la función de números
reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede
obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los
números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se
obtiene una función inyectiva.

5. Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función
inyectiva tienen cardinales que cumplen: Si además existe otra
aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una
aplicación biyectiva entre A y B.

6. •Función Biyectiva:
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo
inyectiva y sobreyectiva. Formalmente,para ser más claro se dice que
una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de
partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de
llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada
elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del
conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la
función sobreyectiva
Teorema
Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y
también es biyectiva. Ejemplo La función es biyectiva. Luego, su
inversa también lo es.

7. • Función Sobreyectiva:
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva,
suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el
codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas,
cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un
elemento de "X".

9. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
•Dominio:
El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que
puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta
variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción,
entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.
Como los valores de la función están dados para la variable
independiente (x), los valores que puede tomar la función son
aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su
resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:
Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué
valores de x la función produce como resultado un número Real. Se
observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la
expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número
negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de
los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el
dominio de la función está constituido por todos los números
mayores o iguales que cero

10. En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para
obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:
•No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa,
pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los
Reales.
•Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la
expresión queda indeterminada.
Rango:
El rango de una función, está determinado por todos los valores que
pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para
la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los
valores de salida de la función.

11. Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con
cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al
cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son
positivos. Con lo anterior se obtiene que elrango está conformado
por el cero y todos los números positivos.
Al graficar la función se obtiene:
Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos
poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está
dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que
lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo
explicado anteriormente el rango es

12. Función Inversa:
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple
que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al
exponente −1 usado para números reales. Unicamente se usa como
notación de la función inversa.
Propiedades
La inversa de un función cuando existe, es unica. La inversa de una
función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función
biyectiva siempre existe. las gráficas de f y f−1 son simétricas
respecto a la función identidad y = x.

13. Método para Hallar la Inversa de una Función:
Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes
pasos ayudan a obtener la inversa de la función f (x).
Procedimiento
1.Se sustituye f (x) por y es la función dada 2.Se intercambian x por y
para obtener x = f (y) 3. Se despeja la variable 4.En la solución se
escribe f−1 (x) en vez de y
Ejemplo:
Determna la inversa de la siguiente función. a) f(x)= 4x + 5
Sustituyendo f(x) por y y = 4 x + 5 Se intercambian x por y x = 4 y + 5
Despejando y x - 5 = 4y, x - 5/ 4 = y
f-1(x)= x - 5/ 4 Finalmente se obtiene la inversa de f(x)
Criterio de la Recta Horizontal
Graficamente se puede verificar si una función tiene inversa aplicando
el crietrio de la recta horizontal, f(x) tiene Inversa sí y solo sí toda
recta horizontal corta a la curva de f(x) en un solo punto.

14. OPERACIONES CON FUNCIONES:
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se
llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos
funciones reales de variable real f y g, como la función
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo
intervalo.

15. Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un
mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida
por
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un
mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida
por:
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la
función g no se anula.)
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la
función es la función definida por:

16. Ejemplos de suma de funciones
Dadas las funciones f y g , vamos a hallar (f + g):
Como Dom(f) = R y Dom(g) = R - {1} , tenemos que:
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R ∩ [R - {1}] = R -{1}

17.  Ejemplo de producto de funciones
Dadas las funciones f y g , vamos a hallar (f · g):
Como Dom(f) = [3 , ∞) y Dom(g) = R - {-2} , tenemos que:
Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [3 , ∞) ∩ R - {-2} = [3 , ∞)


18.  Ejemplo de cociente de funciones
Dadas las funciones f y g , vamos a hallar (f/g):
Observamos que g(x) = 0 sólamente si x = 5. Luego: {x / g(x) =
0} = {5}
Como Dom(f) = [2 , ∞) y Dom(g) = R - {-3} , tenemos que:
Dom(f / g) = [Dom(f) ∩ Dom(g)] - {x / g(x) = 0} = [ [2 , ∞) ∩ R - {-3} ] -
{5} = [2 , ∞) - {5}

19. En álgebra abstracta, una función compuesta es
una función formada por la composición o aplicación sucesiva de
otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la
función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se
le aplica finalmente la función restante.
Usando la notación matemática, la función
compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para
todo x perteneciente a X.
A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no
siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las
funciones a su argumento.
De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z,
donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la
función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘f)(x) = g (f(x)), para
todos los elementos de X.
COMPOSICION DE FUNCIONES:

20. También se puede representar de manera gráfica usando
la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:
Propiedades
La función compuesta cumple la propiedad asociativa:
h∘ (g∘ f)= (h∘ g)∘ f
2. La función compuesta no es conmutativa:
(g∘ f) ≠ (f∘ g)

21. 3. Tiene elemento neutro que es la función identidad
I(x)=x: (I∘ g)=(g∘ I)=g
4. La composición de una función con su inversa nos da la función
identidad, es decir, existe elemento simétrico, el cual es la función
inversa
5. Si realizamos la función inversa de una composición de
funciones obtenemos la composición de sus inversas
permutando el orden de la composición:
6. Si f es derivable en x y g es a su vez derivable en f(x),
entonteces existe la derivada de la función compuesta y se calcula
utilizando la conocida regla de la cadena:
(g∘ f)´(x)=g´(f(x))f´(x)