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Integrales indefinidas

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Integrales indefinidas

  1. 1. Integrales indefinidas. Teoremas 2º Bachillerato
  2. 2. Esquema
  3. 3. Primitiva de una función La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si G(x) = f(x) para todo x del intervalo I. x4Ejemplo: la función F(x) = 4 es una primitiva de f(x) ya que F (x) = x3. x4 También la función G(x) = + 2 es una primitiva de f . Ambas en 4 cualquier intervalo de la recta real.
  4. 4. Integral indefinidaSe llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx, y se lee «in-tegral de f(x)»Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) sonde la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede sercualquier número real.Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una cons- tante. Se expresa de la siguiente manera: ex dx = ex + C
  5. 5. Las primitivas se diferencian en una constante Integrando Derivando
  6. 6. Propiedades de la integral indefinida Propiedades de la derivada Propiedades de la integral indefinidaI (kf ) (x) = k f (x) con k R I k f(x) dx = k f(x) dx con k RLa derivada de una constante por una Las constantes pueden salir y entrar fuera delfunción es el producto de la constante signo de la integral indefinida.por la derivada de la función. II [ f(x) g(x)] dx = f(x) dxII (f g) (x) = f (x) g (x) g(x) dxLa derivada de una suma (resta) de dos La integral indefinida de una suma (resta) defunciones es la suma (resta) de las deri- dos funciones es la suma (resta) de las inte-vadas de cada una de ellas. grales indefinidas.
  7. 7. Integrales inmediatasIntegrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas. a xa+1 1.- x dx = a+1 + C, si a -1, a R 1 2.- dx = ln x + C x 3.- ex dx = ex + C ax 4.- ∫ax = ln a + C, si a>0, a 1 5.- sen x dx = – cos x + C 6.- cos x dx = sen x + C 1 7.- dx arcsen x C 1 x2 1 8.- 1 x 2 dx arctg x C
  8. 8. Integrales inmediatas para funciones compuestas r xr+1 x dx = r + 1 + C, para cualquier constante r – 1 r+1Tipo general f (x) [f(x)]r dx = [f(x)] + C para r -1 r+1Ejemplo: 1 4 cos 2x sen3 2x dx = 2 cos 2x sen3 2x dx = 1 sen 2x = 1 sen4 2x +C 2 2 4 8
  9. 9. Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 x dx = ln | x | + C f (x)Tipo general dx = ln |f(x)| + C f (x)Ejemplo: –1 – 3 sen 3x 1 tg 3x dx = 3 dx = – ln |cos 3x | + C cos 3x 3
  10. 10. Integrales inmediatas para funciones compuestas ax ax dx = + C, para cualquier a > 0 ln a Para a = e se obtiene ex dx = ex + C af(x)Tipo general f (x) af(x) dx = + C, para a > 0 ln aEjemplo: 2 x3 1 2 x31 x3 x e dx = 3 3x e dx = e + C 3
  11. 11. Integrales inmediatas para funciones compuestas sen x dx = – cos x + CTipo general f (x) sen f(x) dx = – cos f(x) + CEjemplo: e3x sen (e3x + 5) dx = 1 3 e3x sen (e3x + 5) dx = – 1 cos (e3x + 5) + C 3 3
  12. 12. Integrales inmediatas para funciones compuestas cos x dx = sen x + CTipo general f (x) cos f(x) dx = sen f(x) + CEjemplo: 1 1 e7x cos (e7x + 5) dx = 7 e7x cos (e7x + 5) dx = sen (e7x + 5) + C 7 7
  13. 13. Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 dx arcsen( x) C 2 1 xTipo g (x) dx = arcsen g(x) + Cgeneral 1 - [g(x)]2Ejemplo: e3x e3x 1 3e3x 1 3x dx = dx = 3x 2 dx = 3 arcsen e + C 1 – e6x 1 – (e3x)2 3 1 – (e )
  14. 14. Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 1 + x2 dx = arctg x + CTipo f ( x) 2 dx arctg( x) Cgeneral 1 f ( x)Ejemplo: 1 1 1 2 1 2 dx = dx = dx = arctg 2x C 1 + 2x 1 + ( 2x)2 2 1 + ( 2x)2 2
  15. 15. Integración por partesSi f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene: f(x)g(x) dx = f(x)g(x) – g(x)f (x) dxEs muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtieneponiendo: u = f(x), dv = g (x)dx, v = g(x) y du = f (x) dx: u dv = uv – v du Consejos 1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g. 2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para g , llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda que ∫ f g .
  16. 16. Integración por partes: Ejemplos 2 x x2 ex dx = x e – e 2x dx = x e – 2 2 x x x ex dx = u dv u dv u = x2 du = 2x dx u=x du = dx dv = ex . dx v = ex dv = ex . dx v = ex = x2 ex – 2[xex – ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C sen(ln x) . dx = x . sen (ln x) – cos (ln x) . dx = u dv u dvu = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dxdv = dx v = x dv = dx v = x = x . sen(ln x) – x cos(ln x) – sen(ln x) . dx . Despejando la integral buscada queda: 1 sen(ln x) . dx = x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C 2
  17. 17. Integración por sustitución o cambio de variable Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene: (F o g)(x) = F [g(x)] g(x) = f[g(x)] g(x) Que con la notación de integrales se escribe: f[g(x)]g(x) dx = F[g(x)] + CSi se escribe u = g(x), entonces du = g (x) dx. Con esta sustitución se tiene f(u) du = F(u) + C
  18. 18. Integración por sustitución: Ejemplos IPara calcular una integral por cambio de variable:• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata.• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante. du = g(x) dx• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final. 1 1 1 x ln x dx = u. eu . du = du = ln | u | + C = ln | ln x | + C e u u deshacer el cambio Cambio ln x = u dx / x = du dx = x. du = et du x = eu
  19. 19. Integración por sustitución: Ejemplos II3 4 1 3 4 1 1 u1/2 1 4x x + 2 dx = 4 4x x + 2 dx =4 u du = + C = 4 (x + 2)3 + C 41 +1 2 Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du deshacer el cambio 3 . 1 1 t4 1 sen 2x cos 2x dx = 3. t dt = +C = sen4 2x + C 2 2 4 8 Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt deshacer el cambio
  20. 20. Integración de funciones racionales P(x) Pretendemos obtener dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que Q(x) grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2. Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x) P(x) Q(x) P(x) R(x) R(x) C(x) P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) = C(x) + Q(x) Q(x) con grad[R(x)] < grad[Q(x)] En donde la primera P(x) R(x) integral es inmediata y la Por tanto: dx = C(x) .dx + dx Q(x) Q(x) segunda corresponde al Caso 2Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.
  21. 21. Descomposición en fracciones simples I P(x) Pretendemos obtener Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = nPaso 1. Factorización del polinomio Q(x)• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0.• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene: • Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1). • Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2). • Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que son necesariamente conjugadas). • El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera: Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c) tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado. P(x) 1 P(x) dx = dx = Q(x) ao (x – x1) (x – x2)2 . (x2 + bx + c) .
  22. 22. Descomposición en fracciones simples IIPaso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples P(x) A B C Mx + N = + (x – x )2 + x – x + x2 + bx + c (x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c) x – x1 2 2Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados Proceso de cálculo: • Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica. • Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más). • Resolver el sistema.
  23. 23. Descomposición en fracciones simples: ejemplo x2 + x + 1 Descomponer en fracciones simples: 5 4 x –x –x+1 Paso 1. Factorización del polinomio denominador Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1) Paso 2. Descomponer en fracciones simples x2 + x + 1 A B C Mx + N = + + + 2 x5 – x4 – x + 1 x + 1 (x – 1)2 x–1 x +1 Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2x=1 B=3/4x=–1 A=1/8x=0 – C + N = 1/8 Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4x=2 5C+2M+N = –13/8x=–2 5C+6M–3N = 3/8
  24. 24. Integrales racionales con denominador de grado 2 Mx + N Sea D el discriminante del Estudio de la integral dx denominador: D = b2 – 4ac ax2 + bx + cSi la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá serresuelta como inmediata tipo neperiano.En caso contrario: • Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples. • Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente. Pasos para su obtención:M 0 Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador. Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente.M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente). Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios. Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente
  25. 25. Integración de funciones trigonométricas: fórmulas Fórmulas trigonométricas fundamentales Fórmula fundamental de la sen2px + cos2px = 1 trigonometría. sen 2px = 2 sen px . cos px Seno y coseno del ángulo cos 2px = cos2px – sen2px doble. 1 + cos 2px cos2px = 2 Fórmulas de reducción de 1 – cos 2px grado. sen2px = 2 1 1 sen a . cos b = sen (a + b) + sen (a – b) 2 2 Fórmulas de conversión de 1 1 cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a – b) productos de senos y 2 2 cosenos en suma. 1 1 sen a . sen b = – cos (a + b) + cos (a – b) 2 2 sen (– px) = – sen px Seno y coseno del ángulo cos (– px) = cos px opuesto. 1 + tg2 px = sec2 px; 1 + ctg2 px = csc2 px
  26. 26. Integración de funciones trigonométricas: métodosForma Condiciones Método Reducir el grado del integrando por medio de n par las fórmulas de reducción de grado (3), según n(I) sen px dx convenga. cosn px dx Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la rela- n impar ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial. m y n pares Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3. De la potencia de exponente impar se saca un(II) senn px . cosn px dx factor, sustituyendo en el resto de la potencia la m ó n impares relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie- nen integrales inmediatas tipo potencial.Caso particular  Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener: 1 senn px . cosn px dx = 2n senn 2px dx que es del tipo (I).
  27. 27. Integración de funciones trigonométricas: métodos IIForma Condiciones Método(III) sen px.cos qx.dx p y q números Convertir los productos en sumas mediante la sen px.sen qx.dx reales cuales- relaciones 4 según convenga. quiera cos px.cos qx..dx
  28. 28. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos ITipo I. Exponente impar sen5 3x.dx = (sen23x)2 sen 3x.dx = (1–cos23x)2 sen 3x.dx = = sen3x.dx + cos43x sen 3x.dx –2 cos23x sen 3x.dx = 1 2 1 =– cos 3x + cos3 3x – cos5 3x+C 3 9 15Tipo I. Exponente par 2x 2 4x 2 1 – cos 3 sen 3 dx = 2x 1 2x 2x sen 3 dx = dx = 1 + cos2 – 2 cos dx = 2 4 3 3 1 1 2x 1 2x =4 1.dx + 4 cos2 3 dx – 2 4 cos 3 dx = 4x 1 + cos 1 1 3 3 2x 3x 3 2x 3 4x = x + dx – sen = – sen + sen + C 4 4 2 4 3 8 4 3 32 3
  29. 29. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos IITipo II. Al menos un exponente imparcos4 5x.sen3 5xdx = cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx = cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx = = cos45x.sen 5x.dx – cos65x.sen 5x.dx = –1 1 = cos5 5x + cos7 5x + C 25 35 ( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)Tipo II. Todos los exponentes pares ( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x) 4 2 2 2 2 1 – cos 6x 2 1 + cos 6x sen 3x .cos 3x.dx = (sen 3x) .cos 3x.dx = dx = 2 2 1 = (1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx = 8 1 2 1 2 sen2 6x = sen 6x dx – sen 6x .cos 6x.dx = 8 8 1 1 – cos 12x 1 sen36x = dx – = 8 2 48 3 x 1 3 1 = – sen 6x – sen 12x + C 16 144 192
  30. 30. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos IIITipo III: Producto de funciones con distinto argumento Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas en productos sen 3x.cos 5x.dx = 1 sen 8x .dx + 1 sen( – 2x) .dx = 2 2 1 1 1 1 =– cos 8x + cos( – 2x) + C = – cos 8x + cos 2x + C = 16 4 16 4
  31. 31. Cálculo de áreas• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b.Área (Trapecio rectilíneo) = Área (Trapecio curvilíneo) f(a) + f(b) . f(a) + f(b) . Error = (b – a) (b – a)

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