1. Integrales indefinidas. Teoremas
2º Bachillerato

2. Esquema

3. Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I
si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
x4
Ejemplo: la función F(x) = 4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.
x4
También la función G(x) = + 2 es una primitiva de f . Ambas en
4
cualquier intervalo de la recta real.

4. Integral indefinida
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-
das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx, y se lee «in-
tegral de f(x)»
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son
de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser
cualquier número real.
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una cons-
tante. Se expresa de la siguiente manera: ex dx = ex + C

5. Las primitivas se diferencian en una constante
Integrando Derivando

6. Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada Propiedades de la integral indefinida
I (kf )' (x) = k f '(x) con k R I k f(x) dx = k f(x) dx con k R
La derivada de una constante por una Las constantes pueden salir y entrar fuera del
función es el producto de la constante signo de la integral indefinida.
por la derivada de la función.
II [ f(x) g(x)] dx = f(x) dx
II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) g(x) dx
La derivada de una suma (resta) de dos La integral indefinida de una suma (resta) de
funciones es la suma (resta) de las deri- dos funciones es la suma (resta) de las inte-
vadas de cada una de ellas. grales indefinidas.

7. Integrales inmediatas
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona
primitivas e integrales indefinidas.
a xa+1
1.- x dx = a+1 + C, si a -1, a R
1
2.- dx = ln x + C
x
3.- ex dx = ex + C
ax
4.- ∫ax = ln a + C, si a>0, a 1
5.- sen x dx = – cos x + C
6.- cos x dx = sen x + C
1
7.- dx arcsen x C
1 x2
1
8.- 1 x 2 dx arctg x C

8. Integrales inmediatas para funciones compuestas
r xr+1
x dx = r + 1 + C, para cualquier constante r – 1
r+1
Tipo general f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)] + C para r -1
r+1
Ejemplo:
1 4
cos 2x sen3 2x dx = 2 cos 2x sen3 2x dx = 1 sen 2x = 1 sen4 2x +C
2 2 4 8

9. Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
x dx = ln | x | + C
f '(x)
Tipo general dx = ln |f(x)| + C
f (x)
Ejemplo:
–1 – 3 sen 3x 1
tg 3x dx = 3 dx = – ln |cos 3x | + C
cos 3x 3

10. Integrales inmediatas para funciones compuestas
ax
ax dx = + C, para cualquier a > 0
ln a
Para a = e se obtiene ex dx = ex + C
af(x)
Tipo general f '(x) af(x) dx = + C, para a > 0
ln a
Ejemplo:
2 x3 1 2 x31 x3
x e dx = 3 3x e dx = e + C
3

11. Integrales inmediatas para funciones compuestas
sen x dx = – cos x + C
Tipo general f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
Ejemplo:
e3x sen (e3x + 5) dx = 1 3 e3x sen (e3x + 5) dx = –
1
cos (e3x + 5) + C
3 3

12. Integrales inmediatas para funciones compuestas
cos x dx = sen x + C
Tipo general f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
Ejemplo:
1 1
e7x cos (e7x + 5) dx = 7 e7x cos (e7x + 5) dx = sen (e7x + 5) + C
7 7

13. Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
dx arcsen( x) C
2
1 x
Tipo g '(x)
dx = arcsen g(x) + C
general 1 - [g(x)]2
Ejemplo:
e3x e3x 1 3e3x 1 3x
dx = dx = 3x 2 dx = 3 arcsen e + C
1 – e6x 1 – (e3x)2 3 1 – (e )

14. Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
1 + x2 dx = arctg x + C
Tipo f ( x)
2
dx arctg( x) C
general 1 f ( x)
Ejemplo:
1 1 1 2 1
2 dx = dx = dx = arctg 2x C
1 + 2x 1 + ( 2x)2 2 1 + ( 2x)2
2

15. Integración por partes
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:
f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – g(x)f '(x) dx
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene
poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:
u dv = uv – v du
Consejos 1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para
g , llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda
que ∫ f g .

16. Integración por partes: Ejemplos
2 x
x2 ex dx = x e – e 2x dx = x e – 2
2 x x
x ex dx =
u dv u dv
u = x2 du = 2x dx u=x du = dx
dv = ex . dx v = ex dv = ex . dx v = ex
= x2 ex – 2[xex – ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C
sen(ln x) . dx = x . sen (ln x) – cos (ln x) . dx =
u dv u dv
u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x dv = dx v = x
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) – sen(ln x) . dx . Despejando la integral buscada queda:
1
sen(ln x) . dx = x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
2

17. Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:
(F o g)'(x) = F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)
Que con la notación de integrales se escribe:
f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C
Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx. Con esta sustitución se tiene
f(u) du = F(u) + C

18. Integración por sustitución: Ejemplos I
Para calcular una integral por cambio de variable:
• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial
mediante.
du = g'(x) dx
• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
1 1 1
x ln x
dx = u. eu . du = du = ln | u | + C = ln | ln x | + C
e u u
deshacer el cambio
Cambio ln x = u dx / x = du dx = x. du = et du
x = eu

19. Integración por sustitución: Ejemplos II
3 4 1 3 4 1 1 u1/2 1 4
x x + 2 dx =
4
4x x + 2 dx =4 u du = + C = 4 (x + 2)3 + C
41
+1
2
Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du
deshacer el cambio
3 . 1 1 t4 1
sen 2x cos 2x dx = 3.
t dt = +C = sen4 2x + C
2 2 4 8
Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt
deshacer el cambio

20. Integración de funciones racionales
P(x)
Pretendemos obtener dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
Q(x)
grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n
Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.
Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)
P(x) Q(x)
P(x) R(x)
R(x) C(x) P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) = C(x) +
Q(x) Q(x)
con grad[R(x)] < grad[Q(x)]
En donde la primera
P(x) R(x) integral es inmediata y la
Por tanto: dx = C(x) .dx + dx
Q(x) Q(x) segunda corresponde al
Caso 2
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.

21. Descomposición en fracciones simples I
P(x)
Pretendemos obtener Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)
• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la
ecuación Q(x) = 0.
• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene:
• Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1).
• Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2).
• Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que
son necesariamente conjugadas).
• El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.
Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho
polinomio se factoriza de la siguiente manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.
P(x) 1 P(x)
dx = dx =
Q(x) ao (x – x1) (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
.

22. Descomposición en fracciones simples II
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples
P(x) A B C Mx + N
= + (x – x )2 + x – x + x2 + bx + c
(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c) x – x1 2 2
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Proceso de cálculo:
• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una
identidad polinómica.
• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes
indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).
• Resolver el sistema.

23. Descomposición en fracciones simples: ejemplo
x2 + x + 1
Descomponer en fracciones simples: 5 4
x –x –x+1
Paso 1. Factorización del polinomio denominador
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Paso 2. Descomponer en fracciones simples
x2 + x + 1 A B C Mx + N
= + + + 2
x5 – x4 – x + 1 x + 1 (x – 1)2 x–1 x +1
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2
x=1 B=3/4
x=–1 A=1/8
x=0 – C + N = 1/8 Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
x=2 5C+2M+N = –13/8
x=–2 5C+6M–3N = 3/8

24. Integrales racionales con denominador de grado 2
Mx + N Sea D el discriminante del
Estudio de la integral dx denominador: D = b2 – 4ac
ax2 + bx + c
Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser
resuelta como inmediata tipo neperiano.
En caso contrario:
• Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples.
• Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente.
Pasos para su obtención:
M 0
Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador.
Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras
dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente.
M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado
(cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan
los números fraccionarios.
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado
(sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e
integramos como inmediata tipo arco tangente

25. Integración de funciones trigonométricas: fórmulas
Fórmulas trigonométricas fundamentales
Fórmula fundamental de la
sen2px + cos2px = 1
trigonometría.
sen 2px = 2 sen px . cos px Seno y coseno del ángulo
cos 2px = cos2px – sen2px doble.
1 + cos 2px
cos2px =
2 Fórmulas de reducción de
1 – cos 2px grado.
sen2px =
2
1 1
sen a . cos b = sen (a + b) + sen (a – b)
2 2
Fórmulas de conversión de
1 1
cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a – b) productos de senos y
2 2
cosenos en suma.
1 1
sen a . sen b = – cos (a + b) + cos (a – b)
2 2
sen (– px) = – sen px Seno y coseno del ángulo
cos (– px) = cos px opuesto.
1 + tg2 px = sec2 px;
1 + ctg2 px = csc2 px

26. Integración de funciones trigonométricas: métodos
Forma Condiciones Método
Reducir el grado del integrando por medio de
n par las fórmulas de reducción de grado (3), según
n
(I) sen px dx convenga.
cosn px dx Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia
sustituyendo en el resto de la potencia la rela-
n impar
ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen
integrales inmediatas tipo potencial.
m y n pares Reducir el grado del integrando aplicando las
fórmulas 3.
De la potencia de exponente impar se saca un
(II) senn px . cosn px dx
factor, sustituyendo en el resto de la potencia la
m ó n impares relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-
nen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular  Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:
1
senn px . cosn px dx = 2n senn 2px dx
que es del tipo (I).

27. Integración de funciones trigonométricas: métodos II
Forma Condiciones Método
(III)
sen px.cos qx.dx
p y q números
Convertir los productos en sumas mediante la
sen px.sen qx.dx reales cuales-
relaciones 4 según convenga.
quiera
cos px.cos qx..dx

28. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I
Tipo I. Exponente impar
sen5 3x.dx = (sen23x)2 sen 3x.dx = (1–cos23x)2 sen 3x.dx =
= sen3x.dx + cos43x sen 3x.dx –2 cos23x sen 3x.dx =
1 2 1
=– cos 3x + cos3 3x – cos5 3x+C
3 9 15
Tipo I. Exponente par
2x 2
4x 2 1 – cos 3
sen 3 dx = 2x 1 2x 2x
sen 3 dx = dx = 1 + cos2 – 2 cos dx =
2 4 3 3
1 1 2x 1 2x
=4 1.dx + 4 cos2 3 dx – 2 4 cos 3 dx =
4x
1 + cos
1 1 3 3 2x 3x 3 2x 3 4x
= x + dx – sen = – sen + sen + C
4 4 2 4 3 8 4 3 32 3

29. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II
Tipo II. Al menos un exponente impar
cos4 5x.sen3 5xdx = cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx = cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =
= cos45x.sen 5x.dx – cos65x.sen 5x.dx =
–1 1
= cos5 5x + cos7 5x + C
25 35
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
Tipo II. Todos los exponentes pares
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)
4 2 2 2 2 1 – cos 6x 2 1 + cos 6x
sen 3x .cos 3x.dx = (sen 3x) .cos 3x.dx = dx =
2 2
1
= (1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx =
8
1 2 1 2 sen2 6x
= sen 6x dx – sen 6x .cos 6x.dx =
8 8
1 1 – cos 12x 1 sen36x
= dx – =
8 2 48 3
x 1 3 1
= – sen 6x – sen 12x + C
16 144 192

30. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas
en productos
sen 3x.cos 5x.dx = 1 sen 8x .dx + 1 sen( – 2x) .dx =
2 2
1 1 1 1
=– cos 8x + cos( – 2x) + C = – cos 8x + cos 2x + C
=
16 4 16 4

31. Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abcisas x = a, x = b.
Área (Trapecio rectilíneo) = Área (Trapecio curvilíneo)
f(a) + f(b) . f(a) + f(b) . Error
= (b – a) (b – a)