Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo continuidad, derivadas parciales, diferencial total, derivación de funciones compuestas, gradiente, derivada direccional y derivadas de orden superior. Se definen términos como campo de existencia, líneas y superficies de nivel. Se explican fórmulas para calcular derivadas parciales, diferencial total, derivadas de funciones compuestas y derivadas direccionales. Finalmente, se presentan ejemplos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivabilidad de funciones de una variable, incluyendo la definición de derivada, interpretaciones geométricas, propiedades como la regla de la cadena y teoremas como el de Rolle y el valor medio. También introduce conceptos como la diferencial, derivadas parciales y la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre diferenciales de funciones de dos variables. Explica que una función Z=f(x,y) es diferenciable si su incremento Δz puede escribirse como Δz=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2Δy, donde ε1, ε2→0 cuando Δx,Δy→0. También introduce el diferencial total dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy y los diferenciales sucesivos d2z.
1. El documento presenta conceptos sobre funciones de varias variables reales como dominio, recorrido, gráficas, curvas de nivel, trazas, límites y continuidad.
2. Se definen funciones polinómicas y racionales de dos variables y se explican métodos para estudiar gráficas como trazas y curvas de nivel.
3. El concepto de límite se extiende a funciones de dos variables y se introducen límites direccionales y reiterados para estudiarlos. También se presenta el criterio de la función mayorante
Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Explica conceptos como funciones de dos y tres variables, gráficas y curvas de nivel de funciones de varias variables, límites, continuidad y derivadas parciales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y habilidades para aplicarlos al cálculo de funciones de varias variables.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
Este documento introduce conceptos básicos de estructuras algebraicas como operaciones binarias, semigrupos, monoides y propiedades como asociatividad y conmutatividad. Define adición y multiplicación como operaciones binarias en conjuntos numéricos y funciones. Explica que la composición de funciones es asociativa pero no conmutativa, y provee ejemplos de semigrupos y monoides conmutativos y no conmutativos.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Este documento presenta un resumen de los conceptos de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Explica criterios como el de la segunda derivada y la matriz hessiana para determinar extremos locales de funciones. También cubre temas de máximos y mínimos sujetos a restricciones usando los métodos de multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivabilidad de funciones de una variable, incluyendo la definición de derivada, interpretaciones geométricas, propiedades como la regla de la cadena y teoremas como el de Rolle y el valor medio. También introduce conceptos como la diferencial, derivadas parciales y la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre diferenciales de funciones de dos variables. Explica que una función Z=f(x,y) es diferenciable si su incremento Δz puede escribirse como Δz=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2Δy, donde ε1, ε2→0 cuando Δx,Δy→0. También introduce el diferencial total dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy y los diferenciales sucesivos d2z.
1. El documento presenta conceptos sobre funciones de varias variables reales como dominio, recorrido, gráficas, curvas de nivel, trazas, límites y continuidad.
2. Se definen funciones polinómicas y racionales de dos variables y se explican métodos para estudiar gráficas como trazas y curvas de nivel.
3. El concepto de límite se extiende a funciones de dos variables y se introducen límites direccionales y reiterados para estudiarlos. También se presenta el criterio de la función mayorante
Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Explica conceptos como funciones de dos y tres variables, gráficas y curvas de nivel de funciones de varias variables, límites, continuidad y derivadas parciales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y habilidades para aplicarlos al cálculo de funciones de varias variables.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
Este documento introduce conceptos básicos de estructuras algebraicas como operaciones binarias, semigrupos, monoides y propiedades como asociatividad y conmutatividad. Define adición y multiplicación como operaciones binarias en conjuntos numéricos y funciones. Explica que la composición de funciones es asociativa pero no conmutativa, y provee ejemplos de semigrupos y monoides conmutativos y no conmutativos.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Este documento presenta un resumen de los conceptos de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Explica criterios como el de la segunda derivada y la matriz hessiana para determinar extremos locales de funciones. También cubre temas de máximos y mínimos sujetos a restricciones usando los métodos de multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker.
Este documento define conceptos fundamentales sobre subsemigrupos y submonoides. En particular, define lo que es un subsemigrupo y un submonoide dentro de un semigrupo o monoide más grande, respectivamente. También introduce homomorfismos de semigrupos y algunas de sus propiedades clave como que la imagen de un subsemigrupo es un subsemigrupo y la imagen inversa de un subsemigrupo es un subsemigrupo.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
Funciones en varias variables, una introduccioneecoronado
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones en varias variables como:
1) Define el espacio vectorial Rn y sus propiedades como suma y producto escalar de vectores.
2) Explica conceptos geométricos como distancia, ortogonalidad y representaciones gráficas en Rn.
3) Presenta definiciones topológicas como rectas, hiperplanos, vecindades y conjuntos convexos.
4) Introduce los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad de funciones f: D⊆Rn→R.
1) El documento introduce el concepto de derivada de una función y su interpretación geométrica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto. 2) Se presentan teoremas sobre derivadas y métodos para derivar funciones algebraicas, trigonométricas y logarítmicas. 3) El objetivo es que los estudiantes aprendan a determinar la derivada de diferentes funciones.
Este módulo tiene 5 objetivos específicos relacionados con determinar límites de funciones como: 1) probar que el límite de una función es infinito, 2) demostrar que el límite de una constante es igual a la constante, 3) determinar el límite de una suma de funciones, 4) determinar el límite de un producto de funciones, y 5) determinar el límite de un cociente de funciones.
1. El documento introduce conceptos de cálculo como derivadas parciales segundas y polinomios de Taylor para funciones de varias variables. 2. Se definen las derivadas parciales segundas como las derivadas de las derivadas parciales primeras, y se establece la igualdad de las derivadas parciales cruzadas mediante el lema de Schwarz. 3. Los polinomios de Taylor permiten aproximar funciones mediante polinomios de grado cada vez mayor en puntos cercanos, empezando por el plano tangente de primer grado y el
La regla de la cadena es uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial. Permite derivar funciones compuestas al expresar la derivada de una función compuesta en términos de las derivadas de las funciones internas. Se demuestra que si f es la función compuesta de u y v, su derivada f' es igual al producto de la derivada de u evaluada en v(x) por la derivada de v. El teorema amplía considerablemente el número de funciones que se pueden derivar. Se ilustra con un ejemplo de derivar la función F(x)=sen2
1) El documento presenta conceptos básicos sobre derivadas, incluyendo definiciones formales e intuitivas de continuidad, tipos de discontinuidad, cálculo de derivadas, reglas para derivar funciones compuestas y derivadas de orden superior. 2) También explica conceptos como convexidad, puntos críticos, rectas tangente y normal, y puntos de inflexión. 3) Finalmente, proporciona enlaces a recursos adicionales sobre cálculo diferencial.
Este documento presenta un capítulo sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como funciones vectoriales, escalares y curvas. Explica cómo graficar funciones de dos variables y define el dominio de una función escalar. Proporciona ejemplos de funciones de dos variables y cómo determinar su dominio natural analizando la regla de correspondencia y la forma de su gráfico. El objetivo es conceptualizar estas funciones, describir conjuntos de niveles, establecer límites, continuidad y derivadas.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
El documento describe los esquemas geométricos. Explica que un esquema está conformado por un conjunto de puntos, una topología y una gavilla estructural de funciones algebraicas. Da como ejemplos los números enteros Z, que pueden verse como el esquema formado por números primos y cero, y la línea afín compleja C[x,y], cuyos puntos incluyen ideales generados por polinomios irreducibles.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones, incluyendo: 1) La definición de función y su dominio de definición; 2) Cómo calcular valores de funciones y construir tablas de valores; 3) El sentido de variación y signo de funciones; 4) La representación gráfica de funciones afines. Explica cómo analizar funciones mediante el estudio de sus expresiones algebraicas, tablas de valores y gráficas.
El documento explica las reglas de la cadena para funciones de varias variables. Presenta varios casos de la regla de la cadena, incluyendo funciones de dos y más variables donde las variables dependen de otras variables. También cubre conceptos como la derivada segunda, la ecuación de Laplace y la derivación implícita.
Este documento presenta una prueba objetiva y de ensayo sobre conceptos de cálculo diferencial e integral. La prueba objetiva contiene 30 afirmaciones sobre derivadas, funciones, máximos y mínimos, concavidad, entre otros temas. La prueba de ensayo presenta 10 preguntas abiertas sobre estos mismos conceptos para que el estudiante los explique y aplique al resolver problemas matemáticos.
Regla de la cadena para la anti-derivada.Rosa Puga
Este documento explica diferentes métodos para calcular antiderivadas o integrales indefinidas de funciones, incluyendo la regla de la cadena para la antiderivación. La regla de la cadena establece que si f es diferenciable en x y g es diferenciable en f(x), entonces la composición de funciones g(f(x)) es diferenciable y su derivada es g'(f(x)) * f'(x). También se explica la integración por partes, que corresponde a la regla del producto para la derivación.
Este documento introduce conceptos sobre el cálculo de integrales de funciones de varias variables. Explica cómo calcular integrales dobles y triples, las cuales son útiles para calcular áreas, volúmenes, cargas eléctricas y flujos de campos vectoriales. También cubre temas como derivadas parciales, derivación implícita, y el uso de multiplicadores de Lagrange para problemas de optimización con restricciones.
Este documento describe las funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva. 1) Una función es inyectiva si cada elemento del dominio se mapea a un elemento único en el codominio. 2) Una función es suprayectiva si cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. 3) Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva, estableciendo una correspondencia única entre los elementos del dominio y codominio.
El documento introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de varias variables. Explica que las derivadas parciales representan la tasa de variación de la función con respecto a cada variable cuando las demás se mantienen constantes. Además, define formalmente las derivadas parciales como límites y muestra que pueden calcularse aplicando las reglas de derivación ordinaria suponiendo constante la otra variable. Finalmente, interpreta geométricamente las derivadas parciales como las pendientes de las secciones transversales de la superficie gráfica de la
1. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva gráfica de dicha función en un punto.
2. La primera derivada proporciona información sobre el crecimiento/decrecimiento de la función y la existencia de máximos y mínimos.
3. La segunda derivada indica si una función es cóncava o convexa, y permite identificar puntos de inflexión.
1. El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a un punto o se vuelve extremadamente grande.
2. El límite de una función f(x) cuando x tiende a un número c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x lo suficiente a c.
3. Un límite puede no estar definido en el punto c al que x se acerca.
El documento explica los conceptos de gradiente y derivada direccional. Define el gradiente como el conjunto ordenado de las derivadas parciales de una función en un punto, informando de cómo varía la función al variar cada variable independiente. El gradiente generaliza la noción de derivada a funciones de más de una variable y es útil en física e ingeniería al igual que la derivada direccional.
El documento explica los conceptos de gradiente y derivada direccional. Define el gradiente como el conjunto ordenado de las derivadas parciales de una función en un punto, informando de cómo varía la función al variar cada variable independiente. Explica que el gradiente generaliza la noción de derivada a funciones de más de una variable.
Este documento define conceptos fundamentales sobre subsemigrupos y submonoides. En particular, define lo que es un subsemigrupo y un submonoide dentro de un semigrupo o monoide más grande, respectivamente. También introduce homomorfismos de semigrupos y algunas de sus propiedades clave como que la imagen de un subsemigrupo es un subsemigrupo y la imagen inversa de un subsemigrupo es un subsemigrupo.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
Funciones en varias variables, una introduccioneecoronado
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones en varias variables como:
1) Define el espacio vectorial Rn y sus propiedades como suma y producto escalar de vectores.
2) Explica conceptos geométricos como distancia, ortogonalidad y representaciones gráficas en Rn.
3) Presenta definiciones topológicas como rectas, hiperplanos, vecindades y conjuntos convexos.
4) Introduce los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad de funciones f: D⊆Rn→R.
1) El documento introduce el concepto de derivada de una función y su interpretación geométrica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto. 2) Se presentan teoremas sobre derivadas y métodos para derivar funciones algebraicas, trigonométricas y logarítmicas. 3) El objetivo es que los estudiantes aprendan a determinar la derivada de diferentes funciones.
Este módulo tiene 5 objetivos específicos relacionados con determinar límites de funciones como: 1) probar que el límite de una función es infinito, 2) demostrar que el límite de una constante es igual a la constante, 3) determinar el límite de una suma de funciones, 4) determinar el límite de un producto de funciones, y 5) determinar el límite de un cociente de funciones.
1. El documento introduce conceptos de cálculo como derivadas parciales segundas y polinomios de Taylor para funciones de varias variables. 2. Se definen las derivadas parciales segundas como las derivadas de las derivadas parciales primeras, y se establece la igualdad de las derivadas parciales cruzadas mediante el lema de Schwarz. 3. Los polinomios de Taylor permiten aproximar funciones mediante polinomios de grado cada vez mayor en puntos cercanos, empezando por el plano tangente de primer grado y el
La regla de la cadena es uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial. Permite derivar funciones compuestas al expresar la derivada de una función compuesta en términos de las derivadas de las funciones internas. Se demuestra que si f es la función compuesta de u y v, su derivada f' es igual al producto de la derivada de u evaluada en v(x) por la derivada de v. El teorema amplía considerablemente el número de funciones que se pueden derivar. Se ilustra con un ejemplo de derivar la función F(x)=sen2
1) El documento presenta conceptos básicos sobre derivadas, incluyendo definiciones formales e intuitivas de continuidad, tipos de discontinuidad, cálculo de derivadas, reglas para derivar funciones compuestas y derivadas de orden superior. 2) También explica conceptos como convexidad, puntos críticos, rectas tangente y normal, y puntos de inflexión. 3) Finalmente, proporciona enlaces a recursos adicionales sobre cálculo diferencial.
Este documento presenta un capítulo sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como funciones vectoriales, escalares y curvas. Explica cómo graficar funciones de dos variables y define el dominio de una función escalar. Proporciona ejemplos de funciones de dos variables y cómo determinar su dominio natural analizando la regla de correspondencia y la forma de su gráfico. El objetivo es conceptualizar estas funciones, describir conjuntos de niveles, establecer límites, continuidad y derivadas.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
El documento describe los esquemas geométricos. Explica que un esquema está conformado por un conjunto de puntos, una topología y una gavilla estructural de funciones algebraicas. Da como ejemplos los números enteros Z, que pueden verse como el esquema formado por números primos y cero, y la línea afín compleja C[x,y], cuyos puntos incluyen ideales generados por polinomios irreducibles.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones, incluyendo: 1) La definición de función y su dominio de definición; 2) Cómo calcular valores de funciones y construir tablas de valores; 3) El sentido de variación y signo de funciones; 4) La representación gráfica de funciones afines. Explica cómo analizar funciones mediante el estudio de sus expresiones algebraicas, tablas de valores y gráficas.
El documento explica las reglas de la cadena para funciones de varias variables. Presenta varios casos de la regla de la cadena, incluyendo funciones de dos y más variables donde las variables dependen de otras variables. También cubre conceptos como la derivada segunda, la ecuación de Laplace y la derivación implícita.
Este documento presenta una prueba objetiva y de ensayo sobre conceptos de cálculo diferencial e integral. La prueba objetiva contiene 30 afirmaciones sobre derivadas, funciones, máximos y mínimos, concavidad, entre otros temas. La prueba de ensayo presenta 10 preguntas abiertas sobre estos mismos conceptos para que el estudiante los explique y aplique al resolver problemas matemáticos.
Regla de la cadena para la anti-derivada.Rosa Puga
Este documento explica diferentes métodos para calcular antiderivadas o integrales indefinidas de funciones, incluyendo la regla de la cadena para la antiderivación. La regla de la cadena establece que si f es diferenciable en x y g es diferenciable en f(x), entonces la composición de funciones g(f(x)) es diferenciable y su derivada es g'(f(x)) * f'(x). También se explica la integración por partes, que corresponde a la regla del producto para la derivación.
Este documento introduce conceptos sobre el cálculo de integrales de funciones de varias variables. Explica cómo calcular integrales dobles y triples, las cuales son útiles para calcular áreas, volúmenes, cargas eléctricas y flujos de campos vectoriales. También cubre temas como derivadas parciales, derivación implícita, y el uso de multiplicadores de Lagrange para problemas de optimización con restricciones.
Este documento describe las funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva. 1) Una función es inyectiva si cada elemento del dominio se mapea a un elemento único en el codominio. 2) Una función es suprayectiva si cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. 3) Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva, estableciendo una correspondencia única entre los elementos del dominio y codominio.
El documento introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de varias variables. Explica que las derivadas parciales representan la tasa de variación de la función con respecto a cada variable cuando las demás se mantienen constantes. Además, define formalmente las derivadas parciales como límites y muestra que pueden calcularse aplicando las reglas de derivación ordinaria suponiendo constante la otra variable. Finalmente, interpreta geométricamente las derivadas parciales como las pendientes de las secciones transversales de la superficie gráfica de la
1. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva gráfica de dicha función en un punto.
2. La primera derivada proporciona información sobre el crecimiento/decrecimiento de la función y la existencia de máximos y mínimos.
3. La segunda derivada indica si una función es cóncava o convexa, y permite identificar puntos de inflexión.
1. El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a un punto o se vuelve extremadamente grande.
2. El límite de una función f(x) cuando x tiende a un número c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x lo suficiente a c.
3. Un límite puede no estar definido en el punto c al que x se acerca.
El documento explica los conceptos de gradiente y derivada direccional. Define el gradiente como el conjunto ordenado de las derivadas parciales de una función en un punto, informando de cómo varía la función al variar cada variable independiente. El gradiente generaliza la noción de derivada a funciones de más de una variable y es útil en física e ingeniería al igual que la derivada direccional.
El documento explica los conceptos de gradiente y derivada direccional. Define el gradiente como el conjunto ordenado de las derivadas parciales de una función en un punto, informando de cómo varía la función al variar cada variable independiente. Explica que el gradiente generaliza la noción de derivada a funciones de más de una variable.
Este documento presenta los conceptos de derivada direccional y derivada parcial. Explica que la derivada direccional de una función de varias variables es el límite de la variación de la función en una dirección dada, mientras que la derivada parcial es la variación de la función con respecto a una variable específica, considerando las demás constantes. Proporciona un ejemplo para calcular la derivada direccional de una función de dos variables.
El documento explica el concepto de derivada direccional para funciones de dos y tres variables. Indica que la derivada direccional de una función f en la dirección de un vector unitario u es igual al gradiente de f evaluado en ese vector. También describe algunas propiedades del gradiente como indicar la dirección del máximo y mínimo incremento de f.
Este documento explica el concepto de derivada direccional para funciones de una, dos y tres variables. Define la derivada direccional como el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección, cuando este cambio tiende a cero. También introduce el gradiente como un vector formado por las derivadas parciales de la función, y explica que la derivada direccional puede expresarse en términos del producto interno entre el gradiente y la dirección unitaria.
1. El documento presenta notas de clase sobre cálculo multivariable. Incluye temas como funciones de varias variables, gráficas, límites, derivadas parciales y tangentes.
2. Se define una función de varias variables y se explican conceptos como dominio y rango. También se cubren sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones de varias variables.
3. Se explica cómo graficar funciones de dos variables y cómo dibujar mapas de contorno. También se definen límites y continuidad para funciones de dos y
El documento describe diferentes tipos de funciones y cómo calcular sus derivadas. Explica el cálculo de derivadas para funciones reales de variable real o vectorial, funciones vectoriales de variable real o vectorial, y funciones definidas implícita o paramétricamente. También cubre la regla de la cadena para funciones compuestas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, incluyendo: 1) Definiciones de derivadas parciales y direccionales; 2) Propiedades de derivadas parciales y direccionales; 3) Ejemplos de cálculo de derivadas parciales de funciones específicas. Además, incluye problemas resueltos que ilustran conceptos como la existencia de derivadas parciales pero no direccionales, y que la existencia de derivadas direccionales no garantiza la contin
Este documento presenta conceptos clave sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, como derivadas parciales, derivadas direccionales y derivadas de orden superior. Introduce las definiciones formales de derivadas parciales y direccionales, y discute propiedades como que las derivadas parciales se pueden obtener como componentes de la derivada direccional. Luego, presenta una serie de problemas resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento introduce los campos vectoriales, que asignan un vector a cada punto del espacio. Se definen campos vectoriales en el plano y en el espacio, y se explican conceptos como su dominio, continuidad y representación gráfica. Luego, se presentan varios ejemplos de campos vectoriales como campos de fuerzas, gradientes y velocidades, ilustrando sus propiedades y aplicaciones. Finalmente, se introduce la noción de campo vectorial conservativo.
El documento describe el símbolo de la integral y su significado matemático. Explica que la integral representa la antiderivada de una función y que al calcular la integral no se obtiene una única función sino toda una familia de funciones paralelas debido a la constante de integración. También presenta algunas reglas básicas para calcular integrales indefinidas.
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESStefanyMarcano
Links de los videos:
https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
https://www.youtube.com/watch?v=cPuE8bUEaUo
https://www.youtube.com/watch?v=XKgfHOaXhqs
1) El documento describe conceptos básicos de funciones de varias variables como derivadas parciales, vector gradiente, divergencia y rotacional. 2) Explica cómo generalizar los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad de funciones de una variable a funciones de varias variables. 3) Proporciona ejemplos para ilustrar el cálculo de derivadas parciales, vector gradiente, divergencia y rotacional.
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial en varias variables. Contiene seis capítulos que cubren los siguientes temas: campos escalares, límites de campos escalares, diferenciación de campos escalares, plano tangente a algunas superficies, derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor, y máximos y mínimos. El documento proporciona definiciones, ejemplos y ejercicios para cada uno de estos temas fundamentales del cálculo multivariable.
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones de varias variables, incluyendo su dominio, rango y tipos (escalar, vectorial). Explica que el dominio y rango de una función dependen de la situación particular que se esté describiendo y que una función puede clasificarse según si su dominio y rango son subconjuntos de R, R2 o R3. También presenta ejemplos de funciones de dos variables y operaciones entre ellas.
1) El documento explica conceptos fundamentales sobre límites y continuidad de funciones, incluyendo definiciones de límite, continuidad y discontinuidad. 2) También presenta derivadas parciales de primer y segundo orden de funciones de varias variables, y cómo calcular diferenciales. 3) El documento utiliza ejemplos para ilustrar estos conceptos clave sobre funciones.
El trabajo de campo consiste en ejecutar todos los métodos y procedimientos topográficos necesarios de acuerdo al plan de trabajo definido con anterioridad. Cuya finalidad es de obtener o recolectar datos de campo, mediante el empleo de instrumentos topográficos. Esta recopilación fundamentalmente consiste en medir ángulos horizontales y/o verticales, distancias horizontales o verticales, desniveles, obtención de coordenadas, etc
1) Los campos vectoriales son funciones que asignan un vector a cada punto del espacio y son fundamentales en física. 2) Un campo vectorial es una función que asigna un vector de dos o tres dimensiones a cada punto, mientras que un campo escalar asigna un escalar. 3) Un campo vectorial es conservativo si es el gradiente de alguna función escalar llamada función potencial.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
Este documento presenta conceptos fundamentales del cálculo diferencial para funciones de varias variables, como las derivadas parciales y direccionales. Introduce la definición formal de derivadas parciales para funciones de dos o más variables y explica su interpretación geométrica. Luego define las derivadas direccionales y la matriz jacobiana, y proporciona ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1.- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.a) Una magnitud variable z se denomina función uniforme de dos variables x e y, si
para cada conjunto de valores e éstas (x,y) de campo dado le corresponde le
corresponde un único valor y determinado z. Las variables x e y se llaman argumentos o
variables independientes. La dependencia funcional se escribe:
z = f(x,y); P = f (T,V,n); V = f ( x,y,z)
1.b) Campo de existencia de la función.
Por campo de existencia de la función z = f(x,y), se entiende el conjunto de puntos(x,y)
del plano XOY que determina la función, esto es, una región del plano limitada por por
una o varias curvas. Para una función u = f(x,y,z) el campo de existencia de la fundón es
un cuerpo determinado el espacio OXYZ.
1c) Líneas y Superficies de nivel.
Se le da el nombre de línea de nivel de una función z = f(x,y), a la línea f(x,y) = C del
plano OXY, en cuyos puntos la función toma el mismo valor z = C.
Se llama superficie de nivel de una función de tres argumentos u = f(x,y,z) a aquella
superficie f(x,y,z) = C, en cuyos puntos la función toma un valor constante u = C.
2.- CONTINUIDAD Y DERIVADAS PARCIALES.
CONTINUIDAD EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
2 a) Límite de una Función.
El número A recibe el nombre de límite de la función z = f(x,y), si se cumple.
Es decir la imagen asociada a la función z alrededor o en las cercanías de punto P(a,b)
es el número A.
2 b) Continuidad de una función.
La función z = f(x,y) recibe el nombre de continua en ele punto P(a,b) si:
La función que es continua en todos los puntos del campo de existencia se denomina
continua en el campo.
Las condiciones de continuidad de una función z f(x,y) pueden no cumplirse en puntos
aislados ( puntos de discontinuidad), o puntos que formen una o varias líneas (líneas de
discontinuidad) o figuras geométricas mas complicadas.
2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
DERIVADAS PARCIALES
2 d) Definición.
Si z = f(x,y), y se mantiene “y constante”, obtenemos
Que recibe el nombre de derivada parcial de de la función z con respecto a la variable x.
Si z = f(x,y), y se mantiene “x constante”, obtenemos
Que recibe el nombre de derivada parcial de de la función z con respecto a la variable y.
Cabe destacar, que para hallar las derivadas parciales pueden uilizarse las fórmulas
ordinarias de derivación.
Ejemplos:
Hallar las derivadas parciales de las funciones:
2.1) z = x2
+ y3
-3xy. 2.2) 2.3) .
2.4) z = xy 2.5) z = 2.6) z = ln( x + )
2.7) z = ln[ tg ] 2.8) . 2.9) z = arc tg
3. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
3.- DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN
3 a) Incremento total de una función.
Se llama incremento total de una función z = f(x,y) a la diferencia:
∆z = ∆f (x,y) = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x,y)
Se llama incremento total de una función u = f(x,y,z) a la diferencia:
∆u = ∆f (x,y,z) = f(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) – f(x,y,z)
3 b) Diferencial total.
Recibe el nombre de diferencial total de una función z = f(x,y) ó u = f(x,y,z); la parte
principal del incremento total ∆z, lineal respecto a los incrementos de los argumentos
∆x y ∆y .La función tiene diferencial total, cuando sus diferenciales parciales son
continuas. Si la función tiene diferencial total, se llama diferenciable. Las diferenciales
de las variables independientes, por definición, coinciden con sus incrementos, es decir
dx = ∆x y dy = ∆y.
La diferencial total de una función z = f(x,y) se calcula por la fórmula:
dz = ∂z dx + ∂z dy.
∂x ∂y
Análogamente, la diferencial total de una función de tres argumentos u = f(x,y,z) se
calcula por la fórmula:
Du = ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz.
∂x ∂y ∂z
Ejemplos:
3.1) Hallar el diferencial total de la función f (x,y) = x2
+ xy - y2
.
3.2) Hallar el diferencial total f(x,y) =
3.3 ) La altura de un cono es h = 30 cm y el radio de ka base R = 10 cm. ¿Cómo varia el
volumen si la altura aumenta 4mm y el radio disminuye 1 mm?. V(h,R) = ⅓πR2
h.
3.4) Un gas ideal esta confinado en un recipiente de 960 cm3 a una temperatura de
40º C. ¿Cuál es el cambio de la presión interna si la temperatura aumenta 0,4 º C y el
volumen se incrementa en 0,02ml.?
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
4.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS
4 a) Caso e una sola variable independiente.
Si z = f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez,
funciones diferenciables de una variable independiente t:
x = φ(t) y = ψ(t).
la derivada de la función compuesta
z = f [x = φ(t) , y = ψ(t)]
se puede calcular por la fórmula:
dz = ∂z ∂x + ∂z ∂y
dt ∂x ∂t ∂y ∂t
En el caso particular que t coincida con uno de los argumentos, por ejemplo con x, la
derivada “total” de z respecto de x será
dz = ∂z ∂x + ∂z ∂y dz = ∂z + ∂z ∂y
dx ∂x ∂x ∂y ∂x dx ∂x ∂y ∂x
4b) Caso de varias variables independientes.
Si z es una función compuesta de varias variables z = f (x,y), donde
x = φ(u,v) e y = ψ(u,v)
(u y v que son variables independiente; f ,φ,ψ son funciones diferenciables),
Las derivadas parciales de z con respecto a u y v se expresan asi:
∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Ejemplos:
4.1) Hallar , si z = e(3x +2y)
x = cos t y = t2
4.2) Hallar y la derivada total , si z = exy
donde y = φ(x) = .
4.3) Hallar y , si z = f(x,y) x = uv y =
4.4) Hallar y , si z = x2
+ y2
x = r cosθ; y = r senθ
4.5) Hallar y V = P = ρ g h ; T = (inventada)
5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
h (altura) T (temperatura) P(presión) ρ(densidad)
5.- GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL
Recibe el nombre de Gradiente de una función z = f(x,y), un vector , cuyas
proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes derivadas parciales
de la función:
Grad z = ∂z i + ∂z j
∂x ∂y
El gradiente de la función en cada punto tiene la dirección de la normal a la
correspondiente línea de nivel de la función.
La dirección del gradiente de la función, en un punto dado, es la dirección de la
velocidad máxima de crecimiento de la función en este punto, es decir, cuando u = grad
z, la derivada ∂z/∂u toma su valor máximo, igual a:
Análogamente se determina el gradiente de una función de tres variables w = f(x,y,z):
Grad w = ∂w i + ∂w j + ∂w k
∂x ∂y ∂z
▼f = ∂f i + ∂f j + ∂f k = fx i + fy j + fz k = grad f
∂x ∂y ∂z
El gradiente de una función de tres variables, en cada punto lleva la dirección de la
normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.
Ejemplos:
5.1) Hallar el gradiente de la función z = f(x,y) = x2
y
5.2) Hallar el gradiente de z en el punto (2; 1) z = x3
+ y3
-3xy
5.3) Hallar el gradiente de z en el punto (5; 3) z =
5.4) Hallar el gradiente de w en el punto (1; 2; 3) w = xyz
5.5) Hallar la dirección y magnitud del gradiente de w en el punto (2; -2; 1) si
6. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
w = x2
+ y2
+ z2
.
5.6) Hallar el gradiente en el punto (1; 0; 2) si w = (x2
ey
+ x3
)
DERIVADA DIRECCIONAL
Se da el nombre de Derivada Direccional de una función z = f(x,y) en una dirección
dada n = PP1 a la expresión:
∂z = lim f( P1) – f( P)
∂n P1P→ 0 P1P
Donde f( P ) y f( P1) son los valores de la función en los puntos P y P1. Si la función z
es diferenciable, se verificará la fórmula:
∂z = ∂z cosα + ∂z senα
∂n ∂x ∂y
Donde α es el ángulo formado por el vector n con el eje OX.
Análogamente se determina la derivada en la dirección dada n, para una función de tres
argumentos u = f(x,y,z). en este caso
∂u = ∂u cosα + ∂u cosβ + ∂u cos γ
∂n ∂x ∂y ∂z
Donde α, β, γ son los ángulos entre la dirección n y los correspondientes ejes
coordenados ( se les conoce como los cosenos directores).
La derivada en una dirección dada caracteriza la velocidad con que varía la función en
dicha dirección.
Ejemplos:
5.7) Hallar la derivada de la función z = 2x2
– 3y2
en el punto P (1;0) en la dirección que
forma con el eje OX un ángulo de 120º.
5.8) Hallar la derivada de la función z = ln(√(x2 + y2 ) ) en el punto (1;1) en la
dirección de la bisectriz del primer cuadrante.
5.9) Hallar la derivada de la función u = x2
-3yz -5 en el punto M(1; 2; -1) en la
dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes de coordenada.
5.10) El punto en que la derivada de una función, en cualquier dirección, es igual a cero,
se llama estacionario de esta función. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes
funciones:
7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
5.10.a) z = x2
+ xy + y2
- 4x -2y
5.10.b) z = x3
+ y3
-3xy
5.10.c) z = 2y2
+ z2
–xy –yz +2x
6.- DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES
Supongamos que tenemos definida la función z =f(x,y) en una región D del plano OXY,
y que existen las derivadas parciales fx, fy. Entonces cada una de esas derivadas
parciales es una función con dominio D, y podemos buscar sus derivadas parciales:
fxx = ∂2
f = ∂(fx) fxy = ∂2
f = ∂(fx)
∂x2
∂x ∂y∂x ∂y
fyx = ∂2
f = ∂(fy) fyy = ∂2
f = ∂(fy)
∂x∂y ∂x ∂y2
∂y
Las nuevas derivadas, cuando existen, se llaman derivadas parciales de z =f(x,y) de
segundo orden. Sin embargo, si f, fx, fy, fxy,fyx,fxx, fyy son continuas en D, entonces
las derivadas mixtas son iguales:
fxy = fyx
en consecuencia, hay, en efecto, solo tres (3) derivadas parciales de segundo orden.
Estas definiciones se extienden con naturalidad a las funciones de tres o más variables o
argumentos. Por ejemplo, en una función u = f(x,y,z), tenemos:
tres primeras derivadas parciales fx; fy; fz.
seis segundas derivadas parciales fxx; fyy; fzz; fxy; fxz; fyz
diez terceras derivadas parciales fxxx; fyyy; fzzz; fxxy; fxxz;
fyyz; fxyy; fxzz; fyzz; fxyz
Para subrayar el hecho de que unas variables se consideran como constantes e escriben
cosas como:
(∂2
w / ∂x2
)yz en lugar de fxx(x,y,z) donde w f(x,y,z)
EJEMPLOS:
Hallar las derivadas hasta segundo orden.
8. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
6.1) z = f(x,y) = x2
+ y2
+ x cos(xy) 6.2) z = f(x,y) = 2x3
y2
– 3xy2
+ x – 2y
6.3) z = f(x,y) = ex
cos( 2y-3x) 6.4) z = f(x,y) = x2/ (y2 + 1)
En cada caso verifique que fxy = fyx :
6.5) z =f(x,y) = x7
y5
6.6) u = f(x,y,z) = x2
z4
– y3
z2
+ x3
y2
6.7) z = f(x,y) = x ln(x2
– y2
) 6.8) u =f(x,y,z) = x/(x+z)
7.- APLICACIONES:
En muchos problemas físicos se plantea las derivadas parciales de órdenes superiores:
por ejemplo, en las teorías Electromagnéticas, de la Vibración de Cuerpos Sólidos, de la
Conducción del Calor, del Movimiento de Fluidos y de la Termodinámica. En todos
esos casos se expresan leyes fundamentales de la física en la forma de ecuaciones que
relacionen las derivadas parciales de funciones adecuadas.
Ejemplo la ecuación del Calor:
∂u = k2
( ∂2
u + ∂2
u + ∂2
u )
∂t ∂x2
∂y2
∂z2
es la que gobierna la variación de la temperatura, u = f(x,y,z,t),
con la posición (x,y,z) y el tiempo t, en un cuerpo sólido homogéneo; sometido a
algunas variaciones de temperatura del medio ambiente que lo rodea.
También se usan los operadores:
▼x f = fx ▼x▼y f =fxy ▼x
2
f = fxx
▼.▼f = ▼2
f = ∂2
f + ∂2
f + ∂2
f
∂x2
∂y2
∂z2
A esta expresión se le llama Laplaciano de f.
La siguiente ecuación recibe el nombre de “Ecuación de Laplace”
▼2
f = ∂2
f + ∂2
f + ∂2
f =0
∂x2
∂y2
∂z2
La función f(x,y) o f (x,y,z) que satisface la ecuación de Laplace en una región abierta
es armónica.
EJEMPLOS:
En cada uno de los casos siguientes, verifique que f es armónica:
7.9) f(x,y) = x2
–y2
7.10) f(x,y) = x3
– 3xy2
7.11) f(x,y) =xy
7.12) f(x,y) = x4
-6x2
y2
+ y4
7.13) f(x,y,z) = x2
+ y2
-2z2
9. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
7.14) f(x,y) = arctg(y/x) 7.15) f(x,y) =ln r r = √(x-a)2
+ (y-b)2
Verifique que cada una de las siguientes funciones es solución de la ecuación de Calor:
7.15) u = e-k2 a2 t
sen ax 7.16) u = e-2 k2 a2 t
cos a(x + y)
7.17) u = e(-ax2 )/ t
/ √ t
7.18) u = 1 e –[ (x-xo)2
+ ( y-yo)2
+ (z-zo)2
] / 4a2
t
( 2a√πt )3
La ecuación ondulatoria, tiene importancia en la teoría electromagnética.
7.19) Verifique que (a) u(x,y) = sen(x - ct) ; (b) u(x,t) = sen(x + ct) y
(c) u(x,t) = Asen( aλt +φ) senλx
satisfacen la ecuación ondulatoria siguiente.
∂2
u = c2
( ∂2
u ) c = constante
∂t2
( ∂x2
)
10. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
8.- EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN (MÁX, MÍN Y PUNTOS SINGULARES)
Definición.
Se dice que una función f(x,y) tiene un máximo (o un mínimo) f(a,b) en el punto P
(a,b), si para todos los puntos P´(x,y) diferentes de P, de un entorno suficientemente
pequeño del punto P, se cumple la desigualdad f(a,b) > f(x,y), (o respectivamente
f(a,b) < f(x,y)). El máximo o mínimo de una función recibe también el nombre de
extremo de la misma. Análogamente de determina el extremo de una función de tres o
más variables o argumentos.
Condiciones para la existencia de un extremo.
Los puntos en los que la función diferenciable f(x,y) puede alcanzar un extremo( es
decir los llamados puntos estacionarios), se hallan resolviendo el sistema de ecuaciones:
fx(x,y) = ∂f = 0 fy(x,y) = ∂f = 0
∂x ∂y
(condiciones necesarias para la existencia del extremo) El sistema de ecuaciones
anterior es equivalente a una ecuación df(x,y) = 0. En el caso general, en el punto
extremo P(a,b) de la función f(x,y), o no existe df(x,y) o bien df(x,y) = 0.
Condiciones Suficientes para la existencia de un extremo.
Sea p(a,) un punto estacionario de la función f(x,y); es decir df(a,b) = 0.
En este caso: a) si d2
f(a,b) < 0, siendo dx2
+ dy2
> 0, f(a,b) es un máximo de f(x,y)
b) si d2
f(a,b) > 0, siendo dx2
+ dy2
< 0, f(a,b) es un mínimo de f(x,y)
c) si d2
f(a,b) cambia de signo f(a,b) no es un punto extremo de f(x,y)
Las condiciones citadas equivalen a lo siguiente:
fx(a,b) = fy(a,b) = 0 A = fxx(a,b), B = fxy(a,b) C = fyy(a,b)
formamos el discriminante:
∆ = AC –B2
Tenemos los casos:
(a) Si ∆ > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y
es máximo si A < 0 (o C <0)
(b) Si ∆ > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y
es mínimo si A > 0 (o C > 0 )
(c) Si ∆ < 0, en el punto P(a,) no existe extremo
(d) Si ∆ = 0 la existencia del extremo en el punto P(a,b) queda indeterminada
De forma análoga se procede para más de tres variable o argumentos.
11. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
Ejemplo. Hallar los extremos de z = x3
+ 3xy2
-15x -12y
FÓRMULA DE TAYLOR PARA LAS FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES
Supongamos que la función f(x,y) tiene en un entorno del punto P(a,b) derivadas
parciales continuas hasta el orden (n+1) inclusive. Entonces en este entorno se verifica
la fórmula de Taylor:
f(x,y) = f(a,b) + 1 [ fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b)] + ….
1 / 2! [ fxx(a,b)(x-a)2
+2fxy(a,b)(x-a)(y-b) +fyy(a,b)(y-b)2
] …
1/ n! [ (x-a)∂/ ∂x + (y-b)∂/∂y ]n
f(a,b) + Rn (a,b)
Rn (x,y) =1/ (n+1)! [ (x-a)∂/ ∂x + (y-b)∂/∂y ]n+1
f(a,b) + Rn (a,b)
En el caso particular en que a = b = 0, la fórmula recibe el nombre de fórmula de
Maclaurin.
Ejemplos:
Hallar la fórmula de Taylor hasta 2do orden
8.1) Para la función f(x,y) = yx.
En el entorno del punto (1,1).
8.2) Para la función f(x,y) = e(x+y)
. En el entorno del punto (1.-1)
8.3) para la función f(x,y) = √(1+x+y). En el entorno del punto (0,1)
Hallar por la fórmula de Maclaurin hasta términos de 3er orden
8.3) f(x,y) = ex
seny
8.4) f(x,y) = cos(x) cos(y)
8.6) f(x,y) = ln( 1 + x2
+ y2
)
12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
9.- FUNCIÓN VECTORIAL DE UN ARGUMENTO ESCALAR
Derivada de una función Vectorial de un argumento escalar. (tiempo)
La función vectorial V = V(t) puede determinarse dando las tres funciones escalares
Vx(t), Vy(t), y Vz(t) de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas:
V = Vx(t) i + Vy(t) j + Vz(t) k
La derivada de la función vectorial V = V(t) con respecto al argumento escalar t es una
nueva función vectorial determinada por la igualdad:
dV = lim V(t +∆t) – V(t) = dVx(t) i + dVy(t) j + dVx(t) k
dt ∆t ∆t dt dt dt
el modulo de la derivada de la función escalar es igual a
|dV/ dt | = √ (dVx/ dt)2
+ (dVy/dt)2
+ (dVz/dt)2
El extremo del radio vector variable r = r(t) describe en ele espacio una curva
r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
que recibe el nombre de hodógrafo del vector r(t)
la derivada dr/dt representa de por sí un vector, tangente al hodógrafo en el punto
correspondiente
|dr /dt | = ds/ dt
Donde “ s “ es la longitud del arco del hodógrafo, tomada desde cierto punto inicial.
Si el parámetro es el tiempo, dr/dt = U es la velocidad del extremo del vector r y
d2
r = dU = W es la aceleración del extremo del vector r
dt2
dt
REGLAS PRINCIPALES PARA LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES.
1) d/dt ( V + U + W ) = d/dt(V) + d/dt(U) + d/dt(W)
2) d/dt( mV) = m d/dt(V)
3) d/dt( φV) = dφ/dt V + φ dV/dt donde φ(t) es una función escalar de t
4) d/dt(V U) = dV/dt U + V dU/dt
5) d/dt( V x U) = dV/dt x U + V x dU/dt
6) d/dt ( V[φ(t)] ) = (dV/dφ),( dφ/dt)
13. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
7) V . dV/dt = 0 , si | V | = constante.
Ejemplos:
Hallar las derivadas parciales de las funciones:
2.1) z = x2
+ y3
-3xy. 2.2) z = (x-y) / (x+y) 2.3) z = √x2
–y2
.
2.4) z = xy 2.5) z = esen(x/y)
2.6) z = ln( x + √x2
+y2
)
2.7) z = ln[ tg(x/y) ] 2.8) z = (x) / √x2
+y2
2.9) z = arctg(y/x)
Ejemplos:
3.1) Hallar el diferencial total de la función f (x,y) = x2
+ xy - y2
.
3.2) Hallar el diferencial total f(x,y) = √x2
+ y2
3.3 ) La altura de un cono es h = 30 cm y el radio de ka base R = 10 cm. ¿Cómo varia el
volumen si la altura aumenta 4mm y el radio disminuye 1 mm?. V(h,R) = ⅓πR2
h.
3.4) Un gas ideal esta confinado en un recipiente de 960 cm3 a una temperatura de
40º C. ¿Cuál es el cambio de la presión interna si la temperatura aumenta 0,4 º C y el
volumen se incrementa en 0,02ml.?
Ejemplos:
4.1) Hallar dz/ dt, si z = e(3x +2y)
x = cos t y = t2
4.2) Hallar ∂z/∂x y la derivada total dz/dx, si z = exy
donde y = φ(x) = √x.
4.3) Hallar ∂z/∂u y ∂z/∂v, si z = f(x,y) x = uv y = u/v
4.4) Hallar ∂z/∂r y ∂z/∂θ, si z = x2
+ y2
x = r cosθ; y = r senθ
4.5) Hallar ∂V/∂h y ∂V/∂ψ V = (n R2 T)/ P P = ρ g h ; T = ln ψ/ (μ h) (inventada)
h (altura) T (temperatura) P(presión) ρ(densidad)
Ejemplos:
5.1) Hallar el gradiente de la función z = f(x,y) = x2
y
5.2) Hallar el gradiente de z en el punto (2; 1) z = x3
+ y3
-3xy
5.3) Hallar el gradiente de z en el punto (5; 3) z = √(x2
– y2
)
5.4) Hallar el gradiente de w en el punto (1; 2; 3) w = xyz
14. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
5.5) Hallar la dirección y magnitud del gradiente de w en el punto (2; -2; 1) si
w = x2
+ y2
+ z2
.
5.6) Hallar el gradiente en el punto (1; 0; 2) si w = (x2
ey
+ x3
√z3
– yz
)
EJEMPLOS:
Hallar las derivadas hasta segundo orden.
6.1) z = f(x,y) = x2
+ y2
+ x cos(xy) 6.2) z = f(x,y) = 2x3
y2
– 3xy2
+ x – 2y
6.3) z = f(x,y) = ex
cos( 2y-3x) 6.4) z = f(x,y) = x2/ (y2 + 1)
En cada caso verifique que fxy = fyx :
6.5) z =f(x,y) = x7
y5
6.6) u = f(x,y,z) = x2
z4
– y3
z2
+ x3
y2
6.7) z = f(x,y) = x ln(x2
– y2
) 6.8) u =f(x,y,z) = x/(x+z)
EJEMPLOS:
En cada uno de los casos siguientes, verifique que f es armónica:
7.9) f(x,y) = x2
–y2
7.10) f(x,y) = x3
– 3xy2
7.11) f(x,y) =xy
7.12) f(x,y) = x4
-6x2
y2
+ y4
7.13) f(x,y,z) = x2
+ y2
-2z2
7.14) f(x,y) = arctg(y/x) 7.15) f(x,y) =ln r r = √(x-a)2
+ (y-b)2
Verifique que cada una de las siguientes funciones es solución de la ecuación de Calor:
7.15) u = e-k2 a2 t
sen ax 7.16) u = e-2 k2 a2 t
cos a (x + y)
7.17) u = e(-ax2 )/ t
/ √ t
7.18) u = 1 e –[ (x-xo)2
+ ( y-yo)2
+ (z-zo)2
] / 4a2
t
( 2a√πt )3
La ecuación ondulatoria, tiene importancia en la teoría electromagnética.
Verifique que (a) u(x,y) = sen(x - ct) ; (b) u(x,t) = sen(x + ct) y
(c) u(x,t) = Asen( aλt +φ) senλx
satisfacen la ecuación ondulatoria siguiente.
15. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
∂2
u = c2
( ∂2
u ) c = constante
∂t2
( ∂x2
)
Hallar la fórmula de Taylor hasta 2do orden
8.1) Para la función f(x,y) = yx.
En el entorno del punto (1,1).
8.2) Para la función f(x,y) = e(x+y)
. En el entorno del punto (1.-1)
8.3) para la función f(x,y) = √(1+x+y). En el entorno del punto (0,1)
Hallar por la fórmula de Maclaurin hasta términos de 3er orden
8.3) f(x,y) = ex
seny
8.4) f(x,y) = cos(x) cos(y)
8.6) f(x,y) = ln( 1 + x2
+ y2
)
EJEMPLOS:
Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración de este movimiento.
9.1) si la ecuación de movimiento es: r (t) = 9 cost i + 4 sent j
9.2) Si la ecuación de movimiento es: r (t) = 2 cost i + 2 sent j + 3t k
9.3) Si la ecuación de movimiento es: r (t) = 2 cosα cosωt i + 2 senα cosωt j + senωt k
donde ω y α son constantes.