El documento explica los conceptos de gradiente y derivada direccional. Define el gradiente como el conjunto ordenado de las derivadas parciales de una función en un punto, informando de cómo varía la función al variar cada variable independiente. Explica que el gradiente generaliza la noción de derivada a funciones de más de una variable.
Este documento presenta información sobre antiderivadas. En primer lugar, introduce la notación para antiderivadas y define una antiderivada como una función cuya derivada es igual a otra función dada. Luego, explica las reglas básicas de integración y cómo se pueden obtener fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación. Finalmente, incluye ejemplos ilustrativos y ejercicios de aplicación sobre antiderivadas.
El documento resume los principales teoremas y fórmulas de derivación de funciones y logaritmos. En la sección 1, presenta 8 teoremas fundamentales de derivación con su fórmula y ejemplo correspondiente. En la sección 2, enuncia 3 propiedades básicas de los logaritmos con ejemplos ilustrativos. El documento provee una guía concisa pero completa de los conceptos clave de cálculo diferencial.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral, mostrando diferentes tipos de integrales y métodos para resolverlas. Se definen las integrales y sus propiedades básicas, y se explican diferentes tipos de integrales inmediatas como las potenciales, logarítmicas y exponenciales. También se describe el método de integración por partes y cómo resolver integrales racionales.
Este capítulo trata sobre el cálculo integral. Se define la integral indefinida como la función primitiva de otra función, es decir, aquella cuya derivada es igual a la función dada. Se presentan varias integrales inmediatas y se explican métodos como la integración por cambio de variable para calcular otras integrales más complejas. Finalmente, se resuelven algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento introduce el concepto de antiderivada y describe los métodos para calcularlas, incluyendo la definición formal de antiderivada, ejemplos de antiderivadas comunes, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable que permiten calcular antiderivadas más complejas. También resume brevemente el origen histórico del cálculo de antiderivadas desde los matemáticos griegos hasta Newton y Leibniz.
Este documento trata sobre integrales indefinidas. Explica conceptos como función primitiva, integral indefinida y métodos para calcular integrales como integración por partes e integración de funciones racionales. Incluye ejemplos de integrales inmediatas y aplicaciones de los métodos de integración.
1) El documento introduce el concepto de integral indefinida y primitiva de una función, así como propiedades importantes como que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C también lo es para cualquier constante C.
2) Se definen algunas integrales básicas o inmediatas cuyo integrando es la derivada de una función conocida, como las integrales del seno, coseno, exponencial, logaritmo y otras funciones.
3) Se describen tres técnicas para calcular integrales: cambio de variable,
Este documento presenta información sobre antiderivadas. En primer lugar, introduce la notación para antiderivadas y define una antiderivada como una función cuya derivada es igual a otra función dada. Luego, explica las reglas básicas de integración y cómo se pueden obtener fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación. Finalmente, incluye ejemplos ilustrativos y ejercicios de aplicación sobre antiderivadas.
El documento resume los principales teoremas y fórmulas de derivación de funciones y logaritmos. En la sección 1, presenta 8 teoremas fundamentales de derivación con su fórmula y ejemplo correspondiente. En la sección 2, enuncia 3 propiedades básicas de los logaritmos con ejemplos ilustrativos. El documento provee una guía concisa pero completa de los conceptos clave de cálculo diferencial.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral, mostrando diferentes tipos de integrales y métodos para resolverlas. Se definen las integrales y sus propiedades básicas, y se explican diferentes tipos de integrales inmediatas como las potenciales, logarítmicas y exponenciales. También se describe el método de integración por partes y cómo resolver integrales racionales.
Este capítulo trata sobre el cálculo integral. Se define la integral indefinida como la función primitiva de otra función, es decir, aquella cuya derivada es igual a la función dada. Se presentan varias integrales inmediatas y se explican métodos como la integración por cambio de variable para calcular otras integrales más complejas. Finalmente, se resuelven algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento introduce el concepto de antiderivada y describe los métodos para calcularlas, incluyendo la definición formal de antiderivada, ejemplos de antiderivadas comunes, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable que permiten calcular antiderivadas más complejas. También resume brevemente el origen histórico del cálculo de antiderivadas desde los matemáticos griegos hasta Newton y Leibniz.
Este documento trata sobre integrales indefinidas. Explica conceptos como función primitiva, integral indefinida y métodos para calcular integrales como integración por partes e integración de funciones racionales. Incluye ejemplos de integrales inmediatas y aplicaciones de los métodos de integración.
1) El documento introduce el concepto de integral indefinida y primitiva de una función, así como propiedades importantes como que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C también lo es para cualquier constante C.
2) Se definen algunas integrales básicas o inmediatas cuyo integrando es la derivada de una función conocida, como las integrales del seno, coseno, exponencial, logaritmo y otras funciones.
3) Se describen tres técnicas para calcular integrales: cambio de variable,
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida. Define la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función, representada por la notación ∫ f(x) dx. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es igual a cualquier primitiva F(x) de f(x) más una constante C. También enumera algunas propiedades importantes de la integral indefinida, como que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales individuales, y provee ejemplos para ilustrar estas propiedades.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo continuidad, derivadas parciales, diferencial total, derivación de funciones compuestas, gradiente, derivada direccional y derivadas de orden superior. Se definen términos como campo de existencia, líneas y superficies de nivel. Se explican fórmulas para calcular derivadas parciales, diferencial total, derivadas de funciones compuestas y derivadas direccionales. Finalmente, se presentan ejemplos para aplicar los conceptos.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de integración por sustitución. Explica que este método involucra realizar un cambio de variable en la integral para simplificarla. Provee ejemplos detallados de cómo aplicar los pasos de integración por sustitución y cuando es aconsejable usar este método, como cuando el integrando contiene un producto o cociente de funciones o guarda parecido con una integral inmediata. Finalmente, presenta una serie de ejercicios resueltos para practicar la aplicación de este método.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento trata sobre la integración indefinida. Define la primitiva de una función y proporciona ejemplos. Explica las propiedades de las primitivas y la notación de la integral indefinida. También presenta métodos para calcular integrales como el cambio de variable, la integración por partes y la integración de funciones racionales.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y aplicaciones de la derivada. Explica cómo usar la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones, y cómo calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta usando derivadas. También cubre temas como funciones implícitas, crecientes/decrecientes, formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
La integral indefinida o antiderivada es la operación inversa a la derivada que encuentra una función cuya derivada es igual a la función dada. Existen varios métodos para calcular la integral indefinida como la integración directa, la sustitución y la integración por partes. La notación común para la integral indefinida de una función f(x) es ∫f(x)dx=F(x) + C.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Presentacion derivacion e integracion de funciones de varias variables Andrei...AndreinaPrez6
Este documento discute el concepto histórico de límite y su evolución a través de varias etapas. También define los conceptos matemáticos de límite, continuidad y derivación para funciones de varias variables, y proporciona ejemplos de cómo aplicar estas definiciones. Finalmente, explica conceptos como derivadas parciales y reglas de la cadena para derivar funciones compuestas de varias variables.
Este documento introduce el concepto de derivada direccional. Explica que la derivada direccional de una función en un punto es el cambio en el valor de la función dividido por el cambio en la longitud cuando se avanza una pequeña distancia en una dirección particular desde ese punto. Proporciona una fórmula matemática para calcular la derivada direccional y explica que las derivadas parciales son casos especiales de la derivada direccional cuando se avanza en las direcciones de los ejes coordenados.
El método de Newton es un método iterativo para encontrar las raíces de una función. Se basa en aproximar suavemente la función mediante una tangente y usar el punto de intersección de la tangente con el eje x como la siguiente aproximación. Esto genera una sucesión de valores que converge cuadráticamente a la raíz si se cumplen ciertas condiciones sobre la derivada segunda de la función. El método se interpreta gráficamente como seguir la trayectoria de las tangentes, y se demuestra su convergencia localmente bajo condiciones sobre el signo de
El documento trata sobre los conceptos de máximos y mínimos de funciones. Explica que los máximos y mínimos son valores extremos que toma una función y presenta el criterio de la primera derivada para encontrarlos. También incluye ejemplos de aplicación de este criterio para hallar los extremos de funciones dadas.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivabilidad de funciones de una variable, incluyendo la definición de derivada, interpretaciones geométricas, propiedades como la regla de la cadena y teoremas como el de Rolle y el valor medio. También introduce conceptos como la diferencial, derivadas parciales y la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones.
Este documento contiene 14 ejercicios resueltos sobre derivación de funciones. Los ejercicios cubren conceptos como la definición de derivada, reglas de derivación, derivación implícita, determinación de pendientes de rectas tangentes y normales, extremos absolutos de funciones, entre otros. Las soluciones muestran los pasos de cálculo para derivar funciones explícitas e implícitas y aplicar los resultados a problemas de máximos y mínimos.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre diferenciales de funciones de dos variables. Explica que una función Z=f(x,y) es diferenciable si su incremento Δz puede escribirse como Δz=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2Δy, donde ε1, ε2→0 cuando Δx,Δy→0. También introduce el diferencial total dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy y los diferenciales sucesivos d2z.
1) El documento trata sobre el tema de la antiderivada y la integral indefinida en cálculo. 2) Explica conceptos como la función primitiva, la interpretación geométrica de la antiderivada, y propiedades como la linealidad. 3) También presenta ejemplos de integrales inmediatas y cómo resolver ecuaciones diferenciales mediante el cálculo de integrales indefinidas.
Regla de la cadena para la anti-derivada.Rosa Puga
Este documento explica diferentes métodos para calcular antiderivadas o integrales indefinidas de funciones, incluyendo la regla de la cadena para la antiderivación. La regla de la cadena establece que si f es diferenciable en x y g es diferenciable en f(x), entonces la composición de funciones g(f(x)) es diferenciable y su derivada es g'(f(x)) * f'(x). También se explica la integración por partes, que corresponde a la regla del producto para la derivación.
El documento presenta una introducción sobre la importancia del estudio de las matemáticas y conceptos como el gradiente y las derivadas parciales. Luego define el gradiente, las derivadas parciales, el diferencial y la derivada direccional, y presenta ejemplos y ejercicios para ilustrar cada uno de estos conceptos. Finalmente concluye resaltando la importancia de comprender estos temas matemáticos.
Este documento presenta los conceptos de derivada direccional y derivada parcial. Explica que la derivada direccional de una función de varias variables es el límite de la variación de la función en una dirección dada, mientras que la derivada parcial es la variación de la función con respecto a una variable específica, considerando las demás constantes. Proporciona un ejemplo para calcular la derivada direccional de una función de dos variables.
Este documento explica el concepto de gradiente en funciones de varias variables. Define el gradiente como el conjunto ordenado de las derivadas parciales de una función en un punto. Explica que cada componente del gradiente indica cómo varía la función cuando varía cada variable de forma independiente. También introduce el concepto de derivada direccional y explica que es igual al producto escalar entre el gradiente y un vector unitario en la dirección deseada. Finalmente, presenta algunos ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida. Define la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función, representada por la notación ∫ f(x) dx. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es igual a cualquier primitiva F(x) de f(x) más una constante C. También enumera algunas propiedades importantes de la integral indefinida, como que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales individuales, y provee ejemplos para ilustrar estas propiedades.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo continuidad, derivadas parciales, diferencial total, derivación de funciones compuestas, gradiente, derivada direccional y derivadas de orden superior. Se definen términos como campo de existencia, líneas y superficies de nivel. Se explican fórmulas para calcular derivadas parciales, diferencial total, derivadas de funciones compuestas y derivadas direccionales. Finalmente, se presentan ejemplos para aplicar los conceptos.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de integración por sustitución. Explica que este método involucra realizar un cambio de variable en la integral para simplificarla. Provee ejemplos detallados de cómo aplicar los pasos de integración por sustitución y cuando es aconsejable usar este método, como cuando el integrando contiene un producto o cociente de funciones o guarda parecido con una integral inmediata. Finalmente, presenta una serie de ejercicios resueltos para practicar la aplicación de este método.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento trata sobre la integración indefinida. Define la primitiva de una función y proporciona ejemplos. Explica las propiedades de las primitivas y la notación de la integral indefinida. También presenta métodos para calcular integrales como el cambio de variable, la integración por partes y la integración de funciones racionales.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y aplicaciones de la derivada. Explica cómo usar la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones, y cómo calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta usando derivadas. También cubre temas como funciones implícitas, crecientes/decrecientes, formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
La integral indefinida o antiderivada es la operación inversa a la derivada que encuentra una función cuya derivada es igual a la función dada. Existen varios métodos para calcular la integral indefinida como la integración directa, la sustitución y la integración por partes. La notación común para la integral indefinida de una función f(x) es ∫f(x)dx=F(x) + C.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Presentacion derivacion e integracion de funciones de varias variables Andrei...AndreinaPrez6
Este documento discute el concepto histórico de límite y su evolución a través de varias etapas. También define los conceptos matemáticos de límite, continuidad y derivación para funciones de varias variables, y proporciona ejemplos de cómo aplicar estas definiciones. Finalmente, explica conceptos como derivadas parciales y reglas de la cadena para derivar funciones compuestas de varias variables.
Este documento introduce el concepto de derivada direccional. Explica que la derivada direccional de una función en un punto es el cambio en el valor de la función dividido por el cambio en la longitud cuando se avanza una pequeña distancia en una dirección particular desde ese punto. Proporciona una fórmula matemática para calcular la derivada direccional y explica que las derivadas parciales son casos especiales de la derivada direccional cuando se avanza en las direcciones de los ejes coordenados.
El método de Newton es un método iterativo para encontrar las raíces de una función. Se basa en aproximar suavemente la función mediante una tangente y usar el punto de intersección de la tangente con el eje x como la siguiente aproximación. Esto genera una sucesión de valores que converge cuadráticamente a la raíz si se cumplen ciertas condiciones sobre la derivada segunda de la función. El método se interpreta gráficamente como seguir la trayectoria de las tangentes, y se demuestra su convergencia localmente bajo condiciones sobre el signo de
El documento trata sobre los conceptos de máximos y mínimos de funciones. Explica que los máximos y mínimos son valores extremos que toma una función y presenta el criterio de la primera derivada para encontrarlos. También incluye ejemplos de aplicación de este criterio para hallar los extremos de funciones dadas.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivabilidad de funciones de una variable, incluyendo la definición de derivada, interpretaciones geométricas, propiedades como la regla de la cadena y teoremas como el de Rolle y el valor medio. También introduce conceptos como la diferencial, derivadas parciales y la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones.
Este documento contiene 14 ejercicios resueltos sobre derivación de funciones. Los ejercicios cubren conceptos como la definición de derivada, reglas de derivación, derivación implícita, determinación de pendientes de rectas tangentes y normales, extremos absolutos de funciones, entre otros. Las soluciones muestran los pasos de cálculo para derivar funciones explícitas e implícitas y aplicar los resultados a problemas de máximos y mínimos.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre diferenciales de funciones de dos variables. Explica que una función Z=f(x,y) es diferenciable si su incremento Δz puede escribirse como Δz=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2Δy, donde ε1, ε2→0 cuando Δx,Δy→0. También introduce el diferencial total dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy y los diferenciales sucesivos d2z.
1) El documento trata sobre el tema de la antiderivada y la integral indefinida en cálculo. 2) Explica conceptos como la función primitiva, la interpretación geométrica de la antiderivada, y propiedades como la linealidad. 3) También presenta ejemplos de integrales inmediatas y cómo resolver ecuaciones diferenciales mediante el cálculo de integrales indefinidas.
Regla de la cadena para la anti-derivada.Rosa Puga
Este documento explica diferentes métodos para calcular antiderivadas o integrales indefinidas de funciones, incluyendo la regla de la cadena para la antiderivación. La regla de la cadena establece que si f es diferenciable en x y g es diferenciable en f(x), entonces la composición de funciones g(f(x)) es diferenciable y su derivada es g'(f(x)) * f'(x). También se explica la integración por partes, que corresponde a la regla del producto para la derivación.
El documento presenta una introducción sobre la importancia del estudio de las matemáticas y conceptos como el gradiente y las derivadas parciales. Luego define el gradiente, las derivadas parciales, el diferencial y la derivada direccional, y presenta ejemplos y ejercicios para ilustrar cada uno de estos conceptos. Finalmente concluye resaltando la importancia de comprender estos temas matemáticos.
Este documento presenta los conceptos de derivada direccional y derivada parcial. Explica que la derivada direccional de una función de varias variables es el límite de la variación de la función en una dirección dada, mientras que la derivada parcial es la variación de la función con respecto a una variable específica, considerando las demás constantes. Proporciona un ejemplo para calcular la derivada direccional de una función de dos variables.
Este documento explica el concepto de gradiente en funciones de varias variables. Define el gradiente como el conjunto ordenado de las derivadas parciales de una función en un punto. Explica que cada componente del gradiente indica cómo varía la función cuando varía cada variable de forma independiente. También introduce el concepto de derivada direccional y explica que es igual al producto escalar entre el gradiente y un vector unitario en la dirección deseada. Finalmente, presenta algunos ejercicios de aplicación de estos conceptos.
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESStefanyMarcano
Links de los videos:
https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
https://www.youtube.com/watch?v=cPuE8bUEaUo
https://www.youtube.com/watch?v=XKgfHOaXhqs
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre derivadas y sus aplicaciones, incluyendo la tasa de variación media e instantánea, la derivada de funciones elementales y operaciones con funciones, y aplicaciones como el estudio de la monotonía y curvatura de funciones y la optimización de funciones.
El documento describe diferentes tipos de funciones y cómo calcular sus derivadas. Explica el cálculo de derivadas para funciones reales de variable real o vectorial, funciones vectoriales de variable real o vectorial, y funciones definidas implícita o paramétricamente. También cubre la regla de la cadena para funciones compuestas.
Derivacion e integracion de funcion de varias variables rev. finalJessLugo6
1) El documento trata sobre la derivación e integración de funciones de varias variables. 2) Introduce conceptos como derivadas parciales, diferencial total, gradiente, divergencia y rotor para funciones de más de una variable. 3) Explica cada uno de estos conceptos a través de definiciones formales y ejemplos ilustrativos.
1) El documento describe conceptos básicos de funciones de varias variables como derivadas parciales, vector gradiente, divergencia y rotacional. 2) Explica cómo generalizar los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad de funciones de una variable a funciones de varias variables. 3) Proporciona ejemplos para ilustrar el cálculo de derivadas parciales, vector gradiente, divergencia y rotacional.
El documento explica el concepto de diferencial y cómo se aplica para estimar errores y aproximaciones. La diferencial representa cómo varía una función cuando cambia su variable independiente en un pequeño incremento. Se proveen ejemplos de cómo usar la diferencial para calcular áreas, volúmenes, raíces y otros valores aproximados en ciencias, matemáticas y otras áreas.
1) El documento explica conceptos fundamentales sobre límites y continuidad de funciones, incluyendo definiciones de límite, continuidad y discontinuidad. 2) También presenta derivadas parciales de primer y segundo orden de funciones de varias variables, y cómo calcular diferenciales. 3) El documento utiliza ejemplos para ilustrar estos conceptos clave sobre funciones.
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial en varias variables. Contiene seis capítulos que cubren los siguientes temas: campos escalares, límites de campos escalares, diferenciación de campos escalares, plano tangente a algunas superficies, derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor, y máximos y mínimos. El documento proporciona definiciones, ejemplos y ejercicios para cada uno de estos temas fundamentales del cálculo multivariable.
1. El documento presenta notas de clase sobre cálculo multivariable. Incluye temas como funciones de varias variables, gráficas, límites, derivadas parciales y tangentes.
2. Se define una función de varias variables y se explican conceptos como dominio y rango. También se cubren sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones de varias variables.
3. Se explica cómo graficar funciones de dos variables y cómo dibujar mapas de contorno. También se definen límites y continuidad para funciones de dos y
Este documento presenta conceptos básicos de cálculo vectorial como: 1) derivadas matriciales y la matriz hessiana; 2) diferenciación de funciones vectoriales y la matriz jacobiana; 3) gradientes de funciones; 4) regla de la cadena para funciones de varias variables; y 5) reglas de derivación para funciones vectoriales.
Este documento introduce los campos vectoriales, que asignan un vector a cada punto del espacio. Se definen campos vectoriales en el plano y en el espacio, y se explican conceptos como su dominio, continuidad y representación gráfica. Luego, se presentan varios ejemplos de campos vectoriales como campos de fuerzas, gradientes y velocidades, ilustrando sus propiedades y aplicaciones. Finalmente, se introduce la noción de campo vectorial conservativo.
Este documento introduce conceptos clave del cálculo diferencial e integral de funciones reales de varias variables, incluyendo límites, derivadas parciales, gradiente, divergencia y rotacional. Explica definiciones, teoremas y propiedades con ejemplos para facilitar la comprensión de estos temas fundamentales. En conclusión, destaca la importancia de estas herramientas matemáticas para resolver problemas que involucran magnitudes como velocidad y aceleración media.
Este documento trata sobre el cálculo diferencial en funciones de varias variables. Introduce conceptos como límites y continuidad, derivadas parciales, diferencial de una función, derivadas direccionales y gradiente. Explica funciones reales de varias variables reales, su dominio e imagen, y cómo representarlas de forma explícita, implícita o paramétrica. También describe la gráfica de una función y los conjuntos de nivel.
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencialdanis_garcia
La derivada de una función mide la tasa de cambio de la función con respecto a cambios en su variable independiente. La derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Las derivadas tienen muchas aplicaciones importantes en física, química, economía y otras áreas.
Este documento introduce conceptos sobre el cálculo de integrales de funciones de varias variables. Explica cómo calcular integrales dobles y triples, las cuales son útiles para calcular áreas, volúmenes, cargas eléctricas y flujos de campos vectoriales. También cubre temas como derivadas parciales, derivación implícita, y el uso de multiplicadores de Lagrange para problemas de optimización con restricciones.
Metodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasicaMetodo de lagrange en mecanica clasica
Este documento ha sido elaborado por el Observatorio Ciudadano de Seguridad Justicia y Legalidad de Irapuato siendo nuestro propósito conocer datos sociodemográficos en conjunto con información de incidencia delictiva de las 10 colonias y/o comunidades que del año 2020 a la fecha han tenido mayor incidencia.
Existen muchas más colonias que presentan cifras y datos en materia de seguridad, sin embargo, en este primer acercamiento lo que se prevées darle al lector una idea de como se encuentran las colonias analizadas, tomando como referencia los datos del INEGI 2020, datos del Secretariado Ejecutivo del Sistema Nacional de Seguridad Pública del 2020 al 2023 y las bases de datos propias que desde el 2017 el Observatorio Ciudadano ha recopilado de manera puntual con datos de las vıć timas de homicidio doloso, accidentes de tránsito, personas lesionadas por arma de fuego, entre otros indicadores.
LINEA DE TIEMPO Y PERIODO INTERTESTAMENTARIOAaronPleitez
linea de tiempo del antiguo testamento donde se detalla la cronología de todos los eventos, personas, sucesos, etc. Además se incluye una parte del periodo intertestamentario en orden cronológico donde se detalla todo lo que sucede en los 400 años del periodo del silencio. Basicamente es un resumen de todos los sucesos desde Abraham hasta Cristo
Reporte homicidio doloso descripción
Reporte que contiene información de las víctimas de homicidio doloso registradas en el municipio de Irapuato Guanajuato durante el periodo señalado, comprende información cualitativa y cuantitativa que hace referencia a las características principales de cada uno de los homicidios.
La información proviene tanto de medios de comunicación digitales e impresos como de los boletines que la propia Fiscalía del Estado de Guanajuato emite de manera diaria a los medios de comunicación quienes publican estas incidencias en sus distintos canales.
Podemos observar cantidad de personas fallecidas, lugar donde se registraron los eventos, colonia y calle así como un comparativo con el mismo periodo pero del año anterior.
Edades y género de las víctimas es parte de la información que incluye el reporte.
Minería de Datos e IA Conceptos, Fundamentos y Aplicaciones.pdfMedTechBiz
Este libro ofrece una introducción completa y accesible a los campos de la minería de datos y la inteligencia artificial. Cubre todo, desde conceptos básicos hasta estudios de casos avanzados, con énfasis en la aplicación práctica utilizando herramientas como Python y R.
También aborda cuestiones críticas de ética y responsabilidad en el uso de estas tecnologías, discutiendo temas como la privacidad, el sesgo algorítmico y transparencia.
El objetivo es permitir al lector aplicar técnicas de minería de datos e inteligencia artificial a problemas reales, contribuyendo a la innovación y el progreso en su área de especialización.
Minería de Datos e IA Conceptos, Fundamentos y Aplicaciones.pdf
Matematica 3
1. Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
Conceptos de gradiente y de derivada
direccional
Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela1
Universidad de Salamanca.
20 de septiembre de 2012
v1.1: 28 de enero de 2013
Gradiente es la generalización de derivada a funciones de más de una variable. Es útil
en física e ingeniería. También lo es la derivada direccional, con la que el gradiente está
relacionado. Para facilitar la comprensión de ambos conceptos, nos ocupamos de ellos
aquí pensando principalmente en sus aplicaciones.
En este comentario utilizaremos ideas del artículo Conceptos de derivada y de
diferencial de esta misma sección Comentarios Técnicos, por lo que puede convenir su
previa lectura.
1. Derivadas parciales
La derivada de una función real y de una variable real x en un punto x0 es lo que varía y
por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0 . Se escribe
′y x0( )=
dy
dx
⎞
⎠
⎟
x0
En funciones reales de más de una variable real se define de la misma forma la derivada
para cada una de esas variables. Por ejemplo, para la función de tres variables f x,y,z( )
la expresión
df x,y,z( )
dx
⎞
⎠
⎟
x0
(1)
designa la derivada de f x,y,z( ) respecto a x en x = x0 , cuya definición es
df x,y,z( )
dx
⎞
⎠
⎟
x0
= lim
h→0
f x0 +h,y,z( )− f x0,y,z( )
h
1
Lucía Redondo Cortés ha hecho la figura del texto.
2. 2 R. C. Redondo, N. R. Melchor, F. R. Quintela
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
O sea, se considera x como única variable. Esa derivada es lo que varía f x,y,z( ) por
cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0 .
Para poner más claramente de manifiesto que f x,y,z( ) es función de más de una
variable, en vez de escribir esa derivada como en (1), se escribe
∂ f x,y,z( )
∂x
⎞
⎠
⎟
x0
con la letra delta ∂ del alfabeto griego en lugar de d. Y se lee derivada parcial de
f x,y,z( ) respecto a x. Por tanto, derivada parcial de la función f x,y,z( ) respecto a x
en x0 es
∂ f x,y,z( )
∂x
⎞
⎠
⎟
x0
= lim
h→0
f x0 +h,y,z( )− f x0,y,z( )
h
Si ese límite existe es una función del resto de las variables, en este caso de y, z. Y es lo
que varía f x,y,z( ) por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0
para cada par de valores y,z( ).
La función derivada parcial de f x,y,z( ) respecto a x da la derivada parcial de
f x,y,z( ) para cada valor de x:
∂ f x,y,z( )
∂x
= lim
h→0
f x+h,y,z( )− f x,y,z( )
h
y es otra función de x, y, z.
Se ve que la derivada parcial respecto a una variable se obtiene como la derivada de una
función cuya única variable fuera la variable respecto a la que se deriva. Por eso las
reglas de derivación son las mismas que para una sola variable, considerando las demás
como constantes.
En física e ingeniería aparecen de continuo funciones reales de más de una variable real.
Entre ellas magnitudes del espacio ordinario. Por ejemplo, la temperatura tiene un valor
en cada punto del espacio. Es, por tanto, una función real T x,y,z( ) de las coordenadas
de cada punto del espacio, una función real de tres variables reales. El potencial
eléctrico tiene también un valor en cada punto del espacio. Ese valor es un número real.
Es, por tanto, una función real V x,y,z( ) de las coordenadas de los puntos del espacio2
.
________________________________
2
Las magnitudes que son funciones reales se llaman en física magnitudes escalares. Por tanto la
temperatura y el potencial eléctrico de puntos del espacio son magnitudes escalares.
3. Concepto de gradiente 3
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
Ejemplo:
Si f x,y,z( )= 3x2
yz+5xz+6 ,
∂ f
∂x
= 6xyz+5z;
∂ f
∂x
⎞
⎠
⎟
x=1
= 6yz+5z;
∂ f
∂x
⎞
⎠
⎟
0,2,−1( )
= −5
∂ f
∂y
= 3x2
z; ∂ f
∂y
⎞
⎠
⎟
y=1
= 3x2
z;
∂ f
∂y
⎞
⎠
⎟
0,2,−1( )
= 0
∂ f
∂z
= 3x2
y+5x;
∂ f
∂z
⎞
⎠
⎟
z=1
= 3x2
y+5x;
∂ f
∂z
⎞
⎠
⎟
0,2,−1( )
= 0
La columna de la derecha expresa que en el punto (0, 2, -1) la función f disminuye 5
unidades por cada unidad que aumenta x, y que en ese punto f no varía si varían y y z.
________________________________
Diferencial
Al hallar la derivada parcial de una función respecto a una variable en un punto, el resto
de las variables se consideran constantes. Por tanto, la diferencial en ese punto respecto
a la variable que se deriva es una diferencial de una función de una variable. Se llama
diferencial parcial respecto a esa variable o, simplemente, diferencial respecto a esa
variable en ese punto. Por ejemplo, la diferencial de f x,y,z( ) respecto a x en un punto
x0,y,z( ) es
df )x0
=
∂ f
∂x
⎞
⎠
⎟
x0
dx (2)
Es la diferencial de f en x0 considerando x como única variable. Es una función lineal
de dx para cada par de valores y,z( ). Su valor para dx =1 es el de la derivada parcial de
la función en x0 para cada par de valores y,z( ).
La representación gráfica de f x,y,z( ) como función solo de x, es una curva del plano
para cada par de valores y,z( ). La representación gráfica de (2), como la de toda
diferencial de una función real de una variable real, es una recta de dirección tangente a
esa curva en el punto x = x0 . Su pendiente es ∂ f ∂x)x0
.
Por tanto, la diferencial respecto a una variable x es una aproximación de lo que varía f
si se incrementa x una cantidad dx. Exactamente lo mismo que la diferencial de una
4. 4 R. C. Redondo, N. R. Melchor, F. R. Quintela
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
función real de una sola variable real. Y lo mismo para el resto de las diferenciales
respecto a las demás variables de f.
La suma de las diferenciales de f respecto a varias variables se llama diferencial total de
f respecto a esas variables. Por ejemplo, la diferencial de f respecto a x e y en x0,y0( ) es
df ) x0 ,y0( ) =
∂ f
∂x
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0( )
dx+
∂ f
∂y
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0( )
dy
Da idea de lo que se incrementa f si se incrementa x una cantidad dx e y una cantidad dy
en entornos de x0,y0( ) , manteniendo z constante. Es una función lineal cuyas variables
son dx y dy que aproxima f en entornos de x0,y0( ) para cada valor fijo de z.
La diferencial total respecto a las tres variables en x0,y0,z0( ) es
df ) x0 ,y0 ,z0( ) =
∂ f
∂x
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
dx+
∂ f
∂y
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
dy+
∂ f
∂z
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
dz (3)
Da idea de lo que se incrementa f si se incrementan x una cantidad dx, si se incrementa y
una cantidad dy, y z una cantidad dz a partir de x0,y0,z0( ). Es una función lineal de
variables dx, dy, dz que aproxima f en entornos de x0,y0,z0( ). Si está claro cuáles son
las variables de una función, la expresión diferencial total, sin especificación de
variables, designa la diferencial respecto a todas las variables. Así, (3) es la diferencial
total de f x,y,z( ).
La diferencial en un punto de funciones reales de varias variables reales tiene la misma
utilidad que la diferencial de funciones reales de una variable real: dar idea aproximada
de lo que varía la función en cada punto para incrementos de las variables en entornos
de esos puntos. Es una aproximación lineal de la función en los entornos de ese punto.
Para conocer aproximadamente esa variación no hace falta conocer la función, sino solo
las derivadas parciales en ese punto. El incremento aproximado de f se halla entonces
con (3), sumando los incrementos aproximados debidos a cada variable. Además, como
ocurre para las funciones reales de una variable real, todas la funciones que en un punto
tengan las mismas derivadas parciales, tienen la misma función diferencial en ese punto.
La expresión
df =
∂ f
∂x
dx+
∂ f
∂y
dy+
∂ f
∂z
dz
designa la diferencial de f en cualquier punto (x,y,z).
____________________________
Ejemplo:
5. Concepto de gradiente 5
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
La diferencial de la función f x,y,z( )= 3x2
yz+5xz+6 es
df = 6xyz+5z( )dx + 3x2
z( )dy+ 3x2
y+5x( )dz
Es una función lineal de las variables dx, dy, dz para cada punto (x,y,z).
Las diferenciales en los punto 0,2,−1( ) y 1,−1,−1( ) son respectivamente
df ) 0,2,−1( ) = −5dx
df ) 1,−1,−1( ) = dx − 3dy+2dz
Es decir, fijado el punto (x,y,z), la diferencial es función exclusivamente de dx, dy, dz.
Para dx =1; dy = 8 ; dz = −2 los valores de esas diferenciales son −5 y −27 .
_____________________________
Gradiente
Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al
conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto.
Por tanto, el gradiente de una función f x,y,z( ) en el punto x0,y0,z0( ) es
∂ f
∂x
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
,
∂ f
∂y
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
,
∂ f
∂z
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Se denota por ∇f . Es decir,
∇f ) x0 ,y0 ,z0( ) =
∂ f
∂x
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
,
∂ f
∂y
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
,
∂ f
∂z
⎞
⎠
⎟
x0 ,y0 ,z0( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Cada derivada parcial en el punto x0,y0,z0( ) se llama componente del gradiente en ese
punto.
La derivada en un punto de una función real de variable real informa de lo que varía la
función por cada unidad que varía la variable independiente en ese punto. La misma
información da el gradiente con cada una de sus componentes: informa de lo que varía
la función por cada unidad que varía cada variable en el punto que se considere. Así,
que el gradiente de una función f x,y,z( ) en el punto 3,−2,4( ) sea 2, 0, −1( ) significa
6. 6 R. C. Redondo, N. R. Melchor, F. R. Quintela
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
que, por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de 3 manteniéndose y y
z en los valores y = −2 y z = 4 , f varía 2; que f no varía si y varía en pequeños entornos
de -2 con x y z constantes en 3 y 4; y que f disminuye 1 por cada unidad que se
incrementa z en pequeños entornos de 4 con x e y en 3 y -2.
El gradiente de la función f en cualquier punto (x, y, z) se designa por
∇f =
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ (5)
El símbolo ∇ se llama nabla3
. Se dice que nabla es un operador4
que, para tres variables
x, y, z es
∇ =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Puesto delante de una función f real de tres variables reales indica (5); o sea, da el
gradiente de f.
∇f se lee gradiente de f, y nabla de f.
Gradiente de f se designa también con gradf, de manera que se puede escribir
gradf = ∇f =
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Si f es función de una sola variable, su gradiente en cada punto solo tiene una
componente, que es la derivada de f en ese punto.
Como cada derivada parcial en un punto de una función es un número real, el gradiente
en cada punto es un conjunto ordenado de números reales; o sea, un vector de
dimensión el número de variables de la función f. Así ∇f x,y,z( ) es un vector de
dimensión 3 en cada punto x,y,z( ). Por eso el gradiente de f x,y,z( ) se escribe también
gradf = ∇f =
∂ f
∂x
i+
∂ f
∂y
j +
∂ f
∂z
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
Parece que el nombre se debe al nombre griego de un instrumento musical parecido a un arpa
que tiene aproximadamente forma triangular. También parece que se lo puso Maxwell más o
menos humorísticamente. Como el símbolo de la letra griega delta mayúscula es Δ , el de nabla,
∇ , es una delta invertida.
4
Que nabla es un operador significa que se puede relacionar con las funciones de diferentes
formas. La única relación que se utiliza en este artículo consiste en ponerlo delante de una
función real de varias variables reales. Puesto así significa gradiente de esa función. Por
ejemplo, ∇f x, y,z( )=
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
7. Concepto de gradiente 7
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
El gradiente de f es, por tanto, una función vectorial5
de las mismas variables reales que
f.
Si una función vectorial es el gradiente de una función escalar, la función escalar se
llama potencial de la función vectorial. Por tanto la función f es el potencial de la
función vectorial gradf= ∇f .
Con la nueva notación resulta que el operador ∇ se puede escribir con cualquiera de los
tres miembros de la igualdad
∇ =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
∂
∂x
i+
∂
∂y
j +
∂
∂z
k
Y el gradiente de f con cualquiera de los siguientes cuatro miembros:
gradf = ∇f =
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
∂ f
∂x
i+
∂ f
∂y
j +
∂ f
∂z
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
De la constatación de que el gradiente es un vector surgen algunas interpretaciones
interesantes. Por ejemplo, consideremos un vector cualquiera
dr = dx,dy,dz( )= dxi+dyj +dzk
El producto escalar del gradiente por ese vector es
∇f ⋅dr =
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ dx,dy,dz( )=
∂ f
∂x
dx +
∂ f
∂y
dy+
∂ f
∂z
dz = df
O, con la nueva notación,
∇f ⋅dr =
∂ f
∂x
i+
∂ f
∂y
j +
∂ f
∂z
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ dxi+dyj +dzk( )=
∂ f
∂x
dx +
∂ f
∂y
dy+
∂ f
∂z
dz = df
Es decir, el producto escalar del gradiente en un punto de una función f por un vector
cualquiera dr = dx,dy,dz( )= dxi+dyj +dzk es la diferencial de f en ese punto.
___________________________
Ejemplo
El gradiente de la función f x,y,z( )= 3x2
yz+5xz+6 es la función vectorial
5
Se llama función vectorial de dimensión n a cada función cuyo conjunto de llegada es Rn
. R
designa el cuerpo de los números reales.
8. 8 R. C. Redondo, N. R. Melchor, F. R. Quintela
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∇f = 6xyz+5z, 3x2
z, 3x2
y+5x( )
Los gradientes en los puntos 0,2,−1( ) y 1,−1,−1( ) son, respectivamente, los vectores
∇f 0,2,−1( ) = −5i
∇f 1,−1,−1( ) = i − 3 j +2k
La función diferencial de f en cada punto x,y,z( ) es la función de dx,dy,dz( )
df = ∇f ⋅dr = 6xyz+5z( )dx + 3x2
z( )dy+ 3x2
y+5x( )dz
Las funciones diferenciales en los puntos 0,2,−1( ) y 1,−1,−1( ) son respectivamente
df 0,2,−1( ) = ∇f 0,2,−1( ) ⋅dr = −5dx
df 1,−1,−1( ) = ∇f 1,−1,−1( ) ⋅dr = dx − 3dy+2dz
Para dr = dx,dy,dz( )= −1,3,−2( ) , esas diferenciales valen 5 y -14.
_______________________________
Derivada direccional
Cada vector del espacio ordinario tiene un módulo y una dirección. Cuando se fija un
vector dr = dx,dy,dz( )= dxi+dyj +dzk dando valores concretos a dx,dy,dz , se fija su
módulo y su dirección. Cada valor de la diferencial de la función f en un punto x,y,z( )
es el producto escalar de su gradiente en ese punto por un vector dr, es decir,
∇f ⋅dr =
∂ f
∂x
dx+
∂ f
∂y
dy+
∂ f
∂z
dz = df
En cada punto x,y,z( ) el gradiente ∇f es fijo, tiene un valor concreto; pero el vector
dr puede ser cualquiera; puede tener cualquier módulo y cualquier dirección.
____________________________
Ejemplo
La diferencial de f x,y,z( )= 3x2
yz+5xz+6 en el punto 1,−1,−1( ) es
9. Concepto de gradiente 9
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df 1,−1,−1( ) = ∇f 1,−1,−1( ) ⋅dr = dx − 3dy+2dz
Su valor para el vector dr = dx,dy,dz( )= −1,3,−2( ) es -14. Para dr = 3,2,1( ) , que tiene
el mismo módulo que el anterior, pero dirección distinta, la diferencial vale -1.
____________________________
Hay infinitos vectores para cada dirección. Cada vector de una dirección se obtiene de
cualquiera otro de esa dirección multiplicándolo por un número real. El vector más
representativo de cada dirección es el vector unitario de esa dirección, que es el vector
de esa dirección cuyo módulo es la unidad. Para obtener el vector unitario u de una
dirección a partir de cualquier otro vector v de esa dirección hay que dividir v por su
módulo. El vector
u =
dr
dr
es un vector unitario6
de la misma dirección que dr. Y como de la anterior igualdad
dr = dr u = λu , resulta que cualquier vector dr de una dirección se obtiene
multiplicando el vector unitario de esa dirección por un número real λ , que es el
módulo de dr.
Que desde un punto x0,y0,z0( ) del espacio ordinario se avance la distancia λ en la
dirección de un vector unitario u significa que al vector x0,y0,z0( ) se suma el vector
λu (Fig. 1). En efecto, como el módulo de u es la unidad, si λ vale 2 se avanza dos
unidades, y si vale −0.5 se retrocede 0.5 unidades.
x
z
y
(x ,y ,z )0 0 0
u
(x ,y ,z )0 0 0
+
λu
λu
Fig. 1.- Trasladarse λ unidades en la dirección de u desde el punto
x0,y0,z0( ) significa sumar el vector λu al vector x0,y0,z0( ) .
6
En efecto, su módulo es 1, pues
u =
dr
dr
=
dx
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+
dy
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+
dz
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
=
1
dr
dx( )2
+ dy( )2
+ dz( )2
=
dr
dr
= 1
10. 10 R. C. Redondo, N. R. Melchor, F. R. Quintela
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
A veces interesa lo que varía una función f x,y,z( ) definida en el espacio ordinario por
cada unidad de longitud que se avanza a partir de un punto x0,y0,z0( ) en la dirección
de un vector unitario u . Para hallar esa variación, nos movemos una distancia λ a
partir de x0,y0,z0( ) en esa dirección. Eso significa pasar del punto x0,y0,z0( ) al punto
x0,y0,z0( )+λu . Por tanto la función ha pasado de valer f x0,y0,z0( ) a valer
f x0,y0,z0( )+λu⎡⎣ ⎤⎦. Su incremento ha sido
f x0,y0,z0( )+λu⎡⎣ ⎤⎦− f x0,y0,z0( )
Y la variación media por unidad de longitud en la dirección de u es
f x0,y0,z0( )+λu⎡⎣ ⎤⎦− f x0,y0,z0( )
λ
Lo que varía la función en los entornos más pequeños de x0,y0,z0( ) por cada unidad de
longitud en la dirección u se obtiene haciendo tender a cero la distancia λ que nos
movemos a partir de x0,y0,z0( ):
lim
λ→0
f x0,y0,z0( )+λu⎡⎣ ⎤⎦− f x0,y0,z0( )
λ
Si ese límite existe se llama derivada de la función f en el punto x0,y0,z0( ) en la
dirección de u. La derivada en la dirección de u en un punto cualquiera x,y,z( ) se
designa por Du f . Por tanto,
Du f = lim
λ→0
f x,y,z( )+λu⎡⎣ ⎤⎦− f x,y,z( )
λ
(6)
Si esa derivada existe para todas las direcciones que parten de un punto, es decir, para
cualquier vector unitario u, existen las tres derivadas parciales de f en ese punto, y
pueden obtenerse de (6) eligiendo como vector u el vector unitario en la dirección de
cada eje de coordenadas. Por ejemplo, el vector unitario en la dirección de x es
u = 1,0,0( )
Y (6) queda
lim
λ→0
f x,y,z( )+λ 1,0,0( )⎡⎣ ⎤⎦− f x,y,z( )
λ
= lim
λ→0
f x+λ,y,z( )− f x,y,z( )
λ
=
∂ f
∂x
De la misma forma para las otras variables.
Si f es función de una sola variable, entonces el vector unitario solo tiene una
componente, que vale 1. Es decir, u = 1( ), y (6) queda
11. Concepto de gradiente 11
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
lim
λ→0
f x+λ( )− f x( )
λ
=
df
dx
,
que es la derivada de una función real de una sola variable real.
O sea, (6) es una definición muy general de derivada que incluye como casos
particulares las definiciones de derivada parcial y de derivada de una función real de
una variable real. La derivada definida en (6) se llama derivada direccional.
Gradiente y derivada direccional
La diferencial de f x,y,z( )
df = ∇f ⋅dr =
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ dx,dy,dz( )=
∂ f
∂x
dx +
∂ f
∂y
dy+
∂ f
∂z
dz (7)
es lo que varía f x,y,z( ) si, desde el punto x,y,z( ) se pasa al punto
x +dx,y+dy,z+dz( ), que se obtiene sumando al vector x,y,z( ) el vector
dr = dx,dy,dz( ). La distancia que así nos movemos es el módulo de dr. Por tanto, si (7)
se divide por dr = dx( )2
+ dy( )2
+ dz( )2
, resulta lo que varía f por cada unidad que
nos movemos en la dirección de dr; o sea, al dividir por dr , (7) resulta la derivada
direccional Du f en la dirección del vector dr . Pero, al dividir en (7) por dr , el
segundo miembro se transforma en
∇f ⋅
dr
dr
= ∇f ⋅u = ∇f cosα = Du f (8)
Donde u = dr dr es el vector unitario en la dirección de dr , y α el ángulo que forman
los vectores ∇f y u.
Por tanto, la derivada Du f de una función f en un punto en la dirección de un vector
unitario u es el producto escalar del gradiente en ese punto por u:
Du f = ∇f ⋅u (9)
O, lo que es lo mismo, la derivada de una función f en un punto y en una dirección es la
proyección sobre esa dirección del gradiente de la función en ese punto.
________________________
Ejemplo:
12. 12 R. C. Redondo, N. R. Melchor, F. R. Quintela
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
El gradiente de f x,y,z( )= 3x2
yz+5xz+6 es
∇f = 6xyz+5z, 3x2
z, 3x2
y+5x( )
La derivada en cualquier punto x,y,z( ) en la dirección del vector 1,−2,−1( ), cuyo
módulo es 6 , es
Du f = ∇f ⋅u = 6xyz+5z, 3x2
z, 3x2
y+5x( )⋅
1
6
,
−2
6
,
−1
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= 6xyz+
5
6
z − 6x2
z −
3
2
x2
y−
5
6
x
Es una función que da la derivada de f en cada punto x,y,z( ) en la dirección del vector
1,−2,−1( ). Esa derivada en x,y,z( )= 1,0,−1( ) es −5
2
3
+ 6 . Significa que, por cada
unidad que se avanza en pequeños entornos del punto 1,0,−1( ) en la dirección del
vector 1,−2,−1( ), la función se incrementa −5
2
3
+ 6 −1.63.
________________________
El producto escalar (8) o (9) es máximo si cosα =1; o sea, si α = 0 , que significa que la
dirección de u es la del gradiente7
. Entonces (8) y (9) valen ∇f . Por tanto, la derivada
direccional de una función en un punto es máxima en la dirección de su gradiente en
ese punto, y vale el módulo de ese gradiente. Por eso se dice que el módulo del
gradiente de una función en un punto es la derivada direccional máxima de la función
en ese punto.
Resumen
En lo anterior nos hemos referido principalmente a funciones reales de tres variables
reales porque son las que más aparecen en ingeniería. Además, los conceptos son más
fáciles de interpretar en el espacio tridimensional ordinario, lo que hace didácticamente
aconsejable centrar la atención sobre las funciones reales de tres variables reales. Pero
los resultados son válidos para cualquier número de variables. Por eso el resumen que
sigue lo hacemos para funciones reales de n variables reales.
7
El producto escalar de un vector v por otro unitario u con el que forma el ángulo α es
v⋅u = 1 v cosα . Resulta la proyección de v en la dirección de u. Es máximo si α = 0; o sea,
si los dos vectores tienen la misma dirección. Entonces el producto escalar es el modulo de v .
13. Concepto de gradiente 13
Descargado de http://www.usal.es/electricidad v1.1
Derivada parcial de la función real de n variables reales f x1,x2,…,xn( ) respecto a
xk k=1,...,n( ) es
∂ f x1,x2,…,xn( )
∂xk
= lim
h→0
f x1,x2,…,xk +h,…,xn( )− f x1,x2,…,xn( )
h
Diferencial total de f x1,x2,…,xn( ) en un punto x1,x2,…,xn( ) es la función lineal de
las variables reales dx1,dx2,…,dxn( )
df =
∂ f
∂x1
dx1 +
∂ f
∂x2
dx2 + +
∂ f
∂xn
dxn
Gradiente de f x1,x2,…,xn( ) es la función vectorial de variables x1,x2,…,xn( )
gradf = ∇f =
∂ f
∂x1
,
∂ f
∂x2
, ,
∂ f
∂xn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Se llama nabla al operador
∇ =
∂
∂x1
,
∂
∂x2
, ,
∂
∂xn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
La generalización del producto escalar de dos vectores de dimensión 3 a dos vectores de
dimensión n se llama producto interno de los dos vectores. Si dr= dx1,dx2, ,dxn( ), la
diferencial de la función f x1,x2,…,xn( ) es el producto escalar o interno
∇f ⋅dr = df
La generalización de módulo de un vector de dimensión 3 a vectores de dimensión n se
llama norma. La norma de un vector dr= dx1,dx2, ,dxn( ) es
dr = dx1( )2
+ dx2( )2
+ + dxn( )2
Vector unitario es cada vector de módulo o norma 1.
Vector unitario en la dirección de un vector dr es el vector
u =
dr
dr
Se llama derivada de la función f x1,x2,…,xn( ) en la dirección del vector unitario u a
14. 14 R. C. Redondo, N. R. Melchor, F. R. Quintela
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Du f = lim
λ→0
f x1,x2,…,xn( )+λu⎡⎣ ⎤⎦− f x1,x2,…,xn( )
λ
Si la componente h de u vale 1 y el resto de las componentes cero, la derivada
direccional resulta la derivada parcial respecto a xh . Y si n=1, la derivada direccional es
la derivada de la función f.
La derivada de una función f x1,x2,…,xn( ) en un punto en cualquier dirección es el
producto escalar o producto interno del gradiente en ese punto por el vector unitario de
esa dirección:
Du f = ∇f ⋅u
La derivada direccional máxima de una función en cada punto es la derivada en la
dirección del gradiente en ese punto, y vale el módulo o norma del gradiente en ese
punto.