Regla de la cadena

La Regla de la Cadena Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers Para el curso de cálculo Multivariable de Marcos Sandoval

Introducción Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones derivble, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple: Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones

Caso 1 Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que: Veamos esta fórmula de manegra gráfica :

Si representa la temperatura en el punto (x,y) y Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva Ejemplo T x y t t +

Ejemplo Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces

Caso 1 ( General) Suponga que z es una función derivable de las n variables x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n , en donde cada x j es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:

Caso 2 Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:

Caso 2 x y t t s s + + Z =f (x,y)

Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y de z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen . Entonces

Ejemplo Demuesrtre que x y   r r Z =f (x,y)

Segunda derivada La segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original. Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada f x (x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para f y (x,y)). Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo… Muestre que cualquier función de la forma Donde a es una constante, cumple con la ecuación: Solución: Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces

Ejemplo Demuestre que: Del ejemplo anterior, tenemos que

ejemplo… Simplificando resulta, Así, COMPRUEBELO!!

Ecuación de Laplace Definición:Sea f una función, f:IR n  IR, diferenciable, se define el Laplaciano de f Y se denomina la ecuación de Laplace a:

Ejemplo Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es, Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace. Demostración: Lo que queremos probar es que:

Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces u v y y x x Z =f (u,v)

Entonces, Ecuación de Laplace para f

Derivación Implícita Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto: Tenemos la ecuación

Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular  z/  x,  z/  y

Supongamos que queremos calcular  z/  x

Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:

Ejemplo Supongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y.Calcular  z/  x. Solución: Sea u=xy, v = z/y

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