Este documento presenta conceptos fundamentales sobre diferenciales de funciones de dos variables. Explica que una función Z=f(x,y) es diferenciable si su incremento Δz puede escribirse como Δz=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2Δy, donde ε1, ε2→0 cuando Δx,Δy→0. También introduce el diferencial total dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy y los diferenciales sucesivos d2z.

1. ANALISIS MATEMATICO 3
DIFERENCIALES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
ALUMNO – LEONARDO LÓPEZ

2. REPASO
EN FUNCIONES DE UNA VARIABLE
La derivada de una función la podemos expresar como
Y’ = f’x = dy/dx
Ademas si consideramos a
∆x = incremento de la variable independiente
Tenemos que el diferencial de una función se puede expresar como
dy = df = f’x . ∆x
Además se vio que cuando el ∆x es pequeño el cociente incremental

3. ∆f/ ∆x difiere de f’x en un número pequeño que llamamos
Є (epsilón) donde Є = ∆f/∆x - f’x para un ∆x pequeño
Є 0 cuando ∆x 0
Multiplicando todo por ∆x
Є. ∆x = ∆f - f’x . ∆x
De donde se obtiene ∆f = f’x. ∆x + Є . ∆x
donde f’x. ∆x es el diferencial de la función
En una variable fx es diferenciable si el incremento de una función
Se puede escribir del siguiente modo ∆y = f’x. ∆x + Є . ∆x donde
Є es un número que depende de ∆x y Є o cuando ∆x 0

4. En funciones de una variable independiente y = fx es equiva
lente decir diferenciable o derivable, esto no es asi en funcio
nes de 2 o mas variables independientes
FUNCIONES DE 2 O MAS VARIABLES
DIFERENCIABILIDAD
Definición
Sea Z = f (x, y) una función de dos variables independientes x e y, decimos que f
Es diferenciable en el punto (X0 Y0) de su dominio si el incremento de la función
En dicho punto se puede escribir del siguiente modo
∆f (X0 Y0) = fx (X0,Y0). ∆x + fy (X0,Y0). ∆y + Є1. ∆x + Є2 . ∆y
donde Є1 y Є2 son funciones que dependen de ∆x y ∆y respectivamente y
Є1 0 cuando ∆x 0 y Є2 0 cuando ∆y 0

5. Ejercicio
probar que la función Z=f(x,y) = x² + 3y es diferenciable en
todos los puntos del plano R²
Δf = f(x + Δx, y + Δy) – f(x,y)
Δf = (x + Δx)² + 3(y + Δy) – (x²+3y)
Δf= x² + 2xΔx + Δx² + 3y + 3Δy – x² - 3y
Δf= 2xΔx + Δx²+3Δy
fx = 2x 2xΔx + 3Δy + Δx Δx + 0 Δy
Fy = 3 fx.Δx + fyΔy + ϵı Δx + ϵ2 Δy
Df = 2xΔx + 3Δy + Δx Δx + 0 Δy ϵ1 0 Δx 0 ϵ2 0
Se encontró un ϵı y un ϵ2 tal que da la ecuación, es decir

6. f(x,y) = x² + 3y la función f(x,y) es diferenciable en R²
por lo tanto la diferencialidad => derivabilidad
Función Diferenciable
Z = f(x,y) una función de dos variables es diferenciable en un
punto (x,y) si el incremento de la función Δz se puede expresar
Δz = Δf = fx (x,y)Δx + fy(x,y)Δy + ϵ1Δx1 + ϵ2 Δx2
ϵ1 = ϵ1(Δx) 0 cuando Δx 0
ϵ2 = ϵ2 (Δy) 0 cuando Δy 0

7. Teorema
Diferencialidad => Continuidad
Sea Z=f(x,y) una función de 2 variables reales
Si f(x,y) es diferenciable en un punto x0 y0 entonces f(x,y) es continua en ese
punto
Anteriormente se probo que Z=f(x,y) = x² + 3y es diferenciable en R². Por lo tanto
f(x,y) es continua en R²
Observación
Para funciones de 2 o mas variables la sola existencia de las derivadas parciales
en un punto no asegura la continuidad en dicho punto
Ej.
x.y si (x.y) ≠ (0,0)
Sea f(x,y) x² + y²
0 si (x,y) = (0.0)

8. Df(x,y) = R²
se analiza la existencia de derivadas parciales en el punto (0.0)
fx (0;0) = lim f(0+∆x ; 0) – f(0.0)
∆x 0 ∆x
(0+∆x).0 -0 0
(0+∆x)² + 0² ∆x²
= lim = lim
∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x
0 = 0 fx en (0;0) = 0
=Lim ∆x³
∆x 0

9. fy (0;0) = lim f(0;0+∆y) – f(0;0)
∆y 0 ∆y
0.(0 + ∆y) - 0
0² + (0 + ∆y)²
lim Lim 0 = 0
∆y 0 ∆y ∆y 0 ∆y³
fy (0;0) = 0
Se analiza la continuidad de la función f(x,y)

10. a) f(0;0) = 0
lim x . y = lim x.y = lim x.(mx)
x 0 x²+y² x 0 x²+y² x 0 x² + m²x²
y 0 y =mx y=mx
= lim mx² = m
x 0 x²(1+m²) 1+m²
El limite doble depende de la trayectoria por lo tanto lim f(x , y) no existe
x 0
y 0
en (0,0) existe una discontinuidad esencial de la función
En funciones de 2 o mas variables la sola existencia de las derivadas parciales
no asegura la continuidad
no continuidad => no diferenciabilidad

11. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad
Puede suceder que la definición de función diferenciable sea difícil aplicar para
algunas o mas funciones, para lo cual se deben tener en cuenta algunas
condiciones suficientes para la diferenciabilidad
Teorema
Sea Z = f(x;y) una función de dos variables independientes reales
Si fx y fy (x , y) de entorno ((x0, y0) ; δ) Z = f(x;y) es diferenciable en el
y fx y fy son continuas en (x0, y0) punto x0, y0
Ejemplo
f(x,y) = x³ + 3xy – 5y³
fx (x,y) = 3x² +3y (x,y) R² => Z =f(x,y) es diferenciable en R²
fy (x,y) = 3x-15y² fx y fy son continuas en R²

12. Observación
las condiciones de este teorema son suficientes pero no necesarias, esto
significa que es posible que una función sea diferenciable en un punto
sin que sus derivadas parciales sean continuas en el, en ese caso se debe
utilizar la definición de función diferenciable
Teníamos el diferencial en una variable
Y=fx
∆y = f(x+∆x) – f(x)
dy = f`x.dx
∆y ≈ dy cuando ∆x 0
∆x=dx
En 2 variables
Z=f(x,y)
∆z = f(x+∆x,y+∆y) – f(x,y)
Variables independientes
Definición ∆x = dx
Definición ∆y = dy

13. DIFERENCIAL TOTAL – Definición
Sea Z=f(x,y) una función diferenciable de 2 variables reales, llamaremos diferencial
total de la función a las siguientes expresión
dz = fx (x,y)∆x + fy(x,y)∆y
dz = fx(x,y).dx + fy(x,y).dy función diferencial
En un punto
dz(x0;y0) = fx(x0;y0)dx + fy(x0;y0)dy diferencial en un punto
Esta definición puede extenderse a funciones de 3 o + variables
W=f(x,y,z) R³ R
X
Y variables independientes ∆x=dx
Z ∆y=dy
∆z=dz
El diferencial total es
dw = fx.dx + fy.dy + fz.dz

14. Ejemplo
F(x,z) = x² + 3y es diferenciable en R² por lo que existe el diferencial total
dz = df = fx.dx + fy.dy
= 2x.dx + 3dy
Z= x³+ 3xy - 5y³ es diferenciable en R²
dz= fx.dx + fy.dy
= (3x²+3y)dx + (3x+15y²)dy
dz(1,2) = (3+3.2)dx + (3.1-15.2²)dy
Ejemplo
Z= f(x,y) = 2x.seny – 3x²y²
fx= 2seny – 6xy² existe en R² y es continua en R² por lo tanto f
fy= 2xcosy – 6x²y es diferenciable en R²
dz = (2seny – 6xy²)dx – (2xcosy – 6x²y)dy
Igual que en una variable para valores pequeños de ∆x se tiene que ∆y≈dy en funciones
de 2 o mas variables ∆z≈dz para valores pequeños de ∆x y ∆y

15. Sea Z = 2x³ + x.y – y³
Calcular ∆z y dz
Cuando (x,y) varia del punto (2,1) al punto (2,03;0.98)
∆Z = f(x+∆x, y+∆y) – f(x,y) ∆x=0.03
∆Z = f(2+0.03, 1-0.02) – f(2,1) ∆y= -0.02
∆z = 0.779062
dz= fx.dx + fy.dy = 0.77
fx(2.1) .0.03 + fy(2.1).(-0.02) = 0.77
DIFERENCIALES SUCESIVOS
Dada una función z= f(x,y) diferenciable, se puede hallar su diferencial total que es
dz, que podemos llamar diferencial de primer orden, obteniendo una nueva función
de x y de y que a su vez puede ser diferenciable, si lo es, volvemos a diferenciar y
obtenemos el diferencial 2do.
dz = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy * f(x,y) es diferenciable => es continua por lo tanto
fxy = fyx

16. dz² = d(dz) = d(fx.dx + fy.dy)=
= (fx.dx+fy.dy)x.dx+ (fx.dx+fy.dy.)y.dy
d²z= (fxx.dx + fyx.dy)dx + (fxy.dx + fyy.dy).dy
d²z= fxx.²dx + fyx.dy.dx + fxy.dx.dy + fyy.dy²
d²z = fxx. dx² + 2fxy.dx.dy + fyy.dy²