1) El documento explica conceptos relacionados con funciones de varias variables como límites, continuidad, derivadas parciales, diferencial total, divergencia y rotor. 2) Incluye definiciones formales de estos conceptos y ejemplos para ilustrarlos. 3) También cubre temas como plano tangente, recta normal y sus aplicaciones a ecuaciones implícitas.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Instituto Universitario Politécnico.
“Santiago Mariño"
Extensión Barcelona
Escuela de “Ingeniería de Sistemas”
Sistemas de
Coordenadas
Bachiller:
Remache, José
C.I:24.983.497
Profesor:
Pedro Beltrán

2. Introducción
Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas
dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del
largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa que
fabrica dos tipos de artículos dependen de q1 la cantidad de artículos de tipo I
y q2 la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene
un gas depende del volumen que ocupa y de su presión.

3. Funciones de varias variables
Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y) , de números reales, D R2 .
Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado
(x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y) . El conjunto D es llamado el
dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la
función.
Ejemplo 1.- Sea f (x, y) = 𝑦 − 4𝑥2 − 4. a)
Calcular el dominio de f.
a) La función está bien definida y es un número real cuando el radicando es mayor o
igual a cero, esto es:
y + 4x2 - 4 ≥ 0
Así que el dominio es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que y 4x2 4 .
Más formalmente escribimos:
Dom f ={(x, y) / y - 4x2 ≥ 4}

4. Limites de funciones de varias
variables

5. Limites de funciones de varias
variables
Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se
aproxima también a otro número. En una función de dos variables del tipo y = f(x),
cuando x se aproxima al valor de a, la función se acerca al valor L que corresponde al
límite. La notación es así:
En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f tiende a un
valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a
los que se aproximan todas las variables independientes que componen a la función.
Por ejemplo, la función anterior es una función cualquiera de dos variables. En este
caso, es el límite de dicha función cuando tanto x como y (variables independientes)
tienden a 0. El valor de las tendencias pueden cambiar, pero es necesario considerar a
ambas variables.

6. Limites de funciones de varias
variables
Al igual que funciones de una variables independiente, los límites pueden existir o
pueden no existir. En caso de que existan, puede ser que el procedimiento para
encontrar el valor del límite no sea tan directo. Esto quiere decir, que al evaluar
directamente los valores de las variables en la función, podría haber una indefinición
matemática como 0/0. En tal situación, un procedimiento algebraico para simplificar la
función podría ser suficiente, pero si aun así el resultado se indefine o la función es
irreducible, se necesita un procedimiento especial.
Se tiene el límite de la función:
En este ejemplo, el límite se obtiene directamente por evaluación:

7. El siguiente límite es un poco más complejo:
En este caso ocurre la típica indefinición de un límite, cuando el resultado
aparentemente es 0/0. Basta con un procedimiento algebraico para reducir un
poco la función:
Limites de funciones de varias
variables
Finalmente el límite es 0.

8. Limites de funciones de varias
variables
Existen otras funciones cuyos límites directos se indefinen y que además no pueden
resolverse por ningún método de simplificación. Para ello se debe analizar distinto.
Para las funciones de dos variables, x se podía aproximar a un valor acercándose
tomando valores menores (por la izquierda) o tomando valores mayores (por la
derecha). Solo existen dos posibilidades. En funciones de varias variables ocurre lo
mismo, sin embargo el acercamiento ocurre hacia un punto ( x , y ), y al ubicarlo en
el espacio, el acercamiento puede hacerse desde una cantidad infinita de
direcciones y no solo eso, sino de trayectorias. Por ejemplo, al punto (0,0) se le
puede aproximar por la trayectoria de la función y = x^2, por izquierda y por
derecha, así como por la trayectoria de la función z = x o z = y. El objetivo es
aprovechar todo lo anterior para encontrar un límite que pareciera que no puede ser
resuelto. Por ejemplo:

9. Limites de funciones de varias
variables
Esta límite se indefine inmediatamente al evaluar directamente. Así mismo, la función
no puede simplificarse más. Pero este no es el fin del camino. El primer paso es elegir
una trayectoria por la cual acercarse al puntos (0,0). Por ejemplo la función y = 0 (por
el eje x). Al sustituir en la función, queda un límite de una sola variable:
El límite existe. Ahora elegir alguna otra trayectoria. Por ejemplo, x = 0 (acercándose
por el eje y). Sustituir en el límite original:
El resultado fue el mismo. Basta con encontrar dos resultados iguales con dos
trayectorias distintas para afirmar que el límite existe. De no ser iguales, el límite no
existiría.

10. Limites de funciones de varias
variables

11. Continuidad en funciones de
varias variables
Una función es continua si:
La función existe
El limite de la función existe
El limite de (x,y) → (a,b) es igual
al valor de la función en el punto
(a,b)

12. Continuidad en funciones de
varias variables
En dado caso que alguna de las condiciones explicadas anteriormente
no ocurran, estaremos en presencia de una “DISCONTINUIDAD” y estas
se pueden presentar en dos formas:
La discontinuidad es “ESENCIAL” cuando:
El limite de la función no existe
El limite de (x,y) → (a,b) es igual a
infinito que tiende a la derecha o
a la izquierda.
O cuando
+
-

13. Continuidad en funciones de
varias variables
La discontinuidad es “EVITABLE” cuando:
El limite de (x,y) → (a,b) es
diferente al valor de la función en
el punto (a,b)
Ejemplo de
una
discontinui
dad
“evitable“

14. Derivadas Parciales
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una
constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la
variable "x" como si fuera constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u
en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y
constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así
tenemos:

15. Derivadas Parciales
A partir del ejemplo anterior, hallemos las derivadas parciales: f(x,y,z)= 2xy+x-3yz
Al igual que definíamos la derivada segunda, como la derivada de la derivada,
también existen las derivadas parciales de orden 2, y de manera sucesiva hasta el
orden n-ésimo mientras la función sea derivable.
Siguiendo con la función anterior, calculamos las siguientes derivadas:
En el primer apartado, tenemos que derivar respecto de x dos veces, es decir,
utilizando la derivada calculada en el ejemplo anterior, la volvemos a derivar
respecto de x. En el apartado b, tenemos que utilizar la derivada en función de x, y
derivarla en función de la y. O lo que es lo mismo, podríamos utilizar la derivada
parcial respecto de y, y derivarla respecto de la x.

16. Derivadas Parciales: Vector
Gradiente
Una vez que ya sabemos calcular las derivadas parciales, surgen algún que otro
concepto nuevo como el de vector gradiente.
Llamamos vector gradiente de una función f en el punto a, a un vector columna
con n componentes, es decir, una matriz de orden nx1, donde n depende del
número de variables en las que está definida f. Se denota como ∇f(a)

17. Derivadas Parciales: Vector
Gradiente
El vector gradiente de la función anterior en el punto a=(1,0-2)
f(x,y,z)= 2xy+x-3yz Donde

18. Derivadas Parciales:
Diferencial Total
Al igual que con las funciones de una variable, un incremento dx y dy en las
variables independientes produce un cambio z en la variable dependiente z.
z = f (x + dx , y + dy) - f (x ,y)
En analogía con la diferencial de una función de una variable independiente ( df = f
'(x) dx ), definimos la diferencial de una función de dos variables.
Definición:
Sea z = f (x,y)una función para la cual existen las derivadas parciales fx y fy. Sean x y
y cualquier par de números no cero.
Entonces:
2) La diferencial total de la
función es
dz = fx dx + fy dy
1) Las diferenciales de las
variables independientes son:
dx = x
dy = y

19. Derivadas Parciales:
Diferencial Total
Ejemplo:
Hallar la diferencial total de cada función:
a) z = 2x.seny – 3x2y2
b) w = x2 + y2 + z2

20. Derivadas Parciales:
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el
flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el
volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces
su divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se
define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el
volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la
divergencia viene dada por la ecuación

21. Derivadas Parciales:
Divergencia
Ejemplo:

22. Derivadas Parciales: Rotor
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un
campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la
circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección
normal a ella misma cuando el área tiende a cero
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden entonces el rot (f) =0
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (∆F) = 0
• Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo R3 cuyas
componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es
un campo vectorial conservativo.

23. Derivadas Parciales: Rotor

24. Plano Tangente y Recta Normal
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano
que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el
punto P.
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es
perpendicular al plano tangente.
Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0,
entonces la ecuación del plano tangente en un punto
de la superficie viene definido por la ecuación:
y la recta normal por:

25. Plano Tangente y Recta Normal
Ejemplo de Plano Tangente:

26. Plano Tangente y Recta Normal
Ejemplo de Recta Normal:

27. Conclusión
• En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f
tiende a un valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una
variable, sino los valores a los que se aproximan todas las variables
independientes que componen a la función.
• Una función es continua si: La función existe, si El limite de la función existe y
si El limite de (x,y) → (a,b) es igual al valor de la función en el punto (a,b).
• Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas
parciales: Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable
"y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z
"respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

28. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=b_Affw5ArMY
https://www.youtube.com/watch?v=jM8WkAIKAVM
https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0

29. Bibliografía
ÁVILA, A. M., & ROJAS, J. P. Tangente y normal a una curva. Plano tangente y
recta normal a una superficie. Recuperado de:
http://www.casanchi.com/did/usoderive501.pdf
Zuazua, E. (2003). Ecuaciones en derivadas parciales. Universidad
Autónoma de Madrid, Madrid (2004-05). Recuperado de:
http://verso.mat.uam.es/web/ezuazua/documentos_public/archivos/pers
onal/comites/1_ecudepa.pdf
Salas, S. L., Hille, E., & Etgen, G. J. (2002). Calculus de una y varias
variables I. Reverté. Recuperado de :
https://books.google.es/books?hl=es&lr=&id=nReJEBv-
868C&oi=fnd&pg=PA1&dq=funciones+de+varias+variables&ots=7MRsB
qG_Hy&sig=PLlDUk5S1h4t8LTapQOwZMq2Yno#v=onepage&q=funcione
s%20de%20varias%20variables&f=false