El documento explica la derivada direccional y el gradiente de funciones de dos y tres variables. La derivada direccional mide el cambio en una función en una dirección específica, y puede expresarse en términos del gradiente, que es el vector de las derivadas parciales. El gradiente indica las direcciones de mayor y menor cambio en la función.

1. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE
DERIVADA DIRECCIONAL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Sea f (x, y) una funci´ n de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 ≤ θ < 2π, un vector unitario. Se llama derIvada
o
direccional de f en (a, b) en la direcci´ n de u al siguiente l´
o ımite (si existe):
Cuando la funci´ n es diferenciable en el punto, la derivada direccional se puede expresar en funci´ n de las
o o
derivadas parciales:
Du f (a, b) = Dθ f (a, b) = fx (a, b) cos θ + fy (a, b) sen θ
GRADIENTE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Se llama gradiente de la funci´n diferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales:
o
f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y))
Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar:
Du f (a, b) = f (a, b) · u
PROPIEDADES DEL GRADIENTE DE UNA FUNCI´ N DE DOS VARIABLES
O
• Si f (a, b) = 0, entonces Du f (a, b) = 0 para todo u.
• La derivada direccional en (a, b) es m´ xima en la direcci´ n del vector gradiente
a o f (a, b) (direcci´ n de
o
m´ ximo incremento de f ), siendo k f (a, b)k su valor m´ ximo.
a a
• La derivada direccional en (a, b) es m´ınima en la direcci´ n del vector − f (a, b) (direcci´ n de m´
o o ınimo
incremento de f ), siendo − k f (a, b)k su valor m´
ınimo.
• La derivada direccional en (a, b) es nula en cualquier direcci´ n perpendicular al vector gradiente.
o
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCI´ N DE TRES VARIABLES
O
La derivada direccional de f (x, y, z) en (a, b, c) en la direcci´ n del vector unitario u = (u1 , u2 , u3 ) es
o
Du f (a, b, c) = fx (a, b, c)u1 + fy (a, b, c)u2 + fz (a, b, c)u3 = f (a, b, c) · u
donde
f (a, b, c) = (fx (a, b, c), fy (a, b, c), fz (a, b, c))
es el vector gradiente, que tiene las mismas propiedades que en el caso de dos variables.

2. EJERCICIOS
1. Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican:
(a) f (x, y) = 5 + x2 − 3y 2 , en el punto (1, 2) y el la direcci´ n θ = π .
o 6
(b) f (x, y) = y 2 sen(3xy), en el punto (π, 1) y el la direcci´ n v = 3i − 4j.
o
2. Usa el gradiente para hallar la derivada direccional de f (x, y) = 3x2 − 2y 2 en P (−3/4, 0) en la direcci´ n
o
que va de P a Q(0, 1).
3. La temperatura en grados cent´ıgrados en la superficie de una placa met´ lica es T (x, y) = 20 − 4x2 − y 2 ,
a
donde x e y se expresan en cent´ ımetros. A partir del punto (2, −3), ¿en qu´ direcci´ n aumenta m´s
e o a
r´ pidamente la temperatura de la placa? ¿Cu´ l es el ritmo de crecimiento?
a a
4. Halla el vector gradiente de la funci´ n f (x, y, z) = x2 + y 2 − 4z, as´ como las direcciones de m´ ximo y
o ı a
m´ınimo incremento de f en el punto (2, −1, 1). ¿Existe alguna direcci´ n en la que la derivada direccional
o
sea nula?