1) El documento describe conceptos básicos de funciones de varias variables como derivadas parciales, vector gradiente, divergencia y rotacional. 2) Explica cómo generalizar los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad de funciones de una variable a funciones de varias variables. 3) Proporciona ejemplos para ilustrar el cálculo de derivadas parciales, vector gradiente, divergencia y rotacional.

1. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
Profesor:
Pedro Beltrán
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.U.P ¨Santiago Mariño¨
Sede Barcelona
Estudiante:
Daniel Guzmán
30/01/2020

2. Introducción Una función de dos variables es una regla
de correspondencia que asigna a cada
pareja de números reales (x, y) un y sólo
un número real z.
El conjunto de parejas ordenadas para las
cuales la regla de correspondencia dá un
número real se llama dominio de la
función. El conjunto de valores z que
corresponden a los pares ordenados se
llama imagen o contradominio.
Una función de dos variables se denota
usualmente con la notación
z = f (x, y)
Las variables x, y se llaman variables
independientes, y z se llama variable
dependiente.
La gráfica de una función de dos variables
es el conjunto de puntos con coordenadas
(x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio
de f y z = f (x, y).
Este conjunto de puntos forma una
superficie en el espacio tridimensional.

3. Límite y continuidad de una
función en el Espacio R3

4. La idea intuitiva de límite es similar
a la del caso de funciones reales de
una variable real, con las
generalizaciones correspondientes.
En principio la idea inicial que
tenemos de límite consiste, como
ocurría para las funciones reales de
una variable, es sustituir en el
punto.

5. EJEMPLO

7. CONTINUIDAD

9. Ejemplo

10. Derivación de funciones
de varias variables (en el
Espacio R3 ).
El concepto de derivabilidad en funciones reales de una variable real se generaliza
a funciones de varias variables con la diferenciabilidad. Comenzaremos antes
analizando algunas nociones más sencillas que van relacionadas.

11. Ejemplo

13. Derivadas parciales.
De forma análoga a la definición de derivada en una variable, se define
la derivada de una función en varias variables en el punto
a=(a1,a2,…….an) como el siguiente límite:
Por tanto es necesario que para poder derivar, derivemos tanto en función de x, en
función de y en función de z, de manera independiente. Es decir, en primer lugar
derivaríamos en función de x, dejando las demás fijas, como si fueran constantes.
Las derivadas parciales se escriben de las
siguientes formas, siendo la más típica la
primera de ellas en la que utilizamos la “d
redondeada” también conocida como la “d
de Jacobi”. Por ejemplo la derivada de f en
función de x sería

14. Ejemplo
A partir del ejemplo anterior, hallemos las
derivadas parciales: f(x,y,z)= 2xy+x-3yz
Al igual que definíamos la derivada
segunda, como la derivada de la derivada,
también existen las derivadas parciales de
orden 2, y de manera sucesiva hasta el
orden n-ésimo mientras la función sea
derivable.
Ejemplo 2: Siguiendo con la función
anterior, calculamos las siguientes
derivadas:
En el primer apartado, tenemos que
derivar respecto de x dos veces, es decir,
utilizando la derivada calculada en el
ejemplo1, la volvemos a derivar respecto
de x.
En el apartado b, tenemos que utilizar la
derivada en función de x, y derivarla en
función de la y. O lo que es lo mismo,
podríamos utilizar la derivada parcial
respecto de y, y derivarla respecto de la x.

15. VECTOR
GRADIENTE Una vez que ya sabemos calcular
las derivadas parciales, surgen
algún que otro concepto nuevo
como el de vector gradiente.
Definición: Llamamos vector
gradiente de una función f en el
punto a, a un vector columna con n
componentes, es decir, una matriz
de orden nx1, donde n depende del
número de variables en las que
está definida f. Se denota
como ∇f(a)

16. Ejemplo
El vector gradiente de la función
anterior en el punto a=(1,0-2)

17. Diferencial total
En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas
variables reales corresponde a una combinación lineal
de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de
la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una forma o forma
pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un
espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables
dependientes de la función. Por ejemplo, si z=z(x,y) una función
diferenciable entonces el diferencial total de z es:

18. ejemplo

19. Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia
de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.
También se define como la circulación del vector sobre un camino
cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando
el área tiende a cero. Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la
curva C , que se reduce a un punto.
El resultado de este límite no es el rotacional completo sino solo su
componente según la dirección normal a Δ S y orientada según la regla
de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán
calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos
perpendiculares.

20. Propiedades
• El rotacional de un campo se puede calcular
siempre y cuando este sea continuo y
diferenciable en todos sus puntos.
• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas
parciales continuas de segundo orden entonces
el rot (f) =0
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo
entonces rot (F) = 0
• Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función
definida sobre 𝑅3cuyas componentes tienen
derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0,
entonces F es un campo vectorial conservativo.

21. Ejemplo

23. Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo
entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un fluido.
Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros su
divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo
escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de
volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero.
Para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación. Donde
S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo
magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y es el operador nabla.
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo,
quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una
fuente. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del
volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo
neto sería nulo.

29. Conclusiones
• Las funciones de varias variables son funciones como cualquier
otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La
diferencia es que una variable dependiente estará regida por más
de una variables independiente. Es muy común trabajar con
funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La
idea de relación es más compleja puesto que el valor
de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos
coordenados a los que les corresponde un valor de z.
•
Las funciones de varias variables también se someten a un rango
y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin
embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de
valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta
se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la
función z en función del dominio.

30. Bibliografía
1. Calculo leithold, Luois leithold, 7 edición,
1998, GRUPO MEXICANO MAPASA S.A.
2. CURVAS DE NIVEL PEDRO H. ZAMBRANO R, Departamento
de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá
(Colombia) , E-mail address:
3. Stewart, James. Cálculo Multivariable. Cuarta edición. Thomson
Learning.2002.
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (), 2008
5. CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, segunda edición,
Earl Swokowski, Marquette university, Grupo Editorial Iberoamérica,
1998.
6. Calculo de varias variables, McCullan, Editorial Mc Graw Hill,
New Jersey, 1992.
7. http://www.math.iupui.edu/contour1.html.
8. http://www.math.iupui.edu/contour2.html.
9. http://www.math.iupui.edu/levelsurf.html

31. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=b_Affw
5ArMY
https://www.youtube.com/watch?v=ut_iqne
q8EA
https://www.youtube.com/watch?v=KocAhj
NyD_Y