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1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I. U. P “Santiago Mariño”
Extensión Barcelona
Matemática III
Bachiller:
Stefany Marcano
C.I : v-27.823.547
Profesor:
Pedro Beltrán
Barcelona, 12 de julio del 2019

2. En el cálculo de una sola variable las funciones que mapean los números reales R a R, a veces llamadas "funciones
reales de una variable", lo que significa que la "entrada" es un número real único y la "salida" es también un número
real único.
Las funciones de varias variables, lo que significa varias variables de entrada, funciones f: Rn → R tratan
principalmente con n = 2 y, en menor medida, n = 3
Una función f: R2 → R asigna un par de valores (x, y) a un solo número real. El sistema de coordenadas tridimensional
que ya hemos utilizado es una forma conveniente de visualizar tales funciones: sobre cada punto (x, y) en el plano xy,
graficamos el punto (x, y, z), donde, por supuesto, z = f ( x, y).
Introducción

3. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
Límite escalar
Límite en un punto de una función real de variable real
y = f (x) de la forma: f :D⊂ IR→IR donde D=(a,b) es un intervalo abierto.
En este contexto se dice que dado x0 ∈D∪ {a,b} el límite de la función y = f (x), cuando x tiende a 0 x , es L si ∀ε > 0
existe δ > 0 tal que ∀x ∈D con 0 x ≠ x y tal que | − |< δ 0 x x se tenga que | f (x) − L |< ε .
Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de proximidad, entre los valores de la
variable x con 0 x y los de la función f (x) con L.
También es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún método para calcular el límite de una
función en un punto. La definición sirve, no obstante, para verificar si dicho límite tiene un valor de terminado.
Se debe destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye el valor ( ) 0 f x de la función en dicho punto.

4. Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de proximidad en el conjunto IR al
espacio 𝐼𝑅 𝑛 . Para ello se introduce la definición de bola abierta en n (que equivale al concepto de entrono de un punto
en IR.

8. Límites direccionales

12. No existe

14. Continuidad

17. Derivación de funciones de varias variables (en el Espacio R3 ).

19. Derivadas parciales de segundo orden.
Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos
cuatro (22) derivadas de segundo orden:
Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:
Se trata de derivar respecto de x la derivada
Se trata de derivar respecto a x la derivada
Se trata de derivar respecto a y la derivada
Se trata de derivar respecto a y la derivada
Ejemplo:
Las derivadas
son llamadas "derivadas mixtas"

20. Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas.
Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente
que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto
a xy sea continua en este punto, para que tengamos:
Es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de
esa bola".
En general, las condiciones de este teorema se cumplen
(salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que
nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas
cruzadas.
A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas
de z=f(x,y) como una matriz 2x2 :
En este caso los elementos que se encuentren en posición
simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. En
otras palabras, estas matrices son simétricas. Para el caso
de una función de tres variables w = f(x, y, z), el número
de derivadas segundas es 9 , esto es (32), que las podríamos
expresar así
Coincidiendo cada pareja situada en posición simétrica (respecto de la
diagonal principal).

21. Derivadas parciales
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera
una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos
a la variable "x" como si fuera constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu ,
siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con
la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante).
Así tenemos:
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
Mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y:

22. Esta definición de derivada se extiende a funciones de
tres o más variables, por ejemplo, para una función de
tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales
son:
En cada una de ellas se consideran constantes los dos
parametros distintos a los que se realiza la derivada.
Diferencial de una función de varias variables.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la
diferencial de esta función como:
Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como
"incrementos infinitesimales".
Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función:
ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas
parciales:
Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele
hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye
en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por
ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se
calculan sustituyendo x=1, y=2.

23. Diferencial total
La diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal
de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente
como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la
función. Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:
En cálculo vectorial, la diferencial total de una función se puede representar de la siguiente manera:
donde f es una función

24. Derivada total
Ejemplo:

25. Gradientes

29. Divergencia

31. Rotor

34. Plano tangente

37. Recta normal

39. El término integral para funciones en múltiples variables es mucho más diverso que ese para funciones en una
variable. La integral indefinida de una variable corresponde. en el caso multidimensional, la integración de un campo
vectorial, en lugar de ciertos. Las integrales (reales o impropias) ocurren integrales de rango, integrales de curva y
integrales de superficie.
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables
manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial,
funciones analíticas, física, matemática, etc.
Conclusión

40. ANEXOS

41. https://www.youtube.com/watch?v=cPuE8bUEaUo
https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
https://www.youtube.com/watch?v=XKgfHOaXhqs

42. Bibliografía
Matematicas.unex.es. 06. Recuperado de: http://matematicas.unex.es/~fsanchez/calculoII/06.pdf
Cartagena99. Apuntes Tema 5. Recuperado de:
http://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/Apuntes_Tema_5.pdf
Portal.uah.es. VariasVariables, Límites y continuidad. Recuperado de:
https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-ASIG/PG-ASIG-
32395/TAB40335/VariasVariables02L%EDmites%20y%20continuidad.pdf
Ehu.eus. Funciones. Recuperado de: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm
Academia.edu. Plano tangente y recta normal. Recuperado de:
https://www.academia.edu/11468228/6_6_PLANO_TANGENTE_Y_RECTA_NORMAL
Ugr.es. Fund-Mat02. Recuperado de: https://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Teleco/Fund-Mat02.pdf
Es.wikipedia.org. Diferencial total. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total