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PRIMERA UNIDAD
FUNDAMENTOS
MATEMÁTICOS

Breve repaso de conocimientos de las
matemáticas básicas utilizadas en el curso.
Este repaso conceptual y práctico facilitara la
comprensión de la materia.
PRESENTACIÓN

1.1 Introducción
1.2 Números y Redondeo de números.
1.3. Razones y variación proporcional
1.4 Tanto por ciento
1.5 Logaritmos
1.6 Series y Sucesiones
1.7 Uso del Excel
1.8 Aplicaciones
CONTENIDOS

 Al finalizar la presente asignatura el alumno contará
con las bases matemáticas suficientes y necesarias
que le permitan abordar los capítulos posteriores con
éxito.
 Efectuará cálculos matemáticos empleando:
aproximaciones, proporciones, porcentajes,
logaritmos, progresiones, etc.
OBJETIVOS

 Punto de vista matemático,
 Relación resultante entre
 La diferencia: “valor” asignado por las personas al
sacrificio de consumo actual y al riesgo que perciben y
asumen al posponer el ingreso .
1.1. INTRODUCCION
VA VF
I
p TIEMPO

 Derivación de la matemática aplicada
 Estudia el valor del dinero en el tiempo,
 Permite tomar decisiones de inversión.
 Se relaciona con todo, en general con las finanzas.
 Es de aplicación eminentemente práctica,
 Dinero y finanzas son indesligables.
1.1.1. LAS MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Capital
Tasa
de
Interés
tiemp
o Interés
P i t I
x x =

 Al hablar de matemáticas aplicadas es referirse a números.
 Punto de partida: estudio de las propiedades y las reglas.
 Diariamente manejamos cantidades .
 Se representan mediante diferentes tipos de números:
 Naturales, Enteros, Racionales, Reales, y Complejos
 Todos ellos forman parte del conjunto de los números reales
 Existe otros números llamados imaginarios , pero poco tienen
que ver con la matemática de los negocios y las finanzas, ejm.
 X2 + 1 = 0 , X2 = -1, X = ±√1
1.1.2 LOS NÚMEROS

Enésima potencia: Si a es un numero real y n es
entero positivo, la enésima potencia de a se define
como:
 n de factores
Donde a es la base y n es el exponente o
Al multiplicar o dividir dos números con el mismo
signo, el resultado es positivo, mientras que será
negativo cuando tengan signo contrario.
1.1.3. EXPONENTES, RADICALES Y
LEYES DE LOS EXPONENTES
( )( ) ( )
a
a
a
a
an
.....
=

Si a es diferente de cero, entonces:
a0 = 1
Esto es que todo numero diferente de 0, es igual a 1.
Si el exponente es negativo , entonces:
a-n = 1/an
La raíz enésima de b es:
 siempre que an = b
,
/
1
a
b
b n
n
=
=

Aplicación 1
a) a × a × a × a =
b) b × b × b =
c) a × a × a × b × b =
d) (−4)(−4)(−4)(−4) =
e) (−2)(−2)(−2)(6)(6)(6) =
f) (1 + 0.05)(1 + 0.05)(1 + 0.05)(1 + 0.05) =
g) (1 + i)(1 + i)(1 + i) =
h) (1 − d)(1 − d) ......... (1 − d) =

Leyes de exponentes
Si a y b son números reales distintos de cero, y m y n son enteros
positivos, entonces se pueden aplicar las siguientes leyes de los
exponentes.
 El producto de dos potencias de la misma base, se debe elevar la
base a la suma de los exponentes y en el cociente se restan los
exponentes;
am an = am+n y am / an = am-n
 La enésima potencia del producto de dos factores es igual al
producto de las potencias, y la potencia enésima del cociente de
dos números es igual al cociente de las potencias, esto es:
(ab)n = an bn y (a/b)n = an /bn , siempre que b ≠ 0
 La enésima potencia de la potencia emésima de un número, se
obtiene multiplicando las potencias :
(am )n = amn
 Si el exponente de a es de la forma m/n, entonces
am/n = am(1/n) =
n m
a

Aplicación 2
a) 23 × 23 = j) -4X0 =
b) (1 + i)2 (1 + i)15 = k) 00 =
c) X10 /X4 = l) m4 / m7 =
d) 23/24 = m) X5/2 / X1/2 =
e) (23)4 = n) (Y1/2)2/3 =
f) (-13)3 =
g) (3X2)3 =
h) (X/Y)4 =
i) (2 a2/b)3

 Aparecen en 1616 y fueron credos por el matemático escoses John
Napier, están muy relacionados con los exponentes y las leyes de los
exponentes.
 Han sido sustituidas por las computadoras, Permiten efectuar:
multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y radicaciones con gran
rapidez.
 Definición: el logaritmo en base b de un número positivo N (logbN), es
el exponente L tal que bL = N, o dicho de otra forma: el exponente L al
que debe elevarse un numero b para obtener un numero N, se llama
logaritmo de N en base b
L = logb N donde N > 0, b es un # + , y > 0
 Las dos expresiones: L = logbN y N = bL son equivalentes
 A N se le conoce como el antilogaritmo de L
 Y el cologaritmo de N (colg N) = log 1/N = 0 – log N
 -log N = (10,000000 – 10) – log N
1.1.4. LOGARITMOS

Ejemplos
 La tercera potencia e 2 es 8, esto es 23 = 8 por lo tanto, el
logaritmo base 2 de 8 es igual a 3, es decir:
log2 (8) = 3 por que 23 = 8
 La quinta potencia de 10 es 100000, es decir 105 = 100000; por
tanto, el logaritmo base 10 de 100000 es 5
log10 100000 = 5 por que 105 = 100000
 ¿Cuál es el numero N cuyo logaritmo de base 3 es 2,45?
log3 (N) = 2,45 , esto en forma de exponente es 32,45 =N
es decir que N = 14,75526705
1.1.4. LOGARITMOS

Propiedades
 La función logarítmica de 0 para x = 1, o sea:
Logb1 = 0
 El logaritmo de una cantidad igual a la base es 1, o sea:
Logbb= 1
 El Logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores, o sea:
LogbABC = Logb A + LogbB + LogbC
 El logaritmo del cociente de dos cantidades es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor, así:
LogbA/B = LogbA - LogbB
 El Logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo de la cantidad:
LogbAn = nLogbA
1.1.4. LOGARITMOS

Propiedades
Como casos particulares de esta propiedad se tiene:
 El logaritmo de una potencia de la base es igual al exponente
Logbbn = n
 El Logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo
de la cantidad sub radical y el índice.
1.1.4. LOGARITMOS
A
p
A a
p
a log
1
log =

Propiedades
 Para nuestros propósitos utilizamos la base 10 escribiendo log N en
vez de logbN, así tenemos que:
 log 1000 = 3 ya que 103 = 1000,
 log 100 = 2 ya que 102 = 100,
 log 10 = 1 ya que 101 = 10,
 log 1 = 0 ya que 100 = 1,
 log de 0,1 = -1 ya que 10-1 = 0,1,
 log 0,01 = -2 ya que 10-2 = 0,01, etc.
 El logaritmo de una potencia de 10 tiene tantas unidades como ceros
posea la potencia
 El logaritmo de un número positivo consiste de dos partes: una parte
entera llamada característica y una parte decimal llamada mantisa.
1.1.4. LOGARITMOS

Logaritmos comunes , naturales y ecuaciones
 Los valores posibles para la base de un logaritmo son ilimitados; sin embargo,
los dos más usuales son el de base 10 y el de base e. Este último es
aproximadamente igual a 2.71828.
 Los primeros se conocen como logaritmos comunes o decimales; y los
segundos, como logaritmos naturales o neperianos. Dichos logaritmos se
expresan, respectivamente, como:
 Iog10 (x) = log (x) y loge (x) = ln (x)
 ya que en ambos casos se omite escribir la base.
 Son múltiples las aplicaciones de los logaritmos. En un curso regular de
matemáticas financieras, por ejemplo, se utilizan para encontrar el plazo en
inversiones o en la amortización de créditos. Por ahora, veamos cómo
despejar la incógnita en las ecuaciones que la tienen como exponente.
1.1.4. LOGARITMOS

 Cualquier decimal que desee aproximarse debe:
➢ Incrementarse en una Unidad el ultimo dígito
fijado, si los que le siguen exceden del valor
500....
➢ No cambiar el último dígito, si los que le siguen
son menores que el valor 500....
➢ Si los dígitos que siguen al último fijado son
exactamente el valor 5 y el último fijado es impar,
debe incrementarse en una unidad, si es par este
no cambia.
1.2. REDONDEO O
APROXIMACIONES

 Aplicación 1
 Redondear el número X = 54.78450965 a
 siete decimales X =
 cinco decimales X =
 tres decimales y X =
 una cifra decimal, X =
1.2. REDONDEO O APROXIMACIONES

1.3. RAZONES Y VARIACIÓN
PROPORCIONAL
El cociente entre dos cantidades es la razón o
proporcionalidad entre ellas.
q es la razón entre X y Y
q es directamente proporcional al valor de x ( aumenta en la
misma proporción) e inversamente proporcional al valor de Y
(disminuye en la misma proporción)
k = constante de proporcionalidad
El valor de q es directamente proporcional al valor de X,
inversamente proporcional al valor de Y y depende del valor
de la constante de proporcionalidad k ; conocido el valor
de q , queda determinado el valor de k
q
Y
X
=
k
Y
X
q =

Ejemplo 1 (proporción directa)
¿Cuántas toneladas de papas se producen en una
parcela que se abonó con 750 kg de fertilizante, si
otra con condiciones semejantes produjo 125
toneladas por hectárea con 650 kg de fertilizante?
PROPORCIONAL

Ejemplo 2 (proporción directa)
Un artículo que se anuncia 4 veces por hora vende
400 unidades, ¿cuántas se venderán si se anuncia 7
veces por hora?
PROPORCIONAL

Ejemplo 3 (proporción inversa)
Si un empleado que llegó 3 minutos tarde recibió un
bono de $350, ¿cuándo recibirá otro que llegó 5
minutos tarde?
PROPORCIONAL

Ejemplo 5
Un padre de familia acostumbra a dar a sus hijos, al final de cada
semestre, un premio P, en soles, que es inversamente proporcional a
la expresión
 Donde i es el número de inasistencias que la escuela le reporta y C es
la calificación promedio semestral.
 Si el hijo mayor recibió S/.400 con un promedio de 85 y 2 inasistencias,
¿cuánto recibirá el menor si registró 5 inasistencias y logró 95 de
promedio semestral? ¿Y cuánto recibirá su hermana que tuvo sólo una
inasistencia y 90 de promedio?
PROPORCIONAL
( )( )
C
i −
+ 100
1

Ejemplo 4 (proporción mixta)
Milena obtuvo 90 en un examen con 18 aciertos y se
tardó 45 minutos, ¿qué calificación obtiene Jorge con
21 aciertos, si tardó 50 minutos para resolver su
examen?
PROPORCIONAL

PROPORCIONAL
Proporciones
 Es una igualdad de dos razones
 Si y entonces
 que puede leerse: a es a b como c es a d.
 a y c son los antecedentes y b y d los consecuentes.
 Se llama extremos al antecedente de la primera razón y al
consecuente de la segunda razón. Y medios al consecuente
de la primera razón y al antecedente de la segunda razón.
 Teorema: En toda Proporción, el producto de los medios es
igual al producto de los extremos.
q
b
a
= q
d
c
=
d
c
b
a
=

 Proporcionalidad que se establece con relación a cada 100 unidades.
 Se expresa con el símbolo %
 El X% de A es = (X/100)A o (XA)/100
Ejemplo 1:
5 % significa tomar 5 unidades de cada 100
50 % significa tomar 50 unidades de cada 100
0,5 % significa tomar 0,5 unidades de cada 100
5/100 = 0,05 = 5 % ;
50/100 = 0,5 = 50 %;
0,5/100 = 0,005 = 0,5 %
1.4 TANTO POR CIENTO

 La Bolsa de Valores subió 2.3 puntos porcentuales.
 La inflación del mes anterior fue de 0.73%.
 Los Certificados de depósito, se cotizan con el 7.51% de
descuento.
 El revelado y la impresión de los rollos fotográficos tienen un
30% de descuento.
 Se expresa con el símbolo %
 El X% de A es = (X/100)A o (XA)/100
5 % significa 5 unidades de cada 100 ó 5/100 = 0,05 = 5 % ;

Ejemplo 1
a) El 27.8 % de 2,745 es 763.11 porque:
b) 784 es el 98% de 800 porque:
c) El X % de 4,350 es igual a 837.375

Ejemplo 2
Cuanto dinero rinde un principal o capital de US $ 3,475 que se
deposita en el banco Continental que ofrece el 1.27 % de interés
anual.

Ejemplo 3
Juan pago S/. 179.00 por un par de zapatos. ¿Cuál
era el precio si los compro con el 15 % de
descuento?

Ejemplo 4
El precio de un televisor es de S/. 2,650.
¿Cuánto costaba hace un año si aumento un
12,5 %?

Ejemplo 5
Si el 25.8 % del 87 % de A es igual al X % del 63.6 % de A ¿
cuál es el valor de X?

Ejemplo 7
Las tiendas por departamentos RIPLEY de la ciudad se
encuentra promocionando ropa para caballeros bajo el
sistema 3 x 2, lo que implica que si comparas tres prendas de
vestir te regalan la de precio mas bajo. El Sr. Vargas compro
dos pantalones y una camisa de S/. 198.00, S/. 135.00 y S/.
89.00, respectivamente. ¿De que porcentaje fue el descuento
que le hicieron? Y si adicionalmente le rebajaron el 5 % por
ser cliente preferente, ¿cuanto pagó finalmente?.

 ¿Qué es una sucesión?
 Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una
detrás de otra, en un cierto orden.
3, 5, 7, 9, . .
1er. Termino 3er.Termino
2do. termino 4to. Termino
 «Termino», «elemento» o «miembro» significan lo mismo
 Entonces sucesión es el conjunto ordenado de números, llamados
términos de la sucesión y se denotan con an, donde el subíndice n
indica la posición del término.
 A partir de esta definición, se dice que las sucesiones, en general, se
representan como: a1 , a2 , a3 ,........, an
1.5 SUCESIONES Y SERIES

Ejemplo 1
Durante las últimas semanas de 2019, la tasa de
rendimiento anual de Bonos soberanos, a 30 días
correspondió a los siguientes porcentajes:
8.21, 8.25, 8.29, 8.31, 8.32, 8.34, 8.37, y 8.36
Éstos son valores que constituyen una sucesión, cuyo
primer término es a1 = 8.21, el segundo es a2 = 8.25, y
el octavo es a8 = 8.36.

Ejemplo 2
Suponiendo que los términos de una sucesión
están dados por la fórmula:
an = 3n + 7
¿Cuáles son los primeros cinco?
¿Qué lugar ocupa el número 2,177 en la
sucesión?
¿Qué característica se observa en los términos de
la sucesión?

Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en
realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Serie: suma de infinitos términos ligados por alguna ley de
formación.
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa
"súmalos todos":

4
1
n
 +
4
1
)
1
2
( n
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la
sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo
{3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

 Una progresión aritmética es una sucesión de números
llamados términos, tales que dos números cualesquiera
consecutivos de la sucesión están separados por una misma
cantidad llamada diferencia común.
a1 , (a1 + d), (a1 + 2d), (a1 + 3d), …… ó an = a1 + (n – 1)d
5, 8, 11, 14, . . .Prog. Aritmética con diferencia común 3
24, 20, 16, 12, … Prog. Aritmética con diferencia común -4
 Note que para hallar la diferencia de cualquier término se
resta el que le precede, es decir,
d = an – an-1
 Sucesión finita : 6, 11, 16, 21. 26, 31.
1.5.1 PROGRESIÓN ARITMÉTICA

 Si designamos por a1 el primer término, por d la diferencia común o
constante y por n el numero de términos, la progresión es:
 a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d,....., a1 + (n-3) d, a1 + (n-2)d, a1 + (n-1)d
 El ultimo o n-esimo término se designa por an y su expresión en
función del primer termino, el numero de términos y la diferencia
común es:
an = a1 + (n-1)d
 La progresión puede ser escrita como:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d,....., (an – 2d), (an – d), an
 a1 a2 a3 a4 an-2 an-1 an

Ejemplo 1
Determine el último término de la progresión aritmética
48, 45, 42, …. si cuenta con 15 términos.

Ejemplo 2
¿Cuáles son los primeros tres términos de la progresión
aritmética si el cuarto es a4 = 12 y el octavo es a8 =
24?

Ejemplo 3
Encuentre el vigésimo término de la progresión
aritmética 12, 8,...

Ejemplo 4
Obtenga el valor de x en la progresión aritmética -6, x,
18,...

Ejemplo 5
La diferencia entre los términos 10º y 25º en una
progresión aritmética es 45; además, el cuarto es -10.
Obtener los tres primeros.

Suma de una progresión aritmética
 Sea la progresión aritmética:
a1, a1 +d, a1 +2d, a1 +3d,....., (an – 2d), (an – d), an
 La suma de una progresión aritmética es:
Sn = a1 + (a1 +d) + (a1 +2d)+ .....+(an - 2d) + (an – d) + an ó
Sn = an + (an – d) + (an - 2d) +……+ (a1 + 2d) + (a1 + d) + a1
 Si se invierte el orden de los términos
 Al sumar las dos ecuaciones en el miembro izquierdo se tiene
2Sn y en el derecho se obtiene n veces a1 y n veces an ,
puesto que se cancelan todos los términos con d
 2Sn = na1 + nan o 2Sn = n(a1 + an)
 La suma de los términos de una progresión aritmética es igual
a n veces la media aritmética de los términos primero y
ultimo, siendo n el numero de términos.
)
a
(a
n
S n
n +
= 1
2 ( )
 
d
n
a
n
Sn 1
2
2
1 −
+
= ( )d
n
a
an 1
1 −
+
=

Ejemplo 1
Determinar el 15° término y la suma de los 15 primeros
términos de la progresión aritmética -1, 2, 5, 8, ...

Ejemplo 2
 Una progresión aritmética tiene a1 = 7, an = 77, Sn = 420;
determinar n y d.

Ejemplo 3
 Una progresión aritmética tiene a3 = 18, a6 = 42; calcular a1 y S6.

Ejemplo 4
Se desea encontrar la suma de los primeros 20
términos de la serie aritmética: (-8) + (-4)+,...

Ejemplo 5
Los primeros 10 términos en una serie aritmética
suman 75 y el primero es -15. ¿Cuál es el décimo?

Ejemplo 6
Hallar la suma de los términos desde el 15º hasta el 28º
de la progresión aritmética 6, 10,

Ejemplo 7
Una persona pide prestados $5 000, quedando de
acuerdo en pagar $200 al final de cada mes y pagar
15% de interés por año, esto es, 1.25 % mensual, sobre
todo el saldo no pagado. Calcular la suma de todo el
interés pagado.

Ejemplo 8
 Para perforar un pozo, el costo es de $5.50 por los primeros 10
cm, y por cada 10 cm adicionales el costo es de $1 más que para
los 10 cm anteriores. ¿Qué profundidad tendrá un pozo que se
perfore con $1 000?

 Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales que
dos números consecutivos cualesquiera de ella guardan un cociente o una razón
común. En otras palabras, esto quiere decir que cualquier término posterior se puede
obtener del anterior multiplicándolo por un número constante llamado cociente o razón
común.
2, 2x, 2x2, 2x3
, …, es una Prog. Geométrica con razón común x
8, -4, 2, -1, …., es una Progr. Geométrica con razón común – ½
 Una progresión geométrica cuyo primer termino es a1 y cuya razón es r, es;
 a1, a1r, a1r2, a1r3, ….
 a1 , a1 r, a1 r2 , a1 r3 ,...., a1 rn-3 , a1 rn-2 , a1 rn-1
 El n - ésimo termino de la progresión es: an = a1rn-1 ó Una progresión es geométrica si
cada término es igual al anterior por una constante r llamada razón común, es decir, si
an = an-1(r)
 Note que para hallar la razón se divide un término entre el que le precede, esto es:
 r = an /an-1 ó r = ak+1 /ak (k es un numero natural que indica el orden de cualquier
termino).
1.5.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Ejemplo 1
Los primeros seis términos de la progresión
geométrica con a1 = 4, el primer término, y r = ½, la
razón común, son:

Ejemplo 2
Encontrar el cuarto y el décimo términos de la sucesión
geométrica -3, 2,...

Ejemplo 3
Hallar el vigésimo término de la progresión geométrica
1.02,(1.02)3,...

Ejemplo 4
Los términos décimo y vigésimo sexto en una
progresión geométrica son a10 = 1/128 y a26 = 512.
¿Cuáles son los primeros tres?

Suma de una progresión geométrica
 Sea la progresión Geométrica:
a1 , a1r, a1r2 , a1r3 ,...., a1rn-3 , a1rn-2 , a1rn-1
Su suma es:
S = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + .... + a1rn-3 + a1rn-2 + a1rn-1
Al multiplicar por r , se tiene
Sr = a1r + a1r2 + a1r3 + a1r4 .... + a1rn-2 + a1rn-1 + a1rn
Al restar ambas expresiones se obtiene:
S – Sr = a1 – a1rn ó S(1 – r) = a1 – a1rn ó
para r < 1 Prog. Geom. decreciente
para r > 1 Prog. Geom. Creciente, y
r
r
a
a
s
n
−
−
=
1
1
1
1
1
1
−
−
=
r
a
r
a
s
n

Ejemplo 1
Determinar el 10° término y la suma de los primeros 10
términos de las progresiones geométricas
a) 1, 3, 9, 27, ...;
b) (1.05)-1, (1.05)-2, (1.05)-3, (1.05)-4, ...

Ejemplo 2
a) Una progresión geométrica tiene a1 = 12, r = 1/2,
an=3/8 ; calcular n y Sn.
b) Una progresión geométrica tiene a2 =7/4 y a5 = 14;
calcular a10 y S10

Ejemplo 3
¿Cuánto suman los primeros 12 términos de la
progresión geométrica 3, x, 1/3,...

Ejemplo 4
Se desea obtener la suma de los primeros 25 términos
de la progresión geométrica si el decimoquinto y el
decimoctavo son, respectivamente, 2 y 16.

Ejemplo 5
Se pretende obtener el decimosexto término y la suma
de los primeros 16 de la progresión, donde cada
término es 5% mayor que el anterior y el primero es 80.

Ejemplo 6
El valor de cierta máquina, al final de cada año, es 80%
de su valor al principio del año. Si la máquina
originalmente costó $10 000, calcular su valor al final de
10 años.

Ejemplo 7
Una bomba de vacío extrae 5% del aire que queda en
un recipiente por cada embolada. ¿Qué fracción
decimal del aire original queda después de 40
extracciones?

 Considere la progresión geométrica: 1, ½, ¼. 1/8, 1/16. 1/32,…
 Cuyo primer término es 1 y cuya razón r es ½.
 La suma de los primeros n términos es:
 Para cualquier n, la diferencia 2 – Sn = (1/2)n-1 es positiva, y se reduce a medida que crece n. Si
n crece sin límite (tiende a infinito), dice que S se aproxima a 2 como límite
n ∞
 Para el caso de una progresión geométrica del tipo a1 , a1r, a1r2 , a1r3 , ….
 La suma de los primeros n términos puede escribirse como:
 Cuando (-1 < r < 1), si n crece indefinidamente, el término en rn tiende a 0 y Sn tiende a
 Así, se dice que cuando -1 < r < 1 y se le considera la suma de una progresión
 geométrica infinita.
1.5.3 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
INFINITAS
( ) ( ) ( ) 1
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
1
2
/
1
1
2
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1
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1
1
1
2
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1
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2
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1
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−
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−
−
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−
−
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n
n
n
n
n n
S
2
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n
S
r
r
a
r
a
r
r
a
S
n
n
n
−
−
−
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−
−
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1
1
1
1 1
1
1
r
a
−
1
1
r
a
Sn
−
=
1
1

Ejemplo 1
Determinar la suma de la progresión geométrica infinita:
1, -1/3, 1/9, -1/27, ……..
1.5.3 PROGRESIONES
GEOMÉTRICAS INFINITAS

Ejemplo 2
Determinar la suma de la progresion geométrica infinita:
(1 + i)-1, (1 + i)-2, (1 + i)-3 , (1 + i)-4, ….
1.5.3 PROGRESIONES

Ejemplo 1
Cambiar 0.121212… a una fracción propia
1.5.3 PROGRESIONES

Ejemplo 1
 Carlos, Jorge y Luis comparten en sociedad la propiedad de
un negocio de artículos deportivos. Deciden distribuir las
utilidades de acuerdo con su aportación individual: $21,600,
$27,000 y $32,400, respectivamente. Las utilidades del primer
semestre fueron de $68,850. ¿Cuánto le corresponde a cada
uno?
PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Ejemplo 2
 El testamento de un padre de familia estipula que el 20% de sus
bienes valuados en 2.5 millones de pesos, se otorgue a una institución
de beneficencia, y que el 80% restante se reparta entre sus tres
herederos en forma inversamente proporcional a sus edades. Tales
edades son 15, 18 y 24 años. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Ejemplo 3
 En el capítulo correspondiente a interés simple, quedará claro que si
se presta un capital, C, con intereses del 22.5%, al final de n años
éste se saldará con M=C(1 +0.225x) ¿Cuántos días después de que se
recibió, se cancela con $18,000 un préstamo de $16,500, con
intereses del 22.5%?

Ejemplo 4
 Un agricultor desea invertir $175,000. Puede hacerlo en una
cuenta de ahorros que le producirá el 10.5% de interés anual o
comprar Bonos del Tesoro que le darán a ganar el 9,75% anual.
¿Cómo debe distribuir su capital si pretende utilidades del 10,35%
anual?

Ejemplo 5
¿Cuál es la utilidad esperada de un inversionista si se sabe
que tiene 35% de probabilidades de ganar $87,500, y 65%
de probabilidades de perder $20,000 en una inversión?

Ejemplo 6
¿Cuál será el valor de rescate de un activo que
costó $375,000, tiene vida útil de 8 años y se
deprecia $42,000 anuales?

Ejemplo 7
Los intereses que se ganan o se pagan por el uso de las tarjetas de débito, de crédito o de
inversión se evalúan tomando como base el saldo promedio por día.
Considerando los pagos y disposiciones del mes actual o del anterior, y siendo estos los
periodos que hay entre las fechas de corte establecidas por el banco.
Este saldo promedio se calcula de la forma siguiente, donde para ilustrar el procedimiento se
consideran solamente dos movimientos en la cuenta de un usuario.
 Suponga que el primer día, después del corte, el saldo en
contra de un usuario de tarjeta de crédito es de $745. El
décimo día abona $600 y el decimosexto compra $275 en
alimentos pagando con la tarjeta. ¿Cuál es el saldo
promedio diario, si el periodo de corte es de 30 días?

Ejemplo 8
Si el saldo promedio mínimo por día que un
cuentahabiente debe mantener en su tarjeta es de
$500, ¿cuánto debe depositar el noveno día del
mes para alcanzarlo, si los primeros 8 días
mantuvo su cuenta en $60? ¿Cuánto deberá
depositar el vigésimo octavo día, si el noveno
deposita solamente $200?

Ejemplo 9
¿En cuánto tiempo se acumulan $44,365 si se
invierten $40,000 ganando intereses del 0.8%
mensual capitalizable por meses?

Ejemplo 10
¿En qué año se producirán 150,000 toneladas de
azúcar, si en 2004 se produjeron 84,750 toneladas
y la producción aumenta a razón del 8.5% anual?

 Ejemplo 11
 El precio de un televisor es de $3,400, incluyendo el IGV,
que es equivalente a 18%. La cadena de tiendas Saga tiene
el departamento de electrónica rebajado en un 25%. El
señor Martínez adquiere un TV y al pagar en cajas logra un
premio que consiste en un descuento adicional del 20% en
el total de su compra.
 ¿Cuánto pagó por el aparato y con qué descuento sobre el
precio original lo obtuvo?
 ¿Qué cantidades aparecen en la factura con el IGV
desglosado?

Ejemplo 12
Suponiendo que las acciones comunes,
aumentan su cotización en 475 millonésimas de
dólares por día, ¿qué día estarán a $ 4.203193, si
el primer día del mes valieron $ 4.191318?

Ejemplo 13
Si la moneda se devalúa 2 milésimas de nuevos
soles por día, ¿cuánto se devaluará en 6 meses?
Si el 10 de enero la paridad fue de S/. 11.37 por
dólar, ¿cuál será para el 15 de mayo siguiente?

Ejemplo 14
¿Cuánto acumulará el señor Hernández si realiza
depósitos semanales durante 12 meses, sin incluir
intereses, comenzando con S/. 260 e
incrementando los siguientes depósitos en S/. 20
cada 4 semanas? ¿Por qué cantidad será el último
pago?

Ejemplo 15
 En 2019 las utilidades de la compañía constructora
VIPARSA, fueron de 18 millones de nuevos soles. En
2022 fueron de 20.25 millones. Suponiendo que el
incremento se sostiene de manera geométrica,
determine:
a) La tasa de incremento anual en las utilidades.
b) Las utilidades que se estima tendrá en el año 2025.
c) La reinversión total entre 2019 y 2025 inclusive, si la
empresa reinvierte el 45% de sus ganancias.

Ejemplo 16
¿Dentro de dos años cuál será el precio en nuevos
soles de una impresora digital, cuyo precio actual
es de US$ 975, el mismo que se incrementa en un
1.8% cada semestre? Considere que la moneda se
devalúa un 0.5% cada mes y el tipo de cambio
actual es S/. 3.68 por cada dólar.

Ejemplo 17
¿Qué cantidad, sin contar intereses ni descuentos
por comisiones, tendrá en su fondo de ahorro para
el retiro dentro de 10 años, un trabajador que
ahora gana 35 mil nuevos soles anuales. La
aportación anual que hace a su fondo es del 6.5%
de su salario y éste crece a razón del 4.5% por
año? Considere que la primera aportación es en
este año.

Ejemplo 18
Considerando que el poder adquisitivo de la moneda se
pierde en un 5.2% anual, determinar:
a) ¿En qué porcentaje se reduce el poder de compra
en 5 años?
b) ¿Cuál es la pérdida mensual en porcentaje?
c) ¿De qué porcentaje deberá ser el incremento salarial
anual para recuperar el poder de compra original?

Ejemplo 19
Si la deuda externa de un país se reduce anualmente
un 2.75%, ¿cuánto se reduce en un periodo
presidencial de seis años?

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