Geometría y medida

Geometría y Medida
Matemática

Índice general
1 Repaso 1
1.1 Paralelismo (matemática) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Construcción gráﬁca de la mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Aplicaciones en geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Aplicación en triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Propiedades en un triángulo inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Referencias y notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Ángulos 12
2.1 Ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Deﬁnición y características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Amplitud de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Tipos de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Ángulos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5 Ángulos de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.6 Ángulos respecto de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.7 Trisección del ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.8 Ángulos tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.9 Ángulos en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.10 Galería de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.11 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i

ii ÍNDICE GENERAL
2.1.12 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Ángulos complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Ángulos suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Método de obtención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Ángulos consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Ángulos adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Ángulos opuestos por el vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Rectas paralelas cortadas por una transversal 28
3.1 Rectas paralelas cortadas por una secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.4 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Ángulos entre paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Ángulos correspondientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Ángulos alternos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3 Ángulos congruentes entre paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4 Teoremas y resultados relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.5 Geometría no-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.7 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.8 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ÍNDICE GENERAL iii
4 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias 37
4.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Capítulo 1
Repaso
1.1 Paralelismo (matemática)
En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o
igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma
pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando
una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G
sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal
V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = R2
), esto se traduce de
la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coin-
cidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o,
por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten
ningún punto.
1.1.1 Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.
También se le denomina así a aquellos pares de líneas que nunca se unen o cruzan.
Axioma de unicidad
El axioma que distingue a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente:
En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.
Propiedades
Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos deﬁnir la relación binaria: ∥ que representamos del siguiente modo:
a ∥ b , ∥ (a, b) , (a, b) ∈∥
Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:
• Reﬂexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
1

2 CAPÍTULO 1. REPASO
b
a
Dos rectas paralelas.
∀a ∈ P : a ∥ a
• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:
∀a, b ∈ P : a ∥ b −→ b ∥ a
Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.
• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la
tercera:
∀a, b, c ∈ P :
(
a ∥ b ∧ b ∥ c
)
−→ a ∥ c
Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

1.1. PARALELISMO (MATEMÁTICA) 3
Planos paralelos.
Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando sólo regla y compás
Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

Teoremas
• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).
Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.
1.1.2 Véase también
• Perpendicularidad
• Quinto postulado de Euclides
• Ángulos entre paralelas
• Rectas paralelas cortadas por una secante
1.1.3 Referencias
• Weisstein, Eric W. «Parallel». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
1.2 Mediatriz
La mediatriz de un segmento es la linea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equiva-
lentemente se puede deﬁnir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos
del segmento. También se le llama simetral.
1.2.1 Descripción
En efecto, sea AB el segmento que sea, determinado por los puntos A y B . Sea M el punto medio del segmento y
r la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea P un punto sobre la recta r . En la simetría axial respecto
de la recta r , el punto P es invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría,
el segmento AP se transforma en el segmento BP , ambos segmentos son congruentes y el punto P equidista de los
puntos A y B . En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento
en cuestión.
Recíprocamente, sea AB un segmento y sea P un punto que equidista de A y de B , esto es que los segmentos AP
y BP son iguales. Consideremos la bisectriz R del ángulo APB y sea M la intersección de dicha bisectriz con el
segmento AB .
Por construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría axial respecto de la recta r se transforman
uno en el otro. Como los segmentos PA y PB son iguales, en esta simetría, los puntos A y B son uno la imagen del
otro. Concluimos que el punto M es punto medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la recta
r .
1.2.2 Construcción gráﬁca de la mediatriz
Para trazar la mediatriz de un segmento dado AB, se trazarán dos arcos de igual radio arbitrario (siempre mayores
que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos del segmento. Los dos arcos se cortarán en
dos puntos C y D que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del
segmento.

1.2. MEDIATRIZ 5
r
A
B
M P
La recta r es la mediatriz del segmento AB. Cualquier punto (P) de ella, equidista de los extremos del segmento A y B (AP = BP).
1.2.3 Aplicaciones en geometría
Las mediatrices de un polígono cíclico son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que
pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la
circunferencia que pasa por los vértices del polígono, es decir, de la circunferencia circunscrita al polígono.
Esto se debe a que la mediatriz de una cuerda dada en cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de
la misma. Aplicando las mediatrices a los lados del polígono cíclico como si de cuerdas de circunferencia se tratara,
obtenemos que las intersecciones de las mismas constituyen el centro de la circunferencia que contiene todas ellas y
por tanto, la circunferencia circunscrita.
No todos los polígonos simples convexos son polígonos cíclicos, entre los polígonos cíclicos se encuentran todos los
triángulos, los cuadriláteros cíclicos y todos los polígonos regulares simples.
Circuncentro
Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo
punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia
de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita
al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.
• Circuncentro
• Bisectriz
1.2.5 Referencias
• Berenice Guerrero G., Ana (2006). Geometría: desarrollo axiomático. Bogotá-Colombia: ECOE Ediciones. pp.
108–112. ISBN 9586484246.

Construcción gráﬁca de la mediatriz con regla y compás.
• Landaverde, Felipe de Jesús (1977). Geometría (6ª edición). México D.F.: Editorial Progreso, S.A. de C.V.
ISBN 9684361157.
1.2.6 Enlaces externos
• Weisstein, Eric W. «Mediatriz». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Mediatriz de un segmento, en wikiEducared
1.3 Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

1.3. BISECTRIZ 7
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
De izquierda a derecha, el circuncentro de un triángulo rectángulo, obtusángulo y acutángulo.
1.3.1 Propiedades
• Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo
• Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto
de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .

Construcción gráﬁca con regla y compás.

1.3. BISECTRIZ 9
En la ﬁgura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un
ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del
ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.
• La bisectriz de un ángulo, como rayo, con cada uno de los lados forma dos ángulos con lado común e iguales,
cada uno de ellos es la mitad del original.[1]
1.3.2 Aplicación en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este
punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia
es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D'
(ver ﬁgura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D', entonces
también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), y
pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D”. Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la
circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada
uno de los lados.
Las bisectrices interiores, una respecto a cada ángulo se denotan bA, bB, bC y las bisectrices exteriores se denotan
be
A, be
B, be
C
[2]
• La bisectriz bA determina sobre el lado BC dos segmentos m y n que cumplen la proporción m
n = b
c
[3]
Longitud
1. Para bisectriz interior bA = 2
b+c
√
bcp(p − a) siendo p = a+b+c
2 el semiperímetro.
2. Para la bisectriz exterior be
A = 2
b−c
√
bc(p − b)(p − c) [4]
.
Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera
cíclica.

A B
C
M
N
P
O
1.3.3 Propiedades en un triángulo inscrito
Considere el triángulo A,B,C y la circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco B,M,C
en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y M,A,C son iguales y
la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son ortogonales, porque el lado M,N del
triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta A,N es
bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,L,C en el vértice A.
Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan
sobre la circunferencia circunscrita.
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.GF FG
1.3.4 Referencias y notas
[1] Proposición comprobable directamente
[2] Alencar. Exercícios de geometria
[3] G. M.Bruño. Elementos de geometría
[4] Alencar. Idem
• Teorema de la bisectriz
• Mediatriz

1.3. BISECTRIZ 11
• Bisectriz de un ángulo, en wikiEducared

Capítulo 2
Ángulos
2.1 Ángulo
Un ángulo positivo de 45°.
Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.[1]
Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
12

2.1. ÁNGULO 13
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina
ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el
que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
2.1.1 Definición y características
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
1. Forma geométrica: Se le llama "ángulo” a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un
punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común.
El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno
de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en
sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido
dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están
en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue
utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo
de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer
concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Región angular
Se denomina región angular cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.[2]
2.1.2 Amplitud de un ángulo
Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.[2]
Unidades de amplitud
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
1 vuelta = 2 π rad
• Grado sexagesimal
1 vuelta = 3600
• Grado centesimal
1 vuelta = 400g
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el
transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

14 CAPÍTULO 2. ÁNGULOS
Transportador de ángulos.
2.1.3 Tipos de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos,
uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):[1]
2.1.4 Ángulos relacionados
En función de su posición, se denominan:
• Ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún
punto interior común, y suman 180°.
• Ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común.
• Ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
En función de su amplitud, se denominan:
• Ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.
• Ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.
• Ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.
• Ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.
Cuando dos rectas son cortadas por una tercera en distindo punto:[3]
• Ángulos alternos: ángulos dispuestos a distinto lado de una recta que corta otras dos pero que no comparten
lado.

2.1. ÁNGULO 15
Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
α o γ es alterno a β′
o a δ′
β o δ es alterno a α′
o a γ ′
y viceversa.
• Ángulo alternos internos: ángulos comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta
cortante.
γ es alterno interno a β′
δ es alterno interno a α′
• Ángulo alternos externos: ángulos no comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta
que corta.
α es alterno externo a δ′
β es alterno externo a γ ′
• Ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo semiplano
con respecto a la transversal y uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes.

α β
γ δ
α' β'
γ' δ'
RectaQueCorta
2.1.5 Ángulos de un polígono
En función de su posición, se denominan:
• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.
2.1.6 Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

2.1. ÁNGULO 17
ángulo
central
ángulo
inscrito
ángulo
semi-inscrito
Ángulos en la circunferencia.
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre esta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de
tangencia el propio vértice.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus
lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de esta.
La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre
dicha circunferencia.
2.1.7 Trisección del ángulo
La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando
solo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
2.1.8 Ángulos tridimensionales
• El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una
recta común,
• El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.
Coordenadas angulares tridimensionales
• Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de
ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.
2.1.9 Ángulos en un espacio vectorial
Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar
entre vectores ⟨·, ·⟩ , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos x e y mediante la expresión:
∠(x, y) = arccos ⟨x,y⟩
∥x∥·∥y∥ ,
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está
en el intervalo (−1, 1) debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el
arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre

2.2. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 19
está en el intervalo [0, π] (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales
propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:
• Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
• Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
• Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados x e y no nulos,
∥x − y∥2
= ∥x∥2
+ ∥y∥2
− 2∥x∥ · ∥y∥ · cos ∠(x, y)
2.1.10 Galería de ángulos
• Ángulos congruentes
• Ángulos entre paralelas
• Trigonometría
• Goniometría
• Circunferencia
• Círculo
• Arco capaz
2.1.12 Referencias
[1] «Ángulos». descartes.cnice.mec.es. Consultado el 17 de octubre de 2010.
[2] Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN
84-239-7921-0.
[3] Diccionario esencial de las ciencias. Espasa. ISBN 84-239-7921-0.
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ángulos. Commons
• Weisstein, Eric W. «Ángulo». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
2.2 Ángulos complementarios
Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos
complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.
Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°:
β = 90° – 70º = 20º
el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa)
Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rec-
tángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 (180º(grados totales de un triángulo)−90º=90º). Por tanto,
el seno de α es igual al coseno de β y el seno de β igual al coseno de α puesto que pertenecen al mismo triángulo
rectángulo.
La diagonal de un rectángulo también conﬁgura ángulos complementarios(90°) con los lados adyacentes.

Los ángulos α y β son complementarios.
Relaciones aritméticas entre ángulos:
• Ángulos suplementarios
• Ángulos conjugados
Relaciones posicionales entre ángulos:
• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores
Determinados por dos paralelas y una transversal
• Ángulos correspondientes
• Ángulos alternos
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2.3. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 21
2.3 Ángulos suplementarios
Ángulos suplementarios.
• El valor de 180º es el mismo que dos ángulos rectos, π rad o 200g
grados centesimaleses desde 90° hasta los
180°
2.3.1 Método de obtención
Aritmético
Para obtener el ángulo suplementario β de un determinado ángulo α , se restará α a 180°, de manera que:
β = 1800
− α
2.3.2 Propiedades
• Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.
• Los senos de los angulos suplementarios son los mismos, por ejemplo:
sin( α° ) = sin( 180° - α° )
sin( α ) = sin( π - α )
sin( 120° ) = sin( 60° )
• Los cosenos de los ángulos suplementarios son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran
los siguientes ejemplos:
cos( α° ) = - cos( 180° - α° )
cos( α ) = - cos( π - α )
'cos( 120° ) = - cos( 60° )

• Ángulos complementarios
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2.4 Ángulos consecutivos
Los ángulos consecutivos o ángulos contiguos son aquellos que poseen un mismo vértice y tienen un lado común.[1]
Así, dados varios ángulos, serán consecutivos cuando cada uno de ellos esté ordenado de forma que comparta un lado
con el ángulo siguiente y todos tengan el mismo vértice.
Son ángulos consecutivos los conjugados y los adyacentes.

2.5. ÁNGULOS ADYACENTES 23
Ángulos consecutivos.
2.4.2 Referencias
• Ángulos consecutivos, en escolar.com
2.4.3 Bibliografía
[1] Diccionario Esencial de las Ciencias. Espasa. ISBN 84-239-7921-0.
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Ángulos consecutivos. Commons
2.5 Ángulos adyacentes
Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos
lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios,
porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.[1][2][3]
En la literatura del tema es posible también encontrar casos donde se denomina como adyacentes a cualquier par
de ángulos que compartan el vértice y un lado, aunque no sean suplementarios (es decir, se llaman adyacentes a
los ángulos que en otros textos se denominan consecutivos),[4][5]
quizás debido a la inﬂuencia del inglés en donde
adjacent angles tiene este signiﬁcado. Por ello es importante al abordar un texto sobre el tema, tener presente cual es

Ángulos adyacentes.
Otros autores denominan ángulos adyacentes a los ángulos consecutivos.
la convención usada. En este artículo se efectúa la distinción, considerando únicamente el caso en que los lados no
comunes formen una línea recta, reservando el artículo ángulos consecutivos para la otra acepción.

2.6. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE 25
2.5.1 Propiedades
• Los senos de los ángulos adyacentes son los mismos, por ejemplo:
sin( 120° ) = sin( 60° )
sin( α° ) = sin( 180° - α° )
sin( α ) = sin( π - α )
• Los cosenos de los ángulos adyacentes son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los
siguientes ejemplos:
cos( 120° ) = - cos( 60° )
cos( α° ) = - cos( 180° - α° )
cos( α ) = - cos( π - α )
2.5.3 Referencias
[1] Principios y ejercicios de geometría. (Acisclo Fernández Vallín y Bustillo, 1864) pág. 12.
[2] Geometria: El Encanto de la Forma. pág. 12.
[3] Notas de clase. Geometría en el plano y en el espacio. (Ana Berenice Guerrero G., Univ. Nacional de Colombia) pág. 32.
[4] Toral Gutiérrez, Carlos; Preciado Cisneros, Miguel (2002). Curso de Matemáticas 2º. Progreso. p. 209. ISBN 9684362412.
[5] Landaverde, Jesús (2005). “Curso de Geometría. Progreso. p. 21. ISBN 9684361157.
• Complementary Angles animated demonstration. With interactive applet
• Supplementary Angles animated demonstration. With interactive applet
• Angle deﬁnition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference

r
s
P
2.6 Ángulos opuestos por el vértice
En Geometría euclídea dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos
por el vértice cuando los lados de uno son semirectas opuestas a los lados del otro.
En la ﬁgura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes
2.6.1

2.6. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE 27
r
a
s
c
b
d
• Deﬁnición y propiedades de los ángulos opuestos applet interactivo
• Angle deﬁnition pages – Math Open Reference

Capítulo 3
Rectas paralelas cortadas por una
transversal
3.1 Rectas paralelas cortadas por una secante
r
t
s
La relación entre dos rectas paralelas cortadas por una secante es un análisis clásico de la geometría euclidiana,
que permite analizar una inﬁnidad de problemas prácticos, así como deﬁnir algunos conceptos de interés en cuanto a
congruencia y suplementaridad de ángulos.
28

3.1. RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE 29
r
t
s
a b
d
e
c
f
hg
3.1.1 Descripción
Partiendo de dos rectas paralelas r y s, y una transversal t que corta a ambas, da lugar a ocho ángulos,[1]
cuya posición
relativa da lugar a su deﬁnición.[2]
Denominación de los ángulos
• Ángulos adyacentes: Si un lado es común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.
Son ángulos adyacentes los siguientes pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
• Ángulos opuestos por el vértice: Si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
Son ángulos opuestos por el vértice los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
• Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las
rectas paralelas.
Son ángulos alternos internos los siguientes pares de ángulos: c,f; d,e.
Los ángulos alternos internos son congruentes.
• Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las
rectas paralelas.

30 CAPÍTULO 3. RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
Son ángulos alternos externos los siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.
Los ángulos alternos externos son congruentes.
• Ángulos colaterales internos: Son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas.
Son ángulos colaterales internos los siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
• Ángulos colaterales externos: Son los que se encuentran en uno y otro lado de la secante.
Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos colaterales externos son suplementarios.
• Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo
en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.
Son ángulos correspondientes los siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.
Los ángulos correspondientes son congruentes.
• Ángulos
3.1.3 Referencias
[1] Toral Gutiérrez, Carlos (2005). Curso de Matemáticas 3º. Progreso. p. 26. ISBN 968-436-011-8.
[2] Galindo Trejo, Jesus (2006). «1». Geometria y Trigonometria. Ediciones Umbral. p. 19. ISBN 970-7958-39-X |isbn= in-
correcto (ayuda).
3.1.4 Bibliografía
• Polania Sagra, Claudia Marcela; Sánchez Zuleta, Carmen Cecilia (2 de 2007). «3.2». Un acercamiento al
pensamiento geométrico (1 edición). Lorenza Correa Restrepo. p. 141. ISBN 9789589812907.
• Ibáñez Carrasco, Patricia; García Torres, Gerardo (6 de 2006). «1.4». Matemáticas II, Geometría Y Trigono-
metría (1 edición). Cengage Learning.
• Landaverde, Felipe de Jesús (1977). Curso de Geometría. Editorial Progreso. p. 46. ISBN 9684361157.
• Ángulos formados por paralelas y una secante

3.2. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS 31
3.2 Ángulos entre paralelas
En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una
transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.
3.2.1 Ángulos correspondientes
n
Figura 1: Rectas paralelas m y n, recta transversal t.
Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes
(figura 1).
3.2.2 Ángulos alternos
Son los que “fuera” de las paralelas fueran a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre
sí; es decir miden lo mismo.
Alternos externos
Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes (figura 1).

Alternos internos
Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes (ﬁgura 1).
3.2.3 Ángulos congruentes entre paralelas
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas
y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes (ﬁgura 2).
t
a
b
β θ
βθ
β θ
βθ
Figura 2: Rectas paralelas a y b, transversal t, ángulos adyacentes β y θ.
3.2.4 Teoremas y resultados relacionados
La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,[1]
presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.[Ver: Bibliografía]
Es un resultado geométrico intuitivo
conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,[2]
si bien es la ciencia griega, y
en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo
que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.
• Teorema de Desargues.
• Teorema de Tales.
• Triángulos semejantes.
• Triángulos semejantes.

Según cuenta la leyenda, el ﬁlósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la altura de las pirámides de Guiza, alrededor
del año 500 a.C.
Proposiciones de Euclides
La controversia sobre el V postulado alcanza la deﬁnición de los ángulos entre paralelas desde el momento mismo
de la elección de la noción de «rectas paralelas»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran;
o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.[3]
De Los Elementos de Euclides:
Independencia del V postulado
Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes[4]
) son independientes del V postulado de Euclides. La Pro-
posición 16, por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.
De Los Elementos de Euclides:
3.2.5 Geometría no-euclidiana
En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que
los ángulos entre paralelas tienen propiedades diferentes.
Contraejemplos

α
β
Si los ángulos interiores α y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (véase: Quinto postulado de Euclides).
Geometría elíptica.
Geometría hiperbólica.

Disco de Poincaré.
• Rectas paralelas cortadas por una secante
• Postulados de Euclides
• Quinto postulado de Euclides
• Paralelismo
• Perpendicularidad
• Geometría no euclídea
3.2.7 Notas y referencias
[1] Ver: Regla y compás.
[2] Ver: Historia de la geometría.
[3] Maniﬁestamente, Euclides no utiliza el concepto en sus primeras 26 proposiciones.
[4] Heath, T.L., The thirteen books of Euclid’s Elements, Vol.1, Dover, 1956, pg.309.

3.2.8 Bibliografía
• Quintero, Ana Helvia (1994). Geometría. UPR. ISBN 0-8477-2345-3.
• Guerrero G, Ana Berenice (2006). Geometría: desarrollo axiomático. ECOE.
• Tsijli, Teodora (2006). Geometría Euclídea II. EUNED. ISBN 9977-64-830-1.
• Pierce, Rod. «Líneas paralelas y pares de ángulos».
• Transversal and its properties, sitio interactivo, (en inglés).
• Elementos de Euclides.

Capítulo 4
Origen del texto y las imágenes,
colaboradores y licencias
4.1 Texto
• Paralelismo (matemática) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)?oldid=85911330 Colaboradores:
4lex, Fibonacci, Larocka, Robbot, Dodo, Tostadora, Tano4595, Jsanchezes, Periku, Guanxito, RobotQuistnix, Superzerocool, GermanX,
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polanco, Pan con queso, UA31, AVBOT, MastiBot, Mac m 13, QuidEstVeritas?, Diegusjaimes, DumZiBoT, Arjuno3, Luckas-bot, Wi-
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Ineditable, Jarould, Popopopiooopo y Anónimos: 124
• Mediatriz Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Mediatriz?oldid=86110728 Colaboradores: Romero Schmidtke, Sabbut, Moriel, Laroc-
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vidgutierrezalvarez, Luckas Blade, Arjuno3, Wikisilki, Jorge 2701, AlexFBP, SuperBraulio13, Ortisa, WIJU, Manuelt15, Jkbw, Esteban
Góez, Tsakaji, Sangieelizabeth, Quatus, Botarel, Panderine!, ManuBOT15, Klosh, Gusbelluwiki, Hprmedina, Execoot~eswiki, Halfdrag,
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StevenGC, Jennifercita, Addbot, Balles2601, Nelida reyes, Juanchotrio, Pepe.ayala.1984, Jarould, Egis57, Elreysintrono, Monoloco99,
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• Bisectriz Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz?oldid=85999126 Colaboradores: Romero Schmidtke, Joseaperez, Sabbut, Mo-
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dor, Jmvgpartner, SieBot, Camr, Loveless, Sawi, Cobalttempest, Drinibot, Mel 23, Manwë, Greek, Handradec, Belb, Tirithel, Jarisleif,
HUB, Johnny pacar, Eduardosalg, Qwertymith, Leonpolanco, Petruss, Raulshc, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, MARC912374, AVBOT,
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co99, X2y3, Fernando2812l y Anónimos: 321
• Ángulo Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo?oldid=86162733 Colaboradores: AstroNomo, Youssefsan, Kristobal, Jo-
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biapo pohyiete (bot), LP, Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Chobot, Alejandro24, Yrbot, BOT-Superzerocool, FlaBot, Vitamine,
.Sergio, YurikBot, Mortadelo2005, GermanX, Equi, Beto29, Lobillo, KnightRider, Carlos Humberto, Banfield, Dove, Götz, Er Ko-
mandante, Javierdekai, Tomatejc, AngelCaído, Sigmanexus6, Aleator, BOTpolicia, Eufrosine, Nethac DIU, CEM-bot, Laura Fiorucci,
JMCC1, Ignacio Icke, Marianov, Ugur Basak Bot~eswiki, Karshan, Davius, Rastrojo, Antur, Gonn, Jjafjjaf, Gafotas, Wmaster32, Do-
rieo, Montgomery, FrancoGG, Ggenellina, Fsd141, Thijs!bot, Xabier, Tortillovsky, Puko39, Mahadeva, Escarbot, PhJ, Isha, FallenJehova,
Mpeinadopa, JAnDbot, Jugones55, VanKleinen, Kved, Mansoncc, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Jechuson2007, R2D2!, HiTe,
Gustronico, Bot-Schafter, Juanalmenara, Humberto, Netito777, Idioma-bot, Pólux, Thiago R Ramos, Supertigerhombre, Jtico, Fremen,
AlnoktaBOT, Aibot, VolkovBot, Poromiami, Snakeyes, Technopat, Erfil, Matdrodes, BlackBeast, Lucien leGrey, Tatvs, AlleborgoBot,
37

38 CAPÍTULO 4. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
Muro Bot, Mjollnir1984, SieBot, Thor8, Mushii, Ctrl Z, Macarrones, Carmin, Cobalttempest, A. B. 10, Manwë, Ugly, Greek, El bot de
la dieta, WikiBotas, BuenaGente, Mafores, Ivanics, Himura itachi, Tirithel, JaviMad, XalD, Prietoquilmes, Jarisleif, Javierito92, Dnu72,
J.D.F.H.9391, HUB, Nicop, Farisori, PixelBot, Makete, Eduardosalg, Leonpolanco, Pan con queso, Charly genio, Petruss, Walter closser,
Poco a poco, Ener6, PokeP, Ferjortiza, Açipni-Lovrij, SilvonenBot, Camilo, UA31, Ucevista, AVBOT, Elliniká, David0811, Elvanda-
lo666, MastiBot, MarcoAurelio, Ialad, Diegusjaimes, MelancholieBot, Genio01, Arjuno3, Saloca, Andreasmperu, Martin Emmanuel,
Vic Fede, Las cochinas de 9 beeh!, Guille186, Kavor, Mcapdevila, Camilo bossa, Draxtreme, Nixón, SuperBraulio13, Ortisa, Manuelt15,
Xqbot, Jkbw, Dreitmen, Dossier2, Cally Berry, Ricardogpn, Igna, Muro Bot 2, Botarel, Manuel mieres 1993, Googolplanck, ManuBOT15,
BOTirithel, KES47, Hprmedina, TobeBot, Gui bo, Enrique Cordero, Jerowiki, Lungo, PatruBOT, Niker~eswiki, KamikazeBot, Fran89,
Humbefa, DrVino, Tarawa1943, Dark Bane, Jorge c2010, Foundling, Miss Manzana, Axvolution, Edslov, EmausBot, Savh, AVIADOR,
Davito7olo, Allforrous, Sergio Andres Segovia, Africanus, Michael apple, Causita, Nahir martinez, Rubpe19, Jcaraballo, Khiari, Ma-
driCR, Johonatan, Waka Waka, Rafa1998bob, Hiperfelix, Metrónomo, Antonorsi, MerlIwBot, JABO, KLBot2, Lalalajaja, ChayoBot,
Belkano, AleMaster23, Travelour, Ginés90, MetroBot, Bryanzx, -seb-, Gusama Romero, Acratta, Carliitaeliza, Tximitx, Scott rider, Éri-
co Júnior Wouters, Creosota, Frankwar, Helmy oved, Syum90, Legobot, Leitoxx, Jean70000, Carlos quintabani ortodoncio, Balles2601,
ConnieGB, Edwards144, Slovan6, Marlon Poveda, Hectorfcabezas, Andru celiman, JacobRodrigues, Sjlt12, Jarould, Matiia, Lectorina,
Glynnka, QuikeMorenoZarate, Luisafmc28, Historian8976, Elniggitarex777omg y Anónimos: 976
• Ángulos complementarios Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_complementarios?oldid=85932440 Colaboradores:
Youssefsan, Joseaperez, Sabbut, Moriel, JorgeGG, Larocka, Sanbec, Dodo, Tano4595, Jsanchezes, Cinabrium, Balderai, Emijrp, Ma-
gister Mathematicae, RobotQuistnix, Yrbot, FlaBot, Vitamine, YurikBot, GermanX, Sasquatch21, The Photographer, Banfield, Kepler
Oort, Sigmanexus6, BOTpolicia, JMCC1, Rastrojo, Antur, Ggenellina, Todonet, LMLM, Isha, Kved, TXiKiBoT, Humberto, Netito777,
Rei-bot, Nioger, Pólux, VolkovBot, Snakeyes, Technopat, Matdrodes, Carcediano, SieBot, Karbo13, Carmin, Gunboy~eswiki, Pascow,
Greek, El bot de la dieta, Mafores, Ivanics, Tirithel, Prietoquilmes, Javierito92, Kikobot, Veon, Leonpolanco, Mar del Sur, Zero spartan,
Camilo, UA31, AVBOT, MastiBot, Diegusjaimes, Davidgutierrezalvarez, DumZiBoT, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, DiegoFb,
SuperBraulio13, Jkbw, Ricardogpn, Botarel, Foundling, Edslov, EmausBot, ZéroBot, Grillitus, Choconet01, Grotedijk, Mecamático,
ChuispastonBot, MadriCR, Waka Waka, WikitanvirBot, Antonorsi, Rezabot, Foyi62, Loro 2, Deivis, Helmy oved, Gabyacero, Jean70000,
Addbot, Jarould, Jacksonclear418, Nyckolas Bdrr, Sfr570 y Anónimos: 167
• Ángulos suplementarios Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_suplementarios?oldid=86153932 Colaboradores: Jo-
seaperez, Oblongo, Larocka, Sanbec, Tano4595, Jsanchezes, FAR, Emijrp, Magister Mathematicae, Yrbot, Vitamine, YurikBot, Echa-
ni, GermanX, Sasquatch21, KnightRider, The Photographer, Banfield, Carlosblh, Alexquendi, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci,
JMCC1, Marianov, Gafotas, Ggenellina, Resped, Roberto Fiadone, Mr. X, BotOn, LMLM, Egaida, Mpeinadopa, VanKleinen, Kved,
Muro de Aguas, TXiKiBoT, Netito777, Nioger, Pólux, Jmvkrecords, Dhidalgo, Delphidius, Fremen, Matdrodes, BlackBeast, Racso,
SieBot, Mel 23, El bot de la dieta, BuenaGente, Mafores, Ivanics, Mutari, Locos epraix, Javierito92, Leonpolanco, Mar del Sur, Alex-
bot, Raulshc, Açipni-Lovrij, SilvonenBot, Camilo, UA31, AVBOT, David0811, MastiBot, MarcoAurelio, Diegusjaimes, DumZiBoT,
Arjuno3, Luckas-bot, Nixón, SuperBraulio13, Jkbw, Ricardogpn, Igna, Botarel, Gusbelluwiki, PatruBOT, Foundling, EmausBot, Savh,
AVIADOR, Rubpe19, ChuispastonBot, MadriCR, Waka Waka, MerlIwBot, Loro 2, AvicBot, Vetranio, DanielithoMoya, Helmy oved,
Daglenmj, Addbot, Jarould, Pinochin rodrigo, Popotitomichangon y Anónimos: 206
• Ángulos consecutivos Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_consecutivos?oldid=85596139 Colaboradores: PACO, Jo-
seaperez, Larocka, Sanbec, Tano4595, Jsanchezes, Airunp, Emijrp, CEM-bot, JMCC1, Marianov, Ninovolador, LMLM, Isha, Mpeina-
dopa, Vladimirdlc, Gustronico, Fremen, Technopat, Muro Bot, Ivanics, Tirithel, Eduardosalg, Petruss, UA31, AVBOT, Diegusjaimes,
Arjuno3, Dangelin5, Jkbw, Ricardogpn, Botarel, Panderine!, Mounstruobmx, Jerowiki, PatruBOT, Euclides, Mecamático, Waka Waka,
Marlus Gancher, Antonorsi, MerlIwBot, KLBot2, Mambefa, Coolerica, Helmy oved, Addbot, Jarould y Anónimos: 89
• Ángulos adyacentes Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_adyacentes?oldid=85830999 Colaboradores: Sabbut, Ma-
gister Mathematicae, GermanX, Txo, Götz, Filipo, Laura Fiorucci, JMCC1, -jem-, Gafotas, Montgomery, Ggenellina, Isha, Chuck es
dios, VanKleinen, FRZ~eswiki, Gsrdzl, Gustronico, Humberto, Nioger, Fremen, Technopat, BlackBeast, Edmenb, Komputisto, Manwë,
Ugly, Greek, BuenaGente, Aleposta, Mafores, Tirithel, Kikobot, Eduardosalg, Leonpolanco, Mar del Sur, Ener6, Camilo, UA31, AVBOT,
David0811, LucienBOT, Chivita chivas, Angel GN, Ialad, Diegusjaimes, DumZiBoT, MelancholieBot, Jorge 2701, Aguchoca, Super-
Braulio13, Jkbw, Dreitmen, Ricardogpn, Travieso94, Gabriel rodas, Gusbelluwiki, Jerowiki, Lungo, Каррильо, PatruBOT, Euclides,
Dark Bane, Foundling, Waka Waka, KLBot2, Loro 2, Kiwii Cool, Luisvieyra, Lautaro 97, Balles2601, Josue2298, Jarould y Anónimos:
158
• Ángulos opuestos por el vértice Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_opuestos_por_el_v%C3%A9rtice?oldid=85638893
Colaboradores: Joseaperez, Larocka, Sanbec, Ascánder, Tano4595, Jsanchezes, Emijrp, Magister Mathematicae, Chobot, Oscar ., Götz,
Filipo, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Marianov, Mr. X, Isha, Humberto, Netito777, Rei-bot, Pólux, BL, Biasoli, Al-
noktaBOT, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, SieBot, El bot de la dieta, Dnu72, Eduardosalg, Leonpolanco, Antonio Peinado, UA31,
AVBOT, David0811, Diegusjaimes, DumZiBoT, Andreasmperu, MystBot, Ptbotgourou, SuperBraulio13, Jkbw, Ricardogpn, Kismalac,
Botarel, XOXMAN, RedBot, Alph Bot, Dark Bane, EmausBot, AVIADOR, ZéroBot, Emiduronte, ChuispastonBot, SaeedVilla, MerlIw-
Bot, JABO, Loro 2, Minsbot, DanielithoMoya, Santga, Helmy oved, Syum90, AndrekeSalgado, LeittoTBA24, Addbot, Jesuskevinlaur-
yavilio, Jarould, Egis57, JuanCalamidad, Fgfggsdgsdfs y Anónimos: 176
• Rectas paralelas cortadas por una secante Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Rectas_paralelas_cortadas_por_una_secante?oldid=
85887397 Colaboradores: Marianov, Dorieo, Gsrdzl, Fremen, Technopat, Dnu72, UA31, Arjuno3, Jkbw, PatruBOT, Angelito7, Grillitus,
Jarould y Anónimos: 36
• Ángulos entre paralelas Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_entre_paralelas?oldid=86175668 Colaboradores: Soul-
reaper, Taichi, Magister Mathematicae, BOT-Superzerocool, Banfield, Sigmanexus6, CEM-bot, Marianov, Nioger, Fremen, Technopat,
Juancharlie, Dnu72, Leonpolanco, Petruss, Raulshc, Açipni-Lovrij, UA31, Diegusjaimes, Arjuno3, Luckas-bot, MystBot, SuperBrau-
lio13, Jkbw, Ricardogpn, Halfdrag, Jerowiki, Savh, AVIADOR, Waka Waka, KLBot2, MetroBot, Blackfish, Kiwii Cool, Grachifan,
Zt610152145, Helmy oved, Balles2601, Políticaydeporte, Axel0978, Milestones1, Jarould, Matiia, ElTiraAbuelitas y Anónimos: 122
4.2 Imágenes
• Archivo:1degree.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/1degree.svg Licencia: Public domain Colaborado-
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4.2. IMÁGENES 39
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• Archivo:Angulo195.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Angulo195.svg Licencia: GFDL Colaborado-
• Archivo:Angulo240.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Angulo240.svg Licencia: GFDL Colaborado-
• Archivo:Angulo255.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Angulo255.svg Licencia: GFDL Colaborado-
• Archivo:Angulo300.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Angulo300.svg Licencia: GFDL Colaborado-
• Archivo:Angulo330.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Angulo330.svg Licencia: GFDL Colaborado-
• Archivo:Angulo345.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e6/Angulo345.svg Licencia: GFDL Colaborado-
• Archivo:Angulo_positivo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Angulo_positivo.svg Licencia: Public do-
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• Archivo:Angulos_adyacentes.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Angulos_adyacentes.png Licencia:
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Wikipedia en español
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cia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Artista
original: No machine-readable author provided. Magister Mathematicae assumed (based on copyright claims).

40 CAPÍTULO 4. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
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4.3. LICENCIA DEL CONTENIDO 41
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