Geometría básica para el Estadio Nacional

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11 8úi í Ü¡
Segmentos y ángulos
Lectura de motivación 13
Introducción al estudio de la
geometría 14
Segmento 17
Ángulo 19
Posiciones relativas de dos rectas
en el plano 24
Angulos formados por dos rectas
paralelas y una secante a ellas 25
Resolvemos juntos 30
Piactiquemos lo aprendido 43
Triángulos
Concepto 50
Regiones determinadas por el triángulo 51
Tipos de ángulos del triángulo 52
Teoremas fundamentales 52
Teoremas adicionales 59
Clasificación 63
Practiquemos lo aprendido 81
Líneas notables
Concepto 88
Tipos 88
Teoremas sobre ángulos formados
por bisectrices 99
Congruencia de triángulos
Concepto 128
Casos para identificar triángulos
congruentes 130
Triángulos rectángulos congruentes 135
Aplicaciones de la congruencia 138
Situaciones frecuentes de triángulos
congruentes 146
. i tilos n
Concepto 172
Triángulos rectángulos notables
exactos 172
aproximados 178
Otros triángulos rectángulos notables
aproximados 183
Caso particular 183
^elígenos
Concepto 212
Nombres especiales de algunos
polígonos 214
Clasificación 214
Propiedades fundamentales del
polígono 216
Propiedades de un polígono regular 221
Número de diagonales del polígono
de n lados 222
Número de diagonales medias del
polígono de n lados 223
Cuadrilátero
Concepto 250

Teorema de la suma de medidas
angulares interiores 250
Clasificación de cuadriláteros
convexos 251
Resolvemosjuntos 263
Circunferencia
Concepto 282
Elementos asociados 282
Medidas de la circunferencia 283
Ángulos asociados 283
Teoremas 286
Teoremas adicionales 294
Posiciones relativas entre dos
circunferencias 295
P u n to s n o tab le s
Concepto 328
Baricentro 328
Ortocentr© 330
fncentro 332
Excentro 336
Círcuneentro 339
Resolvem os juntos 346
Practiquem os lo aprendido 360
Pro p o rcio n alid ad y sem ejanza
Concepto 368
Razón de segmentos 368
Teorema de Thales 369
Semejanza de polígonos 375
Relaciones métricas
Relaciones métricas en la
circunferencia 416
Proyección ortogonal 418
Relaciones métricas en el triángulo
rectángulo 419
Relaciones métricas en el triángulo
oblicuángulo 423
* ¡4ress de regiones planas
Región plana 460
Área (A) 460
Áreas de regiones triangulares 461
Relación de áreas de regiones
triangulares 465
Áreas de reglones cuadrangulares 468
Relación de áreas de regiones
cuadrangulares 473
Áreas de regiones circulares 477
Geometría analítica
Concepto 512
Recta numérica 512
Plano cartesiano 512
Distancia entre dos puntos 516
Coordenadas de un punto que
divide a un segmento en una
razón dada 517

Coordenadas del punto medio
de un segmento 518
Coordenadas del baricentro de
un triángulo 520
Área de una región triangular (Z
Z
V
) 520
Recta 524
Ecuación de la recta 528
Geometría del espacio I
Concepto 558
Posiciones relativas entre dos planos 558
Posiciones relativas entre una recta
y un plano 559
Posiciones relativas entre dos rectas 559
Recta perpendicular a un plano 560
Teorema de las tres perpendiculares 561
Proyección ortogonal de un punto
y un segmento sobre un plano 562
Ángulo diedro 563
Prisma recto 566
Prisma regular 569
Cilindro 571
Geometría del espacio íi
Pirámide 506
Cono 510
Esfera 514
Semiesfera 516
Poliedros regulares 617
Glosario 653
Bibliografía 655

; J? '•■
•
•
• • :
;v* ■

Este es el Estadio Nacional, su construcción se realizó gracias
a los conocim ientos aprendidos (de manera práctica o m e
diante los libros) por los albañiles, técnicos de construcción,
diseñadores e ingenieros; todo ellos trabajando en equipo
edificaron esta gran obra de ingeniería en Lima.
En la imagen se aprecian los ángulos entre las luces y la can
cha deportiva, de acuerdo a su medida dependerá la ilum i
nación del estadio para un partido de fútbol. Por ejemplo,
en pequeños campos de entrenam iento se recom ienda las
siguientes medidas:
• Conocer los elementos fundam entales de la planimetría.
• Conocer y diferenciar las clases de ángulos.
• Usar las principales operaciones de las longitudes de seg
mentos y de las medidas de los ángulos en la resolución de
problemas.
: .. . . , : C : : : . j ?
Los elementos geométricos estudiados en esta primera par
te servirán como base para el estudio de las demás figuras
geométricas en los capítulos posteriores, pues ellos nos ayu
darán a relacionar las teorías estudiadas en el triángulo, en el
cuadrilátero y en la circunferencia.

S e g m e n t o s v á n g u l o s
!. INTRODUCCIÓN Al ESTUDIO DE K A
Euclídes inicia la sistematización
de los conocimientos de la geo
metría, es oor ello aue es consi-
1.1. Reseña histórica
La palabra geometría significa medida de la tierra {geo=terra y
mefrón=medida), pues se originó con la necesidad de delimitar
espacios sobre la superficie terrestre.
Precisamente en Egipto, cada vez que el río Nilo se desbordaba
no se lograban ver las señales que limitaban los terrenos de
sembrío, las cuales estaban distribuidas en las orillas del Nilo
en terrenos rectangulares iguales, pero cuando estos se inun
daban, el rey egipcio Sesostris mandaba a los agrimensores
(tensores de cuerda) para verificar y medir el espacio de tierra
que habría disminuido, para que así se le bajara el precio de los
impuestos respectivos.
Muchos años después la geometría fue llevada a Grecia por
Thales (625-547 a.n.e.) después que estuvo algunos años por
Egipto. Aunque no hay referencias de sus escritos, existen m u
chas historias de él. Una de las más conocidas es la que explica
que halló un método para calcular la altura de la gran pirám i
de de Keops, construida en torno a! año 2600 a.n.e. Así como
también se le atribuye el hecho de que el diámetro siempre
divide al círculo por la mitad, o la observación-de que, en un
triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales
también son iguales, que para su época eran grandes avances
en el área de la matemática. Se puso en marcha el estilo de
pensar de las matemáticas modernas, de ir del modo métrico a
la abstracción del triángulo y círculo.
Posteriormente a Thales, el conocimiento griego fue desarrolla
do por Pitágoras, Hipócrates de Quios, Eudoxo de Cnido, y otros.
Así como se desarrollaron conocimientos geométricos en
Egipto y Grecia, también otras culturas hicieron aportes im
portantes. La cultura babilónica, descubriendo que la relación
numérica entre la longitud de una circunferencia y su diámetro
es 3 y estableciendo reglas para el cálculo de áreas y volúme
nes. Los aportes de la cultura china escritas en tiras de bambú,
en la cual contiene el Gougu, una versión china del teorema de
Pitágoras y la aproximación de 7t=3,1415926 obtenida con el
uso de polígonos regulares inscritos en un círculo.
Todo ese conocimiento, vertido por dichas culturas y otras,
logró ser sistematizado por Euclides (300 a.n.e) con un razo
namiento deductivo publicado en sus famosos 13 libros cono
cidos como Elementos, que tratan sobre el estudio de la teoría
de números, del álgebra griega y de la geometría elemental.

1.2. Figuras g eo m étricas
Es el conjunto de puntos que adoptan una
forma determinada.
Ejemplos
1.3. Partes de la geometría
Dividirem os el estudio de las figuras geométri
cas en tres partes.
1.3.1. Geom etría plana (planim etría)
Estudia las figuras geométricas formadas por
puntos que pertenecen a un mismo plano.
Ejemplos
cuadrilátero
1.3.2. Geom etría del espacio (estereom étria)
Estudia las figuras geométricas formadas por
puntos que pertenecen a planos distintos.
Ejemplos
pirámide
•Jrs
v
-
13.3. Geometría analítico
Se denomina así porque relaciona a la geome
tría con el álgebra, de tal manera que las figuras
geométricas son estudiadas mediante ecuacio
nes lineales o cuadráticas.
Ejemplos
elipse
En esta primera parte estudiaremos la geome
tría plana.

COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Por dos puntos, A y 8, se puede
trazar una línea recta r.
Todo segmento >48 puede pro
longarse en una recta r.
Nuestro entorno está rodeado
de figuras geométricas. En la
imagen podemos ver objetos
en forma de líneas secantes, lí
neas paralelas, ángulos, triángu
los, planos paralelos y prismas.
1,4. Elem entos geom étricos fundam éntalo:.
Estos elementos son el punto, la recta y el plano, muy impor
tantes en el estudio de la geometría. En esta ocasión, los repre
sentaremos con dibujos.
La recta es como la línea
más delgada que se pueda
dibujar, manteniendo una
misma dirección.
Fíanos IP y ©
La marca más pequeña que
se pueda dibujar sobre una
hoja de papel nos dará una
idea de lo que es un punto
en geometría.
El corte más delgado posi
ble que se pueda obtener
nos dará una idea del plano
en geometría.
Rayo
Es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta
al ser cortada en cualquier punto.
j '
.......... .. O O
rayo OA OA rayo 08: 08

2. SEGMENTO
Es una parte de la recta limitada por dos puntos, denominados
extrem os.
¿Cómo ubicat_el punto medio
del segmento AB?
Notación
• segm entos de extremos A y B: AB
• longitud de AB: AB o ú
Para calcular la longitud de un segmento utilizamos la regla
graduada.
uada' ,•
, "%
r*-
2 1. Pun•:o med'o tío i# >
■
-c ■
'' 1 '"
Es aquel punto de un segmento que determina dos segmentos
de igual longitud.
Del gráfico, M es punto medio de AB, porque
C ,0
Todo segmento tiene un único punto medio.
1. Con centro en A y radio ma
yor que la mitad de AB. se
traza un arco.
2. Con centro en B y el mismo
radio, se traza otro arco, lo
grando P y Q.
3. Con la regia, trazamos la
recta PQ, intersecando a AB
en su punto medio M.
(

COLECCIÓN ESENCIAL
22 Operaciones con las longitudes de los
segmentos
2.2.1. Adición
Se cumple
A.; . *
»
De manera práctica lo realizaremos así:
2{AB)=3{BQ A B-3ky BC-2k
AC-o+b
2.2.2. Sustracción
i-------- -—
A plicació n 7
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A N, M y B, tal que M es punto medio de AB,
MN=2yAN+BM=8. Calcule MB.
R eso lu c ió n
Se cumple
L
AB-a-b i
;?
«
■. -i*
2.3. Razones de longitudes de segm ento*^.//>
Sean A, B ,C y D puntos colineales.
Caso 1
A. é N
Del dato ' ‘ A
m +b m = $ 0
, ; :Ad~2+o=8
%
€ , 2 q ^ f *
Ó*. .> - a = Á v
^ Y
f %
Igualamos a una constante k, entonces se tendrá
BC
2 3
á l = — =k AB=2k
BC=3k
2k
A
Caso 2
2 2(AB)= U/c ;
Aplicación 2
En una recta se ubican los puntos consecutivos A,
5 y C, tal que 5(AB)=7{BQ yAC-2A. Calcule AS.
Resolución
7/í
Del dato
5(A5)=7(eq
-> AB=7k y BC=5k
Del gráfico
7k+Sk=2A
k-2

Capítulo i s&
gg
'.T>:
3. A N G U LO
Es la figura geométrica form ada por dos rayos que tienen el
m ism o origen y que no son colineales.
A >1 Elem entos
* lados: OA, OB
- vértice: O
X a
O
---
B
N otación
• ángulo AOB de vértice O: <AOB
• medida del <AOB: m cA O B o a
donde
i x<
Ó. V '
El número a .indica cuántas veces el ángulo
AOB contiene el ángulo unitario (1o).
Para calcular la medida del ángulo utilizamos el transportador.
¿P tp ^ • rr e
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Í ?v0o . - "<Lf. .*
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§
fi R-3I A iC A i- x Y 6^ 3
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3
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■■ t ¿Mil r ...... /
1
r , • v «•/:
Transportador
¿Cómo trazar la bisectriz del án
gulo mostrado?
1. Con centro en A trazamos
un arco PQ.
( - A ’
2. Con centros en P y Q, y ra
dios iguales entre sí, traza
mos dos arcos que se inter
secan en el punto M.
i
--VM
A K I
/— 4 p — . i
3. El rayo AM es la bisectriz del
ángulo pedido.
P;/
^ ' l s
A V
K
___

: 3.1. Regiones determinurPís ooi jn anquí
curiSode'.
La bisectriz nos permite ubicar
el lugar del lanzador en un cam
po de béisbol. El campo es un
ángulo que se representa por
dos líneas blancas, se ubica la
bisectriz de esta y el rayo que
representa la bisectriz ubica a
18,4 m del área del home el área
del lanzador.
V
rt
l l I P i
Ko olvid e
Denotaremos el ángulo recto de
la siguiente forma:
r
/Kegién
! interior ¡
i*dQ
:0!I >
exterior /
• La región interior es el conjunto de puntos del plano que
no están en el ángulo, pero sí están dentro del ángulo.
• La región exterior es el conjunto de puntos del plano que
no están en el ángulo ni en su región interior.
3, A. üisec tí iz di: im anqUio
Es aquel rayoccuyo origen es el vértice de un ángulo y esta
ubicado en su región interior, este rayo divide al ángulo en dos
ángulos de igual medida.
v
*'" /
.■
,, %
• %
/
/
i /
Del gráfico
% i" OP es bisectriz del <AOB.
,r
( - Porque.^
3.3, Clasificación ue los ángulos
3,3.1. Según : ; medida a gul ir
Es aquel ángulo que Es aquel ángulo que Es aquel ángulo que
mide entre 0oy 90°. m¡de90°. mide entre 90» y 180«
/
/ '
/
Á l
<
/
La.
. o
_1

33.2. Según ¡a posición de sus lados
a. Ángulos adyacentes
Son dos ángulos copianares que tienen un mismo vértice y un
lado com ún, tal que sus interiores son disjuntos.
Los ángulos AOB y BOC son
adyacentes.
f . ¿ L V
i . V Mjp / K
Á
f
I ?#
*>
.. áÉF ¿P¡F.s||. ?
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> I
¡¡T%
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b. Ángulos c o n se c u tiv o ^ ^ / > £¥*
Son tres o más ángulos que tienen un mismo vértice y que al
ser tom ados de 2 en 2 son ángulos adyacentes.
Los ángulos AOB, BOC,
COD y DOE son conse
cutivos.
abscrtvadói»
v - (I l 0 t t’>
En e! gráfico
<A'OB y <BOA forman un par
lineal.
I./• . .
Entonces
Del gráfico
• > - U
P i ; —
’,-
Y_y
/ 0
se cumple .
¡ ¡/ p ?0
v.

COLECCIÓN ESENCIAL
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- Lumbreras Editores
c. Ángulos opuestos por el vértice
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice
en donde los lados de uno de ellos son los ra
yos opuestos del otro.
O'
Se cumple
vértice.
'o
--
I
K %
4fe Mm' M
i
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%
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3 3 3 .Según la suma de suam edS»»'¿gsr
’
a. Ángulos complementarios*^ ^
Son dos ángulos que sumados miden 90°. %
Ejemplos
b, Angulos suplementarios
Son dos ángulos que sumados miden 180°.
9 ■
»
Y
A 9
Los ángulos AOB y MQN son suplementarios,
porque a+0=18O°.
S(ct):.suplemento del ángulo de medida a
w ^ ■
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§
%
---r
--—
----
%
"% # / v
É ^ ü 4
o
%
% P
X
w
/V
Los ángulos A05 y MQN son complementa
rios, porque a+P=90°.
OhWrt'VacíéH
C|a): complemento del ángulo de medida a
r . -90°- e
x
1. Calculamos los siguientes complementos:
* C(2
1
o
)=90°-21o=69°
* C(2x)=90o-2 x
. C(4
9
D
)=90o- 49°=410
* C(3
0
O
)=90°-30° =60°
2. Calculamos los siguientes suplementos:
• S(4
5
O
)=180o-45o=135°
• S(3p)=180o-3 p
• S(1
3
0
.)=180°-130o=50°
• S(95.,=180o- 9 5° =85°

Capítulo i Segmentos y ángulos
Aplicación 3
Si OIWes bisectriz, calcule x.
a
M /
ix /
O
—
•
--fy
.
Resolución
Como OM es bisectriz, entonces
3
x=
6
0
°
x=
2
0
°
Aplicación 4
Del gráfico, calcule p.
V
/ %
i
.$ .j;,. W « f JÉ*., 1
J i
> y
Resolución
Sabemos que
2p+7P=180°
9^=180°
/. (3=20°
Aplicación 5
Del gráfico, calcule x.
■V V
jt
Resolución
Sabemos que
x+50°+3x=90°
4x =40°
• x=10°
Aplicación 6
Si OP es bisectriz del <AOB, calcule (3.
• -
/

o '
. / A >
______ £.___ -V t- J ____
n
Resolución
Sabemos que^
(3+70°+70°=180°
•p+140o=¿j80°
%>
’ .$ h
Aplicación 7
El complemento de un ángulo aumentado en
40° es igual a la medida de dicho ángulo. Halle
la medida del ángulo.
Resolución
Sea a la medida del ángulo pedido.
A
No ohflde
El complemento del ángulo a es
90°-a.
Del enunciado
C^)+40o=a
90°-a+40°=a
130°=2a
/. a=65°

COLECCIÓN ESENCIAL
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Lumbreras Editores
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1 • K(Lí "
Las rectas perpendiculares son
dos rectas secantes que deter-
minan ángulos rectos.
. ..... :
La recta es perpendicular a la
j recta &z y la denotaremos así:
l 3 , l 3 z .
Culdádol:
1 : significa perpendicular
f //: significa paralelos
4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PI ANO
Dos rectas en el plano adoptan solo dos posiciones: secantes
o paralelas.
4.1. Rectas secantes
Son dos rectas que tienen un solo punto en común.
La recta es paralela a la recta y la denotaremos así:
S 1/ / S 2.
4.3. Postulado de Playfair
Dados una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una
única recta paralela a dicha recta que pase por dicho punto.
•-
111
P
•-
rn

Capítulo 1
5. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RHí
PARALELAS Y UNA SECANTE A ELLAS
5.1. Ángulos correspondientes ■
m
X
Si m//n, entonces
tilcu
Si m//n, entonces
Ejemplos
1. Del gráfico
<~ii
se cumple
x=70°
2. Del gráfico
i-r
se cumple
Bx =123°
• x=41°
se cumple
5a=165°
a=33°

Ángutc ■ juga o
j £¿z____
Si m//n entonces
a--M
-)—
180c
Ejemplos
1. Del gráfico
y
—
9—
t
§ ww
se cumple ^+110o^180° i
I |
a x= ?0° %
2. Del gráfico
'#- X l
f J
se cumple
A P=1
5 4. Teoremas
Teo rem a 1
. m i : . ;
i
m
T '
X
I! *~
Si m//n, entonces
<
/+ >
Ejemplos
1. Del gráfico
XV
se cumple
x*30°+25°
/. x^55°
2, Del gráfico
ii
..... //.
.11
sé cumple
2x=42°
' /,,’r X l 4 °
eorema
IT!
J 0
3 >
SI m//n, entonces
<
r> . i *
----- —
”1
fí :
i |V
fIH 1
V
1
Lo suma de ángulos ubicados a la izquierda es
Igual a la suma de los ángulos ubicados a la
derecha.

Ejemplos
1. Del gráfico
Si m//n, entonces
! -:¡ i ji +o-i iü - ;
. !
Ejemplos
1. Del gráfico
se cumple
20o+70°=x+50°
90°=x+50°
x=40°
2. Del gráfico
r y
• ^ V
'
- x ' a
<K* %
é m jb ' 1
^jK m S k. .<?'
•
'•
••
.•
''• i'’-. , A- -> V ’ #
k. * A W / :
— : •
< H o ^
•*
se cumple
a+25o=40°+30°+15c
a+25°=85°
se cumple ,
; 50°+ ^ 70°= 180°
" # 4 2 S b=i8o°
: I '%x¡0'
% Jr :''Y * * 0 = 6 0 °
/ S í * * X / '
# V
%
%v
%
-% w *
%
2. Del gráfico
a =60°
Teorema 3
m f'
o
/ ■
J
■
/V :
. , _______________
se cumple
x+3x+3x+2x=180°
9x =180°
. x=20°
/ .

Construyamos un periscopio
En esta actividad aprenderemos a construir un periscopio simple, que nos servirá para ver un objeto
situado por encima de un obstáculo que impide la visión directa, gracias al sistema de espejos colocados
paralelamente en su interior.
Instrucciones
Paso 1. Para hacer el cuerpo del periscopio, necesitarás armar un
prisma. Consigue un pliego de cartón de 42 cm de largo por 42 cm
de ancho. Marca con el lápiz las líneas por donde hay que doblar el
cartón para formar las cuatro caras: Recorta las ventanas y las ranu
ras como se muestran en el esquema, y pega la aleta internamente
contra el otro borde. ' ' . •
Insertar
los espejos
fe*
i;-'- ■
4 5 °
■
I-
: 4 5 D
f e í
, •f ' . . .
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4 5 °
O
LA
—Ù L L--- • s
,V
,v-
'i
* 0 "
Paso 2. Ahora necesitas dos espejos pequeños, de unos
12 cm de largo y 6 cm de ancho, si no están pulidos en
í-
í 1 " /' r . .
sus bordes o son trozos irregulares, es conveniente cu
brir su contorno con cintas adhesivas.
Reverso
del espejo
Paso 3. Luego, introduce los espejos en las ranuras que tiene el cuerpo <
del periscopio. La idea es que queden sostenidos; pero si los espejos son
un poco cortos, pégalos con cinta adhesiva por fuera.
Ahora ¡a jugar con el periscopio!

SEGMENTOS Y ÁNGULOS i
Capítulo
1

RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.' 1
A>B, C y D; tal que AC=BD, BC=8 y AD=18.
Calcule AC.
A) 11
D) 14
Resolución
Nos piden x.
B) .12 C) 13
E) 15
Ä
-—--
O

j ■
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-----------
1 x ~
N
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gráfico
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|
---- o----1
—
w
-----
A D #
A
1
--- ------- 18---------------
x-8+x=18
2x=26
x=13
Clave
P ro b le m a N.' 2
En una recta se ubican los puntos consecuti-
vos A, B, C i D; tal que AB+CD=14 y ¿D=21.
Calcule BC.
A) 6
D) 9
B) 7 C) 8
E) 10
Resolución
Nos piden x.
Dato: m+n=14
Del gráfico
x=7
Clave
P ro b le n ^ y ,’ 2-
A partir del gráfico, calcule x. Considere que
2{BQ=S{AB) y BC-AB=9.
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
Resolución
Nos piden x.
:a -----h 5o
Dato:
BC-AB=9

r SEGMENTOS Y ÁNGULOS” !
■ . . ■
__ J
~~r
x-q +b
Sustracción
i-------a -------- i
i— x —
i— b — i
A Q B
x=a - b
Razón
Sea m{AB)=n{BC)
i— nk —t- mk -
A B C
Ángulos
B
O
6
Notación
Ángulo AOB: <AOB
Medida <AOB: m<AOB
Según su medida
< agudo << recto < obtuso
e
i 0 < 90° J f e = 9CP' •;
L
e > 90°
Según la posición de sus lados
< adyacentes < consecutivos < opuestos
por el vértice
V * 'v |
P 0 Y P a o
Kt? A o
*=P
= 0+0 x= y + p + e a = 0
Según la suma de sus medidas
< complementarios < suplementarios
0+0 = 90° 0+P = 180°
-i P

Ángulos entre dos rectas
paralelas y una recta secante
< correspondientes
a
< alternos
a
P
/
/
a = p
< conjugados
ii
Teoremas
i
x+y+z = 0+j3
B + (3=180°
cx+0+f3+(J)=18Oo

Capítulo i
Entonces
5a-2a=9
3o=9
o=3
Luego
x=
= 7®
x=21
j C/ove
Problema NC 4
A, B, M y C. Si M es punto medio deAC, >45=12 .
y BC=20, calcule BM.
A) 3
D) 6
R eso lu ció n
Nos piden x.
B) 4 C) 5
E) 7
- 16
—
16
20
A B M
i— >c — i
C
Del gráfico
x+12=16
x=4
Clave
Problema NC 5
En una recta se ubican los puntos consecuti
vos A , B , C y D, de modo que AB+CD=2(BQ y
AC+CD=27. Calcule BC.
A) 7
D) 12
B) 9 Q 1
1
E) 13
Stesolutfótt
Nos piden x.
Datos:
« AB+'CD-2{BC) a +b=2x
&tí y ':>
• AC+CD=27
1/6, *
o+x+ó=27
3x=27
x=9
C/ove
Problema M
. G_______________________________
A, M, B y C, de modo que AM -M C y A B -B C -36.
Calcule BM.
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22

Resolución
Nos piden x.
X — I—
lvi
Dato: Aß-ßC=36
Entonces
m+x-(m-x)=36
ip+x-j/h+x=36
2x=36
x=18
Clave
P ro b le m a N.* 7
4 ,/
¿
M
&
P
*
En una recta se ubican los puntos consecu
tivos A, B, C, D y E, de manera que AB=BC,
CD=2(D£) y AB+AE=4S. Halle AD.
Entonces
a+2o-i-3¿>=45
3o+36=45
o+6=15
Luego
x=2o+26
x=2(o+6)
x=30
Clave
Problem a N.” 0
A, M, By N, además AM=BN. Si MN=12, calcule
la longitud del segmento que une los puntos
medios de BM y AM.
A) 26
B) 30
C) 33
D) 39
E) 42
Resolución
Nos piden x.
H
A
o ---1
— ■
a — i----- i — i— >
—i
~~r o E
fí
Dato:
AB+AE=45
A) 5
D) 8
Resolución
Nos piden x.
B) 6 C) 7
E) 9
A /’ ■
M
H
En M/V: 2o+2¿>=12
o+6=6
Luego
x=o+6
x=6
C/ove

Problema N.‘ 9
En una recta se ubican los puntos consecuti
vos A, B y C. Si M es punto medio de BC y
AB2+AC2=26, calcule AM2+BM2.
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Resolución
Nos piden a2+b2. ,y'
A
a - b ---- 1
---- b — -h — - V '------ 1■
_ a----- -X— '“
a—
*W r
B M%
Dato:
AB2+AC2=26
(o -b )2+(o +b)2=26
$ NO OLVIDE
| Una de las identidades de Legendre es
f {a+b)z+{a-b)2=2(a2+b2)
Obtenemos
2Ía2+bz)=26
o2+ó2=13
* C/cJve
Problema N.* ID
A, B, C y D. Si (AQ2=(A5)(AD) y £C=4, calcule
J_ _L
AC +CD
» !
» 5
1 1
Nos piden —+—
x y
Dato:
(AQZ=(AB)(AD)
Entonces
x 2=(x-4)(x+y)
X2 = x2 - 4x +xy - 4y
4x+4y=xy
4(x+y)=xy
x +y _ 1
xy 4
1 1= 1
x y 4
C) -
2
E) 1
* Clave

WBKBÈ
■
■ ■
■ , '
r ■
■
■
■
■
, '• r."
.
P ro b le m a N .‘ il
A partir del gráfico, calcule x.
x / ^
Afa

A) 140°
D) 160°
Resolución
Nos piden x.
B) 150° C) 155°
E) 170°
':'R-
jÉ& „
' i X * - ' - r . y
/ Y R - t
. O .-n% w
ííe so iu d ñ n
Nos piden x.
£
M
/
p ; p
o
Dato:
m<AOi3=1260
Entonces
2a+2(3=126°
a +(3=63°
Se observa que
1
L
Del gráfico
x+20°=180°
x=160°
4tév • f t
. ' X = 6
'fi 3
.&& % . ■
v +
v^sesw
rr / '
x=a+P
>W
$
iv m
Probiema N.* 12_____________________________ _
Sean los ángulos consecutivos AOM y MOB.
Halle el ángulo formado por sus bisectrices si
m<AOiB=1260.
A) 60°
B) 61°
C) 62°
D) 63°
E) 64°
Clave
Problema U.' 13
Los ángulos AOB y BOC forman un par lineal
y sus medidas se diferencian en 70°. Halle
m< BOC.
A) 25°
D) 55°
Resolución
Nos piden |3
.
B) 35° C) 45°
E) 65°
par lineal

Capítulo i
Dato:
a -p = 7 0 °
Por par lineal: a+p=180°
De (I) y (II) se obtiene
a+ p= 180°
a -p = 7 0 °
0 + 2p=110°
P=55°
(I)
O
D
■Clave
Problema N .'14
Se tiene los ángulos adyacentes A OS y BOC,
tal que m< AOS=m < BOCA- 54°.;t|Calcule la
medida del ángulo formado pofiel OB y la bi
sectriz del <AOC. X X i
A) 21°
D) 24°
R eso lu ció n
Nos piden x.
B) 22° C) 23°
E) 27°
bisectriz
C 1 del <AOC i
'[«+27°'
X « +27°
Dato:
m< AO S=rrv<fíOC+54°
—
» m <AO S=a+54°
í¿ 1
De los gráficos se obtiene en el <POC
+i).y
/
i . /
|(/+27/
1/
x +X =jd + 27°
x=27°
Clave
Problem a 1S
Calcule x si OB y OC son bisectrices de los án
gulos AOC y AOD, respectivamente.
u
m

*
E o
A) 29°
D) 32°
B) 30° C) 31°
E) 33°

Datos: De (I) y (II)
* 0 8 : bisectriz del < A O C
• O C : bisectriz del <AOD
Del gráfico se obtiene por par lineal
4x+52°=180°
-> 4x=128°
x=32°
Clave
Problema ______________
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD. Luego se trazan las bisectrices OX del
<AOB y OY del <CO D . Si m<AOC=30° y
rrKXO V^ SO 0, halle m<BOD.
A) 50° B) 60° C) 70°
D) 80° E) 90° '
Resolución 7
Nos piden m<8OD=20+(3.
Datos:
. m-l.4OC=30o -> 2a+(3=30° (I)
. m<XOr=50° -> a+(i+0=5O°
y
2a+2P+20=1OO° (II)
2a+2p+20=100°
2a+P=30° 4
O+p+20=7O°
De la operación anterior
(3+20=m<BOD
m<BOD=70°
Clave
El suplemento de un ángulo disminuido en 50°
es igual a doce veces la medida de dicho án
gulo. Halle su medida,
•
■
■
■
A) 10° B) 15°
D) 25°
Resolución
Sea x la medida del ángulo pedido.
NO OLVIDE
Suplemento del ángulo x=SM
Del enunciado
S( í,-5 0 °= 1 2 x
Hallamos el valor de x.
180°“ X-50°=12x
130°=13x
x=10°
i Clave i
C) 20°
E) 30°

Problema M" 18 , ro:
Sea p la medida de un ángulo, tal que el su
plem ento del com plem ento de p y el com ple
m ento de 3p suman 130°. Calcule el com ple
m ento de p.
A) 45°
D) 60°
Resolución
Nos piden Cp.
B) 50° C) 55°
E) 65°
NO OLVIDE
* Complemento del ángulo P=C^
• Suplemento del complemento ‘
■
i | >
'$ j$w
del ángulo P =SC(p) - ’ :
V ,
Del enunciado
SC (p)+ C (3 g )-13° °
itW-fY; nO0- :'.ü
V - p) + 90° - 3p =130°
l80,'-(9ü'- -1
’.)
1 8 0 ° P+ ^ - 3 P = 130°
50°=2P -> P=25
Luego
Cp=C25o= 90°-25°
Clave
Un tercio de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de la medida de un ángulo
es igual al doble de su complemento. Calcule
dicha medida.
A) 15°
D) 70°
B) 45° C) 60°
E) 75°
Sea 9 la medida del ángulo pedido.
Del enunciado
4 S(e )- C(e)) = 20(0)
^(0), ^ (e r^ o )
5(0)=7C(0)
180°-9-7(90°-6)
18O°-0=63O°-70
60=450°
0=75°
Problem a N. 20
Si m//n, calcule x.
A) 10°
D) 23°
Clave
C) 15°
E) 18°
Cp=65“
B) 20°

COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden x.
Del gráfico
/
100°/
r.*i’ >
.<
v.
x+100°+3x=180°
4x=80°
/. x=20°
h P ,
•
-
!«
>
' .asm
?a
*
,, * A
f
%. 'W
yrim
Clave.10*$^
..........
*
«
&
<
0
!* J»
Problema N.* 21
Sí ?//m, calcule a.

8 ' x
m
2
B) 120° C) 130°
E) 160°
Resolución
Nos piden a.
a
V COr,;i:Q3'1
J!t.
A •
I 8
Por ángulos conjugados
— + — = "180°
8 2
5 a * € C l 8 0 °
i m
■
# w
«gjé 1 20°
= W í^
r ¿>
>S
?*á
'
o = 160°
NO OLVIDE
Si m//n
rn
+
—
ii T2
y
n
<
—u-

:<hV
'=180°
2
” Clave
A) 100°
P) 150°

Problema N/ 22
Si m /fn, calcule x.
- -
3r'/ m
—>
.
c t r o
1
5í
*í>
Si m//n, calcule x.
□
7A
A) 30°
D) 60°
Resolución
Nos piden x.
B) 40° C) 50°
° r
i .
H
i Iti-. iÍíí>' .• V 4
1 I
'• A
v
iv
m v
1
1
* >
1 ¿ 1
í$ "^
v
,-, %
. %
':
%
X #
Del gráfico
Por teorema 1
x=35° +25°
/. x=60°
Clave
A) 12°
D) 16°
ñeso iiicíó n
Nos piden xr
B) 14°
o 28, '•
-
» —
J
S
b
i
J's? *
Í'Z.r*
-
, n
%
<
¡#
--^
sss^
;-
=
í:ix
^% / t i
V M
'V
Del gráfico
C) 15°
E) 18°
se obtiene
2x+3x=90°
5x=90°
x=18°
O ; D f | e ! I K i'
°
P
Clave

Dato: 0+P=7O°
Por teorema 1
x =0+p
x=70°
Clave
Si m//n, calcule x.
m
A)'v10°.;j D B) 15o C) 20o
D)f259^ 5 E) 30°
'%
r
Resolución
Nos piden x.
Por teorema 2
30°+/ +10+ = 20°+x+
40°=20°+x
x=20°
‘ Clave

Capítulo t
Problema N.e?.B
Si $U SBlt calcule x.
Nos piden x.
40° _ .
140°
m °
•>
•>...
A) 14°
D) 20°
Resolución
Nos piden x.
B) 16° C) 18°
E) 22°
!4x

Por teorema 2
60°+180o-x= 40 o+90°
240°-x= 130°
• x= 110°
% |P
'■
■
'¿
.y
Clave
Problema N.“ 27
Si & lí& 2, calcule x.
-*../ / -
Por teorema 3
3x+4x.+2x+x=180°
10x=180°
x=18° ,, ;C
Clave
Problema 2B
Si S&í U & i y m-n=38°, calcule x.
1 1■
*
f , «
A) 35° B) 36° C) 38°
D) 40° E) 42°
41

Resolución
Nos piden x.
Problema W.’ 29
Si 3/!! 3?2i calcule x.
7 ^
V.X
Dato: m-n=38°
A) 90° B) 100°
X x ;
C) 110°
—» Q=ß+m
Restamos (I)—
(II).
e - 0=x+ß+n-ß-m
0=x+n-m
x s (m - ñ | óuto
(ID
En el gráfico
Por ángulos conjugados
x+70°=180°
x=110°
C la ve i C lave
x=38°

PRACTIQUEMOS LO APRENDÍ
1. En una recta se ubican los puntos consecu-
tívos A M, fí y C, tal que M es punto medio
de AC. Si AB-BC=40, calcule BM.
A) 10 B
) 15 C) 20
D) E) 30
6. En una recta se ubican los puntos consecu
tivos A, B,C y D, tal que 3[AD) +S(BQ=80 y
3{AB)=S{CD). Calcule BD.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
En una recta se ubican los puntos consecu
tivos A, B y C, donde M es punto medio de
AB y AC+fíC=14. Calcule MC.
A) 7
D) 10
B) 8 C) 9
E) 11
3. En el gráfico, F y G son puntos medios de
AB y DE, respectivamente: Si AB+DE=Ó,
calcule FG. f
a —
i- - h >
A F B C
A) 13
D) 16
B) 14
■
'•— ■
— • -----
C) 15
E) 17
tivos A, B,C y D, de manera que C es punto
medio de AD y AD-2(AB)=24. Halle BC.
A) 6
D) 12
B) 8 C) 10
E) 14
í- £n el gráfico, M es punto medio de AC.
Calcule BM.
12 20
A
A) 3
D) 6
B
B) 4
M
C
C) 5
E) 7
tivos A, B, C y D; tal que AC=24 y BD=30.
Calcule la longitud del segmento que une
los puntos medios de AB y CD.
A) 24
D) 32
B) 27 C) 30
E) 34
8. A partir del gráfico, calcule x si — +— = 1.
c . l / r ' AC BD
A) m-n B) 2m~n C) mn
D) yfmñ E) 2yfrññ
9. Los ángulos AOB y BOC forman un par li
neal. Calcule la medida del ángulo entre las
bisectrices de dichos ángulos.
A) 70°
D) 100°
B) 80° C) 90°
E) 110°
10. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD. Si OB es bisectriz del <AOD
y m<fíOC=24°, halle m<AOC-m<COO.
A) 42°
D) 50°
B) 46° C) 48°
E) 52°

COLECCIÓN ESENCIAL jj* ip^' "i....
11. Los ángulos AOB, BOC, COD y DOA son
proporcionales a los números 1, 2, 3 y 4,
respectivamente. Halle rrxAOB.
A) 16°
D) 21°
B) 18° C) 19°
E) 36°
12. En el gráfico, m < A O f= 3 (m < C O D ) y
m<D0F=3(m<A08). Calcule m cfíO C .
D
3|ì
f

A
A) 100°
D) 130°
B) 110° C) 120°
; -4E) ' 140°
Lumbreras Editores
LC Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD
miden 30°, 40° y 60°, respectivamente. Ha
lle la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos AOB y COD.
A) 75°
D) 90°
B) 80° C) 85°
E) 95°
io. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD, tal que los ángulos AOC y COD for
man un par lineal y m<AOC+m<BOD=220°.
Calcule m<BOC.
A) 20°
D) 50°
B) 30° C) 40°
E) 60°
La diferencia del suplemento con el com
plemento de la medida de cierto ángulo es
igual al triple del ángulo. Calcule el com-
13. A partir del g ráfico ,calcu í’e ¿x/y si pléménto de la mitad de dicho ángulo.
m < POR=m<QOS. X , . v X : %&
{ * A):: 65° B)
o
o
C)
A)
1
3
W
v'%
.
X V *
j j <;: D)
o
o
co
E)
B)
1 R
/ q X ?
18. A partir del gráfico, calcule a.
2
%
C) 1
D)
3 5 A A
2 O
S(Y
A
E)
4
à
14. Del
3
gráfico, calcule x. A)
lJ
o
o
B) 30° C)
D) 50° E)
V X
A) 100° B) 120° C) 130°
D) 140° E> 150°
19. Halle el valor del ángulo que disminuido
en su suplemento es igual al doble de su
complemento.
A) 60°
D) 90°
B) 70c C) 80°
E) 100°

20. La suma entre el suplem ento y el com ple
mento de un ángulo es igual a 210° y la
diferencia entre el suplemento y el com
plem ento del mismo ángulo es igual a 90°.
Halle la medida de dicho ángulo.
A) 15° B) 20° C) 25°
D) 30° E) 35°
24. Si Y A
7
7
///7, calcule x.
21. Si calcule x.
A) 6o B) 8o C) 10°
D) 11° E) 12°
25. Si 5 i / / 5 2y $ 3 /7 5 4 7 /5 5 , calcule [i
A) 12° B) 13° C) 14°
D) 15° E) 16°
A) 36° B) 38° C) 42°
D) 46° E) 48°
23. Si 5 i //5 2//5 3, calcule a.
C) 40°
E) 60°
26. Si & ll &i, calcule —.
y
A) 20°
D) 50°
B) 30°

Capítulo i
Claves
1 C 6 C 1
1 E 16 c ; 21 C 26 D; 31 C 36 C
2 A 7 B 12 C 17 C ; 22 D 27 í 32 D 37 D
3 C 8 D 13 C 18 r :
i
23 C 28 O 33 D 38 c
V
4 D 9 c 14 E 19 D Í
1
24 c 29 C
. 34 P 39 c
5 B 10 c 15 C 20 d :
i
25 0 30 B 35 B

Una de las figuras geométricas que tiene mayor aplicación
para realizar construcciones, sean grandes o pequeñas, es el
triángulo. Esta figura presenta una propiedad de resistencia
a su deformación que otras no la tienen. Es por eso que no
es raro ver estructuras de fierro donde se aprecian triángu
los. En la imagen se muestra al Ferrocarril Central Andino en
uno de sus recorridos hacia Huancayo cruzando el puente
Carrión que tiene formaciones triangulares.
Este puente está ubicado en el kilómetro 84 y es el más lar
go de! ferrocarril central; mide 218 m y tiene una altura de
80 m. En total, el tren cruza 58 puentes y 69 túneles durante
su recorrido.
c r -:t .- :: •
* Reconocer los elementos del triángulo.
• Utilizar de manera correcta los teoremas fundamentales y
adicionales.
* Realizar prolongaciones correctas en un determinado pro
blema.
• Reconocer los diversos triángulos según su clasificación.
¿ P o r q u é gg ffíiGCGsario-GGcc : .C
Porque nos ayudará a comprender otras figuras geométricas
como el cuadrilátero, el prisma, la pirámide, etc. Asimismo, el
análisis del triángulo logrará reforzar algunos conocimientos
de la física y la química, como los vectores y la estructura mo
lecular de los átomos, respectivamente.
El estudio de este importante tema también servirá como
base para los posteriores capítulos relacionados con los polí
gonos y circunferencias.

Triángulos
Los símbolos 2p, para referirse
f al perímetro, y p, para el semi-7
1- perímetro, serán utilizados de /
■ esa forma a lo largo de todo el,
libro.
1. CO N CEPTO
Son figuras geométricas formadas al unir tres puntos no coli-
neales mediante los segmentos de recta.
A
Elem entos
• lados: A B ]IC y A C
• vértices: A ' 5 y C .
Notación > v I
AABC se lee: “el triangulo ABC’.
-•
M
* *
Y
»
*
*
n
t
+ 9 *
*
.. .. « /r
*
*
*
*
^•V
J»
«
r
*-y*
También se puede,escribir asíA ':BAC o CAB,
porque realmente,se refiere al mismo triángulo.
■
■ ;
1.1. Perímetro t.dancjulo (2p )
Es la suma de longitudes de los tres lados.
8
Del gráfico
" ]
Jn . , ~
,-=
<
7+¿?+c I
‘-h &AP( j
2p AABC se lee: “el perímetro del triángulo ABC .

1.2. Sem iperim etro del triángulo (p )
Es la mitad de la suma de longitudes de los
tres lados.
B
P
aabc
p ABC se lee: “el semiperimetro del triángulo
A B C . I ¡ ¡
Y ' 2
Sfy*
Aplicación 7
Calcule el perimetro y el semiperimetro del
triángulo.
B
Resolución
Calculamos el perímetro.
2
p
fi/ie
c
=
4
+
6
+
8
2 P^abc^ 8
Calculamos el semiperimetro.
4 +6+8 _ 18
Pa ABC~ 2 ” 2
Pa abc=9
2. REGIONES DETERMINADAS POR EL
TRIÁNGULO
El triángulo divide la superficie plana en dos re
giones. Representaremos esto en un cuaderno.
Si prolongamos los lados del triángulo, dividi
remos la región exterior así:
/
re!stiva ¿ /•
Ejemplos
1. Ubicamos un punto P en el lado AB de un
A ABC.

2. Ubicamos un punto R en la región interior
del A M NS.
3. Ubicamos el punto Q en la región exterior En todo triángulo se cumple
relativa a PR de un APRS.
3.1. Angulo interior
Aplicación 2
A *. ......................
Resolución
Como tenemos ángulos interiores, procede
mos a sumarlos.
Por el teorema de la suma de ángulos inte
riores
x+3x+60°=180°
4x + 60° = 180°
4x=120°
120°
x=30°

A plicación 3
Del gráfico, calcule 0 + a.
Resolución
opuesto
por el
vertice
Ahora tenemos a 0 y ot como ángulos internos.
-> 0+ a+5O°=18O°
0 +oc=13O°
4.2. Suma de ángulos externos S /
A p l ic a c ió n 4
Del gráfico, calcule a.
Resolución
Como tenemos los tres ángulos externos, en
tonces los sumamos.
Por el teorema de la suma de ángulos externos
5a+6a+140°=360°
11a+140°=360°
11a= 220°
En todo triángulo se cumple
(ì t u t ai-360o
220°
—
> a =-----
1
1
a=20°

Aplicación 5
Del gráfico, calcule a+0.
Resolución
Par lineal
' i ’ íí,'V .j . ••..¿¿r-■
■
■ •
■ LÜ
o+¿»=i8o° / y ¡ $
f . >
w
Com o tenem os dos ángulos externos, faltaría j
un tercero que se obtiene mediante la proion-'
gación óeAC.
A c
Luego, por el teorema del par lineal, la medida
del ángulo exterior en el vértice C es 120°.
Ahora sí tenemos tres ángulos externos, enton
ces aplicamos la suma de ángulos exteriores.
a + e +120°=360°
a+0=36O°-12O°
a+0=24O°
Análisis de un error frecuente
Calcule/.
■
:¡0- .'téíií
«•
I ‘ :
Como
x+ 1 0 0 o+ 1 60 °= 36 0°
-> x = m °
:i :* *
. Eso no es correcto,
2 C ' porquex no es un
ángulo externo.
I:.,.
# * -
, >
t -
-
V
•
r>v.-S
i f * f p
vr ,,
XvV ¿Está seguro,
profe?
Así es, este es el
ángulo externo.
UÿÇjf
4
K/0‘: ICO1
Ci___

En el A ABC aplicamos el teorema del cálculo del ángulo
exterior.
'i
triángulo
i Sí así fuese, el triángulo forma-
í . do debe cumplir con el teorema
i de existencia,
í . Veamos :■
..
- t-
n
rcsta_
3<f8 <7
V'5W
V»
i y //•
•/
í 1
1¡VJ
Notamos que ocho es: ■
m
era
b
jrjj'
que siete, ya que eso es ilógico
el triángulo no se puede construir.
—
> m<£CD=2*
Luego observamos
C ;‘
Aplicamos el teorema del cálculo del ángulo exterior.
Del gráfico, se cumple
0-_C <¿)<a +C
revtj Lumi
Este teorema es utilizado en problemas de va
lores máximos y mínimos de un lado.

Capítulo 2
Triángulos
Aplicación 9
Calcule el máximo valor entero de x.
Resolución
Aplicam os el teorema de existencia con res
pecto a x.
9 —4 < x < 9 + 4
resta suma
5 <x < 13
Es decir, x está entre 5 y 13. .+
—
> *= 6; 7; 8; 9; 10; 11;(Í2) ind^ ,0
' J l r J
entero^ ~
?f y
■ x . =12 •
A plicación 70 * > >
Calcule la suma entre el máximo y el mínimo
valor entero de b. 'x
% ,f
Resolución
Aplicamos el teorema con respecto a b.
8- 6< b < 8+6
reste* .'Uma
Es decir, b está entre 2 y 14.
~> b= 3 ; 4; 5; 6; 7; ...12; 13
, t f
mínimo máximo
entero encero
Luego
mín. entero
mín. entero
+b - =3 +13
^max. entero J
^máx. entero“ ^
Al teorema de existencia también se le conoce
como teorema de la desigualdad triangular.
v i l
4.5. Teorema de correspondencia
A un mayor ángulo se le opone un mayor lado
y viceversa.
Del gráfico, si a < 0, entonces
r
Propiedad reciproca
Si a < £
> —
> a < 0
existencia
Relaciona ángulos
con lados
2 <£><14

COLECCIÓN ESENCIAL
Aplicación 11
Del gráfico, indique qué lado es mayor, si a o b.
Resolución
y
y
-'-Á
-A
.
Aplicación 12
Indique si a es menor o mayor que 30°. "
Resolución
Se observa que
a < a+2
-> a < 30°
Por lo tanto, a es menor que 30°
Aplicación 13
Calcule el máximo valor entero de x.
Por el teorema del ángulo exterior
m<&4C+70°=130°
m<BAC=60°
En el A ABC, al tener ángulos y lados, aplica
mos el teorema de correspondencia.
Como 60° < 70°
-» x< 4
Es decir, x es menor que 4.
• y n3
•• A
m
áx. entero

Capítulo 2 Triángulos
5. TEOREMAS ADICIONALES
Son los teorem as que se usan para reducir pasos y operaciones
en un problem a.
Para mejorar ¡a identificación de
los teoremas, se les puede aso
ciar con las siguientes figuras:

Aplicación 17
Del gráfico, calcule a+b+c+d.
Resolución
Notam os que el gráfico muestra al búmeran y la mariposa.
Asim ismo, observamos que falta un ángulo al cual llamaremos
0 para aplicar los teoremas.
Z L : 0 + 6+ 6=150°
tX¡ c+d =0+20°
a +b +c +d + = $+ 170°
a+b+c+d=170°
Aplicación 18
Si por dato tenemos figuras in
completas se sugiere prolongar
las líneas.

COLECCIÓN ESENCIAL
_ _ _
Lumbreras Editores
_ _ _
Resolución
Prolongamos y formamos la figura de la ma
riposa
En el A ABC: rr<ACB es 50°, dado que la
sum a de ángulos internos es 180°. , - ■ v.
Luego, por el teorema de la mariposa
En el A ABC aplicamos la suma de los ángulos
internos.
3x+4x+2x=180°
9x=180°
x=20°
x =
180°
Aplicación 20
x +$ = 5O°+j0
/. x=50°
Aplicación 79
Resolución
Formamos el búmeran (/^) y aplicamos su
teorema.
Resolución

6. CLASIFICACIÓN
Al triángulo lo clasificaremos tomando en cuenta sus ángulos
y lados.
6.1. Según las medidas de sus ángulos
6.1.1. Triángulo acutángulo
Sus tres ángulos internos son agudos. Teoremas adicionales
Del gráfico
i ■
L„
donde se cumple
0 : obtuso
s
______ J
00'■
. . 0V ISO
'''
Ejemplos

NÒ.olvidé:
»<< - * v . - <»
'»
y
.-,-, -.,¿i7
vTv» v *
Acutángulo Obtusángulo
1
3 tj i . . •
*
.. '. ■■
-
í Son llamados también triángu
los oblicuángulos, ya que no
•¿ tienen ángulos rectos.
Dato curioso
■
El triángulo de vida
i En un sismo se recomienda a
• j . la persona colocarse al lado de
4 una estructura (mueble u otros),
ya que al caer, los objetos for-
7 man un triángulo y así se evita
que alguien salga lastimado.
6.1.3. Triángulo recta n g i
Tiene un ángulo recto.
n .
Elementos
• catetos: AB y BC
• hipotenusa: AC
Ejemplos
1. o /
■
■
■
:>
'• .
‘T'
Prop iedades
□
2.
! H-H /-90'’
IT-90o- (
■

6.2. Según sus lados
6.2.1. Triángulo escaleno
Sus tres lados son de diferentes longitudes
donde a *b ; b * c y c*a .
6.2.2. Triángulo isósceles f ^
Tiene solo dos lados de igual longitud
B
donde AB=BC y AC es la base del Isósceles.
En todo Isósceles, a los lados iguales se les oponen ángulos de
igual medida.
‘ V ______
t<
j /¿
>
*y vi* >
>

7//£^ = = = r._____
Oato:curióte
í'Y
j/
m
En los objetos de plástico, e l
número y las letras del triángulo
equilátero, formado por flechas,
nos indican el tipo de plástico,
para su correcto reciclaje.
________________________
,“K-.
v •
>1i
iijl
1 3 '
i 5
I I
2
I |
PET HDPE PVC LDPE
pp PS Otros
• r . ;
if /
¿//fff/:Imjportiiltcrr^
El GPS y el sistema de triangu
lación
El GPS es utilizado para cono
cer las posiciones precisas de
cualquier elemento en la Tierra;
por ejemplo, nuestra ubicaclpn.j j
Esto funciona con la medición
de nuestra distancia hada tres
satélites, medíante el proceso
de triangulación
Ejemplos
6.2.3 . Tri ánguio eq uiIále ro
Tiene sus tres lados de igual longitud

P A ” A A :y: A A :
¿Por qué los ángulos internos del triángulo suman 180o?
Paso 1
Construya un triángulo de papel y dóblelo exactamente por la mitad de dos lados.
/ A
, (I
r
v Df,o;,íf

/
á o
Paso 2
Doble la esquina inferior izquierda de la hoja.
%
I,
/ ¡
/ 1
/ 1
:A
í A . , r , :
/ j
/ y
( X /
/ í '
*>, Â
O c :> U <
vvíyC
f *
%i-V
%
.# -
È jÄk
I
I Ù
Paso 3
Doble la esquina inferior derecha de ja Bojar
r A
fv " ~~” * ‘'I
. / :
/ ! 1 /'
X (/. / ;
1 n X / 1 (0A Ì I U / Í , 1
D
úC
jI.k
r , j
Finalmente, en la última imagen se observa que

COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Del gráfico notamos dos triángulos isósceles.
En el AABC
En el L ADB
Aplicamos el teorema de la suma de ángulos
internos.
x+40°+40°=180°
x+80°=180°
x=100°
r Clave

Resolución
«
___ i—_______________________

Restamos (I) - (II).
x+a+80=180°
y+g =80°
x+/í+80o- y - / = 180o- 80o
x+80°-y=100°
x-y=100°-80°
x-y=20°
; Clave
.....*
»
•
,é
*
n
Problema 8
Del gráfico, calcule x+y.
P
A R c
Podemos analizar los dos triángulos.
En el A ABC
y= 30°+ 40°
y= 70°
_______ ______________ i___
A) 20° B) 25°
D) 40°
_________
R e so lu ció n
/A
En el A RPQ
x=50°+20°
x=70°
P
Problema N. 9_____
Del gráfico, calcule 0.
A) 140°
D) 150°
B) 100°
2 0 Ÿ X
i Clave

COLECC!Ó ESENCIAL Lumbreras Editores
En los triángulos, aplicamos el teorema del
ángulo exterior.
Por el teorema del pescado
2a+4a=50°+70°
6a=120° —» a =
120°
a=20a
Problema N/ T3
i Clave {
;i>
r
v
Del gráfico, si m+n=140°, calcule x+y.
A) 120°
B) 130°
C) 140°
D) 150°
E) 160°
En el A ABC, como m+n=140°, entonces la
m<fiC4=40°.
B
B
x+y=150°
! Clave [
Problem a N.° 14
Resolución
Notamos la figura de un triángulo y un pes
cado.
A) 30°
D) 45°
B) 40° C) 20°
E) 15°
«i

Resolución
Del gráfico
notamos
3a + 30°=36 a+x=8+30°
3'(a+10°)=30 a+ V-30°= 9
a+10°=6
Igualamos los valores de 0.
0c+1O°=já+x-3O°
10°+30°=x
40°=x
Clave
Problema N.a15____
Resolución
Del gráfico
x=8O°+0 +p (I)
x+0 +(3=13O° (II)
Ordenamos convenientemente.
A) 125°
B) 115°
C) 100°
D) 105°
E) 120°
De (I) x=8O°+0+p
De (II) x+0-t-p=130° '
2x+/0+/p=8O° +
/■
+P +130°
2x=210°
x=105°
Clave

Problema H.' IG
Del gráfico, calcule a . Del gráfico, calcule a.
A) 30° B) 20° C) 10°
D) 15° E) 25°
Resolución / ^
Com o el gráfico no es conocido, hacemos al
gunas prolongaciones.
Observam os que en la parte sombreada se
han completado las medidas de los tres án
gulos. vO
A) 50°
B) 40°
C) 60°
D) 70°
E) 45°
#' Æ v-' *
»
*
*
&
■
,
Importante
Se cumple
Prolongamos los lados y el ángulo a va a la
parte superior derecha, debido al esquema
anterior.
Notamos la figura del búmeran.
Donde
4Ü°+a+oc=70°
2 a = 7 0 °-4 0 °
30°
2a= 30° « = —
/. a=l5°
j Clave

Luego, notamos
i6Gc
70-
60°+70° +a=180°
130° +a=180°
a=180°-130°
a=50°
Problema N.° IG
A) 20°
D) 45°
B) 25°
Resolución
Prolongamos y se forma
Clave
C) 40°
E) 30°
* (
/O ^
L
f y
2x+x+90°=m °
Luego, notamos
3x=90°
x-30°
X = '
90c
Clave
Problemi
Del gráfico, calcule a+b+c+d.
■
/
■
>
!;
M 'V ,
/ c
y
A) 160°
D) 220°
B) 150° C) 120°
E) 200°
Resolución
Prolongamos y formamos la figura del búme
ran y el pescado.

Por e! teorema del búmeran
Luego, notamos
£>: a+b+c+d= 60°+100°
a+b+c+d= 160°
''%[ Clave L:
■
/
, *'*
<
•*•¥
%
*£
*•*p
*i?.*y*'
'W w 4
<
■
' A'
Problema N.° 2 0 ______________
Del gráfico, calcule a+b+c.
A) 150° B) 180° C) 200°
D) 360° E) 100°
Resolución
Prolongamos y formamos dos mariposas y en
cada figura los ángulos b y c cambian de po
sición.
a+b+c=180°
Clave

1. Del gráfico, calcule x. 5. Del gráfico, calcule a.
A) 8° B) 9° C) 10°
D) 12° E) 15°
2. Del gráfico, calcule a.
A) 60° B) 70° C) 50°
D) 40° E) 45°
Del gráfico, halle x.
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
E) 10°
A) 15° B) 20° C) 25°
D) 30° E) 40°
6, Del gráfico, calcule x+y.
A) 210° B) 230° C) 240°
D) 220° E) 250°
7 . Del gráfico, calcule x.
A) 50°
D) 40°
C) 70°
E) 30°
B) 60°

COLECCIÓN ESENCIAL
------------------- -------
Lumbreras Editores
_________________ -

Capítulo 2
Triángulos
17. Del gráfico, calcule x.
A) 35° B) 40° C) 50°
D) 60° E) 70°
18. Calcule a.
A) 6o B) 8o C) 10°
D) 15° E) 20°
19. Del gráfico, calcule a.
A) 40°
B) 55°
C) 50°
D) 60°
E) 30°
K
J-
i

_ _ _ _ |___________ .________________________________________!
________ 8
.
20. C alcu lex+y. ; 23. C alcule/.

Claves
1 C 5 .
J
>
(T
L
_
-
13 17 21 25 29 D
2 6 6 ■
ii 10 14 A 18 22 26 i)
3 D 7 A 11 D 15 19 B 23 27 A
4 A 8 D 12 16 20 24 B 28

’W j M Æ
M m >
a â f
Z2É É & M
W $ 4 * # ñ -

El viaducto de Millau en Francia está constituido por ocho
tramos de tablero de acero, que se apoyan sobre siete pila
res de hormigón. La calzada pesa 36 000 toneladas y se ex
tiende a lo largo de 2460 m; tiene dos carriles ce tránsito en
cada sentido. Este viaducto prácticamente duplica la altura
del que hasta entonces era el puente más alto del mundo;
el Europarbrücke (Austria). En la imagen se puede ver que
los siete pilares cumplen ¡a función de recta mediatriz a lo
largo de todo el viaducto.
Este es un ejemplo de la utilidad que puede tener una línea
notable. A parte de la mediatriz, otros tipos de líneas nota
bles son la mediana, la bisectriz, la ceviana y la altura.
AMOR A SOFÍA
; , - í ? J h
esperados
* Reconocer los tipos de líneas que se pueden trazar en un
triángulo.
* Interpretar el enunciado de un problema para su correcto
graficado.
• Aplicar los teoremas de los ángulos formados por bisectrices.
• Realizar prolongaciones para resolver problemas geom é
tricos.
¿Por tgué es necesario este conocimiento?
Porque logra precisar que los problemas en el curso de Geo
metría son de dos tipos: los problemas graficados y los pro
blemas que solo muestran un contenido textual. Asimismo,
nos permitirá diferenciar las características de cada línea para
una adecuada interpretación y graficado en un determinado
problema textual.

.YiYfJ
"
•
Líneas notables
- . ■■' ■ ■ . ■
■
: ^ . '
Prolongación
| Es la extensión o alargamiento 0
• de un segmento, que se puede
realizar en dos sentidos.
hU
x-f-
-
; A Pfál<>^(j¿íi6¡i! ¡ | | | | j |j
t 4 L
! ; i id« BÂ. .'//
; ¡ i i i■
/,-■
PíTjíOpjadcm
-n".:
///.Importante
La palabra relativo significa que
T hay relación o conexión con un
• elemento.
1. CO N CEPTO
Son líneas asociadas al triángulo, se usan frecuentem ente y
tienen diversas características.
2. TIPO S
2.1. Ceviana
2.1.1. Ceviana interior
Es un segmento que une un vértice con un punto cualquiera
del lado opuesto a dicho vértice.
Ejemplos
2. A 3.
C
j
A
/
i d 1A
/ X
BP: ceviana inte- AP: ceviana inte- CP: ceviana inte
rior relativa a AC rior relativa a BC rior relativa a AB
- 2.,.5
'
: : v > ■
■ ; ; S En todo triángulo
i ^ p- se pueden trazar
■ ■- - infinitas cevianas
- interiores.
W- c
2.1.2. Ceviana exterior
Es un segmento que une un vértice con un punto cualquiera de
la prolongación del lado opuesto a dicho vértice.
Ejemplos
1.
B
BD: ceviana exterior relativa a AC

2.
B
BE ceviana exterior relativa a GA
O tra fo rm a de trazar la ceviana exterior
3.
F
AF'. ceviana exterior relativa a CB
’A
En"todo“ ?riáñgulo se pueden trazar Infinitas
cevianas exteriores, .
Si tenemos un triángulo donde
la relación de ángulos interiores
es de 1 a 2, podemos formar
triángulos isósceles.
. jjf jij m ¿
K“ —
- r ■
" .' ,
R , uc -'• -
b
* •; .
Para ello trazamos la ceviana
interior.
Importante ««¿as*
En geometría, bisecar significa
dividir un ángulo o segmento
en dos partes iguales.

COLECCIÓN ESENCIAL
O
ítores
2.2. M ediana
Es aquella ceviana interior que biseca el lado al
cual es relativa.
B
BM: mediana relativa a AC
En todo triángulo se pueden trazar tres media
nas, una de cada vértice.
m i m i -- ■ x : st - • '■
j**?*'**”**
v¿i i . li ! j í : ! . --re--- / • ■
■ .
En el triángulo rectángulo ABC
,0
A
_o
H
BH: altura relativa a la hipotenusa
En el triángulo obtusángulo ABC
: V
:
□
BH: altura relativa a CA
ó -
A
2.3. Altura v %% p
Es aquella ceviana perpendicular al lado al cual
es relativa.
La posición de la altura depende del tipo de
triángulo.
. En el triángulo acutángulo ABC
B
AR: altura relativa a BC
O
D
CD: altura relativa a BA
s Y j 11 /.///,• •, / / - ■
1
]fnrlp j
Jodo triángulo tiene tres alturas, las cuales
pueden estar en la región interna, región j
externa o coincidir con un lado del triángulo. j
BH: altura relativa a AC

Capítulo 3
Líneas notables
2.4. B isectriz
2.4.1. B isectriz in terio r
Es aquella ceviana interior que biseca a un ángulo interior.
8
AD: bisectriz interior relativa a BC
Ejemplos
3. B

i
COLECCIÓN ESENCIAL
___
Lumbreras Editores
___l_____..
Nrifólvüle
Mediana Bisectriz
2.4.2. Bisectriz exterior
Es aquella ceviana exterior que biseca a un ángulo exterior.
j
BD: bisectriz exterior relativa a AC
Ejemplos

2.5. M ed iatriz :
Es aquella recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa |
por el punto medio de dicho lado.
B
: mediatriz de AC
confundirse
Solo si el triángulo es isósceles
o equilátero se cumplirá que la
vez bisectriz y
mediatoz
de B C
mediatriz
de A C
M p o rtw H t
Todo triángulo tiene tres mediatríces, una rela
tiva a cada lado,
93

__ _____________ ■

Sabemos que m<ABD=rc<ADB.
B
8
Nos piden AB=x.
B
Observamos que el triángulo BAD es isósceles.
/. x=4 ;?
A plicación 3
En un triángulo acutángulo ABC, se traza la
altura CH, y se obtiene que AH=3 y HB=1. Si
m<ABC=m<ACB, ca lcú le le .
Resolución
Graficamos.
Observamos que AH=3 y HB=1.
B
A
Sabemos que m < A B C = m < /0 .
Nos piden /4C=x.
Observamos que el triángulo R4C es isósceles.

A D
Del dato, AB=BD.
Aplicación 5
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz ex
terior BD (D está en la prolongación de CÁ).
Si DB=BC y m< 804=26°, calcule m<DBA.
Aplicación 4
En un triángulo ABC, m</BC=60°; además se
traza la bisectriz interior BD, tal que AB=BD.
Calcule la m<BDC.
Resolución
Se sabe que m</BC=60°.
A
Se traza la bisectriz interior
El triángulo ABD es isósceles.
-» m<ft4D=m< 80/4=75°
4 D
L
O

I
Aplicación 6
En un triángulo ABC, AC= 6; además, la media-
triz de AC interseca a AB en M y a C4 en D,
donde MD=2. Calcule AM.
Resolución
Graficamos.
La mediatriz de AC interseca a AB en M y a
C4 en D.
i

COLECCIÓN ESENCIAL
Nos piden AM=x.
'•'*■
*
#f •
' '*
'try*
•
' •• • i/ v ,•
; ’ / „
■ V ■
;•
: . • '■ ■ „ ■1 . ,
sasm
En el ^ AD M aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2=22+32 -> x2=13
x = VÍ3
-'íííx
x s?:-
r . M ' ■
' / / / 7 '.7,V / === ? - T » k
v lilt ó ó íto ít i/ '
La palabra respectivamente se usa cuando enu- J
! IT1IT11i iV / / w N S s .• ■ QfN
meramos varios elementos y los queremos re-
i'íácionar con otros, según el mismo orden de,
mención.
Ejemplo
-Se~encuentran A, B y C en MA/, PQ y¡PS('respéc-
1.
« fí está en PQ.
•i i1
1ITTv//'A> ' ...■ : -
. C está en RS.
1j 1yf////////f//J&
Aplicación 7
En un triángulo ABC, BD es la altura; además,
la bisectriz interior trazada desde A interseca
a BD y BC en M y N, respectivamente. Si
m<BMN=50°, calcule m<MAD.
Lumbreras Editores
IIj
L' "
Resolución
Graficamos el triángulo ABC y trazamos la
altura BD.
La bisectriz interior trazada desde A interseca a
BD y BC en M y N, respectivamente.
8
N
•
i "
*
.'■
■
■
. S '
, í £ j l □ .
D C
Sabernos que m<8MA/=50°.
B
Nos piden m<MAD=0.
B

Líneas notables
■ a m
Por el ángulo opuesto por el vértice
m<AMD=50°
Luego, notamos
0 + 50° = 90°
/. 6 - 4 0 °
3. TEO REM AS SOBRE ÁNGULOS FORMADOS
POR BISECTRICES
Para aplicar estos teoremas, se debe identificar
al triángulo del cual se han trazado las
bisectrices.
Teorem a 1
Se aplica cuando hay un ángulo formado por
tas bisectrices de dos ángulos interiores.
B
Donde x es el ángulo formado por bisectrices.
Del gráfico
x =90°
Ejemplos
1. Hallem os/.
8
Entonces x es el ángulo formado.
Luego, por el teorema 1
:60o
x =90°+v
—-
2
/-•90o+30°
z=120° ?
2. Hallemos y.
* B
Entonces y es el ángulo formado.
y =90°-^-52
7 2
y=90°+20°
y=110°
99

3. Hallem os x. Ejemplos
1. Hallemos x.
B
Notamos que 130° es el ángulo formado.
Entonces, por el teorema 1
(7 )
130°=90° +-
v $ X jsffe-
130°-90°=- -> 4 0 °= -/|
| i/ * |¡f
80°=x ' *
« jfí
Teorem a 2
Se aplica cuando hay un ángulo formado por i
las bisectrices de dos ángulos exteriores, don-T
de x es el ángulo formado por bisectrices.
B'
Del gráfico
a
y s C j 0 ° ..........
2
Tenemos que x es el ángulo formado.
50°)
x = 9 0 °- —
2
x= 90°-25° -» x=65°
2. Hallemos/.
Tenemos que y es el ángulo formado.
y =90°-35° -> y= 55°
3. Hallemos x.

Capítulo 3
Líneas notables
(x)
40°= 90o- -
2
| =90°-40°
y
- =50° x=100°
Teorem a 3
Se aplica cuando hay un ángulo formado por
las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo
exterior, donde x es el ángulo formado por
bisectrices.
Del gráfico
Ejemplos
1. Hallemos x.
Notamos que x es el ángulo formado.
x=30°
En este último teorema, el ángulo formado
por las bisectrices es la mitad del ángulo de!
triángulo.
2. Hallem os/.
Tenemos que y es el ángulo formado.
(40°
^ K y y :
--
.-. y=20°
3. Hallemos x.
Notamos que x es el ángulo formado.
x=35°

COLECCIÓN ESENCIAL
£
Lumbreras Editores
O tros teorem as
Biografía
Gíovanní Ceva (1648-1734)
Fue un matemático italiano, reconocido en el campo de la geometría por el im
portante teorema que descubrió y que lleva su nombre: el teorema de Ceva, el
cual plantea que dadas tres cevianas concurrentes, existe una relación entre las
longitudes de los segmentos parciales determinados en cada lado.
i.

—
_
_
_
_
_
LÍNEAS NOTABLES
r
Ceviana
/ts
. c
e
v
ia
n
a
/ XV
s
^in
te
rio
r
I /
/
1/
1 >
/ 'v c
e
v
ia
n
a
/
I /
/
/
e
x
te
rio
r

_ A ...A
V y
Aitura
altura
A X - Í-
! O- X . > I
___/
Mediatriz
^ ! I
' J
Ángulos formados por bisectrices
; j “ ‘n
‘.
:• • • -^
— ----------— .
~T - ------ ---- v
Teorema 2
.0
0
¿i<L
(0
0)
L
,v- 9U°-
1
Teorema 3
í
/ } ü
v
e
o
to
X~
2 ;
Líneas
notables

Problema N.' 1
En un triángulo ABC, AE es la bisectriz
interior y BH es la altura del triángulo ABE.
Si rr<ABH=S0°, calcule m<BAC.
A) 80°
D) 75°
B) 70° C) 50°
E) 65°
Resolución
Nos piden la m < 3 /4 02 0 .
.’;
En el ki-AHB
0 + 5O°=9O° -> 0=40°
20=80°
Clave
Problema N.‘ 2
En un triángulo ABC, se ubica el punto E en
5U región interior, tal que AB=BC=AE) además,
la m <8G4=50° y la m «M C = 20°. Calcule la
m<AEB.
A) 80°
D) 75°
B) 85° C) 60°
E) 90°
Resolución
Nos piden la m<AEB=x.
A

i /
/
/
v
fA
/
/
A ri
Como el A ABC es isósceles
-> m<3/4C=50° y m<843=30°
Luego, en el ñ. BAE isósceles, sumamos sus án
gulos interiores.
x+x+30°=180o
' 2x=150°
a=75°
Clave
Problema N. 3___________________ ______ _____
En un triángulo ABC, se ubican D y £ en AC y
en la región exterior relativa a BC, respectiva
mente, tal que BDE es un triángulo equilátero.
Si BD es la altura del triángulo ABC, 43=3 y
4D=2, calcule BE.
A) y¡S
D) ¡2
B) 2 C) 1
E) T i

Capítulo 3 Líneas notables
Resolución
Nos piden BE=x.
B
Com o el A DBE es equilátero
8E=DE=BD=x
En el AADB aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2+22=32 I x ¥ J
x2=9-4
x2=5 ^
••• x ='fe
Clave i <
■V:
Problema N- 4 __________________________________
Del gráfico, halle Ja medida del ángulo deter
minado por AB y NE.
B
A) 28°
D) 32°
B) 30° C) 24°
E) 18°
Resolución
Im po r tan te
? A
ó-ií:
C
O
La medida del ángulo formado por
í AB y CD es a.
Como nos piden el ángulo determinado (for
mado) por AB y NE, prolongamos para hallar
la intersección.
Del gráfico, notamos
Por el teorem a del ángulo exterior
x+62°=90°
x=28°
• Clave

Problema N.’ 5
Por el ángulo exterior
x+30°=115°
x=85°
Clave
Problem a N. b
A) 90° B) 105° C) 100°
D) 85° E) 115°
Resolución
En el A ABC aplicamos el teorema del ángulo
formado por dos bisectrices interiores.
50°
_> m<AEC=90° +—
m <AEC=115°
Luego, notamos en el gráfico
A); 115° B) 65° C) 85°
D) 75° E) 50°
Resolución
B
En el LABC, como sus ángulos interiores
suman 180°
-> m</6C=50°

Capítulo 3
Líneas notables
Por el teorema del ángulo formado por dos
bisectrices exteriores, tenemos
B
Problem a N.' 7
Calcule x.
Resolución
En el .ABC, como sus ángulos interiores
suman 180°
-> m<BAC=S4°
Del gráfico, notarnos
i .% x=63°
A) 46° B) 64° C) 63°
D) 72° E) 54°
I Clave

Probí.ama M
.* 9
Calcule x.
A) 79° B) 84° C) 82°
D) 67° E) 69°
En el A ABC, por el teorema del ángulo for
mado por una bisectriz interior y una exterior,
tenemos
m<ADC =— -» m<ADC=22°
2
Aplicamos el teorema de la suma de los
ángulos interiores.
x+x+22°=m°
2x=158°
x=79°
‘ Clave

Capítulo 3
Líneas notables
Problema N/ 10
A) 114°
D) 124°
B) 120° C) 106°
E) 112°
Resolución /"* ^
Prolongamos y formamos un triángulo donde,
por el teorema del ángulo exterior, el ángulo
en el vértice A debe ser 32°.
B
A
Luego, en el A ABC aplicamos el teorema del
ángulo formado por dos bisectrices interiores.
Problema N/1
1
x = 90° +
32°
x=90°+16°
*. x=106°
• Clave (
A) 115°
D) 121°
B) 112c C) 116°
E) 131°
Resolución
Prolongamos adecuadamente y formamos una
mariposa (¡x}), en la cual aplicamos el teorema
correspondiente.
-> m<ABC=62°
B
i s
6 2 1
Luego, en el A ABC, el ángulo es formado por
el teorema de dos bisectrices interiores.
62°
x —9 0° f —
— -> x * 9 0 ° * 3 Io
2
x=121°
: Clave .

COLECCIÓN ESENCIAL
''tí. •A íA .í
Lumbreras Editores
. -_______ Ü _____ .
Problema N/ 12
A) 52° B) 61° C) 4 6 ° ^ :s
D) 58° / E ) 64o
Resolución xv W
0w
Prolongamos las líneas.
formado por una bisectriz interior y otra ex-
terior.
_ 52°
m <ADC=-^-
Del gráfico, tenemos
Por el teorema del ángulo exterior
x=26°+35°
x=61°
Clave
A) 56°
B) 57°
C) 63°
D) 66°
E) 54°
m</ADC=26°

Capítulo 3
Resolución
B
Problem a N.° 14
Prolongarnos las líneas y aplicamos el teorema
de la mariposa.
—
» m < A fíC -5 4 °
Del gráfico, notamos
Á F A
« ■
. ""
B r-V
V
formado por dos bisectrices exteriores.
54°
x =90° — —
x = 9 0 °—27°
/. x=63°
: Clave
B
A) 4
D) 5
Rosoludérí
B) 6
Im po r ta n te
I
i
Observamos que
En A A/?A m<AER=90°-Q
En A Afíf, m <AFB=90°-0
Q 7
E) 8
111

o
COLECCIÓN ESENCIAL
Li
Luego, observam os del gráfico que el A EBF
es isósceles.
A
/
u
/
/ ,,
.r y
v /
Y A y
x=5
Gave
Prolongamos AC, entonces CE es bisectriz.
En el ABC aplicamos el teorema del ángulo

Resolución Problema N.° 14
x = 9 0 °—27°
x=63°
; Observamos que
i Enth* ARE, m<AER=90°-Q
Clave{ } : EnfcxASF, m<AFB~90°-Q

Problema N/ 16
Calcule el menor ángulo formado por AE y BC.
B
A) 8C° B) 60° C) 50°
D) 70° / e) 40o
Resolución
B
Prolongamos AE que corta a BC en F. Entonces
x es la medida del ángulo pedido,
Luego, notamos
Aplicamos el teorema del ángulo exterior.
x=40°+40°
x-80°
Clave'-.
Problem^..N/17 __________________
Si AB-AC y BR con BD trisecan al ángulo ABC,
calcule x.
A) 14° B) 26° C) 24°
D) 28° E) 32°
Resolución
NO O L V ID É
} Trisecar significa dividir en tres partes
iguales un ángulo o un lado.
Im p o r t a n t e
Para encontrar el ángulo entre dos
líneas, estas deben cortarse; en caso
contrario, las prolongamos.

Com o BR y BD trisecan al <ABC
-> m <ABR=m<RBD=rc<DBC
Com o AB=AC, el A BAC es isósceles.: - ^
-. i>
;
-> Sx=78° / J Î A
78°
x =
/. x=26°
Clavé -.1
f
Problema N.s18
A) 50°
D) 80°
B) 40° C) 70°
E) 75°
K r .if ■i l ' A '
Im p o r t a n t e
Se cumple
A A
y ' v
A
-..A
so°
/

/ V D,'
y x .
/
■
a
-
-
A,

a
S,f
Aplicamos el teorema del búmeran.
A ABCD: x =0 +a +6O°
A ADCE: x + 6 + a =100°__________
2x +$ +,a =,Q + 4 +160°
2x=160°
160°
—
> x =
2
x=80°
Clave

Capítulo 3
Líneas notables
A) 105° B) 110° C) 100°
En el A ABC, por el teorema del ángulo formado
por dos bisectrices interiores
m< AEC =90°+
80°
—
> m <AEC=90° +40°
m<A£C=130°
Del gráfico
En el A EFC usamos otra vez el mismo teorema.
50°
x = 90°+ ——
2
x=90°+25°
,v=115°
Problema N.° 20
Calcule
A) 30°
D) 40°
B) 60°
: Clave
C) 50°
E) 43°

CO LECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
En el AABC aplicamos el teorema del ángulo
form ado por dos bisectrices interiores.
—> m < BDA =90° +
m < £0/4=120°
60°
i W W a
H S
&
W
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A
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x
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V
iw
Ê> Æw /
Luego, en el AAD £ aplicamos el teorema del,.,.,
ángulo formado por una bisectriz interior,y ^
otra exterior. v
%
Se cumple
60°
x = -
x=30°
i C/ove
Problema N.* 21
Del gráfico, calcule/.
A) 115°
D) 110°
B) 120c C) 140°
E) 118°
Resolución
Prolongamos y se forma un pescado (/JO-
-» 70° +m<A£C=50°+60°
70o+m<A£C=110°
J ; m«/4£C=40°
»
s
.
Luego, en el AA£C aplicamos el teorema del
ángulo formado por dos bisectrices interiores.
x = 90° +
x=110c
40°

P ro b le m a N.‘ 22
Calcule a+b.
Luego, notamos en el gráfico.
v
£
A) 116° B) 118°
D) 112°
Resolución
En el triángi
ma de las bisectrices exteriores.
C) 128°
E) 114°
p
>
' 4xc
:M
W
'' <
;•
/
/
•
En el A EFD
a+b+66°=m °
a+b= m °-66°
0*6=114°
l
¡
,
; Clave •
D
E
n 48°
m <A£C = 90°— —
m <A£C=90°-24°
m<A£C=66°
Problema N.° 23
Calcule x.
A) 40° B) 30° C) 22,5°
D) 25° E) 15'5°
____ J
117

Resolución
Prolongam os BE y CF y observamos que son
bisectrices del triángulo ABC, una interior y
otra exterior.
B
i /
>X '
i f
lt
/
O
En A EFD aplicamos el teorema de la suma de
los ángulos internos.
x+3x+4x=180° —
> 8x=180°
x=22,5°
■
Clave C )
*, »*»#•*
En un triángulo ABC se ubican los puntos M, D
y E en AC, ~
BCy en la prolongación de 45, res
pectivamente, tal que E, D y M son colíneales.
Si AE=EM y m<4£M=20°, calcule m<EMC.
A) 80° B) 100° C) 110°
D) 120° E) 118°
Resolución
Im po rtante
I Los puntos colineales son aquellos í
Í puntos que se encuentran en una |
misma línea recta.
c<^>>o<
x >x v
oc<o o <:<v>s<>Xí<X':« < >■»•"*>ycocooooo* A
Graficamos el triángulo ABC y ubicamos M en
AC, D en 8G%E en la prolongación de AB.
Problema N/ 7h
Del dato, E, D y M son colineales; además,
AE=EM y m<A£M=20°.

I
Capítulo 3
Líneas notables
Nos piden m <£M C=x.
Problema 25

1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana in
terior BM, tal que BM=BC. Si m<MBC=3Q°,
calcule m <BMA.
A) 100°
D) 90°
B) 120° C) 105°
E) 115°
2. En un triángulo ABC, se traza la ceviana
exterior BD (D está en la prolongación
de A C ). Si BC=CD y m<CBD=26, calcule
m < 5C A .
A) 40°
D) 52°
B) 50° C) 60°
E) 46°
En un triángulo ABC, se traza la ceviana
interior BD y en el triángulo ABD se.traza
la ceviana interior BE, tal que BD-BE y
m<EBD=40°. Calcule m <5DC.
A) 110°
D) 130°
B) 100° C> 120°
E) 105°
A) 45°
D) 60°
B) 30° C) 40°
E) 50°
A) 90°
D) 130°
B) 110° C) 100°
E) 120°
7 . En un triángulo ABC, se traza la mediana
BD, tal que AC=2BD. Si m <BCA=40°,
calcule m <BAC.
A) 35°
D) 60°
B) 40° C) 50°
E) 70°
En un triángulo A5C, se traza la bisectriz in
terior BD, tal que BD=AB. Si vn<DAB=80°,
calcule m < ABC. • ’ T "
8. En un triángulo ABC, recto en B, se traza
la altura Bhl y en el triángulo BHC se traza
la bisectriz interior CD. Si m<BAC=70°,
calcule m <HDC.
A) 60°
D), 80°
B) 70° C) 100°
E) 110°
En un triángulo ABC, se traza la altura BH.
*- -Si BC=AC y m e BCA-40°, calcule m cABH.
:1A) 10°
D) 40°
B) 20° C) 30°
E) 50°
10. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
interior AD, tal que AD=DC=AB. Calcule
m < BAD.
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz in
terior AM, tal que AM=BM y m<ACB=B0°.
Calcule m<BAM.
A) 24°
D) 36°
B) 30c C) 44°
E) 48°
A) 40°
D) 30°
B) 50° C) 60°
E) 20°
11. En un triángulo ABC, la mediatriz de AB in
terseca aAC yAB en Dy E, respectivamente.
Si m < £04=50° y m<5C4=40°< calcule
m e ABC.
6. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC in
terseca a BC yAC enDyE, respectivamente.
Si m<ACB=20°, calcule m<BDE.
A) 90°
D) 110°
B) 96° C) 100°
E) 115°
ik

12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas
BH y CE. Si m < ABH = 20°, calcule rrxEC A .
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 60° ' E) 70°
13. En un triángulo equilátero ABC, se traza
la bisectriz interior CD y DH es altura del
triángulo ADC. Calcule m < HDC.
A) 40° B) 70° C) 30°
D) 50° E) 60°
A) 20° B) 40° C) 50°
D) 10° E) 30°
15. Del gráfico, calcule a+b.
A) 155° B) 145° C) 165°
D) 170° E) 150°
16. Del gráfico, halle x.
A) 126° B) 116° C) 106°
D) 113° E) 123°
17. Calcule x.

COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores

25. Calcule a+b.
28. Del gráfico, calcule*.
A) 32,5°
D) 30°
B) 22,5Ü C) 24,5°
E) 40°
A) 105°
D) 120°
B) 100° C) 130°
E) 115°
30. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
exterior BD (D está en la prolongación de
AC). Si AB=AC y m<BDA=30°, calcule
m < CBD.
A) 50°
D) 60°
B) 40° C) 30°
E) 45°

31. Del gráfico, calcule a. j 34. Del gráfico, halle*.

38. En un triángulo ABC, se traza la mediana
AD y en el triángulo ADC la ceviana inte
rior DE. Si 8C= 8; DE=4 y m < D C£= 46°,
calcule rc<AED.
A) 114° B) 116° C) 124°
D) 130° E) 134°
39. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC
interseca a BC y a la prolongación de AB
en D y E, respectivamente. Si m<6£D=32°,
calcule m < £ 4 C .
A) 32°
D) .58°
B) 48° B) 30° C) 20°
E) 35°
C la v e s --------------------
1 c 6 B 1
1 C 16 D 21 A 26 C 3
1
2 D 7 C 12 A 17 F 22 D 27 C 32
3 A 8 l) 13 E 18 D 23 P 28 B 33
4 c 9 B 14 A 19 D 24 C 29 E 34
5 A 10 P 15 C 20 A 25 C 30 A 35
D 36 B
5 37 A
L 38 F
G 39 P
E 40 A

Actualmente, es común ver en las calles, en las tiendas o en la
televisión objetos que se ofertan, los cuales no necesariamen
te son únicos en su especie. A principios del siglo xx, Henry
Ford producía miles de vehículos idénticos, y fue el primer
fabricante automotriz que masificó la producción.
A lo largo de los años, con el avance del desarrollo del mer
cado automotor, el proceso de fabricación de un automóvil
se ha simplificado y ahora se divide en seis partes: prensas,
chapistéría, pintura, motores, montaje y revisión final. El fin
de este logro no solo se condiciona, al mejoramiento de la
estructura del vehículo, sino también a la búsqueda de poder
disminuir los accidentes y muertes ocurridas en las plantas de
procesamiento, que se iniciaron en Francia y Estados Unidos,
a finales del sigio xix.
En la imagen, se pueden apreciar objetos iguales en cuanto a
forma y tamaño, estos detalles caracterizan a las figuras con
gruentes.
AMOR A SOFÍA
Aprendizajes esperados
u Distinguir de manera correcta si dos triángulos son real
mente congruentes.
- Reconocer de manera adecuada los teoremas sobre las
aplicaciones de la congruencia.
* Deducir en qué problemas se pueden utilizar los teoremas
mencionados en este capítulo.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Porque nos permitirá resolver problemas mediante la compara
ción de figuras congruentes, es decir, si dos de ellas son iguales,
los elementos de una se repetirán en la otra.
L'l término conglutínela no solo es utilizado para los triángulos,
sino también para cualquier par de figuras u objetos que tienen
la misma forma y el mismo tamaño, como pot ejemplo, edifi
cios, como en el caso de las Torres Gemelas, camisetas deporti
vas de una misma talla, lapiceros azules de la misma marca, etc.
*v

1. CO NCEPTO
Son dos triángulos cuyos ángulos son de igual medida y, ade
más, sus lados también poseen la misma longitud.
Para indicar que dos figuras
son congruentes, se utiliza el
siguiente símbolo:
o
Posición de dos figuras
congruentes
Dos figuras congruentes no ne
cesariamente estarán en la mis
ma posición, sino que pueden
estar volteadas o superpuestas.
La idea es que en un problema
se tome en cuenta este punto.
Del gráfico
í V/ ' - . : a . , S ' ;
donde = se lee: "... es congruente a...”.
Ejemplos
1. Determinamos si hay congruencia en los triángulos.
Observamos que ambos son congruentes.
2. Analizamos si las figuras son congruentes.
Æ _______ d
Las dos figuras sí son congruentes.

Resolución
Nos piden a.
Al lado 5 se le
opone un ángulo
que mide 40°.
En su congruente
debe pasar
lo mismo.
a=40°
Aplicación 3
Si los triángulos son congruentes, calcule )c
En el A ABC, al ángulo a se le opone un lado 5.
En el A CDE congruente debe pasar lo mismo,
entonces CD = 5.
Aplicación 1
Si los triángulos son congruentes, calcule x.
Aplicación 2
Si los triángulos son congruentes, calcule a.
que sirve la congruencia de triángulos?
La congruencia de triángulos sirve para poder
conocer elementos (lados o ángulos) mediante
el uso de la comparación entre triángulos ya
congruentes.
Resolución
Observamos.
En su triángulo
congruente debe
pasar lo mismo.
129

m
COLECCIÓN ESENCIAL
______
/ v.''D
ató:'o;HoiaE^;'
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^
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A
<
»
s
V
y*
Las torres congruentes
Las torres de Bahrein tienen !a
forma de veías, poseen una a!-
; tura de 240 m y entre ellas hay
- í tres gigantes turbinas de viento
para generar aproximadamente:
et 13% de la energía que nece-
. , sita el edificio.
Las torres Petronas, en Kuala
vv. *
•
•
•
'•>
' •
. /
' 5®
V-V
VV
: Í W v ; f
Lumpur, capital de Malasia, fue
ron los edificios más altos del
mundo entre 1998 y 2003.. Estas
estructuras de 88 pisos están co
nectadas mediante un puente.
Luego
En el A CDE, al ángulo 8 se le opone un lado 7. Entonces en el
AABC debe pasar lo mismo.
BC =1
x+ 5 -7
x -2
. . . : •
En dos;triángulos congruentes se cumplo que a
los ángulos iguales se le oponen lados iguales,
, y viceversa, .
2. CASOS PARA ¡DENTIRGAR TPÍ/Om
GÍií OL CONGRUÍ NT!
Dos triángulos son congruentes si tienen seis elementos igua
les (tres lados y tres ángulos). Sin embargo, existen tres casos
o situaciones que permiten saber si dos triángulos son con
gruentes con solo conocer tres elementos iguales, donde al
menos uno de estos tres sea un lado.
2.1. Caso 1: Laclo -ángulo lado (L-A-L)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales,
respectivamente, y los ángulos formados por dichos lados son
de igual medida.

Se cumple
A ABC~áPQR
A plicación 4
Indique si los triángulos son congruentes.
Resolución
A pesar que tienen tres elementos iguales, la
ubicación de los elementos del primer triángu
lo no están como indica el caso L-A-L.
Por lo tanto, los triángulos no son congruentes.
Aplicación 5
Indique si los triángulos son congruentes.
Resolución
Los triángulos tienen tres elementos iguales,
los cuales cumplen con el caso L-A-L.
A p l i c a c i ó n 6
Del gráfico, calcule AE.
D
Notamos que el A ABC =&ECD
dado que ambos cumplen con el caso L-A-L,
es decir, 4-0-6.
Si comparamos sus elementos, diremos que
AC - ED, es decir, AC = 5.
Luego
y=5 +4
/. x-9
131

¿.2. Laso 2: Ángulo - lado - ángulo (A-L-A)
Dos triángulos son congruentes si tienen un
lado igual, respectivamente, y los ángulos ad
yacentes a dicho lado son de igual medida.
'Se cumple
áABC.=APQR
Aplicación 7
Indique sí los triángulos son congruentes.
%
Resolución
Observamos.
Resolución
Tenemos
Sí son congruentes, ya que cumplen con el
caso A-L-A.
Aplicación 9
*
%
% ' ¿y
Y
Notamos que los triángulos no son congruen-
tes, ya que no cumplen con el caso A-L-A.
Aplicación 8
Indique sí los triángulos son congruentes.
Resolución
Solamente hay dos elementos iguales, pero
falta uno. Veamos sí se puede conocer el ter
cer elemento faltante.
Observamos que el AABC=AEDC, por el
caso A-L-A; es decir, 0-4-a).

Arribos no son congruentes, dado que solamente tienen
los lados iguales.
De la congruencia, si comparamos sus elementos, diremos, por
lo tanto, que x es igual a 7.
2.3. Caso 3: La d o -la d o -la d o (L-L-L)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados ¡guales,
respectivamente.
Telares antíincs
En el Perú y algunos países de
América se realiza el tejido de
mantas y ponchos de manera
artes-ana!, los cuales varían en
color y diseño según la aldc-a o
departamento. En ellos pode
mos observar figuras geométri
cas congruentes.
Los condominios
Son la forma de propiedad par
ticular dentro de una vivienda
residencial multifamiliar; donde
cada propietario tiene el 100%
de la unidad adquirida y es co
propietario de otros elementos
comunes de la vivienda como
pasillos, ascensores, etc.
Se cumple
De los tres casos vistos, este último es el más
fácil de reconocer.
Ejemplo
Analizamos si los triángulos son congruentes.
^ ík&PQR*

Ambos son congruentes, dado que tienen
tres lados iguales.
Los dos triángulos son congruentes, dado
que tienen 3 lados iguales, además mues-%
tran un lado en común que comparten. . v
Del gráfico, el A ABC es equilátero. Calcule a.
Resolución
Nos piden a.
Como el ABC es equilátero
AB=BC=AC=n
El AABD ~ ¿CBE, por el caso L - L - L.
De la congruencia, diremos que
a=50°
O&tum/ncíóin
¿Cómo saber si un problema se puede resolver
por la congruencia de triángulos?
Si en un gráfico vemos elementos que se repí- j
ten de dos en dos, es correcto pensar en una j
posible congruencia.

Capítulo 4 Congruencia de triángulos
¿fu
*
,lni
3. TRIÁ N G U LO S RECTÁN G U LO S CO N GRUEN TES
Casos especiales
Cuando tienen una misma hipotenusa y un cateto igual.
a
Si hay una misma hipotenusa y un ángulo agudo igual.
• Con un mismo ángulo agudo y su cateto adyacente igual.
Ni» olvide
Distancia entre dos puntos
i A'
ij
Distancia entre un punto y una
recta
• Cuando presentan dos catetos iguales.
b --------- 1 I--------- / ' ---------- 1

Visitando la t&eb
Video relacionado a la con
gruencia de figuras
¿ http://youtube/uwSIS2JZsno
Ejemplos
1. Indicamos si los triángulos rectángulos son congruentes.
No necesariamente son congruentes, dado que faltaría un
dato más: un ángulo agudo o un cateto.
2. Determinamos la congruencia de los triángulos rectángulos.
3.
No son congruentes, dado que sus elementos no se corres
ponden; además, no cumple con el caso A-L-A.
Analizamos la congruencia de los triángulos.
No son congruentes, dado que sus elementos no se corres
ponden; además, sus elementos no cumplen con el caso
A-L-A.
4. Verificamos si hay congruencia en los triángulos rectángulos.
No necesariamente son congruentes, dado que faltaría co
nocer al menos un lado para garantizar que haya el mismo
tamaño y en ambos triángulos.

Aplicación 77
Del gráfico, si AB=BCy C£=3, calcule BD,
A
Resolución
Nos piden BD=x. Sea AB=BC=a.
Observamos a dos triángulos rectángulos que
tienen el mismo valor de hipotenusas, por lo
cual faltaría un dato,más para asegurar si son
congruentes o no, y para saberlo completa
mos los ángulos.
Si m <BAD=Q, rr<ADB=90°-Q, entonces
m < C B E-8
Aplicación 72
Del gráfico, si AB=BC; DE=2 y EB=3, calcule
C
R e s o l u c i ó n
Nos piden EC=x. Sea AB=BC=a.
Como en el ejemplo anterior, notamos dos
triángulos rectángulos de hipotenusas iguales,
entonces al faltar un dato más, completamos
los ángulos.
Si rr<DAB=Q, entonces
m<ABD=90°-Q
La m<EBC=Q -> k^ADB BEC
C
Si comparamos los elementos, diremos que
EC=DB
x=5
Por lo tanto, si comparamos los elementos,
observamos que x es igual a 3.
137

' 7
Dos triángulos rectángulos serán congruentes
si tienen dos elementos iguales que se corres
ponden (al menos uno de ellos tiene que ser un
lado), dado que el tercer elemento siempre es
el ángulo recto.
4. APLICACIO N ES DE LA CONGRUENCIA
Son teoremas que se deducen y demuestran a
partir de la congruencia de triángulos.
4.1. Teorei sa 1 • la i isectriz de un ángulo
Todo punto de la bisectriz equidista de los
lados del ángulo.
/ 1
/ i
O 3
m .
□
o
Si OP es bisectriz, se cumple
•
'S
s
a
a
Además ' rrr n
___ j
Ejemplos
“
O
No oívldu
1. Calculam os/.
O
<4 .
/ >n
/■
>
'1:4. □
Por lo tanto, por el teorema de la bisectriz,
x es igual a 3.
2. Hallamos x.
O,
□ .......
Por el teorema de la bisectriz
2x-2=6
i ~2x=8
X=4 . " "
RESO LU CIO N
Como tenemos una bisectriz, trazamos la per
pendicular.
O
/
/
/
17
7 ;
□

Capítulo 4
J»
Luego
r
D
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2=52+ 52
>^=50
X = Sy¡Z
A plicación 14
Del gráfico, calcule*.
Resolución
Trazamos la perpendicular y aplicamos el teo
rema de la bisectriz.
Luego
2
x2=22+ 52
x^-29
.% x =¡29
4.2. Teorema de la mediatriz de un segmento
Todo punto de la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos del mismo.
A /'
X
y
v

a A r;

Si ^ es mediatriz de AB, se cumple
Además, se formará un triángulo isósceles,
donde
Ejemplos
1. Calculamos x.
, v O * t
Aplicamos el teorema de la mediatriz.
2x=6
x=3
2. Hallamos x.
*
x - 1=5
‘ x=4

Aplicación 75
t
Resolución
Aprovechamos la mediatriz de AD y trazamos
Ü D por el teorema de la mediatriz.
x=4
Aplicación 76
Del gráfico, calcule a si á? es la mediatriz de
AByAD=CB.

Capítulo 4
Aplicación 17
Del gráfico, si AB=BC, calcule x.
, ' -V' j / / A&'=- ■"■ .:*£ .......... ................. V s S V
Por propiedad, en todo triángulo isósceles se su-
y&> . -í*
i i i 1f
■
''s^rKípiúiiS’ .''v i. ■’
HísécUi.; ,A’!yp
o:pílrtíófi;xíeÍTÍ<vdfjtrk-
Como el A ABC es isósceles, trazamos su altura.
d i .
Triángulo isósceles
¡ Si en un problema vemos estos
gráficos, podemos asegurar que
dichos triángulos son isósceles.
i!/ ( :

o
/ ;
□
/t) o

¿ - J L
Importante
En todo triángulo isósceles
9
/
X
A
V7x
/jV - .-
si
’ S L
o=ó

Por la propiedad del tríájupáo isósceles, BR es
tam bién mediana.
A R -R C -3
buego, aplicamos el teorema de ja bisectriz.
B .
D
R 3 C :
/, x~3 í * " j
4.3. Teorem a de la base me&ia V / i
En todo triángulo, la base medía respecto de j
un lado es paralela y además mide la mitad de ;
dicho lado. A % i
Sí MN es la base medía, se cumple
MN//AC
Además
Ejemplos
l Calculamos x.
O
Por lo tanto, por la base medía, x es igual
a 4.
2, Hallamos x.
Por lo tanto, por la base medía, x es igual
a 12.
Aplicación 78
Del gráfico, calculamos x.

Resolución
En_el ABC, MN es la base media respecto
Aplicamos el teorema de la base media.
MN=8
Luego, en el . MA/C, aplicamos el teorema de la
base media.
Si trazamos AC, formamos el A ACD, donde x
Luego
(2x)2=3¿+42
4X2=25 -> x 2 = —
4
5
x = —
2
4.4. Propiedad del punto medio
Si M es el punto medio de AB y M £//4C; en
tonces
B
donde ME es la base media.
Ejemplos
1. Calculamos x.
□_______ h_____ X
Según la propiedad del punto medio, x es
la base media.
O —
A C - 2x
b
.-. x=3

2. Hallamos x.
Según la propiedad del punto medio, 7 es
la base media.
x=14
A plicación 20
R e s o l u c i ó n ____
Notamos que AP es bisectriz, entonces apro
vechamos el teorema de la bisectriz.
Luego
Aplicamos la propiedad del punto medio, don
de x es la base media.
x=5
4.5. íeorem a ele la mediana relativa a la
hipotenusa
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la
mediana relativa a la hipotenusa es igual a la
mitad de la hipotenusa.

Capítulo 4
Aplicación 27
B
Como BM es la mediana relativa a la hipote
nusa, aplicamos su teorem a.;
Además, el A BMC será isósceles.
Luego
En el A BMC aplicamos el teorema del ángulo
exterior.
x= 52°+52°
/. x=104°
Aplicación 22
En ellAACfí, podemos trazar la mediana CD.
Aplicamos el teorema de la mediana relativa a
la hipotenusa.
CD=6
Luego

COLECCIÓN ESENCIAL
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é k k í.::-
Lumbreras Editores
; Jm p ó rto ñ fta
Simetría
Hay varios tipos de simetría,
como la simetría axial, que es
cuando una figura es congruen
te con otra respecto de una
recta (que puede estar trazada
o ser imaginaria). También es
conocida como la propiedad
del espejo.
Hay muchos programas de
diseño que tienen esta herra-^
mienta.
P T CorelDRAW X5 - [Sin títukr-il . ' , . ;
gr Archivo £c¡Ic«on Ver Mapas dehát
J t! Q es i ^ 3 ^^
x: -¿8.357mm •
“ * M.692mm
Y. 175.7651IW i 29.231 mm
,. ' i:o i» '
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*L JL I.**.*.)* U A t U i M - l « » !- 1
Visitando la web
M ostram os un enlace sobre la
simetría.
http://web.imactiva.cl/descar-
gas/¡mactiva/demo_actívidades/
swf/matematica/armonia„y_si-
metria.swf J
■ ¡ A//
•i
Si en un triángulo la mediana es igual a los segmentos deter
minados en su lado relativo, entonces se cumple lo siguiente:
! ; u
' •-T-XX- • ^,V. -
I X = 90° i
■
"v ' : _____ j
1
LU ID
Aplicamos el teorema de la base media.
.-. x=3
5. SITÜACIOHP^rcy^NTES DE TRIÁNGULOS
CONGRUENTES
En cada situación, si el AABC y el ADBE son equiláteros, en
tonces los triángulos sombreados serán congruentes.
Ejemplos , .
3.

. - -
Capítulo 4
Encuentre las 7 diferencias en las dos imágenes.

Problema N.' 1
Del gràfico, si fe=4C, calcule x.
Problema N, 2
Del gràfico, si AC=CD;y £D=7, calarle *.
; Clave ' Clave

Capítulo 4
Resolución

^ P A R I S * '
AMOR A SOFÍA Problema N / 5
C °rnp letamos los datos del problema del | Del gráfico, si AB=
-±ABC equilátero {AB=BC=AQ
EB y BC=BD, calculen.

Capítulo 4 Congruencia de triángulos
Problema N.‘ 7
Del gráfico, si AB=AC; y DC=AE,
calcule x.
8
A) 50° B) 60° C) 45°
D) 25° f -E) 70°
R esolución *
Completamos los datos del problema.
Por el caso L-L-L notamos que el
A ABE =ACAD
Si comparamos sus elementos, entonces
rr<BEA =rc<ADC

íi(
/ « *r>
Aplicamos el teorema de/>.
x+9=5Oü+0
a"~50°
i Clave
Problema N.* B
Del gráfico, si AB=BC, AE-A y ED -3, calcule x.
B

Capítulo 4
>
r
2+52=82
Clave
x=6
Problema N.* 10
Del gráfico, calcule*.
[ Clave
A) 3 B) 4 C )5
D) 6 E) 7
Resolución ^
Trazamos y aplicamos el teorema de la bisectriz.
Problema N.*V*
Del gráfico, SP es la mediatriz de BCy AB-DC.
Calcule
A) 20° B) 25° Q 30°
D) 35° E) 40°
Resolución
mos el teorema de la bisectriz. BD=a

n
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores

Capítulo 4
Resolución
No OLVIDE
o /
a/
Z_ c _ □
m n
Se cumple
l . ni~n ;■
-----------------j :
*
1 /
Según lo anterior, AD=DR=b y por el teorema
de la base media, BR=2x.
RC=3
Notamos.
(2x)2+32=52
4x2=16 x2=4
x=2
; C/oi/e
Problema N. 14
Si AM-MN-NB] BR=RD y AD-DC, calcule x.
A> 2 A
B) 3 J
q 4 „ / y
Resolución
Si aplicamos el teorema de la base media, en
tonces MD=4.

Problema N
.* 15
Del gráfico, si AD = D C, calcule x.
A) 5%/2 B) 14 C) 15
D) 10 E) 13
Resolución
Como AD=DC=12, entonces por el teorema de
la mediana relativa a la hipotenusa^ BD=12.
x2=122+52
x2=169
x=13
! C/ave
Problema N.* 16
Del gráfico, si RD=DCy AR=RC, calcule*.
D
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
Resolución
Por el teorema de la base media tenemos que
BR=6.
la hipotenusa.
AR=RC=BR=6
x=12
: Clave

Problema N/ 17
Del gráfico, si AR= RC, calcule x.
A) 60° B) 50° C) 45°
D) 30° / E) 80°
Resolución
Como AR=RC y AC=10r entonces
AR=RC=5
la hipotenusa.
Luego
R
Observamos que el triángulo es equilátero
a -60°
; Clave
Problem a IB
Del gráfico, si AM=MC=2 y DB=3, calcule x.
I A) n
/t3 B) 5
i D) 2y¡2
BR=5
C) 2V3
E) 5 ^

COLECCIÓN ESENCIAL
Resolución
En el k .ABC, trazamos la mediana relativa a la
hipotenusa, donde BM es igual a 2.
Luego
^=13
* = J Í3
i C/ove
Problema N. •19
Del gráfico, si EB=BD y AB-BC, calcule*.
A) 30° B) 20° C) 18°
D) 35° E) 40°
'•
‘•
V
’ T
%
¿'
Resoliidoñ
Observamos que aparentemente el ¿lEBC y el
AABD serían congruentes, dado que tienen
dos lados iguales, pero falta un tercer elemen
to igual.

Ai ángulo DBC lo llamaremos 0, y notaremos
que m<ffíC=9O°+0 y m<D£?A=9O°+0. Resolución
i Nos piden a.
El A £fiC = A /4fíD , por el caso L-A-L
Por lo tanto, si comparamos los elementos, te
nemos que x es igual a 35°.
] Clave ( / A
Problema N.a20_______________ 'A,/ -
_______
Del gráfico, si AE=BC y ED=DB, además, 3) es
la mediatriz de AC, calcule a.
A) 30° B) 24° C) 15°
D) 36° E) 25°
Por el teorema de la mediatriz tenemos
AD=DC
Notamos que el ¿±AED=ACBD, por el caso
L-L-L
Comparamos los elementos de los triángulos
congruentes.
m<A£D=4a
Observamos que el A EDB es isósceles.
m<DEB=a
Notamos en el gráfico.
! Luego
i 4a +a=180°
i 5a=180°
! a=36°
r Clave
161

l* Indique cuál de los siguientes pares de
triángulos son congruentes:
3- Sí AD-EC y DB=BC, calcule x.
III.
J
A) solo I B) I y I! C)'soló, III
D) II y III ‘ E) l y l l í í #
';í% J 0 "
% ':yA
t.fív ¿
2. Indique cuál de los siguientes pares de
triángulos son congruentes:
A) 50° B) 40° C) 60°
D) 70° E) 80°
Si AB=CD y DB=DE, calcule x.
' C ’A) 20° B) 30° C) 40°
D) 50° E) 60°
5. Si AB=BC y BE=BD, calcule x.
8
A) solo I B) I y II
D) Il y III
C) solo III
E) todos
A) 30° B) 35° C) 20°
D) 40° E) 45°

M
S¡ B
E
=
C
D
y A
B
//C
D
,calcule
Si AB=AD, calcule x.
fí
A) 4
D) 8
B) 5 C) 7
E) 6
D) 50° E) 60° D) 10 E) 9

o
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Si SB es la mediatriz de AD y AB=BC, cal
cule x.
A) 70°
D) 95°
i —
I
i
I
9 7
' U (
/
B) 86° C) 115°
E) 105°
m Z Jz s__ — □"
rW i
ó -
/. Vv
o
A) 5
D) 4
B) 10
A) 26
D) 41
A) 2
D) 5
B) 31 C) 33
E) 23

Capítulo 4
,
___
Si CM=MD y DN=Nfí, calcule*. Si AM =M C, calcule x.

O
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
23.Si 32 es la mediatriz de 48, calcule x.
A) VÏ3
B) 5
C) 4
D) 2V3
E) 3V2 /
2 4 .Si 3 y 3 2 son las médiatrices deANyBJD,
respectivamente, calculen.
D
A) 4
B) 6
C) 7
D) V34
E) 2>/5
25. Si BM=MCy BC= 2AD, calcule x.
X
jo
X
'X.Y
A) 10°
D) 25°
B) 15c C) 20°
E) 50°
26.Si AB=BC; AD-BE y DB=EC, calcule x.
h
yfX V ¡
A) 100°
D) 130°
B) 110° C) 120°
E) 115°
27 Del gráfico, calcule*.
A) 3 B) 5
D) 3V2
C) 6
E) 2V5

Del gráfico, si A
B
=
Œ, y 6C=CD,
calcule x.
A) 3
D) 7
B) 6 C ) 9
E) 4
A) 40°
B) 50°
C) 60°
D) 70°
E) 80°
31 Si SB es la mediatriz de BQ calcule x.
A) 4 B) 3 C), 2
D) 5 E) 3,5
Si AN=NB; BT-TQ CQ=QD y AM=MD,
calcule x.
B
M
A) 4 B) 2 C) 5
D) 3 E) 6
Del gráfico, si AM -MC, calcule x.
A) 10°
B) 20°
C) 25°
D) 30°
E) 40°

30, Si AC-CD y BC-EC, calcule x.
39. Si AD-DC=4 y BF=6, calcule x.
A) 20°
D) 35°
B) 30° C) 25°
E) 15°
j&
StiA:
r
r, Á''' / <
'
A) 3
D) 3^5
B) 2%/5
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E) 372
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C la v e s
1 Q 6 C 1
1 B 16 r 21 D 26 rv 31 D 36 a ;
2 B 7 £ 12 E 17 E 22 B 27 C 32 . E 37 c
3 f 8 B 13 A 18 ■j: 23 A 28 D 33 £ 38 A
4 g 9 A 14 D 19 l: 24 D 29 (. « 34 A 39 B
5 0 10 B 15 /
V 20 0 25 c 30 B 35 D

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.
Las escuadras son herramientas de dibujo de arquitectos e
ingenieros, con las cuales se logran trazar líneas paralelas,
perpendiculares y oblicuas, formando con la horizontal
ángulos de medidas de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°.
En nuestra vida cotidiana, la colocación de una simple es
cuadra otorga a una estructura la rigidez y resistencia que
necesita; esta característica permite desarrollar las aplicacio
nes más exigentes, tales como la construcción de puentes,
torres eléctricas, edificios o el soporte del techo de una casa,
así como podemos apreciar en la imagen.-
A-O-;;.
K a 1
• Conocer los triángulos rectángulos notables exactos y
aproximados.
• Aprender a relacionar lados y ángulos en los triángulos
rectángulos notables.
• Plantear y resolver problemas empleando la teoría de los
triángulos rectángulos notables.
¿P o r qué es necesario este conocim iento?
Es una de las teorías que no solo es exclusiva para la geometría,
sino para otras asignaturas, así por ejemplo, la trigonometría,
la física, el álgebra, etc.
Asimismo, ayuda a resolver problemas de situaciones reales
donde se presentan triángulos rectángulos, pues conociendo
los valores de dos lados podremos encontrar el valor del
tercer lado y las medidas de sus ángulos agudos.

Juego de escuadras
Está formado por dos regías
que tienen la siguiente forma:
La curiosidad de estas dos re
glas está en la igualdad de lon
gitudes entre la hipotenusa de
la escuadra y el cateto mayor
v del cartabón.
j 1. CONCEPTO
• Son aquellos triángulos rectángulos en los que si se conoce
• la medida de sus ángulos agudos es posible conocer también
la razón entre las longitudes de sus lados de manera sencilla
í y viceversa.
! 2. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES EX/
i 2.1. De 30° y 60°
Observe que la longitud del cateto que se opone a 30° es
la mitad de la longitud de la hipotenusa.
2.2. De 45° y 45°
Observe que los catetos son de longitudes iguales.

donde
. .................
Como apreciamos, las longitudes de los lados de un trián
gulo rectángulo notable pueden variar, pero conservando
la proporción entre sus lados.
• En el triángulo rectángulo de 30° y 60°, la proporción
es de;4 ;Á i?y2.
• En él triángulo rectángulo de 45° y 45°, la proporción
e sd e 1 ;1 y'Í2 .
4-
Ejemplos
1. Calculem os*.
/
□
El triángulo rectángulo de 30° y
60° se obtiene a partir del trián-
; guio equilátero.
Trazamos la altura relativa a un
lado.
Igualamos.
x =7a
/2
2. Calculemos m.
Igualamos.
4 ) J Í =m fè
Obtenemos el triángulo de 30°
; y 60°.
m- 4

/ * i N x ; v. ^O '.v
I!IlHü] HUZf/t ■.......-
¡¡¡II] El triángulo rectángulo de;45° y
É 'f e í ^ 5 Â 0btie.n.e' a. partir dei ¿ a :
- “ r drado.
□
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Trazamos una de sus diagonales..
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:::y4 5°
■y
4 5 Ï''
7S**‘ n
Obtenem os el. triángulo de 45°
V ■
' ■
3. Calculemos a.
Igualamos.
10= aV 2
0 = 5^2
4. Calculemos x.
Igualamos.
12^ = m^/á
m=12
6. Calculemos x.
I

racionalizamos
2 3 . De 15° y 75°
nusa y la hipotenusa es de 1a 4.
Ejemplos
Algunos trazos auxiliares
En las siguientes figuras se ob-
175

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