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![38 Cap´
ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos
´
Como esto es v´lido para todo r y todo s, ha de ser
a
m(αu)
= α.
m(u)
Expresando v ≡ α u tenemos la relaci´n buscada.
o
Lo que afirma este teorema es que si una aplicaci´n m cumple las propiedades
o
indicadas, tomamos una unidad de longitud u y llamamos k = m(u), entonces
m asigna a cada segmento su longitud multiplicada por k.
2.2 Complementos sobre n´meros reales
u
Recogemos aqu´ algunos conceptos y propiedades adicionales sobre los n´-
ı u
meros reales que acabamos de construir y que a menudo resultan utiles.
´
Definici´n 2.18 Llamaremos R+ al conjunto de los n´meros reales positivos
o u
(mayores que 0), llamaremos R− al conjunto de los n´meros reales negativos
u
(menores que 0). Definimos el signo de un n´mero real α como
u
+1 si α 0
sig α = 0 si α = 0
−1 si α 0
Llamaremos valor absoluto o m´dulo de un n´mero real α al n´mero
o u u
α si α ≥ 0
|α| =
−α si α ≤ 0
La demostraci´n de las propiedades siguientes no ofrece ninguna dificultad:
o
1. |α| ≥ 0,
2. |α| = | − α|,
3. |α| ≤ β si y s´lo si −β ≤ α ≤ β,
o
4. |α + β| ≤ |α| + |β|,
5. |α| − |β| ≤ |α − β|,
6. |αβ| = |α||β|.
Todo n´mero real α est´ comprendido entre dos n´meros enteros. Llamare-
u a u
mos parte entera del n´mero α al unico n´mero E[α] que cumple: E[α] ∈ Z y
u ´ u
E[α] ≤ α E[α] + 1. Es f´cil probar que siempre existe un unico n´mero entero
a ´ u
en estas condiciones.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-50-320.jpg)
![2.2. Complementos sobre n´meros reales
u 39
Definici´n 2.19 Si α y β son n´meros reales definimos los conjuntos:
o u
]α, β[ = {x ∈ R | α x β} [α, β] = {x ∈ R | α ≤ x ≤ β}
]α, β] = {x ∈ R | α x ≤ β} [α, β[ = {x ∈ R | α ≤ x β}.
Podemos considerar estas mismas definiciones en R = R ∪ {−∞, +∞} y as´
ı
tenemos en particular
]−∞, β[ = {x ∈ R | x β} ]α, +∞[ = {x ∈ R | α x}
]−∞, β] = {x ∈ R | x ≤ β} [α, +∞[ = {x ∈ R | α ≤ x}.
Los conjuntos de cualquiera de estos tipos reciben el nombre de intervalos.
La interpretaci´n geom´trica de los intervalos es clara. El teorema siguiente
o e
es una forma generalizada del axioma D, pero lo demostramos a partir de la de-
finici´n de los n´meros reales, es decir, sin hacer uso de los axiomas geom´tricos.
o u e
Teorema 2.20 Los intervalos de R son exactamente los subconjuntos I de R
que cumplen la propiedad siguiente: si α, β ∈ I y α γ β, entonces γ ∈ I.
Demostracion: Es claro que todos los intervalos cumplen la propiedad
´
indicada. Sea I un subconjunto de R con dicha propiedad.
Si I = ∅, entonces I = ]α, α[, que es un intervalo. Supongamos que I no es
ıo.
vac´
Sean α y β el ´ ınfimo y el supremo de I, respectivamente en R.
Si x ∈ ]α, β[, por definici´n de supremo e ´
o ınfimo, existen n´meros u, v ∈ I de
u
manera que α ≤ u x v ≤ β, luego x ∈ I, es decir, ]α, β[ ⊂ I, y obviamente
I ⊂ [α, β]. Esto da lugar a cuatro casos seg´n si α y β est´n o no en I, lo que
u a
nos lleva a una de las igualdades: I = ]α, β[ , I = ]α, β] , I = [α, β[ , I = [α, β].
Veamos ahora que existen n´meros irracionales. Para ello probamos lo si-
u
guiente:
Teorema 2.21 Para todo n´mero real α ≥ 0 existe un unico n´mero real β ≥ 0
u ´ u
tal que α = β 2 . Diremos que β es la ra´ cuadrada de α y lo representaremos
√ ız
por α.
Demostracion: Podemos suponer que α 0. Sea β el supremo del con-
´
junto de n´meros reales cuyo cuadrado es menor que α. Est´ acotado superior-
u a
mente por cualquier n´mero real mayor que α y que 1, luego β es ciertamente
u
un n´mero real. Supongamos que α β 2 . Tomemos un n´mero natural n que
u u
cumpla n 1/β y n 2β/(β 2 − α). As´ 2β/n β 2 − α y en consecuencia
ı
2
1 1 1 1
β− = β 2 − 2β + β 2 − β 2 + α + 2 α.
n n n2 n
Es claro que cualquier n´mero cuyo cuadrado sea menor que α ha de ser menor
u
que β − 1/n, luego este n´mero es una cota superior del conjunto de todos ellos,
u
en contra de que β sea su supremo.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-51-320.jpg)
![40 Cap´
ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos
´
Supongamos ahora que β 2 α. Entonces tomamos un n´mero natural n
u
que cumpla n 4β/(α − β 2 ) y n2 2/(α − β 2 ). As´
ı
2
1 1 1 α − β2 α − β2
β+ = β 2 + 2β + 2 β2 + + = β 2 + α − β 2 = α,
n n n 2 2
luego β + 1/n es un n´mero mayor que β perteneciente al conjunto del que β es
u
el supremo, lo cual es imposible. Por lo tanto ha de ser β 2 = α.
La unicidad es clara, pues si γ es cualquier otro n´mero real positivo entonces
u
γ 2 β 2 o γ 2 β 2 seg´n si γ β o γ β.
u
Es conocido que un n´mero √ √ no es un cuadrado en Q salvo que sea un
u √ natural
cuadrado en Z, por lo que 2, 3, 5, etc. son ejemplos concretos de n´meros
u
irracionales.
Ejercicio: Probar que entre dos n´meros reales cualesquiera existe un n´ mero irra-
u u
cional.
El teorema anterior admite una generalizaci´n que ser´ esencial m´s ade-
o a a
lante.
Teorema 2.22 Todo polinomio de R[x] de grado impar tiene una ra´ en R.
ız
Demostracion: Probemos en primer lugar que si P (x) es un polinomio no
´
constante, c ∈ R y 0, entonces existe un δ 0 tal que si |h| δ entonces
|P (c + h) − P (c)| .
n
En efecto, si P (x) = ak xk , entonces
k=0
n k n k−1
k i k−i k i k−1−i
P (c + h) = ak ch = P (c) + ak ch h,
i=0
i i=0
i
k=0 k=0
luego si h ≤ 1 se cumple
n k−1
k
|P (c + h) − P (c)| ≤ ak |c|i |h| = K|h|.
i
k=0 i=0
Basta tomar δ = /K.
Por otro lado, si suponemos que P (x) es m´nico (es decir, an = 1),
o
n
P (x) an−1 a0 n
=1+ + ··· + .
x x x
Si tomamos |x| n m´xi |ai | y |x| 1, se cumple |ai /xi | 1/n, luego
a
an−1 a0 n
+ ··· + 1,
x x
con lo que
P (x)
0,
xn](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-52-320.jpg)
![62 Cap´
ıtulo 3. La geometr´ eucl´
ıa ıdea
Definici´n 3.28 Sea L un angulo agudo de v´rtice O, sea A un punto arbitrario
o ´ e
en uno de sus lados y sea B el punto donde la perpendicular al lado opuesto
por A corta a dicho lado.
Entonces el tri´ngulo AOB tiene un angulo recto y otro igual
a ´ ✁
✁
a L, luego sus ´ngulos son independientes de la elecci´n de A
a o A✁
e incluso del lado en que lo tomamos (m´s a´n, s´lo dependen
a u o ✁
de la clase de congruencia de L). Si tomamos puntos distintos ✁
obtendremos tri´ngulos semejantes, luego podemos definir el seno
a ✁
✁
y el coseno de L como las razones ✁
✁L
AB OB O B
sen L = , cos L = .
OA OA
En particular podemos tomar el punto A a una unidad de distancia de O,
y entonces el seno y el coseno de L son simplemente AB y OB. El teorema de
Pit´goras nos da entonces la que llamaremos relaci´n fundamental:
a o
sen2 L + cos2 L = 1.
Puesto que el seno y el coseno dependen s´lo de las clases de congruencia de los
o
a
´ngulos, podemos definir el seno y el coseno de un n´mero real positivo menor
u
que π como el seno y el coseno de los ´ngulos de amplitud correspondiente.
a
A✁ Las definiciones de seno y coseno valen tal cual para
✁ ´ngulos obtusos, pero en este caso convendremos en
a
✁ que el coseno tiene signo negativo. Es claro entonces
✁
✁ que se cumplen las relaciones:
✁
✁ sen α = sen(π − α), cos α = − cos(π − α).
✁ Se sigue cumpliendo la relaci´n fundamental.
o
✁
α ✁π − α Observemos que el seno y el coseno pueden carac-
O B terizarse del modo siguiente: dado un angulo L, si to-
´
mamos un punto en uno de sus lados a una distancia r del v´rtice, su proyecci´n
e o
sobre el otro se encuentra a una distancia r cos L del v´rtice (donde el signo es
e
negativo si el punto de corte est´ fuera del lado opuesto) y la distancia entre el
a
punto y su proyecci´n es r sen L. Ahora bien, todo esto tiene sentido tambi´n
o e
si el ´ngulo es recto, en cuyo caso la proyecci´n del punto escogido es el propio
a o
v´rtice del ´ngulo, de modo que todo lo dicho se sigue cumpliendo si definimos
e a
π π
sen = 1, cos = 0.
2 2
Para cada n´mero real α en el intervalo ]−1, 1[ es f´cil construir un angulo
u a ´
con coseno igual a α, que claramente ser´ unico. As´ mismo, si α est´ en el
a ´ ı a
intervalo ]0, 1] existen exactamente dos ´ngulos (suplementarios) con seno igual
a
a α.
La relaci´n entre las razones trigonom´tricas y los problemas sobre tri´ngulos
o e a
viene dada por el teorema del coseno y el teorema de los senos, que demostramos
a continuaci´n. El teorema del coseno es una generalizaci´n del teorema de
o o
Pit´goras:
a](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-74-320.jpg)
![4.2. Espacios afines 81
−
−→
y como P Q no es combinaci´n lineal de ninguno de los dem´s vectores,
o a
v1 , . . ., vk ⊂ w1 , . . ., wl ,
lo que prueba que las variedades son paralelas.
Rec´
ıprocamente, si se da la inclusi´n anterior entonces las dos variedades
o
−−
→
est´n contenidas en la variedad P + P Q, w1 , . . ., wl .
a
As´ dos rectas son paralelas si y s´lo si no se cortan y est´n contenidas en un
ı o a
plano, dos hiperplanos (en particular dos planos en un espacio tridimensional)
son paralelos si y s´lo si no se cortan.
o
Ejercicio: Probar que si dos variedades lineales tienen intersecci´n no vac´ entonces
o ıa
´sta es una variedad lineal y que su espacio director es la intersecci´n de los espacios
e o
directores.
Es f´cil comprobar que cualquier espacio af´ de dimensi´n 3 cumple el grupo
a ın o
de axiomas A del cap´ıtulo I, as´ como el axioma E. De hecho, si la dimensi´n es
ı o
2 se siguen cumpliendo los axiomas que no hablan de planos, y si la dimensi´no
es mayor que 3 se cumplen todos los axiomas del grupo excepto A6.
Por ejemplo, si dos planos en un espacio tridimensional tienen un punto
en com´n P , la intersecci´n es una variedad lineal cuyo espacio director es la
u o
intersecci´n de dos subespacios de dimensi´n 2, luego la relaci´n
o o o
dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W )
implica que la dimensi´n de la intersecci´n ha de ser al menos 1, luego la inter-
o o
secci´n es un plano o una recta.
o
Si el cuerpo K del espacio af´ est´ ordenado (como es el caso de R) podemos
ın a
definir el orden AB en la recta AB como el dado por3
−
−→ −
−→
X AB Y si y s´lo si X = A + λ AB, Y = A + µ AB y λ µ.
o
Con este orden se satisface tambi´n el grupo de axiomas B. Vamos a demostrar
e
como ejemplo el axioma B5, que es el m´s t´cnico. Notemos en general que los
a e
puntos situados entre dos puntos A y B son los de la forma
−
−→
A + λ AB, λ ∈ [0, 1].
Sean A, B y C tres puntos no colineales y una recta r en su mismo plano
que no pasa por ninguno de ellos, pero s´ por un punto X entre A y B. Sea v
ı
un vector director de r, es decir, r = X + v .
−→
−
Los vectores v y XB han de ser linealmente independientes, pues en caso
−→
−
contrario B estar´ en r. El punto A est´ en la recta XB, luego A = X + αXB,
ıa a
−→
3 Notemos que en el caso del espacio eucl´
ıdeo hemos probado que Xλ = A + λ AB es una
graduaci´n de AB, luego esta definici´n da el orden usual.
o o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-93-320.jpg)
![4.4. Espacios eucl´
ıdeos 95
Con todo esto ya podemos concluir:
Teorema 4.22 Sean E y F dos espacios eucl´
ıdeos de la misma dimensi´n.
o
Entonces
1. Las isometr´ de E en F son las biyecciones afines f tales que f es una
ıas
isometr´ lineal.
ıa
2. Toda isometr´ entre un subconjunto A de E y un subconjunto B de F se
ıa
extiende a una isometr´ de E en F .
ıa
3. Si A contiene un conjunto de n + 1 puntos af´
ınmente independientes,
entonces la extensi´n es unica.
o ´
Demostracion: Sean A = O + W y B = O + W , de modo que f se
´
extienda a una isometr´ af´ sobre O + W . En particular W y W tienen la
ıa ın
misma dimensi´n, luego sus complementos ortogonales tambi´n. Extendamos
o e
f a V (el espacio vectorial de E) asignando a una base ortonormal de W ⊥ una
base ortonormal de W ⊥ . Por el teorema anterior la extensi´n (que seguiremos
o
llamando f ) es una isometr´ lineal, y la afinidad que induce en E es una
ıa
isometr´ y extiende a f .
ıa
A trav´s de las isometr´ podemos definir una noci´n general de congruencia
e ıas o
de conjuntos arbitrarios que coincide con la que ya conocemos en el caso de
segmentos, ´ngulos y tri´ngulos y con la cual todo espacio eucl´
a a ıdeo cumplir´ el
a
grupo de axiomas C de la geometr´ eucl´
ıa ıdea.
Definici´n 4.23 Diremos que dos conjuntos A y B en un espacio eucl´
o ıdeo E
son congruentes si existe una isometr´ f : E −→ E tal que f [A] = B. Los
ıa
puntos de A y B correspondientes por (una isometr´ en particular) f se llaman
ıa
puntos hom´logos.
o
En el sentido de la geometr´ axiom´tica, dos segmentos son equivalentes si
ıa a
y s´lo si tienen la misma longitud pero, si esto es as´ una biyecci´n entre los
o ı, o
conjuntos de sus extremos es una isometr´ que se extiende a todo el espacio, y
ıa,
es f´cil ver que transforma uno de los segmentos en el otro, luego son semejantes
a
en el sentido de la definici´n anterior. El rec´
o ıproco es an´logo.
a
Similarmente, si un angulo AOB es congruente con otro de v´rtice O ,
´ e
podemos tomar puntos en sus lados de modo que ´ste sea A O B y adem´s
e a
OA ≡ O A , OB ≡ O B . Entonces se cumplir´ tambi´n que AB ≡ A B , luego
a e
la correspondencia entre los conjuntos {A, O, B} y {A , O , B } es una isometr´ıa,
que se extiende a todo el espacio, y de nuevo es f´cil ver que hace corresponder
a
los ´ngulos, luego son semejantes en el sentido de la definici´n anterior. De igual
a o
modo se prueba el rec´ ıproco y la equivalencia correspondiente a tri´ngulos.
a
Ahora veamos que todo espacio eucl´
ıdeo cumple el grupo de axiomas C. La
comprobaci´n de los axiomas sobre segmentos es muy sencilla, y el axioma C4
o
sobre ´ngulos se comprueba de modo similar al axioma C5 sobre tri´ngulos. Por
a a
ello probaremos s´lo C4.
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-107-320.jpg)
![96 Cap´
ıtulo 4. La geometr´ anal´
ıa ıtica
En primer lugar consideremos dos semiplanos cualesquiera, que ser´n con-
a
juntos de la forma
π = {O + λv1 + µv2 | µ ≥ 0} y π = {O + λw1 + µw2 | µ ≥ 0},
donde podemos suponer que las bases (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) son ortonormales. Si
llamamos f a la aplicaci´n lineal determinada por v(vi ) = wi , entonces f es
o
−
−→
una isometr´ lineal, y es claro que la aplicaci´n dada por f (P ) = O + f (OP )
ıa o
es una isometr´ entre los planos que contienen a π y a π , tal que f [π] = π
ıa
y que adem´s transforma la semirrecta O + {λv1 | λ ≥ 0}, en la semirrecta
a
O + {λw1 | λ ≥ 0}.
De aqu´ se sigue que dados dos semiplanos y en sus fronteras sendas semirrec-
ı
tas, existe una isometr´ que transforma uno en el otro haciendo corresponder las
ıa
semirrectas. Por lo tanto, si tenemos un ´ngulo, un semiplano y en su frontera
a
una semirrecta (seg´n el axioma C4) existe una isometr´ entre el semiplano que
u ıa
contiene al angulo con un lado en su frontera y el semiplano dado, de modo que
´
el lado del angulo se corresponda con la semirrecta dada. La imagen del angulo
´ ´
por la isometr´ indicada ser´ un angulo congruente con el dado, contenido en
ıa a ´
el semiplano dado y con un lado igual a la semirrecta dada, tal y como exige el
axioma C4.
Para probar la unicidad suponemos que tenemos dos angulos con un lado en
´
com´n y contenidos en el mismo semiplano respecto a ´ste. Ser´n de la forma
u e a
A(O; v1 , v2 ) y A(O; v1 , v2 ). Adem´s ambos est´n contenidos en el semiplano
a a
{O + λv1 + µw | µ ≥ 0},
lo que se traduce en que v2 = xv1 + y w con y 0 y v2 = x v1 + y w con y 0.
Podemos suponer que v1 , v2 y v2 tienen todos norma 1.
Una isometr´ f entre los ´ngulos ha de cumplir5 f (v1 ) = v1 y f (v2 ) = v2 o
ıa a
bien f (v1 ) = v2 y f (v2 ) = v1 . En cualquier caso tendremos v1 v2 = v1 v2 , luego
x2 = x 2 . Por otro lado,
x2 + y 2 = v2 2
= v2 2
= x 2 + y 2,
y como y, y 0, de hecho y = y . Desarrollando igualmente la condici´n o
v2 − v1 2 = v2 − v1 2 se concluye x = x , con lo que los angulos son iguales.
´
As´ pues, tenemos que todo espacio tridimensional eucl´
ı ıdeo en el sentido
anal´ıtico cumple los axiomas de la geometr´ eucl´
ıa ıdea, y que todo espacio que
cumpla dichos axiomas puede ser dotado de estructura de espacio tridimensional
eucl´
ıdeo. La aplicaci´n que a cada punto de un espacio eucl´
o ıdeo de dimensi´n n
o
le hace corresponder sus coordenadas en Rn respecto a un sistema de referencia
ortonormal es una isometr´ (porque la aplicaci´n lineal asociada env´ la base
ıa o ıa
5 El punto m´s delicado es comprobar que si AOB = A O B entonces OA = O A y
a
OB = O B . Por ejemplo, puede probarse que si una recta corta a un ´ngulo en un segmento,
a
entonces los extremos del segmento est´n sobre los lados. De aqu´ se sigue f´cilmente la
a ı a
propiedad indicada.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-108-320.jpg)
![98 Cap´
ıtulo 4. La geometr´ anal´
ıa ıtica
(1, 0) y P (entendiendo que el argumento de (1, 0) es 0). Si el punto P est´ en el
a
semiplano inferior, su argumento se define igualmente pero con signo negativo.
π/2 Con esto tenemos bien definido el argumento
3π/4 π/4 sobre todos los puntos de ω excepto (−1, 0), dia-
metralmente opuesto a (1, 0), cuyo argumento
deber´ ser por una parte π y por otra parte
ıa
π 0 −π. Resolvemos esto asignando a cada punto,
−π no un argumento, sino una clase de argumentos
m´dulo 2π, es decir, si α es el argumento de P
o
seg´n lo acabamos de definir, ahora definimos
u
−3π/4 −π/4 arg P = {α + 2kπ | k ∈ Z}. De este modo,
−π/2 arg(−1, 0) = {π + 2kπ | k ∈ Z}, que contiene
tanto a π como a −π, y la definici´n resulta consistente. Tenemos as´ una
o ı
biyecci´n entre la circunferencia ω y el grupo cociente R/2πR.
o
Intuitivamente, el argumento de un punto indica el angulo que hay que girar
´
desde (1, 0) para llegar hasta ´l. As´ el hecho de que un mismo punto tenga
e ı,
argumentos π/2, −3π/2 y 5π/2 significa que se llega hasta ´l girando un recto
e
en un sentido, o tres rectos en sentido opuesto, o dando una vuelta entera de
4 rectos m´s otro recto. El resultado b´sico en torno a los argumentos es el
a a
siguiente:
Teorema 4.24 Sean P y Q dos puntos en ω, sean arg P = [α], arg Q = [β] de
modo que |β − α| ≤ π. Entonces el ´ngulo P OQ tiene amplitud |β − α|.
a
Demostracion: Notemos en general que cada clase m´dulo 2π tiene un
´ o
unico representante en el intervalo [−π, π] (excepto π, que tiene dos pero con el
´
mismo valor absoluto). Esto implica que el valor de |β − α| menor o igual que π
est´ un´
a ıvocamente determinado por P y Q y no importa con qu´ representantes
e
concretos lo calculamos. En principio tomamos α y β en [−π, π].
Sean I = (1, 0), I = (−1, 0). Si P y Q est´n ambos en el semiplano superior,
a
podemos suponer que 0 ≤ α ≤ β ≤ π. Descartando casos triviales tenemos que
IOP est´ contenido en IOQ y sus amplitudes son α y β, luego es claro que la de
a
P OQ es β − α. El mismo argumento vale si P y Q est´n ambos en el semiplano
a
inferior.
Supongamos que P est´ en el semiplano superior y Q est´ en el inferior. Si
a a
Q es diametralmente opuesto a P , entonces IOQ es adyacente a IOP , luego sus
amplitudes α y −β suman π, como hab´ que probar.
ıa
Sea P el punto diametralmente opuesto a P . Podemos suponer que P es
distinto de I, I . Entonces la recta P P deja a I y a I en semiplanos distintos.
Supongamos que Q e I est´n en el mismo semiplano. Entonces es claro que
a
P OQ = P OI + IOQ y de nuevo la suma de las amplitudes es α − β π.
Finalmente consideramos el caso en que Q e I est´n en el mismo semiplano.
a
Entonces P OQ = P OI + QOI . Las amplitudes de los sumandos son π − α
y π + β, luego la amplitud de P OQ es 2π + β − α. Si tomamos 2π + β como
argumento de Q, se cumple lo pedido.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-110-320.jpg)
![4.5. Los giros y la medida de angulos
´ 99
Consideremos un punto P (x, y) en ω, sea α su
P argumento en ]−π, π], sea P = (x, 0). Si x, y son
α no nulos, entonces el tri´ngulo OP P es rect´ngulo,
a a
pues P − P = (0, y) es ortogonal a P . Por otra
P O parte, si I = (1, 0), la definici´n de argumento nos
o
da que IOP = ±α, donde el signo es el de la coor-
denada y.
Puesto que P = 1, la definici´n del seno y el
o
coseno de un ´ngulo implican entonces que (x, y) = cos(±α), ± sen(±α) . Esta
a
f´rmula sigue siendo cierta para los puntos (±1, 0) y (0, ±1) (cuyos argumentos
o
son 0, ±π/2, ±π) por la definici´n del seno y del coseno en estos casos particu-
o
lares. Recordemos que al comienzo de la secci´n anterior hemos convenido en
o
que el coseno de un angulo nulo es 1 y el coseno de un angulo llano es −1 (y en
´ ´
ambos casos definimos el seno como 0).
Hasta aqu´ tenemos definidas las funciones seno y coseno en el intervalo [0, π].
ı
Ahora extendemos las definiciones al intervalo [−π, π] mediante las relaciones
sen(−α) = − sen α, cos(−α) = cos α.
As´ la relaci´n entre α y las coordenadas de P se reduce a
ı o
(x, y) = cos α, sen α .
Puesto que todos los n´meros α + 2kπ son argumentos de P , podemos hacer
u
que esta f´rmula valga para cualquiera de ellos si extendemos las funciones seno
o
y coseno a todo el conjunto R mediante
sen(α + 2kπ) = sen α, cos(α + 2kπ) = cos α, para todo k ∈ Z.
A continuaci´n extendemos el concepto de argumento a cualquier punto
o
P del plano distinto de O. Para ello consideramos la intersecci´n con ω de
o
la semirrecta de origen O que pasa por P , esto es, el punto P ∗ = P/ P .
Definimos el argumento de P como arg P = arg P ∗ . Si este argumento es α, las
coordenadas de P son
(x, y) = P (cos α, sen α).
Definici´n 4.25 Llamaremos coordenadas polares de un punto P = 0 (respecto
o
al sistema de referencia dado) a los n´meros ρ = P (el m´dulo de P ) y
u o
θ = arg P (el argumento de P , determinado m´dulo 2π). Representaremos por
o
P = ρθ al unico punto P del plano de m´dulo ρ y argumento θ.
´ o
En estos t´rminos, la relaci´n entre las coordenadas cartesianas y las coor-
e o
denadas polares de un punto P es
(x, y) = (ρ cos θ, ρ sen θ).
Definici´n 4.26 Sea π un plano af´ y (O; v1 , v2 ) un sistema de referencia.
o ın
Sea α un n´mero real. Llamaremos giro de centro O y angulo α a la aplicaci´n
u ´ o
determinada por G(O) = O y Gα (ρθ ) = ρθ+α .](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-111-320.jpg)
![4.5. Los giros y la medida de angulos
´ 101
luego su inversa es
1 0
M−θ .
0 ±1
As´ pues, la matriz del giro de angulo α (definido respecto al primer sistema
ı ´
de referencia) en el segundo sistema de referencia es
1 0 1 0
Mθ Mα M−θ = Mθ M±α M−θ = M±α .
0 ±1 0 ±1
Esto significa que el giro de angulo α respecto a un sistema de referencia
´
es el giro de ´ngulo ±α respecto a cualquier otro sistema de referencia con el
a
mismo origen, y adem´s el posible cambio de signo depende s´lo de los sistemas
a o
de referencia, es decir, o bien todos los giros coinciden, o bien todos cambian de
signo. Vemos, pues, que un giro (distinto de la identidad) determina su centro
y su angulo salvo signo. Dicho signo depende del sistema de referencia.
´
Como aplicaci´n vamos a obtener unas importantes relaciones trigonom´tri-
o e
cas. Basta desarrollar la igualdad Mα+β = Mα Mβ para concluir
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β,
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β.
Enseguida veremos que con estas f´rmulas tenemos completamente determi-
o
nadas (salvo un factor constante) las funciones seno y coseno. Primero enun-
ciamos un teorema que recoja las propiedades esenciales de ambas funciones.
Todas est´n ya demostradas.
a
Teorema 4.27 Las funciones seno y coseno (respecto a una medida de angulos
´
prefijada en la que los angulos llanos tengan amplitud π) verifican las propieda-
´
des siguientes:
1. sen(α + 2kπ) = sen α, cos(α + 2kπ) = cos α, para todo k ∈ Z.
2. sen 0 = 0, cos 0 = 1, sen(π/2) = 1, cos(π/2) = 0.
3. sen2 α + cos2 α = 1, sen(−α) = − sen α, cos(−α) = cos α.
4. sen α ≥ 0 si α ∈ [0, π], cos α ≥ 0 si α ∈ [−π/2, π/2].
5. Para cada par (x, y) ∈ R2 tal que x2 + y 2 = 1 existe un unico α ∈ ]−π, π]
´
tal que (x, y) = (cos α, sen α).
6. sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β,
7. cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β.
Nuestra definici´n de las funciones seno y coseno se basa en la delicada
o
construcci´n de la medida de angulos, que no admite una formulaci´n algebraica
o ´ o
sencilla. Estas funciones pueden ser definidas mucho m´s f´cilmente mediante
a a
t´cnicas anal´
e ıticas. Vamos a probar que cualquier par de funciones que cumplan](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-113-320.jpg)
![102 Cap´
ıtulo 4. La geometr´ anal´
ıa ıtica
las propiedades del teorema anterior son de hecho el seno y el coseno que hemos
definido (respecto a una unidad de angulos adecuada). As´ tendremos justificado
´ ı
que nuestra definici´n geom´trica equivale a cualquiera de las varias definiciones
o e
anal´ıticas posibles.
Supongamos, pues, que tenemos dadas dos funciones sen y cos que satisfagan
las propiedades del teorema anterior. Entonces, dado x ∈ [0, 1], existe un unico
´
n´mero y ≥ 0 tal que x2 + y 2 = 1, y as´ (x, y) = (cos α, sen α) para un unico
u ı ´
α ∈ [0, π]. El teorema de Cauchy-Schwarz nos permite definir la amplitud del
´ngulo entre dos vectores v1 y v2 como el unico n´mero α ∈ [0, π] que cumple
a ´ u
v1 v2
cos α = .
v1 v2
−
−→ −→ −
La amplitud de un angulo ABC es la de los vectores BA y BC. Es f´cil ver que
´ a
esta definici´n no depende de la elecci´n de A y C en los lados del angulo, as´
o o ´ ı
como que se conserva por isometr´ es decir, que ´ngulos congruentes tienen la
ıas, a
misma amplitud. Vamos a comprobar que esta definici´n de amplitud satisface
o
las condiciones del teorema 2.27. Acabamos de probar la primera.
w Para probar la segunda consideramos un angulo
´
v ˆ
A = A(O; v1 , v2 ), donde podemos suponer que v1 y
v2
v2 tienen norma 1, y una semirrecta O + {λv | λ ≥ 0}
contenida en el angulo, lo cual equivale a que
´
O v1 v = λv1 + µv2 , λ, µ ≥ 0.
(Tambi´n podemos suponer que v tiene norma 1.)
e
Sea w un vector ortogonal a v1 en el plano del angulo. Cambiando w por
´
−w si es preciso podemos suponer que v2 = xv1 + y w, con y 0. Sean α, β
y γ las amplitudes de los angulos v1 v2 , v1 v y vv2 respectivamente. Hemos de
´
probar que α = β + γ.
Tenemos cos α = v1 v2 = x, luego y = sen α (pues x2 + y 2 = 1 e y 0). As´
ı
pues, v2 = cos α v1 + sen α w. De aqu´ que
ı
v = (λ + µ cos α)v1 + µ sen α w.
A su vez esto implica que cos β = v1 v = λ + µ cos α, luego sen β = µ sen α.
Usando las f´rmulas 6 y 7 del teorema 4.27 vemos que
o
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β = λ cos α + µ = vv2 = cos γ,
sen(α − β) = sen α cos β − sen β cos α = λ sen α ≥ 0.
Puesto que |α − β| ≤ π, la ultima desigualdad implica que 0 ≤ α − β ≤ π,
´
luego de cos(α−β) = cos γ podemos concluir α−β = γ, como quer´ ıamos probar.
ˆ ˆ
Llamemos m(A) a la amplitud de un angulo A tal y como la hemos definido a
´
ˆ la amplitud de A en el sentido usual,
partir de las funciones sen y cos. Sea m (A) ˆ
digamos que tomando como unidad de angulos el angulo recto. Claramente los
´ ´](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-114-320.jpg)
![4.5. Los giros y la medida de angulos
´ 103
a
´ngulos rectos tienen medida m igual a π/2. El teorema 2.27 nos da entonces que
ˆ ˆ ˆ
m(A) = (π/2)m (A), para todo angulo A, dicho de otro modo, que la amplitud
´
ˆ ´
de un angulo cualquiera en el sentido usual es (2/π)m(A) angulos rectos.
´
Si suponemos adem´s que π 1, entonces podemos tomar como unidad de
a
a
´ngulos 2/π veces un ´ngulo recto y, respecto a esta unidad, la amplitud de un
a
a
´ngulo cualquiera es precisamente m(A).ˆ
Finalmente, dado α ∈ ]0, π[, fijamos un sistema de referencia ortonormal y
consideramos los puntos P (cos α, sen α) y Q(1, 0). Entonces el tri´ngulo P OQ
a
ˆ
tiene un angulo recto Q y la perpendicular a OQ por P corta a OQ en el punto
´
(cos α, 0). Como P = 1, concluimos que sen α y cos α son el seno y el coseno
ˆ
de O en el sentido geom´trico, es decir, hemos probado:
e
Teorema 4.28 Si unas funciones sen y cos satisfacen las propiedades del teo-
rema 4.27 con π 1, entonces existe una unidad de ´ngulos respecto a la cual
a
sen α y cos α son el seno y el coseno de los angulos de amplitud α (para todo
´
α ∈ [0, π]).
Es importante insistir en que nosotros hemos demostrado la existencia de
las funciones seno y coseno. No obstante, si se supone conocida su existencia
junto con las propiedades del teorema 4.27, la f´rmula v w = v w cos v w
o
(usada como definici´n de la amplitud de v w) permite introducir r´pidamente la
o a
medida de angulos en los espacios eucl´
´ ıdeos, y de ella se siguen inmediatamente
el teorema del coseno y el teorema de Pit´goras. Por completitud daremos la
a
prueba anal´ ıtica de otros dos resultados fundamentales: probaremos que los
a
´ngulos de un tri´ngulo suman dos rectos y tambi´n el teorema de los senos.
a e
Dado un tri´ngulo ABC, tomando un sistema de referencia ortonormal con
a
−−
→
origen en A y un vector en la direcci´n de AB podemos suponer que A = (0, 0),
o
B = (c, 0), C = (x, y), con c, y ≥ 0. Se comprueba f´cilmente que
a
ˆ x ˆ y ˆ c−x ˆ y
cos A = , sen A = , cos B = , sen B = .
b b a a
Las f´rmulas de la suma nos dan que
o
ˆ ˆ yc
sen(A + B) = ≥ 0,
ab
− −→
→−
ˆ ˆ cx − x2 − y 2 AC BC ˆ
cos(A + B) = =− = − cos C.
ab ab
ˆ ˆ ˆ ˆ
Estas relaciones implican que 0 ≤ A + B ≤ π y A + B = π − C. ˆ
C
❍
✁ ❍❍
✁ ❍
b✁ y ❍ a
❍❍
✁ ❍
✁ ❍❍
✁ x ❍
❍
A c B](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-115-320.jpg)
![Cap´
ıtulo V
N´ meros complejos
u
Es bien conocido que las ra´ de una ecuaci´n polin´mica de segundo grado
ıces o o
con coeficientes reales ax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la f´rmula
o
√
−b ± b2 − 4ac
x= ,
2a
supuesto que el discriminante b2 − 4ac tenga ra´ cuadrada, esto es, no sea ne-
ız
gativo. Sin embargo, los matem´ticos renacentistas italianos observaron que
a
aun en el caso de que el discriminante fuera negativo se pod´ trabajar con-
ıa
sistentemente con unas hipot´ticas ra´
e √ ıces “imaginarias” sin m´s que admitir la
a
existencia de una cantidad i = −1. M´s concretamente, los algoritmos de
a
resoluci´n de ecuaciones c´bicas pasaban en determinados casos por solucio-
o u
nes imaginarias de ecuaciones cuadr´ticas asociadas que despu´s daban lugar a
a e
soluciones reales de la c´bica de partida. La teor´ de extensiones algebraicas
u ıa
proporciona un fundamento riguroso de esta introducci´n directa de los n´meros
o u
imaginarios a partir de la ecuaci´n i2 = −1:
o
5.1 Definici´n y propiedades b´sicas
o a
El polinomio x2 + 1 no tiene ra´ıces reales, y al tener grado 2 es irreducible
en el anillo R[x]. Por lo tanto existe una extensi´n algebraica de R en la cual
o
tiene una ra´ız:
Definici´n 5.1 Llamaremos cuerpo de los n´meros complejos C = R[i] a la
o u
adjunci´n a R de una ra´ i del polinomio x2 + 1.
o ız
La teor´ de cuerpos nos asegura que C est´ un´
ıa a ıvocamente determinado salvo
isomorfismos que fijan a R. El cuerpo C es un espacio vectorial de dimensi´n
o
2 sobre R y tiene por base a {1, i}. Por lo tanto todo n´mero complejo z se
u
expresa de forma unica como z = a + bi, donde a, b ∈ R. As´ pues, podemos
´ ı
identificar el n´mero complejo a + bi con el par (a, b) ∈ R2 .
u
115](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-127-320.jpg)
![118 Cap´
ıtulo 5. N´meros complejos
u
con muchos casos particulares de ecuaciones de grados superiores. Esto sustent´ o
durante siglos la conjetura de que de hecho toda ecuaci´n polin´mica pod´
o o ıa
resolverse en C, sin embargo, la primera prueba tuvo que esperar hasta principios
del siglo XIX. Fue en este per´ıodo cuando Argrand descubri´ la representaci´n
o o
geom´trica de los n´meros complejos, aunque fue Gauss el primero en usarla y
e u
difundirla. Gauss descubri´ as´ mismo la interpretaci´n geom´trica del producto
o ı o e
de n´meros complejos y en su tesis doctoral prob´ el que hoy se conoce como
u o
teorema fundamental del algebra. La prueba que veremos aqu´ se basa en la
´ ı
teor´ de Galois y s´lo requiere dos hechos concretos sobre n´meros reales y
ıa o u
complejos, ambos ya probados:
A Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una
ra´ real.
ız
B Todo n´mero complejo tiene una ra´ cuadrada.
u ız
El ultimo ingrediente que necesitamos es un resultado fundamental de la
´
teor´ de grupos finitos:
ıa
Teorema de Sylow Sea G un grupo finito, p un n´mero primo y n un n´mero
u u
natural tal que pn |G|. Entonces G tiene un subgrupo de orden pn .
Para comodidad del lector incluimos al final del cap´ıtulo un ap´ndice con
e
la demostraci´n del teorema de Sylow. Para probar el teorema fundamental
o
del algebra conviene reformular A y B en t´rminos de la teor´ de cuerpos.
´ e ıa
En primer lugar, A equivale a que todo polinomio irreducible en R[x] de grado
mayor que 1 es de grado par. Como toda extensi´n finita de R es simple, su
o
ınimo en R[x] de su elemento primitivo, luego
grado es el grado del polinomio m´
A Todas las extensiones propias de R tienen grado par.
Por otro lado B equivale a que toda ecuaci´n de segundo grado sobre C tiene
o
ra´ en C, es decir, que no hay polinomios irreducibles de grado 2 en C[x], as´
ıces ı
pues:
B No existen extensiones de C de grado 2.
Teorema 5.2 (Teorema fundamental del ´lgebra) C es algebraicamente
a
cerrado.
Demostracion: Hay que probar que C no tiene extensiones algebraicas
´
propias. Supongamos que K es una tal extensi´n. Adjuntando a C un elemento
o
cualquiera de K que no est´ en C obtenemos una extensi´n propia y finita de C.
e o
Podemos suponer, pues, que K/C es una extensi´n finita. Tambi´n ser´ finita
o e a
la extensi´n K/R. Existe una extensi´n finita normal de R que contiene a K.
o o
Por lo tanto podemos suponer que K/R es una extensi´n finita de Galois (de
o
grado mayor que 1).
Por A sabemos que |K : R| es un n´mero par. Digamos que |K : R| = 2n · m,
u
con n ≥ 1 y m impar.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-130-320.jpg)
![5.3. Construcciones con regla y comp´s
a 119
Sea G el grupo de Galois de la extensi´n. Como |G| = 2n · m, el teorema de
o
Sylow nos da la existencia de un subgrupo H de orden 2n . El cuerpo F fijado
por H cumple |K : F | = 2n , luego |F : R| = m. Por A resulta que m ha de ser
igual a 1. As´ pues, |K : R| = 2n y, por lo tanto, |K : C| = 2n−1 . Sea r = n − 1.
ı
Estamos suponiendo que K es una extensi´n propia de C, luego r ≥ 1.
o
Sea ahora L el grupo de Galois de la extensi´n K/C. Entonces |L| = 2r y, de
o
nuevo por el teorema de Sylow, L tiene un subgrupo H de orden 2r−1 . El cuerpo
fijado por este subgrupo es una extensi´n de C de grado 2, en contradicci´n con
o o
la afirmaci´n B .
o
Como consecuencia, el conjunto A de los n´meros complejos algebraicos
u
sobre Q es algebraicamente cerrado (pues las ra´ complejas de cualquier poli-
ıces
nomio de A[x] ser´n elementos algebraicos sobre A, luego sobre Q, luego estar´n
a a
en A). As´ pues, A es la clausura algebraica de Q, luego podemos considerar
ı
contenidas en C a todas las extensiones algebraicas de Q. Otra consecuencia es
que C es la clausura algebraica de R, por lo que los polinomios irreducibles en
R[x] tienen todos grado 1 o 2. Esto ser´ importante en la clasificaci´n de las
a o
isometr´ en Rn .
ıas
5.3 Construcciones con regla y comp´s
a
Veamos c´mo la estructura de cuerpo que le hemos dado al plano eucl´
o ıdeo
resulta de gran ayuda para estudiar la constructibilidad con regla y comp´s. Los
a
antiguos griegos se interesaron especialmente por los problemas geom´tricos aso-
e
ciados a figuras que pueden ser trazadas con los instrumentos m´s simples: una
a
regla para trazar rectas y un comp´s para trazar circunferencias. Con m´s pre-
a a
cisi´n, una construcci´n con regla y comp´s en sentido estricto no admite que se
o o a
tracen rectas o circunferencias aleatorias. Para que una recta se pueda conside-
rar ‘construida’ es necesario tener construidos dos de sus puntos, sobre los que
apoyar la regla; un punto est´ construido cuando lo hemos determinado como
a
intersecci´n de dos rectas, dos circunferencias, o una recta y una circunferencia;
o
finalmente, para construir una circunferencia tenemos que tener construido su
centro, sobre el que clavar el comp´s, y su radio ha de ser la distancia entre dos
a
puntos construidos, con los que fijar la apertura del comp´s.a
Para aplicar estos criterios necesitamos tener unos datos, por ejemplo, dado
un tri´ngulo arbitrario (trazado al azar, si se quiere) podemos plantearnos la
a
construcci´n de su circunferencia circunscrita. Esto supone tomar como ‘cons-
o
truidos’ los v´rtices del tri´ngulo y a partir de ellos realizar una cadena de
e a
construcciones en el sentido anterior que acaben con el trazado de la circunfe-
rencia buscada.
Es claro que a partir de un unico punto es imposible realizar construcci´n
´ o
alguna. El menor n´mero de puntos para iniciar una construcci´n es 2. Una
u o
construcci´n a partir de dos puntos es una construcci´n absoluta. Una cons-
o o
trucci´n que acepte como datos m´s de dos puntos es una construcci´n relativa
o a o
a los datos. Veamos algunos ejemplos de construcciones elementales:](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-131-320.jpg)
![126 Cap´
ıtulo 5. N´meros complejos
u
Ejemplo: la trisecci´n del ´ngulo Otro problema cl´sico es la divisi´n
o a a o
de un angulo dado en tres partes iguales. Ahora es f´cil ver que no existe una
´ a
soluci´n general de este problema pues, por ejemplo, el angulo de amplitud 2π/6
o ´
es constructible, ya que φ(6) = 2, pero su tercera parte, es decir, el angulo de
´
amplitud 2π/18 no lo es, ya que φ(18) = 6.
Ejercicio: Describir las construcciones de los pol´
ıgonos regulares de 3, 4 y 6 lados.
Vamos a dar una caracterizaci´n aritm´tica de cu´ndo φ(n) es potencia de 2.
o e a
Factoricemos n = 2r0 pr1 · · · prk , donde p1 , . . ., pk son primos impares distintos.
1 k
Entonces φ(n) = (p1 − 1)pr1 −1 · · · (pk − 1)prk −1 y la unica posibilidad para que
1 k ´
este n´mero sea una potencia de dos es que todos los exponentes sean iguales a
u
1 y que pi − 1 sea potencia de 2 para todo i.
Definici´n 5.9 Los n´meros primos de la forma 2n + 1 se llaman primos de
o u
Fermat.
En estos t´rminos:
e
Teorema 5.10 El pol´ ıgono regular de n v´rtices es constructible con regla y
e
comp´s si y s´lo si n es producto de una potencia de 2 y de primos de Fermat
a o
con exponente 1.
S´lo nos queda estudiar qu´ n´meros de la forma 2n + 1 son primos. Cons-
o e u
truyamos una tabla:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n + 1 3 5 9 17 33 65 129 257 513 1.025
Resultan primos los n´meros correspondientes a los valores n = 1, 2, 4, 8, . . .
u
Fermat conjetur´ bas´ndose en esto que los primos que hoy llevan su nombre
o a
n
son exactamente los n´meros de la forma 22 + 1.
u
Ciertamente todo primo de Fermat es de esta forma: sea p = 2n + 1 un
primo de Fermat. Tomamos clases m´dulo p. Entonces el orden de [2] divide
o
a p − 1 = 2n , luego es potencia de 2. Sea n = 2u v, con v impar. Entonces
u u+1
22 v ≡ −1 (m´d p), luego 22 v ≡ 1 (m´d p). As´ el orden de [2] divide a
o o ı,
2u+1 v y es potencia de 2, luego de hecho divide a 2u+1 . Sea, pues d ≤ u + 1 tal
d d−1
que [2]2 = [1] pero [2]2 = 1. Como el cuadrado de esta clase es [1], ha de
d−1 d−1
ser [2] 2
= [−1] y as´ 2 + 1 | 22
ı n
+ 1. Puesto que 2d−1 ≤ n, necesariamente
d−1
n 2 d−1
2 +1=2 +1 y n=2 .
n
Queda por ver si todo n´mero de la forma 22 + 1 es primo. Volvamos a la
u
tabla y ampli´mosla:
e
n 0 1 2 3 4 5
n
22 + 1 3 5 17 257 65.537 4.294.967.297
Ahora chocamos con un problema computacional. No es f´cil decidir si los
a
n´meros que aparecen son primos o no. De hecho el lector ha aceptado en la
u](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-138-320.jpg)
![5.4. Pol´
ıgonos regulares 127
tabla anterior que el n´mero 257 es primo, lo que supone probar que no es
u
divisible entre primos menores o iguales que 13.
Aceptemos este hecho y enfrent´monos al caso m´s complejo de determinar
e a
4
si el n´mero 65.537 es o no primo. Sabemos que se trata de 22 +1. Supongamos
u
4
que es divisible entre un primo p. Entonces, m´dulo p se cumple que [2]2 = [−1],
o
5
y elevando al cuadrado [2]2 = [1]. Consecuentemente o [2] | 25 , pero o [2] 24
4
(o ser´ [2]2 = [1]). Esto significa que o [2] = 25 .
ıa
Por otra parte o [2] | p − 1, o sea, 25 | p − 1 y por tanto p ha de ser de la
forma p = 32k + 1
4 3
La ra´ cuadrada de 22 + 1 es apenas mayor que 22 = 256, luego si nuestro
ız
n´mero no es primo tiene un divisor primo p 256. Los primeros valores de la
u
sucesi´n 32k + 1 son:
o
33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, 257, . . .
y los unicos primos a considerar son 97 y 193 (161 es m´ltiplo de 7). Por lo
´ u
tanto, 65.537 ser´ primo si y s´lo si no es divisible entre 97 ni 193. Comprobar
a o
que esto es cierto no supone ninguna dificultad, luego, en efecto, 65.537 es primo.
El siguiente n´mero a comprobar es much´
u ısimo mayor. Si aplicamos el mismo
5
razonamiento concluimos que si 22 + 1 no es primo, entonces tiene un divisor
primo de la forma p = 64k + 1 y p ≤ 65.536. Esto nos deja todav´ un gran
ıa
n´mero de candidatos, pero el argumento puede ser refinado como sigue:
u
Si p = 64k + 1 en particular p ≡ 1 (m´d 8), lo que implica que 2 es un resto
o
cuadr´tico m´dulo p, es decir, existe un natural x tal que x2 ≡ 2 (m´d p), o
a o o
sea, p | x2 − 2, y as´ m´dulo p, sabemos que [x]p−1 = [1], luego [2](p−1)/2 = [1].
ı, o
Por lo tanto o [2] = 64 | (p − 1)/2 y en consecuencia p = 128k + 1.
A´n as´ la lista de candidatos es enorme. Los diez primeros son
u ı
129, 257, 385, 513, 641, 769, 897, 1.025, 1.153, 1.281, . . .
(los primos est´n en negrita).
a
El primer primo es f´cil de descartar por su forma, ya que se trata de 28 + 1
a
5
y m´dulo 28 + 1 se cumple [22 + 1] = [28 ]4 + [1] = [−1]4 + [1] = [2] = [0].
o
Respecto al siguiente, las potencias de 2 m´dulo 641 son las siguientes:
o
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, −129, −258,
125, 250, −141, −282, 77, 154, 308, −25, −50, −100,
−200, −400, −159, −318, 5, 10, 20, 40, 80, 160,
320, 640.
5 5
As´ pues, [22 + 1] = [0], es decir, 641 | 22 + 1 que no es, por tanto, primo.
ı
Posiblemente as´ fue c´mo Gauss lleg´ a descubrir este hecho. Por supuesto
ı o o
5
una calculadora nos da m´s r´pidamente que 22 +1 = 641·6.700.417 (el segundo
a a
factor resulta ser primo).
Hoy en d´ no se conoce ning´n otro primo de Fermat distinto de los cinco
ıa u
que ya hemos encontrado, a saber:
3, 5, 17, 257, 65.537.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-139-320.jpg)
![140 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
Es inmediato comprobar que la aplicaci´n
o
GA(E) −→ GL(E)
f → f
es un epimorfismo de grupos. Su n´cleo est´ formado por las aplicaciones de la
u a
forma
−
−→ −−→ −
−− −→ −−→
−−
f (P ) = f (O) + OP = P + P f (O) + OP = P + Of (O),
−−→
−−
donde Of (O) es un vector arbitrario de V . As´ pues, el n´cleo del epimorfismo
ı u
anterior es el grupo T(E) de las traslaciones de E, esto es, el grupo formado
por las afinidades Tv dadas por Tv (P ) = P + v.
As´ pues, tenemos que GA(E) T(E) ∼ GL(V ). Por otro lado, es obvio que
ı =
la aplicaci´n v → Tv es un isomorfismo E ∼ T(E). Diremos que dos conjuntos
o =
son trasladados si uno es la imagen del otro por una traslaci´n.
o
Tambi´n podemos sumergir GL(E) en GA(E). Dado un punto O ∈ E, el
e
conjunto GAO (E) formado por los elementos f ∈ GA(E) tales que f (O) = O
es claramente un subgrupo de GA(E) isomorfo a GL(E). Concretamente, cada
f ∈ GL(E) se corresponde con la afinidad fO dada por
−
−→
fO (P ) = O + f (OP ).
El isomorfismo inverso es simplemente f → f .
Fijado O, toda biyecci´n af´ f se expresa como
o ın
−
−→ −
−→ −−→
−− −−→
−−
f (P ) = f (O) + f (OP ) = O + f (OP ) + Of (O) = fO (P ) + Of (O),
−−→
−−
o sea, como composici´n de fO ∈ GAO (E) con la traslaci´n de direcci´n Of (O).
o o o
Esto significa que GA(E) = GAO (E) T(E). Por otro lado es claro que las
traslaciones no tienen puntos fijos, luego GAO (E) ∩ T(E) = 1.
En t´rminos de la teor´ de grupos esto se interpreta como que GA(E) es
e ıa
isomorfo al producto semidirecto GL(E)[E].
Si una afinidad tiene un punto fijo O, entonces su expresi´n respecto a
o
un sistema de referencia con origen O es particularmente simple, por ello es
interesante el teorema siguiente, que describe el conjunto de puntos fijos de una
afinidad y en un caso particular garantiza incluso su existencia:
Teorema 6.2 Sea f : E −→ E una afinidad en un espacio af´ E. Entonces
ın
1. El conjunto I(f ) de puntos fijos (o invariantes) de f es un subespacio
vectorial de E.
2. Si f tiene un punto fijo O, entonces el conjunto I(f ) de puntos fijos de f
es la variedad lineal O + I(f ).
3. Si I(f ) = 0, entonces f tiene un unico punto fijo.
´](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-152-320.jpg)
![144 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
−→
− − → −→
− − −→ −
− −
→
2) Hemos de probar que Q = O + k OQ, o sea, OQ OQ = OP OP ,
pero esto es consecuencia inmediata del teorema de Tales (aplicado al plano que
contiene las rectas consideradas y teniendo en cuenta adem´s la recta paralela
a
a P Q que pasa por O).
Esto nos lleva a la caracterizaci´n geom´trica de las homotecias que hab´
o e ıamos
anunciado:
Teorema 6.8 Sea E un espacio af´ de dimensi´n mayor o igual que 2. El
ın o
conjunto de las biyecciones de E en s´ mismo que transforman cada recta en una
ı
recta paralela (o igual) es el subgrupo de GA(E) formado por las homotecias y
las traslaciones de E. Lo representaremos por HT(E).
Demostracion: Las biyecciones indicadas forman obviamente un grupo.
´
Es f´cil ver que contiene a las homotecias y a las traslaciones. Por ejemplo, si
a
f = H(O, k) y r = P + v es una recta, la imagen de un punto Q = P + λv
−→
− −→
− −
−→ −
−→ −−
→
es O + k OQ, pero k OQ = k OP + k P Q = k OP + λ k, v, luego concluimos que
−
−→
f [r] = (O + k OP ) + v , que es una recta paralela a r.
Veamos que cualquier elemento f del grupo es una homotecia o una tras-
laci´n. Distinguimos varios casos.
o
Si f tiene dos puntos fijos, Q y Q , entonces, dado cualquier punto P que
no est´ en la recta QQ , tenemos que f [P Q] es una recta paralela o igual a P Q
e
que contiene a P , luego es P Q. Igualmente f [P Q ] = P Q . Como P es el unico
´
punto en com´n entre P Q y P Q , necesariamente f (P ) = P . As´ pues, f fija
u ı
a todos los puntos fuera de la recta QQ . Si R est´ en la recta QQ y P es un
a
punto exterior a esta recta, entonces todos los puntos de P R salvo quiz´ R son
a
fijados, luego R tambi´n. Por consiguiente f es la identidad.
e
Si f tiene un unico punto fijo O, tomemos un punto cualquiera P = O. Sea
´
P = f (P ), que es un punto distinto de O y P y colineal con ellos. Si Q es
cualquier punto exterior a la recta OP , entonces Q = f (Q) cumple que las
rectas QQ y P P se cortan en O y las rectas P Q y P Q son paralelas. Por
−→ −
− −→
el teorema anterior f (Q) = H(O, k)(Q), donde k = OP OP . Esto vale en
principio para todo Q fuera de la recta OP , pero razonando con otro punto P
fuera de esta recta, tambi´n vale para ella.
e
Si f no tiene puntos fijos, consideremos un punto cualquiera P y su imagen
P = f (P ). Para cualquier punto Q exterior a la recta P P el punto Q = f (Q)
cumple que P Q es paralela a P Q . Adem´s P P es paralela a QQ , pues si
a
ambas rectas tuvieran un punto en com´n, ´ste ser´ un punto fijo de f . Por
u e ıa
−→
−
el teorema anterior f (Q) = Tv (Q), donde v = P P . En principio esto vale para
todo punto Q fuera de la recta P P , pero partiendo de otra recta, tambi´n vale
e
para ella.
Ejercicio: Probar que los grupos H(O, E) y H(O , E) son conjugados en HT(E)
−→
−
mediante la traslaci´n de vector OO .
o
Veamos ahora una consecuencia muy importante del teorema de Tales:](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-156-320.jpg)
![146 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
6.3 El teorema fundamental de la geometr´ af´
ıa ın
Vamos a probar un teorema que muestra claramente el papel exacto que
juegan las biyecciones afines en el marco de la geometr´ af´ al menos en el
ıa ın,
caso de espacios reales. Se trata del siguiente:
Teorema 6.11 (Teorema fundamental de la geometr´ af´ Si E y E
ıa ın)
son dos espacios afines reales de la misma dimensi´n n ≥ 2 y f : E −→ E es
o
una biyecci´n que transforma puntos colineales en puntos colineales, entonces f
o
es una biyecci´n af´
o ın.
As´ pues, toda aplicaci´n que conserve la colinealidad conserva de hecho
ı o
todas las propiedades afines, es decir, todas las propiedades que se conservan
por biyecciones afines. En el cap´
ıtulo siguiente interpretaremos este hecho mos-
trando que toda la geometr´ af´ puede construirse a partir del mero concepto
ıa ın
de colinealidad.
Demostracion: Dividiremos la prueba en varios pasos.
´
1. Si A = {P0 , . . ., Pm } es un conjunto de puntos de E af´
ınmente indepen-
dientes, entonces f [ A ] ⊂ f [A] .
Lo probamos por inducci´n sobre m. Para m = 1 se trata de la hip´tesis.
o o
Supong´moslo cierto para conjuntos con m puntos y tomemos P ∈ A .
a
Usando coordenadas baric´ntricas tenemos
e
P = λ 0 P0 + · · · + λ m Pm , con λ0 + · · · + λm = 1.
Puesto que m ≥ 1 hay al menos un λi = 1. Supongamos por ejemplo que
se trata de λm . Entonces
P = (1 − λm )P + λm Pm ,
donde
1
P = (λ0 P0 + · · · + λm−1 Pm−1 ) ∈ P0 , . . ., Pm−1 .
1 − λm
Entonces f (P ) est´ en la recta f (P )f (Pm ) y f (P ) est´ en la variedad
a a
f (P0 ), . . ., f (Pm−1 ) por hip´tesis de inducci´n. As´ pues, f (P ) ∈ f [A] .
o o ı
2. Las im´genes por f de m + 1 puntos af´
a ınmente independientes son af´
ın-
mente independientes
Podemos completar el conjunto hasta un sistema de referencia af´ y su-
ın
poner, por lo tanto, que m = n. Si A es un conjunto de n + 1 puntos
ınmente independientes, por el apartado anterior E = f [ A ] ⊂ f [A] ,
af´
luego los puntos de f [A] han de ser independientes.
3. f transforma cada recta P Q en la recta f (P )f (Q).
La hip´tesis del teorema nos da una inclusi´n. Sea R un punto de
o o
f (P )f (Q). Como f es biyectiva R = f (R) para un cierto R. Si R no](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-158-320.jpg)
![6.3. El teorema fundamental de la geometr´ af´
ıa ın 147
estuviera en P Q entonces los puntos P, Q, R ser´ af´
ıan ınmente libres, luego
por el punto anterior lo mismo ocurrir´ con f (P ), f (Q), f (R), lo cual es
ıa
una contradicci´n.
o
4. f transforma rectas paralelas en rectas paralelas.
Sean P Q y P Q rectas paralelas distintas en E. Entonces los puntos
P, Q, P son af´ ınmente independientes y generan el plano que contiene a
las dos rectas. Por el paso 1 tenemos que f (P ), f (Q), f (P ) son af´
ınmente
independientes, luego generan un plano que contiene a f (Q ) por 2, luego
de hecho contiene a las rectas f [P Q] y f [P Q ]. Como f es biyectiva estas
rectas no tienen puntos comunes, luego son paralelas.
5. Para todos los puntos O, P, Q ∈ E, se cumple
−→
− −−−→
−−−
f (P + OQ) = f (P ) + f (O)f (Q).
−→
−
Sea R = P + OQ. Si O, P, Q no est´n alineados, lo mismo sucede con
a
f (P ), f (Q), f (R). Por el teorema 6.7 tenemos que R es la intersecci´n o
de la paralela a OP por Q y la paralela a OQ por P . Por consiguiente
f (R) es la intersecci´n de la paralela a f (O)f (P ) por f (Q) y la paralela a
o
f (O)f (Q) por f (P ). De nuevo por el teorema 6.7 podemos concluir que
−−−→
−−−
f (R) = f (O) + f (O)f (Q).
Si O, P, Q est´n contenidos en una recta r, tomamos una paralela cual-
a
quiera r y en ella un punto R . La paralela a OR por Q corta a r en un
−→
− −→
−
punto R = R + OQ y la paralela a P R por R corta a r en P + OQ = R.
Al aplicar f a todos estos puntos y rectas se conservan las relaciones de
−−−→
−−−
incidencia y paralelismo, luego tenemos que f (R ) = f (R ) + f (O)f (Q) y
−−−→
−−−
f (R) = f (P ) + f (O)f (Q).
R R r
✡❇
✡ ✡❇
✡
✡ ❇ ✡ ❇
✡ ❇ ✡ ❇
✡ ❇
❇ ✡ ❇ r
❇
O P Q R
6. Fijemos una recta r y sean O, A dos de sus puntos. Para cada α ∈ R sea
−→ −−−→ −−−→
−−− −−−
P = O + α OA y sea σ(α) = f (O)f (P )/f (O)f (A), Entonces σ : R −→ R
es un automorfismo de cuerpos.
La figura anterior ilustra que σ conserva la suma. En efecto, si suponemos
−→ −→ −→
P = O + α OA, Q = O + β OA, entonces R = R + β OA, y de aqu´ que ı
−→ − →
R = P + β OA = O + (α + β)OA.
−−−→
−−−
Por definici´n de σ tenemos que f (P ) = f (O) + σ(α) f (O)f (A), f (Q) =
o
−−−→
−−− −−−→
−−−
f (O) + σ(β) f (O)f (A), f (R) = f (O) + σ(α + β) f (O)f (A), y como f](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-159-320.jpg)
![150 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
Es claro que la aplicaci´n
o
Is(E) −→ O(E)
f → f
es un epimorfismo de grupos cuyo n´cleo es el grupo de las traslaciones T(E).
u
Definici´n 6.15 Sea E un espacio af´ eucl´
o ın ıdeo. Una biyecci´n f : A −→ B
o
entre dos subconjuntos de E es una semejanza de raz´n k 0 si para todo par
o
de puntos P, Q ∈ A se cumple
−−−→
−−− −
−→
f (P )f (Q) = k P Q .
Si existe una semejanza entre A y B se dice que son semejantes, y cada par
de puntos P , f (P ) correspondientes por una semejanza f se llaman puntos
hom´logos (respecto a f ).
o
Es claro que la inversa de una semejanza de raz´n k es una semejanza de
o
raz´n 1/k y que la composici´n de semejanzas es una semejanza de raz´n igual
o o o
al producto de las razones. Las semejanzas de raz´n 1 son las isometr´
o ıas
Notemos que dos tri´ngulos son semejantes en el sentido usual si y s´lo si lo
a o
son en el sentido general que acabamos de definir.
Es obvio que una homotecia de raz´n k es una semejanza de raz´n |k|. Por
o o
consiguiente, si f es una semejanza de raz´n k entre dos subconjuntos A y B
o
de un espacio af´ eucl´
ın ıdeo E, al componerla con una homotecia g de raz´n 1/k
o
obtenemos una semejanza de raz´n 1, es decir, una isometr´ Por el teorema
o ıa.
4.22, f ◦g se extiende a una isometr´ de E en s´ mismo, llam´mosla h. Entonces
ıa ı e
h ◦ g −1 es una semejanza de E en s´ mismo que extiende a f . Esto prueba el
ı
teorema siguiente:
Teorema 6.16 Toda semejanza de raz´n k entre dos subconjuntos de un espa-
o
cio af´ eucl´
ın ıdeo E se extiende a una semejanza de raz´n k de E en s´ mismo.
o ı
Toda semejanza de raz´n k de E en s´ mismo es una afinidad y se puede expresar
o ı
como composici´n de una isometr´ y una homotecia de raz´n k.
o ıa o
Definici´n 6.17 Llamaremos Sem(E) al grupo de las semejanzas de un espacio
o
af´ eucl´
ın ıdeo E en s´ mismo.
ı
Hemos probado que Sem(E) ≤ GA(E). La aplicaci´n que a cada semejanza
o
le asigna su raz´n es un epimorfismo de Sem(E) en ]0, +∞[ cuyo n´cleo es
o u
claramente Is(E).
Vamos a caracterizar las semejanzas en t´rminos de sus aplicaciones lineales
e
ıdeo, diremos que f ∈ GL(V ) es una
asociadas. Si V es un espacio vectorial eucl´
semejanza lineal de raz´n k 0 si f (v) = k v para todo v ∈ V . Llamaremos
o
Sem(V ) al grupo de las semejanzas lineales de V .
Es claro que una afinidad f es una semejanza si y s´lo si f es una semejanza
o
lineal. Tenemos, pues, un epimorfismo Sem(E) −→ Sem(E) cuyo n´cleo es el
u](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-162-320.jpg)
![6.5. Clasificaci´n de endomorfismos
o 157
el mismo espacio, sino una sola. Si f : M −→ M es un endomorfismo de un
modulo libre M y S, T son las matrices de f respecto a ciertas bases B y C,
el mismo razonamiento que cuando ten´ ıamos dos m´dulos nos da ahora que
o
T = P −1 SP , para cierta matriz regular P (P es la matriz del cambio de base
de B a C y P −1 es la matriz del cambio de base de C a B). Por ello definimos:
Definici´n 6.24 Sea A un anillo conmutativo y unitario. Diremos que dos
o
matrices S, T ∈ Matn (A) son semejantes si existe una matriz P ∈ GL(n, A) tal
que T = P −1 SP .
Es evidente que la semejanza de matrices es una relaci´n de equivalencia en
o
el conjunto Matn (A). Dos matrices de un mismo endomorfismo de A-m´dulos o
libres son semejantes, y si S es la matriz de un endomorfismo f y T es semejante
a S, entonces T es la matriz de f en otra base.
Dos matrices semejantes son equivalentes, pero el rec´
ıproco no es cierto. Por
ejemplo, si T = P −1 SP , tomando determinantes, |T | = |P |−1 |S| |P | = |S|, y
es f´cil encontrar matrices equivalentes con determinantes distintos, luego no
a
semejantes.
La idea fundamental en el estudio de un endomorfismo de un espacio V es
encontrarle subespacios invariantes, es decir, encontrar subespacios W tales que
h[W ] ⊂ W . Por ejemplo, si h es un giro en R3 (cuyo eje pasa por 0), podemos
encontrar dos subespacios invariantes: el plano de giro, donde h es un giro en
R2 , y el eje de giro, donde h es la identidad. La matriz de h ser´ la m´s simple
a a
si tomamos una base que tenga dos vectores en el plano de giro y el tercero en
el eje.
Para encontrar subespacios invariantes podemos valernos de la teor´ de ıa
m´dulos gracias al planteamiento siguiente: Sea V un espacio vectorial de di-
o
mensi´n finita sobre un cuerpo K. Entonces el conjunto EndK (V ) de todos los
o
endomorfismos de V tiene estructura de anillo (no conmutativo) con la suma
definida punto a punto: (f + g)(v) = f (v) + g(v) y tomando como producto
la composici´n de aplicaciones. Si h ∈ EndK (V ) definimos el homomorfismo
o
K[x] −→ EndK (V ) que a cada polinomio p(x) le asigna p(h). Notar que la
unidad de EndK (V ) es el endomorfismo identidad, por lo que la imagen del
polinomio 1 es dicha identidad.
Ahora definimos una operaci´n K[x] × V −→ V dada por p(x)v = p(h)(v).
o
As´ por ejemplo, xv = h(v), (x2 + 2)v = h h(v) + 2v, etc.
ı,
Es f´cil ver que V , con su suma de espacio vectorial y esta operaci´n, es un
a o
K[x]-m´dulo.
o
En resumen, hemos dotado a V de estructura de K[x]-m´dulo de modo que
o
la multiplicaci´n por elementos de K es la que ya ten´
o ıamos en V como espacio
vectorial y la multiplicaci´n por x consiste en aplicar h. Esto hace que los
o
subespacios invariantes que estamos buscando sean precisamente los subm´dulos
o
de V . El teorema siguiente recoge este hecho junto con los resultados que
garantizan que podemos aplicar los teoremas de estructura de m´dulos (notemos
o
que K[x] es un dominio eucl´ ıdeo).](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-169-320.jpg)
![158 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
Teorema 6.25 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita n sobre un
o
cuerpo K, sea h un endomorfismo de V . Entonces
1. V es un K[x]-m´dulo finitamente generado.
o
2. Sus subm´dulos son los subespacios vectoriales W tales que h[W ] ⊂ W .
o
3. El n´cleo N(h) es un subm´dulo de V .
u o
4. V es un m´dulo de torsi´n.
o o
Demostracion: 1) Notar que el producto de un polinomio constante por
´
un elemento de V es el producto dado de V como espacio vectorial. Por ello
una combinaci´n lineal con coeficientes en K tambi´n puede considerarse con
o e
coeficientes en K[x], luego una base de V como espacio vectorial es un generador
de V como m´dulo.
o
2) Si W es un subm´dulo de V , entonces la suma de elementos de W est´
o a
en W y el producto de un escalar por un elemento de W est´ en W , luego W es
a
un subespacio vectorial. M´s a´n, si v ∈ W , xv = h(v) ∈ W , luego h[W ] ⊂ W .
a u
Rec´ıprocamente, si W cumple estas condiciones entonces W es estable para
la suma y para el producto por escalares y por x, de donde f´cilmente se sigue
a
que W es estable para el producto por cualquier polinomio.
3) es consecuencia de 2).
4) Si v ∈ V , entonces los vectores v, xv, . . ., xn v han de estar repetidos o
ser linealmente dependientes, luego existen escalares no todos nulos tales que
t0 v + t1 xv + · · · + tn xn v = 0, o sea, (tn xn + · · · + t1 x + t0 )v = 0, luego v es un
elemento de torsi´n. o
Los teoremas de estructura de m´dulos nos garantizan ahora que V se des-
o
compone en la forma
V = v1 K[x] ⊕ · · · ⊕ vr K[x] ,
donde la notaci´n v k[x] representa al subm´dulo generado por v, (mientras
o o
que v representar´ al subespacio vectorial generado por v).
a
Nuestra intenci´n es describir h en t´rminos de su acci´n sobre estos sub-
o e o
m´dulos, que son subespacios invariantes donde la acci´n de h es la m´s simple
o o a
posible. Vamos a probar que la acci´n de h sobre cada vi K[x] est´ determinada
o a
por un polinomio.
Definici´n 6.26 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita y h un endo-
o o
morfismo de V . Para cada v ∈ V llamaremos polinomio m´ ınimo de v (pol m´ v)
ın
a o(v), es decir, al polinomio que divide a todos los polinomios que anulan a
v. En principio pol m´ v est´ determinado salvo unidades, pero es unico si lo
ın a ´
tomamos m´nico.
o
Veamos en primer lugar que pol m´ v determina la dimensi´n como espacio
ın o
vectorial del subm´dulo generado por v.
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-170-320.jpg)
![6.5. Clasificaci´n de endomorfismos
o 159
Teorema 6.27 Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial de dimensi´n o
finita n. Sea h un endomorfismo de V . Entonces dim v k[x] = grad pol m´ v.
ın
Demostracion: Sea p(x) = pol m´ v y sea m su grado. Un elemento
´ ın
cualquiera de v k[x] es de la forma q(x)v con q(x) ∈ K[x].
Dividamos q(x) = c(x)p(x) + r(x), con grad r(x) m. Entonces
q(x)v = c(x)(p(x)v) + r(x)v = c(x)0 + r(x)v = r(x)v, (6.2)
que es combinaci´n lineal de v, xv, . . ., xm−1 v.
o
Estos vectores han de ser distintos y linealmente independientes, pues lo
contrario significa que hay un polinomio q(x) = 0 y de grado a lo sumo m − 1
tal que q(x)v = 0, pero entonces p(x) | q(x), lo cual es imposible seg´n los
u
grados. Por lo tanto v, xv, . . ., xm−1 v es una base de v k[x] como espacio
vectorial.
Ahora ya estamos en condiciones de caracterizar la acci´n de h sobre un
o
subm´dulo mon´geno:
o o
Teorema 6.28 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita
o
y h un endomorfismo de V . Son equivalentes:
n
1. Existe un v ∈ V tal que V = v k[x] y pol m´ v =
ın ai xi (con an = 1).
i=0
2. dimK V = n y existe una base de V en la cual la matriz de h es
0 1
.. ..
. .
.. ..
. .
0 1
−a0 −a1 · · · −an−2 −an−1
Demostracion: 2) equivale a que exista una base {v0 , . . ., vn−1 } de V de
´
n−1
manera que h(vi ) = vi+1 para i = 0, . . ., n − 2 y h(vn−1 ) = − ai vi .
i=0
Si se cumple 1), entonces {v, xv, . . ., xn−1 v} es una base que cumple 2).
Si {v0 , . . ., vn−1 } cumple 2), entonces con v = v0 se cumple que vi = xi v0 ,
n−1 n
as´ como que xn v = −
ı ai xi v, es decir, p(x) = ai xi cumple p(x)v = 0,
i=0 i=0
luego es un m´ltiplo del polinomio m´
u ınimo de v, pero por otro lado es obvio que
V = v k[x] , luego el grado del polinomio m´ ınimo de v ha de ser n = grad p(x).
As´ pues, p(x) = pol m´ v.
ı ın
En el caso general en que V no es necesariamente mon´geno, la descom-
o
posici´n (6.2) nos permite obtener una descripci´n de h a partir de su acci´n
o o o
sobre cada subespacio. Antes de entrar en ello debemos tener en cuenta que](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-171-320.jpg)
![160 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
los teoremas de estructura de m´dulos nos garantizan que los generadores vi
o
se pueden escoger de modo que sus polinomios m´ ınimos pi sean potencias de
primo o bien de modo que cada uno divida al siguiente. Lo m´s importante
a
es que, si los escogemos as´ dichos polinomios m´
ı, ınimos est´n completamente
a
determinados por V (luego por h) y se llaman divisores elementales en el primer
caso y factores invariantes en el segundo.
Definici´n 6.29 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita y h un en-
o o
domorfismo de V . Entonces tenemos que V es un K[x]-m´dulo de torsi´n fi-
o o
nitamente generado y K[x] es un dominio eucl´ ıdeo. Llamaremos divisores ele-
mentales y factores invariantes de h a los de V como m´dulo.
o
Si p(x) es el ultimo factor invariante, entonces p(x) es m´ltiplo de los poli-
´ u
nomios m´ ınimos de todos los generadores, luego p(x) los anula a todos, y con
ellos a todos los elementos de V . Es decir, p(x)v = p(h)(v) = 0 para todo vector
v, o sea, p(h) = 0.
A este ultimo factor invariante se le llama polinomio m´
ınimo de h (pol m´ h).
ın
Notar que si p(x) cumple p(h) = 0, en particular p(x) anula al generador
del subm´dulo asociado al ultimo factor invariante, luego pol m´ h | p(x). As´
o ´ ın ı
pues, el polinomio m´ ınimo de h es el menor polinomio que anula a h.
Teorema 6.30 Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial de dimensi´n o
finita n. Sea h un endomorfismo de V . Las afirmaciones siguientes son equiva-
lentes:
1. Los factores invariantes (o divisores elementales) de h son p1 , . . . , pr .
2. Los polinomios p1 , . . ., pr cumplen pi | pi+1 (o que cada pi es potencia de
primo) y, en una cierta base, la matriz de h es de la forma
M1
M2
..
.
Mr
donde cada Mi es la matriz asociada a pi seg´n el teorema 6.28.
u
Demostracion: Consideramos una descomposici´n de V de tipo (6.2) de
´ o
modo que los polinomios m´ ınimos de los generadores sean los factores invariantes
o los divisores elementales. Como los subm´dulos son subespacios invariantes,
o
la restricci´n de h a cada uno de ellos es un endomorfismo y podemos aplicar el
o
teorema 6.28 para obtener una base de cada uno de ellos de modo que la matriz
de la restricci´n de h sea la indicada, o sea, la Mi del enunciado. La uni´n de
o o
las bases de los sumandos directos forma una base de V y es claro que la matriz
de h en esta base es la indicada.
Rec´ıprocamente, si la matriz de h en una base es de la forma indicada,
podemos expresar V como suma directa de los subespacios generados por los](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-172-320.jpg)
![6.5. Clasificaci´n de endomorfismos
o 161
vectores de la base correspondientes a cada una de las cajas Mi de la matriz. Es
claro que estos subespacios son invariantes y que Mi es la matriz de la restricci´n
o
de h al subespacio i-´simo. Por el teorema 6.28, cada uno de estos subespacios
e
est´ generado por un vi cuyo polinomio m´
a ınimo es pi . Por la unicidad concluimos
que los pi son los factores invariantes o los divisores elementales de h.
Las matrices de la forma descrita en el teorema anterior son formas can´nicas
o
para la relaci´n de semejanza. En efecto, si A ∈ Matn (K) y V es cualquier K-
o
espacio vectorial de dimensi´n n, entonces A es la matriz de un endomorfismo
o
h de V en una base cualquiera de V , pero en otra base h tiene una matriz de
la forma del teorema anterior (con factores invariantes), luego A es semejante a
una matriz de este tipo.
Por otra parte, si A y B son matrices del tipo del teorema anterior (con
factores invariantes) y son semejantes, entonces son matrices de un mismo en-
domorfismo h de V , y por la unicidad de los factores invariantes se ha de cumplir
que A = B.
Para divisores elementales se cumple lo mismo salvo por el hecho de que
los factores invariantes est´n ordenados por la divisibilidad, mientras que los
a
divisores elementales no est´n ordenados de ning´n modo, luego las matrices
a u
que resultan de cambiar el orden de las cajas (con divisores elementales) son
semejantes entre s´ sin dejar de ser del tipo del teorema 6.30.
ı
Definici´n 6.31 Si K es un cuerpo y A ∈ Matn (K), llamaremos 1a forma
o ¯
can´nica de A (respectivamente, 2a forma can´nica) a la unica matriz del tipo
o ¯ o ´
indicado en el teorema 6.30 para factores invariantes (respectivamente para
divisores elementales, con la consiguiente p´rdida parcial de unicidad) que es
e
semejante a la matriz A.
De este modo, dos matrices son semejantes si y s´lo si sus formas can´nicas
o o
son iguales. Los teoremas siguientes nos permiten calcular la forma can´nica de
o
cualquier matriz.
Teorema 6.32 Sea K un cuerpo y A ∈ Matn (K) una matriz del tipo del teo-
rema 6.28 para el polinomio m´nico p(x). Entonces los factores invariantes (los
o
construidos en el teorema 6.23) de la matriz xIn − A ∈ Matn (K[x]) son todos
iguales a 1 excepto el ultimo, que es p(x).
´
n
Demostracion: Sea p(x) =
´ ai xi , con an = 1. La matriz xIn − A es
i=0
x −1
x −1
.. ..
. .
.. ..
. .
x −1
a0 a1 a2 · · · an−2 an−1 + x](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-173-320.jpg)
![162 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
Sumamos a la primera columna la segunda multiplicada por x, la tercera
multiplicada por x2 , etc. Luego a la segunda columna le sumamos la tercera
multiplicada por x, la cuarta multiplicada por x2 , etc. y as´ sucesivamente. El
ı
resultado es:
0 −1
.. ..
. .
−1
n
n
ai xi ai xi · · · an−1 + x
i=0 i=1
Sumando a la fila n-sima la i-´sima multiplicada por el coeficiente adecuado
e
queda:
0 −1
.. ..
. .
..
. −1
n
ai xi 0 · · · 0
i=0
Finalmente multiplicamos todas las filas salvo la ultima por −1 y reordena-
´
mos las columnas, con lo que llegamos a la forma can´nica de la matriz:
o
1
..
.
1
n
i
ai x
i=0
Teorema 6.33 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita
o
a
n y h un endomorfismo de V . Sea A la matriz de h en 1¯ forma can´nica. o
Entonces los factores invariantes de h son los factores invariantes no unitarios
de la matriz xIn − A.
Demostracion: Por comodidad llamaremos [A1 , . . ., Ar ] a la matriz for-
´
mada por las cajas A1 , . . ., Ar situadas sobre su diagonal. Sean p1 , . . ., pr los
factores invariantes de h. Entonces xIn − A = [M1 , . . ., Mr ], donde cada Mi
tiene forma indicada en el teorema 6.28 para el polinomio pi .
Por el teorema anterior Mi es equivalente a una matriz diagonal de la forma
Ni = [1, . . ., 1, pi ]. Por lo tanto existen matrices Pi , Qi ∈ GLn (K[x]) tales que
Pi Mi Qi = Ni .
Sean P = [P1 , . . ., Pr ] y Q = [Q1 , . . ., Qr ]. Es f´cil ver que P y Q son
a
regulares, as´ como que
ı
P (xIn − A)Q = [P1 M1 Q1 , . . .Pr Mr Qr ] = [N1 , . . ., Nr ]
= [1, . . ., 1, p1 , . . ., 1, . . ., 1, pr ],
luego la forma can´nica de xIn − A es [1, . . ., 1, p1 , . . ., pr ].
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-174-320.jpg)
![6.5. Clasificaci´n de endomorfismos
o 163
El resultado definitivo es el siguiente:
Teorema 6.34 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita
o
n y h un endomorfismo de V . Sea A la matriz de h en cualquier base. Entonces
los factores invariantes de h son los factores invariantes no unitarios de la
matriz xIn − A.
Demostracion: Sea B la matriz de h en 1a forma can´nica. Como A y B
´
¯ o
son matrices de h, son semejantes, es decir, existe una matriz P ∈ GLn (K) tal
que B = P −1 AP . Entonces
P −1 (xIn − A)P = xP −1 In P − P −1 AP = xIn − B.
Por lo tanto, las matrices xIn − A y xIn − B son equivalentes, luego tienen los
mismos factores invariantes y, por el teorema anterior, los no unitarios son los
factores invariantes de h.
Definici´n 6.35 Sea K un cuerpo y A ∈ Matn (K). Llamaremos factores in-
o
variantes de A a los factores invariantes de xIn − A (en el sentido de 6.23).
Hemos demostrado que los factores invariantes de un endomorfismo son los
factores invariantes no unitarios de cualquiera de sus matrices.
Tambi´n es obvio ahora que dos matrices son semejantes si y s´lo si tienen
e o
los mismos factores invariantes (si tienen los mismos factores invariantes tienen
la misma forma can´nica).
o
Observar que en principio tenemos dos definiciones de factores invariantes
de una matriz de Matn (K), la dada en el teorema 6.23 y la que acabamos de
dar, pero sucede que la definici´n seg´n el teorema 6.23 no tiene inter´s para
o u e
matrices sobre un cuerpo, ya que todos los factores invariantes en este sentido
son iguales a 1. Lo unico que interesa es su n´mero, o sea, el rango.
´ u
Los factores invariantes de una matriz A se calculan sin dificultad mediante
el algoritmo dado en el teorema 6.23.
Los divisores elementales se calculan descomponiendo los factores invariantes
en potencias de primos.
Llamaremos polinomio m´ ınimo de una matriz A a su ultimo factor inva-
´
riante. As´ si A es la matriz de un endomorfismo h, se cumple que pol m´ A =
ı, ın
pol m´ h. Dado el isomorfismo entre endomorfismos y matrices, es claro que si
ın
p(x) = pol m´ A, entonces p(A) = 0, y si q(x) ∈ K[x], entonces q(A) = 0 si y
ın
s´lo si p(x) | q(x).
o
Ejemplo Vamos a calcular los factores invariantes de la matriz
8 2 10 −6
12 6 20 −12
A= 2 3
7 −4
13 9 25 −15](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-175-320.jpg)
![166 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
n
Es f´cil ver que en este caso |xIn − A| =
a ai xi (basta desarrollar el deter-
i=0
minante por la primera columna).
Ahora, si una matriz A est´ formada por dos cajas (A = [M, N ] con la
a
notaci´n del teorema 6.33) es f´cil ver que [M, N ] = [M, I][I, N ], donde I re-
o a
presenta en cada caso a la matriz identidad de las dimensiones adecuadas. Por
lo tanto |A| = [M, I] [I, N ] = |M | |N |. De aqu´ se sigue en general que
ı
[M1 , . . ., Mr ] = |M1 | · · · |Mr |.
Si A es una 1a forma can´nica, entonces A = [M1 , . . ., Mr ], donde las matri-
¯ o
ces Mi son del tipo del teorema 6.28 para cada factor invariante de A.
Entonces xIn − A = [xI − M1 , . . ., xI − Mr ], luego
pol car A = |xI − M1 | · · · |xI − Mr |.
Por el caso particular ya probado estos factores son los factores invariantes de
A, luego el teorema es cierto para formas can´nicas.
o
Finalmente, si A es cualquier matriz, su polinomio caracter´
ıstico es el mismo
que el de su 1a forma can´nica, que es el producto de sus factores invariantes,
¯ o
que son tambi´n los factores invariantes de A.
e
Una consecuencia es el llamado teorema de Cayley, seg´n el cual toda matriz
u
es ra´ de su polinomio caracter´
ız ıstico (porque ´ste es un m´ltiplo de su polinomio
e u
m´ınimo).
Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracter´ ıstico, aunque el
rec´ıproco no es cierto, pues el polinomio caracter´ ıstico no determina los factores
invariantes o los divisores elementales.
Por ejemplo, sabiendo que pol car A = (x − 2)2 (x − 1)2 , los invariantes de A
podr´ ser:
ıan
Factores invariantes Divisores elementales
(x − 2) (x − 1)
2 2
(x − 2)2 , (x − 1)2
x − 2, (x − 2)(x − 1)2 x − 2, x − 2(x − 1)2
x − 1, (x − 2)2 (x − 1) x − 1, x − 1, (x − 2)2
(x − 2)(x − 1), (x − 2)(x − 1) x − 2, x − 2, x − 1, x − 1
Los coeficientes del polinomio caracter´ ıstico p(x) de una matriz A son inva-
riantes por semejanza. El primero y el ultimo de estos coeficientes (aparte del
´
director, que es igual a 1) son especialmente simples.
El t´rmino independiente es p(0) = |0In − A| = | − A| = (−1)n |A|. De
e
aqu´ se sigue algo que ya sab´
ı ıamos: que las matrices semejantes tienen el mismo
determinante.
Para calcular el coeficiente de xn−1 observamos que, seg´n la definici´n de
u o
determinante, uno de los sumandos de p(x) es
(x − a11 ) · · · (x − ann ) = xn − (a11 + · · · + ann )xn−1 + · · ·
y ning´n otro sumando tiene monomios de grado n − 1.
u
As´ pues, el coeficiente de grado n − 1 de p(x) es −(a11 + · · · + ann ).
ı](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-178-320.jpg)
![168 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
Como el polinomio caracter´ ıstico es el producto de los divisores elementales,
los valores propios son las ra´
ıces de los divisores elementales. Como ´stos son
e
potencias de irreducibles, es obvio que α es un valor propio de h si y s´lo o
si uno de los divisores elementales de h tiene la forma (x − α)e . El teorema
siguiente muestra exactamente la relaci´n entre los valores propios y los divisores
o
elementales.
Teorema 6.40 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n fi- o
nita y h un endomorfismo de V . Sea V = v1 k[x] ⊕ · · · ⊕ vr k[x] la descom-
posici´n de V en subm´dulos asociada a los divisores elementales, es decir, tal
o o
que pol m´ vi = pi (x)ei con pi (x) irreducible. Sea α ∈ K un valor propio de h
ın
y supongamos que pi = x − α para i = 1, . . ., s. Entonces:
1. S(h, α) = (x − a)e1 −1 v1 , . . ., (x − α)es −1 vs k
.
2. dim S(h, α) = s.
Si α1 , . . ., αt son todos los valores propios de h, entonces se tiene la suma directa
S = S(h, α1 ) ⊕ · · · ⊕ S(h, αt ).
Al espacio S se le llama espacio fundamental de h.
Demostracion: Un vector v = 0 es propio con valor propio α si y s´lo si
´ o
(x−α)v = 0, luego es inmediato que los vectores (x−α)e1 −1 v1 , . . ., (x−α)es −1 vs
est´n en §(h, α). Por lo tanto tenemos la inclusi´n
a o
(x − α)e1 −1 v1 , . . ., (x − α)es −1 vs k
≤ S(h, α).
Veamos ahora la otra inclusi´n. Si v ∈ S(h, α), por la descomposici´n de V
o o
tenemos en principio que v = f1 (x)v1 + · · · + fr (x)vr para ciertos polinomios
fi (x). Seg´n el teorema 6.27 podemos exigir que grad fi (x) ei .
u
Como v es un vector propio, se cumple que (x − α)v = 0, o sea,
(x − α)f1 (x)v1 + · · · + (x − α)fr (x)vr = 0.
Como la suma es directa cada sumando es nulo y, por definici´n de polinomio
o
m´ınimo, resulta que pi (x)ei | (x − α)fi (x) para i = 1, . . ., r.
Si i s tenemos que pi (x) = x − α, luego pi (x)ei | fi (x) y as´ fi (x)vi = 0,
ı
con lo que la expresi´n de v se reduce a
o
v = f1 (x)v1 + · · · + fs (x)vs .
Para i ≤ s tenemos que (x − α)ei | (x − α)fi (x), de donde (x − α)ei −1 | fi (x),
es decir, fi (x) = qi (x)(x − α)ei −1 , pero tenemos tambi´n que grad fi (x) ei ,
e
luego la unica posibilidad para qi (x) es que sea una constante qi ∈ K. Con esto
´
la expresi´n de v queda en
o
v = q1 (x − α)e1 −1 v1 + · · · + qs (x − α)es −1 vs ,
lo que prueba la igualdad.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-180-320.jpg)
![6.5. Clasificaci´n de endomorfismos
o 169
Estos generadores son independientes, pues cada uno est´ contenido en un
a
sumando directo distinto. Por la misma raz´n los distintos espacios fundamen-
o
tales tienen suma directa, pues est´n contenidos en sumandos directos distintos
a
(los correspondientes a los divisores elementales con ra´ el valor propio corres-
ız
pondiente).
La matriz A de los ejemplos anteriores tiene divisores elementales x − 2,
x − 2 y (x − 1)2 , por lo que el teorema anterior nos da que dim S(h, 2) = 2 y
dim S(h, 1) = 1 (como ya hab´ ıamos comprobado).
Consideremos por ultimo el caso en que V es un espacio vectorial eucl´
´ ıdeo.
En estos espacios conviene trabajar unicamente con bases ortonormales. Esto
´
nos obliga a restringir como sigue la relaci´n de semejanza:
o
Definici´n 6.41 Diremos que dos matrices S, T ∈ Matn (R) son congruentes
o
si existe una matriz P ∈ O(n) tal que T = P −1 SP .
La interpretaci´n de esta relaci´n es sencilla. Supongamos que S y T son
o o
dos matrices de un mismo endomorfismo h en dos bases ortonormales B y C.
Entonces sabemos que T = P −1 SP , donde P es la matriz de cambio de base
entre B y C o, en otros t´rminos, la matriz de la identidad en Rn respecto de
e
las bases B y C. Ahora bien, como la identidad es una isometr´ y las bases son
ıa
ortonormales, sabemos que P ha de ser una matriz ortogonal, luego S y T son
congruentes. Rec´ ıprocamente, si S es la matriz de h en una base ortonormal y
T es una matriz congruente con S, entonces existe una base ortonormal de V
respecto a la cual la matriz de h es T .
La teor´ anterior no es aplicable directamente a este contexto, pues las
ıa
formas can´nicas de una matriz dada no son necesariamente congruentes con
o
ella, luego no nos sirven como formas can´nicas para la congruencia. En lugar
o
de obtener resultados gen´ricos sobre endomorfismos vamos a restringirnos a
e
isometr´ pues la situaci´n se simplifica considerablemente y, al fin y al cabo,
ıas, o
es lo unico que vamos a necesitar. La clave la proporciona el teorema siguiente:
´
Teorema 6.42 Sea A una matriz ortogonal. Entonces las ra´
ıces complejas del
polinomio m´
ınimo de A son simples y de m´dulo 1.
o
Demostracion: Vamos a considerar V = Cn como C-espacio vectorial y
´
h : V −→ V el isomorfismo definido por A en la base can´nica. As´ h(v) = vA.
o ı,
Veamos ante todo que el polinomio m´ ınimo de A es el mismo tanto si la
consideramos como matriz real o como matriz compleja. Sea p(x) el polinomio
m´ınimo real y q(x) el polinomio m´ ınimo complejo. Como p(A) = 0 es claro que
q(x) | p(x) (el rec´
ıproco no vale porque p(x) divide a todos los polinomios reales
que anulan a A). Descomponemos q(x) = q1 (x)+q2 (x)i, con q1 (x), q2 (x) ∈ R[x].
Como q(A) = q1 (A) + q2 (A)i = 0, ha de ser q1 (A) = q2 (A) = 0, luego p(x)
divide a ambos, luego p(x) | q(x).
Sea α una ra´ del polinomio m´
ız ınimo de A. Entonces es un valor propio,
luego existe un v ∈ V no nulo tal que vA = αv. Trasponiendo y conjugando esta
ecuaci´n obtenemos At v t = αv t y v A = αv , donde v es el vector que resulta de
o ¯ ¯¯ ¯](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-181-320.jpg)
![170 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
conjugar cada coordenada de v. La matriz A no necesita ser conjugada porque
sus coeficientes son reales. La linealidad de la conjugaci´n hace que la igualdad
o
siga siendo cierta.
Ahora multiplicamos las ecuaciones: v AAt v t = ααv v t , y como A es ortogo-
¯ ¯¯
nal la expresi´n se reduce a v v t = |α|2 v v t .
o ¯ ¯
Pero v v t es la suma de los cuadrados de los m´dulos de las coordenadas de
¯ o
v. Como v no es nulo, v v t = 0, luego |α|2 = 1 y as´ |α| = 1.
¯ ı,
Supongamos que el polinomio m´ ınimo tiene una ra´ m´ltiple α. Entonces
ız u
un divisor elemental de A es de la forma (x − α)r con r ≥ 2. Sea v ∈ V tal que
su polinomio m´ ınimo sea (x − α)r y sea u = (x − α)r−2 . Entonces (x − α)u = 0,
pero (x − α) u = 0.
2
En otros t´rminos, si w = (x − α)u, tenemos que w = 0 pero (x − α)w = 0,
e
o tambi´n:
e
w = uA − αu = 0 y wA = αw.
Despejamos en la primera ecuaci´n y trasponemos: At ut = wt + αut , con-
o
jugamos la segunda: wA = αw, las multiplicamos: wAAt ut = αwwt + ααwut ,
¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯¯
aplicamos que A es ortogonal y que α tiene m´dulo 1, con lo que llegamos a
o
wut = αwwt + wut .
¯ ¯¯ ¯
O sea, αwwt = 0, de donde wwt = 0, pero wt es la suma de los cuadrados
¯¯ ¯
de los m´dulos de las coordenadas de w = 0, luego no puede ser cero.
o
As´ pues, los factores irreducibles (en R[x]) del polinomio m´
ı ınimo de una
matriz ortogonal han de ser o bien x − 1, o bien x + 1, o bien de la forma
x − (cos θ + i sen θ) x − (cos θ − i sen θ) = x2 − 2 cos θx + 1,
para un cierto θ ∈ ]0, π[ (aqu´ es esencial la clausura algebraica de C). Adem´s
ı a
han de ser distintos dos a dos. Los divisores elementales dividen al polinomio
m´ınimo, luego han de tener todos exponente 1, es decir, han de ser irreducibles.
El polinomio caracter´ ıstico es el producto de los divisores elementales, luego
´stos son precisamente los factores irreducibles del polinomio caracter´
e ıstico,
luego el polinomio caracter´ ıstico de una matriz ortogonal determina los divi-
sores elementales y consecuentemente tambi´n los factores invariantes.
e
Ejemplo Consideremos la matriz
1/9 −4/9 8/9
B = −4/9 7/9 4/9
8/9 4/9 1/9
Es f´cil comprobar que se trata de una matriz ortogonal. Podr´
a ıamos calcular
sus factores invariantes con el algoritmo que conocemos, pero no es necesario.
Basta calcular el polinomio caracter´ıstico, que resulta ser (x + 1)(x − 1)2 . Como
sabemos que los divisores elementales son irreducibles, han de ser x + 1, x − 1
y x − 1, de donde los factores invariantes son x − 1 y (x + 1)(x − 1).
Esto significa que dos matrices ortogonales son semejantes si y s´lo si tienen
o
el mismo polinomio caracter´
ıstico, pero vamos a probar que de hecho en tal caso
son congruentes (con lo que la semejanza equivaldr´ a la congruencia).
a](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-182-320.jpg)
![6.5. Clasificaci´n de endomorfismos
o 171
Teorema 6.43 Sea V un espacio vectorial eucl´ ıdeo y h : V −→ V una iso-
metr´ con divisores elementales p1 , . . ., pr . Entonces V admite una descompo-
ıa
sici´n de la forma
o
V = v1 k[x] ⊥ · · · ⊥ vr k[x] ,
donde pol m´ vi = pi .
ın
Demostracion: Vamos a probar por inducci´n sobre la dimensi´n de V
´ o o
que existe una descomposici´n como la indicada de modo que los polinomios
o
m´ınimos de los generadores son irreducibles (sin afirmar que sean los divisores
elementales de h). Esto implica inmediatamente el teorema por la unicidad de
los divisores elementales.
Si la dimensi´n de V es 1 es evidente.
o
Sea p un divisor elemental de h y sea v ∈ V tal que pol m´ v = p. Sea
ın
W = v k[x] . Entonces V = W ⊥ W ⊥ . Tenemos que W es invariante y como h
es biyectiva de hecho h[W ] = W . Puesto que h conserva el producto escalar, es
claro que h[W ⊥ ] = h[W ]⊥ = W ⊥ , luego podemos restringir h a una isometr´ ıa
de W ⊥ y aplicar la hip´tesis de inducci´n.
o o
Si tomamos una base ortonormal de cada uno de los subespacios de la des-
composici´n del teorema anterior, su uni´n nos da una base ortonormal de V
o o
en la cual la matriz de h est´ formada por cajas [M1 , . . ., Mr ], donde Mi es la
a
matriz de la restricci´n de h al subespacio i-´simo.
o e
Como los divisores elementales tienen grado 1 o 2, ´stas son las dimensiones
e
de las cajas. Si pi = x − 1 podemos tomar como base el vector vi y, puesto que
h(vi ) = vi , la caja correspondiente es un 1.
Si pi = x + 1 tomamos igualmente la base vi y ahora h(vi ) = −vi , luego la
caja es un −1.
Si pi = x2 −2cosθx+1, entonces la caja Mi es una matriz de O(2) cuyo unico
´
divisor elemental (luego tambi´n su unico factor invariante, luego su polinomio
e ´
caracter´ıstico) es pi , luego su determinante es el t´rmino independiente 1 y su
e
traza es 2cosθ. Estas condiciones determinan completamente la matriz. En
efecto, dada una matriz cualquiera
a b
A= ,
c d
la ecuaci´n AAt = I implica a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. La
o
ecuaci´n At A = I nos da tambi´n a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1, de donde se sigue
o e
inmediatamente c = ±b y d = ±a. La ecuaci´n ac + bd = 0 implica que los
o
signos han de ser distintos, es decir, d = ±a y c = ∓b. Si exigimos que el
determinante sea 1, es decir, ad − bc = 1, llegamos a que d = a y c = −b. La
matriz es, por lo tanto,
a b
A= .
−b a
Al considerar la traza vemos que a = cos θ y la ecuaci´n a2 + b2 = 1 implica
o
que b = ± sen θ. Cambiando el signo al segundo vector de la base si es preciso,](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-183-320.jpg)
![172 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
podemos exigir que b = sen θ. En definitiva obtenemos la matriz
cos θ sen θ
Mθ =
− sen θ cos θ
que definimos en el cap´
ıtulo IV y que corresponde al giro de angulo θ. Vamos a
´
recoger lo que hemos obtenido.
Definici´n 6.44 Diremos que una matriz ortogonal est´ en forma can´nica si
o a o
es de la forma [M1 , . . ., Mr ], donde cada caja Mi es ±1 o bien Mθ , para un
´ngulo θ ∈ ]0, π[.
a
Hemos probado que toda isometr´ admite en una cierta base ortonormal una
ıa
matriz en forma can´nica con tantas cajas iguales a 1 como divisores elementales
o
iguales a x − 1, tantas cajas iguales a −1 como divisores elementales iguales a
x + 1 y tantas cajas de la forma Mθ como divisores elementales de la forma
x2 − 2cosθx + 1 (para θ ∈ ]0, π[).
El hecho de que las cajas est´n determinadas por (y de hecho determinen)
e
los divisores elementales implica que dos formas can´nicas no son congruentes
o
(salvo que se diferencien en una permutaci´n de las cajas).
o
Si a esto a˜adimos que los divisores elementales est´n determinados por el
n a
polinomio caracter´ ıstico, concluimos:
Teorema 6.45 Dos matrices ortogonales son congruentes si y s´lo si son se-
o
mejantes, si y s´lo si tienen el mismo polinomio caracter´stico.
o ı
Dedicamos la secci´n siguiente a interpretar geom´tricamente estos hechos.
o e
6.6 Clasificaci´n de isometr´
o ıas
Los resultados de la secci´n anterior contienen esencialmente la clasificaci´n
o o
de las isometr´ (afines) con un punto fijo, pues ´sta se reduce a estudiar la iso-
ıas e
metr´ lineal asociada. El teorema siguiente nos reduce a este caso el problema
ıa
general.
Teorema 6.46 Sea E un espacio af´ eucl´
ın ıdeo y f ∈ Is(E). Entonces f se
descompone de forma unica como f = g ◦ Tv , donde g es una isometr´ con un
´ ıa
conjunto no vac´ G de puntos fijos y v ∈ G. Adem´s en tal caso G = S(f , 1)
ıo a
y f = Tv ◦ g.
Demostracion: Probemos primero la unicidad. Dada una descomposici´n
´ o
f = g◦Tv en las condiciones del enunciado, es claro que f = g, luego tenemos que
G = S(g, 1) = S(f , 1). Si P es un punto fijo de g se cumple que f (P ) = P + v,
−−→
−−
luego P f (P ) = v ∈ S(f , 1).
Si f = g ◦ Tv es otra descomposici´n en las condiciones del enunciado y P
o
−− −
− −→
es un punto fijo de g , tendremos igualmente que P f (P ) = v ∈ S(f , 1). Un
simple c´lculo nos da
a
−→
− −→
−
v − v = P P − f (P P ) ∈ S(f , 1) ∩ Im(f − 1).](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-184-320.jpg)
![6.6. Clasificaci´n de isometr´
o ıas 173
Si probamos que E = S(f , 1) ⊥ Im(f − 1) tendremos que v = v , luego
tambi´n g = g .
e
Notar que S(f , 1) es el n´cleo de f − 1, luego basta probar que los dos
u
espacios son ortogonales y por las dimensiones su suma ser´ todo E. Ahora
a
bien, dados x ∈ S(f , 1) e y = f (z) − z ∈ Im(f − 1), se cumple
xy = xf (z) − xz = f (x)f (z) − xz = xz − xz = 0,
pues f conserva el producto escalar.
Para probar la existencia fijamos un punto O arbitrario y descomponemos
−−→
−−
Of (O) = v + f (w) − w,
con v ∈ S(f , 1) y f (w) − w ∈ Im(f − 1) (usando la descomposici´n de E que
o
acabamos de obtener). Entonces, para todo punto P se cumple
−−→ −
−− −→ −−→ −− −
−→ −
−→
P f (P ) = P O + Of (O) + f (OP ) = v + (f − 1)(w + OP ).
−→
En particular, si tomamos A de modo que OA = −w la f´rmula anterior se
o
−−→
−−
reduce a Af (A) = v ∈ S(f , 1). Equivalentemente, f (A) = A + v.
Definimos g = f ◦ T−v . As´ g es ciertamente una isometr´ se cumple
ı ıa,
f = g ◦ Tv y adem´s g(A) = f (A) − v = A, luego el conjunto G de sus puntos
a
fijos es no vac´ M´s a´n, es claro que G = S(g, 1) = S(f , 1) y por consiguiente
ıo. a u
v ∈ G.
Por ultimo, se cumple que f = Tv ◦ g porque para todo punto P tenemos
´
g(P + v) = g(P ) + g(v) = g(P ) + f (v) = g(P ) + v = f (P ).
Un par de observaciones complementarias: en el teorema anterior se cumplir´ a
v = 0 si y s´lo si f tiene un punto fijo. Por el teorema 6.2, si f no tiene puntos
o
fijos entonces dim G ≥ 1.
Existen tres clases b´sicas de isometr´
a ıas: las traslaciones, los giros y las
simetr´ Ya conocemos las primeras y parcialmente los giros. Vamos a analizar
ıas.
con m´s detalle los giros y las simetr´ y despu´s veremos en qu´ sentido se
a ıas e e
reducen a estos tres tipos las isometr´ arbitrarias.
ıas
Definici´n 6.47 Una isometr´ f de un espacio af´ eucl´
o ıa ın ıdeo es un giro de
a
´ngulo θ si tiene un punto fijo y la forma can´nica de f es [Mθ , 1, . . ., 1], donde
o
cos θ sen θ
Mθ = .
− sen θ cos θ
Observamos que Mθ es la identidad si y s´lo si θ es m´ltiplo de 2π, en cuyo
o u
caso f es la identidad. Exceptuado este caso, si el espacio E tiene dimensi´n n,
o
el espacio fundamental S(f , 1) tiene dimensi´n n − 2, luego f tiene una variedad
o
G de puntos fijos de dimensi´n n − 2.
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-185-320.jpg)
![174 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
Si E es un plano, entonces G se reduce a un punto O y f es un giro de
a
´ngulo θ alrededor de O en el sentido que ya discutimos en el cap´ıtulo IV. El
punto O se llama centro del giro. Recordemos que hay dos giros de angulo θ
´
con un mismo centro O, que sobre un mismo sistema de referencia de origen O
se corresponden con las matrices M±θ (de modo que al cambiar el signo de un
vector de la base el giro de matriz Mθ pasa a tener matriz M−θ y viceversa).
Si la dimensi´n de E es 3 entonces la variedad de puntos fijos de un giro f
o
distinto de la identidad es una recta r llamada eje del giro. Sea v1 , v2 , v3 la base
ortonormal en la que f tiene matriz [Mθ , 1]. Si O es cualquier punto del eje de
giro r, entonces r = O + v3 y el plano ortogonal a r dado por O + v1 , v2 es
fijado por f . En el sistema de referencia (O; v1 , v2 ) la matriz de la aplicaci´n o
lineal asociada a la restricci´n es Mθ . As´ pues, f gira los puntos de cada plano
o ı
perpendicular a r respecto al centro O en el cual r corta a tal plano.
En general, si G es una variedad de dimensi´n n − 2 en E, un giro de angulo
o ´
θ respecto a G es una isometr´ que deja invariante a cada punto de G y que se
ıa
comporta como un giro (plano) de angulo θ sobre cada plano perpendicular4 a
´
G (con centro en el punto de intersecci´n). Hay exactamente dos giros en estas
o
condiciones.
Dada la expresi´n en coordenadas de un giro (no necesariamente la can´nica)
o o
resolviendo un sistema de ecuaciones lineales se obtiene la variedad de puntos
fijos. El angulo de giro estar´ determinado salvo signo por el hecho de que
´ a
2 cos θ + n − 2 es la traza de la matriz asociada (pues esto es cierto para la
matriz en forma can´nica y la traza es la misma en todas las matrices).
o
Introducimos ahora el concepto de simetr´ La idea es que la imagen de
ıa.
un punto P por una simetr´ respecto a una variedad L se obtiene trazando la
ıa
recta perpendicular a L por P y tomando en ´sta el punto P que se encuentra
e
a la misma distancia que P del punto de corte. De este modo, el punto de corte
es el punto medio del segmento P P . Vamos a formular anal´ ıticamente esta
descripci´n de las simetr´
o ıas.
En primer lugar, dado un espacio af´ eucl´
ın ıdeo E y una variedad L distinta
de todo E, por cada punto P exterior a L pasa una unica recta r perpendicular
´
−
−→
a L. En efecto, dado Q ∈ L descomponemos P Q = v + w, con v ∈ L, w ∈ L⊥ .
Sea R = P + w = Q − v. Claramente R ∈ L y r = P R es perpendicular a L y
pasa por P . Adem´s es unica, pues si una recta P R cumple lo mismo, es decir,
a ´
−→
− −→
− − → −→ −
P R ⊥ L, entonces RR ser´ ortogonal a P R y P R , lo cual es contradictorio
ıa
salvo si R = R .
−→
−
Por otra parte, dados dos puntos P y P , tenemos que P = P + P P , luego el
−→
−
punto medio entre ambos ser´ M = P + 1 P P , que es el unico punto que cumple
a 2 ´
−→
− −−
−→
P M = M P . Esto sirve como definici´n de punto medio en cualquier espacio
o
4 Aqu´
ı entendemos que dos variedades L y L son perpendiculares si tienen un punto en
com´ n, necesariamente unico, y L ⊥ L . Notar que en este sentido fuerte dos planos del
u ´
espacio tridimensional nunca pueden ser perpendiculares.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-186-320.jpg)
![6.6. Clasificaci´n de isometr´
o ıas 175
af´ 5 no necesariamente eucl´
ın, ıdeo. Una definici´n equivalente pero sim´trica es
o e
1 1
M= P+ P
2 2
(ver p´g 87). Esta definici´n tiene sentido incluso si P = P , en cuyo caso el
a o
punto medio es M = P = P .
Notar que dados dos puntos P y M siempre existe un unico punto P tal
´
que M sea el punto medio de P y P . Necesariamente P ha de ser el baricentro
P = 2M − P .
Con todas estas observaciones ya podemos justificar la existencia de simetr´
ıas
respecto a variedades cualesquiera:
Definici´n 6.48 En un espacio af´ eucl´
o ın ıdeo E, llamaremos simetr´ respecto
ıa
a una variedad L de E a la unica aplicaci´n sL : E −→ E que fija a todos los
´ o
puntos de L y que a cada punto P exterior a L le asigna el unico punto sL (P )
´
tal que la perpendicular a L por P corta a L en el punto medio entre P y sL (P ).
En particular la simetr´ respecto a E es la identidad. No es necesario
ıa
distinguir la forma en que una simetr´ respecto a una variedad L act´a sobre
ıa u
los puntos de L y sobre los puntos exteriores a L. En cualquier caso, el punto
P = sL (P ) est´ determinado por las relaciones
a
−→
− 1 1
P P ∈ L⊥ y P + P ∈ L.
2 2
Las simetr´ respecto a puntos, rectas y planos se llaman respectivamente
ıas
simetr´ puntuales, axiales (lat. ‘respecto a un eje’) y especulares (lat. ‘respecto
ıas
a un espejo’). Las simetr´ respecto a hiperplanos se llaman reflexiones.
ıas
Teorema 6.49 Las simetr´ de un espacio af´ eucl´
ıas ın ıdeo son isometr´
ıas. Ade-
m´s una isometr´ f es una simetr´ si y s´lo si f ◦ f = 1.
a ıa ıa o
Demostracion: Sea E un espacio af´ eucl´
´ ın ıdeo y L una variedad lineal
de E, que podemos suponer distinta de todo el espacio. Tomemos una base
ortonormal v1 , . . ., vr de L y complet´mosla hasta una base ortonormal v1 , . . ., vn
e
−−→
de E. Tomemos un punto O en L y definamos sL (P ) = O + sL (OP ), donde sL
es la isometr´ lineal que en la base anterior tiene matriz [1, . . ., 1, −1, . . ., −1].
ıa
r n−r
Dado un punto P = O + α1 v1 + · · · + αn vn , es claro que
−− −
− −→
P sL (P ) = −2αr+1 vr+1 − · · · − 2αn vn ∈ L⊥ ,
1 1 1−−
→ 1 −− −
− −→
P + sL (P ) = O + OP + OsL (P ) = O + α1 v1 + · · · + αr vr ∈ L.
2 2 2 2
5 En realidad hemos de suponer que el cuerpo tiene caracter´
ıstica distinta de 2. En caso
contrario no existen puntos medios ni, como se ve f´cilmente, tampoco simetr´
a ıas. En lo
sucesivo supondremos t´citamente carK = 2.
a](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-187-320.jpg)
![176 Cap´
ıtulo 6. Biyecciones afines
Por consiguiente la isometr´ sL es la simetr´ respecto a L.
ıa ıa
Con esto hemos visto que las simetr´ son las isometr´ con al menos un
ıas ıas
punto fijo y cuya aplicaci´n lineal asociada tiene como matriz can´nica una de
o o
la forma [1, . . ., 1, −1, . . ., −1]. Es claro que al multiplicar una matriz de este
tipo por s´ misma se obtiene la matriz identidad. Rec´
ı ıprocamente, si f ◦ f = 1,
sea f = g ◦ Tv en las condiciones del teorema 6.46. Entonces g ◦ g ◦ T2v = 1,
luego g ◦ g = f ◦ f = 1 y 2v = 0, luego v = 0 (y por lo tanto f tiene un punto
fijo) y la forma can´nica de f ha de constar s´lo de cajas ±1, pues si contuviera
o o
cajas Mθ , su cuadrado contendr´ cajas M2θ , que son distintas de la identidad
ıa
salvo que θ = 1, π, en cuyo caso Mθ = [±1, ±1].
Ahora podemos clasificar las isometr´ de los espacios de dimensiones bajas.
ıas
En general, cuando hablemos del determinante, la traza, etc. de una isometr´
ıa
nos referimos, naturalmente, a los de su aplicaci´n lineal asociada.
o
Isometr´ de una recta Si f es una isometr´ de una recta eucl´
ıas ıa ıdea, enton-
ces la forma can´nica de f ha de ser [±1]. Si el signo es positivo se tratar´ de
o a
una traslaci´n, mientras que si es negativo se tratar´ de una simetr´ puntual
o a ıa
(notar que f tendr´ un punto fijo por el teorema 6.2).
a
Isometr´ del plano Si f es una isometr´ del plano y su determinante es
ıas ıa
positivo entonces la forma can´nica de f ha de ser de la forma Mθ (incluyendo
o
aqu´ las posibilidades [±1, ±1]). Si f tiene un punto fijo entonces ser´ un giro
ı a
(o la identidad), mientras que si f no tiene puntos fijos entonces f ha de ser la
identidad (por el teorema 6.2), luego f es una traslaci´n.
o
Si el determinante es negativo, la forma can´nica de f ha de ser [1, −1]. Si
o
f tiene un punto fijo, entonces se trata de una simetr´ axial, mientras que si
ıa
no tiene puntos fijos, el teorema 6.46 implica que f es la composici´n de una
o
simetr´ axial con una traslaci´n respecto a un vector en la direcci´n del eje de
ıa o o
simetr´ıa.
Isometr´ del espacio Si f es una isometr´ del espacio (tridimensional) y
ıas ıa
su determinante es positivo, entonces la forma can´nica de f ha de ser de la
o
forma [Mθ , 1]. Si f tiene un punto fijo ser´ un giro (quiz´ la identidad). Si no
a a
lo tiene aplicamos el teorema 6.46 para concluir que f es la composici´n de un
o
giro con una traslaci´n respecto a un vector en la direcci´n del eje de giro. Si el
o o
giro es la identidad tenemos simplemente una traslaci´n. En caso contrario la
o
isometr´ es lo que se llama un giro helicoidal, pues describe el movimiento de
ıa
una h´lice, que gira y avanza al mismo tiempo.
e
Si el determinante es negativo entonces la forma can´nica de f ser´ de la
o a
forma [Mθ , −1]. Si Mθ = I, entonces f no tiene puntos fijos, luego f ha de
tener uno exactamente, luego f es la composici´n de un giro con una simetr´
o ıa
especular respecto a un plano perpendicular al eje de giro (el punto fijo de f es
la intersecci´n entre el eje y el plano). Si Mθ = I entonces o bien f tiene puntos
o
fijos y se trata de una simetr´ especular, o bien no los tiene, y se trata de una
ıa](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-188-320.jpg)
![6.7. Aplicaciones 179
Teorema 6.51 Sea E un espacio af´ eucl´
ın ıdeo de dimensi´n n ≥ 2. Entonces
o
el grupo Is(E) est´ generado por las reflexiones y el grupo Is+ (E) est´ generado
a a
por los giros.
Demostracion: La segunda parte es evidente. Para probar la primera
´
afirmaci´n es suficiente ver que todo giro se expresa como composici´n de dos
o o
reflexiones. Sea f un giro y (O; v1 , . . ., vn ) un sistema de referencia ortonormal
tal que O sea un punto fijo y f tenga forma can´nica [Mθ , 1, . . ., 1] respecto a
o
la base dada. Sea V v1 , v2 . Claramente V es un subespacio invariante para f ,
su restricci´n a V tiene matriz Mθ y restringida a V ⊥ es la identidad.
o
Sea g la reflexi´n que fija a O y tal que en la base dada g tiene matriz
o
[−1, 1, . . ., 1]. Entonces g es tambi´n la identidad en V ⊥ y su restricci´n a V
e o
tiene matriz [−1, 1]. Es claro entonces que V y V ⊥ son invariantes para f ◦ g,
as´ como que ´sta es la identidad en el segundo y tiene matriz Mθ [−1, 1] en V .
ı e
Como esta matriz es ortogonal y tiene determinante −1, su forma can´nica es o
[−1, 1], de donde se sigue que la forma can´nica de f ◦ g es [−1, 1, . . ., 1], luego
o
h = f ◦ g es tambi´n una reflexi´n, y f = h ◦ g es composici´n de dos reflexiones.
e o o
Ejercicio: Probar que si dim E ≥ 3 el grupo Is+ (E) est´ generado por las simetr´
a ıas
respecto a variedades de dimensi´n n − 2.
o
6.7 Aplicaciones
Concluimos el cap´
ıtulo con algunas aplicaciones de los resultados que hemos
visto. En primer lugar probaremos una interesante propiedad de los tri´ngulos
a
descubierta por Euler: El circuncentro, el ortocentro y el baricentro son siempre
colineales. Llegaremos a ello estudiando el llamado tri´ngulo medial, que es el
a
tri´ngulo que une los pies de las medianas.
a
A
E
H
P
C B
G
O
B C
D A](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-191-320.jpg)
![7.2. Homotecias y traslaciones 187
Demostracion: Sean P y Q dos puntos de E y f ∈ HT(E). Veamos
´
que la imagen de cualquier otro punto R est´ determinada por las de P y Q.
a
Supongamos primeramente que R no est´ en la recta P Q. Entonces f [P R] es
a
una recta paralela a P R, luego es exactamente la recta paralela a P R que pasa
por f (P ). Similarmente f [QR] es la recta paralela a QR que pasa por f (Q).
Como P R y QR no son paralelas entre s´ las rectas f [P R] y f [QR] tampoco
ı,
lo son. En particular no son coincidentes, pero tienen en com´n el punto f (R).
u
Por lo tanto f (R) es necesariamente la intersecci´n de la paralela a P R por
o
f (P ) con la paralela a QR por f (Q), lo cual s´lo depende de f (P ) y f (Q). Con
o
esto hemos probado que dos elementos cualesquiera de HT(E) que coincidan
sobre P Q han de coincidir sobre E salvo quiz´ la recta P Q. Tomando una recta
a
paralela a P Q, sobre la que ya tenemos que coinciden, el razonamiento anterior
prueba que tambi´n coinciden en P Q.
e
En particular cada homotecia distinta de la identidad tiene un unico punto
´
fijo, al que llamaremos centro de la homotecia.
Probamos ahora una caracterizaci´n de las homotecias y traslaciones me-
o
diante una propiedad m´s d´bil que nos ser´ util en la secci´n siguiente:
a e a´ o
Teorema 7.10 Sea f : E −→ E una aplicaci´n tal que para todo par de puntos
o
P y Q, f (Q) est´ sobre la recta paralela a P Q que pasa por f (P ). Entonces f
a
es constante o bien f ∈ HT(E).
Demostracion: Supongamos que existen dos puntos P y Q tales que
´
f (P ) = f (Q) = X. Entonces, para todo punto R exterior a la recta P Q,
tenemos que f (R) ha de estar en la recta paralela a P R por X y en la recta
paralela a QR por X. Como estas rectas no son paralelas entre s´ se cortan
ı,
s´lo en X, luego f (R) = X para todo punto fuera de P Q. Sustituyendo P y
o
Q por dos puntos en una recta paralela a P Q, el razonamiento anterior nos da
que f (R) = X para todo punto de P Q, luego f es constante.
Dicho de otro modo, si f no es constante, entonces es inyectiva. En tal caso
consideremos dos puntos cualesquiera P y Q y sea R un punto exterior a la
recta f (P )f (Q). Por hip´tesis las rectas P Q y f (P )f (Q) son paralelas, luego
o
est´n contenidas en un mismo plano π. Sea π el plano paralelo a f (P )f (Q)R
a
´
por P . Este corta a π en una recta paralela a f (P )f (Q) por P , es decir, en la
recta P Q. El plano P f (P )R corta a π en una r recta paralela a f (P )R , y el
plano Qf (Q)R corta a π en una recta s paralela a f (Q)R por Q. Como ambas
est´n contenidas en π y no pueden ser paralelas (porque f (P )R y f (Q)R no
a
lo son) necesariamente se cortan en un punto R. Por hip´tesis f (R) est´ en la
o a
paralela a P R por f (P ) y en la paralela a QR por f (Q), luego est´ en r ∩ s y
a
por lo tanto f (R) = R . Esto prueba que todos los puntos exteriores a la recta
f (P )f (Q) tienen antiimagen por f . Cambiando de puntos probamos lo mismo
para los puntos de la recta exceptuada. Por lo tanto f es biyectiva.
Finalmente, dada una recta r y un punto P ∈ r, la imagen de cualquier punto
Q ∈ r ha de estar en la paralela a r por f (P ), llam´mosla r . Rec´
e ıprocamente,
todo punto de r es de la forma f (Q), para un cierto punto Q que ha de estar](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-199-320.jpg)
![188 Cap´
ıtulo 7. La geometr´ af´
ıa ın
en r, o en caso contrario f (Q) estar´ en la paralela a P Q por f (P ), que ser´
ıa ıa
una recta distinta a r . Por lo tanto f [r] = r y as´ f ∈ HT(E).
ı
Definici´n 7.11 Una traza de f ∈ HT(E) es una recta r tal que f [r] = r.
o
Tres hechos obvios sobre trazas son los siguientes:
1. Las trazas de la identidad son todas las rectas.
2. Si f ∈ HT(E), entonces cada punto P que no sea un punto fijo para f
est´ en una unica traza, a saber en la recta P f (P ).
a ´
3. Si dos trazas se cortan en un punto, entonces ´ste es un punto fijo.
e
Teorema 7.12 Las trazas de una homotecia distinta de la identidad son el haz
de rectas que pasan por su centro. Las trazas de una traslaci´n distinta de la
o
identidad forman un haz de rectas paralelas al que llamaremos direcci´n de la
o
traslaci´n.
o
Demostracion: Si f es una homotecia de centro P , entonces toda recta
´
P Q es una traza, pues f [P Q] = P f (Q) ha de ser una recta paralela a P Q, luego
ha de ser P Q. Rec´ ıprocamente, si QR es una traza pero no coincide con P Q,
que tambi´n es una traza, entonces f (Q) = Q, luego f (Q) = Q, luego Q = P .
e
En cualquier caso la recta QR pasa por P .
Si f es una traslaci´n, las trazas de f son claramente las rectas de la forma
o
P f (P ). Hemos de ver que dos cualesquiera de ellas son paralelas. Sea Qf (Q)
una recta distinta. Como f no tiene puntos fijos, las dos rectas son disjuntas.
Hemos de probar que est´n sobre un mismo plano. Ahora bien, f [P Q] es una
a
recta paralela a P Q, luego P , Q, f (P ) y f (Q) est´n sobre un mismo plano,
a
luego P f (P ) y Qf (Q) tambi´n.
e
Teorema 7.13 Si dos traslaciones coinciden sobre un punto son iguales.
Demostracion: Sea f una traslaci´n y P un punto arbitrario. Sea Q un
´ o
punto fuera de P f (P ). Entonces las trazas P f (P ) y Qf (Q) son paralelas, luego
Qf (Q) es exactamente la paralela a P f (P ) por Q. Igualmente f (P )f (Q) es la
paralela a P Q por f (P ). Como P f (P ) no es paralela a P Q, las rectas Qf (Q)
y f (P )f (Q) no pueden ser paralelas, luego no son coincidentes, luego f (Q) es
exactamente la intersecci´n de la paralela a P f (P ) por Q y la paralela a P Q
o
por f (P ). Esto prueba que dos traslaciones que coincidan sobre P coinciden
tambi´n sobre un segundo punto Q, luego son iguales por 7.9.
e
Teorema 7.14 Las traslaciones forman un subgrupo normal de HT(E), al que
representaremos por T(E). Las traslaciones con una misma direcci´n forman
o
tambi´n un subgrupo normal.
e](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-200-320.jpg)
![7.4. Los teoremas de Desargues y Papos-Pascal 195
Este enunciado es aparentemente m´s fuerte que el que dimos en el cap´
a ıtulo
VI, pero observemos que si los puntos R, S, T est´n alineados, lo mismo sucede
a
con R , S , T , luego el teorema es trivialmente cierto. As´ mismo, si Q = Q
ı
entonces R = R y T = T .
Vamos a probar este teorema a partir de los axiomas del grupo A, pero
antes probaremos su equivalencia con los axiomas B1 y B2. Llamaremos DA al
enunciado anterior cuando las rectas son paralelas y DP al enunciado anterior
cuando las rectas se cortan en el punto P . Trabajamos en un espacio af´ E sin
ın
suponer m´s que los axiomas del grupo A.
a
Teorema 7.24 DA equivale al axioma B1 y DP equivale a B2P .
Demostracion: Suponiendo B1 (o B2P ) tomamos como f la traslaci´n
´ o
(o la homotecia de centro P ) determinada por f (Q) = Q . Entonces las rectas
r1 , r2 , r3 son trazas de f . La recta f (Q)f (R) es paralela a QR y pasa por
f (Q) = Q , luego es Q R , y como f (R) ha de estar en esta recta y en r2 , ha
de ser f (R) = R , e igualmente f (S) = S . Por consiguiente R S = f [RS] es
paralela a RS.
Veamos ahora que DA implica B1. Tomemos dos puntos distintos Q y Q .
Vamos a construir una traslaci´n que env´ uno sobre el otro. En primer lugar
o ıe
definimos una aplicaci´n T QQ definida s´lo sobre los puntos exteriores a la recta
o o
QQ . Dado un punto R en estas condiciones, tomamos la recta r paralela a QQ
por R (con lo que r = QQ ). Las rectas QQ , QR y r est´n en un mismo plano,
a
luego ´ste contiene tambi´n a la recta paralela a QR por Q , que cortar´ a r en
e e a
un punto R . Definimos T QQ (R) = R .
El punto R est´ caracterizado por el hecho de que RR es paralela a QQ y
a
QR es paralela a Q R . Es claro entonces que T RR (Q) = Q . Si probamos que
T QQ y T P P coinciden en su dominio com´n, entonces definir´n una aplicaci´n
u a o
sobre todo E, a la que llamaremos TQQ y probaremos que es la traslaci´n o
buscada.
Sea, pues, S un punto exterior a QQ y RR y sea S = T QQ (S). Entonces
tenemos tres rectas paralelas distintas, QQ , RR y SS . Adem´s QS es paralela
a
a Q S y QR es paralela a Q R . Por DA podemos concluir que RS es paralela
a R S , lo que implica que S = T RR (S).
Para probar que TQQ es una traslaci´n basta probar que cumple las con-
o
diciones del teorema 7.10, pues ciertamente TQQ no es constante y tiene dos
trazas paralelas, a saber, QQ y RR , luego ser´ una traslaci´n. Tomamos dos
a o
puntos U , V y hemos de probar que V = TQQ (V ) est´ en la recta paralela a
a
U U por U = TQQ (U ). Si U est´ en QQ y V est´ en RR , podemos tomar un
a a
punto S exterior al plano que contiene a estas dos. La aplicaci´n T SS coincidir´
o a
con TQQ en su dominio com´n. En cualquier caso, tomando bien, QQ , bien
u
RR o bien SS , encontramos una recta que no contiene a ninguno de los puntos
U y V . Podemos suponer que es QQ .
Si U V es paralela a QQ , entonces U V contiene tambi´n a U y V , con lo
e
que ciertamente V est´ en la paralela a U V por U . Si U V no es paralela a
a](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-207-320.jpg)
![7.4. Los teoremas de Desargues y Papos-Pascal 199
Tomemos otra homotecia no trivial g de centro P y un punto A2 en s distinto
de P . Sea A6 = g(A2 ) = A2 , que tambi´n estar´ en s y es un punto arbitrario
e a
si elegimos g.
Sean A5 = g f (A1 ) = g(A3 ) y A4 = f g(A2 ) = f (A6 ). Claramente A1 A6
es paralela a f (A1 )f (A6 ) = A3 A4 y A2 A3 es paralela a g(A2 )g(A3 ) = A6 A5 .
Por el teorema de Papos tambi´n A1 A2 es paralela a A4 A5 .
e
La conmutatividad gf = f g equivale a que f g(A1 ) = g f (A1 ) , es de-
cir, f g(A1 ) = A5 , pero f g(A1 ) es el punto donde la paralela a A1 A2 por
f g(A2 ) = A4 corta a r, es decir, se trata efectivamente de A5 .
Rec´
ıprocamente, dado un hex´gono en las condiciones del teorema de Papos,
a
digamos con A1 A6 paralela a A3 A4 y con A2 A3 paralela a A6 A5 , consideramos
la homotecia f de centro P que cumple f (A1 ) = A3 y la homotecia g de centro
P que cumple g(A2 ) = A6 . Invirtiendo el razonamiento y usando que f g = gf
concluimos que A1 A2 es paralela a A4 A5 .
En la secci´n siguiente veremos que una forma de garantizar geom´trica-
o e
mente la conmutatividad de K es mediante axiomas de ordenaci´n. El teorema
o
siguiente prueba que todos los espacios afines finitos (de dimensi´n mayor que
o
2 junto todos los planos arguesianos finitos) son conmutativos.
Teorema 7.28 (Teorema de Wedderburn) Todo anillo de divisi´n finito es
o
un cuerpo.
Demostracion: Sea K un anillo de divisi´n finito. Sea Z el conjunto de
´ o
todos los elementos de K que conmutan con todos los dem´s elementos de K.
a
Es f´cil ver que se trata de un cuerpo, por lo que K es un espacio vectorial
a
sobre Z. Si ´ste tiene q elementos, entonces el n´mero de elementos de K es q n ,
e u
donde n es la dimensi´n de K sobre Z.
o
Para cada α ∈ K, el conjunto Cα formado por todos los elementos de K
que conmutan con α es tambi´n un anillo de divisi´n que contiene a Z, luego
e o
su n´mero de elementos es q d , donde d | n (por la transitividad de grados).
u
Indicamos con un asterisco el conjunto que resulta de eliminar el 0. Entonces
Z ∗ es el centro del grupo K ∗ y Cα es el centralizador de α = 0. La ecuaci´n de
∗
o
clases que probamos en el ap´ndice del cap´
e ıtulo V es en este caso:
qn − 1
qn − 1 = q − 1 + ,
qd − 1
d
donde d recorre ciertos divisores de n, posiblemente repetidos, distintos de n.
Sea cn (X) el polinomio ciclot´mico de orden n. Es claro que
o
xn − 1
xn − 1 = cn (x)f (x), = cn (x)g(x),
xd − 1
para ciertos polinomios f (x), g(x) ∈ Z[x].
Evaluando en q vemos que cn (q) divide a todos los t´rminos de la ecuaci´n
e o
de clases. En particular cn (q) | q − 1.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-211-320.jpg)
![210 Cap´
ıtulo 8. La geometr´ proyectiva
ıa
definidas puntualmente. Sea E = V ∗ el espacio dual de V . Sean j : E −→ E e
ˆ ˆ
ˆ
: E −→ E las aplicaciones dadas por j(P )(f ) = f (P ), (v)(f ) = f (v). Probar que j
es una afinidad cuya aplicaci´n lineal asociada es . Probar que j[E] es un hiperplano
o
ˆ
de E que no pasa por 0.
Gran parte de la simplicidad de la geometr´ proyectiva se debe a la “linea-
ıa
lizaci´n” que estamos empezando a encontrar: tenemos que las afinidades se
o
extienden a aplicaciones lineales, ahora traduciremos a conceptos lineales otros
conceptos afines.
Teorema 8.5 Sea E un espacio af´
ın
1. Los baricentros
1
(λ1 P1 + · · · + λn Pn )
λ
ˆ
son las combinaciones lineales en E.
2. Los puntos P0 , . . ., Pn son af´
ınmente independientes en E si y s´lo si son
o
ˆ
linealmente independientes en E. Las coordenadas baric´ntricas de un
e
punto de E en esta base son sus coordenadas en el sentido vectorial.
3. Si (O, v1 , . . ., vn ) es un sistema de referencia af´ de E, entonces es una
ın
ˆ
base de E, y si (α1 , . . ., αn ) son las coordenadas cartesianas de un punto de
E en el sistema, entonces (1, α1 , . . ., αn ) son sus coordenadas en la base.
Demostracion: 1) Recordemos que, fijado cualquier origen O, el baricentro
´
es
n n n n
1 −
−→ 1 1 1
O+ λi OPi = O + (λi Pi − λi O) = O + λ i Pi − O = λ i Pi .
λ i=1
λ i=1
λ i=1
λ i=1
2) Es consecuencia inmediata de 1) por el teorema 4.13.
3) es evidente.
Finalmente estamos en condiciones de construir los espacios proyectivos.
Comenzaremos con un ejemplo. Identifiquemos cada punto (x, y) de R2 con el
punto (x, y, 1) del hiperplano z = 1 de R3 . Podemos biyectar cada punto (x, y, 1)
de R2 con la recta que pasa por ´l y por el origen O = (0, 0, 0). Rec´
e ıprocamente,
toda recta que pasa por 0 y que no est´ contenida en el plano z = 0 se corres-
e
ponde con un unico punto de R2 La figura muestra dos puntos P y Q y sus
´
rectas asociadas.
Q
P z=1
r
R
z=0](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-222-320.jpg)
![212 Cap´
ıtulo 8. La geometr´ proyectiva
ıa
a las variedades de dimensi´n 1, 2 y n − 1. La unica variedad de dimensi´n n
o ´ o
se obtiene tomando W = V , y es P(W ) = P(V ).
Es f´cil ver que la intersecci´n de variedades lineales es una variedad lineal,
a o
concretamente la que tiene por espacio soporte la intersecci´n de los espacios so-
o
porte. A su vez esto implica que todo subconjunto X ⊂ P(V ) genera una m´ ınima
variedad lineal que lo contiene, y que representaremos por X . La menor va-
riedad que contiene a dos variedades dadas P(W1 ) y P(W2 ) la representaremos
por P(W1 ) + P(W2 ) = P(W1 + W2 ). Puesto que P(W1 ) ∩ P(W2 ) = P(W1 ∩ W2 ),
la conocida relaci´n entre las dimensiones nos da el teorema siguiente:
o
Teorema 8.7 Si E es un espacio proyectivo y L1 , L2 son dos variedades linea-
les, entonces
dim(L1 + L2 ) = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2 ).
Por ejemplo, si L1 y L2 son dos rectas y est´n contenidas en un plano,
a
entonces la f´rmula nos da 2 = 1+1−dim(L1 ∩L2 ), luego L1 ∩L2 tiene dimensi´n
o o
0 y es un punto (las rectas son secantes). Si no est´n contenidas en un plano el
a
miembro izquierdo es ≥ 3, luego la f´rmula nos da que es exactamente 3 y que
o
dim(L1 ∩ L2 ) = −1, luego las rectas son disjuntas (se cruzan). Esto prueba que
todo plano proyectivo en el sentido algebraico satisface el axioma P2.
Definici´n 8.8 Dados m + 1 puntos P0 , . . ., Pm en un espacio proyectivo, di-
o
remos que son proyectivamente independientes si la menor variedad proyectiva
que los contiene es de dimensi´n m.
o
Si Pi = vi , entonces la menor variedad que los contiene es la inducida
por v0 , . . ., vm , luego la independencia de los Pi equivale a que este subespacio
tenga dimensi´n m+1 o, equivalentemente, a que los vectores vi sean linealmente
o
independientes.
Es claro que dos puntos distintos son siempre proyectivamente independien-
tes, tres puntos son independientes si y s´lo si no son colineales, cuatro puntos
o
son independientes si y s´lo si no son coplanares, etc. La variedad generada
o
por m + 1 puntos independientes en la unica variedad de dimensi´n m que las
´ o
contiene, pues est´ contenida en cualquier otra y una variedad no puede es-
a
tar contenida en otra distinta de la misma dimensi´n (pues lo mismo deber´
o ıa
suceder con los espacios soporte).
Definici´n 8.9 Sea E un espacio af´ Llamaremos compleci´n proyectiva de
o ın. o
ˆ
E al espacio proyectivo P(E) = P(E).
Teorema 8.10 Sea E un espacio af´ de dimensi´n n. Sea i : E −→ P (E) la
ın o
aplicaci´n dada por i(P ) = P . Entonces, para cada variedad lineal af´ L de
o ın
E, existe una unica variedad proyectiva P(L) de P(E) de la misma dimensi´n tal
´ o
que i[L] ⊂ P(L), y adem´s P(L) i[L] es una variedad proyectiva de dimensi´n
a o
una unidad menor.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-224-320.jpg)
![8.1. Espacios proyectivos 213
Demostracion: Es claro que la aplicaci´n i es inyectiva. Dada la variedad
´ o
L de dimensi´n m, sea Q ∈ L. Entonces L = Q + L. Tenemos que Q ∈ L, luego
o /
W = Q, L es un subespacio vectorial de E ˆ de dimensi´n m + 1 y contiene a L
o
como hiperplano que no pasa por el 0. Tomamos P(L) = P(W ), que no es sino
la compleci´n proyectiva de L, luego es una variedad proyectiva de dimensi´n
o o
m. Si P ∈ L, entonces P ⊂ W , luego i(P ) ∈ P(L). As´ pues, i[L] ⊂ P(L).
ı
Por otra parte, L contiene m + 1 puntos af´ınmente independientes, que son
ˆ
linealmente independientes en E, luego sus im´genes por i son puntos proyecti-
a
vamente independientes de P(E) contenidos en i[L]. Por consiguiente P(L) es
la variedad generada por i[L], luego es la unica variedad de dimensi´n m que
´ o
contiene a i[L].
Un punto arbitrario de P(L) es de la forma P = v con v ∈ W . Por lo
tanto v = αQ + l, donde l ∈ L. Si α = 0 entonces α−1 v ∈ Q + L, luego
P = α−1 v ∈ i[L]. Por el contrario, si α = 0 entonces P ⊂ L y L es disjunto
con L, luego P ∈ i[L]. As´ pues, P(L) i[L] = P(L), que es una variedad
/ ı
proyectiva de dimensi´n m − 1.
o
En definitiva, al completar un espacio af´ estamos a˜adiendo un punto
ın n
infinito a cada recta, una recta infinita a cada plano (formada por todos los
puntos infinitos de las rectas que contiene), un plano infinito a cada espacio
tridimensional, etc. En total los puntos infinitos forman un hiperplano de la
compleci´n.
o
No obstante, desde el punto de vista proyectivo no hay diferencia alguna
entre el hiperplano infinito y cualquier otro hiperplano. En efecto, si X = P(V )
es un espacio proyectivo arbitrario, un hiperplano arbitrario es de la forma
Π = P(E), donde E es un hiperplano vectorial de V , es decir un subespacio
de dimensi´n una unidad menor. Si v es cualquier punto de V E, entonces
o
E = v + E es un hiperplano af´ de V y es f´cil ver que X = P(E). Por lo tanto
ın a
X Π tiene estructura de espacio af´ cuyas variedades afines son los conjuntos
ın,
L Π, donde L es cualquier variedad proyectiva de X no contenida en Π.
La elecci´n del punto v a la hora de determinar la estructura af´ de X Π
o ın
es irrelevante por el motivo siguiente. Dados X y Π, elegimos n + 1 puntos
proyectivamente independientes en X Π, digamos, O, P1 , . . ., Pn . Tomamos re-
presentantes O = v0 , Pi = vi de modo que vi ∈ E (s´lo hay una posibilidad).
o
Entonces los vectores vi = vi − v0 est´n en E y determinan un sistema de refe-
a
rencia af´ (v0 ; v1 , . . ., vn ) en X Π. Para calcular las coordenadas de un punto
ın
P = w en dicho sistema tomamos α tal que αw ∈ E y calculamos las coorde-
nadas de αw en la base (v0 , v1 , . . ., vn ), que ser´n de la forma (1, α1 , . . ., αn ). Al
a
eliminar el 1 inicial tenemos las coordenadas que buscamos.
Si en lugar de tomar el hiperplano v + E hubi´ramos tomado otro cualquiera,
e
que ser´ de la forma βv + E, tendr´
a ıamos que sustituir cada vi por βvi y cada
vi por βvi . Entonces el representante adecuado de P ser´ βαw y es claro que
a
llegamos a las mismas coordenadas. En resumen hemos probado el teorema
siguiente:](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-225-320.jpg)
![8.2. Homograf´ y coordenadas homog´neas
ıas e 215
Rec´
ıprocamente, si H(u) es una homograf´ de P(E) que fija al hiperplano
ıa
infinito P(E), entonces su restricci´n a E es una biyecci´n af´ En efecto, es
o o ın.
claro que u[E] ⊂ E, luego de hecho u[E] = E. Llamemos f a la restricci´n de
o
u a E y f a la restricci´n de H(u) a E.
o
ˆ
Sea E = P + E, de modo que E = P ⊕ E. Entonces u(P ) = αP + v,
donde v ∈ E. Sustituyendo u por α−1 u tenemos otro isomorfismo que induce
la misma homograf´ luego podemos suponer que u(P ) = P + v.
ıa,
Entonces, si Q = P + w es cualquier punto de E, tenemos que
u(Q) = u(P ) + f (w) = P + v + f (w) ∈ E.
Si identificamos Q con su imagen en P(V ), es decir, con Q , entonces la igualdad
anterior es
−
−→
f (Q) = H(u)(Q) = P + v + f (P Q),
luego f es una afinidad. Con esto hemos probado el teorema siguiente:
Teorema 8.13 Sea X un espacio proyectivo y Π un hiperplano en X. Sea
E = X Π. Entonces la restricci´n induce un isomorfismo entre el grupo
o
GPΠ (X) de las homograf´ de X que dejan invariante a Π y el grupo GA(E)
ıas
de todas las biyecciones afines de E.
(La restricci´n es inyectiva porque cada afinidad se extiende a una unica
o ´
homograf´ Una prueba directa consiste en notar que si una homograf´ es la
ıa. ıa
identidad en E, entonces fija a todas las rectas de E, luego fija al punto infinito
de cada recta, pero todo punto de Π es el punto infinito de una recta de E,
luego la homograf´ es la identidad en X.)
ıa
Sabemos que una afinidad en un espacio de dimensi´n n est´ determinada
o a
por su imagen sobre n + 1 puntos independientes. Esto no es cierto para las
homograf´ıas. Hemos de tener en cuenta n + 2 puntos.
Definici´n 8.14 Un sistema de referencia en un espacio proyectivo X de di-
o
mensi´n n es un conjunto de n + 2 puntos tales que n + 1 cualesquiera de ellos
o
son proyectivamente independientes.
Si X = P(V ) y v1 , . . ., vn+1 es una base de V , entonces los puntos
v1 , . . ., vn+1 , v1 + · · · + vn+1 (8.1)
son un sistema de referencia en X. Rec´ıprocamente, si v1 , . . ., vn+1 , vn+2
es un sistema de referencia en X, entonces v1 , . . ., vn+1 es una base de V , luego
vn+2 = α1 v1 + · · · + αn+1 vn+1 ,
para ciertos escalares, todos no nulos, pues si uno de ellos fuera nulo los vectores
restantes ser´ linealmente dependientes, en contra de la definici´n de sistema
ıan o
de referencia. As´ pues, sustituyendo vi por αi vi tenemos el mismo conjunto de
ı
puntos, pero ahora
vn+2 = v1 + · · · + vn+1 ,
luego todo sistema de referencia es de la forma (8.1).](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-227-320.jpg)
![218 Cap´
ıtulo 8. La geometr´ proyectiva
ıa
Ejemplo Veamos la expresi´n coordenada de las homograf´ de una recta
o ıas
proyectiva X sobre un cuerpo K. Fijamos un punto infinito y consideramos
´
un sistema de referencia af´ en el resto de la recta. Este determina a su vez
ın
un sistema de referencia proyectivo, de modo que la coordenada cartesiana x
se corresponde con las coordenadas homog´neas (1, x). El punto infinito tiene
e
coordenadas homog´neas (0, 1).
e
La expresi´n en coordenadas homog´neas de una homograf´ H es
o e ıa
d b ax + b
H(x) = (1, x) = (cx + d, ax + b) = 1,
c a cx + d
luego su restricci´n al espacio af´ (en coordenadas cartesianas) es
o ın
ax + b
H(x) = , con ad − bc = 0.
cx + d
Si d = 0 esta f´rmula no tiene sentido para x = −c/d, porque en la expresi´n
o o
homog´nea se ve que la imagen de (1, −c/d) es (0, a − bc/d) = (0, 1), es decir,
e
el punto infinito. A su vez, la imagen del punto infinito es H(0, 1) = (d, b) =
(1, b/d), o sea, el punto b/d, salvo si d = 0, en cuyo caso el punto infinito queda
fijo y la homograf´ es una afinidad.
ıa
Terminamos la secci´n con una caracterizaci´n de las homograf´ de los
o o ıas
espacios proyectivos reales an´loga a la caracterizaci´n de las afinidades que
a o
vimos en el cap´
ıtulo VI.
Teorema 8.16 (Teorema fundamental de la geometr´ proyectiva) Sea
ıa
f una biyecci´n entre dos espacios proyectivos reales de la misma dimensi´n
o o
n ≥ 2 tal que la imagen de tres puntos alineados cualesquiera sean tres puntos
alineados. Entonces f es una homograf´ıa.
Demostracion: Sea f : X −→ X . Como en el caso af´ dividimos la
´ ın,
prueba en varios pasos:
1. Si A = {P0 , . . ., Pm } de un conjunto de m + 1 puntos proyectivamente
independientes en X, entonces f [ A ] ⊂ f [A] .
Por inducci´n sobre m. Para m = 1 se trata de la hip´tesis del teorema.
o o
Supong´moslo cierto para conjuntos de m puntos. Si P ∈ A , entonces
a
la recta P Pm corta a P0 , . . ., Pm−1 , que es un hiperplano del espacio
proyectivo A . Sea Q el punto de corte. Por hip´tesis de inducci´n
o o
f (Q) ∈ f [ P0 , . . ., Pm−1 ] ⊂ f [P0 ], . . ., f [Pm−1 ] ⊂ f [A] .
A su vez, f (P ) est´ en la recta f (Q)f (Pm ), que est´ en f [A] .
a a
2. La imagen de un conjunto proyectivamente independiente es un conjunto
proyectivamente independiente.
En efecto, el conjunto A puede completarse hasta un conjunto A de n + 1
puntos proyectivamente independientes. Por el apartado anterior tenemos](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-230-320.jpg)
![8.3. Perspectividades 219
que f [X] ⊂ f [A ] , luego teniendo en cuenta las dimensiones f [A ] = X ,
luego f [A ] es proyectivamente independiente y f [A] tambi´n. De aqu´ se
e ı
sigue obviamente:
3. La inclusi´n en 1) es de hecho una igualdad. En particular la imagen de
o
un hiperplano es un hiperplano.
Si fijamos un hiperplano Π en X y Π = f [Π], entonces f induce una bi-
yecci´n X Π −→ X Π en las hip´tesis del teorema fundamental de la
o o
geometr´ af´ luego es una afinidad, que seg´n sabemos se extiende a una ho-
ıa ın, u
mograf´ de X en X . La extensi´n es necesariamente f pues, fijado un punto
ıa o
O ∈ X Π, para todo P ∈ Π, tomamos un tercer punto Q en OP y as´ tanto
ı,
f (P ) como la imagen de P por la homograf´ est´n Π y en la imagen de la recta
ıa a
OQ, que es una recta, luego ambos son el unico punto de intersecci´n entre la
´ o
recta y el hiperplano.
8.3 Perspectividades
Definici´n 8.17 Sea X un espacio proyectivo, sean Π y Π dos hiperplanos
o
distintos en X y sea O un punto exterior a ambos. Llamaremos proyecci´n o
perspectiva de centro O entre ambos hiperplanos a la aplicaci´n πO : Π −→ Π
o
que a cada punto P ∈ Π le hace corresponder el punto donde la recta OP corta
a Π . La intersecci´n entre los dos hiperplanos se llama eje de la proyecci´n.
o o
La aplicaci´n que transforma un plano modelo en su imagen en un cuadro
o
es una proyecci´n perspectiva. La geometr´ proyectiva es el marco id´neo para
o ıa o
estudiar este tipo de aplicaciones, pues si quisi´ramos hacerlo desde un punto de
e
vista af´ tendr´
ın ıamos que distinguir constantemente casos particulares a causa
del paralelismo. Por ejemplo, no todo punto tendr´ imagen por una proyecci´n
ıa o
perspectiva.
Teorema 8.18 Toda proyecci´n perspectiva es una homograf´
o ıa.
Demostracion: Consideremos una proyecci´n πO : Π −→ Π en un espacio
´ o
X de dimensi´n n. El eje de la proyecci´n es una variedad de dimensi´n n − 2,
o o o
que con el punto O genera un hiperplano Π∞ . Sea E = X Π∞ . Las trazas de
Π y Π en E son dos hiperplanos paralelos y las rectas que pasan por O forman
un haz de rectas paralelas. Es f´cil ver entonces que la restricci´n a E de πO
a o
es simplemente la restricci´n a Π de una traslaci´n, luego se extiende a una
o o
afinidad de E (la traslaci´n) que a su vez se extiende a una homograf´ H en X
o ıa
que fija a Π∞ . Por otra parte, πO fija a los puntos de Π ∩ Π , luego H extiende
a πO , que es, por consiguiente, una homograf´ıa.
En la pr´ctica es m´s c´modo sustituir una proyecci´n perspectiva por una
a a o o
homograf´ que la extienda. Ello nos lleva al concepto de perspectividad:
ıa](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-231-320.jpg)
![220 Cap´
ıtulo 8. La geometr´ proyectiva
ıa
Definici´n 8.19 Una perspectividad en un espacio proyectivo X es una homo-
o
graf´ distinta de la identidad que fije a todos los puntos de un hiperplano Π,
ıa
llamado eje de la perspectividad, y a todos los hiperplanos que pasen por un
punto O, llamado centro de la perspectividad. Si O est´ en Π la perspectividad
a
se llama elaci´n, mientras que si O no est´ en Π se llama homolog´
o a ıa.
Al restringir una perspectividad de eje Π a X Π obtenemos una afinidad
que fija a cada punto infinito, luego env´ cada recta a una paralela. Por consi-
ıa
guiente se trata de una traslaci´n o una homotecia (seg´n que la perspectividad
o u
sea una elaci´n o una homolog´
o ıa). En cualquier caso es imposible que fije a los
puntos de otro hiperplano, luego Π est´ un´
a ıvocamente determinado. As´ mismo,
ı
O es la intersecci´n de las trazas de la homotecia-traslaci´n, luego tambi´n est´
o o e a
un´ıvocamente determinado. Tambi´n es claro que existe una unica perspecti-
e ´
vidad con un centro O y un eje Π dados que env´ un punto P exterior a Π a
ıe
cualquier otro punto Q exterior a Π, distinto de P y colineal con O y P .
En la prueba del teorema 8.18 hemos visto que toda proyecci´n perspectiva
o
entre hiperplanos se extiende a una elaci´n. Es f´cil ver de modo similar que
o a
tambi´n puede extenderse a una homolog´ Rec´
e ıa. ıprocamente, es f´cil ver que
a
una perspectividad H en un espacio X fija a todas las rectas que pasan por
su centro (expres´ndolas como intersecciones de hiperplanos). De aqu´ que
a ı
si tomamos un hiperplano Π distinto del eje y que no contenga al centro, la
restricci´n de H es una proyecci´n perspectiva de Π en H[Π].
o o
Si las perspectividades tridimensionales se interpretan como extensiones de
proyecciones perspectivas, las perspectividades planas tambi´n tienen una in-
e
terpretaci´n importante. Consideremos de nuevo un plano vertical Π en el que
o
queremos representar en perspectiva un plano horizontal Π . Sea r la recta
donde ambos se cortan. Consideremos la aplicaci´n π : Π −→ Π que a cada
o
punto de Π lo abate sobre Π (mediante un giro alrededor de r) y despu´s lo
e
proyecta sobre Π. En otras palabras, la aplicaci´n π pone en perspectiva cada
o
figura de Π:
π
Pues bien, la aplicaci´n π es la composici´n de (la extensi´n de) un giro con
o o o
una perspectividad, luego es una homograf´ M´s a´n, fija a todos los puntos
ıa. a u
de r, luego restringida a Π r transforma cada recta en una paralela. Por lo
tanto es una homotecia o una traslaci´n, y en cualquier caso fija a un punto O,
o
finito o infinito, con lo que π es una perspectividad plana.
Una perspectividad plana est´ determinada por su eje r, su centro O y
a
la imagen de un punto. En la pr´ctica (a efectos de dibujar en perspectiva)
a](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-232-320.jpg)
![8.5. Dualidad 231
biyectivas y mutuamente inversas. Otro hecho obvio es que W1 ⊂ W2 si y s´lo
o
◦ ◦
si W2 ⊂ W1 .
Consideremos ahora X = P(V ) y sea X ∗ = P(V ∗ ). Sea u : V −→ V ∗ un
isomorfismo. Llamemos P(X) al conjunto de todas las variedades proyectivas
de X. Definimos p : P(X) −→ P(X) como la aplicaci´n dada por
o
p(P(W )) = P(u[W ]◦ ).
Es claro que p es biyectiva, as´ como que invierte el orden: L1 ⊂ L2 si y s´lo
ı o
si p(L2 ) ⊂ p(L1 ). Observar que p no se altera si sustituimos u por un m´ltiplo
u
suyo, luego p depende s´lo de la homograf´ H inducida por u.
o ıa
Definici´n 8.35 Una correlaci´n en un espacio proyectivo X es una biyecci´n
o o o
p : P(X) −→ P(X) entre las variedades lineales de X que invierte el orden.
Hemos probado que cada homograf´ H : X −→ X ∗ induce una correlaci´n
ıa o
entre las variedades lineales de X. A las correlaciones inducidas por homograf´
ıas
las llamaremos correlaciones proyectivas. Veremos enseguida que la existencia
de correlaciones implica el principio de dualidad. Antes probamos las propieda-
des b´sicas de las correlaciones:
a
Teorema 8.36 Sea X un espacio proyectivo de dimensi´n n y consideremos en
o
´l una correlaci´n p : P(X) −→ P(X). Entonces
e o
1. L1 ⊂ L2 si y s´lo si p(L2 ) ⊂ p(L1 ).
o
2. dim L + dim p(L) = n.
3. p(L1 + L2 ) = p(L1 ) ∩ p(L2 ), p(L1 ∩ L2 ) = p(L1 ) + p(L2 ).
Demostracion: 1) es parte de la definici´n de correlaci´n.
´ o o
2) Dada una variedad L podemos formar una sucesi´n de variedades
o
L−1 ⊂ L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ln = X,
donde dim Li = i para todo i y L = Li para alg´n i. Al aplicar p obtenemos
u
una sucesi´n decreciente de variedades, luego necesariamente dim p(Li ) = n − i.
o
3) es consecuencia inmediata de que p es biyectiva e invierte el orden, pues
necesariamente ha de enviar la menor variedad que contiene a dos dadas en la
mayor variedad contenida en dos dadas, y viceversa.
Ahora es claro que un espacio proyectivo X de dimensi´n n satisface el
o
principio de dualidad siguiente:
Dada una afirmaci´n sobre X, la afirmaci´n que resulta de intercam-
o o
biar las variedades de dimensi´n m por las variedades de dimensi´n
o o
n − m e invertir las inclusiones es equivalente a la dada.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-243-320.jpg)
![232 Cap´
ıtulo 8. La geometr´ proyectiva
ıa
Por ejemplo, partamos de que toda recta contiene tres puntos y vamos a
probar que toda variedad de dimensi´n n − 2 est´ contenida en tres hiperplanos.
o a
Fijamos una correlaci´n p. Dada una variedad L de dimensi´n n − 2, entonces
o o
p(L) es una recta, luego contiene tres puntos, que podemos expresar en la forma
p(L1 ), p(L2 ), p(L3 ), donde L1 , L2 y L3 son tres hiperplanos distintos. Por
consiguiente L ⊂ L1 ∩ L2 ∩ L3 .
Hay una forma equivalente de expresar las correlaciones proyectivas que
permite introducir una propiedad de simetr´ Un isomorfismo u : V −→ V ∗
ıa.
induce una forma bilineal regular F : V ×V −→ K mediante F (v, w) = u(v)(w).
Rec´ıprocamente, cada forma bilineal regular F induce un isomorfismo u por la
relaci´n anterior. De este modo tenemos una biyecci´n entre isomorfismos y
o o
formas regulares, y cada correlaci´n proyectiva est´ inducida por una forma
o a
regular.
Con m´s detalle, si F es la forma bilineal inducida por u y W es un subespacio
a
de V , entonces
u[W ]◦ = {v ∈ V | F (w, v) = 0 para todo w ∈ W }.
Representaremos este conjunto por W F . De este modo, la correlaci´n in-
o
ducida por una forma bilineal F viene dada por p(P(W )) = P(W F ). Hemos
probado que
dim W + dim W F = n + 1
Diremos que F es ortosim´trica si F (v, w) = 0 equivale a F (w, v) = 0, para
e
todo par de vectores v y w. Una forma regular en un espacio V es ortosim´trica
e
si y s´lo si W F F = W para todo subespacio W de V , pues si F es ortosim´trica
o e
entonces W ⊂ W F F , y como las dimensiones son iguales se da la igualdad,
F FF F
rec´ıprocamente, si F (v, w) = 0 entonces w ∈ v y v ∈ v ⊂ w , luego
F (w, v) = 0. A su vez esto equivale a que la correlaci´n inducida cumpla
o
p(p(L)) = L, para toda variedad L, es decir, p ◦ p es la identidad.
Definici´n 8.37 Una correlaci´n p es sim´trica si p ◦ p es la identidad.
o o e
Tenemos que una correlaci´n proyectiva es sim´trica si y s´lo si la forma bi-
o e o
lineal que la induce es ortosim´trica. En vista de esto es interesante caracterizar
e
las formas bilineales regulares ortosim´tricas:
e
Teorema 8.38 Sea F una forma bilineal ortosim´trica regular en un espacio
e
vectorial V . Entonces F est´ en uno de los dos casos siguientes:
a
1. F es sim´trica, es decir, F (v, w) = F (w, v) para todo v, w ∈ V .
e
2. F es antisim´trica, es decir, F (v, w) = −F (w, v) para todo v, w ∈ V . En
e
tal caso dim V ha de ser par.
Demostracion: Para cada y ∈ V llamemos u(y) y v(y) a las formas de
´
V ∗ dadas por u(y)(x) = F (x, y) y v(y)(x) = F (y, x). El hecho de que F sea
regular implica que u y v son dos isomorfismos entre V y V ∗ . La hip´tesis de
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-244-320.jpg)
![8.5. Dualidad 233
ortosimetr´ implica que u(y) y v(y) tienen el mismo n´cleo, luego existe un
ıa u
escalar ty tal que v(y) = ty u(y).
Si y1 e y2 son vectores linealmente independientes, entonces
v(y1 + y2 ) = ty1 +y2 u(y1 + y2 ) = ty1 u(y1 ) + ty2 u(y2 ),
de donde se sigue que ty1 = ty1 +y2 = ty2 . Es f´cil ver entonces que el escalar
a
ty no depende de y (si V tiene dimensi´n 1 se llega inmediatamente a la misma
o
conclusi´n). Por consiguiente v(y) = t u(y), para todo y.
o
Distinguimos dos casos. Si existe un vector a ∈ V tal que F (a, a) = 0,
entonces u(a) = v(a) = 0, de donde t = 1, luego
F (x, y) = u(y)(x) = v(y)(x) = F (y, x),
es decir, F es sim´trica. Si F (a, a) = 0 para todo vector a, entonces
e
0 = F (v + w, v + w) = F (v, w) + F (w, v),
luego F (v, w) = −F (w, v) para todo para de vectores, luego F es antisim´trica. e
Falta ver que en este caso la dimensi´n del espacio es par.
o
Sea e1 , . . ., en una base de V y e∗ , . . ., e∗ su base dual. La matriz A de u en
1 n
estas bases tiene en el lugar (i, j) a u(ei )(ej ) = F (ej , ei ). La antisimetr´ nos
ıa
da entonces que At = −A. Tomando determinantes |A| = (−1)n |A|, luego n ha
de ser par, pues |A| = 0.
Esta clasificaci´n es satisfactoria porque ahora basta conocer la matriz de F
o
en una base para saber si es o no ortosim´trica (seg´n si la matriz es sim´trica
e u e
o antisim´trica).
e
En particular resulta que las correlaciones proyectivas sim´tricas de los pla-
e
nos proyectivos son las inducidas por formas bilineales sim´tricas (no pueden
e
ser antisim´tricas porque est´n definidas sobre un espacio tridimensional).
e a
Dado un espacio proyectivo X, llamaremos H(X) al conjunto de todos los hi-
perplanos de X. Cada correlaci´n se restringe a una biyecci´n p : X −→ H(X).
o o
A tales biyecciones se las llama dualidades, y si la correlaci´n es sim´trica se
o e
llaman polaridades. Por el teorema 8.36, cada dualidad determina la correlaci´n
o
que la define. Una polaridad p empareja cada punto P de X con un hiperplano
Π. Diremos que P es el polo de Π y que Π es el hiperplano polar de P .
Si U es la n + 1-tupla de coordenadas homog´neas de un punto Q respecto a
e
un sistema de referencia y A es la matriz de una dualidad proyectiva p en dicho
sistema (es decir, la matriz de una forma bilineal que la induzca), entonces p(Q)
es el hiperplano de ecuaci´n U AX t = 0.
o
El ejemplo m´s simple lo tenemos cuando A es la matriz identidad. Fi-
a
jado un sistema coordenada, el hiperplano polar del punto (a1 , . . ., an+1 ) es el
determinado por la ecuaci´n a1 x1 + · · · an+1 xn+1 = 0, y viceversa.
o
Notemos que si H es una homograf´ en X, entonces H se extiende a una
ıa
biyecci´n H : P(X) −→ P(X) que conserva las inclusiones (H(L) = H[L]). El
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-245-320.jpg)
![234 Cap´
ıtulo 8. La geometr´ proyectiva
ıa
comportamiento de las homograf´ as´ extendidas es muy similar al de las co-
ıas ı
rrelaciones, salvo que no invierten las inclusiones. El teorema siguiente muestra
la compatibilidad entre ambas nociones:
Teorema 8.39 Sea H una homograf´ en un espacio proyectivo X y sean p y
ıa
q dos correlaciones proyectivas en X. Entonces H ◦ p y p ◦ H son correlaciones
proyectivas p ◦ q es una homograf´ıa.
Demostracion: Los tres hechos se prueban de forma similar. Veamos tan
´
s´lo que p ◦ q es una homograf´ Fijemos un sistema de referencia proyectivo
o ıa.
y sean A y B las matrices de p y q en dicho sistema. Sea U la n + 1-tupla de
coordenadas homog´neas de un punto Q. Entonces p(Q) es el hiperplano de
e
ecuaci´n U AX t = 0. La imagen por q de este hiperplano es U AB −1 , luego p ◦ q
o
es la homograf´ inducida por el isomorfismo de matriz AB −1 .
ıa
Si p y q son correlaciones no necesariamente proyectivas, lo unico que po-
´
demos decir de p ◦ q es que es una biyecci´n que conserva las colineaciones. Si
o
estamos en un espacio proyectivo real podemos concluir que se trata de una
homograf´ por el teorema fundamental. En particular, si p es una correlaci´n
ıa o
arbitraria y q es proyectiva, tenemos que p ◦ q = H es una homograf´ luego
ıa,
p = q ◦ H −1 es tambi´n proyectiva. En definitiva:
e
Teorema 8.40 Toda correlaci´n en un espacio proyectivo real es proyectiva.
o
El principio de dualidad se aplica a enunciados que contienen homograf´
ıas.
Para verlo, dada una homograf´ H ∈ GP(X) y una dualidad p, definimos
ıa
H p : X −→ X como la homograf´ dada por H p (Q) = p H[p−1 (Q)] .
ıa
Veamos un ejemplo. Diremos que una homograf´ H tiene un centro de
ıa
perspectiva O si fija a los hiperplanos que pasan por el punto O, y diremos
que H tiene un eje de perspectiva Π fija a todos los puntos del hiperplano
Π. Recordemos que hemos definido una perspectividad como una homograf´ ıa
distinta de la identidad que tiene un centro y un eje de perspectiva. Ahora bien,
es claro que se cumple la afirmaci´n siguiente:
o
Toda homograf´ con un eje de perspectiva tiene un centro de pers-
ıa
pectiva.
La raz´n es que al restringir la homograf´ al complementario de su eje tiene
o ıa
que ser una traslaci´n o una homotecia. Vamos a probar el teorema dual:
o
Toda homograf´ con un centro de perspectiva tiene un eje de pers-
ıa
pectiva.
Fijamos una correlaci´n proyectiva p. Basta observar que si H tiene a O
o
por centro de perspectiva, entonces H p tiene a p(O) como eje de perspectiva:
en efecto, si Q ⊂ p(O), entonces O ⊂ p−1 (Q), luego H p−1 (Q) = p−1 (Q),
luego Q = H p (Q). Por consiguiente H p tiene un centro de perspectiva E, y un
razonamiento similar muestra que p−1 (E) es un eje de perspectiva de H.
En general podemos dualizar cualquier afirmaci´n que haga referencia a
o
homograf´ considerando a ´stas autoduales.
ıas e](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-246-320.jpg)
![9.1. Clasificaci´n de formas bilineales sim´tricas
o e 253
Por otra parte, W es el n´cleo de la aplicaci´n lineal V −→ K dada por
u o
v → F (v1 , v), cuya imagen es todo K (porque no es nula), luego dim W = n − 1,
y esto implica que V = v1 ⊕ W .
Por hip´tesis de inducci´n W tiene una base ortogonal respecto a la res-
o o
tricci´n de F , digamos v2 , . . ., vn . Es claro que v1 , . . ., vn es una base ortogonal
o
de V .
Es obvio que la matriz de una forma bilineal en una base ortogonal es una
matriz diagonal. Por lo tanto hemos probado lo siguiente:
Teorema 9.3 Toda matriz sim´trica sobre un cuerpo de caracter´
e ıstica distinta
de 2 es congruente con una matriz diagonal.
´
(Observar que la simetr´ de la matriz es necesaria. Este es el motivo por el
ıa
cual nos hemos restringido a formas sim´tricas.)
e
Las matrices diagonales no son formas can´nicas, pues nada impide que
o
dos matrices diagonales sean congruentes. El problema de encontrar invarian-
tes y formas can´nicas se vuelve extremadamente delicado a partir de este
o
punto, y depende profundamente del cuerpo considerado. S´lo hay un senci-
o
llo resultado que podemos a˜adir en general: Una matriz diagonal de la forma
n
A = [a2 b1 , . . ., a2 bn ], con cada ai = 0 es congruente con B = [b1 , . . ., bn ], pues
1 n
A = M BM t , donde M = [a1 , . . ., an ], es decir, podemos eliminar cuadrados de
la diagonal. Esto nos resuelve el problema en cuerpos donde todo elemento sea
un cuadrado, como es el caso de C y, en general, de todo cuerpo algebraicamente
cerrado. En efecto:
Teorema 9.4 Sea K un cuerpo de caracter´ ıstica distinta de 2 en el que todo
elemento sea un cuadrado. Entonces toda matriz sim´trica A sobre K es con-
e
gruente con una unica matriz de la forma [1, . . ., 1, 0, . . ., 0], donde r es el rango
´
de A. r
En efecto, toda matriz A es congruente con una matriz diagonal, que ser´ de a
la forma [a2 , . . ., a2 , 0, . . ., 0], y podemos eliminar los cuadrados para convertirlos
1 r
en unos. Es obvio que dos matrices congruentes son equivalentes, luego tienen
el mismo rango, luego el n´mero de ceros y unos que aparecen es fijo.
u
En particular dos matrices sim´tricas sobre C (de las mismas dimensiones)
e
son congruentes si y s´lo si tienen el mismo rango, y esto es comprobable en la
o
pr´ctica. Nos interesa llegar a un resultado similar para matrices sobre R. En
a
este caso ya no podemos contar con que todo n´mero real sea un cuadrado. Lo
u
que tenemos es que todo n´mero real es de la forma ±a2 . Por lo tanto toda
u
matriz sim´trica real es congruente con una de la forma [±a2 , . . ., ±a2 , 0, . . ., 0],
e 1 r
y ´sta a su vez es congruente con una de la forma [1, . . ., 1, −1, . . ., −1, 0, . . ., 0].
e
Vamos a probar que estas matrices son can´nicas, es decir, que dos distintas
o
nunca son congruentes.
Teorema 9.5 (Ley de inercia de Sylvester) Todas las matrices diagonales
congruentes con una matriz real sim´trica A tienen el mismo n´mero s de coe-
e u
ficientes positivos, al que llamaremos signatura de A. El n´mero de coeficientes
u
negativos ser´ necesariamente r − s, donde r es el rango de A.
a](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-265-320.jpg)
![254 Cap´
ıtulo 9. Secciones c´nicas
o
Demostracion: Consideremos una forma bilineal F en un espacio vectorial
´
V definida por la matriz A en una cierta base. Sean v1 , . . ., vn y w1 , . . ., wn dos
bases de V en las que la matriz de F sea diagonal. Podemos suponer que estas
matrices son [a1 , . . ., ar , 0, . . ., 0] y [b1 , . . ., br , 0, . . ., 0], donde r es el rango de las
matrices,
ai 0 para i = 1, . . ., s, ai 0 para i = s + 1, . . ., r,
bi 0 para i = 1, . . ., s , bi 0 para i = s + 1, . . ., r.
Hemos de probar que s = s .
Sean S = v1 , . . ., vs , T = vs +1 , . . ., vn . Veamos que S ∩ T = 0. En efecto,
s
todo v ∈ S es de la forma v = αi vi , luego
i=1
s s s
F (v, v) = αi αj F (vi , vj ) = 2
αi F (vi , vi ) = αi ai ≥ 0.
2
i,j=1 i=1 i=1
Adem´s F (v, v) = 0 si y s´lo si αi = 0 para todo i, si y s´lo si v = 0.
a o o
Similarmente se prueba que si v ∈ T entonces F (v, v) ≤ 0 y F (v, v) = 0 si y
s´lo si v = 0. Ahora es claro que S ∩ T = 0.
o
Tomando dimensiones vemos que s + n − s ≤ n, o sea, s ≤ s . Del mismo
modo se prueba la desigualdad contraria.
El teorema anterior nos permite definir la signatura de una forma bilineal
sim´trica real como la de cualquiera de sus matrices. Ahora es claro que una
e
matriz sim´trica real de rango r y signatura s es congruente con la matriz
e
diagonal
[1, . . ., 1, −1, . . ., −1, 0, . . ., 0],
s r−s
y que dos matrices de esta forma no pueden ser congruentes, pues tienen distinto
rango o signatura. Por consiguiente:
Teorema 9.6 Dos matrices sim´tricas reales son congruentes si y s´lo si tienen
e o
el mismo rango y la misma signatura.
En realidad el teorema anterior es v´lido en cualquier cuerpo ordenado en
a
el que los elementos positivos sean cuadrados. Esto incluye, por ejemplo, al
cuerpo de los n´meros reales constructibles con regla y comp´s. La obtenci´n
u a o
de formas can´nicas en cuerpos como Q requiere resultados importantes de
o
teor´ de n´meros.
ıa u
Con el teorema anterior tenemos resuelto el problema te´rico que nos hab´
o ıa-
mos planteado, pero conviene que nos detengamos a dar un m´todo para calcular
e
en la pr´ctica la signatura de una matriz sim´trica real, pues la forma de hacerlo
a e
es muy simple. Vamos a probar que todo se reduce a calcular los valores propios
de la matriz. Nos basamos en el teorema siguiente:](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-266-320.jpg)
![9.1. Clasificaci´n de formas bilineales sim´tricas
o e 255
Teorema 9.7 Sea h : V −→ V un endomorfismo en un espacio vectorial
eucl´
ıdeo. Si la matriz de h en una base ortonormal es sim´trica, entonces V
e
tiene una base ortonormal formada por vectores propios de h.
Demostracion: Sea A la matriz de h a la que alude el enunciado. En
´
primer lugar probaremos que su polinomio caracter´ ıstico tiene todas sus ra´
ıces
reales. Sea λ ∈ C una de sus ra´ ıces. Entonces zA = λz para un cierto z ∈ Cn
¯z ¯z
no nulo. Conjugando, z A = λ¯, luego A¯t = λ¯t . Multiplicando por z queda
¯ z
¯ z t = zA¯t = λz z t . Es claro que z z t = 0, luego λ = λ.
λz ¯ z ¯ ¯ ¯
Sean λ1 , . . ., λr las ra´ distintas del polinomio caracter´
ıces ıstico de A, es decir,
los valores propios de A. Para cada i, sea Vi el espacio de vectores propios
asociado. Veamos que si i = j entonces Vi ⊥ Vj .
Sean x e y las coordenadas de dos vectores en Vi y Vj respectivamente.
Entonces xA = λi x, yA = λj y, luego Ay t = λj y t . Multiplicando obtenemos
λi xy t = xAy t = λj xy t . Puesto que λi = λj ha de ser xy t = 0, lo que prueba
que los vectores correspondientes son ortogonales.
Sea W = V1 ⊥ · · · ⊥ Vr . Veamos que h[W ⊥ ] ⊂ W ⊥ . En efecto, sea v ∈ W ⊥ .
Sean x las coordenadas de v e y las coordenadas de un vector de Vi . Entonces
xy t = 0 y yA = λi y, luego xAy t = λi xy t = 0. Como xA son las coordenadas de
h(v), concluimos que h(v) es ortogonal a cada Vi , luego a W .
Esto prueba que h puede restringirse a un endomorfismo de W ⊥ . Es f´cil ver
a
que la matriz de h en cualquier base ortonormal es sim´trica (basta probar que
e
toda matriz de la forma M AM t lo es). Si W ⊥ = 0, la matriz de h|W ⊥ en una
base ortonormal ser´ sim´trica (basta completarla hasta una base ortonormal
a e
de V y usar que la matriz de h en esta base lo es). Aplicando lo ya probado
llegamos a que h tiene un vector propio en W ⊥ , pero esto es absurdo, pues todos
los vectores propios de h est´n en W . As´ pues, W ⊥ = 0 y V = W ⊥ W ⊥ = W .
a ı
Ahora basta tomar una base ortonormal en cada Vi y unirlas todas.
Equivalentemente, hemos probado que toda matriz sim´trica es semejante
e
a una matriz diagonal y, m´s a´n, que la matriz de semejanza puede tomarse
a u
ortogonal (pues transforma una base ortonormal en otra base ortonormal).
En t´rminos de los invariantes de una matriz, lo que hemos probado es que
e
las matrices sim´tricas reales tienen todos sus divisores elementales de grado 1,
e
por lo que la dimensi´n del espacio fundamental de un valor propio es su mul-
o
tiplicidad en el polinomio caracter´ıstico. Ahora probamos el resultado que nos
interesa:
Teorema 9.8 Sea F una forma bilineal sim´trica en un espacio vectorial eucl´
e ı-
deo. Entonces existe una base ortonormal de V que es ortogonal para F .
Demostracion: Sea A la matriz de F en una base ortonormal de V , que
´
ser´ sim´trica. Sea h el endomorfismo de V que en dicha base tiene matriz
a e
A. Por el teorema anterior V tiene una base e1 , . . ., en formada por vectores
propios de h, es decir, si llamamos x1 , . . ., xn a sus coordenadas en la base](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-267-320.jpg)
![9.3. La polaridad de una c´nica
o 267
Ejemplo Consideremos de nuevo la hip´rbola de ecuaci´n
e o
x2 + 3y 2 − 4xy + 2x + 4y + 4 = 0.
Ya hemos visto que sus puntos infinitos son (1, 1, 0) y (3, 1, 0). Su centro es
el punto (x, y, 1) cuya recta polar tiene coordenadas (0, 0, a), es decir
1 −2 1
(x, y, z) −2 3 2 = (0, 0, a),
1 2 2
lo que se traduce en las ecuaciones
x − 2y + z = 0
−2x + 3y + 2z = 0
La soluci´n es (7, 4, 1). En coordenadas cartesianas el centro es (7, 4).
o
Las as´
ıntotas son las polares de los puntos infinitos:
1 −2 1 x
(1, 1, 0) −2 3 2 y = 0,
1 2 2 z
1 −2 1 x
(3, 1, 0) −2 3 2 y = 0,
1 2 2 z
Al desarrollar obtenemos −x + y + 3z = 0 y x − 3y + 5z = 0. Las ecuaciones
cartesianas son, pues,
1 5
y = x − 3, y = x + .
3 3
Para representar gr´ficamente la hip´rbola conviene parametrizarla del modo
a e
siguiente. Tomamos uno cualquiera de sus puntos, por ejemplo (1, 1, 0) y consi-
deramos el haz de rectas que pasa por ´l. Se trata del haz de rectas paralelas a
e
ıntota por este punto, es decir, y = x + m − 3, donde el par´metro m var´
la as´ a ıa
en R. La constante −3 hace que para m = 0 tengamos la as´ ıntota, mientras que
para los dem´s valores la recta correspondiente corta a la hip´rbola en un unico
a e ´
punto finito (porque ha de ser secante y uno de los puntos de corte es infinito),
que puede calcularse resolviendo el sistema formado por la ecuaci´n de la recta
o
y la de la c´nica. El resultado es
o
−3m2 + 14m − 19 −m2 + 8m − 19
,
2m 2m
Cuando m recorre los intervalos ]−∞, 0[ y ]0, +∞[ la expresi´n anterior nos
o
da cada una de las dos ramas de la hip´rbola.
e](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-279-320.jpg)
![9.4. El teorema de Steiner 269
rectas de ecuaci´n
o
(ax + by + cz) + λ(a x + b y + c z) = 0, con λ ∈ K ∪ {∞}.
o ¯
Una homograf´ H ∈ GP(X) induce una biyecci´n H : HO −→ HH(O) dada
ıa
por r → H[r]. A una biyecci´n de este tipo la llamaremos una homograf´ entre
o ıa
los haces de rectas.
Sean O y O dos puntos cualesquiera y r, r dos rectas tales que O no
est´ en r y O no est´ en r . Veamos que existe una correspondencia natural
e e
entre las homograf´ HO −→ HO y las homograf´ r −→ r . Concretamente,
ıas ıas
a cada homograf´ H entre los haces le corresponde la homograf´ dada por
ıa ıa
P → H(OP ) ∩ r . Su inversa asigna a cada homograf´ H entre las rectas la
ıa
dada por s → O H(s ∩ r).
En efecto, es obvio que ambas correspondencias son una inversa de la otra,
luego s´lo hay que probar que las aplicaciones as´ definidas son realmente ho-
o ı
ıas. ¯
mograf´ Sea H una homograf´ entre los haces y sea s = H[r]. La proyecci´n
ıa o
perspectiva de s en r de centro O se extiende a una perspectividad f de centro
O . Como fija a las rectas que pasan por O es claro que la homograf´ H ◦ f
ıa
induce la misma homograf´ entre los haces de rectas, pero adem´s transforma
ıa a
r en r . Por lo tanto podemos suponer que H[r] = r . En tal caso, la aplicaci´n
o
que hemos definido entre r y r es simplemente la restricci´n de H, luego es una
o
homograf´ ıa.
Rec´ıprocamente, si H : r −→ r es una homograf´ tomamos un sistema de
ıa,
referencia formado por O, dos puntos A, B en r y un cuarto punto D. Por otra
parte, consideramos el sistema de referencia formado por O , H(A), H(B), D ,
donde D es cualquier punto de la recta O H(D ∩ r) no contenido en r. Sea
H la homograf´ del plano que transforma un sistema de referencia en otro.
ıa
Entonces H induce una homograf´ entre los haces de rectas y ´sta a su vez
ıa e
induce una homograf´ de r en r que coincide en tres puntos con la dada, luego
ıa
¯
es la dada. Es claro que H es la aplicaci´n que le hemos asignado a H.
o
En particular esto implica que dadas tres rectas en un haz HO , existe una
unica homograf´ que las transforma en tres rectas dadas de otro haz HO .
´ ıa
Vamos a obtener la expresi´n en coordenadas de una homograf´ entre dos
o ıa
haces.
Una homograf´ que transforme las rectas ax+by+cz = 0 y a x+b y+c z = 0
ıa
en las rectas ux + vy + wz = 0 y u x + v y + w z = 0 se corresponde a trav´s e
de p con una homograf´ que transforma los puntos (a, b, c) y (a , b , c ) en los
ıa
puntos (u, v, w) y (u , v , w ). Una tercera recta del haz ser´ de la forma
a
(ax + by + cz) + λ0 (a x + b y + c z) = 0, con λ0 ∈ K {0},
que se transformar´ en una recta
a
(ux + vy + wz) + µ0 (u x + v y + w z) = 0, con µ0 ∈ K {0}.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-281-320.jpg)
![270 Cap´
ıtulo 9. Secciones c´nicas
o
La homograf´ asociada a trav´s de p transformar´ (a, b, c) + λ0 (a , b , c ) en
ıa e a
(u, v, w) + µ0 (a , b , c ). Es claro que una (y por tanto la unica) homograf´ que
´ ıa
cumple estas condiciones es la dada por
µ0
(a, b, c) + λ(a , b , c ) → (u, v, w) + λ (a , b , c ),
λ0
luego la homograf´ entre los haces de rectas es la dada por
ıa
µ0
ax + by + cx + λ(a x + b y + c z) = 0 → ux + vy + wz + λ (u x + v y + w z) = 0.
λ0
Notemos que podemos multiplicar por µ0 /λ0 los coeficientes (u , v , w ) sin
alterar por ello la ecuaci´n de la recta, y entonces la ecuaci´n de la homograf´
o o ıa
entre haces se expresa simplemente como
ax + by + cx + λ(a x + b y + c z) = 0 → ux + vy + wz + λ(u x + v y + w z) = 0.
Es claro que toda correspondencia de este tipo es una homograf´ entre haces.
ıa
ıa ¯
Diremos que una homograf´ H : HO −→ HO entre dos haces con centros
distintos O = O es una proyecci´n perspectiva si H es una perspectividad (m´s
o a
exactamente, si existe una perspectividad H , no necesariamente H, tal que
¯ ¯
H = H ).
ıa ¯
Una homograf´ H es una perspectividad si y s´lo si fija la recta OO . En
o
efecto, si H es una perspectividad de centro P , como ha de cumplir H(O) = O ,
los puntos P , O y O han de ser colineales, luego H fija a OO . Rec´ıprocamente,
¯
si H fija a OO , tomamos dos rectas r y s en HO distintas de OO y sus im´genes
a
r = H[r] y s = H[s]. Sean Q = r ∩ r , Q = s ∩ s . Sea P = OO ∩ QQ . La
proyecci´n perspectiva de centro P entre r y s se extiende a una perspectividad
o
de centro P que transforma O en O y Q en Q , luego induce una homograf´ ıa
entre los haces que coincide con la dada en OO , r y s, luego es la dada.
ıa ¯
Notar que una homograf´ H : HO −→ HO con O = O no puede fijar a
ninguna recta salvo a lo sumo a OO , luego decir que no es perspectiva equivale
a decir que no fija a ninguna recta.
Finalmente podemos probar:
Teorema 9.20 (Steiner) Sean O y O puntos distintos en un plano proyectivo
¯
real o complejo. Sea H : HO −→ HO una homograf´ no perspectiva. Entonces
ıa
¯
cada recta r ∈ HO corta a H(r) en un unico punto Pr . La figura C formada por
´
todos los puntos Pr es una c´nica no degenerada, y toda c´nica no degenerada
o o
puede obtenerse de esta forma.
Demostracion: Fijemos un sistema de referencia en el plano X.
´ La
ecuaci´n de la homograf´ entre las rectas es
o ıa
ax + by + cx + λ(a x + b y + c z) = 0 → ux + vy + wz + λ(u x + v y + w z) = 0.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-282-320.jpg)
![272 Cap´
ıtulo 9. Secciones c´nicas
o
can´nicas para la matriz A, pero sabemos al menos que eligiendo el sistema de
o
referencia la podemos tomar diagonal. Su determinante ha de ser no nulo, pues
en caso contrario ser´ de la forma [1, a, 0], y la ecuaci´n correspondiente ser´
ıa o ıa
x2 + a y 2 = 0, que corresponde al punto (0, 0, 1) si −a no es un cuadrado en K
o a las rectas x + b y = 0, x − b y = 0 si −a = b2 , y ni un punto ni dos rectas
son una c´nica. As´ pues:
o ı
Teorema 9.22 Los puntos de una c´nica est´n caracterizados por que sus coor-
o a
denadas en un sistema de referencia dado satisfacen una ecuaci´n de la forma
o
XAX t = 0, donde A es una matriz sim´trica regular.
e
Lo que no sabemos determinar en general es qu´ matrices corresponden a
e
c´nicas y cu´les no, pero al menos sabemos que las c´nicas en el sentido de la
o a o
definici´n 9.21 cumplen tambi´n la definici´n 9.16 que hemos usado para definir
o e o
la polaridad de una c´nica, luego todos los resultados sobre polaridades son
o
v´lidos para la definici´n de c´nica que finalmente hemos adoptado.1
a o o
9.5 Propiedades de las c´nicas proyectivas
o
Vamos a extraer las primeras consecuencias de la definici´n general de c´nica
o o
proyectiva que acabamos de dar, entre las cuales estar´n los hechos que ya
a
conoc´ ıamos para el caso particular de las c´nicas reales y complejas. En primer
o
lugar es importante notar lo siguiente: dados cinco puntos A, B, C, D, E no
colineales tres a tres, podemos construir una c´nica que los contiene a partir de
o
la homograf´ entre HA y HB que hace corresponder las rectas AC, AD y AE
ıa
con BC, BD y BE, respectivamente. Para abreviar, las correspondencias como
´sta entre rectas de dos haces las representaremos as´ A(CDE) − B(CDE).
e ı: ∧
Hay que destacar que esto no prueba que por los cinco puntos dados pase
una unica c´nica, pues para ello hemos de probar que no importa la elecci´n de
´ o o
A y B como centros de los haces o, dicho de otro modo, que otra homograf´ ıa
como C(ABE) − D(ABE) define la misma c´nica. Todav´ no estamos en
∧ o ıa
condiciones de probarlo.
Sea C la c´nica determinada por la homograf´ A(CDE) − B(CDE). Vea-
o ıa ∧
mos c´mo determinar expl´
o ıcitamente los dem´s puntos de C a partir de los cinco
a
que tenemos. M´s concretamente, tomamos una recta arbitraria r que pase por
a
C y vamos a ver que corta a C en un unico punto distinto de C salvo en un
´
caso excepcional (en que r ser´ tangente a C). Podemos suponer que r no pasa
a
por A, pues en tal caso es claro que A y C son los unicos puntos de C en r.
´
Similarmente suponemos que B no est´ en r.
a
1 El requisito de que la c´nica contenga al menos cuatro puntos no colineales s´lo lo hemos
o o
usado para asegurar la unicidad de la polaridad de una c´nica. Sin ´l se demuestra igualmente
o e
que cada recta corta a una c´nica a lo sumo en dos puntos, luego las c´nicas no contienen
o o
ternas de puntos colineales. La existencia de cuatro puntos se cumple porque el cuerpo ha de
tener al menos tres elementos, luego cada recta tiene al menos cuatro puntos, luego cada haz
de rectas tiene al menos cuatro rectas, luego cada c´nica tiene al menos cuatro puntos.
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-284-320.jpg)
![9.5. Propiedades de las c´nicas proyectivas
o 275
Teorema 9.24 Por cinco puntos no colineales tres a tres pasa una unica c´nica.
´ o
De hecho tenemos que cualquier c´nica est´ definida a partir de una homo-
o a
graf´ entre los haces de rectas de centros dos cualesquiera de sus puntos. Esto
ıa
nos permite expresar de forma completamente sim´trica la condici´n que hemos
e o
obtenido para que seis puntos distintos formen parte de una c´nica:
o
Teorema 9.25 (Teorema de Pascal) Seis puntos no colineales tres a tres
est´n contenidos en una misma c´nica si y s´lo si los lados opuestos de un
a o o
hex´gono cualquiera que los tenga como v´rtices se cortan en tres puntos coli-
a e
neales.
Sigamos recogiendo consecuencias: Si C es una c´nica y A, B son dos cuales-
o
quiera de sus puntos, entonces la c´nica est´ determinada por una homograf´
o a ıa
entre los haces de rectas por A y B. Si P ⊂ C es distinto de A y B entonces la
recta AP es la hom´loga de BP . Esto determina la imagen de cualquier recta
o
por A excepto la tangente a C, que no corta a la c´nica en ning´n otro punto
o u
P , y la recta AB. Similarmente, las rectas BP cubren todas las del haz de
rectas por B excepto la tangente en B y la misma AB. Como la homograf´ no ıa
puede ser perspectiva y por lo tanto no fija a ninguna recta, ha de hacer corres-
ponder AB con la tangente por B y la tangente por A con AB. Si convenimos
en representar por P P la tangente a C por un punto P , entonces la expresi´n o
AP → BP recoge todos los casos. Expresaremos que esta correspondencia es
una homograf´ mediante la notaci´n A[P ] − B[P ], donde los corchetes indican
ıa o ∧
que P es una variable (que en este caso recorre los puntos de C). Esto es, en un
contexto general, el n´cleo del teorema de Steiner:
u
Teorema 9.26 (Steiner) Si C es una c´nica, A y B son dos cualesquiera de
o
sus puntos y P recorre los puntos de C, entonces A[P ] − B[P ].
∧
Nos ocupamos ahora del estudio de las tangentes. Hemos probado que si
conocemos cinco puntos A, B, C, D, E en una c´nica, podemos trazar la tan-
o
gente por uno de ellos, digamos C determinando los puntos S = BD ∩ AC,
T = DC ∩ AE y Q = BE ∩ ST . La tangente es entonces CQ .
Tenemos, pues, el teorema siguiente, que contiene la informaci´n necesaria
o
para trazar la tangente a una c´nica por un punto dado:
o
Teorema 9.27 Sean A, B, C, D, E cinco puntos distintos en una c´nica C.
o
Sea r la tangente a C por C. Entonces los puntos r ∩ BE, AE ∩ CD y BD ∩ CA
son colineales.
B
E
D Q
T
S
A C](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-287-320.jpg)
![9.6. Homograf´ entre c´nicas
ıas o 287
Demostracion: Hemos visto que cada homograf´ en una c´nica [P ] − [P ]
´ ıa o ∧
induce una homograf´ en HA dada por A[P ] − A[P ]. Si componemos ´sta con
ıa ∧ e
la homograf´ del teorema de Steiner, es decir, A [P ] − A[P ], obtenemos la
ıa ∧
homograf´ A [P ] − A[P ] entre los haces HA y HA . Esta homograf´ fija a
ıa ∧ ıa
la recta AA , luego es una proyecci´n perspectiva, es decir, est´ inducida por
o a
una perspectividad H. Sea r su eje de perspectiva. Entonces cada par de
rectas hom´logas AB y B A se cortan en r (para todo punto B). Falta probar
o
que r es independiente de A. Ahora bien, si tomamos tres puntos distintos A,
B, C con im´genes distintas de ellos tres A , B , C , los puntos AB ∩ A B,
a
A C ∩ C A, BC ∩ C B son colineales, por el teorema de Pascal aplicado al
hex´gono AB CA BC . Si llamamos r0 a la recta que los contiene, vemos que
a
r0 es la recta r determinada por A y tambi´n la determinada por B. Esto
e
prueba que si A y B tienen im´genes distintas de ellos mismos (es decir, salvo
a
si A = B o B = A) ambos determinan la misma recta. Si A = B tomamos
un tercer punto C tal que C y C sean distintos de A, A , B, B y concluimos
que A, y B determinan ambos la misma recta que C.
Por dualidad tenemos tambi´n el teorema siguiente:
e
Teorema 9.49 Si r = r , s = s son dos pares de tangentes hom´logas por una
o
homograf´ en una c´nica, entonces la recta que pasa por r ∩s y r ∩s es colineal
ıa o
con un punto O independiente de la elecci´n de las rectas r y s.
o
Definici´n 9.50 La recta r y el punto O determinados por los dos teoremas
o
anteriores reciben el nombre de eje y centro de la homograf´ considerada.
ıa
Una homograf´ en una c´nica (distinta de la identidad)
ıa o P A
queda completamente determinada en cuanto conocemos su
eje y un par de puntos hom´logos A = A . En efecto, para
o
encontrar el hom´logo de otro punto P no tenemos m´s que r
o a A
unir A con P A ∩r. La imagen P ser´ el punto de intersecci´n
a o P
de esta recta con la c´nica.
o
La construcci´n dual nos permite trazar la imagen de cualquier tangente a
o
partir de dos tangentes hom´logas y del centro de la homograf´ Estas cons-
o ıa.
trucciones muestran tambi´n que los puntos fijos de una homograf´ en una
e ıa
c´nica C son precisamente las intersecciones de su eje con C.
o
Teorema 9.51 El centro de una homograf´ en una c´nica es el polo de su eje.
ıa o
A
B
C O
A
B
C
R
S](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-299-320.jpg)
![302 Cap´
ıtulo 10. La geometr´ parab´lica
ıa o
En resumen, la c´nica que buscamos est´ formada necesariamente por los
o a
puntos de la forma P X ∩ P Y , donde X recorre la recta infinita e Y = I(X).
Ahora bien, es claro que P [X] − P [Y ] y ya hemos visto que las rectas P X y
∧
P Y nunca coinciden, luego la homograf´ no es perspectiva, y por consiguiente
ıa
los puntos de la forma indicada forman en efecto una c´nica.
o
Definici´n 10.5 Una circunferencia en un plano parab´lico es cualquier c´nica
o o o
que induzca en la recta infinita la involuci´n ortogonal.
o
En estos t´rminos hemos probado que si la recta OP no es is´tropa entonces
e o
existe una unica circunferencia de centro O que pasa por P . Obviamente las
´
circunferencias son elipses si la involuci´n ortogonal es el´
o ıptica y son hip´rbolas
e
si es hiperb´lica, y en este caso todas las circunferencias pasan por los puntos
o
circulares (de aqu´ su nombre).
ı
Ahora vamos a construir las isometr´ para lo cual nos apoyaremos en que
ıas,
toda isometr´ es producto de reflexiones, que en el caso bidimensional que nos
ıa
ocupa son simplemente las simetr´ respecto a una recta.
ıas
Definici´n 10.6 Una reflexi´n es una homolog´ de orden 2 cuyo centro C es
o o ıa
un punto infinito y cuyo eje r corta a la recta infinita en el punto I(O).
Por definici´n, el centro de una homolog´ no est´ sobre su eje, luego no
o ıa a
puede ser un punto circular y el eje no puede ser is´tropo. Por el teorema 8.54,
o
cada recta no is´tropa r es el eje de una unica reflexi´n. En efecto, el centro es
o ´ o
necesariamente el conjugado ortogonal del punto infinito de r, luego la reflexi´n o
ha de fijar las rectas perpendiculares a r. Si s es cualquiera de estas rectas y P
es el punto de corte con r, entonces la restricci´n a s de la reflexi´n es la unica
o o ´
involuci´n que fija al punto infinito y a P . Concretamente env´ cada punto a
o ıa
su conjugado harm´nico respecto a estos dos. Es f´cil construir expl´
o a ıcitamente
una homolog´ con estas caracter´
ıa ısticas.
El teorema siguiente clarifica la idea que subyace en la prueba de 10.4:
Teorema 10.7 Si C es una circunferencia de centro O y f es una reflexi´n o
respecto a una recta que pasa por O, entonces f deja invariante a C. M´s a´n,
a u
si P y S son dos puntos (finitos) de C, existe una reflexi´n cuyo eje pasa por O
o
y que transforma P en S.
Demostracion: Sea C el centro de la reflexi´n. La polar de C pasa por O
´ o
(porque O es el polo de la recta infinita) y por I(C) (porque I es la involuci´no
inducida por C en la recta infinita). Por lo tanto es el eje r. Si por C pasan
tangentes a C los puntos de tangencia ser´n las intersecciones de r con C, y f los
a
deja invariantes. Si P es cualquier otro punto de C entonces la recta CP corta
a C en otro punto P con la propiedad de que la polar r contiene al conjugado
harm´nico de C respecto a P y P , pero esto significa tambi´n que P = f (P ).
o e
As´ pues, f [C] = C.
ı](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-314-320.jpg)
![10.1. Espacios parab´licos
o 303
Si P y S son puntos de C, es claro que la recta OP no es is´tropa, pues si
o
existen puntos circulares C1 y C2 , entonces las rectas OCi son tangentes a la
circunferencia, luego no contienen a P . Si S = P es obvio que P es su propio
conjugado por la reflexi´n de eje OP . Si P es el punto que en la prueba de
o
10.4 llam´bamos P entonces S es la imagen de P por la reflexi´n respecto a la
a o
perpendicular a OP por O. Si S es cualquier otro punto entonces se encuentra
en la situaci´n de dicha prueba, y vemos que es el conjugado de P respecto a la
o
reflexi´n de eje OY .
o
Como consecuencia inmediata obtenemos:
Teorema 10.8 Las reflexiones son semejanzas.
Demostracion: Consideremos una reflexi´n f de eje r y centro C. Sea O
´ o
un punto cualquiera en r y P cualquier punto fuera de r tal que la recta OP
no sea is´tropa. Sea C la circunferencia de centro O que pasa por P . Por el
o
teorema anterior f [C] = C.
Pensemos por un momento en una homograf´ f : X −→ Y entre dos planos
ıa
proyectivos cualesquiera, de modo que C es una c´nica en X que induce una
o
involuci´n I en una recta s. Entonces es claro que f [C] es una c´nica en Y que
o o
induce en f [s] la involuci´n f −1 If .
o
Si aplicamos esto al caso en que X = Y , f es la reflexi´n que tenemos, s
o
es la recta infinita, C la circunferencia e I la involuci´n ortogonal, vemos que
o
f [C] = C induce en f [s] = s la involuci´n f −1 If , pero ´sta tiene que ser I, luego
o e
I = f −1 If , como hab´ que probar.
ıa
Definici´n 10.9 Definimos el grupo de isometr´ de un plano parab´lico X
o ıas o
como el grupo generado por las reflexiones. Lo representaremos por Is(X).
Por el teorema anterior sabemos que Is(X) es un subgrupo de Sem(X).
Observemos que las homotecias y las traslaciones son obviamente semejanzas,
pues fijan cada punto de la recta infinita. Veamos que las traslaciones son
tambi´n isometr´
e ıas:
Teorema 10.10 El producto de dos reflexiones con ejes paralelos es una tras-
laci´n. Toda traslaci´n cuyo centro no sea un punto circular es producto de
o o
dos reflexiones de ejes paralelos. Si el centro es circular entonces la traslaci´n
o
es producto de cuatro reflexiones. En particular todas las traslaciones son iso-
metr´ıas.
Demostracion: Sean f y g dos reflexiones con ejes paralelos. Sea P∞ el
´
punto infinito com´n de sus ejes. Ambas fijan a P∞ y a su centro I(P∞ ) = P∞ ,
u
luego ambas inducen la misma involuci´n en la recta infinita. Por consiguiente
o
f ◦ g deja invariante cada punto de la recta infinita, as´ como a todas las rectas
ı
que pasan por I(P∞ ), luego se trata de una traslaci´n.
o
Sea T una traslaci´n y O un punto arbitrario. Sea P el punto medio entre
o
O y T (O) y sea P∞ el punto infinito de esta misma recta. Sean r y r las rectas](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-315-320.jpg)
![10.1. Espacios parab´licos
o 305
Demostracion: Sea f la semejanza. Como f fija tambi´n al punto infinito
´ e
de la recta OP , de hecho fija a cada punto de esta recta. El conjugado de dicho
punto infinito tambi´n es fijado, luego f fija a todas las rectas perpendiculares
e
a OP .
Consideremos la circunferencia C de centro O y que pasa por P . Entonces
f [C] es una circunferencia (porque f conserva la involuci´n ortogonal), tambi´n
o e
de centro O y que pasa por P , luego por la unicidad f [C] = C. La homograf´ ıa
que f induce en C es la identidad o bien intercambia cada par de puntos donde
una perpendicular a OP corta a la c´nica, luego es una involuci´n y f tambi´n.
o o e
En este caso es obvio que se trata de la reflexi´n de eje OP .
o
Para isometr´ el resultado es m´s fuerte:
ıas a
Teorema 10.15 Si una isometr´ fija a un punto O y a una recta no is´tropa
ıa o
que pasa por O, entonces es la identidad, una reflexi´n o una simetr´ puntual.
o ıa
Demostracion: Sea f la isometr´ y C una circunferencia de centro O que
´ ıa
pase por un punto P de la recta del enunciado. Dicha recta ha de cortar a C
en otro punto P (no puede ser tangente porque entonces P estar´ en la recta
ıa
polar de O, que es la recta infinita). Sabemos que f fija a C, luego fija a P y P
o bien los intercambia. Si los fija entonces el teorema anterior nos da que f es
una reflexi´n o bien la identidad. Si los intercambia, consideremos la reflexi´n
o o
g respecto a la recta perpendicular a OP que pasa por O. Entonces h = f g fija
a O y a P , luego de nuevo por el teorema anterior se trata de la identidad o
de la reflexi´n de eje OP , con lo que f = gh es una reflexi´n o bien la simetr´
o o ıa
puntual respecto a O.
El teorema siguiente nos permite probar que la clasificaci´n de isometr´
o ıas
que ya conocemos para los planos eucl´
ıdeos es v´lida igualmente en planos pa-
a
rab´licos arbitrarios:
o
Teorema 10.16 Sean f1 , f2 y f3 tres reflexiones cuyos ejes concurran en un
punto O (finito o infinito). Entonces la composici´n f1 f2 f3 es una reflexi´n
o o
cuyo eje pasa por O.
Demostracion: Si O es infinito, es decir, si los ejes son paralelos, entonces
´
f2 f3 es una traslaci´n. La prueba del teorema 10.10 muestra que f2 f3 = f1 f4 ,
o
donde f4 es una reflexi´n respecto a un eje paralelo a los otros. Por lo tanto
o
f1 f2 f3 = f1 f1 f4 = f4 . r
Q4 3 Q3 r2
Supongamos ahora que O es un punto finito. Po-
demos suponer que los ejes de las tres reflexiones son Q2
distintos dos a dos, pues si dos coinciden el resultado
es trivial. Sea P un punto cualquiera tal que la recta r1
OP no sea is´tropa. Sea C la circunferencia de cen-
o
tro O que pasa por P . Si Q1 es cualquier punto de C, Q6 Q1
definimos Q2 = f1 (Q1 ), Q3 = f2 (Q2 ), Q4 = f3 (Q3 ),
Q5 = f1 (Q4 ) y Q6 = f2 (Q5 ). Q5](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-317-320.jpg)
![308 Cap´
ıtulo 10. La geometr´ parab´lica
ıa o
Demostracion: Sea f una semejanza en las condiciones del teorema. Sea
´
g una isometr´ entre la circunferencia indicada y su imagen por f . Entonces
ıa
f g −1 es una semejanza que deja fija a una circunferencia. Basta probar que
f g −1 es una isometr´ o, equivalentemente, podemos suponer que f fija a la
ıa
circunferencia. Sea P un punto de la circunferencia. Existe una reflexi´n h o
cuyo eje pasa por el centro O de la circunferencia y que transforma f (P ) en P .
Por lo tanto f h fija a P (y a O). Por el teorema 10.14 concluimos que f h es
una reflexi´n, luego f es una isometr´
o ıa.
Como no estamos suponiendo una ordenaci´n en el cuerpo no podemos ha-
o
blar de congruencia de segmentos, pero s´ de congruencia de vectores:
ı
−−
→ −→ −
Diremos que dos vectores AB y CD son congruentes si lo son los pares de
−−
→ −→ −
puntos (A, B) y (C, D). Lo representaremos por AB ≡ CD.
La definici´n no depende de la elecci´n de los puntos A y B, ya que si
o o
−
−→ −− −→ −→
−
tenemos AB = A B , entonces la traslaci´n de vector AA es una congruencia
o
entre (A, B) y (A , B ), luego no importa qu´ par tomamos para compararlo con
e
el de otro vector.
Diremos que un vector v es is´tropo si lo son las rectas de direcci´n v. Si
o o
existen puntos circulares entonces hay dos subespacios de vectores is´tropos.
o
Teorema 10.21 Si v es un vector no is´tropo, entonces los unicos vectores
o ´
de v congruentes con v son v y −v. Dos vectores is´tropos no nulos son
o
congruentes.
Demostracion: Sea O un punto cualquiera y P = O + v. Si v no es
´
is´tropo podemos construir la circunferencia C de centro O que pasa por P . La
o
recta OP no puede ser tangente a C, luego corta a la c´nica en otro punto P ,
o
de modo que la polar de O, es decir, la recta infinita, contiene al conjugado
harm´nico de O respecto a P y P , es decir, O es el punto medio entre P y P
o
o, equivalentemente, P = P − v. Una isometr´ que transforme el par (O, P )
ıa
en otro par (O, Q) ha de fijar a O, luego tambi´n a C, luego Q ha de estar sobre
e
−→
−
C, si adem´s OQ ha de estar en v , es decir, si la recta OQ ha de ser OP ,
a
necesariamente Q ha de ser P o P , con lo que tenemos lo pedido.
Para probar la segunda parte es suficiente suponer que AB y AC son las dos
−−→ − →
rectas is´tropas y probar que AB ≡ AC.
o
Consideremos la reflexi´n f cuyo centro es el punto infinito de la recta BC
o
y cuyo eje pasa por A. Toda reflexi´n conjuga los puntos circulares, luego
o
f [AB] = AC y, como la recta BC ha de quedar fija, necesariamente f (B) = C.
Teorema 10.22 La circunferencia de centro O que pasa por un punto P est´ a
−
−→ −→−
formada por todos los puntos Q tales que OP ≡ OQ (m´s los puntos circulares,
a
si los hay).](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-320-320.jpg)
![10.2. El plano eucl´
ıdeo 313
´
en OQ. Esta est´ determinada por el hecho de que fija a los dos puntos en que
a
OQ corta a C. Tomemos un sistema de referencia af´ (O, v) de modo que v
ın
tenga norma 1 y la direcci´n de OQ. Entonces los puntos de C en OQ tienen
o
coordenadas ±r. La unica involuci´n que los fija es la que tiene ecuaci´n
´ o o
r2
y= ,
x
pues, efectivamente, ´sta cumple
e las condiciones y es unica. Vemos, por tanto,
´
−→ −
− −
→
que si p(Q) ∩ OQ = R, entonces OQ OR = r2 . Adem´s Q y R est´n en la
a a
misma semirrecta respecto de O, y esto caracteriza completamente a la polar.
Definici´n 10.27 Diremos que dos puntos Q y R son mutuamente inversos
o
respecto a la circunferencia de centro O y radio r si ambos se encuentran sobre
−→ −
− −→
la misma semirrecta de origen O y adem´s OQ OR = r2 . Convenimos en
a
que O es el inverso de todos los puntos infinitos.
En estos t´rminos, la polar de un punto Q respecto a una circunferencia de
e
centro O es la perpendicular a OP que pasa por el inverso de P .
Una f´rmula para la raz´n doble Vamos a probar una conocida f´rmula
o o o
para la raz´n doble de cuatro puntos A, B, C, D sobre una recta r. Si P es
o
cualquier punto exterior a r entonces
sen AP C sen BP C
R(A, B, C, D) = : .
sen AP D sen BP D
Es importante aclarar que los senos deben tomarse con el signo apropiado.
Dados tres puntos no colineales X, Y , Z y fijado un sistema de referencia
ortonormal de origen X existe un unico angulo θ ∈ ]−π, π[ tal que el giro de
´ ´
−→
− −→
−
angulo θ transforma la semirrecta XY en XZ. Definimos sen Y XZ = sen θ.
´
El signo de θ depende del sistema de referencia, pero el miembro derecho de
la f´rmula es independiente de ´ste pues, si lo cambiamos, todos los signos se
o e
conservan o todos cambian, y en ambos casos la expresi´n queda inalterada.
o
Si en particular tomamos el sistema de referencia con el se-
gundo eje paralelo a una recta r que no contenga a X, es f´cil
a
ver que podemos escoger una ordenaci´n en r de modo que para
o Z
todo par de puntos Y , Z en r el signo de sen Y XZ es positivo X
o negativo seg´n si Y Z o Z Y . Teniendo esto en cuenta
u θ
as´ como la expresi´n
ı o Y
−→ −→−
AC BC
R(A, B, C, D) = −→ : −→ ,
− −
AD BD
es claro que los signos de los dos miembros de la f´rmula que queremos probar
o
son iguales, y basta probar que los valores absolutos tambi´n lo son.
e](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-325-320.jpg)
![330 Cap´
ıtulo 10. La geometr´ parab´lica
ıa o
perpendicular a (−1, 2) (tomamos las coordenadas en el primer sistema de referencia),
luego −a − 2b = 0, o sea, el vector director es (1, −2). Como la recta pasa por A(0, 1)
√
es f´cil ver que A tiene coordenadas (0, 1/2), luego AA = 12 + (i/2)2 = 3/2, lo
a
que significa que la distancia entre las dos estrellas para el segundo observador es de
√
3/2 = 0, 87 a˜os luz.
n
Giros Vamos a investigar las propiedades del plano de Lorentz que explican
los resultados del ejemplo anterior. Todo depende de los giros. Sabemos que los
giros con un centro com´n forman un grupo abeliano. En el caso del espacio
u
eucl´ıdeo ´ste es isomorfo a R/Z, y un isomorfismo viene dado por
e
cos 2πα sen 2πα
α→ .
− sen 2πα cos 2πα
La situaci´n en el plano de Lorentz es muy distinta. Dado un punto O,
o
consideramos una circunferencia C de centro O. Un giro de centro O ha de fijar
a O y a los dos puntos circulares, luego est´ un´
a ıvocamente determinado por
la imagen de un punto cualquiera P1 ⊂ C, que ha de ser otro punto P de C.
Graduemos la c´nica tomando como P0 y P∞ los puntos circulares. Sabemos
o
que C P∞ tiene estructura de cuerpo isomorfo a R, luego los puntos finitos de
C tienen estructura de grupo isomorfo a R∗ . Dado cualquier punto finito P ⊂ C,
la multiplicaci´n por P transforma P1 en P . Como fija a los puntos circulares
o
es una semejanza, como fija a la circunferencia es una isometr´ y de hecho un
ıa,
giro (de nuevo porque fija a los puntos circulares). As´ pues, es el unico giro
ı ´
que transforma P1 en P . Es claro entonces que si un giro f de centro O cumple
f (P1 ) = Pα , la correspondencia f → α es un isomorfismo entre el grupo de giros
y el grupo multiplicativo R∗ .
Ejercicio: Probar que el grupo de giros orientados se corresponde con ]0, +∞[.
Veamos esto mismo desde un punto de vista algebraico. Tomemos un sis-
tema de referencia ortonormal u1 , u2 y consideremos los vectores v1 y v2 de
coordenadas
1 1
√ (c, 1) y √ (c, −1).
2c 2c
Son dos vectores is´tropos linealmente independientes. Adem´s v1 v2 = 1. Por
o a
consiguiente f (v1 ) = α v1 y f (v2 ) = β v2 . Adem´s
a
1 = v1 v2 = f (v1 )f (v2 ) = αβv1 v2 = αβ.
As´ pues, la matriz de f en la base v1 , v2 es
ı
α 0
Mα = ,
0 α−1
y es claro que la aplicaci´n α → Mα es un isomorfismo de grupos. De las
o
relaciones
1
v1 = √ (cu1 + u2 )
2c
1
v2 = √ (cu1 − u2 )
2c](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-342-320.jpg)
![10.3. El plano de Lorentz 331
se sigue f´cilmente que la matriz de este mismo giro en la base u1 , u2 es:
a
1 −1 −1 α 1
0 c 1
−√ √
2 −c c 0 α−1
2c c −1
α + α−1 α − α−1
2 2c
=
α − α−1 α + α−1
.
c
2 2
As´ pues, la matriz de un giro en un sistema ortonormal cualquiera es de la
ı
forma
α + α−1 α − α−1
2 2c
±Gα = ±
α − α−1 α + α−1
, con α 0.
c
2 2
Notemos que indirectamente hemos probado que Gα Gβ = Gαβ . Es conve-
niente conservar la notaci´n aditiva que tenemos en el caso eucl´
o ıdeo, as´ que
ı
vamos a componer el isomorfismo α → Gα con el isomorfismo R −→ ]0, +∞[
determinado por una funci´n exponencial. Ello nos lleva a la definici´n siguiente:
o o
Definici´n 10.39 Sea e 1 un n´mero real. Definimos las funciones seno y
o u
coseno hiperb´lico (en base e) como las dada por:
o
ex − e−x ex + e−x
senh x = , cosh x = .
2 2
En estos t´rminos hemos probado lo siguiente:
e
Teorema 10.40 Las matrices de los giros en un sistema de referencia ortonor-
mal son las de la forma
1
cosh α senh α
±Gα = ± c , con α ∈ R.
c senh α cosh α
Adem´s se cumple la relaci´n Gα Gβ = Gα+β .
a o
Ahora conviene investigar las propiedades de las funciones hiperb´licas. Para
o
ello podemos suponer c = 1. Fijado un sistema de referencia, la circunferencia
de centro (0, 0) y radio 1 est´ formada por los puntos (x, t) que satisfacen la
a
ecuaci´n x2 − t2 = 1. Uno de sus puntos es (1, 0), y todos los dem´s pueden
o a
obtenerse a partir de ´ste mediante un giro. Por otra parte tenemos que sus
e
puntos son los de la forma
±(1, 0)Gα = ±(cosh α, senh α), para α ∈ R.
Vemos, pues, que del mismo modo que (cos α, sen α) recorre una circunfe-
rencia en el plano eucl´
ıdeo, la expresi´n an´loga con las funciones hiperb´licas
o a o
recorre una circunferencia en el plano de Lorentz o, m´s exactamente, recorre
a
una rama de la hip´rbola. La otra rama se obtiene con el signo negativo.
e](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-343-320.jpg)
![332 Cap´
ıtulo 10. La geometr´ parab´lica
ıa o
En particular obtenemos la relaci´n fundamental entre las razones hiperb´-
o o
licas:
cosh2 α − senh2 α = 1.
De la definici´n se sigue que cosh α 0, la relaci´n anterior prueba que de
o o
hecho ha de ser cosh α ≥ 1. Hemos probado que cualquier par (x, t) con x 0
y tal que x2 − t2 = 1 es de la forma (cosh α, senh α). De hecho la expresi´n es
o
unica, pues hay un unico giro que transforme un punto de una circunferencia en
´ ´
otro dado. Si desarrollamos la igualdad Gα Gβ = Gα+β obtenemos las f´rmulas
o
para el seno y el coseno hiperb´lico de una suma. Las incluimos en este teorema:
o
Teorema 10.41 Las funciones hiperb´licas senh : R −→ R y cosh : R −→ R
o
cumplen las propiedades siguientes:
1. cosh2 α − senh2 α = 1.
2. cosh(α + β) = cosh α cosh β + senh α senh β,
senh(α + β) = cosh α senh β + senh α cosh β.
3. cosh 0 = 1, senh 0 = 0, cosh(−α) = cosh α, senh(−α) = − senh α.
4. Para cada par de n´meros reales (x, t) con x 0 existe un unico α ∈ R
u ´
tal que x = cosh α, t = senh α.
Ejercicio: Probar que si 0 ≤ α β entonces coshα cosh β, senh α senh β.
Deducir que cosh α toma exactamente dos veces cada valor x ∈ ]1, +∞[ y que senh α
toma una sola vez cada valor real.
Ejercicio: Deducir las f´rmulas del ´ngulo doble y del ´ngulo mitad.
o a a
Ejercicio: Estudiar la funci´n tangente hiperb´lica tanh : R −→ R dada por
o o
senh x
tanh x = .
cosh x
Notemos ahora que si un giro tiene matriz Gα en un sistema de referencia
ortonormal (con origen en el centro de giro) entonces su matriz en cualquier
otro sistema de referencia del mismo origen es G±α , pues la traza del giro es
2 cosh α, y es un invariante. Por consiguiente la expresi´n ±Gα asigna a cada
o
giro f un signo sig f (que es −1 si f intercambia las ramas de las circunferencias
y 1 si las deja invariantes) y un ´ngulo α determinado salvo signo.
a
Ejercicio: Probar que la matriz de cambio de base respecto a dos sistemas de referen-
cia ortonormales orientados y con el mismo origen es de la forma Gα . Deducir que un
giro tiene la misma matriz en todos los sistemas de referencia ortonormales orientados
con origen en su centro.
En t´rminos de las funciones hiperb´licas los puntos finitos de la circunfe-
e o
rencia espacial de radio r y centro el origen de coordenadas son los de la forma
r
(±r)α = (±r cosh α, ± senh α), α ∈ R.
c](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-344-320.jpg)
![342 Cap´
ıtulo 10. La geometr´ parab´lica
ıa o
a OA, lo que prueba que A es el v´rtice. Puesto que F est´ en la polar de B∞ ,
e a
tenemos adem´s que B∞ est´ en d, luego la directriz es perpendicular al eje.
a a
Teorema 10.50 Una par´bola tiene un unico foco, el cual es un punto interior
a ´
situado sobre su eje.
Sea P un punto real de una hip´rbola C. Aplicamos el dual del teorema 9.31
e
al tri´ngulo de v´rtices C1 , C2 , F y al punto X, con lo que resulta que la
a e
tangente t por X es una recta fija de la involuci´n que en el haz de rectas de
o
centro X determinan los pares XC1 , XC2 y XF , XA∞ . Si n es la otra recta
fija, tenemos que XC1 y XC2 est´n separados harm´nicamente por t y n, luego
a o
t y n son conjugadas respecto de la involuci´n que fija a XC1 y XC2 , pero ´sta
o e
es la involuci´n inducida en el haz por la involuci´n ortogonal, luego t y n son
o o
perpendiculares y n es la recta normal a C por X. Con esto llegamos al an´logo
a
de 10.49:
Teorema 10.51 Si C es una par´bola y F es su foco, la tangente y la nor-
a
mal a C por uno cualquiera de sus puntos X son las bisectrices de los angulos
´
determinados por XF y la paralela al eje por X.
Podemos interpretar esto como que un espejo parab´lico condensa en su foco
o
´
todos los rayos de luz que le llegan paralelamente a su eje. Esta es la raz´n por
o
la que las antenas parab´licas tienen forma de paraboloide, que es la superficie
o
que se genera al girar una par´bola alrededor de su eje.
a
Ejercicio: Probar que por un punto que no est´ sobre una c´nica y que no sea un foco
e o
pasa exactamente un par de rectas perpendiculares conjugadas respecto a la misma.
Consideremos una c´nica real C que no sea una circunferencia. Sea F uno
o
de sus focos y d la directriz correspondiente. Sea D el punto en que d corta al
eje mayor a. Sea H el punto tal que D es el punto medio de F y H. Sea h la
paralela a d que pasa por h. Consideremos la homolog´ f de centro F y eje h
ıa
que transforma D en el punto infinito de DH. Considerando razones dobles se
ve enseguida que la imagen del punto infinito ha de ser D (por ser el conjugado
harm´nico de D respecto a F y H). Por otra parte f deja invariante el punto
o
infinito com´n a d y h, luego f [d] intercambia d con la recta infinita.
u
Como F es el polo de d respecto a C, es claro que F ser´ el polo de la recta
a
infinita respecto de f [C], es decir, F es el centro de C.
Las tangentes a C que pasan por F tocan a C en dos puntos de d, y f los
transforma en los puntos infinitos de dichas tangentes, pero por definici´n de
o
foco ´stos son los puntos circulares. As´ pues, los puntos circulares est´n en
e ı a
f [C], luego f [C] es una circunferencia.
Sea P cualquier punto de C y P = f (P ). Sea X = P P ∩ h y P∞ el punto
infinito de P P . Entonces XP∞ P F − P∞ XP F , luego R(X, P∞ , P, F ) =
∧
R(P∞ , X, P , F ) = R(X, P∞ , F, P ), es decir,
−→
− −→
−
XP XF
−→ = − → ,
− −
XF XP](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-354-320.jpg)
![10.4. Propiedades m´tricas de las c´nicas
e o 343
de donde
−→ −
− −→ − → −→
− − −−
→ −→
−
XF + F P XP + P F FP P F
−→
− = −→
− ⇒ −→
− = − →.
−
XF XP XF XP
P D
F D
P
Ahora tomamos m´dulos y aplicamos el teorema de Tales
o
FP XF FD P F PF
= = ⇒ = ,
FP XP P D P D FD
donde D es el punto donde la perpendicular a d desde P corta a d.
Ahora notamos que P D es la distancia de P a d. Por otra parte P F no
depende de P , pues es el radio de f [C]. Por consiguiente:
Definici´n 10.52 Sea C una c´nica real que no sea una circunferencia. La
o o
raz´n entre las distancias de un punto de C a uno de sus focos y a su directriz
o
correspondiente es constante y la llamaremos excentricidad de C.
Puesto que la reflexi´n respecto al eje menor transforma la c´nica en s´
o o ı
misma, es f´cil ver que la excentricidad no depende del foco con que se calcula.
a
En particular, si A es el v´rtice que se encuentra en la misma semirrecta que F
e
respecto al centro, la excentricidad puede calcularse como
AF
e= .
AD
Puesto que la homolog´ f transforma la recta infinita en la directriz d, es
ıa
claro que C ser´ una elipse, una par´bola o una hip´rbola seg´n si d es exterior,
a a e u
tangente o secante a f [C]. Seg´n el caso, el cociente
u
PF
e=
FD
ser´ menor, igual o mayor que 1. Por consiguiente:
a
Teorema 10.53 Una c´nica C es una elipse, una par´bola o una hip´rbola
o a e
seg´n si su excentricidad es menor, igual o mayor que 1.
u](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-355-320.jpg)
![354 Cap´
ıtulo 11. La geometr´ circular
ıa
Una transformaci´n circular es directa si se expresa como producto de un n´mero
o u
par de reflexiones e inversiones. En caso contrario es inversa. Llamaremos grupo
circular al grupo de todas las transformaciones circulares.
Hemos probado que las homograf´ en C son las transformaciones circulares
ıas
directas. Una transformaci´n circular no puede ser a la vez directa e inversa,
o
pues en tal caso podr´
ıamos expresar una reflexi´n o una inversi´n como producto
o o
de un n´mero par de ellas, luego ser´ una homograf´ pero esto es imposible,
u ıa ıa,
pues las reflexiones y las inversiones fijan a infinitos puntos.
Es claro que las homograf´ que fijan a ∞ son las de la forma z → az + b y
ıas
hemos visto que ´stas se descomponen en producto de un n´mero par de reflexio-
e u
nes (sin que aparezcan inversiones). M´s en general, si f es una transformaci´n
a o
circular que fija a ∞, o bien es una homograf´ y estamos en el caso anterior, o
ıa
bien es inversa, y entonces podemos tomar cualquier reflexi´n g y tenemos que
o
h = f g es una homograf´ que fija a ∞, luego f = hg es tambi´n producto de
ıa e
reflexiones. Puesto que las composiciones de reflexiones son las semejanzas de
R2 , hemos probado lo siguiente:
Teorema 11.5 Las transformaciones circulares que fijan a ∞ son exactamente
las semejanzas de R2 .
Si una transformaci´n circular f es directa y deja fijos a tres puntos (finitos
o
o no) entonces es la identidad, porque es una homograf´ Si f es inversa esto
ıa.
ya no es cierto, pero s´lo hay dos posibilidades. En efecto, sea g la reflexi´n
o o
respecto de la recta que pasa por los tres puntos fijos si son colineales o la
inversi´n respecto de la circunferencia que pasa por ellos si no lo son. Entonces
o
f g es una homograf´ que fija a los tres puntos, luego es la identidad, luego
ıa
f = g. Hemos probado el teorema siguiente:
Teorema 11.6 Si una transformaci´n circular fija a tres puntos (finitos o no),
o
entonces es la identidad, una reflexi´n o una inversi´n.
o o
De aqu´ podemos deducir muchas consecuencias interesantes:
ı
Teorema 11.7 Si f es una transformaci´n circular y g es una reflexi´n o una
o o
inversi´n, entonces f −1 gf es una reflexi´n o una inversi´n.
o o o
Demostracion: Sean A, B, C tres puntos fijados por g. Entonces f −1 gf
´
fija a f (A), f (B) y f (C), luego por el teorema anterior es la identidad, una
reflexi´n o una inversi´n. Como es una transformaci´n inversa no puede ser la
o o o
identidad.
Teorema 11.8 Las transformaciones circulares transforman cada circunferen-
cia y cada recta en una circunferencia o una recta.
Demostracion: Sea f una transformaci´n circular. Dada una recta o
´ o
circunferencia C, sea g la reflexi´n o inversi´n que fija a sus puntos. Entonces
o o
f −1 gf es tambi´n una reflexi´n o una inversi´n, y fija exactamente a los puntos
e o o
de f [C], luego f [C] es una recta o una circunferencia.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-366-320.jpg)
![358 Cap´
ıtulo 11. La geometr´ circular
ıa
escoja, pues la reflexi´n respecto a la perpendicular a la recta por el punto medio
o
de los puntos de corte deja invariante a la recta y transforma una tangente en
otra. El ´ngulo entre dos circunferencias (usuales) secantes es el ´ngulo entre
a a
sus tangentes por los puntos de corte. Tambi´n es claro que no importa el punto
e
de corte elegido.
Con esto tenemos definido el ´ngulo entre dos circunferencias secantes cua-
a
lesquiera. La definici´n puede resumirse as´ el angulo entre dos circunferencias
o ı: ´
es el ´ngulo entre sus rectas tangentes por ∞ y uno de los puntos de corte.
a
Teorema 11.16 Las transformaciones circulares conservan los angulos entre
´
circunferencias.
Demostracion: Sean C1 y C2 dos circunferencias secantes y sea P un
´
punto de corte (podemos suponerlo finito). Sea ti la tangente a Ci por P o bien
ti = Ci si Ci es una recta. Entonces el ´ngulo entre C1 y C2 es por definici´n
a o
el ´ngulo entre t1 y t2 . Una inversi´n respecto de una circunferencia (usual) de
a o
centro P deja invariantes a t1 y t2 y transforma cada circunferencia Ci en una
recta sin m´s punto en com´n con ti que ∞ (o bien ti = Ci ). En cualquier caso
a u
transforma a Ci en una recta paralela a ti , de modo que estas rectas forman
entre s´ el mismo ´ngulo que las circunferencias de partida.
ı a
Sean ahora Ci las im´genes de cada Ci por una transformaci´n circular
a o
arbitraria. Del mismo modo podemos transformarlas en dos rectas que forman
el mismo ´ngulo que ellas.
a
El teorema se reduce, pues, a probar que si una transformaci´n circular hace
o
corresponder dos pares de rectas secantes, entonces el ´ngulo que forman es el
a
mismo.
Sea f una transformaci´n circular que haga corresponder dos rectas secantes
o
r1 y r2 con dos rectas secantes r1 y r2 . Sea O el punto de corte de las primeras y
O el punto de corte de las segundas. Entonces o bien f (O) = O y f (∞) = ∞ o
bien f (O) = ∞ y f (∞) = O . En el segundo caso podemos componer f con una
inversi´n respecto a una circunferencia de centro O , lo cual deja inalteradas
o
a r1 y r2 pero hace que ∞ quede fijo. Por lo tanto los dos pares de rectas se
corresponden por una semejanza, y las semejanzas conservan los ´ngulos.
a
Los teoremas anteriores ilustran una potente t´cnica para obtener resultados
e
sobre circunferencias: reducirlos mediante inversiones a resultados sobre rectas.
El ejercicio y los teoremas siguientes son tres ejemplos m´s.
a
Ejercicio: Probar que si dos circunferencias son ortogonales, cada una de ellas queda
fija por la inversi´n respecto de la otra.
o
Teorema 11.17 Sean C1 y C2 dos circunferencias secantes. Sea P un punto
de corte y Q un punto cualquiera. Sea C1 la tangente a Ci por P y Q. Entonces
el angulo entre C1 y C2 es el mismo que entre C1 y C2 .
´
Demostracion: Basta aplicar una transformaci´n circular f que convierta
´ o
Q en ∞. Basta probar que f [C1 ] y f [C2 ] forman el mismo ´ngulo que f [C1 ] y
a
f [C2 ], pero esto es cierto por definici´n de angulo entre circunferencias.
o ´](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-370-320.jpg)
![12.2. Medida de segmentos y angulos
´ 369
es m´s que formal, pues podemos reducir la medida de angulos hiperb´licos
a ´ o
a la de angulos eucl´
´ ıdeos. En efecto, sabemos que las isometr´ que fijan al
ıas
centro O del plano de Klein son las mismas para la geometr´ eucl´ ıa ıdea y para
la hiperb´lica, de donde se sigue que dos angulos de v´rtice O son congruentes
o ´ e
para una si y s´lo si lo son para la otra. A su vez de aqu´ se sigue que la suma
o ı
de ´ngulos de v´rtice O es la misma en ambos casos y la medida de ´ngulos,
a e a
tal y como la construimos en el cap´ ıtulo II no depende de nada m´s, luego la
a
medida eucl´ ıdea coincide con la hiperb´lica en el caso de ´ngulos de v´rtice O.
o a e
Seg´n la f´rmula de Cayley, si r1 y r2 son dos rectas que pasan por O el ´ngulo
u o a
que forman mide
1
r1 r2 = arg R(r1 , r2 , I1 , I2 ),
2
donde I1 y I2 son las rectas que pasan por O y por los puntos circulares.
Si obtenemos una expresi´n invariante por isometr´ hiperb´licas y que
o ıas o
coincida con ´sta sobre las rectas que se cortan en O, tendremos una medida de
e
a
´ngulos hiperb´licos. Ahora bien, esto es f´cil de conseguir:
o a
Teorema 12.6 El angulo que forman dos rectas hiperb´licas secantes r1 y r2
´ o
viene dado por la expresi´n1
o
1
arg R(r1 , r2 , I1 , I2 ),
r1 r2 =
2
donde I1 e I2 son las tangentes a la c´nica infinita por el punto r1 ∩ r2 .
o
Efectivamente, esta expresi´n es invariante por isometr´ y si el punto de
o ıas
corte es el centro del plano de Klein entonces las tangentes pasan por los puntos
circulares, luego el angulo coincide con el eucl´
´ ıdeo.
La f´rmula anterior nos da el (menor) angulo orientado determinado por dos
o ´
rectas secantes, donde ‘orientado’ quiere decir que cambia de signo si cambiamos
el orden de las rectas. Para eliminar esta dependencia del orden podemos tomar
el argumento en [−π, π] y tomar el valor absoluto. Esto nos da la medida (en el
sentido del cap´ıtulo II) del angulo agudo (o recto) que determinan las dos rectas.
´
Para calcular el angulo entre dos semirrectas aplicamos la f´rmula anterior si
´ o
calculamos el complementario (restando el resultado de π) si el ´ngulo que
a
queremos medir es obtuso.
Vamos a deducir unas f´rmulas muy utiles para calcular longitudes y angulos
o ´ ´
hiperb´licos a partir de las coordenadas homog´neas de los puntos y rectas.
o e
Sea A la matriz de la c´nica infinita en un sistema de referencia dado. Sea
o
f (X, Y ) = XAY t , de modo que la ecuaci´n de la c´nica es f (X, X) = 0. Sean
o o
X e Y las coordenadas homog´neas de dos puntos interiores a la c´nica. La
e o
recta que los une est´ formada por los puntos de coordenadas X + λY , donde
a
λ ∈ R ∪ {∞}. Esta recta corta a la c´nica en los puntos correspondientes a los
o
valores de λ que satisfacen la ecuaci´n
o
0 = f (X + λY, X + λY ) = λ2 f (Y, Y ) + 2f (X, Y )λ + f (X, X).
1 Como en el caso de la f´rmula de Cayley, debemos se˜ alar que la expresi´n habitual de
o n o
esta f´rmula es r1 r2 = − 2 log R(r1 , r2 , I1 , I2 ), donde log representa al logaritmo complejo.
o i](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-381-320.jpg)
![12.3. El modelo de Poincar´
e 373
Consideremos una esfera S y sea D el c´ ırculo delimitado por su ecuador C.
Sea O su centro. Podemos considerar D como plano de Klein, en cuyo caso lo
llamaremos DK . Sea DP el mismo c´ ırculo D, pero visto ahora como subconjunto
de la recta proyectiva compleja. Sea G : DK −→ DP la biyecci´n definida como
o
sigue: A cada punto P de DK le asignamos el punto P donde la perpendicular
a D por P corta a una de las semiesferas de S. A continuaci´n proyectamos
o
P mediante la proyecci´n estereogr´fica desde el polo de la semiesfera opuesta,
o a
con lo que obtenemos un punto P = G(P ).
P
P
P
Consideramos a DP como plano hiperb´lico tomando como rectas las im´-
o a
genes por G de las rectas de DK , entendiendo que dos rectas G[r] y G[s] son
perpendiculares si y s´lo si lo son r y s, y que las isometr´ de DP son las
o ıas
aplicaciones de la forma G−1 f G, donde f es una isometr´ en DK . El inter´s de
ıa e
esta construcci´n radica en que la geometr´ de DP puede describirse de forma
o ıa
natural en t´rminos de la geometr´ circular de la recta compleja, sin ninguna
e ıa
referencia a la geometr´ de DK .
ıa
En primer lugar notamos que al levantar las rectas de DK sobre la semiesfera
´stas se transforman en los cortes de S con los planos verticales, que son las
e
circunferencias perpendiculares a C. M´s exactamente, las rectas hiperb´licas se
a o
transforman en las porciones de estas circunferencias contenidas en la semiesfera
elegida. Al aplicar la proyecci´n estereogr´fica obtenemos que las rectas de DP
o a
son simplemente las intersecciones con DP de las circunferencias de la recta
compleja perpendiculares a C. Entre ellas se encuentran las rectas que pasan
por O.
A cada isometr´ f de DK le podemos asignar la unica transformaci´n circu-
ıa ´ o
lar directa f que coincide con f en C. Notemos que las transformaciones cir-
culares directas que fijan a C fijan tambi´n a los puntos de DP . Es claro que
e
la correspondencia f → f biyecta las isometr´ con las transformaciones cir-
ıas
culares directas que fijan a C. Vamos a probar que f = G−1 f G. Si A y B son
dos puntos de C, entonces f transforma la recta AB de DK en f (A)f (B). Por
otra parte G[AB] es el arco de la circunferencia ortogonal a C que pasa por A
y por B, luego f [G[AB]] es el arco de la circunferencia ortogonal a C que pasa
por f (A) y f (B), luego G−1 [f [G[AB]]] = f (A)f (B). As´ pues, f y Gf G−1
ı
coinciden sobre rectas. Expresando cada punto de DK como intersecci´n de dos
o
rectas vemos que tambi´n coinciden sobre puntos.
e
Por consiguiente, las isometr´ de DP son las transformaciones circulares
ıas
directas que fijan a C.](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-385-320.jpg)
![13.1. El plano el´
ıptico 389
sumen: las isometr´ el´
ıas ıpticas son exactamente las homograf´ inducidas por
ıas
las isometr´ lineales de V o, equivalentemente, por las isometr´ de V (visto
ıas ıas
como espacio af´ que fijan a O.
ın)
Definici´n 13.2 Llamaremos modelo esf´rico de la geometr´ el´
o e ıa ıptica al con-
junto S formado por los pares de puntos ant´ ıpodas de una esfera eucl´ ıdea. Las
rectas el´
ıpticas son los c´
ırculos m´ximos. Dos rectas son perpendiculares si lo
a
son sus tangentes en los puntos de corte. Una isometr´ el´
ıa ıptica es la restricci´n
o
a S de una isometr´ del espacio eucl´
ıa ıdeo que fija al centro de S.
Adem´s hemos visto que el polo de una recta en el modelo esf´rico es el par
a e
de polos (en el sentido geogr´fico) cuando consideramos a la recta como ecuador.
a
Las isometr´ del modelo esf´rico son en particular homograf´ luego con-
ıas e ıas,
servan angulos en el sentido del cap´
´ ıtulo 11. Podemos, pues, definir el angulo
´
entre dos rectas el´ıpticas en la esfera como el ´ngulo eucl´
a ıdeo entre sus tan-
gentes por los puntos de corte y es claro entonces que dos pares de rectas son
congruentes si y s´lo si forman el mismo ´ngulo. Veamos que el angulo entre
o a ´
dos rectas puede definirse sin hacer referencia al modelo esf´rico exactamente
e
como en la geometr´ hiperb´lica, es decir,
ıa o
1
r1 r2 = |arg R(r1 , r2 , I1 , I2 )| ,
2
donde I1 e I2 son las tangentes a la c´nica infinita por el punto r1 ∩ r2 y el
o
argumento se toma en ]−π, π[.
En efecto, el angulo definido as´ es sin duda invariante por isometr´ Basta
´ ı ıas.
probar que ambas definiciones coinciden sobre rectas que pasan por el polo norte
(0, 0, 1). Sus coordenadas homog´neas ser´n de la forma (a, b, 0) y (a , b , 0). Sus
e a
tangentes por el polo norte ser´n las intersecciones de los planos ax + by = 0 y
a
a x + b y = 0 con el plano z = 1. Ahora bien, podemos identificar el plano z = 1
con el plano af´ que resulta de eliminar la recta z = 0 en el plano proyectivo
ın
de partida. Entonces las tangentes cuyo angulo hemos de medir son las propias
´
rectas iniciales (sin su punto infinito). Con m´s detalle: en este plano af´
a ın
tenemos ahora una estructura eucl´ ıdea, de modo que las coordenadas cartesianas
(x, y) correspondientes a las coordenadas homog´neas (x, y, 1) est´n asociadas a
e a
un sistema de referencia ortonormal. Hasta aqu´ tenemos que el ´ngulo entre las
ı a
rectas definido en el modelo esf´rico corresponde con el ´ngulo entre ellas mismas
e a
respecto a esta estructura eucl´ıdea. Este ´ngulo puede calcularse por la f´rmula
a o
de Cayley, que es formalmente id´ntica a la que queremos probar. S´lo hemos
e o
de asegurarnos de que las tangentes a la c´nica infinita por el punto de corte
o
(0, 0, 1) coinciden con las rectas is´tropas por dicho punto, pero esto es obvio,
o
pues ambas son las rectas x ± iy = 0. En efecto, ambas pasan por los puntos
circulares (1, ±i, 0) y sus coordenadas homog´neas cumplen x2 + y 2 + z 2 = 0.
e
Podemos plantearnos la f´rmula an´loga a la distancia hiperb´lica entre dos
o a o
puntos P y Q en t´rminos de la raz´n doble R(P, Q, P∞ , Q∞ ), donde P∞ y
e o
Q∞ son los puntos de corte entre la c´nica infinita y la recta P Q. Ahora bien,
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-401-320.jpg)
![390 Cap´
ıtulo 13. La geometr´ el´
ıa ıptica
puesto que las coordenadas homog´neas de un punto coinciden con las de su
e
polar, vemos que las coordenadas de P∞ y Q∞ son tambi´n las de las rectas
e
tangentes a la c´nica infinita por el punto en que se cortan las polares de P y
o
Q, luego dicha raz´n doble es un n´mero complejo de m´dulo 1 cuyo argumento
o u o
es el ´ngulo entre dichas polares. Esto nos lleva a la definici´n siguiente, donde
a o
recogemos tambi´n la definici´n de angulo que hemos discutido anteriormente.
e o ´
Definici´n 13.3 Llamaremos distancia el´
o ıptica entre dos puntos P y Q como
1
d(P, Q) = |arg R(P, Q, P∞ , Q∞ )| ,
2
donde P∞ y Q∞ son los puntos en que la recta P Q corta a la c´nica infinita y
o
el argumento se toma en ]−π, π[.
El ´ngulo el´
a ıptico entre dos rectas r1 y r2 es
1
r1 r2 = |arg R(r1 , r2 , I1 , I2 )| ,
2
donde I1 e I2 son las tangentes a la c´nica infinita por el punto r1 ∩ r2 y el
o
argumento se toma en ]−π, π[.
Ambas magnitudes pueden variar en [0, π/2[, con el convenio de que son
nulas si los puntos o las rectas son iguales. Ambas se conservan por isometr´ıas.
Hemos probado que la distancia entre dos puntos es el angulo entre sus polares.
´
En el modelo esf´rico la distancia entre dos puntos P y Q coincide con el ´ngulo
e a
entre las rectas OP y OQ, donde O es el centro de la esfera. El ´ngulo entre
a
dos rectas es el definido en el cap´ıtulo 11.
Tambi´n es claro que dos pares de puntos/rectas son congruentes si y s´lo
e o
si su distancia/´ngulo es el mismo.
a
Exactamente el mismo argumento que en el caso de la geometr´ hiperb´lica
ıa o
nos lleva a las f´rmulas:
o
xx + yy + zz
cos d = ,
x2 + y2 + z2 x2+y2+z2
xx + yy + zz
cos θ = ,
x2 + y2 + z2 x2+y2+z2
donde (x, y, z) y (x , y , z ) son las coordenadas homog´neas de dos puntos/rec-
e
tas. No obstante estas f´rmulas se siguen inmediatamente del modelo esf´rico
o e
usando las propiedades del producto escalar en V .
13.2 Bil´teros y tri´ngulos
a a
La ordenaci´n circular de la geometr´ el´
o ıa ıptica confiere a plano propiedades
muy distintas de las que se siguen de la ordenaci´n lineal de las geometr´
o ıas
eucl´
ıdea e hiperb´lica. Para empezar hemos de tener presente que dos puntos no
o](https://image.slidesharecdn.com/librodegeometria-111212111048-phpapp01/85/Libro-de-Geometria-402-320.jpg)
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- 3. La geometr´ iluminael intelecto y templa la ıa mente. Todas sus pruebas son claras y ordenadas. Apenas caben errores en el razonamiento geom´trico, e pues est´ bien dispuesto y ordenado. As´ no es pro- a ı, bable que la mente que se aplica a la geometr´ con ıa regularidad cometa errores. De este modo, quien sabe geometr´ adquiere inteligencia. ıa Ibn Khaldun
- 5. ´ Indice General Introducci´n o ix Cap´ ıtulo I: La geometr´ absoluta ıa 1 1.1 Axiomas de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Axiomas de ordenaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 3 ´ 1.3 Angulos y tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 6 1.4 Axiomas de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Suma de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ . . . . . . . 13 1.6 M´s propiedades de segmentos, ´ngulos y tri´ngulos a a a . . . . . . . 16 1.7 Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 El axioma de continuidad, c´ ırculos y circunferencias . . . . . . . 21 Cap´ ıtulo II: Medida de segmentos, ´ngulos a y arcos 27 2.1 Longitud de segmentos. N´meros reales u . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Complementos sobre n´meros reales . . u . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Amplitud de angulos . . . . . . . . . . . ´ . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Arcos y sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Cap´ ıtulo III: La geometr´ eucl´ ıa ıdea 49 3.1 El axioma de las paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Semejanza de tri´ngulos . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Relaciones entre ´ngulos y arcos a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 Las razones trigonom´tricas . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 Propiedades de los tri´ngulos . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Cap´ ıtulo IV: La geometr´ anal´ ıa ıtica 73 4.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Espacios afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 Coordenadas cartesianas y baric´ntricas e . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 Espacios eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.5 Los giros y la medida de angulos . . . . ´ . . . . . . . . . . . . . . 97 4.6 Complementos sobre trigonometr´ . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . 104 4.7 Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.8 C´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 106 v
- 6. vi ´ INDICE GENERAL Cap´ ıtulo V: N´ meros complejos u 115 5.1 Definici´n y propiedades b´sicas . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 La clausura algebraica de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3 Construcciones con regla y comp´s a . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Pol´ıgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.5 Geometr´ discontinua . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.6 Ap´ndice: El teorema de Sylow . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Cap´ ıtulo VI: Biyecciones afines 139 6.1 El grupo af´ y el grupo lineal . . . . . . . . . ın . . . . . . . . . . . 139 6.2 Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3 El teorema fundamental de la geometr´ af´ ıa ın . . . . . . . . . . . 146 6.4 Isometr´ y semejanzas . . . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . 149 6.5 Clasificaci´n de endomorfismos . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 153 6.6 Clasificaci´n de isometr´ . . . . . . . . . . . o ıas . . . . . . . . . . . 172 6.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Cap´ ıtulo VII: La geometr´ af´ ıa ın 183 7.1 Incidencia y paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2 Homotecias y traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.3 Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.4 Los teoremas de Desargues y Papos-Pascal . . . . . . . . . . . . . 194 7.5 Axiomas de ordenaci´n . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 200 ıtulo VIII: La geometr´ proyectiva Cap´ ıa 205 8.1 Espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.2 Homograf´ y coordenadas homog´neas ıas e . . . . . . . . . . . . . . 214 8.3 Perspectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.4 Caracterizaci´n axiom´tica . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . 224 8.5 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.6 Razones dobles y separaci´n harm´nica o o . . . . . . . . . . . . . . 235 8.7 Espacios sobre cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 ıtulo IX: Secciones c´nicas Cap´ o 251 9.1 Clasificaci´n de formas bilineales sim´tricas o e . . . . . . . . . . . . 251 9.2 C´nicas proyectivas y afines . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 256 9.3 La polaridad de una c´nica . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 264 9.4 El teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.5 Propiedades de las c´nicas proyectivas . . . o . . . . . . . . . . . . 272 9.6 Homograf´ entre c´nicas . . . . . . . . . . ıas o . . . . . . . . . . . . 282 9.7 C´nicas sobre cuerpos ordenados . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 289 9.8 Complexificaci´n . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 294
- 7. ´ INDICE GENERAL vii Cap´ ıtulo X: La geometr´ parab´lica ıa o 299 10.1 Espacios parab´licos . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.2 El plano eucl´ ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 10.3 El plano de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4 Propiedades m´tricas de las c´nicas . e o . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.5 Espacios de dimensiones superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Cap´ ıtulo XI: La geometr´ circular ıa 349 11.1 La proyecci´n estereogr´fica . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 11.2 Transformaciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 11.3 Homograf´ en la esfera . . . . ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 11.4 Conservaci´n de angulos . . . . o ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 11.5 El teorema de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Cap´ ıtulo XII: La geometr´ hiperb´lica ıa o 363 12.1 El plano hiperb´lico . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 363 12.2 Medida de segmentos y ´ngulos . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . 368 12.3 El modelo de Poincar´ . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.4 Trigonometr´ hiperb´lica . . . . . . ıa o . . . . . . . . . . . . . . . . 375 12.5 Las isometr´ hiperb´licas . . . . . ıas o . . . . . . . . . . . . . . . . 380 ıtulo XIII: La geometr´ el´ Cap´ ıa ıptica 387 13.1 El plano el´ ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 13.2 Bil´teros y tri´ngulos . . . . . . . a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 13.3 Isometr´ el´ ıas ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 13.4 Trigonometr´ el´ ıa ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Bibliograf´ ıa 397 ´ Indice de Materias 398
- 9. Introducci´n o La geometr´ es, junto a la teor´ de n´meros, una de las ramas m´s antiguas ıa ıa u a de la matem´tica. Si por un momento restringimos el t´rmino para referirnos a e a lo que los antiguos griegos entend´ como tal, podemos decir que su objeto ıan de estudio est´ ´a ıntimamente arraigado en nuestra forma de concebir la realidad. Toda la informaci´n que recibimos del mundo que nos rodea, todo lo que vemos, o o´ımos y tocamos, lo procesamos en primera instancia en t´rminos geom´tricos. e e Sin embargo, no podemos considerar a las leyes formales que rigen el espacio tridimensional que percibimos como una parte de la f´ ısica. Al contrario que las leyes f´ ısicas, las leyes de la geometr´ nos son dadas a priori, en cuanto que ıa ninguna experiencia puede confirmar o refutar ninguna de ellas. Por ejemplo, podemos asegurar a priori que es imposible percibir una recta que posea dos paralelas por un mismo punto.1 Nuestra intuici´n geom´trica nos permite de- o e cidir inmediatamente la verdad o falsedad de un gran n´mero de afirmaciones. u A su vez, de todas ellas se sigue mediante razonamientos l´gicos un cuerpo o de teoremas no menos numeroso que, si nuestra intuici´n no alcanza a validar o directamente, al menos los corrobora en instancias particulares. Los antiguos griegos exploraron en profundidad este cuerpo de teoremas y llegaron a comprender en gran medida su estructura l´gica. Tanto es as´ que o ı en sus exposiciones m´s elaboradas, el modelo de las cuales son, sin duda, los a Elementos de Euclides, no s´lo se demuestran con un gran sentido del rigor todos o los hechos no evidentes, sino que incluso los que cualquiera dar´ tranquilamente ıa por obvios son demostrados a partir del m´ ınimo n´mero de principios a los que u el autor pudo reducirlos. Fermat y Descartes descubrieron que la geometr´ como teor´ l´gica es equi- ıa ıa o valente a una estructura algebraica, esencialmente al espacio vectorial R3 , en el sentido de que los puntos, rectas, planos, circunferencias, etc. pueden ser iden- tificados con ciertos subconjuntos de R3 de modo que los teoremas geom´tricos e sobre estos conceptos se corresponden con los teoremas algebraicos sobre sus conjuntos asociados. As´ surgi´ la llamada geometr´ anal´ ı o ıa ıtica y con ella la clave para una comprensi´n mucho m´s profunda de la geometr´ en general. o a ıa El algebra es especialmente dada a encontrar principios profundos, poco evi- ´ dentes por s´ mismos pero enormemente iluminadores. El que una determinada ı afirmaci´n se nos aparezca o no como evidente es una cuesti´n psicol´gica sin o o o 1 Por supuesto, salvo que pervirtamos el significado de la palabra “recta” y lo confundamos, por ejemplo, con un concepto f´ ısico como pueda ser el de “trayectoria de un rayo de luz”. ix
- 10. x Introducci´n o ning´n significado matem´tico, por lo que la geometr´ axiom´tica al estilo de u a ıa a Euclides se considera hoy, con raz´n, como algo superado. El tratamiento al- o gebraico de la geometr´ aparte de ser l´gicamente m´s simple, nos abre las ıa, o a puertas de “otras geometr´ ıas”, es decir, de otras teor´ algebraicas lo suficien- ıas temente cercanas a las de la geometr´ tradicional eucl´ ıa ıdea como para que sea justo englobarlas bajo el mismo nombre. El caso m´s elemental es la sustituci´n a o del exponente en R3 por cualquier otro n´mero natural. No tenemos ninguna u intuici´n que pueda aplicarse a R4 , pero el cambio de un 3 por un 4 apenas o modifica la teor´ algebraica, que de hecho se desarrolla sin dificultad y por ıa el mismo precio en el espacio general Rn . Otros casos menos triviales son las geometr´ no eucl´ ıas ıdeas o las geometr´ basadas en los n´meros complejos. ıas u La algebrizaci´n de la geometr´ no supone unicamente un cambio de len- o ıa ´ guaje. En el siglo XIX la geometr´ al igual que las dem´s ramas de la ma- ıa, a tem´tica, experiment´ un desarrollo gigantesco en varias direcciones. Por un a o lado, Poncelet sent´ las bases de la geometr´ proyectiva, que viene a demostrar o ıa que nuestra intuici´n nos proporciona una imagen sesgada de una estructura o algebraica m´s regular de lo que los ojos nos muestran. Esta regularidad se a pone de manifiesto postulando la existencia de puntos infinitos. Gracias a ellos, una hip´rbola y una elipse pueden considerarse como una misma figura vista e desde posiciones distintas (la primera con dos puntos en el infinito y la segunda con todos sus puntos finitos). Si postulamos la existencia de puntos imaginarios (en el sentido de los n´meros complejos) la regularidad de la geometr´ se mul- u ıa tiplica una vez m´s. Por otra parte, Gauss mostr´ las posibilidades del c´lculo a o a diferencial aplicado al estudio de las superficies. La geometr´ diferencial es hoy ıa la aproximaci´n m´s potente a la mayor´ de las ramas de la geometr´ o a ıa ıa. El objeto de este libro es presentar una panor´mica de la geometr´ previa a a ıa la geometr´ diferencial. M´s precisamente, de la geometr´ sin topolog´ Hay ıa a ıa ıa. varias razones por las que consideramos util conocer las t´cnicas no topol´gicas ´ e o en geometr´ Por una parte entre ellas se encuentran las t´cnicas genuinamente ıa. e algebraicas, que son de gran valor en s´ mismas y por sus posibilidades de ı aplicaci´n. En muchos casos el ´lgebra suple con razonamientos conceptuales o a exquisitamente limpios lo que en un enfoque m´s directo se convertir´ en una a ıa ristra de c´lculos, concluyentes pero ciegos. a En segundo lugar, y a pesar de que m´s arriba la hayamos calificado de a anticuada, es interesante conocer la geometr´ sint´tica, es decir, la geometr´ ıa e ıa tradicional que parte de axiomas evidentes intuitivamente. Esta aproximaci´n o es la unica que justifica que ciertas ramas del algebra describen realmente las ´ ´ leyes de nuestra intuici´n. Formalmente es posible evitarla, pero con ello se o incurre en una especie de “estafa legal”. Pensemos por ejemplo en un resultado tan cl´sico como el teorema de Pit´goras. Podemos definir la norma de un vector a a de R2 como (x, y) = x2 + y 2 y la perpendicularidad como (x, y) ⊥ (x , y ) si y s´lo si xx + yy = 0, y a partir de aqu´ demostrar el teorema de Pit´goras, o ı a pero esa demostraci´n, l´gicamente irrefutable, no puede convencer a nadie o o de la validez del teorema si antes no se nos “demuestran” las definiciones, si antes no se nos convence de que si tomamos un papel cuadriculado y clavamos las dos puntas del comp´s en los ´ngulos opuestos de un rect´ngulo de lados a a a
- 11. xi 3 y 4,nos encontraremos con que podemos girarlo hasta situarlo sobre dos puntos que disten 5 unidades, o que si dibujamos los vectores (2, 1) y (−1, 2) obtendremos realmente segmentos perpendiculares. Al igual que este ejemplo podemos encontrar much´ ısimos m´s, en torno a la definici´n de la medida de a o angulos, de las razones trigonom´tricas, de la ortogonalidad de vectores, del ´ e c´lculo diferencial b´sico, etc. a a Cubrir estas lagunas apenas cuesta cuatro de los trece cap´ ıtulos que tiene este libro, por lo que creemos que merece la pena.
- 13. Cap´ ıtulo I La geometr´ absoluta ıa El objeto de estudio de la geometr´ es lo que se conoce como el espacio. ıa No es posible definir este concepto, pero todos tenemos una idea intuitiva del mismo. Nuestra intenci´n es obtener un modelo matem´tico del espacio, para o a lo cual iremos introduciendo axiom´ticamente afirmaciones intuitivamente evi- a dentes, hasta llegar a un punto en que podamos probar que s´lo hay un objeto o matem´tico que satisface dichas propiedades. a La primera aproximaci´n a la caracterizaci´n matem´tica del espacio en el o o a seno de la teor´ de conjuntos ser´ precisamente concebirlo como tal, es decir, ıa a considerar al espacio como un conjunto E a cuyos elementos llamaremos puntos. Un punto es una posici´n en el espacio, carente de toda extensi´n. Un punto o o ortogr´fico es una buena imagen de un punto geom´trico, si bien hemos de tener a e presente que la peque˜a mancha de tinta tiene una cierta extensi´n, de la que n o debemos hacer abstracci´n.o Hay dos conceptos m´s que se encuentran al mismo nivel elemental que el a concepto de punto. Se trata de los conceptos de recta y plano. De nuevo es imposible definir la caracter´ ıstica que diferencia a una l´ ınea recta de una l´ ınea curva o a una superficie plana de una superficie curva, pero intuitivamente todos sabemos distinguir las rectas y los planos de las restantes curvas y superficies. ✡ ✡r ✡ ✡ π P ✡ ✡ ✡ Una recta r y un plano π que se cortan en un punto P . Hemos de hacer una aclaraci´n sobre la interpretaci´n que vamos a dar a o o estas palabras: una hoja de papel proporciona una buena imagen de un plano, salvo por el hecho de que la hoja termina en unos bordes, mientras que para nosotros un plano ser´ una superficie ilimitada. Si apoyamos la hoja en una a 1
- 14. 2 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa mesa, la superficie de la mesa representa una porci´n m´s amplia del mismo o a plano que representa la hoja. Similarmente, por una recta entenderemos una l´ ınea recta sin extremos, de modo que si trazamos una porci´n de recta con o la ayuda de una regla, cualquier extensi´n de la misma por cualquiera de sus o extremos ser´ una porci´n mayor de la misma recta. Del mismo modo que hemos a o hecho con el espacio, podemos concebir las rectas y los planos como conjuntos de puntos, es decir, como ciertos subconjuntos de E que no podemos definir. 1.1 Axiomas de incidencia Definici´n 1.1 Una geometr´ (tridimensional) est´ formada por un conjunto o ıa a E al que llamaremos espacio—y a cuyos elementos llamaremos puntos— junto con dos familias no vac´ de subconjuntos de E a cuyos elementos llamaremos ıas respectivamente rectas y planos, de modo que se cumplan los siete axiomas indicados m´s abajo. a Diremos que una recta o plano X pasa por un punto P , o que X incide en el punto P , si P ∈ X. Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una unica recta, ´ que representaremos por P Q. Axioma A2 Toda recta pasa al menos por dos puntos. Diremos que tres o m´s puntos son colineales si hay una recta que pasa por a todos ellos. Axioma A3 Por cada tres puntos no colineales P , Q, R pasa un unico plano, ´ al que representaremos por P QR. Axioma A4 Todo plano contiene tres puntos no colineales Axioma A5 Si una recta r tiene dos puntos en com´n con un plano π, en- u tonces r est´ contenida en π. a Axioma A6 Si dos planos tienen un punto en com´n, entonces tienen dos u puntos en com´n.1 u Diremos que cuatro o m´s puntos son coplanares si hay un plano que pasa a por todos ellos. Axioma A7 Existen cuatro puntos distintos no coplanares. Veamos algunas consecuencias de estos axiomas b´sicos. Todas ellas son a elementales, as´ que omitiremos los detalles de las pruebas. ı Si una recta o un plano X no pasa por un punto P , diremos que P es un punto exterior a X. 1 Este axioma implica que la dimensi´n del espacio es ≤ 3, mientras que el siguiente implica o que es ≥ 3.
- 15. 1.2. Axiomas deordenaci´n o 3 Teorema 1.2 Toda recta tiene un punto exterior contenido en un plano dado (Por A4) Teorema 1.3 Todo plano tiene un punto exterior. (Por A7) Teorema 1.4 Si P y Q son puntos de una recta r y R es exterior a r, entonces P , Q y R no son colineales. (Por A1) Teorema 1.5 Si P , Q y R son puntos de un plano π no colineales y S es exterior a π, entonces P , Q, R y S no son coplanares. (Por A3) Teorema 1.6 Dados dos planos distintos, entonces o bien no tienen puntos comunes o bien su intersecci´n es una recta. (Por A6 y A3) o Diremos que dos planos son coincidentes si son iguales, secantes (lat. ‘que se cortan’) si su intersecci´n es una recta y paralelos (gr. ‘uno al lado del otro’) si o no tienen puntos comunes. Teorema 1.7 Dos rectas distintas tienen como m´ximo un punto en com´n. a u (Por A1) Diremos que dos rectas son coincidentes si son iguales, secantes si su inter- secci´n es un punto, y si no tienen puntos comunes diremos que son paralelas si o est´n contenidas en un mismo plano o que se cruzan en caso contrario. a Teorema 1.8 Dados un plano y una recta, o bien no tienen puntos comunes, o bien tienen un unico punto en com´n, o bien la recta est´ contenida en el ´ u a plano. (Por A5) Diremos que una recta y un plano son secantes si se cortan en un punto y paralelos si no tienen puntos comunes. Teorema 1.9 Una recta y un punto exterior a ella est´n contenidos en un unico a ´ plano. (Por A2, A3 y A5) Teorema 1.10 Dos rectas secantes est´n contenidas en un unico plano. a ´ 1.2 Axiomas de ordenaci´n o Si fijamos dos puntos A y B en una recta r y establecemos que A est´ a a la izquierda de B, esto determina cu´ndo un punto cualquiera de r est´ a la a a izquierda o a la derecha de otro punto de r. M´s a´n, tiene sentido decir qu´ a u e punto est´ m´s a la izquierda o m´s a la derecha de uno dado, es decir, los puntos a a a de la recta quedan ordenados por el criterio de que un punto es menor cuanto m´s a la izquierda se encuentra. Es importante notar que la noci´n de izquierda a o y derecha es relativa, pues si giramos la recta, la izquierda se convierte en derecha y viceversa. Los axiomas siguientes recogen las propiedades necesarias para determinar estas nociones intuitivas. Definici´n 1.11 Una geometr´ esta ordenada si cada par ordenado de puntos o ıa distintos A y B tiene asociado una relaci´n ≤AB sobre los puntos de la recta o AB de tal modo que se satisfacen los cinco axiomas siguientes:
- 16. 4 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa Axioma B1 Para todo par de puntos distintos A y B, la relaci´n ≤AB es una o relaci´n de orden total sobre la recta AB, es decir, es reflexiva, antisim´trica, o e transitiva y todo par de puntos P y Q de AB cumple P ≤AB Q o bien Q ≤AB P . Adem´s, con este orden, la recta no tiene m´ximo ni m´ a a ınimo, y para todo par de puntos P <AB Q, existe un punto R tal que P <AB R <AB Q. Axioma B2 Para todo par de puntos distintos A y B se cumple A ≤AB B. Axioma B3 Si A y B son dos puntos distintos y P , Q son dos puntos de la recta AB, entonces P ≤AB Q si y s´lo si Q ≤BA P . o Axioma B4 Si A = B y C = D son pares de puntos de una misma recta, entonces ≤AB = ≤CD o bien ≤AB = ≤DC . Los axiomas B3 y B4 afirman que en realidad s´lo estamos considerando dos o ordenaciones en cada recta, y una es la inversa de la otra. Diremos que un punto P est´ entre dos puntos A y B si los tres son colineales y A ≤AB P ≤AB B. a Axioma B5 Sean A, B, C tres puntos no colineales y r una recta contenida en el plano ABC pero que no pase por ninguno de ellos. Si r pasa por un punto situado entre A y B, entonces r pasa por un punto entre A y C o bien por un punto entre B y C, y s´lo se da uno de los dos casos. o ❚ C ✑ ❚ ✑✑ ❡ ✑❚ ❡ ✑ ❚ ❡ ❡ ✑ ✥ ✥✥ B ✑ ✥✥✥ ✥✥ ❚ ❚ ✑ ✥ ✥✥✥ ✑ A ❚ r Teorema 1.12 Dados tres puntos A, B, C, se cumple que B est´ entre A y C a si y s´lo si est´ entre C y A. (Por B2) o a Definici´n 1.13 Dados dos puntos distintos A y B, llamaremos segmento (lat. o ‘corte’) de extremos A y B al conjunto de los puntos situados entre A y B. Lo representaremos por AB. Por el teorema anterior AB = BA. Observemos que un segmento s contiene a sus extremos, luego est´ contenido en una unica recta, a la que llamaremos a ´ prolongaci´n de s. Los extremos de s son el m´ximo y el m´ o a ınimo para cualquiera de las ordenaciones de su prolongaci´n, luego est´n determinados por s, es decir, o a dos segmentos son iguales si y s´lo si tienen los mismos extremos. o Si a una recta le quitamos un punto, ´sta queda dividida en dos partes. El e teorema siguiente lo demuestra, al tiempo que caracteriza a cada una de estas partes. Para enunciarlo conviene adoptar el convenio de que AA = {A}, si bien no consideraremos como segmentos a estos conjuntos de un solo punto.
- 17. 1.2. Axiomas deordenaci´n o 5 Teorema 1.14 Sea r una recta y O un punto de r. Entonces la relaci´n en o r {O} dada por P ∼ Q si y s´lo si O ∈ P Q es una relaci´n de equivalencia o / o con exactamente dos clases de equivalencia. Demostracion: Sea B un punto de r y sea A tal que A <OB O <OB B. ´ Es f´cil ver que P ∼ Q si y s´lo si P y Q son ambos mayores que O o ambos a o menores que O respecto a la relaci´n ≤OB , de donde se sigue inmediatamente o que la relaci´n es de equivalencia. Adem´s hay s´lo dos clases, a saber, la clase o a o de A y la clase de B. Definici´n 1.15 Dado un punto O en una recta r llamaremos semirrectas en o r con origen en O a cada una de las dos clases de equivalencia descritas en el teorema anterior junto con el punto O. Claramente, dados dos puntos distintos O y A, existe una unica semirrecta ´ − → de origen O y que pasa por A. La representaremos por OA. Es f´cil ver que a −→ OA = {P ∈ OA | O ≤OA P }. Una semirrecta est´ contenida en una unica recta, a la que llamaremos su a ´ prolongaci´n. Notemos que si s es una semirrecta, entonces el origen de s es o el m´ximo o el m´ a ınimo de s respecto a cada una de las dos ordenaciones de su prolongaci´n. Si es el m´ o ınimo entonces s no tiene m´ximo y viceversa. Por a consiguiente una semirrecta determina a su origen, de modo que dos semirrectas iguales tienen el mismo origen. Si s es una semirrecta, existe una unica semirrecta distinta de s con la misma ´ prolongaci´n y el mismo origen. A ´sta la llamaremos semirrecta complemen- o e taria de s. El unico punto en com´n entre una semirrecta y su complementaria ´ u es el origen de ambas. Del mismo modo que un punto divide a una recta en dos semirrectas, una recta divide a un plano en dos semiplanos. El teorema siguiente lo demuestra. Teorema 1.16 Sea π un plano y r una recta contenida en π. Entonces la relaci´n en π r dada por P ∼ Q si y s´lo si r no corta a P Q es una relaci´n o o o de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia. Demostracion: La relaci´n es obviamente reflexiva y sim´trica, y es tran- ´ o e sitiva por el axioma B5. Tomemos un punto A de π exterior a r y un punto X en r. La recta AX est´ contenida en π y corta a r unicamente en X, luego si a ´ tomamos un punto B en AX tal que X est´ entre A y B, ciertamente B ∈ π r. e M´s a´n, A ∼ B. De nuevo el axioma B5 implica que todo punto de π r es a u equivalente a A o a B, luego s´lo hay dos clases de equivalencia. o Definici´n 1.17 Sea π un plano y r una recta contenida en π. Llamaremos o semiplanos en π de frontera r a las uniones de cada una de las dos clases de equivalencia descritas en el teorema anterior con la recta r.
- 18. 6 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa Dada una recta r y un punto exterior A, existe un unico semiplano de frontera ´ −→ r y que contiene a A. Lo representaremos por rA, y es el conjunto de todos los puntos X del plano que contiene a r y a A tales que r no corta al segmento AX. Un semiplano s est´ contenido en un unico plano, al que llamaremos su pro- a ´ longaci´n. La frontera de s est´ formado por los puntos X con la propiedad de o a que existe una semirrecta de origen X contenida en s cuya semirrecta comple- mentaria no tiene m´s punto en s que el propio X. Por lo tanto s determina a a su frontera, es decir, si dos semiplanos son iguales, sus fronteras son iguales. Dado un semiplano s, existe un unico semiplano distinto de s con la misma ´ prolongaci´n y con la misma frontera, al que llamaremos semiplano complemen- o tario de s. Los unicos puntos en com´n entre un semiplano y su complementario ´ u son los de la frontera. Ejercicio: Probar que un plano divide al espacio en dos semiespacios. Definir los conceptos de prolongaci´n de un semiespacio y semiespacio complementario. o Definici´n 1.18 Un conjunto de puntos F es convexo si cuando A, B son o puntos de F entonces el segmento AB est´ contenido en F . a Es f´cil probar que las rectas, los planos, los segmentos, las semirrectas, los a semiplanos y los semiespacios son conjuntos convexos. As´ mismo es claro que ı la intersecci´n de conjuntos convexos es un conjunto convexo. o 1.3 ´ Angulos y tri´ngulos a Definici´n 1.19 Sean l1 y l2 dos semirrectas con origen com´ n O y no conte- o u nidas en la misma recta. Sean r1 y r2 sus respectivas prolongaciones. Sea π el plano que las contiene. Es claro que l1 est´ contenido en uno de los semiplanos a en que r2 divide a π y l2 est´ contenido en uno de los semiplanos en que r1 a divide a π. Llamaremos ´ngulo (lat. ‘rinc´n’) de v´rtice (lat. ‘cumbre’) O y a o e lados l1 y l2 a la intersecci´n del semiplano de π respecto a r2 que contiene a l1 o con el semiplano de π respecto a r1 que contiene a l2 . Lo representaremos l1 l2 . Los puntos de l1 y l2 constituyen la frontera del angulo. ´ Observemos que l1 l2 contiene m´s puntos, aparte de los de sus lados. De a hecho es un conjunto convexo, pues es la intersecci´n de dos conjuntos convexos. o Por lo tanto, si A y B son puntos en l1 y l2 respectivamente, entonces todos los puntos entre ellos est´n en el angulo. a ´ Si tres puntos A, O y B no son colineales, llamaremos AOB al angulo de ´ − → −→− v´rtice O y lados OA y OB. e Un angulo est´ contenido en un unico plano, llamado su soporte. Es f´cil ´ a ´ a probar que un angulo determina su v´rtice y sus lados. ´ e Dos rectas secantes dividen el plano que las contiene en cuatro ´ngulos con a v´rtice com´n. Dos angulos con el mismo v´rtice, un lado en com´n y los otros e u ´ e u
- 19. ´ 1.3. Angulos ytri´ngulos a 7 lados formados por semirrectas complementarias se llaman ´ngulos adyacentes. a Dos ´ngulos con el mismo v´rtice y cuyos lados son semirrectas complementarias a e se llaman ´ngulos opuestos por el v´rtice. Cada angulo tiene exactamente dos a e ´ a ´ngulos adyacentes y un angulo opuesto por el v´rtice. ´ e ´ Angulo adyacente ✔ ✔ l2 ✔ l1 l2 ✏ ✔ ✏✏ ✔ ✏✏✏ ✏✏O✔ ✏ l1 ✏ ✏✏ ✔ ✏✏ ✔ ✏ ✏✏ ✔ ´ Angulo ✔ opuesto ✔ ´ Angulo adyacente ✔ Teorema 1.20 Sean A, O, B puntos no colineales en un plano π. Entonces una semirrecta de origen O y contenida en π est´ contenida en el ´ngulo AOB a a si y s´lo si corta al segmento AB. o Demostracion: Sea s una semirrecta de origen O y contenida en π. Pode- ´ mos suponer que no es uno de los lados de AOB. Si s corta a AB en un punto X y P es cualquier otro punto de s (distinto de O), entonces la prolongaci´n o del segmento P X es la prolongaci´n de s, que corta a los lados del angulo en el o ´ punto O, y ´ste no est´ en P X. Por lo tanto P y X est´n en los mismos semi- e a a planos respecto a los lados del ´ngulo, y como X est´ en el ´ngulo, P tambi´n. a a a e Esto prueba que s est´ contenida en AOB. a Rec´ıprocamente, supongamos que s est´ contenida en AOB. Sea s la prolon- a ¯ gaci´n de s y consideremos un punto C tal que O est´ entre C y B. Los puntos o e A, B y C no son colineales, y s no pasa por ninguno de ellos. Como s pasa por ¯ ¯ O, que es un punto entre C y B, por el axioma B5 ha de pasar por un punto entre A y B o bien por un punto entre A y C. Ahora bien, s est´ contenida en a AOB y puesto que al pasar por O cruza a la vez los dos lados de s, es claro que la semirrecta complementaria de s est´ contenida en el angulo opuesto por el a ´ v´rtice a AOB. Sin embargo el segmento AC est´ contenido en el angulo AOC, e a ´ que es uno de los adyacentes a AOB. Por lo tanto s no puede cortar a AC. As´ ¯ ı pues, s corta a AB. Sin embargo, la semirrecta complementaria de s no puede ¯ cortar a este segmento, pues est´ fuera de AOB. Concluimos que es s quien a corta al segmento. Observemos que si un punto P est´ en un angulo AOB entonces la semirrecta a ´ − −→ OP est´ contenida en AOB. a Teorema 1.21 Dos ´ngulos con un lado en com´n y contenidos en el mismo a u semiplano respecto a ´l est´n contenidos el uno en el otro. e a Demostracion: Los ´ngulos ser´n de la forma AOB1 y AOB2 . Suponga- ´ a a mos que el segmento AB 1 no corta a la recta OB2 . Entonces todos los puntos
- 20. 8 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa de AB 1 est´n en el mismo semiplano que A respecto a OB2 , y por hip´tesis a o tambi´n est´n en el mismo semiplano que B2 respecto a OA. Por lo tanto AB 1 e a est´ contenido en AOB2 . Si P es cualquier punto de AOB1 (que no est´ en a e −−→ OA) la semirrecta OP corta a AB1 en un punto X. Si X = P ya tenemos que P est´ en AOB2 . En caso contrario, el segmento XP no contiene a O, por lo a que X y P est´n en los mismos semiplanos respecto a los lados de AOB2 , luego a P est´ en AOB2 . a Supongamos ahora que AB 1 corta a la recta OB2 en un punto X. Entonces X est´ en AOB1 , luego est´ en el mismo semiplano que B2 respecto a OA, a a −→ − luego en realidad X est´ en OB2 . Esto implica que AOX = AOB2 , luego no a perdemos generalidad si suponemos que X = B2 . Ahora, si P est´ en AOB2 la a − −→ semirrecta OP corta a AB 2 , luego corta a AB 1 , luego est´ contenida en AOB1 , a luego P est´ en AOB1 . a De la prueba del teorema anterior y del teorema 1.20 se deduce el hecho siguiente: Teorema 1.22 Sean l1 , l2 y l3 semirrectas de origen O y tales que l2 y l3 est´n e contenidas en un mismo semiplano de frontera la prolongaci´n de l1 . Entonces o l1 l2 est´ contenido en l1 l3 si y s´lo si l2 est´ contenida en l1 l3 . a o a Definici´n 1.23 Sean A, B y C tres puntos no colineales. Llamaremos tri´n- o a gulo de v´rtices A, B y C a la intersecci´n de los angulos BAC, ABC y ACB. e o ´ Lo representaremos por ABC. Los ´ngulos BAC, ABC y ACB se llaman ´ngulos del tri´ngulo ABC. a a a ˆ ˆ ˆ Cuando no haya ambig¨edad, nos referiremos a ellos como A, B y C, respecti- u vamente (es decir, los nombraremos por sus v´rtices). Los segmentos AB, AC y e BC se llaman lados de ABC. Los tres lados de un tri´ngulo forman su frontera. a ˆ Los lados AB y AC se llaman lados contiguos al angulo A, mientras que el ´ ´ ˆ (similarmente con los otros dos ´ngulos). lado BC es el lado opuesto al angulo A a Normalmente llamaremos a, b y c a los lados de un tri´ngulo ABC, de modo a a ´ ˆ a ˆ que a ser´ el lado opuesto al angulo A, b ser´ el lado opuesto a B y c ser´ el a ˆ lado opuesto a C. B ✑ ✑ ❡ a c ✑✑ ❡ ✑ ❡ ❡ ✑ ✥ ✥ C ✑ ✥✥ ✥✥✥ ✑ ✥✥ ✥✥✥ ✑ b A
- 21. 1.4. Axiomas decongruencia 9 1.4 Axiomas de congruencia Continuamos introduciendo conceptos geom´tricos b´sicos ocup´ndonos de e a a la congruencia de figuras. La idea subyacente es que dos figuras son congruen- tes si se diferencian a lo sumo en su posici´n en el espacio, es decir, si una o puede convertirse en la otra mediante un movimiento. Aunque en principio el concepto de congruencia es aplicable a cualquier figura, de momento s´lo nece- o sitamos considerar congruencias de segmentos, ´ngulos y tri´ngulos. Adem´s, a a a la congruencia de tri´ngulos puede definirse en t´rminos de las otras dos. a e Definici´n 1.24 Una geometr´ m´trica es una geometr´ ordenada junto con o ıa e ıa dos relaciones, que llamaremos de congruencia y las representaremos por ≡, definidas respectivamente sobre los conjuntos de los segmentos y ´ngulos, y que a cumplen los axiomas siguientes: Axioma C1 Las dos congruencias son relaciones de equivalencia, es decir, son reflexivas, sim´tricas y transitivas. e Axioma C2 Dados tres puntos A, B y A y una semirrecta s de origen A , existe un unico punto B en s tal que AB ≡ A B . ´ Axioma C3 Sean A, B, C puntos colineales de modo que B est´ entre A y e C, sean A , B y C otros tres puntos en las mismas condiciones. Entonces, si AB ≡ A B y BC ≡ B C , tambi´n AC ≡ A C . e Axioma C4 Sea L un angulo, s una semirrecta y π un semiplano cuya fron- ´ tera sea la prolongaci´n de s. Entonces existe un unico angulo L contenido en o ´ ´ π, con un lado igual a s y tal que L ≡ L . Diremos que dos tri´ngulos T y T son congruentes si existe una correspon- a dencia entre sus v´rtices para la cual cada par de lados y angulos correspondien- e ´ tes son congruentes. En lo sucesivo, cuando digamos que dos tri´ngulos ABC a y A B C son congruentes, se sobreentender´ que cumplen la definici´n para la a o correspondencia A → A , B → B , C → C , es decir, que AB ≡ A B , etc. Axioma C5 Dado un tri´ngulo ABC, un segmento A B ≡ AB y un semi- a plano π de frontera la prolongaci´n de A B , existe un (´nico) tri´ngulo A B C o u a contenido en π y congruente con ABC. Observemos que la unicidad del tri´ngulo se sigue del axioma C4, pues las a rectas A C y B C son unicas, y C ha de ser su intersecci´n. En el lenguaje tra- ´ o dicional de la geometr´ es costumbre hablar de angulos, segmentos y tri´ngulos ıa ´ a ‘iguales’ en el sentido que aqu´ hemos dado a la palabra ‘congruentes’, mientras ı que para indicar que dos segmentos, angulos o tri´ngulos son iguales en el sen- ´ a tido conjuntista, es decir, que contienen los mismos puntos, se suele decir que son ‘coincidentes’. Nosotros usaremos estos t´rminos excepto cuando pueda dar e lugar a confusi´n. o Comencemos estudiando las propiedades de la congruencia de segmentos. El axioma C3 nos permite definir una suma:
- 22. 10 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa Teorema 1.25 Dados dos segmentos AB y CD existe un segmento P Q con la propiedad de que existe un punto R entre P y Q de modo que P R ≡ AB y RQ ≡ CD. La clase de congruencia de P Q s´lo depende de las clases de o congruencia de AB y CD. Demostracion: Tomamos por ejemplo P = A y R = B. Ahora considera- ´ mos la semirrecta de AB con origen B y que no contiene a A. Por el axioma C2 existe en ella un punto Q tal que RQ ≡ CD. Es claro que P , Q y R cumplen lo pedido. El resto es consecuencia del axioma C3. Definici´n 1.26 En las condiciones del teorema anterior, escribiremos o P Q ≡ AB + CD, entendiendo la expresi´n como una igualdad entre clases de congruencia. o De este modo tenemos definida la suma de dos (clases de) segmentos cuales- quiera. Es obvio que esta suma es asociativa y conmutativa. El hecho siguiente no es exactamente una consecuencia inmediata de la definici´n de suma: o Teorema 1.27 Si P Q ≡ u + v entonces existe un punto R entre P y Q tal que P R ≡ u y RQ ≡ v. − −→ Demostracion: Por el axioma C2 existe un punto R en la semirrecta P Q ´ tal que P R ≡ u. Del mismo modo, existe un punto R en la semirrecta de P Q de origen R y que no contiene a P de modo que RR ≡ v. Por definici´n deo suma tenemos que P R ≡ u + v ≡ P Q, luego la unicidad del axioma C2 implica que R = Q De aqu´ se sigue que la suma de segmentos es simplificable: ı Teorema 1.28 Dados tres segmentos u, v y w, si u + v ≡ u + w entonces v ≡ w. Demostracion: Sea u + v ≡ u + w ≡ P Q. Entonces existe un punto R ´ entre P y Q tal que P R ≡ u y RQ ≡ v. Tambi´n tiene que existir un punto R e tal que P R ≡ u y R Q ≡ w, y por la unicidad de C2 ha de ser R = R , luego v ≡ RQ = R Q ≡ w. Definici´n 1.29 Diremos que un segmento u es menor que un segmento v (y o lo representaremos por u < v) si existe un segmento w tal que v ≡ u + w. En tal caso el teorema anterior afirma que w es unico (salvo congruencia) y lo ´ llamaremos resta o diferencia de u y v, y lo representaremos w ≡ v − u. De las propiedades de la suma se sigue inmediatamente que la desigualdad de segmentos depende s´lo de las clases de congruencia y es una relaci´n de o o orden estricto. Tambi´n es f´cil probar lo siguiente: e a
- 23. 1.4. Axiomas decongruencia 11 Teorema 1.30 Si AB < AC y ambos segmentos est´n situados sobre una se- a mirrecta de origen A, entonces B est´ entre A y C. a Nos ocupamos ahora de la congruencia de angulos y tri´ngulos. Comenzamos ´ a con dos criterios de igualdad de tri´ngulos. a Teorema 1.31 (Criterio lado-´ngulo-lado) Si dos tri´ngulos T = ABC y a a T = A B C cumplen AB ≡ A B , AC ≡ A C y A ˆ ≡ A entonces T ≡ T . ˆ Demostracion: Por el axioma C5 el tri´ngulo T es igual a un tri´ngulo ´ a a T = A B C contenido en mismo semiplano que T respecto a la recta A B y con todos sus lados y angulos congruentes con los de T . En particular, usando ´ el axioma C1 resulta que A C ≡ A C y B A C ≡ B A C . Estos ultimos angulos tienen un lado en com´n y est´n contenidos en el ´ ´ u a mismo semiplano respecto a dicho lado, luego por el axioma C4 son coincidentes. −→ − −→ − En particular la semirrecta AC coincide con AC . Ahora el axioma C2 implica que C = C , por lo que T coincide con T , luego T y T son iguales. Teorema 1.32 (Criterio ´ngulo-lado-´ngulo) Si dos tri´ngulos T = ABC a a a ˆ ˆ ˆ ˆ y T = A B C cumplen AB ≡ A B , A ≡ A y B ≡ B entonces T ≡ T . Demostracion: Razonamos igual que en el teorema anterior, con lo que ´ obtenemos un tri´ngulo T = A B C igual a T y que comparte con T el lado a ˆ ˆ −→ − −− − → −− −→ −− −→ A B y los angulos A y B . Esto implica que A C = A C y B C = B C , ´ pero C y C son los respectivos puntos donde se cortan estas semirrectas, luego C = C y concluimos igualmente. M´s adelante probaremos que si dos tri´ngulos tienen dos angulos iguales a a ´ entonces tienen los tres ´ngulos iguales, con lo que el criterio anterior cubrir´ a a cualquier caso en que dos tri´ngulos tengan iguales dos angulos y un lado. a ´ M´s delicado es probar el criterio lado-lado-lado. Antes necesitamos un par de a resultados. En primer lugar demostramos para angulos lo que el axioma C3 ´ afirma para segmentos. Teorema 1.33 Sean l1 , l2 y l3 semirrectas de origen O tales que las dos ultimas´ est´n contenidas en un mismo semiplano con frontera la prolongaci´n de la a o primera. Sean l1 , l2 y l3 semirrectas de origen O en las mismas condiciones. Supongamos que el angulo l1 l2 est´ contenido en l1 l3 . Si l1 l2 ≡ l1 l2 y l2 l3 ≡ l2 l3 ´ a entonces l1 l2 est´ contenido en l1 l3 y l1 l3 ≡ l1 l3 . a Demostracion: Por el axioma C4 existe una semirrecta l3 de origen O y ´ contenida en el mismo semiplano respecto a l1 que las dem´s y de modo que a l1 l3 ≡ l1 l3 . Hemos de probar que l3 = l3 . Tomemos puntos A ∈ l1 y B ∈ l3 . Por el teorema 1.20 sabemos que la semirrecta l2 corta a AB en un punto C. Consideremos puntos A ∈ l1 y B ∈ l3 tales que O A ≡ OA y O B ≡ OB.
- 24. 12 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa l l3 ✁ l3 B 3 ✁ B ❇❇ ✦ l2 ✁ ❇ ❇ l ✦2 C ❇✦ ✦ ✁ C ❇✦ ✦ ✦ ✦ ✦✦ ❇ ✁ ✦✦ ❇ ✦ l1 ✦ l1 O✦ A❇ O✦ ✁ A❇ Por el criterio LAL de igualdad de tri´ngulos tenemos que AOB ≡ A O B , a −− −→ luego AB ≡ A B . Sea C el punto de A B que cumple AC ≡ A C . Como AC < AB resulta que C est´ entre A y B . Veamos que est´ en l2 . Esto se debe a a a que los tri´ngulos AOC y A O C son iguales, porque tienen iguales el angulo a ´ Aˆ ≡ A y los lados OA ≡ O A y AC ≡ A C . Por lo tanto AOC ≡ A O C , y ˆ −− −→ por la unicidad del axioma C4 ha de ser l2 = O C . Esto implica que l1 l2 est´ a contenido en l1 l3 . Finalmente observamos que los tri´ngulos BOC y B O C tienen iguales el a a ´ngulo Bˆ ≡ B y sus lados adyacentes, luego l l ≡ l2 l3 ≡ l l , y por consi- ˆ 2 3 2 3 guiente l3 = l3 Definici´n 1.34 Un tri´ngulo es equil´tero (lat. ‘de lados iguales’) si sus tres o a a lados son iguales. Un tri´ngulo es is´sceles (gr. ‘de piernas iguales’) si tiene al a o menos dos lados iguales. Un tri´ngulo es escaleno (gr. ‘oblicuo’) si sus lados a son desiguales dos a dos. Probamos ahora un resultado con una prueba mucho m´s elemental de lo a que podr´ preverse: ıa Teorema 1.35 (Criterio del tri´ngulo is´sceles) Si en un tri´ngulo ABC a o a ˆ ˆ se cumple CA ≡ CB entonces A ≡ B. Demostracion: Basta aplicar el criterio LAL a los tri´ngulos (coinciden- ´ a tes) ACB y BCA (es decir, tomando A = B, B = A y C = C). Observemos que el teorema anterior implica que los tri´ngulos equil´teros a a tienen tambi´n sus tres ´ngulos iguales. Finalmente podemos probar: e a Teorema 1.36 (Criterio lado-lado-lado) Si T = ABC y T = A B C cum- plen AB ≡ A B , AC ≡ A C y BC ≡ B C , entonces T ≡ T . Demostracion: Trasladando uno de los tri´n- ´ a A gulos podemos suponer que AC = A C y que los ❙ v´rtices B y B se encuentran en semiplanos distin- e ❙ ❙ tos respecto a este lado com´ n. u ❙ En estos t´rminos AB ≡ AB , BC ≡ B C y e ❙ hemos de probar que AB C ≡ ABC. Para ello basta ❙ B ◗ ◗ ✑ ✑ B probar que AB C ≡ ABC, pues entonces el criterio ◗ ✑ LAL nos da el resultado. Si C est´ en el segmento a ◗ ✑ ◗✑ BB concluimos por el teorema anterior aplicado a C
- 25. 1.5. Suma deangulos ´ 13 ABB . En caso contrario aplicamos el teorema anterior a los tri´ngulos ABB a y CBB , con lo que obtenemos ABB ≡ AB B y CBB ≡ CB B. El teorema 1.33 implica que AB C ≡ ABC. 1.5 Suma de ´ngulos a El teorema 1.33 nos permite definir una suma de angulos de forma similar ´ a como hemos definido la suma de segmentos. Conviene definir primero la ordenaci´n de los angulos. o ´ Definici´n 1.37 Diremos que un angulo A es menor que un angulo B (y lo o ´ ´ representaremos por A B) si existen ´ngulos A y B congruentes con A y a B respectivamente, con un lado en com´n, situados en un mismo semiplano u respecto a dicho lado y de modo que A est´ (estrictamente) contenido en B . a Si A y B son dos angulos no congruentes, por el axioma C4 existen angulos ´ ´ A y B en las condiciones de la definici´n, por el teorema 1.21 uno de ellos o estar´ contenido en el otro y por el teorema 1.33 el resultado de la comparaci´n a o depende s´lo de las clases de congruencia de A y B. Ahora es f´cil probar que o a la relaci´n que acabamos de definir es ciertamente una relaci´n de orden total o o estricto sobre (las clases de congruencia de) todos los ´ngulos, as´ como que a ı si dos ´ngulos comparten un lado y est´n contenidos en un mismo semiplano a a respecto a dicho lado, entonces el menor estar´ contenido en el mayor. a Teorema 1.38 Si L y L son ´ngulos iguales, S es un angulo adyacente a L y a ´ S es un angulo adyacente a L , entonces S y S tambi´n son iguales. ´ e Demostracion: Digamos que L = AOB y que S = COB, donde los puntos ´ C, O, A est´n alineados. Sea O el v´rtice de L y S , tomemos B en el lado a e com´n entre ambos y de modo que OB ≡ O B . Sea A en el otro lado de L de u modo que OA ≡ O A y sea C en el otro lado de S de modo que OC ≡ O C . ❇B ❇ ❇B ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ C ❇O A C ❇O A Es claro entonces que CA ≡ C A , AOB ≡ A O B (por el criterio LAL), de donde AB ≡ A B , de donde CAB ≡ C A B (por el mismo criterio), de donde BC ≡ B C , de donde COB ≡ C O B (por el criterio LLL). Esto implica que COB ≡ C O B , es decir, S ≡ S . Como consecuencia inmediata tenemos: Teorema 1.39 Los dos ´ngulos adyacentes a un angulo dado son iguales entre a ´ s´ Dos angulos opuestos por el v´rtice son iguales entre s´ ı. ´ e ı.
- 26. 14 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa (Notemos que dos ´ngulos opuestos por el v´rtice son adyacentes a un mismo a e a ´ngulo.) Definici´n 1.40 Dos ´ngulos son suplementarios si uno es congruente con un o a a ´ngulo adyacente al otro. Es obvio que la relaci´n de ser suplementarios depende s´lo de las clases de o o congruencia de los angulos, as´ como que es sim´trica. Si dos angulos suplemen- ´ ı e ´ tarios tienen un lado en com´n y est´n en semiplanos opuestos respecto a ´ste, u a e entonces son adyacentes. Teorema 1.41 Si un angulo A es menor que un angulo B, entonces el suple- ´ ´ mentario de B es menor que el suplementario de A. Demostracion: Podemos suponer que A y B tienen un lado en com´n y ´ u est´n contenidos en un mismo semiplano respecto a ´ste. Digamos A = l1 l2 y a e B = l1 l3 . Sea l1 la semirrecta complementaria de l1 . Entonces los suplementa- rios de A y B son l1 l2 y l1 l3 . Basta probar que l3 est´ contenida en l1 l2 . Por el a teorema 1.20 esto equivale a que l1 y l2 est´n en semiplanos distintos respecto e a l3 , lo que a su vez equivale a que l1 y l2 est´n en el mismo semiplano respecto e a l3 , y por definici´n de angulo esto equivale a que l2 est´ contenida en l1 l3 , lo o ´ e cual es cierto por hip´tesis. o Definici´n 1.42 Un semihaz de semirrectas (lat. fascem = ‘manojo’) es el o conjunto de todas las semirrectas con un origen com´n O contenidas en un u semiplano S que tenga a O en su frontera. Notemos que un semihaz determina su origen y su semiplano. El origen O divide a la frontera de S en dos semirrectas s y t a las que llamaremos extremos del semihaz. Cada semirrecta l en un semihaz que sea distinta de sus extremos determina dos angulos suplementarios sl y tl. Esto nos permite definir dos ´ ordenaciones totales en el semihaz: una dada por l ≤st l si y s´lo si o sl ≤ sl (con el convenio adicional de que s ≤st l ≤st t, para cualquier semirrecta l distinta de s y t), y otra ≤ts definida an´logamente. El teorema anterior prueba a que ambas ordenaciones son mutuamente inversas. En particular, si l1 l2 y l3 son tres semirrectas de un semihaz, diremos que l2 est´ entre l1 y l3 si l1 ≤st l2 ≤st l3 , donde el orden de los extremos s y t es a irrelevante. Es f´cil ver que esto sucede si y s´lo si l1 y l3 est´n en semiplanos a o a distintos respecto a l2 . Ahora conviene adoptar el convenio siguiente: Definici´n 1.43 Llamaremos ´ngulos llanos a los semiplanos. Extendemos o a la congruencia de angulos a los angulos llanos estipulando que todos ellos son ´ ´ congruentes entre s´ y no son congruentes con ning´n angulo en sentido estricto. ı u ´ Extendemos la relaci´n de orden estipulando que un angulo llano es mayor que o ´ cualquier angulo en sentido estricto. ´
- 27. 1.5. Suma deangulos ´ 15 Notemos que un ´ngulo llano no tiene definidos un v´rtice y unos lados. a e Podemos considerar como tales a un punto cualquiera de su frontera y las semi- rrectas que ´ste determina, pero hay infinitos angulos llanos con el mismo v´rtice e ´ e y los mismos lados (todos los semiplanos con una misma recta como frontera). Los ´ngulos llanos no tienen suplementario. Si s y t son los extremos de un a semihaz de semirrectas contenidas en el semiplano S, entonces convendremos en que st representa precisamente a S (pero esto s´lo tiene sentido con respecto o a un semihaz prefijado). Con este convenio se cumple el teorema siguiente (la demostraci´n es muy simple): o Teorema 1.44 Sean l1 y l2 dos semirrectas distintas en un semihaz prefijado. Entonces l1 l2 es la uni´n de todas las semirrectas del semihaz que est´n entre o a l1 y l2 . Todas estas consideraciones nos permiten estudiar c´modamente la suma de o a ´ngulos. Definici´n 1.45 Diremos que un angulo A = l1 l2 es la suma de dos ´ngulos B o ´ a y C si existe una semirrecta l3 de origen el v´rtice de A y contenida en A tal e que B ≡ l1 l3 y C ≡ l3 l2 . Lo representaremos por A ≡ B + C. Como en el caso de los segmentos, es claro que la relaci´n A ≡ B + C puede o verse como una igualdad entre clases de congruencia de los ´ngulos. Por ejemplo, a notemos que si A, B y C cumplen la definici´n anterior y A ≡ A, entonces o B A, luego existe un angulo B con un lado en com´n con A y contenido ´ u en A. Por el teorema 1.33, los otros lados de B y A forman un angulo C´ congruente con C, luego A tambi´n es una suma de B y C. Igualmente se e prueba que todas las sumas de B y C son congruentes. Convenimos en que un angulo llano A es la suma de dos ´ngulos B y C ´ a si y s´lo si ´stos son suplementarios. Observemos que la definici´n general de o e o suma es aplicable a este caso tomando como v´rtice de A cualquier punto de su e frontera. La suma de ´ngulos presenta una diferencia importante con la de segmentos, a y es que no todo par de angulos tiene una suma. Concretamente: ´ Teorema 1.46 Dos ´ngulos B y C admiten una suma si y s´lo si C es menor a o o igual que el suplementario de B. Demostracion: Sea A una suma de B y C. Es claro que existe un semihaz ´ de semirrectas contenidas en el semiplano de A y con un extremo l1 igual a un lado de A (incluso si A es un semiplano). Sea l3 el otro lado de A. Por definici´n o de suma, existe una semirrecta l2 entre l1 y l3 de modo que l1 l2 ≡ B y l2 l3 ≡ C. Si llamamos l4 a la semirrecta complementaria de l1 tenemos l1 ≤l1 l4 l2 ≤l1 l4 l3 ≤l1 l4 l4 , luego C ≡ l2 l3 ≤ l2 l4 , y este ultimo angulo es el suplementario de B. ´ ´
- 28. 16 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa Rec´ıprocamente, si C es menor o igual que el suplementario de B, entonces podemos tomar B = l1 l2 , donde l1 es un extremo de un semihaz de semirrectas al cual pertenece l2 . Por hip´tesis C ≤ l4 l2 , donde l4 es la semirrecta comple- o mentaria de l1 , luego existe una semirrecta l3 entre l2 y l4 tal que C ≡ l2 l3 . Es claro entonces que l1 l3 es una suma de B y C. Se comprueba sin dificultad que la suma de angulos es asociativa, es decir, ´ si A + B es sumable con C, entonces A tambi´n es sumable con B + C y e (A+B)+C ≡ A+(B +C). As´ mismo es conmutativa y simplificable. Si B C ı entonces existe un unico angulo D (salvo congruencia) tal que C ≡ B + D. Lo ´ ´ representaremos por D ≡ C − B. 1.6 M´s propiedades de segmentos, ´ngulos y a a tri´ngulos a Con los resultados de que disponemos hasta el momento ya podemos pro- bar con cierta agilidad muchas propiedades intuitivamente evidentes acerca de segmentos, ´ngulos y tri´ngulos. Recogemos aqu´ las que nos har´n falta m´s a a ı a a adelante para estudiar la perpendicularidad, el paralelismo y las circunferencias, entre otras nociones. Teorema 1.47 Todo segmento AB contiene un unico punto M que cumple ´ AM ≡ M B. Se le llama punto medio del segmento. Demostracion: Sea C un punto cualquiera fuera de la recta AB. El ´ tri´ngulo ACB es congruente con un unico tri´ngulo BDA contenido en el a ´ a semiplano complementario del que contiene al primero. C Los puntos C, A y D no pueden ser co- ❛ ✪ ❛ ✪ ❡ ❛❛ lineales, pues entonces los ´ngulos CAB y a ✪ ❡ ❛❛ BAD ser´ suplementarios, luego tambi´n ıan e ❡M ❛❛ A✪ ❛❛ ❡ ❛B lo ser´ los angulos (iguales a ´stos) ABD y ıan ´ e ❛❛ ✪ ❛❛ ❡ ✪ CBA, luego C, B y D ser´ tambi´n colinea- ıan e ❡ ❛❛ ✪ les, y as´ los cuatro puntos estar´ alineados, ı ıan ❡ ❛✪ en contra de la elecci´n de C. o D Tenemos, pues, dos tri´ngulos ACD y BDC, que tienen sus lados iguales, a luego tambi´n sus ´ngulos. Adem´s CD corta a la recta AB en un punto M e a a (porque C y D est´n en semiplanos distintos). Los tri´ngulos ACM y BDM a a son iguales por el criterio LAL, luego AM ≡ M B. El punto M ha de estar entre A y B, pues en caso contrario habr´ dos segmentos iguales con extremo ıa M y el otro extremo al mismo lado de M . La unicidad es f´cil de probar: Si hubiera dos puntos medios M1 y M2 , a podemos suponer que M1 est´ entre A y M2 . Entonces a AM 2 = AM 1 + M1 M2 ,
- 29. 1.6. M´s propiedadesde segmentos, ´ngulos y tri´ngulos a a a 17 luego AB = 2AM2 = 2AM 1 + 2M1 M2 = AB + 2M1 M2 , lo cual es absurdo. Teorema 1.48 Dado un ´ngulo l1 l2 , existe una unica semirrecta l contenida a ´ en ´l, tal que l1 l ≡ l l2 . Se la llama bisectriz del angulo. e ´ Demostracion: Sea O el v´rtice del ´ngulo. Tomemos un punto A en l1 y ´ e a sea B en l2 tal que OA ≡ OB. Sea M el punto medio de AB y l la semirrecta de origen O y que pasa por M . Claramente l est´ contenida en el angulo. a ´ Los tri´ngulos OAM y OBM tienen los tres lados iguales, luego tambi´n los a e ´ngulos. En particular l1 l ≡ l l2 . La unicidad se prueba como en el caso de los a segmentos o, alternativamente, se prueba que una bisectriz ha de pasar por el punto medio de AB. Teorema 1.49 Todo angulo de un tri´ngulo es menor que el suplementario de ´ a cualquier otro de los angulos. ´ Demostracion: Sea el tri´ngulo ABC. Vamos a probar que el suplemen- ´ a ˆ ˆ tario de C es mayor que B. Sea D el punto medio del lado BC. Consideremos −→ − la semirrecta AD y, sobre ella, sea E el punto que cumple AD ≡ DE. Los tri´ngulos ABD y DCD son iguales por el criterio LAL, luego DCE ≡ B y a ˆ a ´ ˆ est´ contenido en el angulo adyacente a C. B E ✟✁✟ ✁❅ ✁ ❅ ✟✟ ✁ ✁ D ✟ ❅✟ ✁ ✁ ✟✟❅ ✁ ✁✟✟ ✟ ❅ ✁ ✟ ✁ ❅✁ A C El teorema siguiente generaliza al criterio del tri´ngulo is´sceles. a o Teorema 1.50 Los ´ngulos de un tri´ngulo satisfacen las mismas desigualda- a a des que sus respectivos lados opuestos. Demostracion: Sea ABC un tri´ngulo y supongamos, por ejemplo, que ´ a BC AB. Entonces existe un punto D en AB tal que BD ≡ BC. ˆ Entonces A = CAD CDB, por el teorema anterior, pues el segundo es el suplementario de un angulo de ADC; a su vez CDB = DCB, porque el ´ tri´ngulo DCB es is´sceles, y por ultimo DCB ACB = C. a o ´ ˆ El rec´ ˆ C no puede ser AB BC por la parte ya ıproco es obvio: Si A ˆ probada, y tampoco puede darse la igualdad por el criterio del angulo is´sceles. ´ o En particular tenemos que un tri´ngulo es equil´tero si y s´lo si tiene sus tres a a o a ´ngulos iguales, es is´sceles si y s´lo si tiene dos ´ngulos iguales y es escaleno si o o a y s´lo si tiene sus tres ´ngulos desiguales. o a
- 30. 18 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa 1.7 Perpendiculares Definici´n 1.51 Un angulo es recto si es su propio suplementario. o ´ Teorema 1.52 Existen ´ngulos rectos. a Demostracion: Sea l1 l2 un angulo cualquiera. Sea O su v´rtice, sea A un ´ ´ e punto en l1 y sea B el punto de l2 que cumple OA ≡ OB. Sea M el punto medio de AB. Entonces los angulos OM A y OM B son adyacentes y por otra ´ parte son iguales, pues los tri´ngulos correspondientes tienen los lados iguales. a Por consiguiente ambos son angulos rectos. ´ Es obvio que todos los angulos rectos son congruentes entre s´ y que todo ´ ı a ´ngulo congruente con un angulo recto es recto. La existencia de ´ngulos rectos ´ a generaliza el teorema 1.48 al caso de ´ngulos llanos. a Definici´n 1.53 Dos rectas son perpendiculares (lat. perpendiculum = ‘plo- o mada’) si son secantes y uno de los ´ngulos que forman—y por consiguiente los a cuatro— es recto. Dos semirrectas o segmentos son perpendiculares si lo son sus prolongaciones. Un angulo es agudo (lat. ‘con punta’) si es menor que un angulo recto. Un ´ ´ a ´ngulo es obtuso (lat. ‘sin punta’) si es mayor que un angulo recto. ´ Es claro que el suplementario de un angulo agudo es un angulo obtuso y ´ ´ viceversa. El teorema 1.49 implica que todo tri´ngulo tiene al menos dos angulos a ´ agudos, pues si tiene uno obtuso su suplementario es agudo, y los otros dos son menores que ´ste. Esto nos permite clasificar los tri´ngulos en obtus´ngulos, e a a rect´ngulos y acut´ngulos seg´n si tienen, respectivamente, un angulo obtuso, a a u ´ un angulo recto o si todos sus angulos son agudos. En un tri´ngulo rect´ngulo, ´ ´ a a los lados perpendiculares se llaman catetos (gr. ‘perpendiculares’) y el lado situado bajo el angulo recto se llama hipotenusa (gr. ‘tendido por debajo’). ´ Teorema 1.54 Dada una recta r y un punto P contenidos en un plano π, existe una unica recta perpendicular a r que pasa por P y est´ contenida en π. ´ a Demostracion: Si el punto P est´ en r es evidente, pues basta transportar ´ a un angulo recto sobre una de las semirrectas que P determina en r. La unicidad ´ tambi´n es clara. Supongamos ahora que P no est´ en r. e a Sea A un punto de r, sea P el unico punto del semiplano de π opuesto al ´ −→ − que contiene a P y que cumple que el angulo que r forma con AP es igual al ´ −→ que forma con AP as´ como que AP ≡ AP . ı Si P , A y P est´n alineados entonces la recta P P forma con r dos ´ngulos a a adyacentes iguales, luego es perpendicular a r y pasa por P . Si no est´n alinea- a dos entonces la recta P P corta a r en un punto B distinto de A. Los tri´ngulos a ABP y ABP son iguales, luego tambi´n lo son los ´ngulos ABP y ABP , que e a adem´s son adyacentes. Por lo tanto la recta P P es perpendicular a r y pasa a por P . Si hubiera dos perpendiculares a r que pasaran por P , formar´ un ıan tri´ngulo con dos angulos rectos, lo cual es imposible. a ´
- 31. 1.7. Perpendiculares 19 Observemos que si P es un punto exterior a una recta r y Q es el punto donde la perpendicular a r por P corta a r, entonces P Q es menor que P R para cualquier otro punto R de r. En efecto, el tri´ngulo P QR es rect´ngulo, y por a a el teorema 1.50 el lado mayor es la hipotenusa P R. Teorema 1.55 Todo lado de un tri´ngulo es menor que la suma de los otros a dos y mayor que su diferencia. Demostracion: Consideremos un tri´ngulo ABC y tracemos la perpen- ´ a dicular por A a la recta BC. Distinguimos tres casos. 1) Si la perpendicular corta a BC en B o en C (por ejemplo en B), entonces el tri´ngulo es rect´ngulo y BC es menor que la hipotenusa AC, y en particular a a es menor que AC + AB. 2) Si la perpendicular corta a BC fuera del segmento BC, digamos en un punto P de modo que B est´ entre P y C, entonces BC P C, que es el cateto a de un tri´ngulo rect´ngulo de hipotenusa AC, luego BC AC AC + AB. a a 3) Si la perpendicular corta a BC en un punto X entre B y C, entonces tenemos dos tri´ngulos rect´ngulos AXB y AXC, de hipotenusas AB y AC, a a luego BC ≡ BX + XC AB + AC. La segunda propiedad es consecuencia de la primera. Si llamamos a, b y c a los tres lados y, por ejemplo, b ≤ c, entonces a + b c implica a c − b. Ahora pasamos a ocuparnos de la perpendicularidad entre rectas y planos. El resultado b´sico es el siguiente: a Teorema 1.56 Si una recta es perpendicular a dos rectas contenidas en un plano, entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano y que pasan por el punto de corte. A Demostracion: Sea O el punto de corte entre la recta ´ ❙ ❊v y el plano. Sea A otro punto de la recta y A el sim´trico e ❊ v❙ de A respecto a O (es decir, el que cumple AO ≡ OA ). ❊v❙ Consideremos una recta cualquiera contenida en el plano que ❊ v ❙ ❊ v ❙ pase por O. Fijemos en particular una de sus semirrectas de O ❍❊ v ❙ ´ origen O. Esta estar´ contenida en uno de los cuatro angulos a ´ ❆ ❍❍ C en que las rectas de la hip´tesis dividen al plano. Digamos ❊ v o ❆❊ ✡ D ❆❊ ✡ que este ´ngulo es BOC. Entonces la semirrecta corta al a ✁✡B segmento BC en un punto D. En estos t´rminos tenemos e ✁✡ que los angulos AOB y AOC son rectos, y queremos probar ´ ✡ ✁ A que AOD tambi´n lo es. e Los tri´ngulos AOC y A OC son iguales por el criterio LAL y lo mismo a sucede con AOB y A OB. Esto implica que los tri´ngulos ABC y A BC tambi´n a e son iguales, por el criterio LLL. De aqu´ pasamos a que los tri´ngulos ADB y ı a
- 32. 20 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa A DB tambi´n son iguales, esta vez por el criterio LAL, lo que nos da finalmente e la igualdad de los tri´ngulos AOB y A OB, pues sus lados son iguales. Esto a implica que los angulos AOB y A OB son iguales, a la vez que adyacentes, luego ´ son rectos. Como consecuencia inmediata obtenemos: Teorema 1.57 La uni´n de todas las rectas perpendiculares a una recta r que o pasan por uno de sus puntos es un plano. Demostracion: Sea P un punto de r. Consideremos dos planos que pasen ´ por r, tracemos en ellos sendas perpendiculares a r por P y sea π el plano que las contiene. Entonces r es perpendicular a dos rectas de π, luego por el teorema anterior es perpendicular a todas las rectas que pasan por P y est´n contenidas a en π. Falta probar que toda recta perpendicular a r por P est´ contenida en a π. Sea s una de estas rectas. Entonces el plano que contiene a r y a s corta a π en una recta que, seg´n sabemos, es perpendicular a r. Como en un mismo u plano s´lo puede haber una perpendicular, dicha intersecci´n es s, luego s est´ o o a contenida en π. Definici´n 1.58 Diremos que una recta es perpendicular a un plano π si lo o corta en un punto P y es perpendicular a todas las rectas contenidas en π que pasan por P . El teorema anterior prueba que por cada punto de una recta pasa un unico ´ plano perpendicular a la misma. El rec´ ıproco es f´cil de probar: a Teorema 1.59 Dado un plano π y un punto A, existe una unica recta perpen- ´ dicular a π que pasa por A. Demostracion: Supongamos primero que A est´ en π. Entonces consi- ´ a deramos dos rectas perpendiculares contenidas en π que se corten en A. Sus respectivos planos perpendiculares se cortar´n en una recta que ser´ perpen- a a dicular a las dos elegidas, luego a todas las de π. Supongamos ahora que A no est´ en π. Tomemos una recta cualquiera r a contenida en π, sea D el punto donde la perpendicular a r por A corta a r. Sean B y C puntos en r situados en semirrectas opuestas respecto a D. Sea s la perpendicular a r por D contenida en π. Sea A el punto situado en el −→ − semiplano de frontera s complementario del que contiene a A y que hace DA −→ − forme el mismo ´ngulo con s que DA y adem´s DA ≡ DA. Sea O el punto en a a que AA corta a s (la figura de la prueba del teorema 1.56 ilustra tambi´n la e situaci´n actual). o Por construcci´n ODA ≡ ODA , de donde ADB ≡ A DB y ADC ≡ AD C o (recordar que ambos son rect´ngulos). Por lo tanto tenemos que ABO ≡ A BO a y ACO ≡ A CO, luego ambos son rect´ngulos, y as´ la recta AA es perpen- a ı dicular a OB y OC, luego a π.
- 33. 1.8. El axiomade continuidad, c´ ırculos y circunferencias 21 1.8 El axioma de continuidad, c´ ırculos y circun- ferencias Para demostrar los hechos b´sicos sobre c´ a ırculos y circunferencias necesita- mos un axioma adicional que nos garantice la existencia de ciertos puntos de intersecci´n. Se trata del hecho siguiente: o Axioma D Supongamos que una recta r est´ dividida en dos partes disjuntas a no vac´ s1 y s2 con la propiedad de que si P y Q son puntos en si , entonces ıas P Q ⊂ si . Entonces s1 y s2 son dos semirrectas complementarias (salvo que a una de ellas le falta el origen, que s´lo pertenece a la otra). o Definici´n 1.60 Dado un plano π, un punto O en π y un segmento r, llama- o remos c´ ırculo de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos P de π tales que OP ≤ r. Llamaremos circunferencia (lat. circumferre = ‘llevar alrededor’) de centro O y radio r en π al conjunto de todos los puntos P de π tales que OP ≡ r. Cada c´ırculo tiene asociada una circunferencia (la del mismo centro y radio), a la que se llama tambi´n su frontera. Los puntos del c´ e ırculo que no pertenecen a la circunferencia se llaman interiores, mientras que los puntos que no pertenecen al c´ ırculo se llaman puntos exteriores a ´l. e Tambi´n se llama radio de un c´ e ırculo o circunferencia a cualquier segmento que una su centro con uno de los puntos de la circunferencia. Es claro que todos los radios son congruentes entre s´ Un segmento que une dos puntos de una ı. circunferencia se llama cuerda de la misma. Una cuerda que pase por el centro se llama di´metro (gr. ‘medida transversal’). Es f´cil ver que un di´metro es a a a igual a dos veces el radio. Es f´cil ver que cada c´ a ırculo o circunferencia contiene al menos tres puntos no colineales, con lo que determina el plano que lo contiene, al que llamaremos su soporte. Veamos que tambi´n determinan su centro y su radio (´ste ultimo e e ´ salvo congruencia): Dados dos puntos A y B en un plano π, la perpendicular (en π) al segmento AB por su punto medio se llama mediatriz de AB. Es inmediato comprobar que la mediatriz de un segmento AB contiene exactamente a los puntos que equidis- tan de sus extremos, es decir, que cumplen AX ≡ BX. Por lo tanto, si unimos dos puntos de una circunferencia y trazamos la mediatriz del segmento obtenido, ´sta pasa por su centro. Si tomamos tres puntos (no colineales) en la circunfe- e rencia y hacemos lo mismo con dos pares de ellos, las rectas que obtendremos se cortar´n precisamente en el centro, luego ´ste est´ un´ a e a ıvocamente determi- nado por la circunferencia. As´ mismo, el radio es congruente con cualquier ı segmento que una el centro con un punto de la circunferencia, luego tambi´n e est´ determinado. a Por otra parte, un c´ ırculo determina su circunferencia (un punto P de un c´ırculo est´ en su circunferencia si y s´lo si hay un segmento AB que lo contiene a o
- 34. 22 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa de modo que los puntos de AP son interiores al c´ ırculo y los restantes son exteriores). Concluimos que dos c´ ırculos o circunferencias (en un mismo plano) son iguales si y s´lo si tienen el mismo centro y sus radios son congruentes. o Estudiamos ahora las intersecciones entre rectas y circunferencias. Teorema 1.61 Sea ω un c´ ırculo y s una recta contenida en el plano soporte de ω y que pase por un punto interior de ω. Entonces s corta a ω en un segmento P Q, y a la circunferencia de ω s´lo en los puntos P y Q. o Demostracion: Sea O el centro de ω y r su radio. Sea A el punto donde ´ la perpendicular a s por O corta a s. Es claro que OA OP para todo punto P de s distinto de A, luego por hip´tesis OA r. o Sea t una de las semirrectas en que A divide a s. Si s pasa por O el resultado es inmediato. Supongamos lo contrario. Dividamos s en dos partes X e Y . El conjunto X est´ formado por la semirrecta complementaria de t m´s aquellos a a puntos P en t tales que existe un punto Q posterior a P (desde A) de modo que OQ r. El conjunto Y est´ formado por los puntos de s que no est´n a a en X. No es vac´ pues cualquier punto B sobre t tal que AB 2r cumple ıo, OB 2r − OA r (por el teorema 1.55), luego est´ en Y . a Por la propia definici´n de X e Y es inmediato que cumplen las hip´tesis o o −→ del axioma D. Por lo tanto existe un punto C tal que X es la semirrecta CA (salvo quiz´ el origen C). Es claro que C ha de estar en s. a Veamos que no puede ser OC r ni OC r, con lo que tendremos que C est´ en la circunferencia. Si OC r podemos tomar un punto D en s posterior a a C y de modo que CD r − OC. El teorema 1.55 implica entonces que OD r, −→ con lo que todos los puntos entre C y D est´n en X = CA, lo cual es imposible. a Similarmente, si OC r entonces tomamos D en s anterior a C y de modo que DC OC − r. Entonces llegamos a que OD r, luego cualquier punto posterior a D cumple lo mismo, luego D est´ en Y y esto tambi´n es imposible. a e Aplicando lo anterior a las dos semirrectas en que A divide a s tenemos que s corta a la circunferencia en dos puntos P y Q. Notemos ahora que Si M y N son dos puntos de s al mismo lado de A, digamos A M N , entonces el tri´ngulo OM A es rect´ngulo, luego OM A es a a agudo, luego su adyacente OM N es obtuso, luego el teorema 1.50 implica que OM ON . Esto prueba que s´lo P y Q est´n en la circunferencia y que P Q o a es la intersecci´n de s con ω. o Dada una recta s y un c´ ırculo ω de centro O y radio r (ambos en el mismo plano), consideramos el punto A donde la perpendicular a s por O corta a s. Como ya hemos notado antes, es claro que OA OP para todo punto P de s distinto de A. Por lo tanto, si OA r tenemos que la intersecci´n de s con ω o es un segmento P Q, de modo que P y Q son los unicos puntos en com´n entre ´ u s y la circunferencia de ω; si OA = r entonces A est´ en la circunferencia de ω a y todos los dem´s puntos de s son exteriores; y si OA r, todos los puntos de a s son exteriores.
- 35. 1.8. El axiomade continuidad, c´ ırculos y circunferencias 23 Definici´n 1.62 Diremos que una recta r es secante (lat. ‘que corta’) a una o circunferencia ω si tienen dos puntos en com´n. Diremos que r es tangente u (lat. ‘que toca’) si tienen un punto en com´n y diremos que r es exterior a ω si u no tienen puntos en com´n. u Hemos probado que estas definiciones cubren todas las posibilidades. Tam- bi´n es claro lo siguiente: e Teorema 1.63 Por un punto de una circunferencia pasa una unica recta tan- ´ ´ gente. Esta es concretamente la perpendicular al radio con extremo dicho punto. Ejercicio: Probar que los c´ ırculos son convexos. Ejercicio: Probar que una circunferencia no contiene tres puntos colineales. Ejercicio: Probar que por tres puntos no alineados pasa una unica circunferencia. ´ Ejercicio: Probar que si una recta r es tangente a una circunferencia ω, entonces ω est´ contenida en un semiplano respecto a r. a Veamos ahora la intersecci´n entre dos circunferencias: o Teorema 1.64 Sean ω1 y ω2 circunferencias contenidas en un mismo plano, de centros respectivos O1 y O2 y radios r1 y r2 (con r1 ≤ r2 ). Entonces: 1. Si O1 O2 r1 + r2 entonces ω1 y ω2 no tienen puntos en com´n ni sus u c´ ırculos tampoco. 2. Si O1 O2 = r1 + r2 entonces ω1 y ω2 tienen un unico punto en com´n, al ´ u igual que sus c´ ırculos. 3. Si r2 −r1 O1 O2 r1 +r2 entonces ω1 y ω2 tienen dos puntos en com´n. u 4. Si O1 O2 = r2 − r1 entonces ω1 y ω2 tienen un unico punto en com´n, y ´ u el c´ ırculo de ω1 est´ contenido en el de ω2 . a 5. Si O1 O2 r2 −r1 entonces ω1 y ω2 no tienen puntos en com´n y el c´ u ırculo de ω1 est´ contenido en el de ω2 . a Demostracion: Todos los casos son sencillos excepto el tercero. Sea A el ´ −−−→ punto de la semirrecta O1 O2 tal que O1 A ≡ r1 y sea B el punto de la semirrecta −− −→ O2 O1 tal que O2 B ≡ r2 . Las hip´tesis garantizan que A est´ en el interior de ω2 o a y que B est´ en el interior de ω1 . Como los c´ a ırculos son convexos, el segmento AB est´ en la intersecci´n de ambos. Fijamos un semiplano respecto a la recta a o O1 O2 . Para cada punto P de AB la semirrecta de origen P , contenida en el semiplano elegido y perpendicular a O1 O2 parte de un punto en ambos c´ ırculos, luego corta a las circunferencias ω1 y ω2 en dos puntos C1 y C2 , respectivamente. Llamaremos X al conjunto de todos los puntos P de AB para los que existe un punto Q tal que A ≤ P Q B y QC1 ≤ QC2 , m´s los puntos de la semirrecta a
- 36. 24 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa de origen A que no contiene a B. Llamaremos Y al conjunto de puntos de la recta AB que no est´n en X. El conjunto Y no es vac´ pues contiene todos a ıo, los puntos posteriores a B desde A. Es inmediato que se cumplen las hip´tesis del axioma D, luego X e Y son o semirrectas de origen un punto M , que claramente tiene que estar en AB. Vamos a probar que para este M se cumple C1 = C2 . Supongamos que M C1 M C2 . Sea s la tangente a ω1 por C1 , sea R un punto entre C1 y C2 . Sea t una recta que pase por R y corte a la recta AB en cualquier punto distinto de M . Entonces t corta a ω2 en dos puntos K y L, de modo que los puntos del segmento KL distintos de sus extremos son interiores a ω2 . Sea S un punto de este segmento que est´ en el mismo semiplano que B respecto a M R y que sea anterior a un e eventual corte entre KL y la tangente s. Tracemos desde S la perpendicular a AB, que cortar´ a esta recta en un punto Q. Como las rectas M R y SQ tienen a una perpendicular com´n (AB) no pueden cortarse (o formar´ un tri´ngulo u ıan a con dos ´ngulos rectos). Esto implica que Q est´ entre M y B. Ahora notamos a a que el segmento RS no corta a s, luego S est´ en el mismo semiplano que S a respecto a s, es decir, en el semiplano opuesto a M , o sea, en el que no est´ ω2 . a −→ Por lo tanto QS corta a ω1 antes de llegar a S, pero como S es interior a ω2 , − → resulta que QS corta a ω2 despu´s de llegar a S, o sea, M C1Q M C2Q . Por e consiguiente cualquier punto entre M y Q est´ en X, lo cual es imposible. a El mismo argumento prueba que si M C2 M C1 existe un punto Q entre A y M de modo que todos los puntos entre Q y M cumplen la misma desigualdad, con lo que est´n en Y y esto tambi´n es contradictorio. a e Concluimos que existe un punto de intersecci´n entre las dos circunferencias o en el semiplano seleccionado en un principio. Cambiando de semiplano obtene- mos otro m´s. La unicidad es inmediata, pues dos puntos de corte en el mismo a semiplano dar´ lugar a dos tri´ngulos distintos con lados iguales, uno de ellos ıan a com´n y ambos en el mismo semiplano respecto a ´l, lo cual es imposible. u e C2 ω2 ω1 K S R L C1 t s A M Q B Una consecuencia inmediata del teorema anterior es el resultado siguiente sobre existencia de tri´ngulos: a Teorema 1.65 Sean r1 , r2 y r3 tres segmentos que cumplan las desigualdades r2 ≤ r3 y r3 − r2 r1 r2 + r3 (o simplemente r1 r2 + r3 si r2 = r3 ). Entonces existe un tri´ngulo de lados r1 , r2 y r3 . a
- 37. 1.8. El axiomade continuidad, c´ ırculos y circunferencias 25 Demostracion: Tomamos un segmento AB igual a r1 . Por el teorema ´ anterior, la circunferencia de centro A y radio r1 corta a la circunferencia de centro B y radio r2 en un punto C que nos da el tri´ngulo buscado. a Ejercicio: Usar el axioma D para probar que por un punto exterior a una circunfe- rencia pasan dos tangentes a la misma.
- 39. Cap´ ıtulo II Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a Dedicamos este cap´ ıtulo a introducir y desarrollar unos conceptos muy in- tuitivos, pero tambi´n muy t´cnicos. De hecho se trata de un punto en el que e e la intuici´n ‘enga˜a’ un poco, pues una cuesti´n aparentemente muy simple en- o n o cierra una sutileza. Se trata del concepto de medida de un segmento. En la concepci´n de la geometr´ que ten´ los griegos retresentaba un papel muy o ıa ıan importante la noci´n de proporci´n o raz´n entre dos segmentos. La idea es que o o o la raz´n de dos segmentos u y v es, por ejemplo, 4 : 7 si al dividir el segundo en o siete partes iguales y sumar cuatro de estas partes obtenemos un segmento igual al primero. En t´rminos de medidas esto significa que si tomamos a v como uni- e dad de medida, entonces u mide 4/7 unidades. Los griegos supon´ que todo ıan segmento puede medirse de este modo con respecto a una unidad prefijada o, dicho de otro modo, que dados dos segmentos siempre guardan una determi- nada raz´n entre s´ Aqu´ veremos que esto no es as´ cosa que los griegos nunca o ı. ı ı, llegaron a asimilar. 2.1 Longitud de segmentos. N´meros reales u El primer paso para detallar las ideas que acabamos de exponer es, natural- mente, probar que es posible dividir segmentos en partes iguales. Teorema 2.1 Para todo n´mero natural n ≥ 2, todo segmento se puede dividir u en n partes iguales. Demostracion: Sea AB un segmento contenido en una recta r. Llamamos ´ − −→ X al conjunto formado por la semirrecta complementaria de AB m´s los puntos a P de AB tales que n AP AB. Sea Y el conjunto de los puntos de r que no est´n en X. Es obvio que se cumplen las hip´tesis del axioma D, luego existe a o un punto C en r tal que X e Y son semirrectas de origen C. Veamos que n AC ≡ AB. 27
- 40. 28 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ Supongamos que n AC AB. Sea entonces D un punto entre A y B tal que n AC ≡ AD. Sea m un n´mero natural tal que 2m n. Sea u el segmento u que resulta de dividir m veces por la mitad el segmento DB. Entonces tenemos nu 2m u = DB. En particular u CB, luego podemos tomar un punto E en CB tal que CE ≡ u. As´ ı, n AE ≡ n AC + n CE AD + DB ≡ AB. Esto significa que E est´ en X, pero es posterior a C, lo cual es imposible. De a modo similar se prueba que n AC AB lleva a contradicci´n. Por lo tanto o n AC = AB. Aunque la medida de angulos la abordaremos cuando hayamos acabado con ´ la de segmentos, la similitud de las pruebas aconseja incluir aqu´ este teorema: ı Teorema 2.2 Para todo n´mero natural n ≥ 2, todo ´ngulo se puede dividir u a en n partes iguales. Demostracion: El teorema es cierto incluso para ´ngulos llanos, pero ´ a podemos reducir este caso al de ´ngulos menores del modo siguiente: Para a dividir un angulo llano en n partes dividimos un angulo recto en n partes y ´ ´ tomamos el doble del resultado. As´ pues, partamos de un angulo en sentido ı ´ estricto L = AOB. Cada punto P del segmento AB distinto de A determina un angulo LP = AOP contenido en L y, rec´ ´ ıprocamente, todo angulo contenido ´ −→ en L con un lado igual a OA es de la forma LP . Adem´s, si A P Q ≤ B, a −−→ entonces el ´ngulo LQ contiene a OP , luego es mayor que LP . Esto implica, a m´s en general, que P AB Q si y s´lo si LP LQ . a o A partir de aqu´ la prueba sigue el mismo argumento que la del teorema ı anterior. Tomamos como X el conjunto de los puntos de la semirrecta comple- −− → mentaria a AB m´s los puntos P de AB tales que nLP L. El conjunto Y a est´ formado por los puntos de la recta AB que no est´n en X, bien porque a a nLP ≥ L, bien porque LP no se puede sumar n veces consigo mismo. Es f´cil ver que se cumplen las hip´tesis del axioma D, con lo que obtenemos a o un punto C de manera que X es una semirrecta de origen C. Veamos que existe nLC . Dividiendo por la mitad el suplementario de L un n´mero suficiente de veces u (los detalles son los mismos que en el teorema anterior) encontramos un ´ngulo a M tal que nM sea menor que dicho suplementario (y podemos exigir que sea menor que LC ). Existe un punto P AB C tal que LC − M ≡ LP , luego P est´ en X y por lo tanto existe n(LC − M ) L, y como nM es menor que el a suplementario de L, tambi´n existe n(LC − M ) + nM ≡ nLC . A partir de aqu´ e ı, la prueba de que nLC ≡ L es formalmente id´ntica a la del teorema anterior. e La definici´n de la medida de un segmento descansa fuertemente en la pro- o piedad siguiente, que nos permitir´ eludir la existencia de una raz´n respecto a a o una unidad.
- 41. 2.1. Longitud desegmentos. N´meros reales u 29 Teorema 2.3 (Propiedad de Arqu´ ımedes) Para todo par de segmentos u y v existe un n´mero natural n tal que nu v. u Demostracion: Podemos suponer que u = AB y v = AC, as´ como que ´ ı ambos est´n sobre una misma semirrecta s de origen A. Supongamos que el a resultado es falso, es decir, que nu v para todo n´mero natural n (observemos u que si se diera la igualdad para un n, entonces n + 1 cumplir´ el teorema. Para ıa cada n, sea An el punto de s que cumple que AAn ≡ nu. Llamemos X al conjunto de todos los puntos de la semirrecta complementaria a s m´s los P a puntos de s que cumplen P AB An para alg´n n. Sea Y el conjunto de los u puntos de s que no est´n en X (por ejemplo C). Es evidente que se cumplen a las hip´tesis del axioma D, luego existe un punto D en s de modo que X e o Y son las semirrectas de origen D. Sea E un punto de s tal que ED ≡ u. Entonces E ABD, luego E ha de estar en X. Por consiguiente existe un n´mero n tal que E ABAn , lo que significa que AE AAn ≡ nu, de donde u AD ≡ AE + ED nu + u = (n + 1)u ≡ AAn+1 , pero entonces An+1 es un punto de X posterior a D, lo cual es contradictorio. La propiedad de Arqu´ ımedes puede leerse como que todo segmento puede hacerse arbitrariamente grande sum´ndolo consigo mismo un n´mero suficiente a u de veces, pero tambi´n implica claramente que todo segmento se puede hacer e arbitrariamente peque˜o dividi´ndolo en un n´mero suficiente de partes iguales. n e u A su vez de aqu´ se sigue que si dividimos un segmento en partes suficientemente ı peque˜as y sumamos un n´mero adecuado de ´stas, podemos formar un seg- n u e mento igual a cualquier otro prefijado con un error menor que la longitud de las partes que empleamos, es decir, con un error tan peque˜o como se desee. n Nuestra definici´n de medida de segmentos se basar´ en este hecho. o a Definici´n 2.4 Dado un segmento u y un n´mero racional positivo p/q, llama- o u remos (p/q)u al segmento que resulta de dividir u en q partes iguales y sumar p de ellas. Claramente (p/q)u est´ definido salvo congruencia. La simplificabilidad de a la suma de segmentos permite probar por argumentos puramente algebraicos que la definici´n no depende de la fracci´n escogida como representante del o o n´mero racional, as´ como que se cumplen las propiedades siguientes: u ı 1. (rs)u ≡ r(su), r(u + v) ≡ ru + rv, (r + s)u ≡ ru + su, 2. Si ru ≡ rv entonces u ≡ v, 3. Si ru ≡ su, entonces r = s, 4. Si r s entonces ru su, 5. Si u v entonces ru rv, para todos los n´meros racionales positivos r, s y todos los segmentos u y v. u En estos t´rminos, que la raz´n entre dos segmentos u y v sea un n´mero e o u racional positivo r significa que u = rv. Con esto podemos hacer una primera
- 42. 30 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ aproximaci´n al problema de la medida. Tomemos una recta cualquiera y en o ella fijemos dos puntos arbitrarios P0 y P1 . Entonces a cada n´mero racional u −− −→ positivo r le podemos asignar un´ ıvocamente un punto Pr de la semirrecta P0 P1 , a saber, el unico que cumple P0 Pr ≡ r P0 P1 . Es util convenir en asignar a los ´ ´ n´meros racionales negativos puntos en la semirrecta complementaria, de modo u que si r 0 entonces Pr est´ determinado por la relaci´n P0 Pr ≡ −r P0 P1 . a o · · · −3 −2 −1 − 1 0 5 1 3 2 2 3 ··· Es importante notar que esta asignaci´n de n´meros racionales a algunos o u puntos de una recta depende de la elecci´n arbitraria de los puntos P0 y P1 o, o en otros t´rminos, de la elecci´n de P0 , de la unidad de medida u = P0 P1 y de la e o orientaci´n de la recta (es decir, de la semirrecta que tomamos como positiva). o Cuando en una recta hemos hecho estas elecciones, diremos que tenemos una recta graduada. Si en una recta graduada consideramos el orden para el cual P0 P1 , entonces el orden en Q se corresponde claramente con el orden de la recta. El problema es que no todo punto de la recta tiene asignado un n´mero u racional. Sin embargo tenemos lo siguiente: Teorema 2.5 Si P y Q son dos puntos distintos de una recta graduada, existe un n´mero racional r tal que P Pr Q. u Demostracion: Si P y Q est´n en semirrectas distintas respecto a P0 es ´ a obvio. Podemos suponer que P0 P Q. El caso contrario es an´logo. Sea a u = P0 P1 y v = P Q. Por la propiedad de Arqu´ ımedes existe un n´mero natural u n tal que u nv o, equivalentemente, (1/n)u v. De nuevo por la propiedad de Arqu´ımedes existe un n´mero m tal que (m/n)u P0 P . Podemos tomar el u m´ınimo que cumpla esto. Entonces m−1 m 1 u ≤ OP , luego u P0 P + u P0 P + P Q = P0 Q. n n n Por consiguiente si llamamos r = m/n tenemos que P0 P Pr P0 Q, es decir, P Pr Q. La idea clave para definir la medida de un segmento es la siguiente: medir un segmento s con respecto a una unidad u significa cuantificar c´mo es de o grande s supuesto que sabemos c´mo es de grande u. En el mejor de los casos o esta informaci´n puede codificarse con un n´mero racional, pero si no es as´ o u ı, para conocer el tama˜o relativo de un segmento s con respecto a v es suficiente n saber qu´ n´meros racionales r hacen que ru s y qu´ n´meros racionales e u e u hacen ru ≥ s. Equivalentemente, si situamos a s en una recta graduada con la unidad u y con un extremo en P0 , el problema es saber entre qu´ puntos Pr se e encuentra el otro extremo de s.
- 43. 2.1. Longitud desegmentos. N´meros reales u 31 En t´rminos puramente conjuntistas, para conocer exactamente la posici´n e o en una recta graduada de un punto P es suficiente conocer el conjunto αP = {r ∈ Q | Pr P }. Ahora veremos que podemos tratar a cada uno de estos conjuntos de n´meros u racionales como a un solo n´mero. La definici´n siguiente recoge las propiedades u o esenciales de los conjuntos αP . Definici´n 2.6 Una secci´n inicial abierta de Q es un subconjunto α ⊂ Q que o o cumpla: 1. Si r ∈ α y s ≤ r entonces s ∈ α. 2. Si r ∈ α existe un s ∈ α tal que r s. Llamaremos R al conjunto de todas las secciones iniciales abiertas en Q. Es f´cil probar que los conjuntos αP que hemos definido son secciones inicia- a les abiertas que cumplen dos propiedades m´s: no son vac´ (pues hay puntos a ıas anteriores a P ) y no contienen a todos los n´meros racionales (pues hay puntos u posteriores). Definimos ±∞ ∈ R como −∞ = ∅ y +∞ = Q. Llamaremos conjunto de los n´meros reales a R = R {±∞}. u Teorema 2.7 Se cumplen las propiedades siguientes: 1. R es un conjunto totalmente ordenado por la inclusi´n con m´ o ınimo −∞ y m´ximo +∞. a 2. Todo subconjunto de R tiene supremo e ´ ınfimo. 3. R es un conjunto totalmente ordenado sin m´ximo ni m´ a ınimo. 4. Si un subconjunto no vac´ de R est´ acotado superiormente tiene su- ıo a premo, y si est´ acotado inferiormente tiene ´ a ınfimo. Demostracion: 1) La inclusi´n es claramente un orden parcial. S´lo falta ´ o o ver que en este caso es total. Sean α, β ∈ R. Supongamos α = β, por ejemplo, supongamos que existe b ∈ β α. Si a ∈ α entonces a b (o si no b ∈ α), de donde a ∈ β. Esto prueba que α ⊂ β, es decir, α ≤ β. Por lo tanto R est´ totalmente a ordenado. 2) Sea S un subconjunto de R. Es inmediato comprobar que α∈R α∈S y es obviamente el supremo de S. El ´ ınfimo de S no es sino el supremo del conjunto de sus cotas inferiores.
- 44. 32 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ 3) Si α ∈ R entonces α = +∞, luego existe un n´mero racional r ∈ Q α. u Es f´cil ver que si r s ∈ Q, el conjunto β = {t ∈ Q | t s} es un n´mero real a u tal que α β. Por lo tanto R no tiene m´ximo. a Si α ∈ R, entonces α = −∞, luego existe un n´mero racional r ∈ α. Si u s ∈ Q y s r, entonces el conjunto β = {t ∈ Q | t s} es un n´mero real tal u que β α. Por lo tanto R no tiene m´ ınimo. 4) Un subconjunto de R no vac´ y acotado superiormente tiene supremo en ıo R, como no es vac´ el supremo no es −∞, como tiene una cota en R tampoco ıo es +∞, luego tiene supremo en R. An´logamente con ´ a ınfimos. Ahora podemos probar: Teorema 2.8 La aplicaci´n que a cada punto P de una recta graduada le asigna o el n´mero real αP es una biyecci´n entre la recta y el conjunto de los n´meros u o u reales. Adem´s conserva el orden. a Demostracion: Veamos que αP es un n´mero real. En efecto: si r ∈ αP ´ u y s ≤ r entonces Ps ≤ Pr P , luego s ∈ αP . Si r ∈ αP entonces Pr P , luego hay un n´mero s tal que Pr Ps P , u luego r s y s ∈ αP . Como existen puntos a la izquierda de P , tambi´n existen n´meros racionales e u r tales que Pr P , con lo que αP = ∅, similarmente existen n´meros r tales u que P Pr , con lo que r ∈ αP , luego αP = Q. / Si P Q existe un n´mero racional r tal que P Pr Q. Esto se traduce u en que r ∈ αQ y r ∈ αP , luego αP = αQ y es obvio que αP ⊂ αQ . Por lo tanto / αP αQ . Esto prueba en particular que la correspondencia es inyectiva. Sea ahora un n´mero real α. Vamos a probar que tiene un punto asociado u en a recta. Sea X el conjunto de todos los puntos Q de la recta graduada tales que P Pr para alg´n r ∈ α. Sea Y el conjunto de todos los puntos de la recta u que no est´n en X. Es f´cil ver que podemos aplicar el axioma D y obtener un a a punto P que claramente cumple α = αP . Consideremos una recta graduada y un n´mero racional r. El punto Pr u tiene asignado por una parte el n´mero real r y por otra parte el n´mero real u u formado por todos los n´meros racionales menores que r. Podemos conciliar esta u duplicidad identificando ambos n´meros de acuerdo con el teorema siguiente: u Teorema 2.9 La aplicaci´n i : Q −→ R dada por o i(r) = {s ∈ Q | s r} es inyectiva y conserva el orden. Si identificamos Q con su imagen en R, entre dos n´meros reales hay siempre un n´mero racional. u u Demostracion: Es inmediato que i(r) ∈ R. Si r, s ∈ Q con r s, entonces ´ existe un t ∈ Q tal que r t s, de donde resulta que t ∈ i(s) i(r). Como obviamente i(r) ⊂ i(s), concluimos que i(r) i(s). Esto prueba que i es inyectiva y creciente.
- 45. 2.1. Longitud desegmentos. N´meros reales u 33 Si α β, existir´ b ∈ β α. Sean r, s ∈ β tales que b r s. Entonces a todo a ∈ α es menor que r, luego α ≤ i(r). As´ mismo todo t r est´ en β, ı a luego i(r) ≤ β. Las desigualdades son estrictas pues b ∈ i(r) α y s ∈ β i(r). En lo sucesivo consideraremos a los n´meros racionales como parte de los u n´meros reales a trav´s de la aplicaci´n que acabamos de definir. Ahora po- u e o demos generalizar la noci´n de raz´n entre dos segmentos de modo que sea o o aplicable a cualquier par de ellos. Definici´n 2.10 Dado un segmento u = AB y un n´mero real α 0, definimos o u el segmento α u como el segmento AP α , donde Pα es el punto asociado a α en la prolongaci´n de u cuando la graduamos tomando origen A, unidad u y la o orientaci´n de modo que B sea positivo. o Si en particular v = r u para un n´mero racional r 0, tenemos que en u una recta graduada v ≡ P0 P , donde αP = {s ∈ Q | s r}. Esto significa que Ps P si y s´lo si s r, lo que s´lo es posible si P = Pr (por el teorema 2.5). o o Por la definici´n de Pr tenemos que v ≡ r u en el sentido de 2.4. Acabamos de o probar que ambas definiciones coinciden sobre los n´meros racionales. u Es inmediato que si 0 α β entonces α u β u. Junto con lo anterior, esto permite probar f´cilmente que la definici´n de α u depende s´lo de la clase a o o de congruencia de u. En efecto, si u ≡ v pero α u α v, existe un n´mero u racional r tal que α u ru α v, pero entonces α r, luego α v rv ≡ ru, lo cual es absurdo. Teorema 2.11 Para todos los segmentos u, v y todos los n´meros reales posi- u tivos α, β se cumple: 1. Si α β entonces α u β u, 2. Si u v entonces α u α v, 3. α(u + v) ≡ α u + α v. Demostracion: La primera propiedad ya est´ probada (es otra forma de ´ a expresar que la correspondencia entre n´meros reales y puntos de una recta u conserva el orden). La segunda es una consecuencia de la tercera, pues si u v entonces v ≡ u + w, luego α u α u + α w ≡ αv. Para probar la tercera propiedad observemos en general que si α u v entonces v ser´ de la forma v ≡ β u, con β α, luego existir´ un r α a a (y menor que β) de modo que ru v, e igualmente si las desigualdades son opuestas. Supongamos que α(u + v) α u + α v. Entonces existe un n´mero racional u r α tal que r(u + v) α u + α v, pero r(u + v) ≡ ru + rv α u + α v. Si por el contrario α(u + v) α u + α v existir´ un n´mero racional r α tal que a u α u + α v r(u + v), pero r(u + v) ≡ ru + rv α u + α v. As´ pues, se ha de ı dar la igualdad.
- 46. 34 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ Si v = α u, diremos tambi´n que la proporci´n que guardan v y u es α. Lo e o representaremos por v = α. u Un planteamiento alternativo es fijar un segmento u como unidad de longitud y decir que la longitud de v es α. Es claro que dos segmentos son congruentes si y s´lo si tienen la misma o longitud medida con la misma unidad. Definimos la distancia entre dos puntos P y Q como la longitud del seg- mento P Q. La distancia es, pues, relativa a la unidad de longitud utilizada. Convenimos adem´s que la distancia de un punto a s´ mismo es 0. a ı En estos t´rminos podemos decir, por ejemplo, que una circunferencia est´ e a formada por los puntos equidistantes de su centro. Es muy importante notar que la construcci´n de los n´meros reales a partir o u de los n´meros racionales es puramente conjuntista, es decir, no se basa en los u axiomas geom´tricos que estamos estudiando. As´ pues, tenemos un modelo e ı conjuntista del concepto geom´trico de recta. Se trata del primer paso en la e inmersi´n de la geometr´ en la teor´ de conjuntos. o ıa ıa Vamos a definir una suma de n´meros reales de manera que la longitud de u una suma de segmentos ser´ la suma de sus longitudes. a Definici´n 2.12 Dados α, β ∈ R, definimos o α + β = sup{r + s | r, s ∈ Q, r α, s β}. Ciertamente tenemos que α + β ∈ R. Teorema 2.13 Se cumple: 1. (R, +) es un grupo abeliano. 2. La suma + restringida a Q es la suma usual en Q. 3. Si α ≤ β entonces α + γ ≤ β + γ. 4. Se cumple α 0 si y s´lo si −α 0. o Demostracion: Notemos en general que para probar que dos n´meros ´ u reales α y β son iguales es suficiente probar que todo n´mero racional x que u cumple x α cumple tambi´n x ≤ β y viceversa. e Si x ∈ Q, x (α + β) + γ, entonces existen y, t ∈ Q tales que x y + t, y α + β, t γ, luego existen r, s ∈ Q, tales que y r + s, r α, s β, luego s + t β + γ y x r + (s + t) α + (β + γ). Similarmente se recorre el camino contrario, luego (α + β) + γ = α + (β + γ). Es obvio que la suma es conmutativa.
- 47. 2.1. Longitud desegmentos. N´meros reales u 35 Veamos que α + 0 = α. Si x ∈ Q, x α + 0 existen r, s ∈ Q tales que x r + s, r α, s 0, luego x r + s r α. As´ mismo, sir ∈ Q, r α ı entonces existe un s ∈ Q tal que r s α, con lo que r = s + (r − s) α + 0. Dado un n´mero real α, definimos u −α = sup{−r | r ∈ Q, α r}. Una cota superior del conjunto es −s, donde s ∈ Q, s α, luego −α es un n´mero real. Veamos que α + (−α) = 0. u Si x ∈ Q, x α + (−α) entonces existen r, s ∈ Q tales que x r + s, r α, −s α, luego x r + s 0. Rec´ ıprocamente, si x ∈ Q, x 0, tomamos n´meros racionales x −u 0 y v α. Entonces la sucesi´n v+nu sobrepasar´ u o a (un n´mero racional mayor que) α para alg´n natural n, que podemos tomar u u m´ınimo. As´ obtenemos un n´mero r α tal que s = r + u α (si r + u = α ı u cambiamos u por un n´mero mayor que siga cumpliendo x −u 0). Entonces u x −u = r − s α + (−α). Dados u, v ∈ Q, si x ∈ Q cumple x i(u) + i(v) entonces existen r, s ∈ Q tales que x r + s, r u, s v, luego x u + v, luego x i(u + v). Si x i(u + v) tomamos r ∈ Q tal que 0 r (u + v − x)/2, de modo que x (u − r) + (v − r) i(u) + i(v). Por lo tanto i(u + v) = i(u) + i(v). Si r α y s γ son n´meros racionales y α ≤ β, entonces r + s ≤ β + γ u por definici´n de suma, luego tomando el supremo, α + γ ≤ β + γ. o La propiedad 4 se sigue sin dificultad de la definici´n de −α. o La interpretaci´n geom´trica de la suma de n´meros reales est´ expresada o e u a en la relaci´n siguiente, seg´n la cual la longitud de una suma de segmentos es o u la suma de las longitudes. Teorema 2.14 Si α y β son n´meros reales positivos y u es un segmento, u entonces (α + β)u ≡ α u + β u. Demostracion: Sea α u + β u = γ u. Hay que ver que γ = α + β. Si ´ r α y s β son n´meros racionales positivos, entonces (r + s)u ≡ ru + su u α u + β u ≡ γ, luego r + s γ, lo que prueba que α + β ≤ γ. Si fuera α + β γ sea δ 0 tal que γ = α + β + δ (existe por la propiedad 3 del teorema anterior). Sea r ∈ Q tal que 0 r δ. Tomemos n´meros racionales s y t tales que u α s α + r/2 y β t β + r/2. Entonces α u + β u su + tu ≡ (s + t)u (α + β + r)u (α + β + δ)u ≡ α u + β u, con lo que tenemos una contradicci´n. Por consiguiente se da la igualdad. o Los n´meros reales negativos tambi´n tienen su interpretaci´n geom´trica u e o e en t´rminos de las rectas graduadas. e Ejercicio: Probar que si Pα es el punto de una recta graduada que se corresponde con el n´mero real α, entonces P0 P α ≡ P0 P −α , es decir, que los puntos asociados a u n´meros opuestos son los ‘sim´tricos’ respecto al punto P0 . u e
- 48. 36 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ Si tomamos dos unidades de longitud, por ejemplo el metro y el cent´ ımetro, para expresar en cent´ımetros una longitud dada en metros hemos de multiplicar por 100, debido a que 1m = 100 cm. En general, si tenemos dos unidades u y v, para expresar en t´rminos de v la longitud de un segmento dada en t´rminos e e de u necesitamos conocer la longitud de u en t´rminos de v, es decir, el n´mero e u β que cumple u = β v. Entonces, si s = α u, tendremos tambi´n s = αβ v, de e modo que la longitud de s en t´rminos de v se obtiene multiplicando por β su e longitud en t´rminos de u. Todo esto es f´cil de probar si las longitudes son e a todas racionales, pero si no es as´ ni siquiera tenemos definido el producto αβ. ı Vamos a definir un producto de n´meros reales que d´ sentido a estas f´rmulas. u e o Definici´n 2.15 Si α y β son n´meros reales positivos definimos o u αβ = sup{rs | r, s ∈ Q, 0 r α, 0 s β}. El producto de dos n´meros reales no nulos se define por las relaciones: u − (−α)β si α 0, β 0, αβ = − α(−β) si α 0, β 0, (−α)(−β) si α 0, β 0. Finalmente, si α = 0 o β = 0 definimos αβ = 0. Teorema 2.16 Se cumple: 1. (R, +, ·) es un cuerpo que contiene a Q como subcuerpo. 2. Si α ≥ 0 y β ≥ 0 entonces αβ ≥ 0. Demostracion: La prueba de que los n´meros reales positivos forman un ´ u grupo con el producto se obtiene reemplazando literalmente sumas por produc- tos en la prueba que hemos visto de que R es un grupo con la suma. Despu´s las e propiedades se trasladan formalmente a n´meros reales arbitrarios a partir de u la definici´n de producto. Del mismo modo se ve que el producto en R extiende o al producto en Q, y la ultima propiedad es trivial. S´lo queda comprobar que ´ o la suma distribuye al producto. Tomemos en primer lugar α, β, γ 0 y veamos que α(β + γ) = αβ + αγ. Si r ∈ Q cumple 0 r α(β + γ), entonces existen u, v ∈ Q positivos y tales que r uv, u α, v β + γ, luego existen x, y ∈ Q positivos tales que v x + y, x β, y γ. Entonces r u(x + y) = ux + uy ≤ αβ + αγ. Si 0 r αβ + αγ entonces existen u, v ∈ Q positivos tales que x u + v, u αβ, v αγ. A su vez existen a, b, c, d ∈ Q positivos de modo que x ab + cd, a α, b β, c α, d γ. Sea e = m´x a, c. Entonces e α y a x eb + ed = e(b + d) α(β + γ). Esto prueba la igualdad. Si β + γ ≥ 0, β ≥ 0, γ 0, entonces αβ = α (β + γ) − γ = α(β + γ) + α(−β) (puesto que β + γ ≥ 0 y −γ ≥ 0), de donde α(β + γ) = αβ + αγ. Los dem´s a casos se siguen formalmente de ´stos dos. e Las propiedades siguientes son consecuencias inmediatas de los teoremas anteriores:
- 49. 2.1. Longitud desegmentos. N´meros reales u 37 1. Si α ≤ β entonces −β ≤ −α. 2. Para todo α ∈ R, α2 ≥ 0. 3. Si α ≤ β y γ ≥ 0 entonces αγ ≤ βγ. 4. Si 0 α β, entonces 0 β −1 γ −1 . Tambi´n podemos probar la propiedad geom´trica que hab´ e e ıamos anunciado: Si α y β 0 y u es un segmento, entonces α(β u) ≡ (αβ)u. Equivalente- mente, s s v = . u v u En efecto, un segmento s es menor que α(β u) si y s´lo si s r(β u) para o cierto r α, si y s´lo si (1/r)s β u para cierto r α, si y s´lo si (1/r)s r u o o para ciertos r α y r β, si y s´lo si s rr u para ciertos r α y r β, si o y s´lo si s r u para cierto r αβ, si y s´lo si s (αβ)u. De aqu´ se sigue o o ı obviamente la igualdad. Para terminar con los resultados b´sicos sobre longitud de segmentos demos- a tramos una caracterizaci´n sencilla que nos ser´ util en el cap´ o a´ ıtulo pr´ximo. o Teorema 2.17 Sea m una aplicaci´n que a cada segmento le asigna un n´mero o u real positivo y que cumpla las propiedades siguientes: 1. Si u ≡ v entonces m(u) = m(v), 2. Para todo par de segmentos u, y v se cumple m(u + v) = m(u) + m(v). Entonces, para todo par de segmentos u, v se cumple m(v) v = . m(u) u Demostracion: Para todo n´mero natural q se cumple por hip´tesis que ´ u o m(qx) = qm(x), y si aplicamos esto a x = u/q tenemos que m(u) = qm(u/q), o equivalentemente m(u/q) 1 = . m(u) q Multiplicando esta igualdad por un n´mero natural p obtenemos, para cualquier u n´mero racional positivo r = p/q, que u m(ru) = r. m(u) Si dos segmentos cumplen x y, entonces existe un segmento z tal que y = x+z, luego m(x) m(x) + m(z) = m(y). Por lo tanto, si α es un n´mero real u arbitrario y r, s son n´meros racionales tales que r α s tenemos u m(ru) m(αu) m(ru) r= = s. m(u) m(u) m(u)
- 50. 38 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ Como esto es v´lido para todo r y todo s, ha de ser a m(αu) = α. m(u) Expresando v ≡ α u tenemos la relaci´n buscada. o Lo que afirma este teorema es que si una aplicaci´n m cumple las propiedades o indicadas, tomamos una unidad de longitud u y llamamos k = m(u), entonces m asigna a cada segmento su longitud multiplicada por k. 2.2 Complementos sobre n´meros reales u Recogemos aqu´ algunos conceptos y propiedades adicionales sobre los n´- ı u meros reales que acabamos de construir y que a menudo resultan utiles. ´ Definici´n 2.18 Llamaremos R+ al conjunto de los n´meros reales positivos o u (mayores que 0), llamaremos R− al conjunto de los n´meros reales negativos u (menores que 0). Definimos el signo de un n´mero real α como u +1 si α 0 sig α = 0 si α = 0 −1 si α 0 Llamaremos valor absoluto o m´dulo de un n´mero real α al n´mero o u u α si α ≥ 0 |α| = −α si α ≤ 0 La demostraci´n de las propiedades siguientes no ofrece ninguna dificultad: o 1. |α| ≥ 0, 2. |α| = | − α|, 3. |α| ≤ β si y s´lo si −β ≤ α ≤ β, o 4. |α + β| ≤ |α| + |β|, 5. |α| − |β| ≤ |α − β|, 6. |αβ| = |α||β|. Todo n´mero real α est´ comprendido entre dos n´meros enteros. Llamare- u a u mos parte entera del n´mero α al unico n´mero E[α] que cumple: E[α] ∈ Z y u ´ u E[α] ≤ α E[α] + 1. Es f´cil probar que siempre existe un unico n´mero entero a ´ u en estas condiciones.
- 51. 2.2. Complementos sobren´meros reales u 39 Definici´n 2.19 Si α y β son n´meros reales definimos los conjuntos: o u ]α, β[ = {x ∈ R | α x β} [α, β] = {x ∈ R | α ≤ x ≤ β} ]α, β] = {x ∈ R | α x ≤ β} [α, β[ = {x ∈ R | α ≤ x β}. Podemos considerar estas mismas definiciones en R = R ∪ {−∞, +∞} y as´ ı tenemos en particular ]−∞, β[ = {x ∈ R | x β} ]α, +∞[ = {x ∈ R | α x} ]−∞, β] = {x ∈ R | x ≤ β} [α, +∞[ = {x ∈ R | α ≤ x}. Los conjuntos de cualquiera de estos tipos reciben el nombre de intervalos. La interpretaci´n geom´trica de los intervalos es clara. El teorema siguiente o e es una forma generalizada del axioma D, pero lo demostramos a partir de la de- finici´n de los n´meros reales, es decir, sin hacer uso de los axiomas geom´tricos. o u e Teorema 2.20 Los intervalos de R son exactamente los subconjuntos I de R que cumplen la propiedad siguiente: si α, β ∈ I y α γ β, entonces γ ∈ I. Demostracion: Es claro que todos los intervalos cumplen la propiedad ´ indicada. Sea I un subconjunto de R con dicha propiedad. Si I = ∅, entonces I = ]α, α[, que es un intervalo. Supongamos que I no es ıo. vac´ Sean α y β el ´ ınfimo y el supremo de I, respectivamente en R. Si x ∈ ]α, β[, por definici´n de supremo e ´ o ınfimo, existen n´meros u, v ∈ I de u manera que α ≤ u x v ≤ β, luego x ∈ I, es decir, ]α, β[ ⊂ I, y obviamente I ⊂ [α, β]. Esto da lugar a cuatro casos seg´n si α y β est´n o no en I, lo que u a nos lleva a una de las igualdades: I = ]α, β[ , I = ]α, β] , I = [α, β[ , I = [α, β]. Veamos ahora que existen n´meros irracionales. Para ello probamos lo si- u guiente: Teorema 2.21 Para todo n´mero real α ≥ 0 existe un unico n´mero real β ≥ 0 u ´ u tal que α = β 2 . Diremos que β es la ra´ cuadrada de α y lo representaremos √ ız por α. Demostracion: Podemos suponer que α 0. Sea β el supremo del con- ´ junto de n´meros reales cuyo cuadrado es menor que α. Est´ acotado superior- u a mente por cualquier n´mero real mayor que α y que 1, luego β es ciertamente u un n´mero real. Supongamos que α β 2 . Tomemos un n´mero natural n que u u cumpla n 1/β y n 2β/(β 2 − α). As´ 2β/n β 2 − α y en consecuencia ı 2 1 1 1 1 β− = β 2 − 2β + β 2 − β 2 + α + 2 α. n n n2 n Es claro que cualquier n´mero cuyo cuadrado sea menor que α ha de ser menor u que β − 1/n, luego este n´mero es una cota superior del conjunto de todos ellos, u en contra de que β sea su supremo.
- 52. 40 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ Supongamos ahora que β 2 α. Entonces tomamos un n´mero natural n u que cumpla n 4β/(α − β 2 ) y n2 2/(α − β 2 ). As´ ı 2 1 1 1 α − β2 α − β2 β+ = β 2 + 2β + 2 β2 + + = β 2 + α − β 2 = α, n n n 2 2 luego β + 1/n es un n´mero mayor que β perteneciente al conjunto del que β es u el supremo, lo cual es imposible. Por lo tanto ha de ser β 2 = α. La unicidad es clara, pues si γ es cualquier otro n´mero real positivo entonces u γ 2 β 2 o γ 2 β 2 seg´n si γ β o γ β. u Es conocido que un n´mero √ √ no es un cuadrado en Q salvo que sea un u √ natural cuadrado en Z, por lo que 2, 3, 5, etc. son ejemplos concretos de n´meros u irracionales. Ejercicio: Probar que entre dos n´meros reales cualesquiera existe un n´ mero irra- u u cional. El teorema anterior admite una generalizaci´n que ser´ esencial m´s ade- o a a lante. Teorema 2.22 Todo polinomio de R[x] de grado impar tiene una ra´ en R. ız Demostracion: Probemos en primer lugar que si P (x) es un polinomio no ´ constante, c ∈ R y 0, entonces existe un δ 0 tal que si |h| δ entonces |P (c + h) − P (c)| . n En efecto, si P (x) = ak xk , entonces k=0 n k n k−1 k i k−i k i k−1−i P (c + h) = ak ch = P (c) + ak ch h, i=0 i i=0 i k=0 k=0 luego si h ≤ 1 se cumple n k−1 k |P (c + h) − P (c)| ≤ ak |c|i |h| = K|h|. i k=0 i=0 Basta tomar δ = /K. Por otro lado, si suponemos que P (x) es m´nico (es decir, an = 1), o n P (x) an−1 a0 n =1+ + ··· + . x x x Si tomamos |x| n m´xi |ai | y |x| 1, se cumple |ai /xi | 1/n, luego a an−1 a0 n + ··· + 1, x x con lo que P (x) 0, xn
- 53. 2.2. Complementos sobren´meros reales u 41 es decir, P (x) y xn toman el mismo signo cuando |x| es suficientemente grande. Si n es impar P toma valores positivos y negativos. M´s a´n, existe un n´mero a u u real x0 tal que P (t) 0 siempre que t x0 . Esto prueba que el conjunto A = {x ∈ R | P (t) 0 para todo t x} no es vac´ Por otra parte cualquier x tal que P (x) 0 es una cota superior ıo. de A, luego α = sup A es un n´mero real. Veamos que P (α) = 0. u Notemos que si t α entonces existe un x ∈ A tal que t x α, luego P (t) 0. Si P (α) 0 tomamos 0 P (α) y sabemos que existe un δ 0 de modo que |P (α − δ/2) − P (α)| , luego P (α − δ/2) P (α) − 0, y esto es imposible. Supongamos ahora que P (α) 0. Entonces tomamos P (α) − 0, con lo que existe un δ 0 de modo que si |h| δ entonces |P (α + h) − P (α)| , luego P (α + h) P (α) + 0. Esto implica que α + δ ∈ A, lo cual es tambi´n e imposible. Concluimos que P (α) = 0. Si aplicamos el teorema anterior al polinomio xn −a, con n impar, concluimos que todo n´mero real tiene al menos una ra´ n-sima, es decir, que existe un u ız n´mero b tal que bm = a. Este n´mero b es unico, pues si hubiera otro b u u ´ ıamos que (b/b )m = 1 (podemos suponer a = 0), pero entonces b/b = 1, tendr´ ya que si b/b 1 entonces (b/b )m 1 y si b/b 1 entonces (b/b )m 1. √ Llamaremos √ a a la unica ra´ m-sima de a, donde m es impar. Notemos m ´ ız que el signo de m a es el mismo que el de a. Si m no es impar pero a 0 entonces a tambi´n tiene ra´ e ıces m-simas. Concretamente, si √ = 2r m , donde m es impar, basta calcular r veces la m ra´ cuadrada de m a. Sin embargo ahora tenemos dos ra´ ız ıces cuadradas, pues si b es una ra´ m-sima de a con m par, es claro que −b tambi´n lo es. El ız e argumento anterior prueba, no obstante, que todo a 0 tiene una unica ra´ ´ ız m-sima positiva. √ Si a 0, llamaremos m a a su unica ra´ m-sima positiva. ´ ız √ Es inmediato comprobar que si a 1 entonces m a 1, mientras que si √ a 1 entonces m a 1. Ahora observamos que si m ≥ 1 es un n´√ umero natural, n es un n´mero u n entero y a un n´mero real positivo entonces m a u depende s´lo del n´mero o u √ km racional n/m, pues si k es un n´mero natural no nulo, u km a = a, luego √ k √ √ kn √ n km a = m a, luego km a = m a . Por consiguiente podemos definir √ n n an/m = m a , para todo ∈ Q. m Haciendo m = 1 vemos que esta exponenciaci´n extiende a la usual (para o exponentes enteros). Es muy simple comprobar que se conservan las propiedades b´sicas: a 1 a0 = 1, a1 = a, 1r = 1, ar+s = ar as , ars = (ar )s , a−r = r . a
- 54. 42 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ Adem´s si r s entonces ar as si a 1, mientras que as ar si a 1. a En efecto, basta comparar as−r con 1, luego basta probar que si r 0 entonces ar es mayor o menor que 1 seg´n lo sea a, pero esto es inmediato. u Si a 1 y α ∈ R definimos aα = sup{ar | r ∈ Q, r ≤ α}. Es claro que aα as´ definido es un n´mero real positivo. Adem´s es inmediato que esta ı u a exponenciaci´n con exponentes reales coincide con la que ya ten´ o ıamos definida cuando los exponentes son racionales. Si a 1 en la definici´n hemos de cambiar o el supremo por un ´ ınfimo. Por simplicidad supondremos siempre a 1, pero el lector debe comprobar que todo vale igualmente cuando a 1. Se siguen cumpliendo todas las propiedades elementales: 1 a0 = 1, a1 = a, 1α = 1, aα+β = aα aβ , aαβ = (aα )β , a−α = . aα Comprobaremos la cuarta como ejemplo: Si r ≤ α, s ≤ β son dos n´meros racionales, entonces r + s ≤ α + β, luego u por definici´n ar+s ≤ aα+β , luego ar ar ≤ aα+β , luego ar ≤ aα+β /as . Tomando o el supremo para r ≤ α concluimos que aα ≤ aα+β /as , luego as ≤ aα+β /aα y an´logamente aβ ≤ aα+β /aα , luego aα aβ ≤ aα+β . a Si r ≤ α + β es un n´mero racional, de la definici´n de suma de n´meros u o u reales se sigue f´cilmente que r ≤ s + t, donde s ≤ α, t ≤ β son dos n´meros a u racionales. As´ ar ≤ as at ≤ aα aβ , luego tomando el supremo para r ≤ α + β ı queda aα+β ≤ aα aβ . Si α β, existen racionales α r s β, luego aα ≤ ar as ≤ aβ (si a 1 hay que cambiar el sentido de la desigualdad). Con esto tenemos probado que la funci´n exponencial expa : R −→ R+ dada o por expa (x) = ax es un monomorfismo de grupos. Veamos que es suprayectivo, es decir, que para todo β ∈ R+ existe un α ∈ R tal que aα = β. En primer lugar probamos que si a 1 y x ∈ R existe un natural n tal que an x. En efecto, haciendo a = 1 + b, con b 0 el teorema del binomio de Newton nos da que an ≥ 1 + nb, luego basta tomar n (x − 1)/b. Tomamos α = sup{x ∈ R | ax ≤ β}. La observaci´n anterior prueba o en particular que el conjunto est´ acotado superiormente. Si r ≤ α entonces a ar ≤ β por definici´n, luego tomando supremos resulta que aα ≤ β. No puede o ser aα β, pues entonces 1 b/aα y existir´ un natural n tal que a (b/aα )n , ıa es decir, a1/n b/aα , o tambi´n aα+1/n β, en contradicci´n con la definici´n e o o de α. As´ pues, aα = β. ı Definimos la funci´n logar´ o ıtmica loga : R+ −→ R como el isomorfismo in- verso de la funci´n exponencial expa . o Las propiedades siguientes de la funci´n logar´ o ıtmica se demuestran inmedia- tamente a partir de las de la funci´n exponencial: o logb (α) loga (αβ) = loga (α) + loga (β), loga (αβ ) = β loga (α), loga (α) = . logb (a)
- 55. 2.3. Amplitud deangulos ´ 43 2.3 Amplitud de ´ngulos a Vamos a asignar un n´mero real a cada angulo tal y como hemos hecho u ´ con los segmentos. Dado un ´ngulo L, el ´ngulo nL, es decir, la suma de L a a consigo mismo n veces, no est´ definido para todos los n´meros naturales n a u (puede incluso no estar definido para n = 2). En cambio el teorema 2.2 asegura que (1/n)L est´ definido para todo n. Es claro entonces que rL est´ definido al a a menos para todo n´mero racional menor o igual que 1. M´s a´n, si est´ definido u a u a para r = p/q, entonces est´ definido para n/q, para todo n ≤ p, de donde es a f´cil ver que si rL est´ definido para un n´mero racional r 0, tambi´n lo est´ a a u e a para todo n´mero racional positivo menor. El teorema siguiente prueba que u ciertamente hay n´meros para los que rL no est´ definido junto con otro hecho u a importante. Teorema 2.23 Sea L un angulo. Entonces ´ 1. Existe un n´mero real µ 0 tal que rL est´ definido exactamente para los u a n´meros racionales que cumplen 0 r ≤ µ. u 2. Dados dos ´ngulos U V , hay un n´mero racional r tal que U rL V . a u Demostracion: Supongamos que nL est´ definido para todo n´mero na- ´ a u tural n. En particular los angulos nL han de ser todos agudos, pues si nL fuera ´ recto u obtuso entonces no estar´ definido 3nL. Sea AOB un angulo recto y ıa ´ consideremos puntos An en AB tales que AOAn ≡ nL. Aplicando como de costumbre el axioma D probamos que el conjunto X de los puntos P en AB tales que AOP AOAn para alg´n n (m´s los puntos menores o iguales que A u a respecto al orden ≤AB ) es una semirrecta de origen un punto C en AB. Entonces AOC es mayor o igual que todos los angulos nL. En particular ´ podemos restarle un angulo menor que L y obtener un punto D en AB anterior ´ a C tal que DOC L. Entonces D est´ en X, luego existe un n tal que a AOC AOAn . Pero entonces AOC ≡ AOD + DOC AOAn + L ≡ AOAn+1 , mientras que ha de ser AOAn+1 ≤ AOC. Por lo tanto nL no est´ definido a para alg´n n (ni para ning´n n´mero racional posterior) y as´ el conjunto de u u u ı los n´meros racionales r para los que rL est´ definido tiene un supremo µ en u a R, que es el n´mero buscado. u De aqu´ se deduce que dados dos ´ngulos L y L existe un n´mero natural ı a u n tal que (1/n)L L . En efecto, si fuera L ≤ (1/n)L para todo n, entonces es claro que nL estar´ definido para todo n, en contra de lo que acabamos de ıa probar. Sean ahora dos angulos U V . Existe un n´mero natural n de manera que ´ u (1/n)L V − U V . Ahora observamos que si A es cualquier angulo menor ´ o igual que U , entonces A + (1/n)L est´ definido y es un angulo menor que a ´
- 56. 44 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ U + (V − U ) ≡ V . Por lo tanto, o bien U (1/n)L V o bien podemos ir calculando (1/n)L, (2/n)L, etc., definidos mientras sean menores o iguales que U . Como no puede haber definidos infinitos m´ltiplos de (1/n)L, ha de haber u un k tal que (k/n)L ≤ U pero k+1 U L V, n como hab´ que probar. ıa Ahora ya podemos definir la medida de angulos: ´ Teorema 2.24 Sea L un angulo cualquiera y sea µ la constante del teorema ´ anterior. 1. Para todo n´mero real 0 α ≤ µ existe un unico angulo α L (salvo u ´ ´ congruencia) tal que para todo n´mero racional 0 r α se cumple u rL α L y para todo n´mero racional α r ≤ µ se cumple rL α L. u 2. Para todo ´ngulo L existe un unico n´mero real 0 α ≤ µ tal que a ´ u L ≡ α L. En particular µ L es un angulo llano. ´ Demostracion: Supongamos primero que α µ. Sea un n´mero racional ´ u α s µ. Sea sL = AOB. Sea X el conjunto de puntos P del intervalo AB tales que OAP rL para alg´n n´mero racional r α (m´s los puntos u u a anteriores a A). Aplicando el axioma D tal y como es habitual obtenemos que X es una semirrecta de origen un punto C que determina un angulo AOC, que ´ es al que vamos a llamar αL. Si r α existen un n´meros racionales r r r α. Si r L ≡ AOP , u entonces P ∈ AB (porque r L sL) y AOP r L, luego P est´ en X y por a lo tanto es anterior a C, lo que implica que rL r L ≤ αL. Si α r entonces existen n´meros racionales α r r y r s. Si u ponemos r L ≡ AOP , entonces P no est´ en X, luego es posterior a C, luego a αL ≤ r L rL. El segundo apartado del teorema anterior garantiza que αL es unico y que ´ no depende m´s que de la clase de congruencia de L (si hubiera dos angulos a ´ con la misma propiedad, uno ser´ menor que el otro y podr´ ıa ıamos intercalar un a ´ngulo rL entre ambos que incumplir´ la propiedad que acabamos de probar). ıa Es claro que si definimos µL como un angulo llano se cumple tambi´n el ´ e teorema en este caso (ning´n angulo no llano tiene la propiedad, pues ser´ u ´ ıa posterior a un rL). Dado un angulo L , sea α el supremo del conjunto de los n´meros racionales ´ u tales que rL L . Necesariamente entonces αL ≤ L , y si fuera estrictamente menor, existir´ un n´mero racional r tal que αL rL L , pero entonces ıa u ser´ r ≤ α por definici´n de α y r α por definici´n de αL. La unicidad de α ıa o o es clara. Es claro que si α es un n´mero racional αL coincide con el definido algebrai- u camente mediante sumas y divisiones. As´ mismo se demuestran sin dificultad ı
- 57. 2.3. Amplitud deangulos ´ 45 (y de modo totalmente an´logo al caso de los segmentos) las propiedades si- a guientes: Teorema 2.25 Sean α, β n´meros reales y L, L dos ´ngulos. Entonces se u a cumplen las propiedades siguientes (donde suponemos que las sumas y productos est´n definidos) a 1. Si α β, entonces αL βL, 2. Si L L entonces αL αL , 3. (α + β)L ≡ αL + βL, 4. α(L + L ) ≡ αL + αL , 5. α(βL) ≡ (αβ)L. La interpretaci´n geom´trica de estas propiedades es la misma que en el caso o e de las longitudes de segmentos. En particular, si fijamos una unidad de angulos ´ arbitraria U , definimos la amplitud de un angulo L con respecto a esta unidad ´ como el n´mero α que cumple L = αU . Para que nuestra notaci´n coincida u o con la habitual, vamos a adoptar provisionalmente un convenio no habitual: llamaremos π a la amplitud de un angulo llano respecto a la unidad de angulos ´ ´ que consideremos. El teorema 1.49 puede reenunciarse ahora como que la suma de dos angulos ´ de un tri´ngulo es siempre menor que π. En realidad podemos probar un poco a m´s: a Teorema 2.26 (Lagrange) La suma de los tres angulos de un tri´ngulo es ´ a menor o igual que π. Demostracion: Dado un tri´ngulo ABC cuyos ´ngulos midan a, b y c, ´ a a consideramos el punto medio M del lado AB y prolongamos el segmento AM hasta un segmento AD ≡ 2AM . Es claro entonces que AM C ≡ DM B, con lo que el tri´ngulo ABD resulta tener un angulo igual a b + c y otros dos angulos a ´ ´ x e y tales que a = x + y. Uno de estos dos ser´ menor o igual que a/2. a C D ✦ ✦ ✁◗ ✦x ✁ ✁ c ◗◗ ✦✦ ✁ ✁ ◗ ✦ ✦✦ ✁ ✁ ◗ M ✦✦ ✁ ◗ ✦ ✁ ✦✦ ◗ ◗ ✁ ✁ ✦✦ ◗ ✁ ✁ ✦ ✦✦ ◗ ✁ ✁x ✦✦ ◗ c ✁ ✁ ✦y ✦ b ◗◗✁ A B
- 58. 46 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ De este modo, dado un tri´ngulo arbitrario hemos obtenido otro cuyos a a ´ngulos suman la misma cantidad pero uno de ellos es menor o igual que la mitad de uno de los angulos originales. Repitiendo el proceso podemos obtener ´ tri´ngulos con la misma suma de ´ngulos y donde uno de ellos sea menor o igual a a que a/2n . Si la suma de los angulos del tri´ngulo original fuera π + , entonces ´ a podemos llegar a un tri´ngulo cuyos angulos sumen π + con uno de ellos me- a ´ nor que . Por lo tanto, los otros dos sumar´n al menos π, lo cual contradice al a teorema 1.49. Terminamos lo referente a la medida de ´ngulos con un resultado an´logo al a a teorema 2.17. Omitimos la prueba por ser completamente an´loga. a Teorema 2.27 Sea m una aplicaci´n que a cada ´ngulo le asigna un n´mero o a u real positivo y que cumpla las propiedades siguientes: 1. Si L ≡ L entonces m(L) = m(L ), 2. Si L, y L se pueden sumar, entonces m(L + L ) = m(L) + m(L ). Entonces, para todo par de ´ngulos L, L se cumple a m(L) L = . m(L ) L 2.4 Arcos y sectores circulares Fijemos una circunferencia ω de centro O y radio r. Si A y B son dos puntos de ω no diametralmente opuestos (es decir, no alineados con O), llamaremos arco menor de extremos A y B a la intersecci´n de ω con AOB. El arco mayor de o extremos A y B es el conjunto formado por los puntos de ω que no est´n en el a arco menor, m´s los puntos A y B. Diremos que estos dos arcos son mutuamente a complementarios. Un arco determina a sus extremos, pues son los unicos puntos P con la ´ propiedad de que todo angulo de v´rtice O y que contenga a P en su interior ´ e (es decir, no en su frontera) contiene puntos de ω externos al arco. Si A y B son puntos de ω diametralmente opuestos llamaremos arcos de ex- tremos A y B a las intersecciones de ω con los dos semiplanos determinados por la recta AB. As´ tenemos dos pares de arcos complementarios, sin que podamos ı decir que uno es mayor que otro. Estos arcos se llaman tambi´n semicircunfe- e rencias. Las semicircunferencias determinan sus extremos del mismo modo que los dem´s arcos. Usaremos la notaci´n AB para referirnos a un arco de extremos a o A y B en una circunferencia dada, pero hemos de tener presente que AB no determina el arco, sino que ´ste depende de la circunferencia y adem´s hay dos e a arcos distintos con los mismos extremos. Cuando no sean semicircunferencias los distinguiremos si conviene como ABM (arco mayor) y ABm (arco menor). El segmento que une los extremos de un arco se llaman cuerdas del arco. Dos arcos complementarios comparten la misma cuerda.
- 59. 2.4. Arcos ysectores circulares 47 Si en lugar de partir de una circunferencia partimos de un c´ırculo obtenemos las definiciones de sector circular y semic´ ırculo. La frontera de un sector circular est´ formada por dos radios OA, OB y un arco de extremos A y B, de modo a que los arcos se corresponden biun´ ıvocamente con los sectores, por lo que es equivalente trabajar con unos u otros. Los arcos admiten la caracterizaci´n siguiente: o Teorema 2.28 Los arcos de extremos A y B en una circunferencia ω son las intersecciones con ω de los semiplanos determinados por la recta AB. Demostracion: Si AB pasa por el centro O de ω los arcos de extremos ´ A y B son semicircunferencias, y el resultado es cierto por definici´n. Supon- o gamos el caso contrario. Si P es un punto del arco menor ABm , entonces P − −→ est´ en el ´ngulo AOB, luego la semirrecta OP corta al segmento AB. Como a a este segmento est´ contenido en el c´ a ırculo, el punto de corta ha de estar en OP , y esto significa que O y P est´n en semiplanos distintos respecto a AB. a Rec´ıprocamente, si P es un punto de ω en el semiplano opuesto a O respecto a AB, entonces OP ha de cortar a AB. Como OP est´ contenido en el c´ a ırculo, −−→ el punto de corte ha de estar en AB, luego la semirrecta OP est´ contenida en a AOB, lo que se traduce en que P est´ en ABm . a Con esto hemos probado que ABm es la intersecci´n de ω con el semiplano o de AB que no contiene a O. Obviamente entonces el arco mayor ha de ser la intersecci´n de ω con el semiplano que contiene a O. o Definici´n 2.29 La amplitud de un arco de extremos AB (en un c´ o ırculo de centro O) es la del ´ngulo AOB si el arco es menor, 2π menos esta amplitud si a es mayor y π si son semicircunferencias. De este modo, los arcos menores son los arcos de amplitud menor que π y los mayores son los de amplitud mayor que π. Podemos pensar en las circunferencias como arcos de amplitud igual 2π. Teorema 2.30 Sean AB y BC dos arcos de una circunferencia con el extremo B como unico punto com´n. Entonces AB ∪ BC es un arco de extremos A y ´ u C, y su amplitud es la suma de las amplitudes de los arcos dados. Demostracion: Sea O el centro de la circunferencia que contiene a los ar- ´ cos. Representemos por m(X) la amplitud de un angulo o arco X. Supongamos ´ que la amplitud de uno de los arcos es mayor que π, por ejemplo m(AB) π. Entonces AB es un arco mayor, luego est´ contenido en el complementario del a a ´ngulo AOB. Como BC no tiene puntos en com´n con AB (salvo B) ha de u estar contenido en AOB. En particular C es un punto interior de este angulo, ´ luego AOB = AOC + COB. Es claro entonces que AB ∪ BC = ACM . Adem´s a m(ACM ) = 2π − m(AOC) = 2π − m(AOB) + m(COB) = m(AB) + m(BC).
- 60. 48 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, angulos y arcos ´ Si uno de los arcos tiene amplitud π la prueba es casi id´ntica. Supongamos e ahora que ambos arcos son menores que π. Esto significa que ambos arcos son menores, luego est´n contenidos en los angulos AOB y BOC. Llamemos A y a ´ B a los puntos diametralmente opuestos a A y B. Notemos que A y C han de estar en semiplanos opuestos respecto a BB , pues en caso contrario los ´ngulos AOB y BOC estar´ uno contenido en otro, a ıan y los arcos tambi´n. Por lo tanto C est´ en uno de los dos angulos BOA o e a ´ A OB . Si C est´ en BOA (incluyendo el caso C = A ) entonces tenemos la relaci´n a o AOC = AOB + BOC, luego AB ∪ BC = ACm y la relaci´n entre las amplitudes o es clara. Si C est´ en A OB entonces BOC = BOA + A OC, luego a AB ∪ BC = AB ∪ BA ∪ A C = AA ∪ A C m = ACM , donde AA es la semicircunferencia que contiene a B. Las amplitudes cumplen la relaci´n indicada: o m(ACM ) = 2π − m(AOC) = 2π − π + m(A OC) = π + m(A OC) = m(AOB) + m(BOA ) + m(A OC) = m(AOB) + m(BOC) = m(AB) + m(BC).
- 61. Cap´ ıtulo III La geometr´ eucl´ ıa ıdea Los resultados de los cap´ ıtulos anteriores eran intuitivamente evidentes, o por lo menos susceptibles de ser justificados sin m´s que observar una figura. a En este cap´ıtulo nos ocuparemos de resultados m´s profundos, de los que ya a no puede decirse lo mismo. Por una parte nos servir´n para comprender que la a geometr´ encierra resultados nada triviales de inter´s en s´ mismo, y por otra ıa e ı una parte de ellos nos pondr´n en condiciones de sumergir completamente la a geometr´ en la teor´ de conjuntos, de lo cual nos ocuparemos en el cap´ ıa ıa ıtulo siguiente. 3.1 El axioma de las paralelas Recordemos del cap´ ıtulo anterior que dos rectas son paralelas si est´n conte- a nidas en un mismo plano y no tienen puntos en com´n, as´ como que dos planos u ı son paralelos si no tienen puntos en com´n. Muy poco es lo que podemos decir u sobre rectas y planos paralelos sin m´s base que los axiomas que hemos dado a hasta ahora. Probaremos tan s´lo la existencia. o Teorema 3.1 Por un punto exterior a una recta pasa una paralela. Demostracion: Dada una recta r y un punto exterior P , sea s la perpen- ´ dicular a r por P y sea t la perpendicular a s por P contenida en el plano de r y s. Las rectas r y t han de ser paralelas, pues si se cortaran formar´ un ıan tri´ngulo con dos angulos rectos. a ´ Teorema 3.2 Por un punto exterior a un plano pasa un plano paralelo. Demostracion: Sea π un plano y P un punto exterior. Sea r la recta ´ perpendicular a π por P , sea π1 el plano perpendicular a r por P . Entonces π y π1 son planos paralelos, pues si tuvieran un punto en com´n Q, el tri´ngulo u a formado por P , Q y la intersecci´n de r con π tendr´ dos angulos rectos. o ıa ´ Introducimos ahora el ultimo axioma de la geometr´ Con ello estaremos ´ ıa. en condiciones de formalizar cualquier razonamiento geom´trico intuitivo. e 49
- 62. 50 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea Definici´n 3.3 Una geometr´ (tridimensional) eucl´ o ıa ıdea es una geometr´ que ıa satisfaga los axiomas A, B, C, D junto con el axioma siguiente: Axioma E Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela. ´ El hecho an´logo para planos se demuestra f´cilmente: a a Teorema 3.4 Por un punto exterior a un plano pasa un unico plano paralelo. ´ Demostracion: Sea π un plano y P un punto exterior. Sea r la perpen- ´ dicular a π por P y sea π1 el plano perpendicular a r por P . Hemos probado que π1 es paralelo a π. Veamos que es el unico posible. Si π2 es otro plano ´ paralelo a π que pasa por P , entonces π1 y π2 se cortar´n en una recta s (que a contiene a P y es perpendicular a r). Sean t1 y t2 las rectas perpendiculares a s por P contenidas en π1 y π2 . Entonces r, t1 y t2 son coplanares (por ser perpendiculares a s por P ), y el plano que forman corta a π en una recta t (que pasa por el punto de intersecci´n de r y π). Por lo tanto las rectas t, t1 y t2 o son coplanares, pero t1 y t2 son dos paralelas a t que pasan por P , luego han de coincidir. As´ pues, π1 y π2 tienen en com´n las rectas perpendiculares s y ı u t1 , luego π1 = π2 . Teorema 3.5 Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas o coincidentes. Demostracion: Sean r1 y r2 paralelas a r3 . Supongamos que r1 y r2 no ´ son paralelas ni coincidentes. Sea π1 el plano que contiene a r1 , r3 y sea π2 el plano que contiene a r2 y r3 . Si π1 = π2 entonces r1 y r2 est´n en el mismo a plano, y como no son paralelas se cortan en un punto P , con lo que r3 tiene dos paralelas distintas por P , contradicci´n. o Si π1 = π2 entonces la intersecci´n de ambos planos es la recta r3 . Sea π el o plano que contiene a r1 y a un punto Q de r2 . Entonces π corta a π2 en una recta r disjunta de r3 (pues si R est´ en r ∩ r3 entonces R no puede estar en a r1 , ya que entonces estar´ en π1 ∩ π2 = r3 y por tanto en r1 ∩ r3 . De aqu´ que ıa ı π = π1 , pues tienen a r1 y a R en com´n, luego r = r3 y Q estar´ en r2 ∩ r3 ). u ıa Por lo tanto r es paralela a r3 y pasa por un punto de r2 , luego r = r2 . De nuevo tenemos que r1 y r2 est´n en un mismo plano, y concluimos como antes. a M´s f´cilmente se demuestra: a a Teorema 3.6 Dos planos paralelos a un tercero son paralelos o coincidentes. Consideremos una figura formada por dos rectas r y s que cortan a una recta t en puntos distintos P y Q. De los ocho ´ngulos determinados por los dos a cortes, llamaremos ´ngulos internos de la figura a los dos que tienen v´rtice P y a e que est´n contenidos en el semiplano de r que contiene a Q, as´ como a los dos a ı que tienen v´rtice Q y est´n contenidos en el semiplano de s que contiene a P . e a Hay, pues, cuatro angulos internos, dos con v´rtice P , uno en cada semiplano ´ e respecto a t, y dos con v´rtice Q, tambi´n uno en cada semiplano respecto a t. e e
- 63. 3.1. El axiomade las paralelas 51 Los cuatro ´ngulos restantes son externos. Tambi´n hay dos en cada v´rtice y a e e cada uno en un semiplano distinto respecto a t. Diremos que dos ´ngulos son a alternos si tienen v´rtices distintos y est´n contenidos en semiplanos distintos e a respecto a t. t a ´ngulos alternos P externos r a ´ngulos alternos internos a ´ngulos alternos internos Q s ´ngulos alternos a externos Teorema 3.7 Sean r y s dos rectas que corten a una recta t en dos puntos P y Q. Entonces r y s son paralelas si y s´lo si los angulos alternos internos que o ´ determinan son iguales. Demostracion: Si los angulos alternos internos son iguales, entonces dos ´ ´ a ´ngulos internos no alternos son suplementarios, luego no pueden ser los angulos ´ de un tri´ngulo, cosa que ocurrir´ si las rectas r y s se cortaran. a ıa Supongamos ahora que r y s son paralelas. Tomamos uno de los ´ngulos a internos de v´rtice P y lo transportamos a un angulo de v´rtice Q, con un lado e ´ e −− → igual a QP y con el otro lado en el semiplano opuesto al angulo de partida ´ respecto de t. La prolongaci´n de dicho lado es una recta s de modo que t o determina angulos alternos internos iguales en r y s . Por la parte ya probada ´ r y s son rectas paralelas, y como s pasa por Q, por el axioma E ha de ser s = s , luego ciertamente los ´ngulos alternos internos son iguales. a As´ pues cuando una recta t corta a dos rectas paralelas r y s se forman ocho ı a ´ngulos divididos en dos grupos de cuatro que son iguales entre s´ Los de un ı. grupo son los suplementarios de los del otro grupo. Como aplicaci´n inmediata o tenemos el hecho siguiente: Teorema 3.8 La suma de los angulos de un tri´ngulo es igual a π. ´ a Demostracion: Dado un tri´ngulo cualquiera ABC, trazamos la paralela r ´ a al lado BC por el punto A. Obviamente r deja a B y C en un mismo semiplano. r P A Q ✦ ✦ ✦✦ ❝ ❝ ✦✦ ❝ ✦ ✦✦ ❝ ✦✦ ❝ B✦ ❝C
- 64. 52 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea − −→ − → Las semirrectas AB y AC dividen a dicho semiplano en tres angulos cuya ´ ˆ ˆ ˆ suma es π. Uno de ellos es A, y los otros dos son iguales a B y C por el teorema anterior. Con m´s detalle: tomemos puntos P y Q a ambos lados de A en r. Entonces a los ´ngulos P AB y P AC est´n contenidos en el mismo semiplano respecto a r a a (pues r no corta a BC) luego uno est´ contenido en el otro. Supongamos por a −−→ ejemplo que P AB es el menor. Entonces AB est´ contenida en P AC, luego a corta a P C, luego P y C est´n en semiplanos distintos respecto a AB, de donde a se sigue que P AB y ABC son alternos internos. As´ pues, P AB ≡ B, luego ı ˆ P AC ≡ P AB + BAC ≡ A ˆ + B. Por otra parte, QAC es adyacente a P AC y de ˆ aqu´ que B y Q est´n en semiplanos distintos respecto a AC, con lo que QAC y ı e ˆ ˆ ˆ ACB son alternos internos. En total queda que A + B + C = P AC + CAQ = π. En particular, si dos tri´ngulos tienen dos angulos iguales, de hecho tienen a ´ los tres ´ngulos iguales, luego el criterio de igualdad ALA puede aplicarse con a dos angulos cualesquiera, no necesariamente los contiguos al lado. ´ Definici´n 3.9 Sean A, B, C, D cuatro puntos coplanares tales que la recta o AB sea paralela a CD y la recta AD sea paralela a BC. Entonces C y D est´n a en el mismo semiplano respecto a AB, A y B est´n en el mismo semiplano a respecto a CD, A y D est´n en el mismo semiplano respecto a BC y B y C a est´n en el mismo semiplano respecto a AD. A la intersecci´n de estos cuatro a o semiplanos se le llama paralelogramo (gr. ‘de l´ ıneas paralelas’) de v´rtices A, B, e C y D. Los segmentos AB, BC, CD y DA se llaman lados del paralelogramo. Dos lados son contiguos si tienen un v´rtice en com´n y son opuestos en caso con- e u trario. La uni´n de todos ellos constituye su frontera. o Los ´ngulos DAB, ABC, BCD y CDA se llaman ´ngulos del paralelogramo. a a Los segmentos AC y BD se llaman diagonales del paralelogramo. Dos v´rtices e son contiguos u opuestos seg´n si son extremos de un lado o de una diagonal. u A ✦✦ ✦B ❅ ❅ ✦✦ ✦✦ ✦✦ ❅ ✦✦ ❅ ✦✦ ❅ D ✦ ✦ ❅C Los paralelogramos son intersecciones de semiplanos, luego son convexos. En particular las diagonales de un paralelogramo est´n contenidas en ´l. No es a e dif´ probar que un paralelogramo determina sus v´rtices. ıcil e Teorema 3.10 Los lados y los angulos opuestos de un paralelogramo son igua- ´ les, los angulos contiguos son suplementarios, las diagonales se cortan por su ´ punto medio.
- 65. 3.2. Semejanza detri´ngulos a 53 Demostracion: Con la notaci´n de la definici´n anterior, tenemos que A ´ o o y D est´n en el mismo semiplano respecto a BC, luego si D y B estuvieran a en el mismo semiplano respecto a AC tendr´ ıamos que D pertenecer´ al angulo ıa ´ CAB, luego AD cortar´ al segmento BC, cuando en realidad son paralelos. ıa As´ pues, B y D est´n en semiplanos distintos respecto a AC, por lo que BD ı a corta a AC. Similarmente llegamos a que AC ha de cortar a la recta BD, y como el punto de corte ha de ser el mismo en ambos casos, concluimos que las diagonales AC y BD se cortan en un punto P . ´ ˆ ˆ Es claro que dos angulos contiguos, por ejemplo A y B son ´ngulos internos a respecto a la figura formada por las rectas paralelas AD y BC cortadas por AB, pero no son alternos, sino que ambos est´n en el mismo semiplano respecto a a ˆ ˆ ı AB. Por lo tanto A y un angulo adyacente a B s´ son angulos alternos internos, ´ ´ ˆ ˆ luego A y B son suplementarios. De aqu´ que dos angulos opuestos sean iguales, ı ´ pues tienen un suplementario com´n. u Puesto que A y C est´n en semiplanos distintos respecto a BD, los ´ngulos a a ABD y BDC son alternos internos, luego son iguales. Igualmente se cumple que ADB ≡ DBC, luego ADB ≡ CBD, lo que en particular implica que los lados opuestos son iguales. Es f´cil ver tambi´n que P AB ≡ P CD, de donde se sigue que P B ≡ P D y a e P A ≡ P C, luego P es el punto medio de las diagonales. Definici´n 3.11 Un rombo (gr. ‘alternado’) es un paralelogramo cuyos cuatro o lados son iguales. Un rect´ngulo es un paralelogramo cuyos cuatro angulos son a ´ iguales (luego los cuatro son rectos). Un cuadrado es un paralelogramo con los cuatro lados y los cuatro angulos iguales. ´ Ejercicio: Probar que las diagonales de un rombo son perpendiculares, y son las bisectrices de los ´ngulos que unen. a 3.2 Semejanza de tri´ngulos a Definici´n 3.12 Dos tri´ngulos ABC y A B C son semejantes si sus lados son o a proporcionales dos a dos, es decir, si AB AC BC = = . AB AC BC Este concepto de semejanza representa un papel muy importante en la geo- metr´ eucl´ ıa ıdea, y ello se debe fundamentalmente a que vamos a probar que dos tri´ngulos son semejantes si y s´lo si sus ´ngulos son iguales. Para ello necesi- a o a tamos un par de resultados previos. Conviene introducir el concepto siguiente: Definici´n 3.13 Diremos que dos tri´ngulos ABC y A B C est´n en posici´n o a a o de Tales si, nombrando los v´rtices adecuadamente, A = A , B est´ en AB y e a B C es paralela a BC (con lo que tambi´n C est´ en AC). e a
- 66. 54 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea A ✁❅ ✁ ❅ ✁ ❅ ✁ ❅ ✁ ❅ B ✁ ❅C ✁ ❅ ✁ ❅ B✁ ❅C Es f´cil probar el teorema siguiente: a Teorema 3.14 Si dos tri´ngulos ABC y A B C est´n en posici´n de Tales a a o ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ entonces A = A , B = B y C = C . Rec´ ˆ ıprocamente, si ABC y A B C cumplen estas igualdades existe un tri´ngulo A B C semejante a A B C de a modo que ABC y A B C est´n en posici´n de Tales. a o Con ayuda de este hecho ya podemos probar el resultado b´sico: a Teorema 3.15 Sean l1 y l2 dos semirrectas no alineadas de origen O. Sean P y P puntos de l1 y l2 respectivamente distintos de O. Sean A y B dos puntos cualesquiera de l1 distintos entre s´ y distintos de O. Sean A y B los ı puntos donde las rectas paralelas a P P por A y B, respectivamente, cortan a l2 . Entonces la longitud de A B depende de la longitud de AB, pero no de la elecci´n de los puntos A y B en l1 . o Demostracion: Podemos suponer que A est´ m´s cerca de O que B. ´ a a Notemos que la recta paralela a P P por A ha de cortar efectivamente a l2 , o de lo contrario ser´ paralelas, luego P P tambi´n ser´ paralela a l2 , lo cual ıan e ıa es absurdo. Tracemos por A la paralela a l2 , que cortar´ a BB en un punto X a (por el axioma B5). l1 B ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ A ❆X ❆ ❆ ❆ ❆ P ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ l2 O P A B Los tri´ngulos BOB y BAX est´n en posici´n de Tales, luego se cumple a a o BAX = BOB = P OP . Lo mismo sucede con OP P y OBB , luego tambi´n e ABX = OBB = OP P .
- 67. 3.2. Semejanza detri´ngulos a 55 Esto significa que los angulos del tri´ngulo ABX son independientes de la ´ a elecci´n de A y B. Por lo tanto, si hacemos elecciones distintas conservando o la longitud de AB obtendremos tri´ngulos iguales, luego los lados AX tambi´n a e ser´n iguales, pero AX = A B porque son los lados opuestos de un parale- a logramo. As´ pues, la longitud de A B s´lo depende de la longitud de AB. ı o Teorema 3.16 (Teorema de Tales) Si dos tri´ngulos est´n en posici´n de a a o Tales entonces son semejantes. Demostracion: Sean ABC y A B C tri´ngulos en posici´n de Tales, di- ´ a o gamos con el v´rtice A en com´n. Para cada segmento s podemos tomar dos e u −−→ −→ puntos P y Q en AB tales que P Q ≡ s, transportarlos a AC mediante rectas paralelas a BC de acuerdo con el teorema anterior y obtener as´ un segmento ı cuya longitud s´lo depende de la longitud de s. Llamemos m(s) a esta longitud. o Es obvio que se cumplen las hip´tesis del teorema 2.17, luego en particular, y o teniendo en cuenta que AB se transforma en AC y AB se transforma en AC , concluimos que AB AC = . AB AC Ahora bien, los dos tri´ngulos dados tienen los angulos iguales, luego (pa- a ´ sando a otros congruentes) podemos ponerlos en posici´n de Tales con otro o v´rtice en com´n, por ejemplo B, y entonces obtenemos la igualdad que nos e u falta para concluir que son semejantes. Teorema 3.17 Dos tri´ngulos son semejantes si y s´lo si tienen los angulos a o ´ iguales. Demostracion: Si dos tri´ngulos tienen los angulos iguales, entonces pue- ´ a ´ den ponerse en posici´n de Tales, luego son semejantes. Supongamos ahora que o ABC y A B C son dos tri´ngulos semejantes. Es claro que podemos construir a un tri´ngulo A B C en posici´n de Tales respecto a ABC y de modo que a o AA ≡ AA . Entonces los tri´ngulos A B C y A B C son semejantes y tie- a nen un lado igual. De la definici´n de semejanza se sigue entonces que tienen o los tres lados iguales, luego son iguales. Teorema 3.18 Dos tri´ngulos son semejantes si s´lo si tienen un angulo igual a o ´ y sus lados adyacentes proporcionales. Demostracion: Sustituyendo uno de los tri´ngulos por otro congruente (y ´ a por lo tanto semejante) podemos suponer que ambos tienen un angulo coinci- ´ −−→ − → dente. Sean, pues ABC y AB C , donde las semirrectas AB y AC coinciden −−→ − → respectivamente con AB y AC . Trazamos la paralela a BC que pasa por B , la cual cortar´ a AC en un punto C . Por el teorema de Tales, el tri´ngulo AB C a a
- 68. 56 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea es semejante a ABC luego a AB C , con lo que sus lados son proporcionales, pero tienen un lado coincidente, de hecho todos sus lados han de ser iguales. En particular AC ≡ AC , luego C = C y as´ AB C es semejante a ABC. El ı rec´ ıproco es obvio. Teorema 3.19 (Teorema de Pit´goras) En un tri´ngulo rect´ngulo, el cua- a a a drado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. ´ a ˆ Demostracion: Sea ABC un tri´ngulo rect´ngulo, donde A es el ´ngulo a a recto. Sea P el punto donde la perpendicular a BC por A corta a BC. No puede ocurrir que P coincida con B o con C, o de lo contrario el tri´ngulo tendr´ dos a ıa a ´ngulos rectos. Adem´s P ha de estar en el segmento BC, pues si, por ejemplo, a B estuviera entre P y C los ´ngulos P BA y CBA ser´ adyacentes, pero el a ıan a ´ ˆ primero forma parte del tri´ngulo P BA, que tiene un angulo recto en P , luego P BA ser´ agudo, y CBA ser´ obtuso, lo cual es imposible. Por lo tanto P ıa ıa est´ ciertamente en BC. a A ❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍ ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍ B P C El tri´ngulo rect´ngulo ABP comparte un angulo agudo con el tri´ngulo a a ´ a tambi´n rect´ngulo CBA, luego tienen dos—y por consiguiente tres—´ngulos e a a iguales, es decir, son semejantes. As´ pues ı AB BC = , BP AB y por consideraciones an´logas sobre el tri´ngulo ACP concluimos que a a AC BC = . CP AC Por lo tanto 2 2 2 AB + AC = BC BP + BC CP = BC (BP + CP ) = BC . √ De aqu´ se sigue f´cilmente que la diagonal de un cuadrado mide 2 veces ı a su lado, luego no guarda una proporci´n racional ´ste. As´ fue como los griegos o e ı descubrieron la existencia de n´meros irracionales. u
- 69. 3.2. Semejanza detri´ngulos a 57 Otra prueba sencilla del teorema de Pit´goras se basa en el concepto de ´rea. a a Si observamos la figura, vemos que el area del cuadrado se puede calcular de ´ dos maneras: bc a2 + 4 = (b + c)2 . 2 Desarrollando se obtiene la igualdad a2 = b2 + c2 . c b ✟ ✟✟ ❆ ✟ ❆ ✟ ✟✟ ❆ b a ✟ ✟ a❆ c ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ c ❆a ❆ ✟✟ ❆ a ✟✟ ❆ ✟ ✟✟ b ❆ ❆✟✟ b c Esta prueba supone que tenemos definida el area de cualquier figura (o al ´ menos de una familia de figuras que contenga a los tri´ngulos y cuadrados), a as´ como que el ´rea de una uni´n disjunta de figuras es la suma de las areas. ı a o ´ Probar esto en general resultar´ muy laborioso en estos momentos, sin embargo ıa vamos a ver que con unos m´ ınimos resultados sobre areas se puede justificar el ´ argumento. Definici´n 3.20 Se llama altura de un tri´ngulo a cualquiera de los segmentos o a que une perpendicularmente un v´rtice con la prolongaci´n del lado opuesto. e o Dicho lado se llama base del tri´ngulo correspondiente a la altura considerada. a El punto donde la altura corta a la prolongaci´n del lado se llama pie de la o altura. Teorema 3.21 El producto de una altura de un tri´ngulo por su base corres- a pondiente no depende de la elecci´n de la altura. o Demostracion: Sea ABC un tri´ngulo. Sea P el pie de la altura que ´ a parte de A y sea Q el pie de la altura que parte de B. Hemos de probar que AP BC = BQ AC. Los tri´ngulos AP C y BQC tienen los angulos iguales, pues por una parte a ´ ˆ y Q son rectos y por otra P CA = BCA = BCQ. Por lo tanto son semejantes P ˆ y en consecuencia AP AC = . BQ BC Esto implica la igualdad buscada.
- 70. 58 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea Definici´n 3.22 Llamaremos ´rea de un tri´ngulo ABC de altura h y base o a a correspondiente b al n´mero real u 1 (ABC) = bh. 2 Todos los razonamientos que haremos en lo sucesivo en los que intervenga el concepto de ´rea se justificar´n por el siguiente hecho evidente: a a Si unimos un v´rtice de un tri´ngulo con un punto del lado opuesto, e a obtenemos dos tri´ngulos con la misma altura y cuyas bases suman a la base del tri´ngulo original. Por lo tanto el area del tri´ngulo de a ´ a partida es la suma de las areas de los dos tri´ngulos resultantes. ´ a Por ejemplo, una demostraci´n del teorema de Pit´goras se obtiene divi- o a diendo el cuadrado anterior en diez tri´ngulos de acuerdo con la figura siguiente: a c b ❇ ✟✟❆ ✂ ✡ ❇ 2 ✟✟ ✂ ❆ 7 ✡ b 1❇ ✟ ✟ ✂ ❆ ✡ ✟ ✟✟ ❇ ✂ ✡ ❆ 8 c ❆ 3❇ 4 ✂ 6 ✡❆ ❆ ❇ ✂ ✡ ❆ ❆ ❇ ✂ ✡ ❆ ❆ ❇ ✂ ✡ ❆ c ❆❇ ✂ ✡ ❆ 9 ✟✟ 5 ❆❇ ✂ ✡ ✟ ❆❇ ✂ ✡ ✟✟ ❆❇ ✂✡ ✟ ✟ b ✟ 10 ❇✂ ✡ ❆✟ b c Cada par´ntesis en la igualdad siguiente significa una aplicaci´n del principio e o de descomposici´n que hemos indicado. o (1 + 2) + (7 + 8) + 5 + 10 + (3 + 4) + (6 + 9) = (1 + 3) + 5) + (2 + 4) + (6 + 7) + (8 + 9) + 10 . El primer miembro es 2bc + a2 , mientras que el segundo es (b + c)b (b + c)2 (b + c)c b+b+c+c + + = (b + c) = (b + c)2 , 2 2 2 2 con lo que llegamos tambi´n a que a2 = b2 + c2 . e
- 71. 3.3. Relaciones entre´ngulos y arcos a 59 3.3 Relaciones entre ´ngulos y arcos a Definici´n 3.23 Diremos que un angulo est´ inscrito en una circunferencia ω o ´ a si su v´rtice est´ en ω y sus lados cortan a ω (en otros puntos distintos de su e a origen). Cuando digamos que un angulo AV B est´ inscrito en una circunferencia ω ´ a se sobreentender´ que A, V y B est´n en ω. a a En estas condiciones, la intersecci´n de AV B con ω es o B V y uno de los arcos de extremos A y B, concretamente el que no contiene a V . En efecto, si P es un punto de −→ − la intersecci´n distinto de V , entonces la semirrecta V P o est´ contenida en el angulo, luego corta a AB, luego P a ´ A y V est´n en semiplanos distintos respecto a AB, luego a V en arcos distintos. El rec´ ıproco se prueba igualmente. Llamaremos arco abarcado por un angulo inscrito en una circunferencia al ´ arco formado por los puntos del angulo contenidos en ella y distintos de su ´ v´rtice. e Teorema 3.24 Un ´ngulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco a que abarca. A Demostracion: Sea AV B un angulo inscrito en ´ ´ una circunferencia ω de centro O. Supongamos prime- ramente que O est´ en uno de los lados del angulo, por a ´ V B ejemplo en V B. Sea α la amplitud de AV B. Como el O tri´ngulo V OA es is´sceles, tiene dos ´ngulos iguales a o a a α, luego el angulo V OA mide π − 2α, luego AOB ´ mide 2α. As´ pues, el arco menor AB tiene amplitud 2α, y ´ste es precisamente el arco ı e abarcado, pues claramente no puede contener a V . Supongamos ahora que O est´ contenido en AV B (pero no en su frontera). a Al igual que antes, sea α su amplitud. Sea P el punto diametralmente opuesto a −→ − V . Entonces la semirrecta V P divide el angulo en suma de dos angulos inscritos ´ ´ AV P y P V B. El arco abarcado AB ser´ la uni´n de los arcos abarcados por a o los sumandos, AP y P B. Como el unico punto en com´n entre estos dos es P , ´ u la amplitud de la uni´n es la suma de las amplitudes. Si llamamos α1 y α2 a o las amplitudes de AV P y P V B, por el caso anterior tenemos que la amplitud de AB es 2α1 + 2α2 = 2α. Por ultimo supongamos que O no est´ contenido en AV B. Sea como antes ´ a P el punto diametralmente opuesto a V . Ahora A y B est´n en un mismo a semiplano respecto a V P , luego uno de los angulos AV P o BV P est´ contenido ´ a en el otro. Supongamos que el segundo es el menor. Entonces tenemos la
- 72. 60 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea descomposici´n AV P = AV B + BV P , y la misma relaci´n se tiene entre los o o arcos abarcados por los tres (igual que en el caso anterior). Aplicando el primer caso a los ´ngulos AV P y BV P , obtenemos la relaci´n buscada. a o El teorema anterior es v´lido tambi´n en el caso en que uno de los lados del a e a ´ngulo sea tangente a la circunferencia. Entonces tenemos lo que se llama un a ´ngulo semiinscrito: Definici´n 3.25 Diremos que un angulo est´ semiinscrito en una circunferen- o ´ a cia ω si su v´rtice est´ en ω, uno de sus lados es tangente a ω y el otro es e a secante. A l2 Si l1 l2 est´ semiinscrito a ω, l1 corta a ω en A y a l2 es tangente, es f´cil ver que el arco abarcado por a el ´ngulo, es decir, su intersecci´n con ω es el arco a o P V V A contenido en el mismo semiplano que l2 respecto a O V A. Distinguiendo tres casos, seg´n que el angulo sea u ´ agudo, recto u obtuso y usando el teorema anterior, es f´cil probar que la amplitud de un angulo semiinscrito a ´ es tambi´n la mitad de la del arco que abarca. e Supongamos ahora que un angulo tiene su v´r- ´ e A tice V en el exterior de una circunferencia ω, y que sus lados cortan a ω en puntos A, A y B, B res- A V pectivamente. Supongamos que A y B est´n m´s a a B O B cerca de V que A y B . Entonces la intersecci´n o del angulo con ω est´ formada por dos arcos AB y ´ a A B sin puntos comunes. Concretamente, AB es el arco contenido en el mismo semiplano que V respecto a su cuerda, mientras que A B es el arco contenido en el semiplano opuesto a V respecto a su cuerda. Teorema 3.26 La medida de un ´ngulo exterior a una circunferencia cuyos a lados sean secantes a la misma es la semidiferencia de los arcos que abarca. Esbozo de la prueba: El caso general se reduce al caso en que el centro O de la circunferencia est´ contenido en uno de los lados, por ejemplo en BB . a Entonces AV B = π − V BA − BAV = π − (π − ABO) − (π − BAO − OAA ) AA = ABO + BAO + OAA − π = π − AB + π/2 − −π 2 A B − AB = , 2 usando que AB + AA + A B = π. En el cap´ ıtulo anterior comentamos que del axioma D se desprende que por un punto exterior a una circunferencia pasan dos tangentes a la misma. Veamos ahora una construcci´n expl´ o ıcita de dichas tangentes basada en los resultados que hemos probado.
- 73. 3.4. Las razonestrigonom´tricas e 61 Sea, pues ω una circunferencia de centro O y V un punto exterior. Sea P el punto medio de V O. Entonces la circunferencia de centro P y radio V P tiene un punto interior y un punto exterior a ω, luego corta a ´sta en dos puntos e distintos A y B. A V P O B Los ´ngulos V AO y V BO son rectos, pues abarcan arcos de amplitud π, a luego las rectas V A y V B son tangentes a ω. Observar que la distancia de V a los dos puntos de tangencia es la misma. Ejercicio: Probar que la amplitud de V es la semidiferencia de la de los arcos en que los puntos de tangencia dividen a ω. Generalizar este hecho al caso en que un lado sea tangente y el otro secante. A El ultimo caso posible es aquel en que el v´rtice del ´ e a ´ngulo est´ en el interior de la circunferencia. Aqu´ a ı hemos de considerar tanto el arco AB abarcado por V B B el ´ngulo dado como el arco A B abarcado por su a O A opuesto por el v´rtice. Dejamos a cargo del lector pre- e cisar las definiciones de estos arcos as´ como la prueba ı del teorema siguiente. Respecto a ella digamos tan s´lo que se reduce como siempre al caso en que O est´ en uno de los lados o a (adem´s podemos suponer que es distinto de V , o el resultado es trivial) y que a entonces basta estudiar los tri´ngulos V OA y AOA . a Teorema 3.27 La amplitud de un angulo interior a una circunferencia es la ´ semisuma de los arcos abarcados por ´l y por su opuesto por el v´rtice. e e 3.4 Las razones trigonom´tricas e Sabemos que los ´ngulos y los lados de un tri´ngulo est´n sometidos a mu- a a a chas relaciones. Por ejemplo, si conocemos los ´ngulos de un tri´ngulo y uno a a de sus lados, los otros dos lados est´n completamente determinados, pero en a principio no sabemos c´mo calcularlos a partir de estos datos. Este tipo de o problemas constituye el objeto de la trigonometr´ (gr. ‘medida de tri´ngulos’), ıa a aunque ahora no profundizaremos mucho en ella, pues m´s adelante estaremos a en condiciones de hacerlo con m´s fluidez. a
- 74. 62 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea Definici´n 3.28 Sea L un angulo agudo de v´rtice O, sea A un punto arbitrario o ´ e en uno de sus lados y sea B el punto donde la perpendicular al lado opuesto por A corta a dicho lado. Entonces el tri´ngulo AOB tiene un angulo recto y otro igual a ´ ✁ ✁ a L, luego sus ´ngulos son independientes de la elecci´n de A a o A✁ e incluso del lado en que lo tomamos (m´s a´n, s´lo dependen a u o ✁ de la clase de congruencia de L). Si tomamos puntos distintos ✁ obtendremos tri´ngulos semejantes, luego podemos definir el seno a ✁ ✁ y el coseno de L como las razones ✁ ✁L AB OB O B sen L = , cos L = . OA OA En particular podemos tomar el punto A a una unidad de distancia de O, y entonces el seno y el coseno de L son simplemente AB y OB. El teorema de Pit´goras nos da entonces la que llamaremos relaci´n fundamental: a o sen2 L + cos2 L = 1. Puesto que el seno y el coseno dependen s´lo de las clases de congruencia de los o a ´ngulos, podemos definir el seno y el coseno de un n´mero real positivo menor u que π como el seno y el coseno de los ´ngulos de amplitud correspondiente. a A✁ Las definiciones de seno y coseno valen tal cual para ✁ ´ngulos obtusos, pero en este caso convendremos en a ✁ que el coseno tiene signo negativo. Es claro entonces ✁ ✁ que se cumplen las relaciones: ✁ ✁ sen α = sen(π − α), cos α = − cos(π − α). ✁ Se sigue cumpliendo la relaci´n fundamental. o ✁ α ✁π − α Observemos que el seno y el coseno pueden carac- O B terizarse del modo siguiente: dado un angulo L, si to- ´ mamos un punto en uno de sus lados a una distancia r del v´rtice, su proyecci´n e o sobre el otro se encuentra a una distancia r cos L del v´rtice (donde el signo es e negativo si el punto de corte est´ fuera del lado opuesto) y la distancia entre el a punto y su proyecci´n es r sen L. Ahora bien, todo esto tiene sentido tambi´n o e si el ´ngulo es recto, en cuyo caso la proyecci´n del punto escogido es el propio a o v´rtice del ´ngulo, de modo que todo lo dicho se sigue cumpliendo si definimos e a π π sen = 1, cos = 0. 2 2 Para cada n´mero real α en el intervalo ]−1, 1[ es f´cil construir un angulo u a ´ con coseno igual a α, que claramente ser´ unico. As´ mismo, si α est´ en el a ´ ı a intervalo ]0, 1] existen exactamente dos ´ngulos (suplementarios) con seno igual a a α. La relaci´n entre las razones trigonom´tricas y los problemas sobre tri´ngulos o e a viene dada por el teorema del coseno y el teorema de los senos, que demostramos a continuaci´n. El teorema del coseno es una generalizaci´n del teorema de o o Pit´goras: a
- 75. 3.4. Las razonestrigonom´tricas e 63 Teorema 3.29 (Teorema del coseno) Todo tri´ngulo ABC verifica la re- a laci´n o ˆ a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. Demostracion: Sea P el pie de la altura del tri´ngulo desde C (que puede ´ a o no estar en AB). Podemos suponer que el tri´ngulo no es rect´ngulo, pues si a a no el teorema se reduce al de Pit´goras. Entonces P es distinto de B y C. Sean a c1 , c2 y h las longitudes indicadas en la figura. Por el teorema de Pit´goras se a cumple a2 = h2 + c2 , b2 = h2 + c2 , 2 1 luego a2 = b2 − c2 + c2 . 1 2 Por otra parte, c = c2 ±c1 , donde el signo es positivo si A es agudo y negativo si es obtuso. As´ c2 = (c ∓ c1 )2 = c2 + c2 ∓ 2cc1 , con lo que a2 = b2 + c2 ∓ 2cc1 . ı, 2 1 ˆ Ahora bien, c1 = ±b cos A, luego concluimos que a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. ˆ C ❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍ b✁ h ❍❍a ✁ ❍ ❍❍ ✁ ❍ ✁ ❍ ❍ A c1 P c2 B Para probar el teorema de los senos recordamos que la mediatriz de un segmento es la perpendicular por su punto medio, as´ como que est´ formada ı a por los puntos que equidistan de sus extremos. Las mediatrices de dos lados de un tri´ngulo ABC, por ejemplo, AB y BC se cortan en un punto O que a equidista de A y B por una parte y de B y C por otra, luego equidista de los tres v´rtices, lo que implica que tambi´n se encuentra sobre la tercera mediatriz. e e Definici´n 3.30 Se llama circuncentro de un tri´ngulo a la intersecci´n O de o a o las mediatrices de sus lados. La distancia R del punto O a cualquiera de los v´rtices se llama circunradio del tri´ngulo, la circunferencia de centro O y radio e a R se llama circunferencia circunscrita al tri´ngulo. a Claramente la circunferencia circunscrita a un tri´ngulo es la unica que pasa a ´ por sus v´rtices. e Teorema 3.31 (Teorema de los senos) Si R es el circunradio de un tri´n- a gulo ABC, entonces se cumple a b c = = = 2R. ˆ sen A ˆ sen B ˆ sen C
- 76. 64 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea A Demostracion: Sea ω la circunferencia circuns- ´ crita del tri´ngulo. Sea J el punto diametralmente a opuesto a C. Si J = B entonces el ´ngulo A abarca a ˆ un semic´ırculo, luego es un angulo recto, y trivialmente ´ J C se cumple a 2R a = = 2R. ˆ sen A 1 B ˆ ˆ Si B = J entonces los ´ngulos J y A abarcan arcos a que comparten la cuerda BC. Esto implica que los angulos son iguales o suple- ´ mentarios, luego tienen el mismo seno. Por otra parte el angulo JBC es recto, ´ pues abarca un semic´ırculo. As´ pues ı a a a = = = 2R. ˆ sen A ˆ sen J a/2R Si tenemos datos suficientes sobre un tri´ngulo (los tres lados, dos lados y a el ´ngulo que forman, dos angulos y un lado) los teoremas anteriores nos per- a ´ miten calcular los lados y angulos restantes en t´rminos de senos y cosenos. ´ e Naturalmente esto no es de mucha utilidad pr´ctica si no sabemos calcular efec- a tivamente las razones trigonom´tricas de un angulo, cosa que de momento no e ´ estamos en condiciones de hacer. Pese a ello, la trigonometr´ es de gran utilidad ıa te´rica. Un ejemplo sencillo nos lo proporciona el teorema siguiente, que pro- o porciona una expresi´n para el area de un tri´ngulo donde se ve expl´ o ´ a ıcitamente su car´cter invariante. a Teorema 3.32 El area de un tri´ngulo ABC viene dada por ´ a abc (ABC) = , 4R donde R es el circunradio del tri´ngulo. a ˆ Demostracion: La altura de ABC que parte de A es claramente b sen C, ´ ˆ y por el teorema de los senos sen C = c/2R. La conclusi´n es obvia. o 3.5 Propiedades de los tri´ngulos a Terminaremos el cap´ıtulo introduciendo algunos conceptos adicionales rela- cionados con los tri´ngulos. Con la teor´ que hemos desarrollado estamos en a ıa condiciones de probar resultados interesantes, aunque en los pr´ximos cap´ o ıtulos profundizaremos m´s en ellos. Cada tri´ngulo tiene asociados varios puntos de a a inter´s. Ya conocemos el circuncentro, que es el punto de intersecci´n de sus e o mediatrices. Similarmente podemos considerar el punto de intersecci´n de sus o bisectrices.
- 77. 3.5. Propiedades delos tri´ngulos a 65 El incentro Recordemos que la bisectriz de un ´ngulo es la recta que lo divide a en dos ´ngulos iguales, y es f´cil probar que est´ formada por los puntos que a a a equidistan de sus lados (la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento que lo une perpendicularmente con ella). Si dos bisectrices de un tri´ngulo se cortan en un punto I, entonces I equidista de los tres lados del a tri´ngulo, luego est´ tambi´n sobre la tercera bisectriz. a a e Definici´n 3.33 Se llama incentro de un tri´ngulo al punto I en el que se cor- o a tan sus bisectrices. La distancia r de I a cualquiera de los lados se llama inradio del tri´ngulo. La circunferencia de centro I y radio r se llama circunferencia a inscrita al tri´ngulo. a El punto donde la perpendicular por el incentro a uno de los lados corta al lado pertenece a la circunferencia inscrita, luego los lados del tri´ngulo son a tangentes a la circunferencia. Circunferencias inscrita y circunscrita de un tri´ngulo a En principio no conocemos los puntos de tangencia, pero podemos deter- minarlos. Para ello consideramos el punto L donde una bisectriz corta al lado opuesto. Notemos que los dos ´ngulos con v´rtice a e A L son suplementarios, luego tienen el mismo α α seno, al cual podemos llamar sin ambig¨edad u ˆ sen L. El teorema de los senos implica enton- c b ces que BL c LC b = , = , sen α sen L sen α sen L B L C con lo que BL c = . LC b Por lo tanto hemos demostrado: Teorema 3.34 Una bisectriz de un tri´ngulo divide a su lado opuesto en seg- a mentos proporcionales a los lados adyacentes.
- 78. 66 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea Todav´ podemos decir m´s. Llamemos x a la distancia entre A y los puntos ıa a donde la circunferencia inscrita toca a los lados AB y AC (hemos visto que las tangentes por un punto exterior tienen la misma longitud). Similarmente, sea y la distancia de B a los puntos de tangencia en BA y BC y z la distancia de C a los puntos de tangencia en CA y CB. Entonces a = y + z, b = x + z, c = x + y. Euler introdujo la costumbre de llamar s al semiper´ımetro de un tri´ngulo, a es decir, s = (a + b + c)/2. En estos t´rminos x + y + z = s, y e x = s − a, y = s − b, z = s − c. A x x y I z B C y z Adem´s, observamos que el tri´ngulo AIB tiene base c y altura r (el inradio) a a luego su area es cr/2. Calculando del mismo modo el area de los otros dos ´ ´ tri´ngulos AIC y BIC concluimos que a (ABC) = sr. (Es f´cil justificar que (ABC) es la suma de las ´reas de los tres tri´ngulos.) a a a Los excentros Se llaman ´ngulos exteriores de un tri´ngulo los angulos adya- a a ´ centes a sus ´ngulos (interiores). Cada v´rtice tiene, pues, dos ´ngulos exteriores a e a opuestos por el v´rtice y, por lo tanto, iguales. Los dos angulos exteriores por e ´ un v´rtice comparten la bisectriz. Consideremos el punto Ia donde se cortan las e bisectrices exteriores de los ´ngulos B y C (es f´cil probar que no pueden ser a a paralelas). Entonces Ia equidista de las prolongaciones de los tres lados, luego est´ tambi´n sobre la bisectriz del ´ngulo (interior) A. Hemos probado: a e a Las bisectrices exteriores de dos angulos de un tri´ngulo son concu- ´ a rrentes con la bisectriz interna del tercer angulo. ´
- 79. 3.5. Propiedades delos tri´ngulos a 67 Zb Yc A Ib Ic I Zc Yb Xc Xb B Xa C Ya Za Ia Definici´n 3.35 Llamaremos excentros de un tri´ngulo a los puntos de inter- o a secci´n de cada par de bisectrices exteriores con la bisectriz interior del tercer o a ´ngulo. Los representaremos por Ia , Ib , Ic . La distancias de cada excentro a las prolongaciones de los lados se llaman exradios, ra , rb , rc . Las circunferencias determinadas por los excentros y los exradios se llaman circunferencias excritas al tri´ngulo y son tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. a Las circunferencias excritas y la circunferencia inscrita se llaman circunferencias tritangentes al tri´ngulo. a Es f´cil determinar los puntos donde los exc´ a ırculos tocan a los lados. Note- mos que BX b = BZ b y por otro lado BX b + BZ b = BC + CX b + BA + AZ b = BC + CY b + BA + AY b = a + b + c = 2s. Por consiguiente BX b = s, luego CY b = CX b = BX b − BC = s − a. Similarmente podemos calcular la distancia de cualquier v´rtice a cualquier e punto de tangencia. El teorema de Ceva Los tri´ngulos tienen asociadas varias ternas de rectas a concurrentes, como, por ejemplo, las bisectrices. El matem´tico italiano Gio- a vanni Ceva (1647–1734) obtuvo un resultado general sobre este tipo de rectas, a ra´ del cual se llaman cevianas de un tri´ngulo a las rectas que pasan por ız a un v´rtice y cortan a la prolongaci´n del lado opuesto en puntos distintos de e o
- 80. 68 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea los v´rtices, de modo que cuando hablamos de tres cevianas en un tri´ngulo se e a sobrentiende que cada una pasa por uno de los v´rtices. e Para enunciar el teorema de Ceva conviene introducir un convenio: si A, B, C y D son cuatro puntos colineales, consideraremos que la raz´n o AB CD es positiva si las relaciones AB y CD son iguales, mientras que ser´ negativa a si las relaciones son mutuamente inversas. De este modo, dados tres puntos colineales A, B y C con A = B, existe un unico punto D colineal con ellos y ´ para el que la proporci´n anterior tome un valor dado (en principio habr´ dos o ıa puntos posibles, uno en cada semirrecta de origen C, pero el ajuste del signo descarta a uno de ellos). Teorema 3.36 (Ceva) En un tri´ngulo arbitrario, tres cevianas AX, BY , CZ a son concurrentes si y s´lo si o BX CY AZ = 1. XC YA ZB Demostracion: Supongamos en primer ´ A lugar que las cevianas se cortan en un punto P . Por definici´n de ceviana el punto X es o Z Y distinto de B y C. As´ mismo, el punto P no ı P puede estar en la recta BC, o de lo contrario ser´ Y = C. Por lo dem´s X puede estar o B ıa a X C no entre B y C. En cualquier caso los tri´ngulos ABX y AXC tienen la misma a altura, as´ como P BX y P XC, luego ı BX (ABX) (P BX) ±(ABX) ± (P BX) (ABP ) = = = = . XC (AXC) (P XC) ±(AXC) ± (P XC) (ACP ) (Notar que la elecci´n del signo es la misma en el numerador y el denominador, o seg´n la posici´n de P respecto a A y X.) u o Del mismo modo obtenemos CY (BCP ) AZ (CAP ) = , = . YA (BAP ) ZB (CBP ) Multiplicando las tres igualdades resulta BX CY AZ = ±1. XC YA ZB Estudiemos el signo. Si dos de los factores son positivos, por ejemplo los dos primeros, eso significa que X est´ entre B y C y que Y est´ entre A y C. a a −→ − ˆ Entonces la semirrecta AX est´ contenida en A, luego ha de cortar al segmento a
- 81. 3.5. Propiedades delos tri´ngulos a 69 a a a ˆ BY , y la intersecci´n es P , luego P est´ en el tri´ngulo, luego est´ en C, luego o − → CZ ha de cortar a AB y la intersecci´n es Z, luego Z est´ entre A y B y el o a tercer factor es tambi´n positivo. e S´lo falta ver que los tres factores no pueden ser negativos a la vez. Si as´ o ı fuera, entonces X no est´ entre B y C. Podemos suponer que C est´ entre B a a −→ − ˆ y X. Por otra parte Y no est´ entre A y C, luego BY no est´ contenida en B, a a luego no corta a AX, luego P no est´ entre A y X. Distinguimos dos casos: a si es A quien est´ entre P y X, entonces P est´ en el mismo semiplano que A a a respecto a BC y en semiplano opuesto a X respecto a AC, luego en el mismo ˆ −− → que B. Por consiguiente P est´ en C, luego CP corta a AB, y la intersecci´n a o es Z, con lo que el tercer factor es positivo. Si por el contrario es X quien est´a entre A y P entonces P est´ en el mismo semiplano que X respecto a AC, luego a en el opuesto a B, y tambi´n en el semiplano opuesto a A respecto a BC, luego e a a e ˆ est´ en el ´ngulo opuesto por el v´rtice a C. Por consiguiente la semirrecta − −→ ˆ luego corta a AB y de nuevo la complementaria de CP est´ contenida en C, a intersecci´n ha de ser Z. o Probemos el rec´ ıproco. Si se cumple la relaci´n indicada, sea P el punto o donde AX corta a BY y sea CZ la ceviana que pasa por P . Notar que Z ha de ser distinto de A y B, pues en caso contrario P estar´ en uno de los lados ıa y X o Y coincidir´ con un v´rtice. Podemos aplicar la parte ya probada a las ıa e cevianas AX, BY , CZ , con lo que obtenemos la relaci´n o BX CY AZ = 1. XC YA ZB Comparando con la hip´tesis concluimos que o AZ AZ = , ZB ZB lo cual s´lo es posible si Z = Z , luego las cevianas dadas se cortan en P . o El baricentro Una aplicaci´n inmediata del teorema de Ceva nos da la inter- o secci´n de las medianas: o Definici´n 3.37 Se llaman medianas de un tri´ngulo a los segmentos que unen o a cada v´rtice con el punto medio del lado opuesto. El punto de intersecci´n de e o las medianas de un tri´ngulo se llama baricentro (gr./lat. ‘centro de peso’), y lo a representaremos por G. A El baricentro debe su nombre a que la f´ ısica demuestra que es el centro de gravedad del tri´ngulo. a x z C B Los tri´ngulos marcados con la misma le- a x z tra en la figura tienen la misma area, pues ´ y y comparten una altura y sus bases son iguales. B A C
- 82. 70 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea Por la misma raz´n (BCC ) = (ACC ), luego 2y + x = 2z + x (es claro que o podemos sumar las ´reas). As´ pues y = z, y del mismo modo se concluye que a ı las seis ´reas son iguales. Esto a su vez implica que (GAB) = 2(GBA ), y como a los dos tri´ngulos comparten una altura, se ha de cumplir que AG = 2 GA . En a otros t´rminos: las medianas de un tri´ngulo se cortan en raz´n 2 : 1. e a o El ortocentro Veamos que el teorema de Ceva es aplicable a las alturas de un tri´ngulo no rect´ngulo (notemos que las alturas de un tri´ngulo rect´ngulo a a a a se cortan trivialmente en el v´rtice correspondiente al ´ngulo recto). e a Para ello basta observar que A BX ˆ c cos B = , XC ˆ b cos C donde el signo del coseno ajusta correctamente Y el signo de la proporci´n (tener presente que a o lo sumo uno de los angulos es obtuso). ´ X B C Las otras dos proporciones se calculan del mismo modo: ˆ ˆ Z CY a cos C AZ b cos A = , = , YA ˆ c cos A ZB ˆ a cos B H y es claro que su producto es 1. Definici´n 3.38 La intersecci´n de las alturas de un tri´ngulo se llama orto- o o a centro (gr./lat. ‘centro de perpendiculares’), y lo representaremos por H. Si el tri´ngulo no es rect´ngulo, los pies de las alturas determinan un tri´ngulo que a a a recibe el nombre de tri´ngulo ortico. a ´ Es f´cil comprobar que las bisectrices de dos ´ngulos adyacentes son perpen- a a diculares, de donde se sigue que todo tri´ngulo es el tri´ngulo ortico del tri´ngulo a a ´ a formado por sus excentros. Veamos que se cumple el rec´ ıproco. Consideremos un tri´ngulo acut´ngulo. a a A Es claro que el circuncentro de un tri´ngulo a rect´ngulo es el punto medio de su hipotenusa. a Por lo tanto, los tri´ngulos BF H y BHD tienen el a E mismo circuncentro, luego los cuatro puntos B, F , F E y D est´n sobre un mismo c´ a ırculo. Por lo tanto H los ´ngulos F BH y F DH son iguales (abarcan a el mismo arco). El primero es claramente π − A, ˆ B D C luego lo mismo vale para el segundo. Por el mismo ˆ argumento EDH = π − A. Vemos, pues, que la altura AD divide el angulo D ´ ˆ del tri´ngulo ortico en dos angulos iguales, o sea, a ´ ´ ˆ es la bisectriz de D. Adem´s entonces el lado BC es la bisectriz de los ´ngulos a a ˆ adyacentes de D. Como esto es v´lido por igual para todos los v´rtices, hemos a e probado lo siguiente:
- 83. 3.5. Propiedades delos tri´ngulos a 71 El ortocentro y los v´rtices de un tri´ngulo acut´ngulo coinciden e a a respectivamente con el incentro y los excentros de su tri´ngulo ortico. a ´ La situaci´n es similar en el caso de tri´ngulos obtus´ngulos. De hecho, si en o a a la figura anterior consideramos que AHC es un tri´ngulo obtus´ngulo arbitrario, a a entonces DEF sigue siendo el tri´ngulo ortico y B es el ortocentro, de modo a ´ que en un tri´ngulo obtus´ngulo, el v´rtice correspondiente al ´ngulo obtuso es a a e a el incentro del tri´ngulo ortico y el ortocentro junto con los otros dos v´rtices a ´ e son los excentros. Dejamos las comprobaciones a cargo del lector. Para terminar se˜alamos que los tri´ngulos AEF , DF B y DEC son todos n a semejantes a ABC.
- 85. Cap´ ıtulo IV La geometr´ anal´ ıa ıtica En el siglo XVII, Descartes revolucion´ la geometr´ al descubrir la geometr´ o ıa ıa anal´ ıtica, una potente t´cnica capaz de convertir los problemas geom´tricos en e e problemas algebraicos equivalentes y, a menudo, m´s f´ciles de tratar.1 Por a a contraposici´n, el tratamiento de la geometr´ que hemos seguido hasta ahora o ıa recibe el nombre de geometr´ sint´tica. La primera secci´n de este cap´ ıa e o ıtulo contiene los resultados t´cnicos necesarios para que el tr´nsito de una a la otra e a se produzca sin salto l´gico alguno. o 4.1 Vectores Definici´n 4.1 Una recta orientada es una recta en la que hemos fijado una o de las ordenaciones AB determinadas por dos cualesquiera de sus puntos. Una misma recta da lugar a dos rectas orientadas distintas. Si fijamos un punto P en una recta orientada r, entonces P divide a r en dos semirrectas, una formada por los puntos menores o iguales que P y otra por los puntos mayores o iguales que P . Las llamaremos, respectivamente, semirrecta menor y semirrecta mayor. Diremos que dos rectas paralelas orientadas r y s tienen la misma orientaci´n o si existe una recta t que las cruza en puntos P y P de modo que las semirrectas menores determinadas por estos puntos est´n contenidas en el mismo semiplano e respecto de t. Veamos que esta definici´n no depende de la recta t escogida. En efecto, o supongamos que esto se cumple con una recta t y que t es cualquier otra recta que corte a r y a s en dos puntos Q y Q . Tomemos puntos A y A en r y s que sean menores que P , Q, P , Q respectivamente. Basta probar que t no corta al segmento AA , pues entonces A y A est´n en el mismo semiplano respecto a t , a y como est´n ambos en las semirrectas menores respecto a P y Q , concluimos a que ambas est´n en el mismo semiplano respecto a t . a 1 Al parecer, Descartes parti´ de una sugerencia que le hizo Fermat en una carta. o 73
- 86. 74 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Supongamos que AA corta a t . Es f´cil ver que a A P Q s entonces de hecho corta al segmento QQ (El primer segmento est´ contenido en la banda determinada a por r y s, esto es, en la intersecci´n del semiplano o A Q P r de frontera r que contiene a s con el semiplano de frontera s que contiene a r. Por otra parte la intersecci´n de t con esta banda o es QQ , luego si la recta corta a AA el punto de corte ha de estar en dicho segmento.) Si AA corta a QQ y P = Q, entonces el axioma B5 aplicado al tri´ngulo a P QQ obtenemos que AA corta a P Q (no puede cortar al otro lado P Q porque entonces A estar´ entre P y Q). Si P = Q tenemos directamente que AA corta ıa a P Q . Por el mismo argumento aplicado al tri´ngulo P Q P llegamos a que a AA corta a P P , pero el punto de corte ha de estar en AA , con lo que A y A est´n en semiplanos distintos respecto de t, en contradicci´n con la hip´tesis. a o o As´ pues, siempre que una recta t corta a dos rectas paralelas igualmente ı orientadas r y s, las semirrectas menores quedan en el mismo semiplano (y las mayores tambi´n). e A partir de aqu´ se sigue inmediatamente que el estar igualmente orientado es ı una relaci´n de equivalencia, es decir, que si dos rectas paralelas est´n orientadas o a igual que una tercera, entonces est´n igualmente orientadas. Por lo tanto, cada a haz de rectas paralelas admite dos orientaciones posibles. Definici´n 4.2 Un vector fijo (lat ‘transportador’) es un par ordenado de pun- o − −→ tos del plano. Lo representaremos P Q (no confundir con la notaci´n para las o − −→ semirrectas). El punto P se llama origen del vector P Q, mientras que el punto Q es el extremo. Si el origen es igual al extremo diremos que el vector es nulo. − −→ − −→ Llamaremos norma de un vector fijo P Q a la longitud P Q del segmento P Q (respecto a una unidad de longitud prefijada). Convenimos que la longitud de los vectores nulos es 0. − −→ Llamaremos direcci´n de un vector fijo no nulo P Q al haz de todas las rectas o − −→ −− −→ paralelas a P Q, de modo que dos vectores P Q y P Q tienen la misma direcci´n o si y s´lo si las rectas P Q y P Q son paralelas o iguales. o −− → Llamaremos sentido de un vector fijo no nulo P Q al conjunto de las relaciones sobre las rectas paralelas a P Q que inducen la misma orientaci´n que P Q . De o este modo, los vectores fijos no nulos con una misma direcci´n quedan divididos o −−→ − −→ en dos clases de vectores de sentidos opuestos. Los vectores P Q y QP tienen sentidos opuestos. −− → −− −→ Diremos que dos vectores fijos P Q y P Q son equipolentes (lat. de igual fuerza) si ambos son nulos o si ambos son no nulos y tienen la misma norma, la misma direcci´n y el mismo sentido. o Es claro que la equipolencia es una relaci´n de o Vectores equipolentes equivalencia.
- 87. 4.1. Vectores 75 Un vector libre es una clase de equipolencia de vectores fijos. Si v es un vector libre, a los vectores fijos que lo componen los llamaremos trasladados − −→ −− → de v. Si P Q es un trasladado de v escribiremos simplemente v = P Q. Por definici´n de equipolencia, los vectores nulos forman un mismo vector libre al o que representaremos por 0. Llamaremos norma, direcci´n y sentido de un vector o libre al de cualquiera de sus trasladados. Dado un punto P y un vector libre v, existe un unico punto Q tal que ´ −− → − −→ v = P Q. En efecto, si v = 0 es claro. Si v = AB, un vector con origen P y la misma direcci´n que v ha de tener el extremo en la recta paralela (o igual) a AB o −− → por P . En dicha recta hay dos puntos Q tales que P Q tiene la misma norma que v, y cada uno de ellos determina una ordenaci´n P Q diferente, luego s´lo o o −− → uno de ellos hace que P Q tenga el mismo sentido que v. −−→ Al unico punto Q que cumple P Q = v lo llamaremos trasladado de P por v ´ −− → y lo representaremos por Q = P + v. Tambi´n diremos que P Q es el trasladado e − −→ de v de origen P . En particular tenemos P + P Q = Q. Es claro que dos vectores libres no nulos v y w tienen la misma direcci´n si o −− → −− → y s´lo si al tomar trasladados v = P Q y w = P Q con origen com´n se cumple o u que P , Q y Q son colineales. Adem´s tendr´n el mismo sentido si y s´lo si Q a a o y Q est´n en la misma semirrecta respecto a P . a Dado un vector libre v = 0 y un n´mero real α = 0, definimos el vector libre u αv como el unico vector con norma |α| v , la misma direcci´n que v y el mismo ´ o sentido que v o sentido opuesto seg´n si α 0 o α 0. Definimos tambi´n u e 0v = α0 = 0. Es f´cil comprobar que (αβ)v = α(βv), as´ como que 1v = v. a ı − −→ Dada una recta r, un vector director de r es cualquier vector v = P Q, donde P y Q son dos puntos distintos de r. Teorema 4.3 Si P es un punto de una recta r y v es un vector director, en- tonces cada punto de r se expresa de forma unica como Q = P + λv, con λ ∈ R. ´ −− → Demostracion: Tenemos v = P P , para un cierto P en r. Por lo tanto ´ − −→ los vectores v y P Q tienen la misma direcci´n. Por lo tanto existe un λ ∈ R tal o − −→ que P Q = λv, luego Q = P + λv. Si Q = P + λv = P + λ v, entonces λv = λ v. Obviamente λ = 0 si y s´lo si o λ = 0. Si no son nulos, comparando las normas y los sentidos concluimos que λ=λ. P + λv v r P
- 88. 76 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Es f´cil ver que Pλ = P + λv es una graduaci´n de la recta r. a o M´s en general, si r es una recta graduada y v es un vector director, entonces a −− −→ −→ − −− −→ v = P0 Pβ , para alg´n β. Entonces Q = Pα + v cumple que Pα Q = v = P0 Pβ , u luego Q est´ en r y dista |β| unidades de Pα , por lo que claramente Q = Pα±β . a Si β 0 entonces P0 Pβ , luego Pα Q (pues ambos pares de puntos han de inducir el mismo orden en r), luego Q = Pα+β . Similarmente, si β 0 ha de ser Q Pα , luego tambi´n Q = Pα+β . As´ pues, en toda recta graduada e ı −− −→ Pα + P0 Pβ = Pα+β . En particular P + (α + β)v = (P + αv) + βv Las propiedades b´sicas de los vectores se siguen del teorema siguiente. a Teorema 4.4 Para todo par de puntos A y B y todo vector libre v, si A = A+v − −→ −− −→ y B = B + v, entonces AB = A B . Demostracion: Podemos suponer que v = 0. Supongamos ahora que A, ´ B y A est´n alineados. Graduemos la recta que los contiene tomando P0 = A a −− −→ y P1 = B. Sea v = P0 Pα . Entonces A + v = Pα y B + v = P1+α , y claramente −− −→ − → − P0 P1 = Pα Pα+1 (ambos miden una unidad de longitud e inducen la ordenaci´n o de la graduaci´n). o Supongamos ahora que A no est´ en AB. Entonces las rectas AA y BB a son paralelas. Si las ordenamos con las relaciones AA y BB la orientaci´n o es la misma, luego A y B est´n en el mismo semiplano respecto de AB. a La paralela a AB que pasa por A corta a BB A✑ ✲B ✑✸ ✑✸ ✑ en un punto X que forma un paralelogramo con A, ✑ v ✲✑ v A , B, luego X dista de B lo mismo que A dista de A B A, luego lo mismo que B dista de B. Como adem´sa B y X est´n en el mismo semiplano respecto de AB (el que contiene a B), de a −− −→ hecho est´n en la misma semirrecta de origen B, luego X = B . As´ pues, A B a ı −−→ y AB tienen la misma direcci´n y la misma norma. Como la recta AA deja a B o y a B en el mismo semiplano, el sentido tambi´n es el mismo (B y B est´n en e a −− −→ − − → las semirrectas mayores para las ordenaciones que inducen A B y AB). Esto prueba que los dos vectores son iguales. Teorema 4.5 Para todos los puntos A y B y todos los vectores v y w se cumple: 1. Si A + v = B + v entonces A = B. 2. Si A + v = A + w entonces v = w. 3. (A + v) + w = (A + w) + v. −→ − → − − 4. Si A = (A + v) + w y B = (B + v) + w, entonces AA = BB .
- 89. 4.1. Vectores 77 Demostracion: 1) Si llamamos C = A + v = B + v, el teorema anterior ´ − −→ − −→ nos da que AB es equipolente a CC, luego ha de ser A = B. −→ 2) Si C = A + v = A + w, obviamente v = AC = w. 3) Sean B = A + v, A = A + w y B = B + w. Por el teorema anterior −− −→ − − → A B = AB = v. As´ ı −− −→ (A + v) + w = B + w = B , (A + w) + v = A + A B = B . − −→ 4) Sea x = AB. Entonces B = (B + v) + w = ((A + x) + v) + w = ((A + v) + w) + x = A + x, − −→ −−−→ y como tambi´n B = A + x, el teorema anterior implica que AB = A B . e La propiedad 4) del teorema anterior nos permite definir la suma de dos vectores v y w como el vector v + w que cumple A + (v + w) = (A + v) + w, para todo punto A. Teorema 4.6 El conjunto V de los vectores libres con la suma y el producto que hemos definido forma un espacio vectorial sobre R en el sentido algebraico del t´rmino, es decir, se cumplen las propiedades siguientes: e 1. (v + w) + x = v + (w + x), 2. v + w = w + v, 3. v + 0 = v, 4. Para cada vector v existe un vector −v tal que v + (−v) = 0, 5. α(βv) = (αβ)v, 6. (α + β)v = αv + βv, 7. α(v + w) = αv + αw, 8. 1v = v. Demostracion: Todas las propiedades son inmediatas a partir de lo ya ´ probado salvo la s´ptima. Las propiedades restantes permiten reducir la prueba e al caso en que α 0 y los vectores v y w tienen direcciones distintas. C✟ ✟ ✟ ✟ ❆❆ C ✟✟ ❆ ✟ ✟ ✟ ❆ ❆ ✟ ❆w ❆ ✟✟ v ❆ ❆ A B =A+v B = A + αv
- 90. 78 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Sea A un punto cualquiera, B = A + v, C = A + v + w y B = A + αv. Sea C el punto donde la paralela a BC por B corta a AC. −− −→ Entonces B C tiene la misma direcci´n y sentido que w, y por el teorema de o −− −→ −→ − Tales su norma es α w , luego B C = αw y por consiguiente AC = αv + αw. −→ − Por otra parte AC tiene la misma direcci´n y sentido que v + w y tambi´n o e −→ − por el teorema de Tales, su norma es α v + w , luego AC = α(v + w). El teorema 4.3 se interpreta ahora como que una recta est´ formada por a los trasladados de uno cualquiera de sus puntos mediante los vectores de un subespacio vectorial de V de dimensi´n 1. Vamos a probar un resultado an´logo o a para los planos: Teorema 4.7 Sea π un plano, sean P , Q y R tres puntos de π no colineales. − −→ −→ Sean u = P Q y v = P R. Entonces cada punto de π se expresa de forma unica ´ como X = P + λu + µv, λ, µ ∈ R. Demostracion: Dado un punto X en π, consideramos la recta paralela a ´ ´ P R que pasa por X. Esta cortar´ a P Q en un punto de la forma Y = P + λu. a −→ − −→ El vector Y X tiene la misma direcci´n que P R = v, luego ser´ de la forma o a −→ − Y X = µv. As´ı −→ −→ − − X = P + P Y + Y X = P + λu + µv. La unicidad equivale a que los vectores u y v sean linealmente independientes, pero esto se sigue de que P , Q y R no son colineales. Es f´cil ver de modo a similar que todo punto de la forma indicada est´ en π. a Del mismo modo tenemos: − −→ Teorema 4.8 Sean P , Q, R, S cuatro puntos no coplanares. Sean u = P Q, −→ −→ v = P R y w = P S. Entonces todo punto X se expresa de forma unica como ´ X = P + λu + µv + ν w, λ, µ, ν ∈ R. Demostracion: La recta paralela a P S que pasa por X cortar´ al plano ´ a P QR en un punto que por el teorema anterior ser´ de la forma a Y = P + λu + µv. −→ − −→ −→ − El vector Y P tiene la misma direcci´n que P S = w, luego Y P = ν w. Como o en el teorema anterior concluimos que X tiene la forma indicada. La expresi´n o es unica porque los vectores u, v y w son linealmente independientes (o de lo ´ contrario todo el espacio estar´ contenido en un plano). ıa El teorema anterior implica que el espacio de los vectores libres tiene di- mensi´n 3. o
- 91. 4.2. Espacios afines 79 4.2 Espacios afines Los resultados algebraicos que hemos obtenido en la secci´n anterior se ex- o presan m´s adecuadamente en t´rminos del concepto siguiente: a e Definici´n 4.9 Un espacio af´ de dimensi´n n es una terna (E, E, +), donde o ın o E es un conjunto no vac´ a cuyos elementos se les llama puntos, E es un espacio ıo, vectorial de dimensi´n n sobre un cuerpo K y + es una aplicaci´n E × E −→ E o o que cumple las propiedades siguientes: 1. Para cada par de puntos P , Q, existe un unico vector v tal que Q = P + v, ´ − −→ y se le representa por v = P Q. 2. P + 0 = P , 3. (P + v) + w = P + (v + w). En la secci´n anterior hemos probado que el espacio de la geometr´ (tri- o ıa dimensional) eucl´ıdea es un espacio af´ tridimensional con R como cuerpo de ın escalares. Es f´cil demostrar que todas las propiedades de vectores que hemos a probado all´ son v´lidas en cualquier espacio af´ Por ejemplo, ı a ın. − −→ − − → − −→ − −→ −−→ P + P Q + QP = Q + QP = P = P + 0, luego QP = −P Q. −− → − −→ − → Del mismo modo se prueba que P Q + QR = P R. Una variedad lineal2 de dimensi´n m en un espacio af´ es un conjunto de o ın puntos de la forma L = P + L = {P + w | w ∈ L}, donde L es un subespacio vectorial de E de dimensi´n m, llamado espacio o director de la variedad. Notemos que L = {v ∈ E | P + v ∈ L}, luego L est´ determinado por L. a ıprocamente, una variedad lineal L est´ determinada por su espacio director Rec´ a − −→ L y uno cualquiera de sus puntos, pues si Q ∈ P + L, entonces P Q ∈ L, luego − −→ Q + L = P + P Q + L = P + L = L. En la secci´n anterior hemos probado que las rectas son las variedades linea- o les de dimensi´n 1 del espacio de la geometr´ eucl´ o ıa ıdea, mientras que los planos son las variedades de dimensi´n 2. Por ello las variedades lineales de dimensi´n o o 1 y 2 de cualquier espacio af´ reciben el nombre de rectas y planos. Las va- ın riedades lineales de dimensi´n 0 son los puntos (con rigor, los conjuntos con un o solo punto). En un espacio af´ de dimensi´n n, las variedades de dimensi´n ın o o n − 1 se llaman hiperplanos. Toda variedad lineal L = P + L de dimensi´n m se puede considerar en o s´ misma como un espacio af´ de dimensi´n m con L como espacio vectorial ı ın o asociado. 2 El nombre hace referencia a que los elementos de una variedad est´n determinados por a varias coordenadas.
- 92. 80 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Dado un conjunto de puntos A = ∅, existe una m´ ınima variedad lineal que lo contiene, la llamaremos la variedad lineal generada por A y la representaremos por A . En efecto, si P ∈ A es f´cil ver que a − −→ A = P + PQ | Q ∈ A . es una variedad que contiene a A y est´ contenida en cualquier otra que cumpla a lo mismo. Diremos que n + 1 puntos A0 , . . ., An son af´ ınmente independientes si la variedad lineal que generan tiene dimensi´n n (en caso contrario se dice que son o af´ ınmente dependientes). Seg´n lo que acabamos de ver, esto equivale a que los u −→ − −→ − vectores A0 A1 , . . ., A0 An sean linealmente independientes. En particular tres puntos P , Q, R son colineales si y s´lo si son af´ o ınmente − −→ − → dependientes, si y s´lo si los vectores P Q y P R son linealmente dependientes. o − − −→ → An´logamente, cuatro puntos P , Q, R, S son coplanares si y s´lo si P Q, P R y a o −→ P S son linealmente dependientes, etc. Es claro que en un espacio af´ de dimensi´n n hay conjuntos af´ ın o ınmente independientes con n + 1 puntos, pero no con m´s.a Diremos que dos variedades lineales son paralelas si no tienen puntos en com´n y el espacio director de una est´ contenido en el de la otra. u a El teorema siguiente prueba que esta noci´n general de paralelismo coincide o con la que conocemos para rectas y planos en los espacios tridimensionales. Teorema 4.10 Dos variedades lineales de dimensiones k y l con k ≤ l son paralelas si y s´lo si no tienen puntos en com´n y est´n contenidas en una o u a variedad de dimensi´n l + 1. o Demostracion: Sean P + v1 , . . ., vk y Q + w1 , . . ., wl las dos varie- ´ dades. Supongamos que no se cortan y est´n contenidas en una variedad de a − −→ dimensi´n l + 1. Veamos en primer lugar que P Q no es combinaci´n lineal de o o v1 , . . ., vk , w1 , . . ., wl . Si lo fuera tendr´ ıamos − −→ α1 v1 + · · · αk vk = P Q + β1 w1 + · · · βl wl , con lo que el punto P + α1 v1 + · · · αk vk = Q + β1 w1 + · · · βl wl estar´ en las dos variedades. ıa Una variedad de dimensi´n l + 1 que contenga a ambas variedades contiene a o los puntos P , Q, P + vi , Q + wi , luego su espacio director contiene a los vectores −−→ − −→ P Q, vi , wi . Como la dimensi´n es l+1 dicho espacio ha de ser P Q, w1 , . . ., wl , o luego − −→ v1 , . . ., vk ⊂ P Q, w1 , . . ., wl ,
- 93. 4.2. Espacios afines 81 − −→ y como P Q no es combinaci´n lineal de ninguno de los dem´s vectores, o a v1 , . . ., vk ⊂ w1 , . . ., wl , lo que prueba que las variedades son paralelas. Rec´ ıprocamente, si se da la inclusi´n anterior entonces las dos variedades o −− → est´n contenidas en la variedad P + P Q, w1 , . . ., wl . a As´ dos rectas son paralelas si y s´lo si no se cortan y est´n contenidas en un ı o a plano, dos hiperplanos (en particular dos planos en un espacio tridimensional) son paralelos si y s´lo si no se cortan. o Ejercicio: Probar que si dos variedades lineales tienen intersecci´n no vac´ entonces o ıa ´sta es una variedad lineal y que su espacio director es la intersecci´n de los espacios e o directores. Es f´cil comprobar que cualquier espacio af´ de dimensi´n 3 cumple el grupo a ın o de axiomas A del cap´ıtulo I, as´ como el axioma E. De hecho, si la dimensi´n es ı o 2 se siguen cumpliendo los axiomas que no hablan de planos, y si la dimensi´no es mayor que 3 se cumplen todos los axiomas del grupo excepto A6. Por ejemplo, si dos planos en un espacio tridimensional tienen un punto en com´n P , la intersecci´n es una variedad lineal cuyo espacio director es la u o intersecci´n de dos subespacios de dimensi´n 2, luego la relaci´n o o o dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W ) implica que la dimensi´n de la intersecci´n ha de ser al menos 1, luego la inter- o o secci´n es un plano o una recta. o Si el cuerpo K del espacio af´ est´ ordenado (como es el caso de R) podemos ın a definir el orden AB en la recta AB como el dado por3 − −→ − −→ X AB Y si y s´lo si X = A + λ AB, Y = A + µ AB y λ µ. o Con este orden se satisface tambi´n el grupo de axiomas B. Vamos a demostrar e como ejemplo el axioma B5, que es el m´s t´cnico. Notemos en general que los a e puntos situados entre dos puntos A y B son los de la forma − −→ A + λ AB, λ ∈ [0, 1]. Sean A, B y C tres puntos no colineales y una recta r en su mismo plano que no pasa por ninguno de ellos, pero s´ por un punto X entre A y B. Sea v ı un vector director de r, es decir, r = X + v . −→ − Los vectores v y XB han de ser linealmente independientes, pues en caso −→ − contrario B estar´ en r. El punto A est´ en la recta XB, luego A = X + αXB, ıa a −→ 3 Notemos que en el caso del espacio eucl´ ıdeo hemos probado que Xλ = A + λ AB es una graduaci´n de AB, luego esta definici´n da el orden usual. o o
- 94. 82 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica −→ − para cierto escalar α. Como ha de ser A XB X y X = X + 0XB, la definici´n o de orden implica que α 0. −→ − Es claro que el plano X + XB, v es ABC. Por lo tanto −→ − C = X + β XB + γ v, para ciertos escalares β, γ. No puede ser β = 0 o de lo contrario C estar´ en r. ıa De hecho, el argumento que sigue va a demostrar que el signo de β ser´ positivo a o negativo seg´n que C est´ en el mismo semiplano que B o que A respecto a r. u e Supongamos por ejemplo que β 0 y vamos a ver que r corta a AC. El punto de corte entre r y AC (si existe) ha de cumplir −→ X + λv = A + µ AC para ciertos escalares λ y µ, luego −→ − −→ −→ − − −→ − −→ − −→ − X + λv = X + XA + µ(XC − XA) = X + α XB + µ(β XB + γ v − α XB) −→ − = X + α + µ(β − α) XB + µβ v. Esto sucede exactamente cuando −α µ= , β−α que, teniendo en cuenta los signos, es un n´mero entre 0 y 1, luego el punto de u −→ corte A + µ AC est´ ciertamente entre A y C. Similarmente se prueba que r no a corta al segmento BC. Como ya hemos comentado, en la prueba se ha visto que si r es una recta que contiene a un punto X y B es un punto exterior a r, entonces un punto C est´ en el semiplano4 de frontera r que contiene a B si y s´lo si es de la forma a o −→ − C = X + β XB + γv, con β ≥ 0. Equivalentemente, dada una recta r = P + v , todo plano que la contiene es de la forma π = P + v, w , para un cierto vector w independiente de v, y entonces los semiplanos que r determina en π son {P + λv + µw | µ ≥ 0} y {P + λv + µw | µ ≤ 0}. Dada una recta r = O + v , es f´cil ver que las semirrectas que O determina a en r son los conjuntos {O + λv | λ ≥ 0} y {O + λv | λ ≤ 0}. 4 Desdeel momento en que hemos probado que todo espacio af´ (sobre un cuerpo ordenado) ın satisface los grupos de axiomas A y B, todos los conceptos definidos a partir de ellos tienen sentido en cualquier espacio af´ en estas condiciones (segmentos, semirrectas, etc.). ın
- 95. 4.2. Espacios afines 83 Por lo tanto, el angulo de v´rtice O y lados las semirrectas ´ e {O + λv | λ ≥ 0} y {O + λw | λ ≥ 0} es el conjunto A(O; v, w) = {O + λv + µw | λ ≥ 0 y µ ≥ 0}. Es f´cil comprobar que todo espacio af´ sobre R cumple tambi´n el axioma a ın e D, luego en total tenemos que la geometr´ af´ satisface todos los grupos de ıa ın axiomas a excepci´n del grupo C. No tiene sentido plantearse si los espacios o afines cumplen estos axiomas porque en ellos no tenemos definida la noci´n de o congruencia. Terminamos la secci´n estudiando brevemente las aplicaciones que conservan o la estructura af´ ın. Definici´n 4.11 Sean E y F dos espacios afines. Una aplicaci´n af´ o afinidad o o ın entre E y F es una aplicaci´n f : E −→ F tal que para todo punto P de E se o cumple − −→ f (P ) = f (O) + f (OP ), donde O es un punto prefijado en E, y f : E −→ F es una aplicaci´n lineal, o llamada aplicaci´n lineal asociada a f . o En primer lugar hemos de notar que si f admite una expresi´n como la o indicada para un punto O y una cierta aplicaci´n lineal f , entonces f admite o una expresi´n an´loga para cualquier otro punto O y con la misma aplicaci´n o a o −→ − f . En efecto, puesto que f (O ) = f (O) + f (OO ), resulta que − −→ − −→ −→ − −→ − f (P ) = f (O) + f (OP ) = f (O ) + f (OP ) − f (OO ) = f (O ) + f (O P ). En particular una afinidad determina su aplicaci´n lineal asociada. o Notemos que la relaci´n entre f y f se puede escribir tambi´n en la forma o e − − → −−−→ −−− f (P Q) = f (P )f (Q), para todo par de puntos P y Q. Teniendo esto en cuenta es f´cil comprobar que la composici´n de aplicaciones afines es una aplicaci´n af´ a o o ın, as´ como que la inversa de una biyecci´n af´ es una biyecci´n af´ Adem´s ı o ın o ın. a −→ − −→ − f ◦ g = f ◦ g y f −1 = (f )−1 . Se prueba sin dificultad que las biyecciones afines conservan todas las propie- dades definibles a partir de la estructura de espacio af´ aplican variedades en ın: variedades, paralelas en paralelas, semiplanos en semiplanos, angulos en angulos, ´ ´ tri´ngulos en tri´ngulos, conservan las relaciones de orden de las rectas, etc. a a
- 96. 84 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica 4.3 Coordenadas cartesianas y baric´ntricas e Tras todas estas consideraciones podemos exponer el n´cleo de la geometr´ u ıa anal´ ıtica, en virtud de la cual los conceptos geom´tricos se caracterizan en e t´rminos de ecuaciones y desigualdades. Para ello necesitamos los conceptos e de sistema de referencia y coordenadas de un punto. Definici´n 4.12 Un sistema de referencia en un espacio af´ E est´ formado o ın a por un punto O y una base (e1 , . . . , en ) del espacio E. Fijado un sistema de referencia, podemos identificar cada vector v con sus coordenadas en la base del sistema. As´ v = (x1 , . . ., xn ) se interpreta como que ı, v = x1 e1 + · · · xn en . Llamaremos vector de posici´n de un punto P (siempre o −−→ respecto al sistema de referencia fijado) al vector OP . Las coordenadas carte- sianas (lat. ‘de Descartes’) de un punto P ser´n las coordenadas de su vector a de posici´n. Escribiremos P (x1 , . . ., xn ) para indicar que las coordenadas de P o en un sistema de referencia dado son (x1 , . . ., xn ). Seg´n lo dicho, esto equivale u a que P = O + x1 e1 + · · · + xn en . Por ejemplo, si tomamos dos rectas que se corten perpendicularmente en un punto O, las graduamos con la misma unidad y consideramos los vectores − −→ −→ − v = OP1 , w = OQ1 (donde P1 y Q1 son los respectivos puntos unitarios de las rectas) los resultados de la secci´n anterior muestran que tenemos un sistema o de referencia cartesiano, y las coordenadas (x, y) de un punto P se interpretan como los n´meros asociados por las graduaciones a las proyecciones de P por u rectas paralelas a las rectas OP1 y OQ1 , es decir, sus distancias al origen m´s a un signo que indica la semirrecta en la que se encuentran. La recta O + λv, cuyos puntos tienen coordenadas (x, 0), se llama simplemente ‘Eje X’ o eje de abscisas, mientras que la recta O + λw recibe el nombre de ‘Eje Y ’, o eje de ordenadas. Eje Y y P (x, y) Q1 P1 x Eje X Igualmente podemos interpretar las coordenadas (x, y, z) de un punto del espacio respecto a un sistema de referencia determinado por tres rectas per- pendiculares graduadas con la misma unidad (ejes X, Y y Z). Conviene tener presente que la definici´n de sistema de referencia no exige que los ejes se tomen o perpendiculares. De hecho la noci´n de perpendicularidad no est´ definida en o a un espacio af´ arbitrario. ın
- 97. 4.3. Coordenadas cartesianasy baric´ntricas e 85 Consideremos un hiperplano H = P + v1 , . . . , vn−1 en un espacio af´ en el ın que hemos fijado un sistema de referencia de origen O. Un punto Q(x1 , . . ., xn ) − −→ est´ en H si y s´lo si P Q ∈ v1 , . . . , vn−1 . Si (p1 , . . . , pn ) son las coordenadas de a o −−→ −→ − − −→ P , entonces las coordenadas de P Q = OQ − OP son (x1 − p1 , . . ., xn − pn ), luego la condici´n anterior equivale a que el determinante formado por este vector y o las coordenadas de los vi sea igual a O. Esto se traduce en una ecuaci´n de la o forma a1 x1 + · · · + an xn = b, donde necesariamente alguno de los coeficientes es no nulo. Rec´ıprocamente, el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuaci´n de esta forma es un hiperplano. En efecto, el miembro izquierdo de la o ecuaci´n define una aplicaci´n lineal no nula de K n en K, que necesariamente o o ser´ suprayectiva y su n´cleo tendr´ dimensi´n n − 1. La aplicaci´n que a cada a u a o o vector le asigna sus coordenadas en una base dada es un isomorfismo de V en K n , luego los vectores cuyas coordenadas anulan el miembro izquierdo de la ecuaci´n forman un subespacio vectorial de base v1 , . . ., vn−1 . As´ mismo ha o ı de existir un vector v cuyas coordenadas satisfagan la ecuaci´n. Si llamamos o P = O+v, entonces los puntos del hiperplano P + v1 , . . . , vn−1 son exactamente los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci´n dada. o En resumen: Los puntos de un hiperplano en un espacio af´ est´n caracteriza- ın a dos por que sus coordenadas satisfacen una determinada ecuaci´no lineal no nula. Toda ecuaci´n lineal no nula es la ecuaci´n de un o o hiperplano. Dos hiperplanos son paralelos si y s´lo si no tienen puntos comunes, lo que o f´cilmente se traduce en que sus ecuaciones tienen los miembros izquierdos pro- a porcionales pero el t´rmino derecho no respeta la proporci´n. e o De este modo, una recta en el plano est´ formada por los puntos cuyas a coordenadas en un sistema de referencia dado satisfacen una ecuaci´n de la o forma ax + by = c. Una recta en el espacio se puede expresar como intersecci´n o de dos planos, luego sus elementos son los puntos cuyas coordenadas satisfacen un sistema de dos ecuaciones lineales independientes y compatibles a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 En general, los puntos de una variedad de dimensi´n m en un espacio af´ de o ın dimensi´n k est´n caracterizados por que sus coordenadas satisfacen un sistema o a de n − m ecuaciones lineales independientes. Veamos ahora el modo en que una afinidad transforma las coordenadas afines de los puntos. Sea f : E −→ F una afinidad, sea (O; v1 , . . ., vn ) un sistema de referencia en E y (O ; w1 , . . ., wm ) un sistema de referencia en F . Sean A = (a1 , . . ., am ) las coordenadas de f (O) en O , sea M la matriz asociada a la aplicaci´n lineal f en las bases de los sistemas de referencia. Sea P un punto en o ´ E con coordenadas X = (x1 , . . ., xn ). Estas son por definici´n las coordenadas o
- 98. 86 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica − −→ − −→ de OP en la base vi , luego las coordenadas de f (OP ) en la base wi son XM . Puesto que − −→ −− − − −→ −−→ f (P ) = f (O) + f (OP ) = O + O f (O) + f (OP ), −− − − −→ vemos que las coordenadas de O f (P ) en la base wi son Y = A + XM. En resumen: La relaci´n entre las coordenadas X de un punto en un sistema de o referencia O y las coordenadas Y de su imagen por una afinidad f es Y = A+XM , donde A son las coordenadas de f (O) en el sistema O y M es la matriz de f . Rec´ıprocamente, es f´cil ver que toda ecuaci´n matricial Y = A + XM est´ a o a asociada a una unica afinidad en unos sistemas de referencia prefijados. ´ El sumando A puede suprimirse si en el segundo espacio tomamos como origen de coordenadas el punto O = f (O). Sin embargo, cuando f es una afinidad de un espacio en s´ mismo, resulta m´s conveniente considerar un unico ı a ´ sistema de referencia, y entonces s´lo podemos eliminar el sumando A si f tiene o un punto fijo, es decir, un punto O tal que f (O) = O. Si K es un cuerpo, podemos dotar al conjunto K n de estructura de espacio af´ n-dimensional sin m´s que tomar sus elementos como puntos y como vecto- ın a res a un tiempo, de modo que la suma de puntos y vectores sea la misma suma vectorial de K n . Las variedades lineales de K n son de la forma P + V , donde V es un subespacio de K n , es decir, son las clases de congruencia m´dulo los o subespacios de K n . El sistema de referencia can´nico en K n es el formado por o (0, . . ., 0) como origen y la base can´nica de K n . Respecto a este sistema, cada o punto coincide con sus propias coordenadas. Si E es cualquier espacio af´ n-dimensional sobre K, la aplicaci´n que a cada ın o punto le asigna sus coordenadas respecto a un sistema de referencia prefijado es una biyecci´n af´ (cuya expresi´n coordenada respecto a este sistema y al o ın o sistema can´nico de K n es simplemente Y = X). o As´ pues, todo espacio af´ n-dimensional sobre K es isomorfo a K n , luego ı ın dichos espacios tienen todos las mismas propiedades afines (las mismas propie- dades que sean invariantes por biyecciones afines). En particular podemos identificar el espacio de la geometr´ tridimensional ıa eucl´ ıdea que venimos estudiando con el conjunto R3 . Si (O; e1 , . . ., en ) es un sistema de referencia de un espacio af´ E, entonces ın los puntos A0 = O, A1 = O + e1 , . . ., An = O + en son af´ ınmente independien- tes y, rec´ ıprocamente, un conjunto de n + 1 puntos af´ ınmente independientes −→ − −→ − A0 , . . ., An determina el sistema de referencia (A0 ; A0 A1 , . . ., A0 An ). Por lo tanto todo punto P de E se expresa de forma unica como ´ −→ − −→ − P = A0 + x1 A0 A1 + · · · + A0 An .
- 99. 4.3. Coordenadas cartesianasy baric´ntricas e 87 En algunas ocasiones esta expresi´n no es satisfactoria, pues sit´a al punto A0 en o u una situaci´n asim´trica respecto de los otros, cuando en realidad la noci´n de o e o puntos af´ ınmente independientes es completamente sim´trica. Por ello, a veces e conviene considerar las coordenadas baric´ntricas que definimos a continuaci´n. e o Notemos en primer lugar, que para puntos cualesquiera A1 , . . ., An y escala- res λ1 + · · · + λn = 0, el vector n −→ λi OAi i=1 es independiente de la elecci´n del punto O, pues si tomamos otro punto O o vemos que n n n −→ − −→ −→ − λ i O Ai − λi OAi = λi OOi = 0. i=1 i=1 i=1 De aqu´ se desprende que si λ1 + · · · + λn = λ = 0 el punto ı n 1 −→ B =O+ λi OAi λ i=1 es independiente de O. Al punto B se le llama baricentro de (Ai , λi ) y lo representaremos por n 1 1 −→ (λ1 A1 + · · · + λn An ) = O + λi OAi . λ λ i=1 Las sumas y productos del miembro izquierdo son meramente formales, sin un significado intr´ ınseco. Tan s´lo sugieren que las coordenadas del baricentro en el o −→ sistema de referencia (O; OAi ) se obtienen multiplicando por λi las coordenadas de Ai , sumando y dividiendo entre λ. El baricentro recibe este nombre porque se corresponde con el centro de gravedad de un sistema de n part´ ıculas puntuales situadas en los puntos Ai con masas λi . Retomando ahora el conjunto af´ınmente independiente A0 , . . ., An , ahora notamos que un punto P se puede expresar en la forma n n −→ − P = A0 + λi A0 Ai = λ i Ai , i=1 i=0 donde n λ0 = 1 − λi . i=1 Los n´meros (λ0 , . . ., λn ) (sujetos a la condici´n λ0 + · · · + λn = 1) est´n u o a un´ ıvocamente determinados por P y se llaman coordenadas baric´ntricas de e P respecto al sistema (Ai ).
- 100. 88 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Teorema 4.13 Los puntos A0 , . . ., An son af´ınmente independientes si y s´lo o si ninguno de ellos es un baricentro de los dem´s. a Demostracion: Si uno de los puntos, por ejemplo A0 es un baricentro de ´ los dem´s, entonces a n n A0 = λ i Ai , con λi = 1. i=1 i=1 Alguno de los coeficientes ha de ser no nulo, digamos que λn = 0. As´ ı n−1 −→ − A0 = An + λi An Ai , i=1 −− −→ donde no todos los coeficientes son nulos, luego An A0 es combinaci´n lineal de o los restantes. Invirtiendo el razonamiento tenemos la otra implicaci´n. o 4.4 Espacios eucl´ ıdeos Nos ocupamos ahora de extender la estructura de espacio af´ para recoger el ın concepto de congruencia, el ultimo concepto geom´trico primitivo que nos queda ´ e por representar anal´ ıticamente. Es importante notar que todo lo que desde el punto de vista de la teor´ de conjuntos hemos tomado como definiciones, ıa desde el punto de vista de la geometr´ eucl´ ıa ıdea son teoremas. Por ejemplo, hemos definido una recta en R3 como una variedad lineal de dimensi´n 1, peroo hemos demostrado que las rectas en la geometr´ eucl´ ıa ıdea son las variedades de dimensi´n 1. Esto se interpreta como que las definiciones dadas son las unicas o ´ posibles para que se satisfagan los axiomas de la geometr´ de modo que si ıa, tomamos un espacio eucl´ ıdeo cualquiera y a cada punto le asignamos una terna de coordenadas respecto a un sistema de referencia arbitrario, entonces esta correspondencia transformar´ necesariamente las rectas y planos del espacio en a las variedades lineales de R3 , las relaciones de orden entre los puntos de una recta se corresponder´n necesariamente con las que hemos definido en R3 , etc. a Si probamos que no hay m´s que una definici´n anal´ a o ıtica de congruencia que sea consistente con los axiomas de la geometr´ habremos demostrado que ıa, s´lo existe un espacio tridimensional eucl´ o ıdeo, en el sentido de que cualquiera de ellos es identificable con R3 a trav´s de un sistema de coordenadas. Por ello e vamos a desarrollar un poco m´s nuestro concepto sint´tico de congruencia y a e los relacionados con ´l para comprobar que en la definici´n de congruencia no e o tenemos ning´n grado de libertad. u En primer lugar notamos que si v y w son dos vectores no nulos cualesquiera, O es un punto, A = O+v y B = O+w, entonces el ´ngulo AOB (si est´ definido) a a es independiente de O, pues el tri´ngulo AOB tiene lados v , w y v − w , a luego los tri´ngulos construidos a partir de puntos O distintos son congruentes, a y en particular el angulo indicado es el mismo. ´
- 101. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 89 El angulo AOB no est´ definido cuando los vectores v y w son linealmente ´ a dependientes (lo cual tampoco depende de O). Todo esto nos permite definir el a ´ngulo entre dos vectores no nulos como el ´ngulo AOB si los puntos no est´n a a alineados, si w = αv con α 0 consideraremos que el ´ngulo es llano y si α 0 a diremos que el ´ngulo que forman es nulo y tiene medida 0. Cuando dos vectores a forman un angulo recto se dice que son ortogonales (gr. ‘en angulo recto’). ´ ´ Consideremos un sistema de referencia de origen O y con una base e1 , e2 , e3 formada por vectores ortogonales y de norma 1. Entonces, un punto arbitrario P cumplir´ que a P = O + x e1 + y e2 + z e3 , para ciertos n´meros reales (x, y, z) (sus coordenadas en el sistema de referencia u indicado). Si Q = O + x e1 + y e2 , vemos que la recta OQ est´ contenida en el a plano XY , mientras que la recta QP es paralela al eje Z, que es perpendicular al plano XY (suponiendo que Q = O y Q = P ). Por lo tanto el tri´ngulo OQP a es rect´ngulo, y el teorema de Pit´goras nos da que a a − −→ 2 −→ − 2 − −→ 2 2 OP = OQ + QP = x e1 + y e2 + z e3 2 . Si Q = O o Q = P la conclusi´n es trivialmente cierta. Del mismo modo, si o llamamos R = O + x e1 tenemos que el tri´ngulo OQR es rect´ngulo (o bien a a Q = O o Q = R), con lo que − −→ 2 2 2 2 OP = x e1 + y e2 + z e3 = x2 + y 2 + z 2 , −−→ luego OP = x2 + y 2 + z 2 . Puesto que P es un punto arbitrario, tenemos que si un vector v tiene coordenadas (x, y, z) respecto a una base formada por vectores ortogonales y unitarios, entonces v = x2 + y 2 + z 2 . Si v y w son dos vectores arbitrarios cuyas coordenadas en una base en las condiciones anteriores son respectivamente (x, y, z) y (x , y , z ), definimos su producto escalar como v w = xx + yy + zz . √ En estos t´rminos hemos probado que v = vv. Es claro adem´s que se e a cumplen las propiedades siguientes: 1. u(v + w) = uv + uw, 2. (u + v)w = uw + v w, 3. (αu)v = α(uv) = u(αv), 4. uv = vu.
- 102. 90 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Teniendo esto en cuenta vamos a probar unos hechos muy importantes: Consideremos dos vectores no nulos v y w. Supongamos en primer lugar que son linealmente independientes. Sean A = O + v, B = O + w. Entonces los puntos O, A, B no son colineales, luego forman un tri´ngulo cuyos lados miden a −→ −→ − −−→ OA = v , OB = w , AB = w − v . Por otra parte − −→ AB 2 = (w − v)(w − v) = ww + vv − 2v w = OA 2 + OB 2 − 2v w. Si comparamos con el teorema del coseno concluimos que vw = v w cos v w. Esta expresi´n sigue siendo v´lida cuando w = αv si convenimos en que el o a coseno de un angulo nulo es 1 y el coseno de un angulo llano es −1. En efecto: ´ ´ v w = αvv = ±|α| v 2 =± v w . En particular esto prueba que el producto escalar de dos vectores no depende del sistema de referencia que elegimos para calcularlo (siempre y cuando los vectores de su base sean ortogonales y de norma 1. Estas consideraciones condicionan ya la estructura algebraica que hemos de imponer a un espacio af´ para definir en ´l un concepto de ortogonalidad ın e consistente con los axiomas de la geometr´ eucl´ ıa ıdea. Definici´n 4.14 Un espacio vectorial eucl´ o ıdeo es un espacio vectorial real V de dimensi´n finita sobre el que hay definido un producto escalar, que es una o aplicaci´n V × V −→ R que cumple las propiedades siguientes: o 1. vv ≥ 0 y vv = 0 si y s´lo si v = 0, o 2. u(v + w) = uv + uw, 3. (u + v)w = uw + v w, 4. (αu)v = α(uv) = u(αv), 5. uv = vu. Un espacio af´ eucl´ ın ıdeo es un espacio af´ real E tal que en E hay definido un ın producto escalar que lo dota de estructura de espacio eucl´ıdeo. √ Definimos la norma de un vector en un espacio eucl´ ıdeo como v = vv. − −→ La distancia entre dos puntos A y B de un espacio af´ eucl´ ın ıdeo ser´ AB . a Diremos que dos vectores v y w son ortogonales si v w = 0. Lo representaremos por v ⊥ w. Un conjunto de vectores es ortogonal si no contiene al 0 y sus elementos son ortogonales dos a dos. Un conjunto de vectores es ortonormal si es ortogonal y todos sus vectores tienen norma 1. Hemos probado que el espacio eucl´ ıdeo en el sentido de la geometr´ sint´tica ıa e es un espacio af´ eucl´ ın ıdeo tridimensional en el sentido anal´ıtico. Probaremos
- 103. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 91 que el rec´ ıproco tambi´n es cierto (lo que justifica el nombre de espacio eucl´ e ıdeo en el segundo caso). En primer lugar sucede que esta definici´n algebraica no o muestra directamente la existencia de bases ortonormales. Probar esto ser´ a nuestro primer objetivo. Para ello conviene notar algunos hechos elementales. Se cumple que 0v = (00)v = 0(0v) = 0. La norma verifica la relaci´n αv = |α| v . Por lo tanto, si dividimos un o vector no nulo por su norma obtenemos un vector de norma 1, y si los vectores de un conjunto ortogonal los dividimos por sus normas respectivas obtenemos un conjunto ortonormal. As´ pues, basta probar la existencia de bases ortogonales. ı Observemos tambi´n que si un conjunto de vectores {v1 , . . ., vn } es ortogonal, e entonces es linealmente independiente. En efecto, si α1 v1 + · · · + αm vm = 0 entonces 0 = vj 0 = α1 vj v1 + · · · + αm vj vm = αj vj vj , luego αj = 0. Teorema 4.15 (Teorema de ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt) Si V o es un espacio vectorial eucl´ ıdeo, todo conjunto ortogonal de vectores de V se extiende hasta una base ortogonal de V . Demostracion: Sea A = {v1 , . . ., vr } un conjunto de vectores ortogonales ´ (y por lo tanto linealmente independientes). Si A es ya una base de V no hay nada que probar. En caso contrario tomamos un vector v de V que no est´ ene A . Consideremos un vector de la forma r w=v− αi vi . i=1 Claramente vi w = vi w − αi vi vi , luego si tomamos cada αi como el unico escalar ´ que cumple esta ecuaci´n tenemos que w ⊥ A. As´ obtenemos un conjunto o ı ortogonal con un vector m´s. Repitiendo el proceso llegamos hasta un con- a junto ortogonal con tantos vectores como la dimensi´n de V , que ser´ una base o a ortogonal. ıdeo V tiene una base ortonormal {e1 , . . ., en }. En particular todo espacio eucl´ Si v y w son vectores cualesquiera y (x1 , . . ., xn ), (y1 , . . ., yn ) son sus coordenadas en dicha base, tenemos que v w = (x1 e1 + · · · + xn en )(y1 e1 + · · · + yn en ) = x1 y1 + · · · + xn yn . Esto significa que un producto escalar est´ completamente determinado en a cuanto conocemos una base ortonormal. En particular podemos dotar a Rn de estructura de espacio eucl´ ıdeo definiendo el producto escalar como (x1 , . . ., xn )(y1 , . . ., yn ) = x1 y1 + · · · + xn yn . Es claro que se trata ciertamente de un producto escalar y, respecto a ´l, la base e can´nica es ortonormal. Los resultados del comienzo de la secci´n prueban que o o si en un espacio eucl´ ıdeo (en el sentido sint´tico) fijamos un sistema de referencia e con base ortonormal y a cada punto le asignamos sus coordenadas respecto a
- 104. 92 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica dicho sistema, entonces el producto escalar se corresponde con el producto en R3 que acabamos de definir, luego la ortogonalidad y la distancia entre puntos se corresponden con los conceptos hom´nimos en R3 definidos anal´ o ıticamente. El teorema siguiente es obvio desde un punto de vista sint´tico, pero es lo e unico necesario para probar anal´ ´ ıticamente las propiedades de la distancia entre puntos y la ortogonalidad de vectores. Teorema 4.16 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si v y w son dos vec- tores de un espacio eucl´ıdeo, entonces |v w| ≤ v w y se da la igualdad si y s´lo si v y w son linealmente dependientes. o Demostracion: Si w = 0 la igualdad se da trivialmente. Supongamos que ´ w = 0. Llamando u = w/ w , entonces u = 1 y lo que hemos de probar es que |vu| ≤ v , y que se da la igualdad si y s´lo si u y v son linealmente o dependientes. Tomemos λ ∈ R. Entonces 0 ≤ v + λu 2 = (v + λu)(v + λu) = vv + λ2 uu + 2λvu = v 2 + λ2 + 2λvu, En particular, si tomamos λ = −vu queda que v 2 + (vu)2 − 2(vu)2 ≥ 0, o sea, (vu)2 ≤ v 2 , luego |vu| ≤ v . Adem´s la igualdad se da si y s´lo si v − (vu)u = 0, o sea, si y s´lo si a o o v = (vu)u. Por lo tanto, si se da la igualdad u y v son linealmente dependientes. ıprocamente, si v = λu, entonces |vu| = |λuu| = |λ| = v . Rec´ Ahora podemos probar las propiedades esenciales de la norma eucl´ ıdea: Teorema 4.17 En todo espacio eucl´ ıdeo se cumple: 1. v ≥ 0 y v = 0 si y s´lo si v = 0. o 2. v + w ≤ v + w . 3. αv = |α| v . Demostracion: La unica propiedad que no es inmediata es la segunda, ´ ´ pero v+w 2 = (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2v w ≤ v 2 + w 2 + 2|v w| ≤ v 2 + w 2 + 2 v w = ( v + w )2 . Por lo tanto v + w ≤ v + w . La propiedad 2 del teorema anterior es la versi´n anal´ o ıtica de la desigualdad triangular. Es f´cil ver que es una igualdad exactamente cuando uno de los a vectores es un m´ltiplo positivo del otro. u Ahora nos ocupamos de las aplicaciones que conservan la estructura eucl´ ıdea. Vamos a dar una definici´n que aparentemente es mucho m´s d´bil que la que o a e
- 105. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 93 cabr´ esperar, pues vamos a pedir que se conserven las distancias, pero no la ıa estructura lineal ni mucho menos el producto escalar. Sin embargo probaremos seguidamente que la conservaci´n de las distancias implica todo lo dem´s. Re- o a − −→ presentaremos por d(P, Q) = P Q la distancia entre dos puntos P y Q de un espacio af´ eucl´ ın ıdeo. Definici´n 4.18 Sean A y B dos subconjuntos de dos espacios afines eucl´ o ıdeos. Una isometr´ entre A y B es una aplicaci´n biyectiva f : A −→ B tal que para ıa o todo par de puntos P , Q ∈ A se cumple d(P, Q) = d f (P ), f (Q) . Tomemos un sistema de referencia del primer espacio con origen en un punto O ∈ A y un sistema de referencia en el segundo espacio con origen en O = f (O). Por simplificar la notaci´n usaremos un ap´strofo para representar las im´- o o a genes por f , es decir, si P ∈ A, entonces P representar´ a f (P ). Llamemos A a ˜ −−→ ˜ al conjunto de los vectores OP , con P ∈ A. Similarmente, sea B el conjunto de −− −→ −− → ˜ −− −→ ˜ los vectores O P con P ∈ B. Si v = OP ∈ A, llamaremos v = O P ∈ B. ˜ ˜ En estos t´rminos 0 ∈ A, 0 = 0 ∈ B y v − w = v − w , para todo par e de vectores v y w en A. ˜ En particular, si hacemos v = 0 tenemos v = v . La relaci´n o v − w 2 = v 2 + w 2 − 2v w implica que v w = v w , para todo par de vectores v, w ∈ A.˜ Veamos que si v ∈ A ˜ y αv ∈ A entonces (αv) = αv . Si v = 0 es trivial. En ˜ caso contrario |v (αv) | = |v(αv)| = |α| v 2 = v αv = v (αv) . Como la desigualdad de Cauchy-Schwarz es en este caso una igualdad, tenemos que (αv) = λv , para cierto escalar λ. Multiplicando ambos miembros por v obtenemos α v 2 = λ v 2 , luego λ = α, y se cumple lo afirmado. ˜ Ahora probamos que si u, v, u + v ∈ A, entonces (u + v) = u + v . Tenemos 2 2 2 2 2 u +v = u + v + 2u v = u + v + 2uv = u + v 2 , luego u + v = u + v . Por otra parte 2 (u + v) (u + v ) = (u + v) u + (u + v) v = (u + v)u + (u + v)v = u + v Reuniendo ambas igualdades (u + v) (u + v ) = (u + v) u + v . De nuevo la desigualdad de Cauchy-Schwarz es una igualdad, lo que implica que u + v = λ(u + v) . Consecuentemente, 2 2 u+v = (u + v) (u + v ) = λ u + v = λ u + v 2. Esto implica λ = 1 (y por lo tanto la relaci´n que queremos probar) salvo si o u + v = 0, pero en este caso tenemos u + v = 0, luego u + v = 0 = (u + v) . ˜ ˜ Sea W = A y W = B . Consideramos una base de W contenida en ˜ y definimos f : W −→ W como la aplicaci´n lineal que sobre la base es A o
- 106. 94 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica f (v) = v . Los resultados que acabamos de probar justifican que esta relaci´n o ˜ vale para todos los vectores de A. Ahora observamos que f (u)f (v) = uv, para todo u, v ∈ W. ˜ En efecto, basta tener en cuenta que esto es cierto para vectores de A y usar la linealidad de f y del producto escalar. Haciendo u = v obtenemos que f es inyectiva. La suprayectividad es clara, por construcci´n. Tambi´n vemos o e que f (u) = u . Los isomorfismos entre espacios vectoriales eucl´ ıdeos que conservan el producto escalar en este sentido se llaman isometr´ lineales. ıas Consideramos ahora las variedades lineales L = O + W y L = O + W . Es claro que se trata de las menores variedades lineales que contienen a A y B respectivamente. Hemos probado que tienen la misma dimensi´n. M´s a´n, o a u ˜ ˜ −− → la afinidad f : L −→ L dada por f (P ) = O + f (OP ) es una isometr´ que ıa extiende a f . Esta isometr´ es unica, pues si g fuera otra, le aplicamos todo ıa ´ ˜ el razonamiento anterior, tomando ahora A = L, con lo que A = W . Con ello probamos que la aplicaci´n u → u es lineal y coincide con f en el conjunto A o ˜ ˜ original (el generador de L), luego coincide con f en L, luego g coincide con f . El teorema siguiente recoge lo que hemos obtenido hasta ahora: Teorema 4.19 Toda isometr´ entre dos subconjuntos de dos espacios eucl´ ıa ıdeos se extiende a una unica isometr´ entre las variedades lineales que generan. ´ ıa Adem´s la extensi´n es una biyecci´n af´ cuya aplicaci´n lineal asociada f es a o o ın o una isometr´ lineal entre los espacios directores de las variedades. ıa Ahora veamos que es posible extender la isometr´ a todo el espacio, aunque ıa perdemos la unicidad. Para ello conviene introducir el concepto siguiente: Definici´n 4.20 Dado un subespacio W de un espacio vectorial eucl´ o ıdeo V , se llama complemento ortogonal de W al espacio W ⊥ = {v ∈ V | v ⊥ w para todo w ∈ W }. Es claro que W ⊥ es un subespacio vectorial, as´ como que W ∩ W ⊥ = 0. ı Tomemos una base ortogonal v1 , . . ., vr de W y extend´mosla hasta una base a ortogonal v1 , . . ., vn de V . Entonces es claro que W ⊥ = vr+1 , . . ., vn , luego V = W ⊕ W ⊥. En general, si V1 , . . ., Vr son espacios vectoriales cuyos elementos son orto- gonales entre s´ es f´cil ver que su suma es directa, y el tal caso diremos que ı, a tienen suma ortogonal y la representaremos por V1 ⊥ · · · ⊥ Vr . Hemos probado que V = W ⊥ W ⊥ . El teorema siguiente es inmediato: Teorema 4.21 Un isomorfismo f : V −→ V entre dos espacios vectoriales ıdeos es una isometr´ lineal si y s´lo si existe una base {v1 , . . ., vn } de V eucl´ ıa o tal que f (vi vj ) = f (vi )f (vj ) para todo i, j. En particular si aplica una base ortonormal a una base ortonormal.
- 107. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 95 Con todo esto ya podemos concluir: Teorema 4.22 Sean E y F dos espacios eucl´ ıdeos de la misma dimensi´n. o Entonces 1. Las isometr´ de E en F son las biyecciones afines f tales que f es una ıas isometr´ lineal. ıa 2. Toda isometr´ entre un subconjunto A de E y un subconjunto B de F se ıa extiende a una isometr´ de E en F . ıa 3. Si A contiene un conjunto de n + 1 puntos af´ ınmente independientes, entonces la extensi´n es unica. o ´ Demostracion: Sean A = O + W y B = O + W , de modo que f se ´ extienda a una isometr´ af´ sobre O + W . En particular W y W tienen la ıa ın misma dimensi´n, luego sus complementos ortogonales tambi´n. Extendamos o e f a V (el espacio vectorial de E) asignando a una base ortonormal de W ⊥ una base ortonormal de W ⊥ . Por el teorema anterior la extensi´n (que seguiremos o llamando f ) es una isometr´ lineal, y la afinidad que induce en E es una ıa isometr´ y extiende a f . ıa A trav´s de las isometr´ podemos definir una noci´n general de congruencia e ıas o de conjuntos arbitrarios que coincide con la que ya conocemos en el caso de segmentos, ´ngulos y tri´ngulos y con la cual todo espacio eucl´ a a ıdeo cumplir´ el a grupo de axiomas C de la geometr´ eucl´ ıa ıdea. Definici´n 4.23 Diremos que dos conjuntos A y B en un espacio eucl´ o ıdeo E son congruentes si existe una isometr´ f : E −→ E tal que f [A] = B. Los ıa puntos de A y B correspondientes por (una isometr´ en particular) f se llaman ıa puntos hom´logos. o En el sentido de la geometr´ axiom´tica, dos segmentos son equivalentes si ıa a y s´lo si tienen la misma longitud pero, si esto es as´ una biyecci´n entre los o ı, o conjuntos de sus extremos es una isometr´ que se extiende a todo el espacio, y ıa, es f´cil ver que transforma uno de los segmentos en el otro, luego son semejantes a en el sentido de la definici´n anterior. El rec´ o ıproco es an´logo. a Similarmente, si un angulo AOB es congruente con otro de v´rtice O , ´ e podemos tomar puntos en sus lados de modo que ´ste sea A O B y adem´s e a OA ≡ O A , OB ≡ O B . Entonces se cumplir´ tambi´n que AB ≡ A B , luego a e la correspondencia entre los conjuntos {A, O, B} y {A , O , B } es una isometr´ıa, que se extiende a todo el espacio, y de nuevo es f´cil ver que hace corresponder a los ´ngulos, luego son semejantes en el sentido de la definici´n anterior. De igual a o modo se prueba el rec´ ıproco y la equivalencia correspondiente a tri´ngulos. a Ahora veamos que todo espacio eucl´ ıdeo cumple el grupo de axiomas C. La comprobaci´n de los axiomas sobre segmentos es muy sencilla, y el axioma C4 o sobre ´ngulos se comprueba de modo similar al axioma C5 sobre tri´ngulos. Por a a ello probaremos s´lo C4. o
- 108. 96 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica En primer lugar consideremos dos semiplanos cualesquiera, que ser´n con- a juntos de la forma π = {O + λv1 + µv2 | µ ≥ 0} y π = {O + λw1 + µw2 | µ ≥ 0}, donde podemos suponer que las bases (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) son ortonormales. Si llamamos f a la aplicaci´n lineal determinada por v(vi ) = wi , entonces f es o − −→ una isometr´ lineal, y es claro que la aplicaci´n dada por f (P ) = O + f (OP ) ıa o es una isometr´ entre los planos que contienen a π y a π , tal que f [π] = π ıa y que adem´s transforma la semirrecta O + {λv1 | λ ≥ 0}, en la semirrecta a O + {λw1 | λ ≥ 0}. De aqu´ se sigue que dados dos semiplanos y en sus fronteras sendas semirrec- ı tas, existe una isometr´ que transforma uno en el otro haciendo corresponder las ıa semirrectas. Por lo tanto, si tenemos un ´ngulo, un semiplano y en su frontera a una semirrecta (seg´n el axioma C4) existe una isometr´ entre el semiplano que u ıa contiene al angulo con un lado en su frontera y el semiplano dado, de modo que ´ el lado del angulo se corresponda con la semirrecta dada. La imagen del angulo ´ ´ por la isometr´ indicada ser´ un angulo congruente con el dado, contenido en ıa a ´ el semiplano dado y con un lado igual a la semirrecta dada, tal y como exige el axioma C4. Para probar la unicidad suponemos que tenemos dos angulos con un lado en ´ com´n y contenidos en el mismo semiplano respecto a ´ste. Ser´n de la forma u e a A(O; v1 , v2 ) y A(O; v1 , v2 ). Adem´s ambos est´n contenidos en el semiplano a a {O + λv1 + µw | µ ≥ 0}, lo que se traduce en que v2 = xv1 + y w con y 0 y v2 = x v1 + y w con y 0. Podemos suponer que v1 , v2 y v2 tienen todos norma 1. Una isometr´ f entre los ´ngulos ha de cumplir5 f (v1 ) = v1 y f (v2 ) = v2 o ıa a bien f (v1 ) = v2 y f (v2 ) = v1 . En cualquier caso tendremos v1 v2 = v1 v2 , luego x2 = x 2 . Por otro lado, x2 + y 2 = v2 2 = v2 2 = x 2 + y 2, y como y, y 0, de hecho y = y . Desarrollando igualmente la condici´n o v2 − v1 2 = v2 − v1 2 se concluye x = x , con lo que los angulos son iguales. ´ As´ pues, tenemos que todo espacio tridimensional eucl´ ı ıdeo en el sentido anal´ıtico cumple los axiomas de la geometr´ eucl´ ıa ıdea, y que todo espacio que cumpla dichos axiomas puede ser dotado de estructura de espacio tridimensional eucl´ ıdeo. La aplicaci´n que a cada punto de un espacio eucl´ o ıdeo de dimensi´n n o le hace corresponder sus coordenadas en Rn respecto a un sistema de referencia ortonormal es una isometr´ (porque la aplicaci´n lineal asociada env´ la base ıa o ıa 5 El punto m´s delicado es comprobar que si AOB = A O B entonces OA = O A y a OB = O B . Por ejemplo, puede probarse que si una recta corta a un ´ngulo en un segmento, a entonces los extremos del segmento est´n sobre los lados. De aqu´ se sigue f´cilmente la a ı a propiedad indicada.
- 109. 4.5. Los girosy la medida de angulos ´ 97 ortonormal en la base can´nica), y las isometr´ conservan todas las propie- o ıas dades geom´tricas, luego resulta que todos los espacios eucl´ e ıdeos de la misma dimensi´n tienen las mismas propiedades, luego cualquier resultado geom´trico o e que se obtenga en uno de ellos es aplicable a todos los dem´s. En este sentido a se dice que la geometr´ eucl´ ıa ıdea es completa o, mejor, categ´rica. o Por ultimo se˜alamos que, desde el momento en que hemos probado que los ´ n espacios afines eucl´ ıdeos verifican los axiomas geom´tricos de congruencia, todos e los hechos que hemos probado al comienzo de la secci´n a partir de tales axiomas o son v´lidas en general.6 En particular tenemos la relaci´n entre el coseno de un a o a ´ngulo y el producto escalar: vw = v w cos v w, de la cual se deduce a su vez la versi´n anal´ o ıtica del teorema del coseno: − −→ − −→ −→ − − −→ −→ − − −→ − − → PQ 2 = OP 2 + OQ 2 − 2 OP OQ cos A(O; OP OQ), v´lida para puntos cualesquiera O, P , Q (sin exigir que sean distintos o no a colineales) si convenimos que el ´ngulo es nulo si uno de los vectores que lo a definen es nulo. A su vez esta f´rmula contiene como caso particular el teorema o de Pit´goras. a 4.5 Los giros y la medida de ´ngulos a Dedicamos esta secci´n a definir el concepto de giro, el ultimo concepto o ´ eucl´ ıdeo que nos obligar´ a resolver algunos problemas t´cnicos, concretamente a e al respecto de la medida de ´ngulos. a Consideremos un sistema de referencia ortonormal (O; v1 , v2 ) en un plano af´ eucl´ ın ıdeo. Vamos a adoptar por primera vez el punto de vista habitual de la geometr´ anal´ ıa ıtica. Identificaremos a cada punto P con su vector de −−→ posici´n OP y ´ste a su vez con sus coordenadas (x, y). Notemos que, en estos o e − −→ t´rminos, P Q = Q − P . Es costumbre llamar semiplano derecho al semiplano e x ≥ 0, semiplano izquierdo al semiplano x ≤ 0, semiplano superior a y ≥ 0 y semiplano inferior a y ≤ 0 (pero hay que tener presente que la diferencia entre derecha e izquierda no es intr´ınseca, en el sentido de que depende del sistema de referencia y es imposible establecerla de forma absoluta sin hacer referencia a la anatom´ humana, o algo similar). ıa Consideramos tambi´n la circunferencia ω de centro (0, 0) y radio 1, cuyos e puntos se caracterizan por la relaci´n x2 + y 2 = 1. o Vamos a asignar a cada punto de ω un n´mero real al que llamaremos su u argumento. Fijamos una unidad de angulos. Si un punto P de ω est´ en el ´ a semiplano superior, su argumento ser´ la medida del arco menor de extremos a 6 Aunque los axiomas que hemos dado describen la geometr´ tridimensional, los hechos ıa citados son bidimensionales, y todos los planos eucl´ ıdeos bidimensionales son isom´tricos. e
- 110. 98 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica (1, 0) y P (entendiendo que el argumento de (1, 0) es 0). Si el punto P est´ en el a semiplano inferior, su argumento se define igualmente pero con signo negativo. π/2 Con esto tenemos bien definido el argumento 3π/4 π/4 sobre todos los puntos de ω excepto (−1, 0), dia- metralmente opuesto a (1, 0), cuyo argumento deber´ ser por una parte π y por otra parte ıa π 0 −π. Resolvemos esto asignando a cada punto, −π no un argumento, sino una clase de argumentos m´dulo 2π, es decir, si α es el argumento de P o seg´n lo acabamos de definir, ahora definimos u −3π/4 −π/4 arg P = {α + 2kπ | k ∈ Z}. De este modo, −π/2 arg(−1, 0) = {π + 2kπ | k ∈ Z}, que contiene tanto a π como a −π, y la definici´n resulta consistente. Tenemos as´ una o ı biyecci´n entre la circunferencia ω y el grupo cociente R/2πR. o Intuitivamente, el argumento de un punto indica el angulo que hay que girar ´ desde (1, 0) para llegar hasta ´l. As´ el hecho de que un mismo punto tenga e ı, argumentos π/2, −3π/2 y 5π/2 significa que se llega hasta ´l girando un recto e en un sentido, o tres rectos en sentido opuesto, o dando una vuelta entera de 4 rectos m´s otro recto. El resultado b´sico en torno a los argumentos es el a a siguiente: Teorema 4.24 Sean P y Q dos puntos en ω, sean arg P = [α], arg Q = [β] de modo que |β − α| ≤ π. Entonces el ´ngulo P OQ tiene amplitud |β − α|. a Demostracion: Notemos en general que cada clase m´dulo 2π tiene un ´ o unico representante en el intervalo [−π, π] (excepto π, que tiene dos pero con el ´ mismo valor absoluto). Esto implica que el valor de |β − α| menor o igual que π est´ un´ a ıvocamente determinado por P y Q y no importa con qu´ representantes e concretos lo calculamos. En principio tomamos α y β en [−π, π]. Sean I = (1, 0), I = (−1, 0). Si P y Q est´n ambos en el semiplano superior, a podemos suponer que 0 ≤ α ≤ β ≤ π. Descartando casos triviales tenemos que IOP est´ contenido en IOQ y sus amplitudes son α y β, luego es claro que la de a P OQ es β − α. El mismo argumento vale si P y Q est´n ambos en el semiplano a inferior. Supongamos que P est´ en el semiplano superior y Q est´ en el inferior. Si a a Q es diametralmente opuesto a P , entonces IOQ es adyacente a IOP , luego sus amplitudes α y −β suman π, como hab´ que probar. ıa Sea P el punto diametralmente opuesto a P . Podemos suponer que P es distinto de I, I . Entonces la recta P P deja a I y a I en semiplanos distintos. Supongamos que Q e I est´n en el mismo semiplano. Entonces es claro que a P OQ = P OI + IOQ y de nuevo la suma de las amplitudes es α − β π. Finalmente consideramos el caso en que Q e I est´n en el mismo semiplano. a Entonces P OQ = P OI + QOI . Las amplitudes de los sumandos son π − α y π + β, luego la amplitud de P OQ es 2π + β − α. Si tomamos 2π + β como argumento de Q, se cumple lo pedido.
- 111. 4.5. Los girosy la medida de angulos ´ 99 Consideremos un punto P (x, y) en ω, sea α su P argumento en ]−π, π], sea P = (x, 0). Si x, y son α no nulos, entonces el tri´ngulo OP P es rect´ngulo, a a pues P − P = (0, y) es ortogonal a P . Por otra P O parte, si I = (1, 0), la definici´n de argumento nos o da que IOP = ±α, donde el signo es el de la coor- denada y. Puesto que P = 1, la definici´n del seno y el o coseno de un ´ngulo implican entonces que (x, y) = cos(±α), ± sen(±α) . Esta a f´rmula sigue siendo cierta para los puntos (±1, 0) y (0, ±1) (cuyos argumentos o son 0, ±π/2, ±π) por la definici´n del seno y del coseno en estos casos particu- o lares. Recordemos que al comienzo de la secci´n anterior hemos convenido en o que el coseno de un angulo nulo es 1 y el coseno de un angulo llano es −1 (y en ´ ´ ambos casos definimos el seno como 0). Hasta aqu´ tenemos definidas las funciones seno y coseno en el intervalo [0, π]. ı Ahora extendemos las definiciones al intervalo [−π, π] mediante las relaciones sen(−α) = − sen α, cos(−α) = cos α. As´ la relaci´n entre α y las coordenadas de P se reduce a ı o (x, y) = cos α, sen α . Puesto que todos los n´meros α + 2kπ son argumentos de P , podemos hacer u que esta f´rmula valga para cualquiera de ellos si extendemos las funciones seno o y coseno a todo el conjunto R mediante sen(α + 2kπ) = sen α, cos(α + 2kπ) = cos α, para todo k ∈ Z. A continuaci´n extendemos el concepto de argumento a cualquier punto o P del plano distinto de O. Para ello consideramos la intersecci´n con ω de o la semirrecta de origen O que pasa por P , esto es, el punto P ∗ = P/ P . Definimos el argumento de P como arg P = arg P ∗ . Si este argumento es α, las coordenadas de P son (x, y) = P (cos α, sen α). Definici´n 4.25 Llamaremos coordenadas polares de un punto P = 0 (respecto o al sistema de referencia dado) a los n´meros ρ = P (el m´dulo de P ) y u o θ = arg P (el argumento de P , determinado m´dulo 2π). Representaremos por o P = ρθ al unico punto P del plano de m´dulo ρ y argumento θ. ´ o En estos t´rminos, la relaci´n entre las coordenadas cartesianas y las coor- e o denadas polares de un punto P es (x, y) = (ρ cos θ, ρ sen θ). Definici´n 4.26 Sea π un plano af´ y (O; v1 , v2 ) un sistema de referencia. o ın Sea α un n´mero real. Llamaremos giro de centro O y angulo α a la aplicaci´n u ´ o determinada por G(O) = O y Gα (ρθ ) = ρθ+α .
- 112. 100 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Los giros son isometr´ıas. En efecto, dados dos puntos P y Q, hemos de probar que Q − P = Gα (Q) − Gα (Q) . Si P = O el t´rmino izquierdo es e la coordenada ρ de Q, mientras que el t´rmino derecho es la coordenada ρ de e Gα (Q), y ´sta se conserva por definici´n. Si P = O = Q, entonces el teorema e o 4.24 prueba que P OQ = Gα (P )OGα (Q) (incluyendo los valores posibles 0 y π si los puntos est´n alineados). Como tambi´n tenemos que P = Gα (P ) y a e Q = Gα (Q) , por el teorema del coseno Q − P = Gα (Q) − Gα (P ) . Puesto que Gα (O) = O, la expresi´n en coordenadas de Gα es lineal (coincide o con la de Gα . Vamos a calcular su matriz en la base del sistema de referen- cia que estamos considerando. Se trata de la matriz que tiene por filas las im´genes de los puntos (1, 0) y (0, 1). El punto P (1, 0) = 10 se transforma a en 1α = (cos α, sen α), mientras que el punto P (0, 1) = 1π/2 se transforma en 1π/2+α = cos(π/2 + α), sen(π/2 + α) . Por otra parte este vector tiene norma 1 y es ortogonal a (cos α, sen α). S´lo hay dos vectores en estas condiciones (el o complemento ortogonal del subespacio generado por este ultimo vector tiene ´ dimensi´n 1). As´ pues, o ı Gα (0, 1) = cos(π/2 + α), sen(π/2 + α) = ±(− sen α, cos α) (pues estos dos vectores cumplen las condiciones y no puede haber m´s). Es a f´cil ver que el signo ha de ser positivo. Por ejemplo, si 0 α π/2 entonces a cos α 0 y por otra parte π/2 π/2 + α π, luego sen(π/2 + α) 0. Similarmente se discuten las dem´s posibilidades. As´ pues, la matriz del giro a ı de angulo α en un sistema de referencia dado es ´ cos α sen α Mα = . − sen α cos α Teniendo en cuenta que Gα (O) = O, la expresi´n en coordenadas de Gα resulta o ser cos α sen α Gα (x, y) = (x, y) . − sen α cos α Es f´cil ver que, salvo que α = 2kπ con k ∈ Z, el unico punto fijo de Gα es el a ´ origen O, luego un giro determina su centro. Ahora vamos a comparar los giros definidos en distintos sistemas de referencia ortonormales con un mismo origen O. Para ello hemos de notar que de la definici´n de giro se sigue inmediatamente o −1 que Gα ◦ Gβ = Gα+β , luego Mα Mβ = Mα+β . En particular Mα = M−α . Recordemos que hab´ ıamos fijado el sistema (O; v1 , v2 ) y sea ahora (O; w1 , w2 ) otro sistema de referencia ortonormal. Sea O + w1 = 1θ . Entonces w1 = Gθ (v1 ). Los vectores Gθ (v2 ) y w2 son ambos ortogonales a w1 y tienen m´dulo 1, luego o w2 = ±Gθ (v2 ). Teniendo esto en cuenta es f´cil ver que la matriz de cambio de a base de (v1 , v2 ) a (w1 , w2 ) es 1 0 Mθ , 0 ±1
- 113. 4.5. Los girosy la medida de angulos ´ 101 luego su inversa es 1 0 M−θ . 0 ±1 As´ pues, la matriz del giro de angulo α (definido respecto al primer sistema ı ´ de referencia) en el segundo sistema de referencia es 1 0 1 0 Mθ Mα M−θ = Mθ M±α M−θ = M±α . 0 ±1 0 ±1 Esto significa que el giro de angulo α respecto a un sistema de referencia ´ es el giro de ´ngulo ±α respecto a cualquier otro sistema de referencia con el a mismo origen, y adem´s el posible cambio de signo depende s´lo de los sistemas a o de referencia, es decir, o bien todos los giros coinciden, o bien todos cambian de signo. Vemos, pues, que un giro (distinto de la identidad) determina su centro y su angulo salvo signo. Dicho signo depende del sistema de referencia. ´ Como aplicaci´n vamos a obtener unas importantes relaciones trigonom´tri- o e cas. Basta desarrollar la igualdad Mα+β = Mα Mβ para concluir sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β, cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β. Enseguida veremos que con estas f´rmulas tenemos completamente determi- o nadas (salvo un factor constante) las funciones seno y coseno. Primero enun- ciamos un teorema que recoja las propiedades esenciales de ambas funciones. Todas est´n ya demostradas. a Teorema 4.27 Las funciones seno y coseno (respecto a una medida de angulos ´ prefijada en la que los angulos llanos tengan amplitud π) verifican las propieda- ´ des siguientes: 1. sen(α + 2kπ) = sen α, cos(α + 2kπ) = cos α, para todo k ∈ Z. 2. sen 0 = 0, cos 0 = 1, sen(π/2) = 1, cos(π/2) = 0. 3. sen2 α + cos2 α = 1, sen(−α) = − sen α, cos(−α) = cos α. 4. sen α ≥ 0 si α ∈ [0, π], cos α ≥ 0 si α ∈ [−π/2, π/2]. 5. Para cada par (x, y) ∈ R2 tal que x2 + y 2 = 1 existe un unico α ∈ ]−π, π] ´ tal que (x, y) = (cos α, sen α). 6. sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β, 7. cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β. Nuestra definici´n de las funciones seno y coseno se basa en la delicada o construcci´n de la medida de angulos, que no admite una formulaci´n algebraica o ´ o sencilla. Estas funciones pueden ser definidas mucho m´s f´cilmente mediante a a t´cnicas anal´ e ıticas. Vamos a probar que cualquier par de funciones que cumplan
- 114. 102 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica las propiedades del teorema anterior son de hecho el seno y el coseno que hemos definido (respecto a una unidad de angulos adecuada). As´ tendremos justificado ´ ı que nuestra definici´n geom´trica equivale a cualquiera de las varias definiciones o e anal´ıticas posibles. Supongamos, pues, que tenemos dadas dos funciones sen y cos que satisfagan las propiedades del teorema anterior. Entonces, dado x ∈ [0, 1], existe un unico ´ n´mero y ≥ 0 tal que x2 + y 2 = 1, y as´ (x, y) = (cos α, sen α) para un unico u ı ´ α ∈ [0, π]. El teorema de Cauchy-Schwarz nos permite definir la amplitud del ´ngulo entre dos vectores v1 y v2 como el unico n´mero α ∈ [0, π] que cumple a ´ u v1 v2 cos α = . v1 v2 − −→ −→ − La amplitud de un angulo ABC es la de los vectores BA y BC. Es f´cil ver que ´ a esta definici´n no depende de la elecci´n de A y C en los lados del angulo, as´ o o ´ ı como que se conserva por isometr´ es decir, que ´ngulos congruentes tienen la ıas, a misma amplitud. Vamos a comprobar que esta definici´n de amplitud satisface o las condiciones del teorema 2.27. Acabamos de probar la primera. w Para probar la segunda consideramos un angulo ´ v ˆ A = A(O; v1 , v2 ), donde podemos suponer que v1 y v2 v2 tienen norma 1, y una semirrecta O + {λv | λ ≥ 0} contenida en el angulo, lo cual equivale a que ´ O v1 v = λv1 + µv2 , λ, µ ≥ 0. (Tambi´n podemos suponer que v tiene norma 1.) e Sea w un vector ortogonal a v1 en el plano del angulo. Cambiando w por ´ −w si es preciso podemos suponer que v2 = xv1 + y w, con y 0. Sean α, β y γ las amplitudes de los angulos v1 v2 , v1 v y vv2 respectivamente. Hemos de ´ probar que α = β + γ. Tenemos cos α = v1 v2 = x, luego y = sen α (pues x2 + y 2 = 1 e y 0). As´ ı pues, v2 = cos α v1 + sen α w. De aqu´ que ı v = (λ + µ cos α)v1 + µ sen α w. A su vez esto implica que cos β = v1 v = λ + µ cos α, luego sen β = µ sen α. Usando las f´rmulas 6 y 7 del teorema 4.27 vemos que o cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β = λ cos α + µ = vv2 = cos γ, sen(α − β) = sen α cos β − sen β cos α = λ sen α ≥ 0. Puesto que |α − β| ≤ π, la ultima desigualdad implica que 0 ≤ α − β ≤ π, ´ luego de cos(α−β) = cos γ podemos concluir α−β = γ, como quer´ ıamos probar. ˆ ˆ Llamemos m(A) a la amplitud de un angulo A tal y como la hemos definido a ´ ˆ la amplitud de A en el sentido usual, partir de las funciones sen y cos. Sea m (A) ˆ digamos que tomando como unidad de angulos el angulo recto. Claramente los ´ ´
- 115. 4.5. Los girosy la medida de angulos ´ 103 a ´ngulos rectos tienen medida m igual a π/2. El teorema 2.27 nos da entonces que ˆ ˆ ˆ m(A) = (π/2)m (A), para todo angulo A, dicho de otro modo, que la amplitud ´ ˆ ´ de un angulo cualquiera en el sentido usual es (2/π)m(A) angulos rectos. ´ Si suponemos adem´s que π 1, entonces podemos tomar como unidad de a a ´ngulos 2/π veces un ´ngulo recto y, respecto a esta unidad, la amplitud de un a a ´ngulo cualquiera es precisamente m(A).ˆ Finalmente, dado α ∈ ]0, π[, fijamos un sistema de referencia ortonormal y consideramos los puntos P (cos α, sen α) y Q(1, 0). Entonces el tri´ngulo P OQ a ˆ tiene un angulo recto Q y la perpendicular a OQ por P corta a OQ en el punto ´ (cos α, 0). Como P = 1, concluimos que sen α y cos α son el seno y el coseno ˆ de O en el sentido geom´trico, es decir, hemos probado: e Teorema 4.28 Si unas funciones sen y cos satisfacen las propiedades del teo- rema 4.27 con π 1, entonces existe una unidad de ´ngulos respecto a la cual a sen α y cos α son el seno y el coseno de los angulos de amplitud α (para todo ´ α ∈ [0, π]). Es importante insistir en que nosotros hemos demostrado la existencia de las funciones seno y coseno. No obstante, si se supone conocida su existencia junto con las propiedades del teorema 4.27, la f´rmula v w = v w cos v w o (usada como definici´n de la amplitud de v w) permite introducir r´pidamente la o a medida de angulos en los espacios eucl´ ´ ıdeos, y de ella se siguen inmediatamente el teorema del coseno y el teorema de Pit´goras. Por completitud daremos la a prueba anal´ ıtica de otros dos resultados fundamentales: probaremos que los a ´ngulos de un tri´ngulo suman dos rectos y tambi´n el teorema de los senos. a e Dado un tri´ngulo ABC, tomando un sistema de referencia ortonormal con a −− → origen en A y un vector en la direcci´n de AB podemos suponer que A = (0, 0), o B = (c, 0), C = (x, y), con c, y ≥ 0. Se comprueba f´cilmente que a ˆ x ˆ y ˆ c−x ˆ y cos A = , sen A = , cos B = , sen B = . b b a a Las f´rmulas de la suma nos dan que o ˆ ˆ yc sen(A + B) = ≥ 0, ab − −→ →− ˆ ˆ cx − x2 − y 2 AC BC ˆ cos(A + B) = =− = − cos C. ab ab ˆ ˆ ˆ ˆ Estas relaciones implican que 0 ≤ A + B ≤ π y A + B = π − C. ˆ C ❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍ b✁ y ❍ a ❍❍ ✁ ❍ ✁ ❍❍ ✁ x ❍ ❍ A c B
- 116. 104 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Conservando la notaci´n, tenemos o ˆ ˆ C = (b cos A, b sen A), ˆ ˆ B − C = (a cos B, −a sen B), y como B = (c, 0), al sumar las segundas coordenadas queda ˆ ˆ 0 = b sen A − a sen B, que es una de las igualdades del teorema de los senos. La otra se prueba inter- cambiando los papeles los v´rtices (no entraremos en la relaci´n con el radio de e o la circunferencia circunscrita). 4.6 Complementos sobre trigonometr´ ıa Ahora que tenemos caracterizadas completamente las funciones seno y co- seno podemos probar unos pocos resultados adicionales sobre trigonometr´ que ıa nos ser´n utiles m´s adelante. En primer lugar destacamos las f´rmulas del seno a ´ a o y el coseno del ´ngulo doble, que son consecuencias inmediatas de las f´rmulas a o de la suma: sen 2α = 2 sen α cos α, cos 2α = cos2 α − sen2 α. De ellas se deducen sin esfuerzo las f´rmulas para el angulo mitad: o ´ α 1 − cos α α 1 + cos α sen = , cos = . 2 2 2 2 Introducimos ahora una tercera funci´n trigonom´trica de inter´s: o e e Definici´n 4.29 Llamaremos tangente de un angulo α a o ´ sen α tan α = . cos α La tangente est´ definida para todos los n´me- a u C ros reales α excepto aquellos cuyo coseno es nulo, es decir, α = ±π/2 + 2kπ, con k ∈ Z. Su inter- pretaci´n geom´trica es f´cil de obtener. Tomemos o e a A 0 α π/2. Si la circunferencia de la figura tiene radio 1, sabemos que las longitudes de los segmen- tos OA y OB son respectivamente sen α y cos α. Por lo tanto la tan α es el cociente de ambas lon- O B D gitudes, y por el teorema de Tales este cociente es independiente de la recta vertical AB que escoja- mos para calcularlo. En particular si tomamos la tangente CD vemos que tan α = CD. Para los dem´s valores posibles de α la tangente se interpreta del mismo a modo, y la unica diferencia es el signo. ´
- 117. 4.7. Circunferencias 105 En general, vemos que la tangente de uno de los angulos agudos de un ´ tri´ngulo rect´ngulo es la raz´n entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. a a o De aqu´ se sigue que existen ´ngulos agudos cuya tangente es igual a cualquier ı a n´mero real positivo prefijado. Las f´rmulas siguientes se prueban sin dificultad u o a partir de las correspondientes para senos y cosenos: tan(α + 2π) = tan α, tan(−α) = − tan α, tan α + tan β 2 tan α tan(α + β) = , tan 2α = . 1 − tan α tan β 1 − tan2 α Dejamos al lector la comprobaci´n de la tabla siguiente. Es f´cil obtener o a pruebas tanto geom´tricas como algebraicas. e α sen cos tan 0 0 √1 0 √ π/6 √1/2 √3/2 1/ 3 π/4 √2/2 2/2 √1 π/3 3/2 1/2 3 π/2 1 0 − 4.7 Circunferencias Veamos la expresi´n anal´ o ıtica de las circunferencias. Dado un plano af´ın eucl´ ıdeo y fijado en ´l un sistema de referencia ortonormal, la circunferencia de e centro un punto (a, b) y radio r 0 est´ formada por los puntos (x, y) cuya a distancia a (a, b) es igual a r, es decir, (x − a, y − b) = r, o equivalentemente: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 . Desarrollando la ecuaci´n, vemos que las circunferencias est´n formadas por los o a puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuaci´n de la forma o x2 + y 2 + Ax + By + C = 0, (4.1) donde A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2 . Demostramos ahora un resultado cl´sico sobre circunferencias cuya prueba a sint´tica es inmediata. A continuaci´n lo relacionaremos con la geometr´ e o ıa anal´ıtica. Teorema 4.30 (Teorema de la potencia) Sea P un punto que no est´ en e una circunferencia ω. Sean L1 y L2 dos rectas secantes a ω que pasen por P . Sean A1 y B1 los puntos en que L1 corta a ω y sean A2 y B2 los puntos en que L2 corta a ω. Entonces P A1 · P B 1 = P A2 · P B 2 .
- 118. 106 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Demostracion: Basta observar que los ´ B1 tri´ngulos P A2 B1 y P A1 B2 tienen dos an- a ´ ˆ ˆ gulos iguales (B1 y B2 abarcan arcos igua- A1 P les), luego son semejantes. Si el punto P es interior a la circunferencia el razonamiento A2 es similar. B2 Definici´n 4.31 La potencia de un punto o P respecto a una circunferencia ω se define como 0 si P est´ en ω y en caso contrario a como la cantidad constante considerada en el teorema anterior, con signo posi- tivo si P es exterior a ω y con signo negativo si P es interior. Si ω tiene centro O y radio r y la distancia de P a r es d, podemos calcular la potencia de P mediante la recta OP (tomamos una recta cualquiera si P = O). Es f´cil ver que si P es exterior la potencia es (d − r)(d + r) = d2 − r2 , y si P es a interior obtenemos −(d + r)(r − d) = d2 − r2 . Esta expresi´n vale trivialmente si o P est´ en ω, luego en general tenemos que la potencia de P respecto a ω viene a dada por la f´rmula d2 − r2 . o Teniendo en cuenta c´mo hemos obtenido la ecuaci´n (4.1) es claro que la o o potencia de un punto (x, y) respecto a la circunferencia que ´sta determina es e precisamente el valor del miembro izquierdo de la ecuaci´n. o Ejercicio: Probar que si P es un punto exterior a una circunferencia ω, entonces la potencia de P es el cuadrado de la distancia de P a los puntos donde las tangentes a ω por P tocan a ω. Ejercicio: Probar que el conjunto de los puntos con la misma potencia respecto a dos circunferencias no conc´ntricas es una recta perpendicular a la recta que pasa por e sus centros (esta recta recibe el nombre de eje radical de las circunferencias). 4.8 C´nicas o Como ilustraci´n de las t´cnicas anal´ o e ıticas que hemos introducido en este cap´ ıtulo vamos a exponer la teor´ b´sica sobre las secciones c´nicas, que in- ıa a o cluyen tres clases de curvas: elipses, hip´rbolas y par´bolas. Empezaremos e a estudi´ndolas individualmente y despu´s veremos las relaciones entre ellas. En a e toda esta secci´n E ser´ un plano af´ eucl´ o a ın ıdeo. La elipse Es posible definir una elipse de muchas formas alternativas, pero quiz´ la m´s intuitiva sea la siguiente: a a Definici´n 4.32 Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la o suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
- 119. 4.8. C´nicas o 107 La figura siguiente muestra una elipse de focos F1 y F2 . Podemos pensar que unimos F1 y F2 con una cuerda de longitud l, la tensamos estirando de un punto y movemos dicho punto de modo que la cuerda nunca deje de estar tensada. La trayectoria del punto ser´ la elipse correspondiente a los focos dados y a la suma a de distancias l. a b F1 c F2 El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la elipse, los segmentos que unen dos puntos de la elipse y que pasan por su centro se llaman di´metros. El di´metro que contiene a los focos se llama eje mayor y el a a di´metro perpendicular se llama eje menor. Los extremos del di´metro mayor a a se llaman v´rtices mayores y los extremos del eje menor v´rtices menores. La e e distancia c del centro a cada foco se llama distancia focal. Es claro que los v´rtices menores est´n a la misma distancia de los dos focos, e a luego si llamamos a a dicha distancia, entonces el valor constante de la suma de las distancias a los focos desde cualquier punto de la elipse es l = 2a. Notemos que para que pueda existir una elipse con distancia focal c y suma de longitudes 2a es necesario (y suficiente) que c a. La distancia de los v´rtices mayores/menores al centro de la elipse se llama e semieje mayor/menor de la elipse. Al semieje menor lo representaremos por b, mientras que el semieje mayor no es sino la distancia a que acabamos de definir. En efecto, si llamamos a al semieje mayor, la distancia de un v´rtice mayor e a su foco m´s pr´ximo es a − c, mientras que la distancia al foco m´s alejado es a o a c + a , luego la suma de ambas distancias es a − c + c + a = 2a y, como dicha suma ha de ser 2a, resulta que a = a. La figura muestra entonces la relaci´n a2 = b2 + c2 . En particular vemos que o el semieje mayor es siempre mayor que el semieje menor, por lo que los nombres son adecuados. Conviene observar que la definici´n de elipse sigue siendo v´lida si reducimos o a los dos focos a un mismo punto C. Lo que obtenemos entonces es el conjunto de puntos P tales que el doble de la distancia de P a C es una constante 2a, pero esto no es sino la circunferencia de centro C y radio a. En suma, podemos ver a las circunferencias como elipses con distancia focal nula. En general, una elipse tiene el aspecto de una circunferencia achatada, y el “grado de achatamiento” puede medirse a trav´s de su excentricidad e = c/a. e
- 120. 108 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Para una elipse propiamente dicha tenemos que 0 e 1, y las circunferencias pueden verse como elipses de excentricidad e = 0. √ Observemos que b/a = 1 − e2 , por lo que la excentricidad determina (y est´ determinada por) la proporci´n entre los semiejes de la elipse. As´ se ve a o ı m´s claramente que es una medida del “achatamiento” de la elipse. a Fijemos ahora un sistema de referencia ortonormal cuyo origen sea el cen- tro de la elipse y su eje X contenga al eje mayor. Entonces los focos tienen coordenadas (±c, 0) y un punto P = (x, y) est´ en la elipse si cumple que a (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a. Despejando la primera ra´ cuadrada, elevando al cuadrado y simplificando ız llegamos a que (x − c)2 + y 2 = a − xc/a. Elevando de nuevo al cuadrado queda x2 + c2 + y 2 = a2 + c2 x2 /a2 o, equivalentemente, b2 2 x + y 2 = b2 . a2 Por ultimo, dividiendo entre b2 llegamos a la ecuaci´n ´ o x2 y2 + 2 = 1. (4.2) a2 b Rec´ıprocamente, vamos a ver que toda ecuaci´n de esta forma con a b o corresponde a una elipse de semiejes a y b y focos en los puntos (±c, 0), donde √ c = a2 − b2 . Para ello calculamos la distancia d1 de un punto P = (x, y) que cumpla la ecuaci´n al punto (−c, 0): o b2 2 c2 d2 = (x + c)2 + y 2 = x2 + 2cx + c2 + b2 − 1 x = 2 x2 + 2cx + a2 = (a + ex)2 , a2 a donde hemos llamado e = c/a. De (4.2) se sigue que |x| ≤ a y 0 e 1, luego a + ex 0, luego d1 = a + ex. Similarmente se prueba que la distancia de P al v´rtice (c, 0) es d2 = a − ex, luego, ciertamente, la suma de ambas distancias es e constante: d1 + d2 = 2a. Esto prueba que la ecuaci´n (4.2) corresponde a una o elipse con los par´metros indicados. a Del argumento anterior se extrae una consecuencia relevante: llamemos d = a/e = a2 /c a y consideremos las directrices de la elipse, que son las rectas perpendiculares a su eje mayor y que distan de su centro una distancia d. El cociente de la distancia de un punto P al foco (c, 0) y a la directriz que pasa por (d, 0) es a − ex a − ex =e = e, d−x a − ex e igualmente sucede si consideramos el otro foco y la otra directriz. En resumen:
- 121. 4.8. C´nicas o 109 Teorema 4.33 El cociente entre la distancia de un punto de una elipse (que no sea una circunferencia) a uno de sus focos sobre la distancia a su directriz correspondiente es igual a la excentricidad de la elipse. La figura siguiente muestra las directrices de la elipse anterior junto con las distancias de un punto arbitrario P a un foco y a su directriz. Vemos as´ queı una elipse est´ completamente determinada por uno de sus focos, su directriz a correspondiente y su excentricidad. P d F La hip´rbola e Un m´ ınimo cambio en la definici´n de elipse nos da la definici´n o o de hip´rbola: e Definici´n 4.34 Una hip´rbola es el conjunto de puntos del plano tales que la o e diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Aqu´ hemos de entender que la diferencia se toma en valor absoluto o, equi- ı valentemente, que la ecuaci´n de una hip´rbola respecto de un sistema de refe- o e rencia en el que los focos tengan coordenadas (±c, 0) es de la forma (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = ±2a, con a 0. Observemos que si llamamos u y v a las dos distancias y, por ejemplo u ≥ v, entonces u − v = 2a y, por otro lado, la diferencia entre las longitudes de dos lados de un tri´ngulo ha de ser menor que el tercer lado, luego 2a ≤ 2c. a P u v F c c F Si se da la igualdad a = c entonces la “hip´rbola” ha de estar contenida en e la recta y = 0 (y es f´cil ver que, de hecho, es toda la recta), as´ que vamos a ı considerar que la definici´n de hip´rbola excluye este caso trivial. Suponemos, o e pues, que a c.
- 122. 110 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Las mismas manipulaciones que hemos hecho con la ecuaci´n de la elipse o nos llevan ahora a a2 − c2 2 x + y 2 = a2 − c2 . a2 Como a c, podemos llamar b2 = c2 − a2 , con lo que la ecuaci´n se reduce o a la forma x2 y2 − 2 = 1. (4.3) a2 b Como en el caso de la elipse, podemos definir el centro de una hip´rbola como e el punto medio de sus focos, sus di´metros como los segmentos que unen dos a puntos de la hip´rbola y pasan por su centro, su eje mayor como el di´metro e a que pasa por sus focos y sus v´rtices como los extremos del eje mayor. Res- e pecto al sistema de referencia correspondiente a la ecuaci´n (4.3) el centro es o el punto (0, 0) y los v´rtices son los puntos (±a, 0). La hip´rbola s´lo tiene e e o dos v´rtices, porque no corta al eje x = 0. El n´mero b no tiene una interpre- e u taci´n geom´trica, pero determina la distancia focal c a trav´s de la relaci´n o e e o c2 = a2 + b2 . Definimos la excentricidad como e = c/a 1. Definimos las directrices de una hip´rbola igual que para una elipse, es decir, e como las rectas perpendiculares a su eje que distan ±d de su centro, donde d = a/e. Dejamos a cargo del lector la demostraci´n de que el teorema 4.33 o vale igualmente para elipses. La figura siguiente muestra una hip´rbola con sus e focos y sus directrices. La distancia de P a F dividida entre la distancia de P a D es igual a la excentricidad e. P D D F F C´nicas eucl´ o ıdeas El hecho de que tanto las elipses como las hip´rbolas e satisfagan el teorema 4.33 nos lleva a la siguiente definici´n de c´nica en el o o plano eucl´ ıdeo: Definici´n 4.35 Sea D una recta en el plano eucl´ o ıdeo, sea F un punto no contenido en D y sea e 0 un n´mero real. Llamaremos c´nica de foco F , u o directriz D y excentricidad e al conjunto de los puntos P tales que la distancia de P a F sobre la distancia de P a D sea igual a e. Una c´nica ser´ una o a curva que cumpla esta definici´n o bien una circunferencia, de modo que, por o definici´n, las circunferencias son las c´nicas de excentricidad 0. o o Vamos a probar que las c´nicas en este sentido son elipses si su excentricidad o es 0 e 1 y son hip´rbolas si e 1. Para ello tomamos D, F y e en las e
- 123. 4.8. C´nicas o 111 condiciones de esta definici´n con e = 1. Llamamos k 0 a la distancia de F a o D, y definimos a 0 mediante la relaci´n o 1 a − e = k. e De este modo, si llamamos c = ae y d = a/e, se cumple que |c − d| = a, luego podemos tomar un sistema de referencia en el que el punto F tenga coordenadas (c, 0) y la recta D tenga ecuaci´n x = d. Si 0 e 1 el punto F estar´ a la o a izquierda de D, pero si e 1 ser´ al rev´s. a e Los puntos P = (x, y) de la c´nica definida por D, F y e son los que cumplen o (x − c)2 + y 2 = e. (4.4) |d − x| Esta ecuaci´n equivale a la que resulta de elevarla al cuadrado, que es: o x2 − 2cx + c2 + y 2 = e2 d2 + e2 x2 − 2e2 dx, la cual es equivalente a (1 − e2 )x2 + y 2 = a2 (1 − e2 ). Si llamamos = ±1 al signo de 1 − e2 y b = a |1 − e2 | = |a2 − c2 |, tenemos que x2 b2 + y 2 = b2 , a2 lo que equivale a que x2 y2 + 2 = 1. a2 b As´ si 0 e 1 tenemos que = 1 y hemos llegado a la ecuaci´n de una ı, o elipse, mientras que para e 1 se cumple que = −1 y la ecuaci´n corresponde o a una hip´rbola. En ambos casos es claro que e, F y D son respectivamente e la excentricidad, un foco y una directriz en el sentido definido espec´ ıficamente para elipses e hip´rbolas, luego la definici´n 4.35 es coherente con las definiciones e o previas. La par´bola Las c´nicas de excentricidad e = 1 no son ni elipses ni hip´rbolas, a o e sino que reciben el nombre de par´bolas. La ecuaci´n m´s simple de una a o a par´bola se tiene cuando se toma un sistema de referencia en el que el foco a tenga coordenadas (p, 0) y la directriz tenga ecuaci´n x = −p. Entonces un o punto P = (x, y) est´ en la par´bola si cumple a a (x − p)2 + y 2 = |x + p|, lo cual equivale a y 2 = 4px.
- 124. 112 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica P D F Podemos definir el eje de la par´bola como la recta perpendicular a D que a contiene a F , y su v´rtice es el punto donde la par´bola corta al eje. En el e a sistema de referencia en el que la par´bola tiene la ecuaci´n can´nica y 2 = 4px a o o tenemos que el eje es y = 0 y el v´rtice es (0, 0), por lo que p es la distancia del e foco al v´rtice (o de la directriz al v´rtice) y se llama par´metro de la par´bola. e e a a El teorema siguiente resume la clasificaci´n de las c´nicas eucl´ o o ıdeas que hemos obtenido: Teorema 4.36 Fijado un sistema de referencia ortonormal en un plano eucl´deo ı real, toda c´nica es isom´trica a una sola de las c´nicas siguientes: o e o x2 y2 x2 y2 + 2 =1 (con a ≥ b 0), − 2 =1 (con a, b 0), y 2 = 4px, a2 b a2 b (con p 0). La unicidad se debe a que las isometr´ han de conservar los par´metros ıas a intr´ ınsecos de las c´nicas, como los semiejes, la distancia focal, etc. o Secciones c´nicas Finalmente vamos a probar que las c´nicas pueden ca- o o racterizarse por su definici´n cl´sica, es decir, por que son las curvas que se o a obtienen al cortar un cono con un plano que no pase por su v´rtice. e Dados un punto O y una recta r que pase por O, un cono (gr. ‘pi˜a’) de n v´rtice O y eje r es el conjunto de los puntos del espacio que pertenecen a al- e guna de las rectas que pasan por O y forman un z y = mz ´ngulo fijo α con r. Dichas rectas se llaman ge- a d neratrices del cono. En realidad esta definici´n o x + y 2 = m2 z 2 2 corresponde a lo que m´s propiamente se llama a un cono doble, formado por dos conos simples opuestos por el v´rtice. Las generatrices de los e y conos simples son las semirrectas de origen en O O y contenidas en un mismo semiespacio res- x pecto del plano perpendicular a r que pasa por O, pero aqu´ vamos a considerar conos dobles. ı Dado un cono en un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E, podemos tomar un sistema de referencia or- tonormal cuyo origen se encuentre en el v´rtice del cono y cuyo eje Z sea el eje e
- 125. 4.8. C´nicas o 113 del cono. Si llamamos d a la distancia al eje Z de un punto del cono situado a altura z, tenemos que m = tan α = d/z, luego los puntos del cono cumplen la ecuaci´n o z x2 + y 2 = m2 z 2 Π u Consideremos ahora un plano Π que corte al eje γ O v Z en un punto O = (0, 0, l), con l 0. Suponga- mos primeramente que Π no es vertical. Entonces su intersecci´n con el plano XY es una recta y, como o y podemos elegir los ejes X e Y sin alterar la ecuaci´no del cono, no perdemos generalidad si suponemos que x dicha intersecci´n es el eje Y . Esto significa que el plano es de la forma o Π = O + (1, 0, k), (0, 1, 0) , para cierto k ≥ 0. Concretamente, notemos que k = tan γ, donde γ es el ´ngulo a que forma Π con el plano XY . Por lo tanto, un punto est´ en Π si y s´lo si a o cumple la ecuaci´n o z = l + kx Podemos considerar a Π como plano af´ eucl´ ın ıdeo con el producto escalar en Π inducido desde E por restricci´n. Un sistema de referencia ortonormal de Π o es entonces (O ; u, v), donde 1 k u= √ , 0, √ , v = (0, 1, 0). k2 +1 k2 +1 Claramente (x, y, l + kx) = O + k 2 + 1 xu + yv, lo que se interpreta como que las coordenadas en Π del punto que en E tiene coordenadas (x, y, z) son (x , y ) = ( k 2 + 1 x, y). Los puntos de la intersecci´n de Π con el cono son los que est´n en Π y o a adem´s cumplen la ecuaci´n a o x2 + y 2 = m2 (kx + l)2 ⇔ (1 − m2 k 2 )x2 + y 2 = 2m2 klx + m2 l2 . En t´rminos de las coordenadas en Π esto equivale a e 1 − m2 k 2 2 2m2 kl 2+1 x +y2 = √ x + m2 l 2 . (4.5) k k2 + 1 Vamos a probar que esta ecuaci´n corresponde a una c´nica en Π. Supon- o o gamos en primer lugar que mk = 1, con lo que el coeficiente de x 2 no es nulo. Realizamos entonces la traslaci´n o √ k 2 + 1km2 l x =x+ , y = y, 1 − m2 k 2
- 126. 114 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica con lo que la ecuaci´n se transforma en o 1 − m2 k 2 2 m2 l 2 x + y2 = k 2+1 1 − m2 k 2 Si mk 1 todos los coeficientes son positivos, por lo que tenemos una elipse. Concretamente, dividiendo entre el t´rmino independiente, vemos que e sus semiejes son √ m k2 + 1 m a= l, b= √ l, 1 − m2 k 2 1 − m2 k 2 luego √ 1 + m2 mk c= a2 − b2 = l. 1 − m2 k 2 La excentricidad resulta ser √ 1 + m2 k e= √ . (4.6) k2 + 1 Si mk 1 tenemos una hip´rbola, y c´lculos an´logos llevan a expresiones e a a similares para a, b, c (el unico cambio es que aparece m2 k 2 − 1 donde antes ´ ıamos 1 − m2 k 2 ) que dan lugar a la misma expresi´n para e. Por ultimo, si ten´ o ´ mk = 1 la ecuaci´n (4.5) se reduce a o 2m2 l x2− √ y = m2 l 2 , m2 + 1 y una traslaci´n en y la reduce a o 2m2 l x2 = √ y, m2 + 1 que corresponde a una par´bola. Notemos que la f´rmula (4.6) da e = 1 cuando a o k = 1/m, luego es v´lida en todos los casos. a √ √ Notemos a continuaci´n que m2 + 1 = tan2 α + 1 = cos−1 α e, igual- √ o mente7 k 2 + 1 = cos−1 γ, por lo que (4.6) equivale a cos γ tan γ sen γ e= = . cos α cos α Si llamamos β al angulo que Π forma con el eje Z se cumple que sen γ = cos β, ´ y as´ obtenemos una expresi´n m´s simple para la excentricidad: ı o a cos β e= . (4.7) cos α As´ la c´nica es una elipse (gr. ‘defecto’), una par´bola (gr. ‘comparaci´n’) ı, o a o o una hip´rbola (gr. ‘exceso’) seg´n si β α, β = α o β α. e u Ejercicio: Comprobar que si el plano Π es vertical (y no pasa por O) corta al cono en una hip´rbola de excentricidad dada igualmente por (4.7) con β = 0. e 7 Esta relaci´n surge de dividir entre cos2 α la identidad sen2 α + cos2 α = 1. o
- 127. Cap´ ıtulo V N´ meros complejos u Es bien conocido que las ra´ de una ecuaci´n polin´mica de segundo grado ıces o o con coeficientes reales ax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la f´rmula o √ −b ± b2 − 4ac x= , 2a supuesto que el discriminante b2 − 4ac tenga ra´ cuadrada, esto es, no sea ne- ız gativo. Sin embargo, los matem´ticos renacentistas italianos observaron que a aun en el caso de que el discriminante fuera negativo se pod´ trabajar con- ıa sistentemente con unas hipot´ticas ra´ e √ ıces “imaginarias” sin m´s que admitir la a existencia de una cantidad i = −1. M´s concretamente, los algoritmos de a resoluci´n de ecuaciones c´bicas pasaban en determinados casos por solucio- o u nes imaginarias de ecuaciones cuadr´ticas asociadas que despu´s daban lugar a a e soluciones reales de la c´bica de partida. La teor´ de extensiones algebraicas u ıa proporciona un fundamento riguroso de esta introducci´n directa de los n´meros o u imaginarios a partir de la ecuaci´n i2 = −1: o 5.1 Definici´n y propiedades b´sicas o a El polinomio x2 + 1 no tiene ra´ıces reales, y al tener grado 2 es irreducible en el anillo R[x]. Por lo tanto existe una extensi´n algebraica de R en la cual o tiene una ra´ız: Definici´n 5.1 Llamaremos cuerpo de los n´meros complejos C = R[i] a la o u adjunci´n a R de una ra´ i del polinomio x2 + 1. o ız La teor´ de cuerpos nos asegura que C est´ un´ ıa a ıvocamente determinado salvo isomorfismos que fijan a R. El cuerpo C es un espacio vectorial de dimensi´n o 2 sobre R y tiene por base a {1, i}. Por lo tanto todo n´mero complejo z se u expresa de forma unica como z = a + bi, donde a, b ∈ R. As´ pues, podemos ´ ı identificar el n´mero complejo a + bi con el par (a, b) ∈ R2 . u 115
- 128. 116 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u El nombre de “n´meros complejos” hace referencia precisamente a que cada u n´mero complejo z = a + bi est´ compuesto o determinado por dos n´meros u a u reales a y b, llamados respectivamente parte real y parte imaginaria de z. Las representaremos por Re z e Im z. El adjetivo “imaginario” es herencia de las vacilaciones originales sobre la naturaleza de los n´meros complejos. En general, los n´meros a + bi con b = 0 u u se llaman imaginarios (y de aqu´ viene, por oposici´n, el calificativo de n´meros ı o u reales para los n´meros no imaginarios) los n´meros de la forma bi con b = 0 se u u llaman imaginarios puros. Al n´mero i se le llama unidad imaginaria. u Teniendo en cuenta que i2 = −1 las operaciones en C son (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Vemos, pues, que la suma de n´meros complejos es la suma usual en R2 , u y el producto de un n´mero real por un n´mero complejo es tambi´n el pro- u u e ducto usual. Queda pendiente interpretar geom´tricamente el producto de dos e n´meros complejos cualesquiera. u Puesto que x2 + 1 = (x + i)(x − i), la extensi´n C/R es finita de Galois, luego o tiene exactamente dos R-automorfismos. Uno es la identidad, y el otro env´ i ıa a −i. Lo llamaremos conjugaci´n. Representaremos por z al conjugado de z. o ¯ Seg´n lo dicho, u a + bi = a − bi. La norma eucl´ıdea de R2 se corresponde con lo que en la teor´ de n´meros ıa u complejos se llama el m´dulo de un n´mero complejo z = a + bi, definido como o u √ |z| = a2 + b2 = z z .¯ Observemos que |z|2 es la norma de z en el sentido de la teor´ de Galois, ıa luego el m´dulo es multiplicativo, es decir, |z1 z2 | = |z1 | |z2 |. o La relaci´n |z|2 = z z nos da una expresi´n sencilla para el inverso de un o ¯ o n´mero complejo no nulo, a saber, u z ¯ z −1 = . |z|2 Tambi´n conviene notar que |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|. En efecto, si z = a+bi, e 2 tenemos que |Re z| = a2 ≤ a2 + b2 = |z|2 , luego |Re z| ≤ |z|, e igualmente con la parte imaginaria. Las partes real e imaginaria de un n´mero z son las coordenadas cartesianas u de z respecto al sistema de referencia can´nico determinado por el 0 y la base o {1, i}. Tambi´n podemos expresar todo n´mero complejo no nulo en t´rminos e u e de sus coordenadas polares, es decir, z = |z|(cos θ + i sen θ), con el argumento θ determinado m´dulo 2π. o
- 129. 5.2. La clausuraalgebraica de C 117 Retomemos ahora el problema de interpretar el producto de n´meros com- u plejos. Consideremos en primer lugar un n´mero complejo de m´dulo 1, digamos u o 1θ = cos θ + i sen θ. Consideremos otro n´mero complejo x + iy. Entonces u 1θ (x + iy) = (x cos θ − y sen θ) + (x sen θ + y cos θ)i. Si lo interpretamos en R2 tenemos cos θ sen θ 1θ (x, y) = (x, y) = Gθ (x, y), − sen θ cos θ donde Gθ es el giro de ´ngulo θ respecto al sistema de referencia can´nico. As´ a o ı pues, si expresamos x + yi en coordenadas polares, ρθ , acabamos de probar que 1θ ρθ = ρθ+θ . Teniendo en cuenta que el m´dulo del producto es el producto de los m´dulos, o o ahora es claro que ρθ ρθ = ρ · 1θ ρθ = ρρθ+θ = (ρρ )θ+θ . As´ pues, el producto de dos n´meros complejos no nulos es el n´mero com- ı u u plejo cuyo m´dulo es el producto de los m´dulos y cuyo argumento es la suma o o de los argumentos. Ahora es evidente que todo n´mero complejo tiene una ra´ cuadrada. Con- u ız √ cretamente, la ra´ cuadrada de ρθ es ρθ/2 . Vamos a dar una prueba de este ız hecho que no dependa de consideraciones geom´tricas sobre argumentos. e Partamos de un n´mero complejo z que podemos suponer imaginario. Sea u z/|z| = a+bi. La bisectriz del ´ngulo formado por 1 y a+bi pasar´ por el punto a a ´ medio del segmento de extremos 1 y a + bi. Este es (a + 1)/2 + bi/2. Tenemos as´ un n´mero cuyo argumento es la mitad del argumento de z. Ahora hemos ı u de ajustar su m´dulo, que es o a+1 2 Dividi´ndolo entre este n´mero obtenemos un n´mero de m´dulo 1 y multipli- e u u o cando por |z| obtenemos, seg´n lo dicho anteriormente, una ra´ cuadrada de u ız ´ z. Esta es 2|z| a + 1 b w= + i . (5.1) a+1 2 2 Elevando al cuadrado y usando que a2 + b2 = 1 obtenemos |z|(a + bi) = z, luego se trata ciertamente de una ra´ cuadrada de z. ız 5.2 La clausura algebraica de C El hecho de que todo n´mero complejo tenga ra´ cuadradas se traduce en u ıces o ıces en C. Los algebristas sab´ que toda ecuaci´n de segundo grado tiene ra´ ıan bien que lo mismo sucede con las ecuaciones de grado tres y cuatro, as´ como ı
- 130. 118 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u con muchos casos particulares de ecuaciones de grados superiores. Esto sustent´ o durante siglos la conjetura de que de hecho toda ecuaci´n polin´mica pod´ o o ıa resolverse en C, sin embargo, la primera prueba tuvo que esperar hasta principios del siglo XIX. Fue en este per´ıodo cuando Argrand descubri´ la representaci´n o o geom´trica de los n´meros complejos, aunque fue Gauss el primero en usarla y e u difundirla. Gauss descubri´ as´ mismo la interpretaci´n geom´trica del producto o ı o e de n´meros complejos y en su tesis doctoral prob´ el que hoy se conoce como u o teorema fundamental del algebra. La prueba que veremos aqu´ se basa en la ´ ı teor´ de Galois y s´lo requiere dos hechos concretos sobre n´meros reales y ıa o u complejos, ambos ya probados: A Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una ra´ real. ız B Todo n´mero complejo tiene una ra´ cuadrada. u ız El ultimo ingrediente que necesitamos es un resultado fundamental de la ´ teor´ de grupos finitos: ıa Teorema de Sylow Sea G un grupo finito, p un n´mero primo y n un n´mero u u natural tal que pn |G|. Entonces G tiene un subgrupo de orden pn . Para comodidad del lector incluimos al final del cap´ıtulo un ap´ndice con e la demostraci´n del teorema de Sylow. Para probar el teorema fundamental o del algebra conviene reformular A y B en t´rminos de la teor´ de cuerpos. ´ e ıa En primer lugar, A equivale a que todo polinomio irreducible en R[x] de grado mayor que 1 es de grado par. Como toda extensi´n finita de R es simple, su o ınimo en R[x] de su elemento primitivo, luego grado es el grado del polinomio m´ A Todas las extensiones propias de R tienen grado par. Por otro lado B equivale a que toda ecuaci´n de segundo grado sobre C tiene o ra´ en C, es decir, que no hay polinomios irreducibles de grado 2 en C[x], as´ ıces ı pues: B No existen extensiones de C de grado 2. Teorema 5.2 (Teorema fundamental del ´lgebra) C es algebraicamente a cerrado. Demostracion: Hay que probar que C no tiene extensiones algebraicas ´ propias. Supongamos que K es una tal extensi´n. Adjuntando a C un elemento o cualquiera de K que no est´ en C obtenemos una extensi´n propia y finita de C. e o Podemos suponer, pues, que K/C es una extensi´n finita. Tambi´n ser´ finita o e a la extensi´n K/R. Existe una extensi´n finita normal de R que contiene a K. o o Por lo tanto podemos suponer que K/R es una extensi´n finita de Galois (de o grado mayor que 1). Por A sabemos que |K : R| es un n´mero par. Digamos que |K : R| = 2n · m, u con n ≥ 1 y m impar.
- 131. 5.3. Construcciones conregla y comp´s a 119 Sea G el grupo de Galois de la extensi´n. Como |G| = 2n · m, el teorema de o Sylow nos da la existencia de un subgrupo H de orden 2n . El cuerpo F fijado por H cumple |K : F | = 2n , luego |F : R| = m. Por A resulta que m ha de ser igual a 1. As´ pues, |K : R| = 2n y, por lo tanto, |K : C| = 2n−1 . Sea r = n − 1. ı Estamos suponiendo que K es una extensi´n propia de C, luego r ≥ 1. o Sea ahora L el grupo de Galois de la extensi´n K/C. Entonces |L| = 2r y, de o nuevo por el teorema de Sylow, L tiene un subgrupo H de orden 2r−1 . El cuerpo fijado por este subgrupo es una extensi´n de C de grado 2, en contradicci´n con o o la afirmaci´n B . o Como consecuencia, el conjunto A de los n´meros complejos algebraicos u sobre Q es algebraicamente cerrado (pues las ra´ complejas de cualquier poli- ıces nomio de A[x] ser´n elementos algebraicos sobre A, luego sobre Q, luego estar´n a a en A). As´ pues, A es la clausura algebraica de Q, luego podemos considerar ı contenidas en C a todas las extensiones algebraicas de Q. Otra consecuencia es que C es la clausura algebraica de R, por lo que los polinomios irreducibles en R[x] tienen todos grado 1 o 2. Esto ser´ importante en la clasificaci´n de las a o isometr´ en Rn . ıas 5.3 Construcciones con regla y comp´s a Veamos c´mo la estructura de cuerpo que le hemos dado al plano eucl´ o ıdeo resulta de gran ayuda para estudiar la constructibilidad con regla y comp´s. Los a antiguos griegos se interesaron especialmente por los problemas geom´tricos aso- e ciados a figuras que pueden ser trazadas con los instrumentos m´s simples: una a regla para trazar rectas y un comp´s para trazar circunferencias. Con m´s pre- a a cisi´n, una construcci´n con regla y comp´s en sentido estricto no admite que se o o a tracen rectas o circunferencias aleatorias. Para que una recta se pueda conside- rar ‘construida’ es necesario tener construidos dos de sus puntos, sobre los que apoyar la regla; un punto est´ construido cuando lo hemos determinado como a intersecci´n de dos rectas, dos circunferencias, o una recta y una circunferencia; o finalmente, para construir una circunferencia tenemos que tener construido su centro, sobre el que clavar el comp´s, y su radio ha de ser la distancia entre dos a puntos construidos, con los que fijar la apertura del comp´s.a Para aplicar estos criterios necesitamos tener unos datos, por ejemplo, dado un tri´ngulo arbitrario (trazado al azar, si se quiere) podemos plantearnos la a construcci´n de su circunferencia circunscrita. Esto supone tomar como ‘cons- o truidos’ los v´rtices del tri´ngulo y a partir de ellos realizar una cadena de e a construcciones en el sentido anterior que acaben con el trazado de la circunfe- rencia buscada. Es claro que a partir de un unico punto es imposible realizar construcci´n ´ o alguna. El menor n´mero de puntos para iniciar una construcci´n es 2. Una u o construcci´n a partir de dos puntos es una construcci´n absoluta. Una cons- o o trucci´n que acepte como datos m´s de dos puntos es una construcci´n relativa o a o a los datos. Veamos algunos ejemplos de construcciones elementales:
- 132. 120 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Mediatriz de un segmento dado Tomando como datos los extremos de un segmento AB, para construir su mediatriz procedemos del modo siguiente: ´ trazamos las circunferencias de centros A y B y radio AB. Estas se cortar´n en a dos puntos P y Q equidistantes de A y B. La recta que pasa por P y Q es la mediatriz buscada. P Perpendicular a una recta Para trazar la perpen- dicular a una recta por un punto O dado sobre ella se traza una circunferencia de centro O y cualquier radio constructible, que cortar´ a la recta en dos puntos A y a B. La perpendicular buscada es la mediatriz del seg- mento AB. A B Para obtener la perpendicular a una recta por un punto exterior P se toma un punto A en la recta y se traza la circunferencia de centro P y radio A, que cortar´ a a la recta en otro punto B. La perpendicular buscada es la mediatriz del segmento AB Q Paralela a una recta Para trazar la paralela a una recta r por un punto exterior P se traza la perpendicular a r por P , llam´mosla s, y luego la perpen- e dicular a s por P . Bisectriz de un ´ngulo Para trazar la bisectriz a de un angulo dado se traza una circunferencia con ´ centro en su v´rtice y cualquier radio constructible. e B ´ Esta cortar´ a los lados en dos puntos A y B. La a bisectriz buscada es la mediatriz de AB. A Divisi´n de un segmento Para dividir un o A5 segmento AB en n partes iguales trazamos A4 cualquier recta constructible que pase por A A3 y que sea no contenga a B. Con el comp´s a A2 marcamos n puntos equidistantes A = A0 , A1 A1 , . . ., An . Unimos An con B y trazamos A B paralelas a esta recta que pasen por los pun- tos Ai . Por el teorema de Tales, los cortes de estas rectas con AB dividen el segmento en partes iguales. i Consideremos un sistema de referencia ortonormal en un plano eucl´ ıdeo. Cada punto del plano se corresponde a trav´s de este sistema con un unico n´mero complejo. e ´ u Podemos elegir arbitrariamente los puntos que se corres- −1 0 1 ponden con 0 y 1. Trazamos la recta que contiene a ambos y la perpendicular a ella por 0. La circunferencia −i
- 133. 5.3. Construcciones conregla y comp´s a 121 de centro 0 y radio 1 corta a estas rectas en los puntos ±1 y ±i. Tenemos liber- tad para decidir qui´n es i y qui´n −i. Una vez hecha esta elecci´n, cada punto e e o del plano tiene asignado un unico n´mero complejo. Llamaremos n´meros cons- ´ u u tructibles a los n´meros complejos asociados a puntos del plano constructibles u con regla y comp´s (´nicamente a partir de 0 y 1). Llamaremos C al conjunto a u de todos los n´meros complejos constructibles. u Notemos que si un n´mero real a es constructible, tambi´n lo es la circunfe- u e rencia de centro 0 y radio a, y ´sta corta al eje imaginario en ai, luego tambi´n e e ´ste es constructible. En general, si z = a+bi es constructible, entonces tambi´n e e lo son las rectas que pasan por z perpendiculares a los ejes, luego tambi´n los e puntos de intersecci´n con los ejes, luego los n´meros a y bi son constructi- o u bles, luego a y b son constructibles. El rec´ ıproco se prueba igualmente. Por consiguiente tenemos: Un n´mero complejo es constructible si y s´lo si lo son su parte real y su u o parte imaginaria. Ahora podemos probar el resultado b´sico sobre constructibilidad: a Teorema 5.3 El conjunto C de los n´meros complejos constructibles es un sub- u cuerpo de C. Demostracion: Veamos en primer lugar que C ∩ R es un subcuerpo de R. ´ Sean a, b ∈ C ∩ R. Si b = 0, entonces a − b = a ∈ C ∩ R. En otro caso, la circunferencia de centro a y radio |b| es constructible y corta al eje real en a + b y a − b, luego a − b ∈ C ∩ R. Esto prueba que C ∩ R es un subgrupo de R. Ahora supongamos que b = 0 y veamos que ab−1 ∈ C ∩ R, lo que probar´ que es un sub- a b + ai cuerpo. Podemos suponer que a, b 0. Usando z las construcciones que hemos visto antes es claro que todos los puntos marcados en la figura son constructibles. El teorema de Tales nos da que la distancia de z a 1 es ab−1 . 0 1 b Dados z1 y z2 en C, tenemos que sus partes reales e imaginarias son cons- tructibles, de donde se sigue f´cilmente, aplicando la parte ya probada, que las a −1 partes reales e imaginarias de z1 − z2 y z1 z2 (si z2 = 0) son constructibles, luego tambi´n lo son estos n´meros y el teorema queda probado. e u En particular todos los n´meros racionales son constructibles, pues Q es el u menor cuerpo contenido en C. Es f´cil dar una prueba directa de la construc- a tibilidad de los n´meros racionales. A su vez esto legitima el uso de reglas u graduadas. En principio hemos considerado a una regla como un instrumento para trazar rectas por dos puntos dados. Ahora sabemos que si marcamos una graduaci´n (racional) sobre la regla y la usamos para construir segmentos de o una longitud racional determinada, esto no aumenta nuestra capacidad de cons- trucci´n. o Vamos a dar una caracterizaci´n puramente algebraica de los n´meros com- o u plejos constructibles. Para ello necesitamos un ultimo resultado auxiliar: ´
- 134. 122 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Las ra´ ıces cuadradas de los n´meros constructibles son constructibles. u Probamos primero que si a ∈ C ∩ R y a 0, ai √ entonces a ∈ C ∩ R. Sea P el punto medio entre ai y −i (se obtiene de la bisectriz del segmento). La circunferencia de centro P que pasa por −i corta al eje real en dos puntos ±x. La potencia de 0 respecto P a esta circunferencia (en m´dulo) es por una parte o −x 0 x √ x2 y por otra parte a, luego x = a. La ra´ cuadrada de un n´mero constructible ar- ız u −i bitrario no nulo viene dada por la f´rmula 5.1 y es o claramente constructible. Teorema 5.4 Un n´mero complejo z es constructible si y s´lo si existe una u o cadena de cuerpos Q = F 0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ F n ⊂ C de modo que |Fj+1 : Fj | = 2 y z ∈ Fn . Demostracion: Si z es constructible podemos considerar la sucesi´n de ´ o puntos intermedios que se trazan en una construcci´n de z: o z0 = 0, z1 = 1, z2 , . . . , zn = z. As´ cada zj se construye directamente a partir de los puntos anteriores, ı, bien como intersecci´n de dos rectas que pasan por dos de los puntos anteriores, o bien como intersecci´n de dos circunferencias con centros en dos de los puntos o anteriores y radios iguales a las distancias entre dos puntos anteriores o bien como intersecci´n de una recta y una circunferencia en estas mismas condiciones. o Vamos a probar que existe una sucesi´n de cuerpos o Q = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ R tales que |Ki+1 : Kj | ≤ 2 y las partes reales e imaginarias de cada zj est´n en a Kj . Lo demostramos por inducci´n. Todo se reduce a probar que si un cuerpo o K contiene las partes reales e imaginarias de los puntos anteriores a zj entonces las partes real e imaginaria de zj est´n en K o en una extensi´n cuadr´tica de a o a K. Sea zj = (x, y). Supongamos que zj es la intersecci´n de dos rectas que pasan o por dos puntos de entre los anteriores, en particular dos puntos con coordenadas en K. La recta que pasa por dos puntos (a, b) y (c, d) en K 2 tiene vector director v = (c − a, d − b), luego est´ formada por los puntos (x, y) tales que (x − a, y − b) a es m´ltiplo de v o, equivalentemente, tales que u x−a y−b = 0. c−a d−b Al desarrollar obtenemos una ecuaci´n Ax + By = C con coeficientes en K. o Tenemos, pues, que zj = (x, y) es la soluci´n unica de dos ecuaciones de este o ´
- 135. 5.3. Construcciones conregla y comp´s a 123 tipo, y al resolver expl´ ıcitamente el sistema obtenemos una expresi´n de x e y o en funci´n de los coeficientes, que prueba que ambos est´n en K. o a Supongamos ahora que zj est´ en la intersecci´n de una recta que pasa por a o dos puntos de K 2 y una circunferencia con centro en K 2 y radio r igual a la distancia entre dos puntos de K 2 . Entonces r2 ∈ K, luego tenemos que (x, y) satisface las ecuaciones Ax + By = C x2 + y 2 + ax + by + c = 0 donde todos los coeficientes est´n en K. Uno de los coeficientes A o B ha de a ser no nulo. Al despejar la variable correspondiente en la primera ecuaci´n y o sustituirla en la segunda obtenemos una ecuaci´n de segundo grado con coefi- o cientes en K que ha de tener entre sus soluciones√una de las coordenadas de zj , luego ´sta se encuentra en una extensi´n de K( α ) de K, donde α es el dis- e o criminante de la ecuaci´n, que est´ en K. La otra coordenada se√ o a √ despeja de la primera ecuaci´n, luego est´ tambi´n en K( α ). Claramente |K( α ) : K| ≤ 2. o a e Por ultimo suponemos que zj est´ en la intersecci´n de dos circunferencias ´ a o constructibles a partir de los puntos anteriores. Por el mismo razonamiento de antes, sus coordenadas cumplen dos ecuaciones de la forma x2 + y 2 + a x + b y + c = 0 x2 + y 2 + a x + b y + c = 0 con los coeficientes en K. Restando ambas ecuaciones obtenemos la ecuaci´n o (a − a )x + (b − b )y + c − c = 0, que tambi´n es satisfecha por las coordenadas de zj y cuyos coeficientes no e pueden ser todos nulos, o si no las dos circunferencias ser´ la misma. En ıan definitiva tenemos que zj est´ tambi´n en una recta cuya ecuaci´n tiene sus a e o coeficientes en K y este caso se reduce al anterior. Tenemos, pues, la sucesi´n Kj en las condiciones pedidas. Ahora observamos o que zj ∈ Kj (i) y la sucesi´n o Q ⊂ Q(i) ⊂ K1 (i) ⊂ · · · ⊂ Kn (i) cumple las condiciones del teorema. Rec´ıprocamente, si z cumple las condiciones del enunciado, entonces es claro √ √ que Fj+1 = Fj ( αj ) para un cierto αj ∈ Fj , y si Fj ⊂ C, entonces αj ∈ C, luego Fj+1 ⊂ C. As´ pues, z ∈ Fn es constructible. ı Esto nos da una condici´n necesaria sencilla para que un n´mero complejo o u sea constructible. Observar que es muy restrictiva. Teorema 5.5 Si z es un n´mero complejo constructible entonces es algebraico u y |Q(z) : Q| es potencia de 2. Esta condici´n no es en general necesaria, pero tenemos un rec´ o ıproco parcial: Teorema 5.6 Si K es una extensi´n finita de Galois de Q, entonces K ⊂ C si o y s´lo si |K : Q| es potencia de 2. o
- 136. 124 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Ejemplo: El problema del´ ıaco La ciudad de Delos era una de las m´s a importantes de la Grecia cl´sica. Destacaba en ella el templo de Apolo, con a la colosal estatua del dios, ofrenda de Naxos, que los griegos ten´ por el m´s ıan a excelso de sus santuarios. El or´culo de Delos era uno de los m´s reputados, a a considerado poco menos que infalible. Cuenta la leyenda que una gran plaga azot´ la ciudad, y sus habitantes consultaron el or´culo, el cual les orden´ o a o ´ duplicar el altar de Apolo. Este ten´ forma c´bica, y as´ construyeron otro ıa u ı altar m´s lujoso con el doble de arista. Como la plaga no arreciaba, volvieron a a consultar el or´culo, que esta vez especific´ que deb´ construir un altar con a o ıan el doble de volumen. Si tomamos como unidad la arista del altar original, el √ problema consist´ en construir un cubo de volumen 2, luego con arista 3 2. Los ıa arquitectos de Delos no supieron c´mo hacer los c´lculos y llamaron en su ayuda o a a los ge´metras m´s famosos. Desde entonces muchos ge´metras han trabajado o a √ o en el problema. Euclides prob´ que 3 2 es un n´mero irracional, Apolonio, o u Her´n, Papos, Huygens, Fermat y Descartes propusieron soluciones, y en 1837 o √ Wantzel prob´ que 3 2 no es constructible con regla y comp´s. Para nosotros o √ a es evidente, pues el cuerpo Q( 3 2 ) tiene grado 3 sobre Q. 5.4 Pol´ ıgonos regulares Es especialmente interesante la teor´ en torno a la construcci´n de pol´ ıa o ıgonos regulares. Para evitar una disgresi´n sobre pol´ o ıgonos en general daremos una definici´n fuerte. o Definici´n 5.7 Diremos que n puntos P1 , . . ., Pn , con n ≥ 3 son los v´rtices o e de un pol´ ıgono regular (gr. ‘muchos angulos’) de n lados si est´n conteni- ´ a dos en una circunferencia y los arcos menores P1 P2 , P2 P3 , . . ., Pn P1 son todos disjuntos y tienen amplitud 2π/n. Los lados del pol´ ıgono son los segmentos P1 P 2 , P2 P 3 , . . ., Pn P 1 , el pol´ ıgono con los v´rtices indicados es la intersecci´n e o de todos los semiplanos respecto a las rectas P1 P2 , . . ., Pn P1 que contienen a los v´rtices restantes. La circunferencia que contiene a los v´rtices de un pol´ e e ıgono regular se llama circunferencia circunscrita al pol´ ıgono (tambi´n se dice que el e pol´ ıgono est´ inscrito en la circunferencia). El centro y el radio de la circunfe- a rencia se llaman tambi´n centro y radio del pol´ e ıgono. Es f´cil probar que fijado un punto en una circunferencia existe un unico a ´ pol´ ıgono regular inscrito en ella con un v´rtice en el punto dado. Los pol´ e ıgonos regulares de tres lados son simplemente los tri´ngulos equil´teros, los de cuatro a a lados son los cuadrados, los siguientes reciben el nombre de pent´gono regular, a hex´gono regular, hept´gono regular, etc. Tambi´n es f´cil ver que dos pol´ a a e a ıgonos regulares son congruentes si y s´lo si tienen el mismo radio y el mismo n´mero o u de lados. Fijada una circunferencia ω y un punto en ella, podemos tomar como 0 el cen- tro y como 1 el punto dado, de modo que los v´rtices del n-´gono regular ser´n e a a los n´meros complejos de m´dulo 1 y argumento 2kπ/n, para n = 0, . . ., n − 1. u o
- 137. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 125 Construir dicho pol´ıgono es, por definici´n, construir estos v´rtices, pero en rea- o e lidad basta construir ζn = 12π/n pues, una vez construido ´ste, la circunferencia e de centro ζn que pasa por 1 corta a ω en 14π/n , la circunferencia de centro 14π/n y que pasa por 12π/n corta a ω en 16π/n , y de este modo se construyen los v´rtices restantes. e As´ pues, un pol´ ı ıgono regular de n v´rtices es constructible si y s´lo si lo es e o el n´mero complejo u 2π 2π ζn = cos + i sen . n n Estos n´meros tienen una caracterizaci´n algebraica muy simple. Notemos u o que 2kπ 2kπ ζn = 1k k 2π/n = 12kπ/n = cos + i sen , n n luego los n´meros ζn para k = 0, . . ., n − 1 son los v´rtices del n-´gono regular u k e a n y ζn = 1. ζ ζ2 1 ζ3 ζ4 En t´rminos algebraicos, ζn es una ra´ n-sima primitiva de la unidad, el e ız cuerpo Q(ζn ) es el cuerpo ciclot´mico n-simo (gr. = ‘que divide el c´ o ırculo’), que es una extensi´n de Galois de grado φ(n), donde φ es la funci´n de Euler.1 El o o teorema 5.6 nos da la caracterizaci´n siguiente: o Teorema 5.8 Los pol´ ıgonos regulares de n v´rtices son constructibles con regla e y comp´s si y s´lo si φ(n) es potencia de 2. a o Notemos que la constructibilidad de los pol´ ıgonos regulares de n v´rtices e equivale a la constructibilidad de los angulos de amplitud 2π/n. Esto nos lleva ´ a un interesante resultado: 1 φ(n) es en n´ mero de n´ meros naturales menores que n y primos con n. u u
- 138. 126 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Ejemplo: la trisecci´n del ´ngulo Otro problema cl´sico es la divisi´n o a a o de un angulo dado en tres partes iguales. Ahora es f´cil ver que no existe una ´ a soluci´n general de este problema pues, por ejemplo, el angulo de amplitud 2π/6 o ´ es constructible, ya que φ(6) = 2, pero su tercera parte, es decir, el angulo de ´ amplitud 2π/18 no lo es, ya que φ(18) = 6. Ejercicio: Describir las construcciones de los pol´ ıgonos regulares de 3, 4 y 6 lados. Vamos a dar una caracterizaci´n aritm´tica de cu´ndo φ(n) es potencia de 2. o e a Factoricemos n = 2r0 pr1 · · · prk , donde p1 , . . ., pk son primos impares distintos. 1 k Entonces φ(n) = (p1 − 1)pr1 −1 · · · (pk − 1)prk −1 y la unica posibilidad para que 1 k ´ este n´mero sea una potencia de dos es que todos los exponentes sean iguales a u 1 y que pi − 1 sea potencia de 2 para todo i. Definici´n 5.9 Los n´meros primos de la forma 2n + 1 se llaman primos de o u Fermat. En estos t´rminos: e Teorema 5.10 El pol´ ıgono regular de n v´rtices es constructible con regla y e comp´s si y s´lo si n es producto de una potencia de 2 y de primos de Fermat a o con exponente 1. S´lo nos queda estudiar qu´ n´meros de la forma 2n + 1 son primos. Cons- o e u truyamos una tabla: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n + 1 3 5 9 17 33 65 129 257 513 1.025 Resultan primos los n´meros correspondientes a los valores n = 1, 2, 4, 8, . . . u Fermat conjetur´ bas´ndose en esto que los primos que hoy llevan su nombre o a n son exactamente los n´meros de la forma 22 + 1. u Ciertamente todo primo de Fermat es de esta forma: sea p = 2n + 1 un primo de Fermat. Tomamos clases m´dulo p. Entonces el orden de [2] divide o a p − 1 = 2n , luego es potencia de 2. Sea n = 2u v, con v impar. Entonces u u+1 22 v ≡ −1 (m´d p), luego 22 v ≡ 1 (m´d p). As´ el orden de [2] divide a o o ı, 2u+1 v y es potencia de 2, luego de hecho divide a 2u+1 . Sea, pues d ≤ u + 1 tal d d−1 que [2]2 = [1] pero [2]2 = 1. Como el cuadrado de esta clase es [1], ha de d−1 d−1 ser [2] 2 = [−1] y as´ 2 + 1 | 22 ı n + 1. Puesto que 2d−1 ≤ n, necesariamente d−1 n 2 d−1 2 +1=2 +1 y n=2 . n Queda por ver si todo n´mero de la forma 22 + 1 es primo. Volvamos a la u tabla y ampli´mosla: e n 0 1 2 3 4 5 n 22 + 1 3 5 17 257 65.537 4.294.967.297 Ahora chocamos con un problema computacional. No es f´cil decidir si los a n´meros que aparecen son primos o no. De hecho el lector ha aceptado en la u
- 139. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 127 tabla anterior que el n´mero 257 es primo, lo que supone probar que no es u divisible entre primos menores o iguales que 13. Aceptemos este hecho y enfrent´monos al caso m´s complejo de determinar e a 4 si el n´mero 65.537 es o no primo. Sabemos que se trata de 22 +1. Supongamos u 4 que es divisible entre un primo p. Entonces, m´dulo p se cumple que [2]2 = [−1], o 5 y elevando al cuadrado [2]2 = [1]. Consecuentemente o [2] | 25 , pero o [2] 24 4 (o ser´ [2]2 = [1]). Esto significa que o [2] = 25 . ıa Por otra parte o [2] | p − 1, o sea, 25 | p − 1 y por tanto p ha de ser de la forma p = 32k + 1 4 3 La ra´ cuadrada de 22 + 1 es apenas mayor que 22 = 256, luego si nuestro ız n´mero no es primo tiene un divisor primo p 256. Los primeros valores de la u sucesi´n 32k + 1 son: o 33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, 257, . . . y los unicos primos a considerar son 97 y 193 (161 es m´ltiplo de 7). Por lo ´ u tanto, 65.537 ser´ primo si y s´lo si no es divisible entre 97 ni 193. Comprobar a o que esto es cierto no supone ninguna dificultad, luego, en efecto, 65.537 es primo. El siguiente n´mero a comprobar es much´ u ısimo mayor. Si aplicamos el mismo 5 razonamiento concluimos que si 22 + 1 no es primo, entonces tiene un divisor primo de la forma p = 64k + 1 y p ≤ 65.536. Esto nos deja todav´ un gran ıa n´mero de candidatos, pero el argumento puede ser refinado como sigue: u Si p = 64k + 1 en particular p ≡ 1 (m´d 8), lo que implica que 2 es un resto o cuadr´tico m´dulo p, es decir, existe un natural x tal que x2 ≡ 2 (m´d p), o a o o sea, p | x2 − 2, y as´ m´dulo p, sabemos que [x]p−1 = [1], luego [2](p−1)/2 = [1]. ı, o Por lo tanto o [2] = 64 | (p − 1)/2 y en consecuencia p = 128k + 1. A´n as´ la lista de candidatos es enorme. Los diez primeros son u ı 129, 257, 385, 513, 641, 769, 897, 1.025, 1.153, 1.281, . . . (los primos est´n en negrita). a El primer primo es f´cil de descartar por su forma, ya que se trata de 28 + 1 a 5 y m´dulo 28 + 1 se cumple [22 + 1] = [28 ]4 + [1] = [−1]4 + [1] = [2] = [0]. o Respecto al siguiente, las potencias de 2 m´dulo 641 son las siguientes: o 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, −129, −258, 125, 250, −141, −282, 77, 154, 308, −25, −50, −100, −200, −400, −159, −318, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640. 5 5 As´ pues, [22 + 1] = [0], es decir, 641 | 22 + 1 que no es, por tanto, primo. ı Posiblemente as´ fue c´mo Gauss lleg´ a descubrir este hecho. Por supuesto ı o o 5 una calculadora nos da m´s r´pidamente que 22 +1 = 641·6.700.417 (el segundo a a factor resulta ser primo). Hoy en d´ no se conoce ning´n otro primo de Fermat distinto de los cinco ıa u que ya hemos encontrado, a saber: 3, 5, 17, 257, 65.537.
- 140. 128 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u A partir de un pol´ıgono de n lados es muy f´cil construir un pol´ a ıgono de 2n lados (basta bisecar sus ´ngulos o sus lados), luego s´lo tiene inter´s la a o e construcci´n de pol´ o ıgonos con un n´mero impar de lados. A partir de los pri- u mos de Fermat que conocemos s´lo puede construirse un n´mero finito de tales o u pol´ ıgonos, concretamente 31. Los primeros tienen los siguientes n´meros de u lados: 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, . . . La construcci´n de los tres primeros era conocida por los griegos, mientras o que la del heptadec´gono regular fue descubierta por Gauss. Vamos a mostrar a construcciones expl´ ıcitas de estos cuatro pol´ ıgonos. En primer lugar notemos que es muy f´cil construir un tri´ngulo equil´tero: a a a Por otro lado, si sabemos construir un pent´gono regular, tambi´n sabemos a e construir un pentadec´gono regular: basta restar de un angulo de amplitud a ´ 2π/3 otro de amplitud 2π/5 para obtener uno de amplitud 4π/15, y despu´s e bisecar el resultado: S´lo necesitamos, pues, encontrar una construcci´n para el pent´gono y el o o a heptadec´gono regular. La construcci´n del pent´gono es muy simple, y nos a o a servir´ de gu´ para obtener la del heptadec´gono. a ıa a 5.4.1 Construcci´n del pent´gono regular o a Sea K = Q(ζ), donde ζ = 12π/5 , el cuerpo ciclot´mico quinto. Su grado es o 4 y su grupo de Galois G es c´ıclico. Un generador es el automorfismo σ que cumple σ(ζ) = ζ 2 . Hay un unico cuerpo intermedio L, el cuerpo fijado por σ 2 , ´
- 141. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 129 al cual pertenecen los per´ ıodos de longitud 2: η1 = ζ + ζ 4 y η2 = ζ 2 + ζ 3 , que constituyen una Q-base de L. La conjugaci´n compleja induce un automorfismo en K de orden 2, luego ha o ¯ de ser σ 2 . Por lo tanto ζ 4 = ζ, de donde η1 = 2 Re ζ = 2 cos 2π/5 0. Teniendo en cuenta que ζ es una ra´ de x4 + x3 + x2 + x + 1, es inmediato ız que η1 + η2 = η1 η2 = −1, luego η1 y η2 son las ra´ ıces del polinomio x2 + x − 1. Estas ra´ıces son √ √ −1 + 5 −1 − 5 η1 = y η2 = 2 2 (sabemos que η1 es la ra´ positiva). As´ pues, ız ı √ 2π −1 + 5 cos = . 5 4 √ √ Aunque no lo vamos a necesitar, hemos obtenido que 5 ∈ L, luego L = Q 5 . Una forma r´pida de construir el pent´gono es trazar un arco con el comp´s a a a apoyado en −1/2 y el otro extremo en −i, hasta cortar el eje real en el punto √ A. La distancia de −1/2 a −i es 5/2, luego A = η1 . Despu´s trazamos la e mediatriz del segmento 0A, que pasa por cos 2π/5 y cortar´ al c´ a ırculo de centro 0 y radio 1 en el punto ζ: ζ −1/2 A 1 0 −i 5.4.2 Construcci´n del heptadec´gono regular o a Sea ζ = 12π/15 y K = Q(ζ). Ahora el grupo de Galois G tiene orden 16. Una ra´ primitiva m´dulo 17 es 3, luego el automorfismo σ determinado por ız o σ(ζ) = ζ 3 tiene orden 16 y por lo tanto es un generador de G. El grupo G tiene tres subgrupos, a saber, σ 8 , σ 4 y σ 2 , que por el teorema de Galois se corresponden con tres cuerpos intermedios: Q ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ L3 ⊂ K, de grados 2, 4 y 8. Para llegar desde los n´meros racionales hasta ζ (y obtener una expresi´n u o radical de cos 2π/17) hemos de dar cuatro pasos, lo que significa que la expresi´n o de ζ ser´ demasiado complicada para manejarla con comodidad. En lugar de a eso nos limitaremos a describir ζ en funci´n de su polinomio m´ o ınimo respecto
- 142. 130 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u a L3 , y los coeficientes de este polinomio en funci´n de sus polinomios m´ o ınimos en L2 y as´ sucesivamente. ı En el caso del pent´gono, los n´meros η1 y η2 estaban determinados por que a u sab´ıamos que eran las ra´ ıces de x2 + x − 1 y porque adem´s sab´ a ıamos que η1 era la ra´ positiva. Aqu´ tambi´n tendremos que hacer estimaciones de signos ız ı e con el mismo fin, para lo cual deberemos tener presente la distribuci´n de las o ra´ ıces de la unidad: ζ5 ζ4 ζ3 ζ6 ζ2 ζ7 ζ ζ8 1 ζ9 ζ 16 ζ 10 ζ 15 ζ 11 ζ 14 ζ 12 ζ 13 Como en el caso del pent´gono, el automorfismo de orden 2, o sea, σ 8 es la a conjugaci´n compleja y as´ ζ y ζ 16 son conjugados, al igual que ζ 2 y ζ 15 , etc. o ı, (como muestra la figura). El cuerpo L3 (fijado por σ 8 ) contiene a los per´ ıodos de longitud 2, es decir, a los pares de ra´ ıces conjugadas: λ1 = ζ + ζ 16 , λ2 = ζ 2 + ζ 15 , λ3 = ζ 3 + ζ 14 , λ4 = ζ 4 + ζ 13 , λ5 = ζ 5 + ζ 12 , λ6 = ζ 6 + ζ 11 , λ7 = ζ 7 + ζ 10 , λ8 = ζ 8 + ζ 9 , y como ζζ 16 = 1, es claro que ζ y ζ 16 son las ra´ del polinomio x2 − λ1 x + 1. ıces En general tenemos que ζ y ζ 16 son las ra´ ıces de x2 − λ1 x + 1 ζ2 y ζ 15 son las ra´ ıces de x2 − λ2 x + 1 ζ3 y ζ 14 son las ra´ ıces de x2 − λ3 x + 1 ζ4 y ζ 13 son las ra´ ıces de x2 − λ4 x + 1 ζ5 y ζ 12 son las ra´ ıces de x2 − λ5 x + 1 ζ6 y ζ 11 son las ra´ ıces de x2 − λ6 x + 1 ζ7 y ζ 10 son las ra´ ıces de x2 − λ7 x + 1 ζ8 y ζ9 son las ra´ ıces de x2 − λ8 x + 1 En realidad para la construcci´n del heptadec´gono nos interesan m´s los o a a λk que las ra´ıces de la unidad, pues claramente λk = 2 Re ζ k = 2 cos 2kπ/17. De aqu´ se sigue claramente (ver la figura anterior) que ı λ 1 λ2 λ3 λ 4 0 λ 5 λ6 λ7 λ 8 .
- 143. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 131 Una vez construido un λk , basta dividirlo entre 2 y levantar la perpendicular para obtener ζ k y su conjugado como las intersecciones de dicha recta y la circunferencia unidad. Para construir los λk vamos a expresarlos en funci´n del o cuerpo L2 , que es el cuerpo fijado por σ 4 y que, por tanto, tiene por base a los per´ıodos de longitud 4: ξ1 = ζ + ζ 16 + ζ 4 + ζ 13 , ξ2 = ζ 2 + ζ 15 + ζ 8 + ζ 9 , ξ3 = ζ 3 + ζ 14 + ζ 5 + ζ 12 , ξ4 = ζ 6 + ζ 11 + ζ 7 + ζ 10 . (Si aplicamos a ζ las potencias de σ 4 obtenemos ζ, ζ 16 , ζ 4 y ζ 13 , por lo que 4 σ permuta los sumandos de ξ1 , que es, por lo tanto, invariante). Es obvio que ξ1 = λ1 + λ4 , ξ2 = λ2 + λ8 , ξ3 = λ3 + λ5 , ξ4 = λ6 + λ7 . Por otro lado λ1 · λ4 = (ζ + ζ 16 )(ζ 4 + ζ 13 ) = ζ 5 + ζ 14 + ζ 3 + ζ 12 = ξ3 λ 2 · λ8 = (ζ 2 + ζ 15 )(ζ 8 + ζ 9 ) = ζ 10 + ζ 11 + ζ 6 + ζ 7 = ξ4 λ 3 · λ5 = (ζ 3 + ζ 14 )(ζ 5 + ζ 12 ) = ζ 8 + ζ 15 + ζ 2 + ζ 9 = ξ2 λ 6 · λ7 = (ζ 6 + ζ 11 )(ζ 7 + ζ 10 ) = ζ 13 + ζ 16 + ζ + ζ 4 = ξ1 de donde se desprende que λ1 y λ4 son las ra´ ıces de x2 − ξ1 x + ξ3 λ2 y λ8 son las ra´ ıces de x2 − ξ2 x + ξ4 λ3 y λ5 son las ra´ ıces de x2 − ξ3 x + ξ2 λ4 y λ7 son las ra´ ıces de x2 − ξ4 x + ξ1 Finalmente, L1 es el cuerpo fijado por σ 2 , y su base son los per´ ıodos de longitud 8: η1 = ζ + ζ 9 + ζ 13 + ζ 15 + ζ 16 + ζ 8 + ζ 4 + ζ 2 η2 = ζ 3 + ζ 10 + ζ 5 + ζ 11 + ζ 14 + ζ 7 + ζ 12 + ζ 6 . Un simple c´lculo nos da η1 + η2 = −1, η1 η2 = −4, luego son las ra´ a ıces del polinomio x2 + x − 4. Por otro lado se comprueba que ξ1 y ξ2 son las ra´ de x2 −η1 x−1, mientras ıces ıces de x2 − η2 x − 1. que ξ3 y ξ4 son las ra´ Estos datos nos permiten ascender gradualmente hasta construir ζ. Para agilizar la construcci´n nos valdremos de un truco. o Consideremos el ´ngulo θ que cumple 0 4θ π/2 y tan 4θ = 4. a Las ra´ del polinomio x2 +x−4 son 2 tan 2θ y −2/ tan 2θ, pues su producto ıces es −4 y su suma vale 2 tan2 2θ − 1 4 2 tan 2θ − =2 =− = −1 tan 2θ tan 2θ tan 4θ
- 144. 132 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u (por la f´rmula de la tangente del angulo doble). o ´ Por otra parte sabemos que las ra´ıces son η1 y η2 , luego η1 = 2 tan 2θ y η2 = −2 tan 2θ, (hay que comprobar que η1 0, pero eso se sigue de que 2π 2π 2π 2π η1 = λ1 + λ2 + λ4 + λ8 = 2 cos + cos 2 + cos 4 + cos 8 17 17 17 17 y los tres primeros sumandos son positivos, m´s a´n, los dos primeros suman a u m´s de 1, luego compensan al ultimo.) a ´ Las ra´ de x2 − η1 x − 1 son tan(θ + π/4) y tan(θ − π/4), pues su producto ıces es −1 (los ´ngulos se diferencian en π/2, luego la tangente de uno es la inversa a de la tangente del otro, y adem´s tienen signos opuestos) y su suma es a π π tan θ + 1 tan θ − 1 tan θ + + tan θ − = + 4 4 1 − tan θ 1 + tan θ 4 tan θ = = 2 tan 2θ = η1 . 1 − tan2 θ Por lo tanto ξ1 = tan(θ + π/4) y ξ2 = tan(θ − π/4) (pues ξ1 = λ1 + λ4 0). Con el mismo razonamiento se concluye que ξ3 = tan θ y ξ4 = − cot θ. Ya tenemos suficiente para realizar la construcci´n: o Consideramos los puntos A = 1 y B = i. Dividimos el segmento OB en cuatro partes, con lo que obtenemos el punto I = (1/4)i. El angulo OIA, tiene ´ tangente 4, luego es 4θ. Lo bisecamos dos veces y obtenemos θ igual al angulo ´ OIE (figura 5.1). B I θ 0E A Figura 5.1: Construcci´n de θ. o
- 145. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 133 B I θ F 0 E C A Figura 5.2: Construcci´n de C. o Ahora construimos un punto F de modo que el angulo F IE sea igual a π/4, ´ con lo que el angulo OIF es igual a π/2 − θ. Llamamos C al punto medio de ´ AF (figura 5.2). Seg´n nuestros c´lculos E = ξ3 /4 , F = −ξ2 /4 y la distancia de A a F es u a AF = (4 − ξ2 )/4. Por lo tanto la distancia de F a C (que es igual a la distancia de C a A) es (4 − ξ2 )/8. Consecuentemente 4 − ξ2 ξ2 ξ2 + 4 C = OC = + = . 8 4 8 Trazamos el c´ ırculo de centro C y radio AC, que cortar´ al eje imaginario en a un punto K. Por el teorema de Pit´goras a √ 2 2 2 2 −ξ2 K = OK = OK − OC = CA − OC = , 2 √ 2 2 ξ3 − 4ξ2 EK = OK + OE = . 4 A continuaci´n trazamos el c´ o ırculo de centro E y y radio EK, que cortan al eje horizontal en los puntos N5 y N3 . Entonces ξ3 + ξ3 − 4ξ2 2 λ3 N3 = E + EK = = , 2 2 pues λ3 es la ra´ positiva del polinomio x2 −ξ3 x+ξ2 . As´ pues, N3 = cos 6π/17. ız ı Por otra parte, ξ3 − 2ξ2 2 ξ3 −ξ3 + ξ3 − 4ξ2 2 λ5 N5 = EN 5 − E = EK − E = − = =− , 4 4 2 2
- 146. 134 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u ζ5 B ζ3 K I θ N5 F 0E C N3 A Figura 5.3: Construcci´n de ζ 3 y ζ 5 . o luego N5 = cos 10π/17. Levantando perpendiculares por N3 y N5 y trazando el c´ ırculo de centro 0 y radio 1 obtenemos ζ3 y ζ5 (figura 5.3). Para acabar, bisecamos el ´ngulo ζ3 0ζ5 con lo que obtenemos ζ4 y, uniendo a ζ3 con ζ4 obtenemos el lado del heptadec´gono regular (figura 5.4). a 5.5 Geometr´ discontinua ıa Aunque en la definici´n de espacio af´ eucl´ o ın ıdeo hemos exigido que el cuerpo base sea R, es claro que todos los resultados en torno a ellos son v´lidos si a trabajamos con cualquier subcuerpo K de R en el que todo n´mero positivo u tenga una ra´ cuadrada (para definir la norma). Un ejemplo es tomar como ız K el cuerpo de los n´meros reales constructibles. As´ K 3 verifica todos los u ı axiomas de la geometr´ eucl´ ıa ıdea salvo el axioma de constructibilidad. Puesto que C es isomorfo a K 2 como espacio vectorial, los planos eucl´ ıdeos sobre K son identificables con C. Las propiedades sobre circunferencias que hemos probado con el axioma D siguen siendo v´lidas, as´ como la propiedad de Arqu´ a ı ımedes; en cambio el comportamiento de los ´ngulos es peculiar, pues en K 2 no hay a hept´gonos regulares, ni se puede trisecar un angulo arbitrario. a ´ Una geometr´ eucl´ ıa ıdea discontinua menos at´ ıpica es la que se obtiene al tomar como K el cuerpo de los n´meros reales algebraicos, de modo que los u planos se pueden identificar con la clausura algebraica de Q. De nuevo K 2 satisface todos los axiomas excepto el axioma D pero ahora existen pol´ ıgonos regulares de cualquier n´mero de lados (pues los n´meros 12π/n son algebraicos). u u Ejercicio: Probar que un n´mero complejo a + bi es algebraico sobre Q si y s´lo si lo u o son a y b.
- 147. 5.5. Geometr´ discontinua ıa 135 B ζ4 ζ5 ζ3 6 ζ ζ2 ζ7 K ζ I ζ8 θ N5 F 0 E C N3 A ζ9 ζ 16 ζ 10 ζ 15 ζ 11 ζ 14 ζ 12 ζ 13 Figura 5.4: Construcci´n del heptadec´gono regular o a
- 148. 136 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Esto muestra que los resultados esenciales de la geometr´ no dependen del ıa axioma D, sino que ´ste puede sustituirse por requisitos espec´ e ıficos m´s d´biles. a e 5.6 Ap´ndice: El teorema de Sylow e Probamos aqu´ el teorema de Sylow que hemos usado en la demostraci´n del ı o teorema fundamental del algebra. Emplearemos un argumento inductivo que se ´ apoyar´ en el hecho siguiente: a Si G es un grupo abeliano finito y p un n´mero primo tal que p |G|, entonces u G tiene un elemento de orden p. Esto es cierto porque todo grupo abeliano finito es producto directo de grupos c´ıclicos, uno de los cuales debe tener orden m´ltiplo de p, y en un u grupo c´ıclico hay elementos de todos los ´rdenes posibles (divisores del orden o del grupo). Si G es un grupo finito, en G tenemos definida la relaci´n de conjugaci´n, o o seg´n la cual dos elementos x, y ∈ G son conjugados si existe un g ∈ G tal que u y = g −1 xg = xg . Se trata de una relaci´n de equivalencia. La clase de equiva- o lencia de un elemento x se llama clase de conjugaci´n de x, y la representaremos o por cl(x). Necesitamos calcular el cardinal de cl(x). Para ello definimos el centralizador de x en G como el conjunto CG (x) = {g ∈ G | xg = x} = {g ∈ G | xg = gx}, que claramente es un subgrupo de G. Tenemos el teorema siguiente: Teorema 1 Sea G un grupo finito y x ∈ G. Entonces |cl(x)| = |G : CG (x)|. Demostracion: Observamos que xg = xh si y s´lo si hg −1 x = xhg −1 , si y ´ o s´lo si hg −1 ∈ CG (x), si y s´lo si CG (x)h = CG (x)g. o o El subgrupo CG (x) no tiene por qu´ ser un subgrupo normal, luego no po- e demos hablar de grupo cociente, pero s´ del conjunto G/CG (x) de las clases de ı equivalencia CG (x)g para la relaci´n de la congruencia por la derecha m´dulo o o CG (x). Lo que hemos obtenido es que la aplicaci´n f : G/CG (x) −→ cl(x) definida o por f CG (x)g = xg es biyectiva. En particular, un x ∈ G cumplir´ cl(x) = {x} si y s´lo si CG (x) = G, es a o decir, si y s´lo si gx = xg para todo g ∈ G, si x conmuta con todo elemento de o G. Definimos el centro de G como el subgrupo Z(G) = {x ∈ G | gx = xg para todo g ∈ G}. As´ Z(G) est´ formado por los elementos cuya clase de conjugaci´n tiene ı, a o cardinal 1, por los elementos que conmutan con todos los elementos de G. En
- 149. 5.6. Ap´ndice: Elteorema de Sylow e 137 particular los elementos de Z(G) conmutan entre s´ es decir, Z(G) es un grupo ı, abeliano. Tambi´n es claro que Z(G) es normal en G. e Dado un grupo finito G, sabemos que tiene |Z(G)| clases de conjugaci´n o con un elemento y, digamos, n clases con m´s de un elemento. Sean x1 , . . ., xn a representantes de estas clases. El orden de G es la suma de los ´rdenes de sus o clases de conjugaci´n, luego teniendo en cuenta el teorema 1 concluimos: o Teorema 2 (ecuaci´n de clases) Si G es un grupo finito, existen elementos o x1 , . . ., xn ∈ G tales que CG (xi ) G y n |G| = |Z(G)| + |G : CG (xi )|. i=1 Con esto tenemos suficiente para probar la parte principal del teorema de Sylow. Conviene dar la definici´n siguiente: o Definici´n Sea G un grupo finito y p un n´mero primo. Sea |G| = pn · m, o u con (p, m) = 1 (quiz´ con n = 0). Un subgrupo H de G de orden pn se llama a p-subgrupo de Sylow de G. Teorema 3 Si G es un grupo finito y p un n´mero primo, entonces G tiene u un p-subgrupo de Sylow. Demostracion: Por inducci´n sobre el orden de G. Si G tiene orden 1 ´ o es obvio. Supongamos que todos los grupos de orden menor que |G| tienen p-subgrupos de Sylow y demostremos que G tambi´n los tiene. e Si p |G|, entonces el subgrupo trivial es un p-subgrupo de Sylow de G. Supongamos, pues, que p |G|. Sea |G| = pn · m, con (p, m) = 1. Distinguimos dos casos: Caso 1 Existe un subgrupo H G tal que p |G : H|. Entonces pn | |H| y por hip´tesis de inducci´n H tiene un p-subgrupo de o o Sylow P de orden pn , y as´ P es tambi´n un p-subgrupo de Sylow de G. ı, e Caso 2 Para todo subgrupo H ≤ G, se cumple que p | |G : H|. Entonces la ecuaci´n de clases nos da que p |Z(G)|. Como se trata de un o grupo abeliano, tiene un elemento de orden p o, lo que es lo mismo, tiene un subgrupo H ≤ Z(G) de orden p. Como los elementos de H conmutan con todos los elementos de G, es evidente que H g = H para todo g ∈ G, o sea, H es normal en G. Se cumple que |G/H| = pn−1 · m y tiene un subgrupo de Sylow P/H que cumplir´ |P/H| = pn−1 , luego |P | = pn , es decir, P es un subgrupo de Sylow a de G. Ahora falta probar que todo grupo de orden potencia de primo tiene sub- grupos de todos los ordenes posibles, lo que concluir´ la prueba del teorema de ´ a Sylow. Los grupos de orden pn se llaman p-grupos. El teorema siguiente basta:
- 150. 138 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Teorema 4 Si p es un primo, todo p-grupo no trivial tiene un subgrupo de ´ ındice p. Demostracion: Sea P un p-grupo. Lo probaremos por inducci´n sobre el ´ o orden de P . Si |P | = p el subgrupo trivial tiene ´ındice p. Supongamos que los p-grupos de orden menor que |P | tienen subgrupos de ´ ındice p. Si P es abeliano, entonces P es producto de grupos c´ ıclicos. Los grupos c´ ıclicos tienen subgrupos de todos los ordenes posibles, luego podemos tomar ´ un subgrupo de ´ ındice p en uno cualquiera de los factores. El producto de este subgrupo por los factores restantes es un subgrupo de ´ ındice p en P . Supongamos que P no es abeliano. Entonces Z(P ) P . De nuevo la ecuaci´n de clases nos da que p | Z(P ), luego Z(P ) = 1. Como |P/Z(P )| |P | o y es un p-grupo no trivial, por hip´tesis de inducci´n tenemos que existe un o o grupo H/Z(P ) P/Z(P ) de ´ ındice p, luego |P : H| = p. Conviene observar que hemos demostrado lo siguiente: Teorema 5 Si p es un primo y P es un p-grupo no trivial, entonces Z(P ) = 1. De aqu´ se sigue, por ejemplo: ı Teorema 6 Todo p-grupo es resoluble. Demostracion: Sea P un p-grupo no trivial. Por inducci´n sobre |P |. Si ´ o P es abeliano es resoluble. Si no es abeliano, entonces P/Z(P ) es un p-grupo no trivial y de orden menor. Por hip´tesis de inducci´n P/Z(P ) es resoluble y o o Z(P ) es abeliano, luego resoluble. De aqu´ se sigue que P es resoluble. ı
- 151. Cap´ ıtulo VI Biyecciones afines La geometr´ sint´tica suele ser la m´s indicada para tratar problemas “lo- ıa e a cales”, en torno a figuras que involucran pocos puntos y rectas, mientras que la geometr´ anal´ ıa ıtica resulta m´s apta, por no decir imprescindible, para cuestio- a nes “globales”, como son las relacionadas con las transformaciones del espacio en s´ mismo. Dedicamos este cap´ ı ıtulo a profundizar en las propiedades de es- tas transformaciones. Conviene distinguir siempre entre los resultados afines, v´lidos en todo espacio af´ de los genuinamente eucl´ a ın, ıdeos, pues la geometr´ ıa af´ es una herramienta algebraica susceptible de ser aplicada al estudio de cuer- ın pos arbitrarios, mientras que la estructura eucl´ ıdea es muy particular, v´lida a para espacios reales y s´lo parcialmente generalizable a espacios sobre el cuerpo o de los n´meros complejos. u 6.1 El grupo af´ y el grupo lineal ın Definici´n 6.1 Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, llamaremos o grupo lineal de V , representado por GL(V ), al conjunto de todos los automorfis- mos de V , es decir, el conjunto de todas las aplicaciones lineales biyectivas de V en s´ mismo, que es un grupo con la composici´n de aplicaciones. Claramente, ı o si V tiene dimensi´n n, entonces GL(V ) es isomorfo al grupo GL(n, K) de las o matrices inversibles n × n con coeficientes en K. Dado un espacio af´ E, llamaremos grupo af´ de E al grupo GA(E) for- ın ın mado por las biyecciones afines de E en s´ mismo, tambi´n con la composici´n ı e o de aplicaciones. Recordemos del cap´ ıtulo IV que una afinidad f ∈ GA(E) es una aplicaci´n o que act´a sobre cada punto P en la forma u − −→ f (P ) = f (O) + f (OP ), donde f ∈ GL(E) y O es un punto de E. All´ probamos que una afinidad admite ı una expresi´n de esta forma para cualquier punto O prefijado y siempre con la o misma aplicaci´n f . o 139
- 152. 140 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Es inmediato comprobar que la aplicaci´n o GA(E) −→ GL(E) f → f es un epimorfismo de grupos. Su n´cleo est´ formado por las aplicaciones de la u a forma − −→ −−→ − −− −→ −−→ −− f (P ) = f (O) + OP = P + P f (O) + OP = P + Of (O), −−→ −− donde Of (O) es un vector arbitrario de V . As´ pues, el n´cleo del epimorfismo ı u anterior es el grupo T(E) de las traslaciones de E, esto es, el grupo formado por las afinidades Tv dadas por Tv (P ) = P + v. As´ pues, tenemos que GA(E) T(E) ∼ GL(V ). Por otro lado, es obvio que ı = la aplicaci´n v → Tv es un isomorfismo E ∼ T(E). Diremos que dos conjuntos o = son trasladados si uno es la imagen del otro por una traslaci´n. o Tambi´n podemos sumergir GL(E) en GA(E). Dado un punto O ∈ E, el e conjunto GAO (E) formado por los elementos f ∈ GA(E) tales que f (O) = O es claramente un subgrupo de GA(E) isomorfo a GL(E). Concretamente, cada f ∈ GL(E) se corresponde con la afinidad fO dada por − −→ fO (P ) = O + f (OP ). El isomorfismo inverso es simplemente f → f . Fijado O, toda biyecci´n af´ f se expresa como o ın − −→ − −→ −−→ −− −−→ −− f (P ) = f (O) + f (OP ) = O + f (OP ) + Of (O) = fO (P ) + Of (O), −−→ −− o sea, como composici´n de fO ∈ GAO (E) con la traslaci´n de direcci´n Of (O). o o o Esto significa que GA(E) = GAO (E) T(E). Por otro lado es claro que las traslaciones no tienen puntos fijos, luego GAO (E) ∩ T(E) = 1. En t´rminos de la teor´ de grupos esto se interpreta como que GA(E) es e ıa isomorfo al producto semidirecto GL(E)[E]. Si una afinidad tiene un punto fijo O, entonces su expresi´n respecto a o un sistema de referencia con origen O es particularmente simple, por ello es interesante el teorema siguiente, que describe el conjunto de puntos fijos de una afinidad y en un caso particular garantiza incluso su existencia: Teorema 6.2 Sea f : E −→ E una afinidad en un espacio af´ E. Entonces ın 1. El conjunto I(f ) de puntos fijos (o invariantes) de f es un subespacio vectorial de E. 2. Si f tiene un punto fijo O, entonces el conjunto I(f ) de puntos fijos de f es la variedad lineal O + I(f ). 3. Si I(f ) = 0, entonces f tiene un unico punto fijo. ´
- 153. 6.2. Homotecias 141 Demostracion: 1 es evidente. En 2 es claro que todos los puntos de ´ O + I(f ) son puntos fijos de f . Rec´ ıprocamente, si f (P ) = P entonces P = − −→ − −→ − −→ − −→ O + f (OP ), luego f (OP ) = OP y por lo tanto OP ∈ I(f ). Veamos 3. Sea O un origen arbitrario. Estamos buscando un punto P tal −−→ −−→ −− − −→ que P = f (O) + f (OP ) = O + Of (O) + f (OP ), es decir, tal que − −→ − −→ −−→ −− OP − f (OP ) = Of (O). La aplicaci´n 1− f (donde 1 representa a la identidad) es lineal y por hip´tesis su o o n´cleo es 0, luego es inyectiva, y por consiguiente suprayectiva, luego ciertamente u − −→ −−→ −−→ −− existe un vector OP tal que (1 − f )(OP ) = Of (O), como quer´ ıamos probar. La unicidad del punto fijo se sigue del apartado anterior. 6.2 Homotecias Las homotecias son una familia importante de aplicaciones afines, pues con- tienen esencialmente el concepto de semejanza de figuras, que hasta ahora hemos estudiado unicamente para el caso de los tri´ngulos. Comenzamos defini´ndolas ´ a e algebraicamente y despu´s las caracterizaremos geom´tricamente. e e Definici´n 6.3 Sea E un espacio af´ sobre un cuerpo K. La homotecia de o ın centro O ∈ E y raz´n k ∈ K ∗ = K {0} es la aplicaci´n H(O, k) ∈ GA(E) dada o o por −− → H(O, k)(P ) = O + k OP. Llamaremos H(O, E) al grupo de todas las homotecias de centro O en E. Dos conjuntos son homot´ticos (gr. ‘con el mismo aspecto’) si uno es la imagen del e otro por una homotecia.1 Es inmediato comprobar que la aplicaci´n k → H(O, K) es un isomorfismo o K ∗ ∼ H(O, E). = Las homotecias se pueden caracterizar por sus aplicaciones lineales asociadas. Llamaremos homotecia lineal de raz´n k ∈ K ∗ en un espacio vectorial V sobre o un cuerpo K a la aplicaci´n dada por f (v) = kv. Claramente las homotecias o lineales forman un grupo H(V ) isomorfo a K ∗ . Teorema 6.4 Una afinidad f de un espacio af´ E en s´ mismo es una homo- ın ı tecia de raz´n k = 1 si y s´lo si f es una homotecia lineal de raz´n k. o o o − −→ − −→ Demostracion: Si f = H(O, k), entonces f (P ) = O + f (OP ) = O + k OP , ´ −−→ −− → − −→ luego f (OP ) = k OP para todo vector OP de E, es decir, f es la homotecia lineal de raz´n k. o 1 Notar que esta relaci´n es reflexiva y sim´trica, pero enseguida veremos que no es transi- o e tiva.
- 154. 142 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Rec´ıprocamente, si f es la homotecia de raz´n k = 1, entonces es claro que o I(f ) = O, luego por 6.2 sabemos que f tiene un punto fijo O. Entonces es claro que f = H(O, k). Observar que la unica homotecia de raz´n 1 es la identidad. Ahora es claro ´ o que la composici´n de dos homotecias de centros distintos no es necesariamente o una homotecia. Concretamente, la composici´n de una homotecia de raz´n k o o con otra de raz´n 1/k da lugar a una afinidad con f = 1, pero si los centros o no son el mismo es f´cil ver que f = 1, y entonces f es una traslaci´n. Pronto a o veremos que la composici´n de dos homotecias es siempre una homotecia o una o traslaci´n. Antes necesitamos algunos conceptos auxiliares: o Definici´n 6.5 Diremos que dos variedades lineales L y M de un espacio af´ o ın E son suplementarias si E = L ⊕ M . Notemos que si L y M son suplementarias entonces existe un punto O tal −−→ que L ∩ M = {O}. En efecto, dado P ∈ L y Q ∈ M , entonces P Q = v + w, donde v ∈ L y w ∈ M , luego O = P + v = Q − w cumple O ∈ L ∩ M . Si −→ − O ∈ L ∩ M , entonces OO ∈ L ∩ M = 0, luego O = O . Dadas dos variedades lineales suplementarias L y M en un espacio af´ E, ın todo punto de E se expresa de forma unica como O +v + w, donde L∩M = {O}, ´ v ∈ L y w ∈ M . Llamaremos proyecci´n de E en L paralela a M a la aplicaci´n o o p : E −→ L dada por p(O + v + w) = O + v. Alternativamente, p(P ) es el unico punto de intersecci´n entre las variedades ´ o suplementarias L y P + M . Tambi´n es claro que p es una afinidad, pues e − −→ p(P ) = O + p(OP ), donde p es la proyecci´n de L ⊕ M sobre L. o Ahora estamos en condiciones de probar una versi´n general del teorema de o Tales. Podr´ pensarse que el teorema de Tales es genuinamente eucl´ ıa ıdeo, por lo que no puede enunciarse en espacios afines. No es as´ y ello se debe a la ı, observaci´n siguiente: si P , Q, R y S son cuatro puntos colineales en un espacio o −→ −− → af´ sobre un cuerpo K y P = Q, entonces RS = α P Q, para un unico α ∈ K. ın ´ Por lo tanto podemos definir −→ RS − = α. −→ PQ Notar que esta definici´n generaliza a la que dimos en el cap´ o ıtulo III antes del teorema de Ceva. En un espacio af´ no podemos comparar vectores que no ın correspondan a puntos colineales,2 pero para formular el teorema de Tales no necesitamos m´s. a 2 Podr´ıamos haber definido m´s en general la raz´n entre dos vectores con la misma di- a o recci´n, aunque los puntos que los definen no sean colineales, pero esto ya no ser´ un invariante o ıa af´ (las afinidades no lo conservan) mientras que sobre puntos colineales s´ lo es, como es f´cil ın ı a comprobar.
- 155. 6.2. Homotecias 143 Teorema 6.6 (Teorema de Tales) Sean L, M , N tres hiperplanos paralelos en un espacio af´ E. Si r es cualquier recta no paralela a estos hiperplanos, ın entonces la raz´n o −− → PQ − , donde r ∩ L = {P }, r ∩ M = {Q}, r ∩ N = {R}, → PR es independiente de r. R ✦¤✦ ✦ ¤ ¤ ¤ ¤Q ✦✦ ¤ ¤ ¤✦✦✦ ¤ ¤ ✦✦ ¤ ¤ ¤P ✦ ¤ ✦✦ ¤ r ✦¤ ✦ ¤ ¤ r ¤P ¤Q ¤R ¤ ¤ ¤ ¤L ¤M ¤N Demostracion: Sea W el espacio director de los tres hiperplanos. Sea r ´ otra recta no paralela a L, M , N que los corte en los puntos P , Q , R . Sea p : E −→ r la proyecci´n paralela a W . Entonces es claro que p(P ) = P , o −→− −→ −− −→ −− → p(Q) = Q , p(R) = R . Por lo tanto P R = p(P R) y P Q = p(P Q). Si se −− → −→ −− −→ −→ − cumple P Q = α P R, aplicando p obtenemos P Q = α P R . Como consecuencia obtenemos: Teorema 6.7 Sean P , Q, P , Q puntos distintos de un espacio af´ tales que ın las rectas P Q y P Q sean paralelas. −→ − 1. Si las rectas P P y QQ son paralelas, entonces Q = Tv (Q), con v = P P . 2. Si las rectas P P y QQ se cortan en O, entonces Q = H(O, k)(Q), donde −→ − − − → k = OP OP . ¤ ¤ ¤ ¤✚ ✚ ¤Q ¤Q ¤ ✚¤Q ¤ ¤ ¤✚ ¤ ¤ ¤ ¤ ✚ ¤ ✚ ¤ ¤ ¤ ✚ ¤ ¤ ¤ ✚¤ Q ¤ ¤ ¤ ✚ ✚ ¤¤ ¤ ¤ ¤ ✚ ¤ ¤P ¤P ✚ O ¤P ¤P −→ − Demostracion: 1) Hemos de probar que Q = Q+ P P . Para ello notamos ´ −→ − que Q + P P est´ en la recta QQ y por otro lado a −→ − − −→ −→ − − −→ Q + PP = P + PQ + PP = P + PQ est´ en la recta P Q , luego se trata del punto de corte entre ambas, Q , como a quer´ıamos probar.
- 156. 144 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines −→ − − → −→ − − −→ − − − → 2) Hemos de probar que Q = O + k OQ, o sea, OQ OQ = OP OP , pero esto es consecuencia inmediata del teorema de Tales (aplicado al plano que contiene las rectas consideradas y teniendo en cuenta adem´s la recta paralela a a P Q que pasa por O). Esto nos lleva a la caracterizaci´n geom´trica de las homotecias que hab´ o e ıamos anunciado: Teorema 6.8 Sea E un espacio af´ de dimensi´n mayor o igual que 2. El ın o conjunto de las biyecciones de E en s´ mismo que transforman cada recta en una ı recta paralela (o igual) es el subgrupo de GA(E) formado por las homotecias y las traslaciones de E. Lo representaremos por HT(E). Demostracion: Las biyecciones indicadas forman obviamente un grupo. ´ Es f´cil ver que contiene a las homotecias y a las traslaciones. Por ejemplo, si a f = H(O, k) y r = P + v es una recta, la imagen de un punto Q = P + λv −→ − −→ − − −→ − −→ −− → es O + k OQ, pero k OQ = k OP + k P Q = k OP + λ k, v, luego concluimos que − −→ f [r] = (O + k OP ) + v , que es una recta paralela a r. Veamos que cualquier elemento f del grupo es una homotecia o una tras- laci´n. Distinguimos varios casos. o Si f tiene dos puntos fijos, Q y Q , entonces, dado cualquier punto P que no est´ en la recta QQ , tenemos que f [P Q] es una recta paralela o igual a P Q e que contiene a P , luego es P Q. Igualmente f [P Q ] = P Q . Como P es el unico ´ punto en com´n entre P Q y P Q , necesariamente f (P ) = P . As´ pues, f fija u ı a todos los puntos fuera de la recta QQ . Si R est´ en la recta QQ y P es un a punto exterior a esta recta, entonces todos los puntos de P R salvo quiz´ R son a fijados, luego R tambi´n. Por consiguiente f es la identidad. e Si f tiene un unico punto fijo O, tomemos un punto cualquiera P = O. Sea ´ P = f (P ), que es un punto distinto de O y P y colineal con ellos. Si Q es cualquier punto exterior a la recta OP , entonces Q = f (Q) cumple que las rectas QQ y P P se cortan en O y las rectas P Q y P Q son paralelas. Por −→ − − −→ el teorema anterior f (Q) = H(O, k)(Q), donde k = OP OP . Esto vale en principio para todo Q fuera de la recta OP , pero razonando con otro punto P fuera de esta recta, tambi´n vale para ella. e Si f no tiene puntos fijos, consideremos un punto cualquiera P y su imagen P = f (P ). Para cualquier punto Q exterior a la recta P P el punto Q = f (Q) cumple que P Q es paralela a P Q . Adem´s P P es paralela a QQ , pues si a ambas rectas tuvieran un punto en com´n, ´ste ser´ un punto fijo de f . Por u e ıa −→ − el teorema anterior f (Q) = Tv (Q), donde v = P P . En principio esto vale para todo punto Q fuera de la recta P P , pero partiendo de otra recta, tambi´n vale e para ella. Ejercicio: Probar que los grupos H(O, E) y H(O , E) son conjugados en HT(E) −→ − mediante la traslaci´n de vector OO . o Veamos ahora una consecuencia muy importante del teorema de Tales:
- 157. 6.2. Homotecias 145 Teorema 6.9 (Teorema de Desargues) En un espacio af´ sean ABC y ın, A B C dos tri´ngulos con A = A , B = B , C = C y tales que las rectas a AB, AC, BC sean paralelas (o iguales) respectivamente a A B , A C y B C . Entonces las rectas AA , BB y CC son paralelas o concurrentes. A✥ ✥✥ A A A✥✥✥✥ ❅ ✥✥✥ ❅ ❅ ✥✥✥ ❅ ❅ ❅ ❅ ❜ ❅ ❅ ❜ ❅ C ❅ C ❜ C ❅ ❅ ❅ ❅ ❜ ❅ ✏ ✏✏ ✏ ✏ ✏✏✏ ❜ ✏✏✏ ✏ ❅ ❜ ❅ B B B❜ C ❜ ❅ ❜ ✏✏ ❜ ✏✏ ❜ ✏✏✏ B❜ ❜ Demostracion: Notar que no se exige que los tri´ngulos est´n contenidos ´ a e en el mismo plano. Basta probar que si dos de las tres rectas AA , BB , CC se cortan en un punto, la tercera pasa por dicho punto (si dos de las rectas coinciden el teorema se cumple trivialmente, las tres rectas no pueden coincidir). Supongamos que AA y CC concurren en O. Si A = O las rectas AC y A C no ser´ paralelas. En general, O ha de ser distinto de los seis v´rtices. Por ıan e − −→ − −→ → − − − → el teorema de Tales OA OA = OC AC = k. Como A = A ha de ser k = 1. Sea f = H(O, k) y B = f (B). Por el teorema 6.7 tenemos que B est´ en la a paralela a AB que pasa por A , es decir, en A B , y por el mismo motivo est´ a en B C , luego ha de ser B = B . Esto prueba que O, B y B est´n alineados a (de hecho los tri´ngulos son homot´ticos). a e Ejercicio: Refinar el teorema anterior (analizando los casos que no ha hecho falta analizar) para concluir que bajo las hip´tesis del teorema de Desargues los tri´ngulos o a son trasladados u homot´ticos. e El teorema de Desargues es equivalente a su rec´ ıproco, por lo que tambi´n e ´ste es conocido como teorema de Desargues: e Teorema 6.10 (Teorema de Desargues) En un espacio af´ sean ABC y ın, A B C dos tri´ngulos con A = A , B = B , C = C y tales que las rectas AA , a BB y CC sean paralelas (o iguales) o concurrentes en un punto O distinto de todos los v´rtices. Si los tri´ngulos tienen dos pares de lados paralelos, tambi´n e a e el tercer par lo es. Demostracion: Supongamos que AB es paralela a A B y que AC es ´ paralela a A C . No puede ser que ambos pares de rectas sean coincidentes (o ser´ A = A ) supongamos que las rectas AB y A B son distintas y sea B el ıa punto de corte entre A B y la recta paralela a BC por C . Entonces B = B y podemos aplicar el teorema anterior para concluir que las rectas AA , BB , CC son paralelas o concurrentes, lo que conjuntamente con la hip´tesis implica o que BB = BB , luego B = B , pues ambos son el punto de corte de BB con AB.
- 158. 146 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines 6.3 El teorema fundamental de la geometr´ af´ ıa ın Vamos a probar un teorema que muestra claramente el papel exacto que juegan las biyecciones afines en el marco de la geometr´ af´ al menos en el ıa ın, caso de espacios reales. Se trata del siguiente: Teorema 6.11 (Teorema fundamental de la geometr´ af´ Si E y E ıa ın) son dos espacios afines reales de la misma dimensi´n n ≥ 2 y f : E −→ E es o una biyecci´n que transforma puntos colineales en puntos colineales, entonces f o es una biyecci´n af´ o ın. As´ pues, toda aplicaci´n que conserve la colinealidad conserva de hecho ı o todas las propiedades afines, es decir, todas las propiedades que se conservan por biyecciones afines. En el cap´ ıtulo siguiente interpretaremos este hecho mos- trando que toda la geometr´ af´ puede construirse a partir del mero concepto ıa ın de colinealidad. Demostracion: Dividiremos la prueba en varios pasos. ´ 1. Si A = {P0 , . . ., Pm } es un conjunto de puntos de E af´ ınmente indepen- dientes, entonces f [ A ] ⊂ f [A] . Lo probamos por inducci´n sobre m. Para m = 1 se trata de la hip´tesis. o o Supong´moslo cierto para conjuntos con m puntos y tomemos P ∈ A . a Usando coordenadas baric´ntricas tenemos e P = λ 0 P0 + · · · + λ m Pm , con λ0 + · · · + λm = 1. Puesto que m ≥ 1 hay al menos un λi = 1. Supongamos por ejemplo que se trata de λm . Entonces P = (1 − λm )P + λm Pm , donde 1 P = (λ0 P0 + · · · + λm−1 Pm−1 ) ∈ P0 , . . ., Pm−1 . 1 − λm Entonces f (P ) est´ en la recta f (P )f (Pm ) y f (P ) est´ en la variedad a a f (P0 ), . . ., f (Pm−1 ) por hip´tesis de inducci´n. As´ pues, f (P ) ∈ f [A] . o o ı 2. Las im´genes por f de m + 1 puntos af´ a ınmente independientes son af´ ın- mente independientes Podemos completar el conjunto hasta un sistema de referencia af´ y su- ın poner, por lo tanto, que m = n. Si A es un conjunto de n + 1 puntos ınmente independientes, por el apartado anterior E = f [ A ] ⊂ f [A] , af´ luego los puntos de f [A] han de ser independientes. 3. f transforma cada recta P Q en la recta f (P )f (Q). La hip´tesis del teorema nos da una inclusi´n. Sea R un punto de o o f (P )f (Q). Como f es biyectiva R = f (R) para un cierto R. Si R no
- 159. 6.3. El teoremafundamental de la geometr´ af´ ıa ın 147 estuviera en P Q entonces los puntos P, Q, R ser´ af´ ıan ınmente libres, luego por el punto anterior lo mismo ocurrir´ con f (P ), f (Q), f (R), lo cual es ıa una contradicci´n. o 4. f transforma rectas paralelas en rectas paralelas. Sean P Q y P Q rectas paralelas distintas en E. Entonces los puntos P, Q, P son af´ ınmente independientes y generan el plano que contiene a las dos rectas. Por el paso 1 tenemos que f (P ), f (Q), f (P ) son af´ ınmente independientes, luego generan un plano que contiene a f (Q ) por 2, luego de hecho contiene a las rectas f [P Q] y f [P Q ]. Como f es biyectiva estas rectas no tienen puntos comunes, luego son paralelas. 5. Para todos los puntos O, P, Q ∈ E, se cumple −→ − −−−→ −−− f (P + OQ) = f (P ) + f (O)f (Q). −→ − Sea R = P + OQ. Si O, P, Q no est´n alineados, lo mismo sucede con a f (P ), f (Q), f (R). Por el teorema 6.7 tenemos que R es la intersecci´n o de la paralela a OP por Q y la paralela a OQ por P . Por consiguiente f (R) es la intersecci´n de la paralela a f (O)f (P ) por f (Q) y la paralela a o f (O)f (Q) por f (P ). De nuevo por el teorema 6.7 podemos concluir que −−−→ −−− f (R) = f (O) + f (O)f (Q). Si O, P, Q est´n contenidos en una recta r, tomamos una paralela cual- a quiera r y en ella un punto R . La paralela a OR por Q corta a r en un −→ − −→ − punto R = R + OQ y la paralela a P R por R corta a r en P + OQ = R. Al aplicar f a todos estos puntos y rectas se conservan las relaciones de −−−→ −−− incidencia y paralelismo, luego tenemos que f (R ) = f (R ) + f (O)f (Q) y −−−→ −−− f (R) = f (P ) + f (O)f (Q). R R r ✡❇ ✡ ✡❇ ✡ ✡ ❇ ✡ ❇ ✡ ❇ ✡ ❇ ✡ ❇ ❇ ✡ ❇ r ❇ O P Q R 6. Fijemos una recta r y sean O, A dos de sus puntos. Para cada α ∈ R sea −→ −−−→ −−−→ −−− −−− P = O + α OA y sea σ(α) = f (O)f (P )/f (O)f (A), Entonces σ : R −→ R es un automorfismo de cuerpos. La figura anterior ilustra que σ conserva la suma. En efecto, si suponemos −→ −→ −→ P = O + α OA, Q = O + β OA, entonces R = R + β OA, y de aqu´ que ı −→ − → R = P + β OA = O + (α + β)OA. −−−→ −−− Por definici´n de σ tenemos que f (P ) = f (O) + σ(α) f (O)f (A), f (Q) = o −−−→ −−− −−−→ −−− f (O) + σ(β) f (O)f (A), f (R) = f (O) + σ(α + β) f (O)f (A), y como f
- 160. 148 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines −−−→ −−− conserva la figura, tambi´n tenemos que f (R) = σ(α) + σ(β) f (O)f (A), e luego σ(α + β) = σ(α) + σ(β). Para el producto empleamos un argumento similar basado en la cons- trucci´n que muestra la figura siguiente: o ✑ R ✑✑ ✑ ✑ ✁❅ ✑ ✁ ❅ R ✑ ✁ ✑ ❅ ✑ ✁❅ ✁ ❅ ✑ ✁ ❅✁ ✑ ❅ ✑ ✁ ✁❅ ❅ O A P Q R − → −→ − Se prueba sin dificultad que si P = O + α OA y Q = O + β OB, en- −→ tonces R = O + (αβ) OA. Por definici´n de σ tenemos que f (R) = o −−−→ −−− −−−→ −−− σ(αβ) f (O)f (A), y como f conserva la figura f (R) = σ(α)σ(β) f (O)f (A), luego σ(αβ) = σ(α)σ(β). El car´cter biyectivo de σ es inmediato. a 7. El unico automorfismo de R es la identidad. ´ En efecto, si σ es un automorfismo de R, entonces σ env´ cuadrados a ıa cuadrados, luego α 0 si y s´lo si σ(α) 0. A su vez esto implica que o α β si y s´lo si σ(α) σ(β). Por otro lado σ ha de fijar a Q, y una o biyecci´n de R en R que conserve el orden y fije a los n´meros racionales o u es necesariamente la identidad. 8. f es una afinidad. −− − − −→ −−−−− Fijemos un punto O ∈ E. Sea f (v) = f (O)f (O + v). Por 5 se cumple que − − −→ → − − −→ −−−→−−− −−−→ −−−→ −−− −−− f (O+OP +OQ) = f (O+OP )+f (O)f (Q) = f (O)+f (O)f (P )+f (O)f (Q), luego − −→ −→− − −→ −→ − f (OP + OQ) = f (OP ) + f (OQ). Por 7 tenemos que σ es la identidad, luego por definici´n de σ o −→ − → f (α OA) = α f (OA). − −→ Por consiguiente f es una aplicaci´n lineal, y f (P ) = f (O) + f (OP ), luego o f es af´ ın. Observar que la prueba es v´lida para espacios afines sobre cualquier sub- a cuerpo K de R en el que todo n´mero positivo tenga una ra´ cuadrada. En u ız particular es v´lido para los modelos de geometr´ discontinua que comentamos a ıa en el cap´ ıtulo anterior. Ejercicio: Probar que el teorema anterior es falso para espacios afines complejos.
- 161. 6.4. Isometr´ ysemejanzas ıas 149 6.4 Isometr´ y semejanzas ıas Nos ocupamos ahora de los espacios eucl´ ıdeos. Recordemos del cap´ ıtulo IV que una isometr´ de un espacio af´ eucl´ ıa ın ıdeo E es una afinidad biyectiva cuya aplicaci´n lineal asociada es una isometr´ lineal. Recordemos a su vez que las o ıa isometr´ lineales son los automorfismos f de E tales que ıas f (v)f (w) = v w, para todo v, w ∈ E, lo cual a su vez equivale a que f (v) = v para todo v ∈ E, debido a la relaci´n o v − w 2 = v 2 + w 2 − 2v w. Otra caracterizaci´n importante es que una aplicaci´n lineal f : E −→ E es una o o isometr´ si y s´lo si transforma una base ortonormal en una base ortonormal, ıa o pues si conserva el producto escalar sobre una base, por linealidad lo conserva sobre vectores arbitrarios. De aqu´ se sigue a su vez otra caracterizaci´n impor- ı o tante que no vimos en su momento. Definici´n 6.12 Diremos que una matriz cuadrada A en un cuerpo K es or- o togonal si cumple AAt = In , donde At es la matriz traspuesta de A y e In es la matriz identidad. As´ A es ortogonal si su inversa es su traspuesta. ı, Veamos la caracterizaci´n de las isometr´ lineales a la que hac´ o ıas ıamos refe- rencia: Teorema 6.13 Sea E un espacio vectorial eucl´ ıdeo y f : E −→ E una apli- caci´n lineal. Entonces f es una isometr´ lineal si y s´lo si la matriz de f en o ıa o una base ortonormal es ortogonal (y en tal caso la matriz de f en cualquier base ortonormal es ortogonal. Demostracion: Fijada una base ortonormal de E, la aplicaci´n que a cada ´ o vector le asigna sus coordenadas respecto a esta base es una isometr´ entre E ıa y Rn . Sea A la matriz de f en la base fijada. Entonces f ser´ una isometr´ si a ıa y s´lo si las im´genes de los vectores de la base forman una base ortonormal, si o a y s´lo si sus coordenadas (esto es, las filas de A) son una base ortonormal en o Rn . Ahora observamos que el elemento (i, j) de AAt es el producto escalar de la fila i-´sima de A por la fija j-´sima de A, luego las filas de A son una base e e ortonormal de Rn si y s´lo si AAt = In . o Definici´n 6.14 Dado un espacio vectorial eucl´ o ıdeo V sobre un cuerpo K, lla- maremos grupo ortogonal de V , representado por O(V ), al conjunto de todas las isometr´ lineales de V , que es un grupo con la composici´n de aplicacio- ıas o nes.Si V tiene dimensi´n n, entonces O(V ) es isomorfo al grupo O(n, K) de las o matrices ortogonales n × n con coeficientes en K. Dado un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E, llamaremos Is(E) al grupo de las isometr´ ıas de E, tambi´n con la composici´n de aplicaciones. e o
- 162. 150 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Es claro que la aplicaci´n o Is(E) −→ O(E) f → f es un epimorfismo de grupos cuyo n´cleo es el grupo de las traslaciones T(E). u Definici´n 6.15 Sea E un espacio af´ eucl´ o ın ıdeo. Una biyecci´n f : A −→ B o entre dos subconjuntos de E es una semejanza de raz´n k 0 si para todo par o de puntos P, Q ∈ A se cumple −−−→ −−− − −→ f (P )f (Q) = k P Q . Si existe una semejanza entre A y B se dice que son semejantes, y cada par de puntos P , f (P ) correspondientes por una semejanza f se llaman puntos hom´logos (respecto a f ). o Es claro que la inversa de una semejanza de raz´n k es una semejanza de o raz´n 1/k y que la composici´n de semejanzas es una semejanza de raz´n igual o o o al producto de las razones. Las semejanzas de raz´n 1 son las isometr´ o ıas Notemos que dos tri´ngulos son semejantes en el sentido usual si y s´lo si lo a o son en el sentido general que acabamos de definir. Es obvio que una homotecia de raz´n k es una semejanza de raz´n |k|. Por o o consiguiente, si f es una semejanza de raz´n k entre dos subconjuntos A y B o de un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E, al componerla con una homotecia g de raz´n 1/k o obtenemos una semejanza de raz´n 1, es decir, una isometr´ Por el teorema o ıa. 4.22, f ◦g se extiende a una isometr´ de E en s´ mismo, llam´mosla h. Entonces ıa ı e h ◦ g −1 es una semejanza de E en s´ mismo que extiende a f . Esto prueba el ı teorema siguiente: Teorema 6.16 Toda semejanza de raz´n k entre dos subconjuntos de un espa- o cio af´ eucl´ ın ıdeo E se extiende a una semejanza de raz´n k de E en s´ mismo. o ı Toda semejanza de raz´n k de E en s´ mismo es una afinidad y se puede expresar o ı como composici´n de una isometr´ y una homotecia de raz´n k. o ıa o Definici´n 6.17 Llamaremos Sem(E) al grupo de las semejanzas de un espacio o af´ eucl´ ın ıdeo E en s´ mismo. ı Hemos probado que Sem(E) ≤ GA(E). La aplicaci´n que a cada semejanza o le asigna su raz´n es un epimorfismo de Sem(E) en ]0, +∞[ cuyo n´cleo es o u claramente Is(E). Vamos a caracterizar las semejanzas en t´rminos de sus aplicaciones lineales e ıdeo, diremos que f ∈ GL(V ) es una asociadas. Si V es un espacio vectorial eucl´ semejanza lineal de raz´n k 0 si f (v) = k v para todo v ∈ V . Llamaremos o Sem(V ) al grupo de las semejanzas lineales de V . Es claro que una afinidad f es una semejanza si y s´lo si f es una semejanza o lineal. Tenemos, pues, un epimorfismo Sem(E) −→ Sem(E) cuyo n´cleo es el u
- 163. 6.4. Isometr´ ysemejanzas ıas 151 grupo T (E) de las traslaciones de E. Por otra parte, el hecho de que toda seme- janza de E se descomponga en producto de una isometr´ y una homotecia se ıa traduce, a trav´s de este epimorfismo, en que toda semejanza lineal es producto e de una isometr´ lineal y una homotecia lineal. M´s a´n, es f´cil ver que si ıa a u a llamamos H+ (E) al grupo de las homotecias lineales de E de raz´n positiva, se o cumple Sem(E) = O(E) × H+ (E). Para ello hay que probar que los dos subgrupos de la derecha son normales, pero ello se sigue inmediatamente del hecho de que las homotecias lineales conmutan con todos los elementos de GL(E). Ejercicio: Probar que HT(E) es un subgrupo normal de Sem(E) y ∼ Sem(E)/HT(E) = Sem(E)/H(E). Una propiedad interesante de las semejanzas propiamente dichas, es decir, las que no son isometr´ es que siempre tienen un unico punto fijo. ıas, ´ Teorema 6.18 Toda semejanza de raz´n k = 1 en un espacio af´ eucl´ o ın ıdeo tiene un unico punto fijo llamado centro de la semejanza. ´ Demostracion: Es consecuencia inmediata del teorema 6.2, pues si f cum- ´ ple las hip´tesis entonces f es una semejanza lineal de raz´n k = 1, y es claro o o que su unico punto fijo es 0. ´ En general, las semejanzas lineales no conservan las normas, luego tampoco el producto escalar. Sin embargo, el hecho de que toda semejanza lineal f de raz´n k se exprese como composici´n de una isometr´ lineal por una homotecia o o ıa lineal de raz´n k implica la relaci´n f (v)f (w) = k 2 v w. Esto implica que las o o semejanzas lineales conservan ´ngulos, pues a f (v)f (w) k2 vw cos f (v)f (w) = = 2 = cos v w. f (v) f (w) k v w En particular las semejanzas lineales conservan la ortogonalidad. Vamos a probar el rec´ ıproco, es decir, que las unicas aplicaciones lineales que conservan ´ la ortogonalidad (o a fortiori los ´ngulos) son las semejanzas lineales. De aqu´ a ı deduciremos el an´logo para las semejanzas afines. a Teorema 6.19 Sea V un espacio vectorial eucl´ ıdeo y f : V −→ V una apli- caci´n lineal no nula. Entonces son equivalentes: o 1. f es una semejanza lineal. 2. f conserva la ortogonalidad de vectores. 3. f conserva los angulos entre vectores. ´
- 164. 152 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Demostracion: Es suficiente probar que 2 implica 1. Suponemos, pues, ´ que si v w = 0 entonces f (v)f (w) = 0 (notar que no suponemos la doble impli- caci´n). o Fijado un vector v ∈ V , la aplicaci´n u(w) = f (v)f (w) es lineal. Suponga- o mos que existe un w tal que u(w) = 0. Entonces el n´cleo de u tiene dimensi´n u o ⊥ n − 1 (donde n es la dimensi´n de V ), y por hip´tesis contiene a v , cuya di- o o mensi´n es la misma. Por consiguiente u se anula exactamente sobre los vectores o ortogonales a v. Definimos k(v) como el unico escalar que cumple ´ u(w) = f (v)f (w) = k(v)v w. Todo vector de V se expresa como t + αw, donde t ⊥ v, con lo que la relaci´n o anterior vale en realidad no s´lo para el w que hemos tomado sino de hecho o para todo w ∈ V . Si u es nula la relaci´n sigue siendo v´lida sin m´s que tomar o a a k(v) = 0. Por simetr´ si v w = 0 se ha de cumplir k(v) = k(w). Si v w = 0 con ıa, ambos factores no nulos, entonces y = v + w cumple que vy = 0 = wy, luego k(v) = k(y) = k(w). Esto prueba que k = k(v) es independiente de v = 0. Adem´sa f (v) 2 = k v 2 , para todo v ∈ V. Como existen vectores con imagen no nula, ha de ser k 0, de donde f es una √ semejanza de raz´n k. o Teorema 6.20 Sea E un espacio af´ eucl´ ın ıdeo y f : E −→ E una aplicaci´n o biyectiva. Las afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. f es una semejanza. 2. Para toda terna de puntos distintos se cumple ABC = f (A)f (B)f (C). 3. Para todos los puntos A = B, C = D, si AB ⊥ CD, entonces f (A)f (B) ⊥ f (C)f (D). Demostracion: Usando el teorema anterior es f´cil ver que 1 → 2 → 3. ´ a Para probar 3 → 1 basta demostrar que f es af´ y por el teorema fundamental ın, esto equivale a probar que f transforma puntos alineados en puntos alineados. Sean A, B, C tres puntos alineados. Podemos formar una base ortogonal −→ de E de la forma AAi , para i = 1, . . ., n con A1 = B. Por hip´tesis los vecto- o −− − − − − −→ res f (A)f (Ai ) son ortogonales dos a dos, luego son una base ortogonal de E. Podemos expresar −−−→ −−− −− − − − − −→ −−−− −−−→ f (A)f (C) = λ1 f (A)f (A1 ) + · · · + λn f (A)f (An ). (6.1) Ahora bien, si i = 1 entonces AAi ⊥ AC, luego tambi´n f (A)f (Ai ) ⊥ f (A)f (C). e −− − − − − −→ Multiplicando (6.1) por f (A)f (Ai ) obtenemos λi = 0, luego (6.1) se reduce a −−−→ −−− −− − − − − −→ f (A)f (C) = λ1 f (A)f (A1 ), lo que significa que f (A), f (A1 ) = f (B) y f (C) est´n alineados. a
- 165. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 153 6.5 Clasificaci´n de endomorfismos o En esta secci´n desarrollaremos una potente teor´ algebraica que nos dar´ o ıa a un gran control sobre los endomorfismos de un espacio vectorial y, de aqu´ ı, sobre las afinidades e isometr´ de los espacios afines. El problema principal ıas que nos proponemos resolver consiste en que a veces es f´cil reconocer que a una isometr´ lineal es, por ejemplo, un giro en R3 , si conocemos su matriz en ıa una base determinada, mientras que es irreconocible si se nos da su matriz en otra base. Vamos a buscar criterios que nos permitan determinar cu´ndo dos a matrices pueden corresponder a la misma aplicaci´n escogiendo bases adecuadas o as´ como t´cnicas que nos permitan encontrar la expresi´n m´s simple posible ı e o a para la matriz de una aplicaci´n lineal. o Por razones que pronto se comprender´n, conviene que comencemos nuestro a estudio en un contexto muy general. Consideraremos homomorfismos entre m´dulos libres sobre un dominio eucl´ o ıdeo. Haremos uso de los teoremas de estructura de m´dulos: todo m´dulo M finitamente generado sobre un dominio o o de ideales principales3 A se descompone como M = L ⊕ Mt , donde L es un subm´dulo libre (cuyo rango s´lo depende de M ) y Mt es el subm´dulo de o o o torsi´n, formado por todos los elementos m tales que am = 0 para cierto a ∈ A o no nulo. Cada elemento m de Mt tiene definido (salvo unidades) un orden o(m) ∈ A de modo que am = 0 si y s´lo si o(m) | a. A su vez es posible o descomponer Mt = v1 ⊕ · · · ⊕ vn , donde podemos exigir que cada o(vi ) sea potencia de primo (y entonces se llaman divisores elementales de M ) o bien que o(vi ) | o(vi+1 ) (y entonces se llaman factores invariantes de M ). Los divisores elementales y los factores invariantes est´n un´ a ıvocamente determinados por M salvo unidades. Supongamos que f : M −→ N es un homomorfismo entre A-m´dulos libres o de rangos m y n respectivamente y que B y B son bases respectivas. Sea S la matriz de f en estas bases. Supongamos que f tiene otra matriz T respecto a otras bases C y C . ¿Cu´l es entonces la relaci´n entre S y T ? Es sencilla: a o Sea P la matriz de la identidad en M respecto de las bases C y B (la llamada matriz del cambio de base). Sea Q la matriz de la identidad en N respecto de las bases C y B . Entonces si x es la m-tupla de coordenadas en C de un elemento m ∈ M , tendremos que xP es la m-tupla de coordenadas de m en la base B, luego xP S es la n-tupla de coordenadas de f (m) en B , luego xP SQ es la n-tupla de coordenadas de f (m) en C . Por la unicidad de la matriz, se ha de cumplir T = P SQ. Adem´s como P y Q son matrices de isomorfismos, a ambas son regulares (tienen inversa). En vista de esto definimos: Definici´n 6.21 Sea A un anillo conmutativo y unitario. Diremos que dos o matrices S, T ∈ Matm×n (A) son equivalentes si existen matrices P ∈ GL(m, A) y Q ∈ GL(n, A) tales que T = P SQ. Es evidente que la equivalencia de matrices es una relaci´n de equivalencia o en el conjunto Matm×n (A). Acabamos de demostrar que si S y T son matrices 3 En realidad nos bastar´ trabajar con dominios eucl´ a ıdeos.
- 166. 154 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines de un mismo homomorfismo entre A-m´dulos libres f : M −→ N , entonces S y o T son equivalentes. Rec´ ıprocamente, si S es la matriz de f en ciertas bases y T es equivalente a S, es f´cil ver que T es la matriz de f en otras bases adecuadas a (las que convierten a P y Q en las matrices del cambio de base). Ahora vamos a dar un criterio sencillo para determinar cu´ndo dos matrices a dadas son o no equivalentes, al tiempo que encontraremos para cada matriz una equivalente lo m´s sencilla posible. Para ello usaremos el resultado siguiente: a Teorema 6.22 Sea A un anillo conmutativo y unitario y sean S y T dos matri- ces m×n en A. Si T resulta de realizar sobre S una de las siguientes operaciones, entonces T es equivalente a S: 1. Permutar dos filas (o columnas). 2. Cambiar la fila (o columna) j-´sima por la suma de la fila (columna) e j-´sima m´s la fila (columna) k-´sima (k = j) multiplicada por una cons- e a e tante r. 3. Multiplicar una fila (columna) por una unidad u de A. Demostracion: Realizar una de estas operaciones equivale a multiplicar ´ la matriz por la izquierda o por la derecha (seg´n sea sobre filas o columnas) u por una de las siguientes matrices regulares (todas tienen unos en la diagonal y ceros fuera de ella salvo cuando se indica expl´ ıcitamente lo contrario): j k k 1 1 .. .. . . .. j 0 1 j . r .. , .. , . . .. k 1 0 . .. . .. . 1 1 j 1 .. . j u . .. . 1 El teorema siguiente nos resuelve el problema de determinar cu´ndo dos a matrices son equivalentes:
- 167. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 155 Teorema 6.23 Sea E un dominio eucl´ ıdeo y A ∈ Matm×n (E). Entonces A es equivalente a una unica matriz de la forma ´ d1 .. . dr , 0 .. . 0 donde cada di = 0 y di | di+1 . La unicidad se entiende salvo sustituci´n de los o di por asociados (o sea, salvo unidades). Los elementos di se llaman factores invariantes de A. Demostracion: La prueba que vamos a ver nos da un algoritmo para ´ calcular los factores invariantes de cualquier matriz dada. Llamemos φ a la norma eucl´ ıdea del anillo E. Si A = 0 ya es de la forma requerida. En otro caso, sea aij un coeficiente de A no nulo con norma m´ ınima. Intercambiando filas y columnas podemos llevarlo a la posici´n (1, 1), es decir, pasamos a una matriz equivalente donde o a11 = 0 tiene norma m´ ınima. Para cada k 1 dividimos a1k = a11 bk + b1k , de modo que b1k = 0 o bien φ(b1k ) φ(a11 ). Restamos a la columna k-´sima la primera multiplicada por bk , con lo que e la primera fila se convierte en (a11 , b12 , . . ., b1n ). Si alg´n b1k es no nulo llevamos a la posici´n (1, 1) el de menor norma y u o repetimos el proceso. Como cada vez la norma del coeficiente (1, 1) disminuye, el proceso no puede continuar indefinidamente, por lo que al cabo de un n´merou finito de pasos llegaremos a una primera fila de la forma (a11 , 0, . . ., 0). Repitiendo el proceso con la primera columna llegamos a una matriz equi- valente de la forma: a11 0 · · · 0 0 . . . B 0 Si a11 no divide a alguno de los restantes coeficientes aij , entonces hacemos aij = aij c + d con d = 0 y φ(d) φ(a11 ), llevamos d a la posici´n (1, 1) y o repetimos el proceso de hacer ceros. Como la norma sigue disminuyendo, tras un n´mero finito de pasos llegaremos a una matriz como la anterior y en la que u a11 divide a todos los coeficientes restantes. Ahora repetimos el proceso con la matriz B, lo cual no altera los ceros de la fila y la columna primera ni el hecho de que a11 divide a todos los coeficientes. De este modo llegamos a una matriz como la del enunciado. Probemos que si dos matrices como la del enunciado son equivalentes, en- tonces son iguales (salvo multiplicaci´n de sus coeficientes por unidades). o
- 168. 156 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Sea A una tal matriz. Sea f : E m −→ E n el homomorfismo que en ciertas bases, digamos {e1 , . . ., em } y {f1 , . . ., fn }, tiene matriz A, es decir, f (ei ) = di fi para i = 1, . . ., r y f (ei ) = 0 en otro caso. Entonces Im f = d1 f1 ⊕ · · · ⊕ dr fr , y E n / Im f = f1 ⊕ · · · ⊕ fn ( d1 f1 ⊕ · · · ⊕ dr fr ⊕ 0 ⊕ · · · ⊕ 0) ∼ = f1 d1 f1 ⊕ · · · ⊕ fr dr fr ⊕ fr+1 ⊕ · · · ⊕ fn . Resulta que E n / Im f es un m´dulo finitamente generado sobre un dominio o eucl´ıdeo con rango n − r (el rango de la parte libre) y, respecto al subm´dulo de o torsi´n, est´ generado por los elementos fi + di fi de orden claramente igual a o a di . Por lo tanto d1 , . . ., dr son los factores invariantes del m´dulo E n / Im f . o Si otra matriz B del mismo tipo es equivalente a A, entonces B es la matriz de f en otras bases, luego sus coeficientes son los factores invariantes del mismo m´dulo E n / Im f , luego son los mismos salvo unidades. o As´ pues, dos matrices son equivalentes si y s´lo si tienen los mismos factores ı o invariantes. La matriz equivalente a una matriz dada A que tiene la forma indicada en el teorema anterior se llama forma can´nica de A, de modo que dos o matrices son equivalentes si y s´lo si tienen la misma forma can´nica. o o En el caso en que el anillo es un cuerpo la situaci´n es mucho m´s simple. o a Como todos los elementos no nulos son unidades, todos los factores invariantes de una matriz A pueden tomarse iguales a 1, luego lo unico que puede variar ´ es su n´mero r. Este n´mero se llama rango de A. Tenemos, pues, que dos u u matrices sobre un cuerpo son equivalentes si y s´lo si tienen el mismo rango. o El rango de A tiene una interpretaci´n muy sencilla: sea f una aplicaci´n o o lineal de matriz A. Las filas de A son las coordenadas de las im´genes de los vec- a tores de la primera base respecto a la segunda base. Estas im´genes generan el a subespacio Im f , luego contienen exactamente dim Im f vectores independientes. Como la aplicaci´n que a cada vector le asigna sus coordenadas es un isomor- o fismo, resulta que A tiene dim Im f filas independientes. La forma can´nica de o A es tambi´n una matriz de f y tiene r filas independientes, luego dim Im f = r e y el rango de una matriz es el n´mero de filas independientes que contiene. u Por otra parte es obvio que si dos matrices son equivalentes sus traspuestas tambi´n lo son, y la traspuesta de una forma can´nica es ella misma, luego el e o rango de una matriz es el mismo que el de su traspuesta. Por lo tanto: El rango de una matriz A con coeficientes en un cuerpo es el n´mero u de filas y el n´mero de columnas linealmente independientes. u Con esto tenemos clasificadas las matrices de los homomorfismos entre m´- o dulos libres, es decir, sabemos reconocer si dos matrices corresponden al mismo homomorfismo en bases distintas y a cada homomorfismo le sabemos encon- trar una matriz especialmente simple (en forma can´nica). Nuestro objetivo es o obtener una teor´ an´loga para endomorfismos de un espacio vectorial, donde ıa a ahora imponemos la condici´n de que no queremos considerar dos bases para o
- 169. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 157 el mismo espacio, sino una sola. Si f : M −→ M es un endomorfismo de un modulo libre M y S, T son las matrices de f respecto a ciertas bases B y C, el mismo razonamiento que cuando ten´ ıamos dos m´dulos nos da ahora que o T = P −1 SP , para cierta matriz regular P (P es la matriz del cambio de base de B a C y P −1 es la matriz del cambio de base de C a B). Por ello definimos: Definici´n 6.24 Sea A un anillo conmutativo y unitario. Diremos que dos o matrices S, T ∈ Matn (A) son semejantes si existe una matriz P ∈ GL(n, A) tal que T = P −1 SP . Es evidente que la semejanza de matrices es una relaci´n de equivalencia en o el conjunto Matn (A). Dos matrices de un mismo endomorfismo de A-m´dulos o libres son semejantes, y si S es la matriz de un endomorfismo f y T es semejante a S, entonces T es la matriz de f en otra base. Dos matrices semejantes son equivalentes, pero el rec´ ıproco no es cierto. Por ejemplo, si T = P −1 SP , tomando determinantes, |T | = |P |−1 |S| |P | = |S|, y es f´cil encontrar matrices equivalentes con determinantes distintos, luego no a semejantes. La idea fundamental en el estudio de un endomorfismo de un espacio V es encontrarle subespacios invariantes, es decir, encontrar subespacios W tales que h[W ] ⊂ W . Por ejemplo, si h es un giro en R3 (cuyo eje pasa por 0), podemos encontrar dos subespacios invariantes: el plano de giro, donde h es un giro en R2 , y el eje de giro, donde h es la identidad. La matriz de h ser´ la m´s simple a a si tomamos una base que tenga dos vectores en el plano de giro y el tercero en el eje. Para encontrar subespacios invariantes podemos valernos de la teor´ de ıa m´dulos gracias al planteamiento siguiente: Sea V un espacio vectorial de di- o mensi´n finita sobre un cuerpo K. Entonces el conjunto EndK (V ) de todos los o endomorfismos de V tiene estructura de anillo (no conmutativo) con la suma definida punto a punto: (f + g)(v) = f (v) + g(v) y tomando como producto la composici´n de aplicaciones. Si h ∈ EndK (V ) definimos el homomorfismo o K[x] −→ EndK (V ) que a cada polinomio p(x) le asigna p(h). Notar que la unidad de EndK (V ) es el endomorfismo identidad, por lo que la imagen del polinomio 1 es dicha identidad. Ahora definimos una operaci´n K[x] × V −→ V dada por p(x)v = p(h)(v). o As´ por ejemplo, xv = h(v), (x2 + 2)v = h h(v) + 2v, etc. ı, Es f´cil ver que V , con su suma de espacio vectorial y esta operaci´n, es un a o K[x]-m´dulo. o En resumen, hemos dotado a V de estructura de K[x]-m´dulo de modo que o la multiplicaci´n por elementos de K es la que ya ten´ o ıamos en V como espacio vectorial y la multiplicaci´n por x consiste en aplicar h. Esto hace que los o subespacios invariantes que estamos buscando sean precisamente los subm´dulos o de V . El teorema siguiente recoge este hecho junto con los resultados que garantizan que podemos aplicar los teoremas de estructura de m´dulos (notemos o que K[x] es un dominio eucl´ ıdeo).
- 170. 158 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Teorema 6.25 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita n sobre un o cuerpo K, sea h un endomorfismo de V . Entonces 1. V es un K[x]-m´dulo finitamente generado. o 2. Sus subm´dulos son los subespacios vectoriales W tales que h[W ] ⊂ W . o 3. El n´cleo N(h) es un subm´dulo de V . u o 4. V es un m´dulo de torsi´n. o o Demostracion: 1) Notar que el producto de un polinomio constante por ´ un elemento de V es el producto dado de V como espacio vectorial. Por ello una combinaci´n lineal con coeficientes en K tambi´n puede considerarse con o e coeficientes en K[x], luego una base de V como espacio vectorial es un generador de V como m´dulo. o 2) Si W es un subm´dulo de V , entonces la suma de elementos de W est´ o a en W y el producto de un escalar por un elemento de W est´ en W , luego W es a un subespacio vectorial. M´s a´n, si v ∈ W , xv = h(v) ∈ W , luego h[W ] ⊂ W . a u Rec´ıprocamente, si W cumple estas condiciones entonces W es estable para la suma y para el producto por escalares y por x, de donde f´cilmente se sigue a que W es estable para el producto por cualquier polinomio. 3) es consecuencia de 2). 4) Si v ∈ V , entonces los vectores v, xv, . . ., xn v han de estar repetidos o ser linealmente dependientes, luego existen escalares no todos nulos tales que t0 v + t1 xv + · · · + tn xn v = 0, o sea, (tn xn + · · · + t1 x + t0 )v = 0, luego v es un elemento de torsi´n. o Los teoremas de estructura de m´dulos nos garantizan ahora que V se des- o compone en la forma V = v1 K[x] ⊕ · · · ⊕ vr K[x] , donde la notaci´n v k[x] representa al subm´dulo generado por v, (mientras o o que v representar´ al subespacio vectorial generado por v). a Nuestra intenci´n es describir h en t´rminos de su acci´n sobre estos sub- o e o m´dulos, que son subespacios invariantes donde la acci´n de h es la m´s simple o o a posible. Vamos a probar que la acci´n de h sobre cada vi K[x] est´ determinada o a por un polinomio. Definici´n 6.26 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita y h un endo- o o morfismo de V . Para cada v ∈ V llamaremos polinomio m´ ınimo de v (pol m´ v) ın a o(v), es decir, al polinomio que divide a todos los polinomios que anulan a v. En principio pol m´ v est´ determinado salvo unidades, pero es unico si lo ın a ´ tomamos m´nico. o Veamos en primer lugar que pol m´ v determina la dimensi´n como espacio ın o vectorial del subm´dulo generado por v. o
- 171. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 159 Teorema 6.27 Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial de dimensi´n o finita n. Sea h un endomorfismo de V . Entonces dim v k[x] = grad pol m´ v. ın Demostracion: Sea p(x) = pol m´ v y sea m su grado. Un elemento ´ ın cualquiera de v k[x] es de la forma q(x)v con q(x) ∈ K[x]. Dividamos q(x) = c(x)p(x) + r(x), con grad r(x) m. Entonces q(x)v = c(x)(p(x)v) + r(x)v = c(x)0 + r(x)v = r(x)v, (6.2) que es combinaci´n lineal de v, xv, . . ., xm−1 v. o Estos vectores han de ser distintos y linealmente independientes, pues lo contrario significa que hay un polinomio q(x) = 0 y de grado a lo sumo m − 1 tal que q(x)v = 0, pero entonces p(x) | q(x), lo cual es imposible seg´n los u grados. Por lo tanto v, xv, . . ., xm−1 v es una base de v k[x] como espacio vectorial. Ahora ya estamos en condiciones de caracterizar la acci´n de h sobre un o subm´dulo mon´geno: o o Teorema 6.28 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita o y h un endomorfismo de V . Son equivalentes: n 1. Existe un v ∈ V tal que V = v k[x] y pol m´ v = ın ai xi (con an = 1). i=0 2. dimK V = n y existe una base de V en la cual la matriz de h es 0 1 .. .. . . .. .. . . 0 1 −a0 −a1 · · · −an−2 −an−1 Demostracion: 2) equivale a que exista una base {v0 , . . ., vn−1 } de V de ´ n−1 manera que h(vi ) = vi+1 para i = 0, . . ., n − 2 y h(vn−1 ) = − ai vi . i=0 Si se cumple 1), entonces {v, xv, . . ., xn−1 v} es una base que cumple 2). Si {v0 , . . ., vn−1 } cumple 2), entonces con v = v0 se cumple que vi = xi v0 , n−1 n as´ como que xn v = − ı ai xi v, es decir, p(x) = ai xi cumple p(x)v = 0, i=0 i=0 luego es un m´ltiplo del polinomio m´ u ınimo de v, pero por otro lado es obvio que V = v k[x] , luego el grado del polinomio m´ ınimo de v ha de ser n = grad p(x). As´ pues, p(x) = pol m´ v. ı ın En el caso general en que V no es necesariamente mon´geno, la descom- o posici´n (6.2) nos permite obtener una descripci´n de h a partir de su acci´n o o o sobre cada subespacio. Antes de entrar en ello debemos tener en cuenta que
- 172. 160 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines los teoremas de estructura de m´dulos nos garantizan que los generadores vi o se pueden escoger de modo que sus polinomios m´ ınimos pi sean potencias de primo o bien de modo que cada uno divida al siguiente. Lo m´s importante a es que, si los escogemos as´ dichos polinomios m´ ı, ınimos est´n completamente a determinados por V (luego por h) y se llaman divisores elementales en el primer caso y factores invariantes en el segundo. Definici´n 6.29 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita y h un en- o o domorfismo de V . Entonces tenemos que V es un K[x]-m´dulo de torsi´n fi- o o nitamente generado y K[x] es un dominio eucl´ ıdeo. Llamaremos divisores ele- mentales y factores invariantes de h a los de V como m´dulo. o Si p(x) es el ultimo factor invariante, entonces p(x) es m´ltiplo de los poli- ´ u nomios m´ ınimos de todos los generadores, luego p(x) los anula a todos, y con ellos a todos los elementos de V . Es decir, p(x)v = p(h)(v) = 0 para todo vector v, o sea, p(h) = 0. A este ultimo factor invariante se le llama polinomio m´ ınimo de h (pol m´ h). ın Notar que si p(x) cumple p(h) = 0, en particular p(x) anula al generador del subm´dulo asociado al ultimo factor invariante, luego pol m´ h | p(x). As´ o ´ ın ı pues, el polinomio m´ ınimo de h es el menor polinomio que anula a h. Teorema 6.30 Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial de dimensi´n o finita n. Sea h un endomorfismo de V . Las afirmaciones siguientes son equiva- lentes: 1. Los factores invariantes (o divisores elementales) de h son p1 , . . . , pr . 2. Los polinomios p1 , . . ., pr cumplen pi | pi+1 (o que cada pi es potencia de primo) y, en una cierta base, la matriz de h es de la forma M1 M2 .. . Mr donde cada Mi es la matriz asociada a pi seg´n el teorema 6.28. u Demostracion: Consideramos una descomposici´n de V de tipo (6.2) de ´ o modo que los polinomios m´ ınimos de los generadores sean los factores invariantes o los divisores elementales. Como los subm´dulos son subespacios invariantes, o la restricci´n de h a cada uno de ellos es un endomorfismo y podemos aplicar el o teorema 6.28 para obtener una base de cada uno de ellos de modo que la matriz de la restricci´n de h sea la indicada, o sea, la Mi del enunciado. La uni´n de o o las bases de los sumandos directos forma una base de V y es claro que la matriz de h en esta base es la indicada. Rec´ıprocamente, si la matriz de h en una base es de la forma indicada, podemos expresar V como suma directa de los subespacios generados por los
- 173. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 161 vectores de la base correspondientes a cada una de las cajas Mi de la matriz. Es claro que estos subespacios son invariantes y que Mi es la matriz de la restricci´n o de h al subespacio i-´simo. Por el teorema 6.28, cada uno de estos subespacios e est´ generado por un vi cuyo polinomio m´ a ınimo es pi . Por la unicidad concluimos que los pi son los factores invariantes o los divisores elementales de h. Las matrices de la forma descrita en el teorema anterior son formas can´nicas o para la relaci´n de semejanza. En efecto, si A ∈ Matn (K) y V es cualquier K- o espacio vectorial de dimensi´n n, entonces A es la matriz de un endomorfismo o h de V en una base cualquiera de V , pero en otra base h tiene una matriz de la forma del teorema anterior (con factores invariantes), luego A es semejante a una matriz de este tipo. Por otra parte, si A y B son matrices del tipo del teorema anterior (con factores invariantes) y son semejantes, entonces son matrices de un mismo en- domorfismo h de V , y por la unicidad de los factores invariantes se ha de cumplir que A = B. Para divisores elementales se cumple lo mismo salvo por el hecho de que los factores invariantes est´n ordenados por la divisibilidad, mientras que los a divisores elementales no est´n ordenados de ning´n modo, luego las matrices a u que resultan de cambiar el orden de las cajas (con divisores elementales) son semejantes entre s´ sin dejar de ser del tipo del teorema 6.30. ı Definici´n 6.31 Si K es un cuerpo y A ∈ Matn (K), llamaremos 1a forma o ¯ can´nica de A (respectivamente, 2a forma can´nica) a la unica matriz del tipo o ¯ o ´ indicado en el teorema 6.30 para factores invariantes (respectivamente para divisores elementales, con la consiguiente p´rdida parcial de unicidad) que es e semejante a la matriz A. De este modo, dos matrices son semejantes si y s´lo si sus formas can´nicas o o son iguales. Los teoremas siguientes nos permiten calcular la forma can´nica de o cualquier matriz. Teorema 6.32 Sea K un cuerpo y A ∈ Matn (K) una matriz del tipo del teo- rema 6.28 para el polinomio m´nico p(x). Entonces los factores invariantes (los o construidos en el teorema 6.23) de la matriz xIn − A ∈ Matn (K[x]) son todos iguales a 1 excepto el ultimo, que es p(x). ´ n Demostracion: Sea p(x) = ´ ai xi , con an = 1. La matriz xIn − A es i=0 x −1 x −1 .. .. . . .. .. . . x −1 a0 a1 a2 · · · an−2 an−1 + x
- 174. 162 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Sumamos a la primera columna la segunda multiplicada por x, la tercera multiplicada por x2 , etc. Luego a la segunda columna le sumamos la tercera multiplicada por x, la cuarta multiplicada por x2 , etc. y as´ sucesivamente. El ı resultado es: 0 −1 .. .. . . −1 n n ai xi ai xi · · · an−1 + x i=0 i=1 Sumando a la fila n-sima la i-´sima multiplicada por el coeficiente adecuado e queda: 0 −1 .. .. . . .. . −1 n ai xi 0 · · · 0 i=0 Finalmente multiplicamos todas las filas salvo la ultima por −1 y reordena- ´ mos las columnas, con lo que llegamos a la forma can´nica de la matriz: o 1 .. . 1 n i ai x i=0 Teorema 6.33 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita o a n y h un endomorfismo de V . Sea A la matriz de h en 1¯ forma can´nica. o Entonces los factores invariantes de h son los factores invariantes no unitarios de la matriz xIn − A. Demostracion: Por comodidad llamaremos [A1 , . . ., Ar ] a la matriz for- ´ mada por las cajas A1 , . . ., Ar situadas sobre su diagonal. Sean p1 , . . ., pr los factores invariantes de h. Entonces xIn − A = [M1 , . . ., Mr ], donde cada Mi tiene forma indicada en el teorema 6.28 para el polinomio pi . Por el teorema anterior Mi es equivalente a una matriz diagonal de la forma Ni = [1, . . ., 1, pi ]. Por lo tanto existen matrices Pi , Qi ∈ GLn (K[x]) tales que Pi Mi Qi = Ni . Sean P = [P1 , . . ., Pr ] y Q = [Q1 , . . ., Qr ]. Es f´cil ver que P y Q son a regulares, as´ como que ı P (xIn − A)Q = [P1 M1 Q1 , . . .Pr Mr Qr ] = [N1 , . . ., Nr ] = [1, . . ., 1, p1 , . . ., 1, . . ., 1, pr ], luego la forma can´nica de xIn − A es [1, . . ., 1, p1 , . . ., pr ]. o
- 175. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 163 El resultado definitivo es el siguiente: Teorema 6.34 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita o n y h un endomorfismo de V . Sea A la matriz de h en cualquier base. Entonces los factores invariantes de h son los factores invariantes no unitarios de la matriz xIn − A. Demostracion: Sea B la matriz de h en 1a forma can´nica. Como A y B ´ ¯ o son matrices de h, son semejantes, es decir, existe una matriz P ∈ GLn (K) tal que B = P −1 AP . Entonces P −1 (xIn − A)P = xP −1 In P − P −1 AP = xIn − B. Por lo tanto, las matrices xIn − A y xIn − B son equivalentes, luego tienen los mismos factores invariantes y, por el teorema anterior, los no unitarios son los factores invariantes de h. Definici´n 6.35 Sea K un cuerpo y A ∈ Matn (K). Llamaremos factores in- o variantes de A a los factores invariantes de xIn − A (en el sentido de 6.23). Hemos demostrado que los factores invariantes de un endomorfismo son los factores invariantes no unitarios de cualquiera de sus matrices. Tambi´n es obvio ahora que dos matrices son semejantes si y s´lo si tienen e o los mismos factores invariantes (si tienen los mismos factores invariantes tienen la misma forma can´nica). o Observar que en principio tenemos dos definiciones de factores invariantes de una matriz de Matn (K), la dada en el teorema 6.23 y la que acabamos de dar, pero sucede que la definici´n seg´n el teorema 6.23 no tiene inter´s para o u e matrices sobre un cuerpo, ya que todos los factores invariantes en este sentido son iguales a 1. Lo unico que interesa es su n´mero, o sea, el rango. ´ u Los factores invariantes de una matriz A se calculan sin dificultad mediante el algoritmo dado en el teorema 6.23. Los divisores elementales se calculan descomponiendo los factores invariantes en potencias de primos. Llamaremos polinomio m´ ınimo de una matriz A a su ultimo factor inva- ´ riante. As´ si A es la matriz de un endomorfismo h, se cumple que pol m´ A = ı, ın pol m´ h. Dado el isomorfismo entre endomorfismos y matrices, es claro que si ın p(x) = pol m´ A, entonces p(A) = 0, y si q(x) ∈ K[x], entonces q(A) = 0 si y ın s´lo si p(x) | q(x). o Ejemplo Vamos a calcular los factores invariantes de la matriz 8 2 10 −6 12 6 20 −12 A= 2 3 7 −4 13 9 25 −15
- 176. 164 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Para ello aplicamos el algoritmo del teorema 6.23 a xI4 − A: x−8 −2 −10 6 −12 x − 6 −20 12 −2 −3 x−7 4 −13 −9 −25 x + 15 En primer lugar intercambiamos las dos primeras columnas para situar en la posici´n (1, 1) un polinomio de norma (o sea, de grado) m´ o ınima (el −2). Dividiendo la fila 1 entre −2 tenemos un 1 en el lugar (1, 1) y restando a cada columna la primera multiplicada por su primer coeficiente llegamos hasta la matriz 1 0 0 0 x − 6 x − 7x + 12 −5x + 10 3x − 6 2 2 −3 − 3 x + 10 x+8 −5 2 −9 − 9 x + 23 2 20 x + 12 Ahora restamos a cada fila la primera multiplicada por su primer coeficiente y hacemos ceros debajo del primer 1 (el resto de la matriz no se modifica). Como el 1 divide a todos los coeficientes restantes podemos continuar con la submatriz 3 × 3. Llevamos el −5 al lugar (2, 2) (otra opci´n ser´ llevar el 20). Dividimos la o ıa segunda fila entre −5 y obtenemos otro 1, con el que hacemos ceros a su derecha y bajo ´l. El resultado es: e 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3x2 − 7x + 2 −2x2 + 4x 0 0 2x2 − 8x + 8 −3x2 − 10 El cociente de −2x2 + 4x entre 3x2 − 7x + 2 es −2/3 y el resto −(2/3)(x − 2). Restamos a la cuarta columna la tercera multiplicada por −2/3 con lo que en la posici´n (3, 4) queda −(2/3)(x − 2). Lo pasamos a la posici´n (3, 3) y o o multiplicamos por −3/2: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x−2 − 9 x2 + 21 x − 3 2 2 0 0 − 5 x2 + 17 x − 11 3 3 3 2x2 − 8x + 8 Al dividir el polinomio de la posici´n (3, 4) entre x − 2 la divisi´n nos da o o exacta, a saber: −(3/2)(3x − 1)(x − 2). Restamos a la cuarta fila la primera multiplicada por −(3/2)(3x − 1) y nos queda (factorizando los polinomios): 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x−2 0 0 0 − 1 (5x − 7)(x − 2) − 15 (x − 2)(x − 1)2 3 2
- 177. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 165 Restamos a la cuarta fila la tercera multiplicada por −(1/3)(5x − 7) y queda un 0 en el lugar (4, 3). Multiplicando la ultima fila por −2/15 queda: ´ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x−2 0 0 0 0 (x − 2)(x − 1)2 Por lo tanto los factores invariantes de la matriz A de partida son x−2 y (x − 2)(x − 1)2 . Los divisores elementales son x − 2, x − 2 y (x − 1)2 . El polinomio m´ ınimo de A es pol m´ A = (x − 2)(x − 1)2 = x3 − 4x2 + 5x − 2. ın Las formas can´nicas o de A son: 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 −5 4 0 0 −1 2 Hemos visto que si A y B son matrices matrices semejantes, o sea, si existe P ∈ GLn (K) tal que B = P −1 AP , entonces tambi´n xIn −B = P −1 (xIn −A)P , e luego tomando determinantes queda |xIn − B| = |P |−1 |xIn − A||P | = |xIn − A|. Definici´n 6.36 Llamaremos polinomio caracter´ o ıstico de A ∈ Matn (K) al po- linomio pol car A = |xIn − A|. Es f´cil ver que es m´nico de grado n. a o Acabamos de probar que las matrices semejantes tienen el mismo polino- mio caracter´ ıstico, por lo que podemos definir el polinomio caracter´ ıstico de un endomorfismo como el de cualquiera de sus matrices. El polinomio caracter´ ıstico es mucho m´s f´cil de calcular que los facto- a a res invariantes o los divisores elementales y en ocasiones proporciona suficiente informaci´n sobre una matriz dada. o Por ejemplo, el polinomio caracter´ ıstico de la matriz A anterior resulta ser pol car A = (x − 2)2 (x − 1)2 . Este ejemplo muestra que el polinomio caracter´ ıstico est´ muy relacionado a con los factores invariantes y los divisores elementales. La relaci´n exacta nos o la da el teorema siguiente: Teorema 6.37 Sea K un cuerpo y A ∈ Matn (K). Entonces el polinomio ca- racter´ ıstico de A es el producto de sus factores invariantes (luego tambi´n el de e los divisores elementales). Demostracion: Supongamos primero que A es de la forma indicada en el ´ teorema 6.28, es decir, que tiene un unico factor invariante no unitario igual a ´ n ai xi . i=0
- 178. 166 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines n Es f´cil ver que en este caso |xIn − A| = a ai xi (basta desarrollar el deter- i=0 minante por la primera columna). Ahora, si una matriz A est´ formada por dos cajas (A = [M, N ] con la a notaci´n del teorema 6.33) es f´cil ver que [M, N ] = [M, I][I, N ], donde I re- o a presenta en cada caso a la matriz identidad de las dimensiones adecuadas. Por lo tanto |A| = [M, I] [I, N ] = |M | |N |. De aqu´ se sigue en general que ı [M1 , . . ., Mr ] = |M1 | · · · |Mr |. Si A es una 1a forma can´nica, entonces A = [M1 , . . ., Mr ], donde las matri- ¯ o ces Mi son del tipo del teorema 6.28 para cada factor invariante de A. Entonces xIn − A = [xI − M1 , . . ., xI − Mr ], luego pol car A = |xI − M1 | · · · |xI − Mr |. Por el caso particular ya probado estos factores son los factores invariantes de A, luego el teorema es cierto para formas can´nicas. o Finalmente, si A es cualquier matriz, su polinomio caracter´ ıstico es el mismo que el de su 1a forma can´nica, que es el producto de sus factores invariantes, ¯ o que son tambi´n los factores invariantes de A. e Una consecuencia es el llamado teorema de Cayley, seg´n el cual toda matriz u es ra´ de su polinomio caracter´ ız ıstico (porque ´ste es un m´ltiplo de su polinomio e u m´ınimo). Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracter´ ıstico, aunque el rec´ıproco no es cierto, pues el polinomio caracter´ ıstico no determina los factores invariantes o los divisores elementales. Por ejemplo, sabiendo que pol car A = (x − 2)2 (x − 1)2 , los invariantes de A podr´ ser: ıan Factores invariantes Divisores elementales (x − 2) (x − 1) 2 2 (x − 2)2 , (x − 1)2 x − 2, (x − 2)(x − 1)2 x − 2, x − 2(x − 1)2 x − 1, (x − 2)2 (x − 1) x − 1, x − 1, (x − 2)2 (x − 2)(x − 1), (x − 2)(x − 1) x − 2, x − 2, x − 1, x − 1 Los coeficientes del polinomio caracter´ ıstico p(x) de una matriz A son inva- riantes por semejanza. El primero y el ultimo de estos coeficientes (aparte del ´ director, que es igual a 1) son especialmente simples. El t´rmino independiente es p(0) = |0In − A| = | − A| = (−1)n |A|. De e aqu´ se sigue algo que ya sab´ ı ıamos: que las matrices semejantes tienen el mismo determinante. Para calcular el coeficiente de xn−1 observamos que, seg´n la definici´n de u o determinante, uno de los sumandos de p(x) es (x − a11 ) · · · (x − ann ) = xn − (a11 + · · · + ann )xn−1 + · · · y ning´n otro sumando tiene monomios de grado n − 1. u As´ pues, el coeficiente de grado n − 1 de p(x) es −(a11 + · · · + ann ). ı
- 179. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 167 Definici´n 6.38 Llamaremos traza de una matriz A ∈ Matn (K) a o Tr(A) = a11 + · · · + ann . Hemos probado que las matrices semejantes tienen el mismo determinante y la misma traza. Por ello podemos definir el determinante y la traza de un endomorfismo como el de cualquiera de sus matrices. Las ra´ ıces del polinomio caracter´ıstico de un endomorfismo contienen in- formaci´n muy importante sobre el mismo. Vamos a comprobarlo. Sea h un o endomorfismo de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y sea A su matriz en una base. Sea α ∈ K una ra´ de pol car A. Entonces |αIn − A| = 0, lo ız que significa que la matriz αIn − A no es regular, luego el endomorfismo que determina, es decir, αI − h, no es inyectivo, luego su n´cleo no es trivial, luego u existe un vector v ∈ V no nulo tal que h(v) = αv. Rec´ ıprocamente, si existe un vector v no nulo tal que h(v) = αv, invirtiendo el razonamiento llegamos a que α es ra´ de pol car A. ız Definici´n 6.39 Sea h un endomorfismo de un espacio vectorial V sobre un o cuerpo K. Si un vector v ∈ V no nulo cumple h(v) = αv para cierto α ∈ K, diremos que v es un vector propio de h y que α es un valor propio de h. Acabamos de probar que los valores propios de un endomorfismo h son exac- ıces de su polinomio caracter´ tamente las ra´ ıstico. Cada vector propio tiene asociado un unico valor propio. Rec´ ´ ıprocamente, si α ∈ K es un valor propio de h, entonces α tiene asociado el espacio S(h, α) = {v ∈ V | h(v) = αv}, que es un subespacio vectorial no trivial de V al que llamaremos espacio funda- mental de α. Un caso especialmente interesante es el subespacio S(h, 1), que est´ formado a por los puntos fijos de h. Ejemplo Sea h un endomorfismo de R4 cuya matriz en la base can´nica sea o la matriz A del ejemplo anterior. Hemos calculado pol car A = (x − 2)2 (x − 1)2 , luego sus valores propios son 1 y 2. El sistema de ecuaciones lineales (u, v, w, x)A = (u, v, w, x) tiene soluci´n o (−4v, v, −5v, 2v) para cualquier v, luego S(h, 1) = (−4, 1, −5, 2) . Igualmente se calcula S(h, 2) = (−2, 1, 0, 0), (−3, 0, −6, 2) .
- 180. 168 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Como el polinomio caracter´ ıstico es el producto de los divisores elementales, los valores propios son las ra´ ıces de los divisores elementales. Como ´stos son e potencias de irreducibles, es obvio que α es un valor propio de h si y s´lo o si uno de los divisores elementales de h tiene la forma (x − α)e . El teorema siguiente muestra exactamente la relaci´n entre los valores propios y los divisores o elementales. Teorema 6.40 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial de dimensi´n fi- o nita y h un endomorfismo de V . Sea V = v1 k[x] ⊕ · · · ⊕ vr k[x] la descom- posici´n de V en subm´dulos asociada a los divisores elementales, es decir, tal o o que pol m´ vi = pi (x)ei con pi (x) irreducible. Sea α ∈ K un valor propio de h ın y supongamos que pi = x − α para i = 1, . . ., s. Entonces: 1. S(h, α) = (x − a)e1 −1 v1 , . . ., (x − α)es −1 vs k . 2. dim S(h, α) = s. Si α1 , . . ., αt son todos los valores propios de h, entonces se tiene la suma directa S = S(h, α1 ) ⊕ · · · ⊕ S(h, αt ). Al espacio S se le llama espacio fundamental de h. Demostracion: Un vector v = 0 es propio con valor propio α si y s´lo si ´ o (x−α)v = 0, luego es inmediato que los vectores (x−α)e1 −1 v1 , . . ., (x−α)es −1 vs est´n en §(h, α). Por lo tanto tenemos la inclusi´n a o (x − α)e1 −1 v1 , . . ., (x − α)es −1 vs k ≤ S(h, α). Veamos ahora la otra inclusi´n. Si v ∈ S(h, α), por la descomposici´n de V o o tenemos en principio que v = f1 (x)v1 + · · · + fr (x)vr para ciertos polinomios fi (x). Seg´n el teorema 6.27 podemos exigir que grad fi (x) ei . u Como v es un vector propio, se cumple que (x − α)v = 0, o sea, (x − α)f1 (x)v1 + · · · + (x − α)fr (x)vr = 0. Como la suma es directa cada sumando es nulo y, por definici´n de polinomio o m´ınimo, resulta que pi (x)ei | (x − α)fi (x) para i = 1, . . ., r. Si i s tenemos que pi (x) = x − α, luego pi (x)ei | fi (x) y as´ fi (x)vi = 0, ı con lo que la expresi´n de v se reduce a o v = f1 (x)v1 + · · · + fs (x)vs . Para i ≤ s tenemos que (x − α)ei | (x − α)fi (x), de donde (x − α)ei −1 | fi (x), es decir, fi (x) = qi (x)(x − α)ei −1 , pero tenemos tambi´n que grad fi (x) ei , e luego la unica posibilidad para qi (x) es que sea una constante qi ∈ K. Con esto ´ la expresi´n de v queda en o v = q1 (x − α)e1 −1 v1 + · · · + qs (x − α)es −1 vs , lo que prueba la igualdad.
- 181. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 169 Estos generadores son independientes, pues cada uno est´ contenido en un a sumando directo distinto. Por la misma raz´n los distintos espacios fundamen- o tales tienen suma directa, pues est´n contenidos en sumandos directos distintos a (los correspondientes a los divisores elementales con ra´ el valor propio corres- ız pondiente). La matriz A de los ejemplos anteriores tiene divisores elementales x − 2, x − 2 y (x − 1)2 , por lo que el teorema anterior nos da que dim S(h, 2) = 2 y dim S(h, 1) = 1 (como ya hab´ ıamos comprobado). Consideremos por ultimo el caso en que V es un espacio vectorial eucl´ ´ ıdeo. En estos espacios conviene trabajar unicamente con bases ortonormales. Esto ´ nos obliga a restringir como sigue la relaci´n de semejanza: o Definici´n 6.41 Diremos que dos matrices S, T ∈ Matn (R) son congruentes o si existe una matriz P ∈ O(n) tal que T = P −1 SP . La interpretaci´n de esta relaci´n es sencilla. Supongamos que S y T son o o dos matrices de un mismo endomorfismo h en dos bases ortonormales B y C. Entonces sabemos que T = P −1 SP , donde P es la matriz de cambio de base entre B y C o, en otros t´rminos, la matriz de la identidad en Rn respecto de e las bases B y C. Ahora bien, como la identidad es una isometr´ y las bases son ıa ortonormales, sabemos que P ha de ser una matriz ortogonal, luego S y T son congruentes. Rec´ ıprocamente, si S es la matriz de h en una base ortonormal y T es una matriz congruente con S, entonces existe una base ortonormal de V respecto a la cual la matriz de h es T . La teor´ anterior no es aplicable directamente a este contexto, pues las ıa formas can´nicas de una matriz dada no son necesariamente congruentes con o ella, luego no nos sirven como formas can´nicas para la congruencia. En lugar o de obtener resultados gen´ricos sobre endomorfismos vamos a restringirnos a e isometr´ pues la situaci´n se simplifica considerablemente y, al fin y al cabo, ıas, o es lo unico que vamos a necesitar. La clave la proporciona el teorema siguiente: ´ Teorema 6.42 Sea A una matriz ortogonal. Entonces las ra´ ıces complejas del polinomio m´ ınimo de A son simples y de m´dulo 1. o Demostracion: Vamos a considerar V = Cn como C-espacio vectorial y ´ h : V −→ V el isomorfismo definido por A en la base can´nica. As´ h(v) = vA. o ı, Veamos ante todo que el polinomio m´ ınimo de A es el mismo tanto si la consideramos como matriz real o como matriz compleja. Sea p(x) el polinomio m´ınimo real y q(x) el polinomio m´ ınimo complejo. Como p(A) = 0 es claro que q(x) | p(x) (el rec´ ıproco no vale porque p(x) divide a todos los polinomios reales que anulan a A). Descomponemos q(x) = q1 (x)+q2 (x)i, con q1 (x), q2 (x) ∈ R[x]. Como q(A) = q1 (A) + q2 (A)i = 0, ha de ser q1 (A) = q2 (A) = 0, luego p(x) divide a ambos, luego p(x) | q(x). Sea α una ra´ del polinomio m´ ız ınimo de A. Entonces es un valor propio, luego existe un v ∈ V no nulo tal que vA = αv. Trasponiendo y conjugando esta ecuaci´n obtenemos At v t = αv t y v A = αv , donde v es el vector que resulta de o ¯ ¯¯ ¯
- 182. 170 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines conjugar cada coordenada de v. La matriz A no necesita ser conjugada porque sus coeficientes son reales. La linealidad de la conjugaci´n hace que la igualdad o siga siendo cierta. Ahora multiplicamos las ecuaciones: v AAt v t = ααv v t , y como A es ortogo- ¯ ¯¯ nal la expresi´n se reduce a v v t = |α|2 v v t . o ¯ ¯ Pero v v t es la suma de los cuadrados de los m´dulos de las coordenadas de ¯ o v. Como v no es nulo, v v t = 0, luego |α|2 = 1 y as´ |α| = 1. ¯ ı, Supongamos que el polinomio m´ ınimo tiene una ra´ m´ltiple α. Entonces ız u un divisor elemental de A es de la forma (x − α)r con r ≥ 2. Sea v ∈ V tal que su polinomio m´ ınimo sea (x − α)r y sea u = (x − α)r−2 . Entonces (x − α)u = 0, pero (x − α) u = 0. 2 En otros t´rminos, si w = (x − α)u, tenemos que w = 0 pero (x − α)w = 0, e o tambi´n: e w = uA − αu = 0 y wA = αw. Despejamos en la primera ecuaci´n y trasponemos: At ut = wt + αut , con- o jugamos la segunda: wA = αw, las multiplicamos: wAAt ut = αwwt + ααwut , ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯¯ aplicamos que A es ortogonal y que α tiene m´dulo 1, con lo que llegamos a o wut = αwwt + wut . ¯ ¯¯ ¯ O sea, αwwt = 0, de donde wwt = 0, pero wt es la suma de los cuadrados ¯¯ ¯ de los m´dulos de las coordenadas de w = 0, luego no puede ser cero. o As´ pues, los factores irreducibles (en R[x]) del polinomio m´ ı ınimo de una matriz ortogonal han de ser o bien x − 1, o bien x + 1, o bien de la forma x − (cos θ + i sen θ) x − (cos θ − i sen θ) = x2 − 2 cos θx + 1, para un cierto θ ∈ ]0, π[ (aqu´ es esencial la clausura algebraica de C). Adem´s ı a han de ser distintos dos a dos. Los divisores elementales dividen al polinomio m´ınimo, luego han de tener todos exponente 1, es decir, han de ser irreducibles. El polinomio caracter´ ıstico es el producto de los divisores elementales, luego ´stos son precisamente los factores irreducibles del polinomio caracter´ e ıstico, luego el polinomio caracter´ ıstico de una matriz ortogonal determina los divi- sores elementales y consecuentemente tambi´n los factores invariantes. e Ejemplo Consideremos la matriz 1/9 −4/9 8/9 B = −4/9 7/9 4/9 8/9 4/9 1/9 Es f´cil comprobar que se trata de una matriz ortogonal. Podr´ a ıamos calcular sus factores invariantes con el algoritmo que conocemos, pero no es necesario. Basta calcular el polinomio caracter´ıstico, que resulta ser (x + 1)(x − 1)2 . Como sabemos que los divisores elementales son irreducibles, han de ser x + 1, x − 1 y x − 1, de donde los factores invariantes son x − 1 y (x + 1)(x − 1). Esto significa que dos matrices ortogonales son semejantes si y s´lo si tienen o el mismo polinomio caracter´ ıstico, pero vamos a probar que de hecho en tal caso son congruentes (con lo que la semejanza equivaldr´ a la congruencia). a
- 183. 6.5. Clasificaci´n deendomorfismos o 171 Teorema 6.43 Sea V un espacio vectorial eucl´ ıdeo y h : V −→ V una iso- metr´ con divisores elementales p1 , . . ., pr . Entonces V admite una descompo- ıa sici´n de la forma o V = v1 k[x] ⊥ · · · ⊥ vr k[x] , donde pol m´ vi = pi . ın Demostracion: Vamos a probar por inducci´n sobre la dimensi´n de V ´ o o que existe una descomposici´n como la indicada de modo que los polinomios o m´ınimos de los generadores son irreducibles (sin afirmar que sean los divisores elementales de h). Esto implica inmediatamente el teorema por la unicidad de los divisores elementales. Si la dimensi´n de V es 1 es evidente. o Sea p un divisor elemental de h y sea v ∈ V tal que pol m´ v = p. Sea ın W = v k[x] . Entonces V = W ⊥ W ⊥ . Tenemos que W es invariante y como h es biyectiva de hecho h[W ] = W . Puesto que h conserva el producto escalar, es claro que h[W ⊥ ] = h[W ]⊥ = W ⊥ , luego podemos restringir h a una isometr´ ıa de W ⊥ y aplicar la hip´tesis de inducci´n. o o Si tomamos una base ortonormal de cada uno de los subespacios de la des- composici´n del teorema anterior, su uni´n nos da una base ortonormal de V o o en la cual la matriz de h est´ formada por cajas [M1 , . . ., Mr ], donde Mi es la a matriz de la restricci´n de h al subespacio i-´simo. o e Como los divisores elementales tienen grado 1 o 2, ´stas son las dimensiones e de las cajas. Si pi = x − 1 podemos tomar como base el vector vi y, puesto que h(vi ) = vi , la caja correspondiente es un 1. Si pi = x + 1 tomamos igualmente la base vi y ahora h(vi ) = −vi , luego la caja es un −1. Si pi = x2 −2cosθx+1, entonces la caja Mi es una matriz de O(2) cuyo unico ´ divisor elemental (luego tambi´n su unico factor invariante, luego su polinomio e ´ caracter´ıstico) es pi , luego su determinante es el t´rmino independiente 1 y su e traza es 2cosθ. Estas condiciones determinan completamente la matriz. En efecto, dada una matriz cualquiera a b A= , c d la ecuaci´n AAt = I implica a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. La o ecuaci´n At A = I nos da tambi´n a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1, de donde se sigue o e inmediatamente c = ±b y d = ±a. La ecuaci´n ac + bd = 0 implica que los o signos han de ser distintos, es decir, d = ±a y c = ∓b. Si exigimos que el determinante sea 1, es decir, ad − bc = 1, llegamos a que d = a y c = −b. La matriz es, por lo tanto, a b A= . −b a Al considerar la traza vemos que a = cos θ y la ecuaci´n a2 + b2 = 1 implica o que b = ± sen θ. Cambiando el signo al segundo vector de la base si es preciso,
- 184. 172 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines podemos exigir que b = sen θ. En definitiva obtenemos la matriz cos θ sen θ Mθ = − sen θ cos θ que definimos en el cap´ ıtulo IV y que corresponde al giro de angulo θ. Vamos a ´ recoger lo que hemos obtenido. Definici´n 6.44 Diremos que una matriz ortogonal est´ en forma can´nica si o a o es de la forma [M1 , . . ., Mr ], donde cada caja Mi es ±1 o bien Mθ , para un ´ngulo θ ∈ ]0, π[. a Hemos probado que toda isometr´ admite en una cierta base ortonormal una ıa matriz en forma can´nica con tantas cajas iguales a 1 como divisores elementales o iguales a x − 1, tantas cajas iguales a −1 como divisores elementales iguales a x + 1 y tantas cajas de la forma Mθ como divisores elementales de la forma x2 − 2cosθx + 1 (para θ ∈ ]0, π[). El hecho de que las cajas est´n determinadas por (y de hecho determinen) e los divisores elementales implica que dos formas can´nicas no son congruentes o (salvo que se diferencien en una permutaci´n de las cajas). o Si a esto a˜adimos que los divisores elementales est´n determinados por el n a polinomio caracter´ ıstico, concluimos: Teorema 6.45 Dos matrices ortogonales son congruentes si y s´lo si son se- o mejantes, si y s´lo si tienen el mismo polinomio caracter´stico. o ı Dedicamos la secci´n siguiente a interpretar geom´tricamente estos hechos. o e 6.6 Clasificaci´n de isometr´ o ıas Los resultados de la secci´n anterior contienen esencialmente la clasificaci´n o o de las isometr´ (afines) con un punto fijo, pues ´sta se reduce a estudiar la iso- ıas e metr´ lineal asociada. El teorema siguiente nos reduce a este caso el problema ıa general. Teorema 6.46 Sea E un espacio af´ eucl´ ın ıdeo y f ∈ Is(E). Entonces f se descompone de forma unica como f = g ◦ Tv , donde g es una isometr´ con un ´ ıa conjunto no vac´ G de puntos fijos y v ∈ G. Adem´s en tal caso G = S(f , 1) ıo a y f = Tv ◦ g. Demostracion: Probemos primero la unicidad. Dada una descomposici´n ´ o f = g◦Tv en las condiciones del enunciado, es claro que f = g, luego tenemos que G = S(g, 1) = S(f , 1). Si P es un punto fijo de g se cumple que f (P ) = P + v, −−→ −− luego P f (P ) = v ∈ S(f , 1). Si f = g ◦ Tv es otra descomposici´n en las condiciones del enunciado y P o −− − − −→ es un punto fijo de g , tendremos igualmente que P f (P ) = v ∈ S(f , 1). Un simple c´lculo nos da a −→ − −→ − v − v = P P − f (P P ) ∈ S(f , 1) ∩ Im(f − 1).
- 185. 6.6. Clasificaci´n deisometr´ o ıas 173 Si probamos que E = S(f , 1) ⊥ Im(f − 1) tendremos que v = v , luego tambi´n g = g . e Notar que S(f , 1) es el n´cleo de f − 1, luego basta probar que los dos u espacios son ortogonales y por las dimensiones su suma ser´ todo E. Ahora a bien, dados x ∈ S(f , 1) e y = f (z) − z ∈ Im(f − 1), se cumple xy = xf (z) − xz = f (x)f (z) − xz = xz − xz = 0, pues f conserva el producto escalar. Para probar la existencia fijamos un punto O arbitrario y descomponemos −−→ −− Of (O) = v + f (w) − w, con v ∈ S(f , 1) y f (w) − w ∈ Im(f − 1) (usando la descomposici´n de E que o acabamos de obtener). Entonces, para todo punto P se cumple −−→ − −− −→ −−→ −− − −→ − −→ P f (P ) = P O + Of (O) + f (OP ) = v + (f − 1)(w + OP ). −→ En particular, si tomamos A de modo que OA = −w la f´rmula anterior se o −−→ −− reduce a Af (A) = v ∈ S(f , 1). Equivalentemente, f (A) = A + v. Definimos g = f ◦ T−v . As´ g es ciertamente una isometr´ se cumple ı ıa, f = g ◦ Tv y adem´s g(A) = f (A) − v = A, luego el conjunto G de sus puntos a fijos es no vac´ M´s a´n, es claro que G = S(g, 1) = S(f , 1) y por consiguiente ıo. a u v ∈ G. Por ultimo, se cumple que f = Tv ◦ g porque para todo punto P tenemos ´ g(P + v) = g(P ) + g(v) = g(P ) + f (v) = g(P ) + v = f (P ). Un par de observaciones complementarias: en el teorema anterior se cumplir´ a v = 0 si y s´lo si f tiene un punto fijo. Por el teorema 6.2, si f no tiene puntos o fijos entonces dim G ≥ 1. Existen tres clases b´sicas de isometr´ a ıas: las traslaciones, los giros y las simetr´ Ya conocemos las primeras y parcialmente los giros. Vamos a analizar ıas. con m´s detalle los giros y las simetr´ y despu´s veremos en qu´ sentido se a ıas e e reducen a estos tres tipos las isometr´ arbitrarias. ıas Definici´n 6.47 Una isometr´ f de un espacio af´ eucl´ o ıa ın ıdeo es un giro de a ´ngulo θ si tiene un punto fijo y la forma can´nica de f es [Mθ , 1, . . ., 1], donde o cos θ sen θ Mθ = . − sen θ cos θ Observamos que Mθ es la identidad si y s´lo si θ es m´ltiplo de 2π, en cuyo o u caso f es la identidad. Exceptuado este caso, si el espacio E tiene dimensi´n n, o el espacio fundamental S(f , 1) tiene dimensi´n n − 2, luego f tiene una variedad o G de puntos fijos de dimensi´n n − 2. o
- 186. 174 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Si E es un plano, entonces G se reduce a un punto O y f es un giro de a ´ngulo θ alrededor de O en el sentido que ya discutimos en el cap´ıtulo IV. El punto O se llama centro del giro. Recordemos que hay dos giros de angulo θ ´ con un mismo centro O, que sobre un mismo sistema de referencia de origen O se corresponden con las matrices M±θ (de modo que al cambiar el signo de un vector de la base el giro de matriz Mθ pasa a tener matriz M−θ y viceversa). Si la dimensi´n de E es 3 entonces la variedad de puntos fijos de un giro f o distinto de la identidad es una recta r llamada eje del giro. Sea v1 , v2 , v3 la base ortonormal en la que f tiene matriz [Mθ , 1]. Si O es cualquier punto del eje de giro r, entonces r = O + v3 y el plano ortogonal a r dado por O + v1 , v2 es fijado por f . En el sistema de referencia (O; v1 , v2 ) la matriz de la aplicaci´n o lineal asociada a la restricci´n es Mθ . As´ pues, f gira los puntos de cada plano o ı perpendicular a r respecto al centro O en el cual r corta a tal plano. En general, si G es una variedad de dimensi´n n − 2 en E, un giro de angulo o ´ θ respecto a G es una isometr´ que deja invariante a cada punto de G y que se ıa comporta como un giro (plano) de angulo θ sobre cada plano perpendicular4 a ´ G (con centro en el punto de intersecci´n). Hay exactamente dos giros en estas o condiciones. Dada la expresi´n en coordenadas de un giro (no necesariamente la can´nica) o o resolviendo un sistema de ecuaciones lineales se obtiene la variedad de puntos fijos. El angulo de giro estar´ determinado salvo signo por el hecho de que ´ a 2 cos θ + n − 2 es la traza de la matriz asociada (pues esto es cierto para la matriz en forma can´nica y la traza es la misma en todas las matrices). o Introducimos ahora el concepto de simetr´ La idea es que la imagen de ıa. un punto P por una simetr´ respecto a una variedad L se obtiene trazando la ıa recta perpendicular a L por P y tomando en ´sta el punto P que se encuentra e a la misma distancia que P del punto de corte. De este modo, el punto de corte es el punto medio del segmento P P . Vamos a formular anal´ ıticamente esta descripci´n de las simetr´ o ıas. En primer lugar, dado un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E y una variedad L distinta de todo E, por cada punto P exterior a L pasa una unica recta r perpendicular ´ − −→ a L. En efecto, dado Q ∈ L descomponemos P Q = v + w, con v ∈ L, w ∈ L⊥ . Sea R = P + w = Q − v. Claramente R ∈ L y r = P R es perpendicular a L y pasa por P . Adem´s es unica, pues si una recta P R cumple lo mismo, es decir, a ´ −→ − −→ − − → −→ − P R ⊥ L, entonces RR ser´ ortogonal a P R y P R , lo cual es contradictorio ıa salvo si R = R . −→ − Por otra parte, dados dos puntos P y P , tenemos que P = P + P P , luego el −→ − punto medio entre ambos ser´ M = P + 1 P P , que es el unico punto que cumple a 2 ´ −→ − −− −→ P M = M P . Esto sirve como definici´n de punto medio en cualquier espacio o 4 Aqu´ ı entendemos que dos variedades L y L son perpendiculares si tienen un punto en com´ n, necesariamente unico, y L ⊥ L . Notar que en este sentido fuerte dos planos del u ´ espacio tridimensional nunca pueden ser perpendiculares.
- 187. 6.6. Clasificaci´n deisometr´ o ıas 175 af´ 5 no necesariamente eucl´ ın, ıdeo. Una definici´n equivalente pero sim´trica es o e 1 1 M= P+ P 2 2 (ver p´g 87). Esta definici´n tiene sentido incluso si P = P , en cuyo caso el a o punto medio es M = P = P . Notar que dados dos puntos P y M siempre existe un unico punto P tal ´ que M sea el punto medio de P y P . Necesariamente P ha de ser el baricentro P = 2M − P . Con todas estas observaciones ya podemos justificar la existencia de simetr´ ıas respecto a variedades cualesquiera: Definici´n 6.48 En un espacio af´ eucl´ o ın ıdeo E, llamaremos simetr´ respecto ıa a una variedad L de E a la unica aplicaci´n sL : E −→ E que fija a todos los ´ o puntos de L y que a cada punto P exterior a L le asigna el unico punto sL (P ) ´ tal que la perpendicular a L por P corta a L en el punto medio entre P y sL (P ). En particular la simetr´ respecto a E es la identidad. No es necesario ıa distinguir la forma en que una simetr´ respecto a una variedad L act´a sobre ıa u los puntos de L y sobre los puntos exteriores a L. En cualquier caso, el punto P = sL (P ) est´ determinado por las relaciones a −→ − 1 1 P P ∈ L⊥ y P + P ∈ L. 2 2 Las simetr´ respecto a puntos, rectas y planos se llaman respectivamente ıas simetr´ puntuales, axiales (lat. ‘respecto a un eje’) y especulares (lat. ‘respecto ıas a un espejo’). Las simetr´ respecto a hiperplanos se llaman reflexiones. ıas Teorema 6.49 Las simetr´ de un espacio af´ eucl´ ıas ın ıdeo son isometr´ ıas. Ade- m´s una isometr´ f es una simetr´ si y s´lo si f ◦ f = 1. a ıa ıa o Demostracion: Sea E un espacio af´ eucl´ ´ ın ıdeo y L una variedad lineal de E, que podemos suponer distinta de todo el espacio. Tomemos una base ortonormal v1 , . . ., vr de L y complet´mosla hasta una base ortonormal v1 , . . ., vn e −−→ de E. Tomemos un punto O en L y definamos sL (P ) = O + sL (OP ), donde sL es la isometr´ lineal que en la base anterior tiene matriz [1, . . ., 1, −1, . . ., −1]. ıa r n−r Dado un punto P = O + α1 v1 + · · · + αn vn , es claro que −− − − −→ P sL (P ) = −2αr+1 vr+1 − · · · − 2αn vn ∈ L⊥ , 1 1 1−− → 1 −− − − −→ P + sL (P ) = O + OP + OsL (P ) = O + α1 v1 + · · · + αr vr ∈ L. 2 2 2 2 5 En realidad hemos de suponer que el cuerpo tiene caracter´ ıstica distinta de 2. En caso contrario no existen puntos medios ni, como se ve f´cilmente, tampoco simetr´ a ıas. En lo sucesivo supondremos t´citamente carK = 2. a
- 188. 176 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Por consiguiente la isometr´ sL es la simetr´ respecto a L. ıa ıa Con esto hemos visto que las simetr´ son las isometr´ con al menos un ıas ıas punto fijo y cuya aplicaci´n lineal asociada tiene como matriz can´nica una de o o la forma [1, . . ., 1, −1, . . ., −1]. Es claro que al multiplicar una matriz de este tipo por s´ misma se obtiene la matriz identidad. Rec´ ı ıprocamente, si f ◦ f = 1, sea f = g ◦ Tv en las condiciones del teorema 6.46. Entonces g ◦ g ◦ T2v = 1, luego g ◦ g = f ◦ f = 1 y 2v = 0, luego v = 0 (y por lo tanto f tiene un punto fijo) y la forma can´nica de f ha de constar s´lo de cajas ±1, pues si contuviera o o cajas Mθ , su cuadrado contendr´ cajas M2θ , que son distintas de la identidad ıa salvo que θ = 1, π, en cuyo caso Mθ = [±1, ±1]. Ahora podemos clasificar las isometr´ de los espacios de dimensiones bajas. ıas En general, cuando hablemos del determinante, la traza, etc. de una isometr´ ıa nos referimos, naturalmente, a los de su aplicaci´n lineal asociada. o Isometr´ de una recta Si f es una isometr´ de una recta eucl´ ıas ıa ıdea, enton- ces la forma can´nica de f ha de ser [±1]. Si el signo es positivo se tratar´ de o a una traslaci´n, mientras que si es negativo se tratar´ de una simetr´ puntual o a ıa (notar que f tendr´ un punto fijo por el teorema 6.2). a Isometr´ del plano Si f es una isometr´ del plano y su determinante es ıas ıa positivo entonces la forma can´nica de f ha de ser de la forma Mθ (incluyendo o aqu´ las posibilidades [±1, ±1]). Si f tiene un punto fijo entonces ser´ un giro ı a (o la identidad), mientras que si f no tiene puntos fijos entonces f ha de ser la identidad (por el teorema 6.2), luego f es una traslaci´n. o Si el determinante es negativo, la forma can´nica de f ha de ser [1, −1]. Si o f tiene un punto fijo, entonces se trata de una simetr´ axial, mientras que si ıa no tiene puntos fijos, el teorema 6.46 implica que f es la composici´n de una o simetr´ axial con una traslaci´n respecto a un vector en la direcci´n del eje de ıa o o simetr´ıa. Isometr´ del espacio Si f es una isometr´ del espacio (tridimensional) y ıas ıa su determinante es positivo, entonces la forma can´nica de f ha de ser de la o forma [Mθ , 1]. Si f tiene un punto fijo ser´ un giro (quiz´ la identidad). Si no a a lo tiene aplicamos el teorema 6.46 para concluir que f es la composici´n de un o giro con una traslaci´n respecto a un vector en la direcci´n del eje de giro. Si el o o giro es la identidad tenemos simplemente una traslaci´n. En caso contrario la o isometr´ es lo que se llama un giro helicoidal, pues describe el movimiento de ıa una h´lice, que gira y avanza al mismo tiempo. e Si el determinante es negativo entonces la forma can´nica de f ser´ de la o a forma [Mθ , −1]. Si Mθ = I, entonces f no tiene puntos fijos, luego f ha de tener uno exactamente, luego f es la composici´n de un giro con una simetr´ o ıa especular respecto a un plano perpendicular al eje de giro (el punto fijo de f es la intersecci´n entre el eje y el plano). Si Mθ = I entonces o bien f tiene puntos o fijos y se trata de una simetr´ especular, o bien no los tiene, y se trata de una ıa
- 189. 6.6. Clasificaci´n deisometr´ o ıas 177 simetr´ especular compuesta con una traslaci´n en direcci´n perpendicular al ıa o o plano de simetr´ ıa. La tabla siguiente resume la clasificaci´n: o Dim. Det. Con punto fijo Sin puntos fijos 1 +1 Identidad Traslaci´n o −1 Simetr´ puntual ıa — 2 +1 Giro Traslaci´n o −1 Simetr´ axial ıa Simetr´ con traslaci´n ıa o 3 +1 Giro Traslaci´n o o Giro helicoidal −1 Simetr´ especular ıa Simetr´ con traslaci´n o ıa o Giro y simetr´ıa Ejercicio: ¿Por qu´ no aparecen en la tabla las simetr´ puntuales en dimensi´n 2 y e ıas o 3 ni las simetr´ axiales en dimensi´n 3? ıas o Ejercicio: Clasificar las isometr´ en dimensi´n 4. ıas o El signo del determinante de una isometr´ tiene una interpretaci´n geom´- ıa o e trica intuitivamente muy simple, pero que a´n no estamos en condiciones de u justificar matem´ticamente. Por ejemplo, los tres tri´ngulos de la figura son a a congruentes, ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ ❏ ❏ ✡ el primero se transforma en el segundo mediante un giro (que tiene determi- nante 1) y es posible realizar la transformaci´n gradualmente sin salir del plano, o es decir, podemos desplazar uno de los tri´ngulos hasta que se superponga con a el otro. En cambio, el segundo tri´ngulo se transforma en el tercero mediante a una simetr´ axial, y no es posible superponer uno al otro sin sacarlo del plano. ıa Concretamente, para superponerlos es necesario aplicarle a uno un giro en el espacio tomando como eje el eje de simetr´ ıa. Lo mismo sucede con figuras tridimensionales. Por ejemplo, es posible llevar un guante derecho sobre otro guante derecho mediante un movimiento gradual que termine superponi´ndolos, mientras que no es posible superponer un guante e derecho con un guante izquierdo, pese a que tambi´n son congruentes (a trav´s e e de una simetr´ especular). Para superponerlos tendr´ ıa ıamos que girar uno de los guantes respecto al plano de simetr´ (el espejo) en un espacio de cuatro ıa dimensiones.
- 190. 178 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines En general, las isometr´ con determinante positivo se llaman isometr´ ıas ıas directas o movimientos, y son las isometr´ que pueden realizarse mediante un ıas movimiento continuo que desplace las figuras sin deformarlas a trav´s del espa- e cio. Las isometr´ de determinante negativo se llaman inversas, y es imposible ıas realizarlas sin “salirse” del espacio. Llamaremos Is+ (E), Is− (E) a los conjuntos de las isometr´ directas e in- ıas versas, respectivamente, de un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E y O+ (V ), O− (V ) a los conjuntos de las isometr´ lineales directas e inversas de un espacio vectorial ıas ıdeo V . Notar que Is+ (E) y O+ (V ) son grupos, mientras que Is− (E) y eucl´ O− (V ) no lo son. Los giros y las traslaciones son isometr´ directas. En un ıas espacio de dimensi´n n, el signo de una simetr´ respecto a una variedad de o ıa dimensi´n m es (−1)n−m . En particular las reflexiones son isometr´ inversas. o ıas Es obvio que Is(E) est´ generado por las traslaciones, los giros y las refle- a xiones, mientras que Is+ (E) est´ generado por las traslaciones y los giros. Los a teoremas siguientes nos permitir´n refinar estos hechos. a Teorema 6.50 Si L es una variedad lineal en un espacio af´ eucl´ ın ıdeo, v un vector ortogonal a L y L = v + L, entonces sL ◦ sL = T2v . Demostracion: Tomemos un punto arbitrario P . Sea P = sL (P ) y sea ´ P = sL (P ). Por definici´n de simetr´ o ıa 1 1 −→ − M= P + P ∈ L y P P ∈ L⊥ . 2 2 −−− → −− − − −→ − → −→ − Llamemos M = M +v ∈ L . Entonces P M = P M + M M = 1 P P +v ∈ L⊥ , 2 −− −→ −− −→ y de nuevo por la definici´n de simetr´ P P = 2 P M . As´ pues, o ıa ı − → −→ − − − − −→ −− −→ −− −→ −− −→ P P = P P + P P = 2M P + 2P M = 2M M = 2v. P L L P M M P El teorema anterior implica que toda traslaci´n se puede expresar como o composici´n de dos simetr´ (respecto a dos variedades paralelas de dimensi´n o ıas o arbitraria). Por consiguiente el grupo Is(E) est´ generado por los giros y las a reflexiones, y si dim E ≥ 2, el grupo Is+ (E) est´ generado por los giros (pues a cada traslaci´n puede sustituirse por dos simetr´ respecto a dos variedades de o ıas dimensi´n n − 2, y ´stas son giros de amplitud π). o e
- 191. 6.7. Aplicaciones 179 Teorema 6.51 Sea E un espacio af´ eucl´ ın ıdeo de dimensi´n n ≥ 2. Entonces o el grupo Is(E) est´ generado por las reflexiones y el grupo Is+ (E) est´ generado a a por los giros. Demostracion: La segunda parte es evidente. Para probar la primera ´ afirmaci´n es suficiente ver que todo giro se expresa como composici´n de dos o o reflexiones. Sea f un giro y (O; v1 , . . ., vn ) un sistema de referencia ortonormal tal que O sea un punto fijo y f tenga forma can´nica [Mθ , 1, . . ., 1] respecto a o la base dada. Sea V v1 , v2 . Claramente V es un subespacio invariante para f , su restricci´n a V tiene matriz Mθ y restringida a V ⊥ es la identidad. o Sea g la reflexi´n que fija a O y tal que en la base dada g tiene matriz o [−1, 1, . . ., 1]. Entonces g es tambi´n la identidad en V ⊥ y su restricci´n a V e o tiene matriz [−1, 1]. Es claro entonces que V y V ⊥ son invariantes para f ◦ g, as´ como que ´sta es la identidad en el segundo y tiene matriz Mθ [−1, 1] en V . ı e Como esta matriz es ortogonal y tiene determinante −1, su forma can´nica es o [−1, 1], de donde se sigue que la forma can´nica de f ◦ g es [−1, 1, . . ., 1], luego o h = f ◦ g es tambi´n una reflexi´n, y f = h ◦ g es composici´n de dos reflexiones. e o o Ejercicio: Probar que si dim E ≥ 3 el grupo Is+ (E) est´ generado por las simetr´ a ıas respecto a variedades de dimensi´n n − 2. o 6.7 Aplicaciones Concluimos el cap´ ıtulo con algunas aplicaciones de los resultados que hemos visto. En primer lugar probaremos una interesante propiedad de los tri´ngulos a descubierta por Euler: El circuncentro, el ortocentro y el baricentro son siempre colineales. Llegaremos a ello estudiando el llamado tri´ngulo medial, que es el a tri´ngulo que une los pies de las medianas. a A E H P C B G O B C D A
- 192. 180 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines En primer lugar observamos que el teorema de Tales implica que los lados del tri´ngulo medial A B C son paralelos a los de ABC, as´ como que los del a ı primero miden la mitad que los del segundo. El teorema de Desargues implica que ambos son homot´ticos, y la raz´n de la homotecia es −2. El teorema de e o Tales prueba tambi´n que la mediana AA pasa por el punto medio P de B C , e luego P A es una mediana del tri´ngulo medial. En general, las medianas del a tri´ngulo medial est´n contenidas en las del tri´ngulo de partida, luego ambos a a a tri´ngulos tienen el mismo baricentro G. a Es f´cil ver que una homotecia conserva el punto medio de un segmento, a luego el punto medio P del lado B C es el hom´logo del punto medio A del o lado BC. Por lo tanto, la mediana P A del tri´ngulo medial se transforma en la a mediana A A del tri´ngulo dado, es decir, la homotecia deja fijas las medianas a (comunes) de ambos tri´ngulos. En particular fija al baricentro G, luego ´ste a e ha de ser el centro de la homotecia. Por otra parte, es obvio que las alturas del tri´ngulo medial son las bisectrices a de ABC, luego el circuncentro O de ABC es el ortocentro de su tri´ngulo medial. a La recta homot´tica de la altura P A del tri´ngulo medial es su paralela por e a el punto A, es decir, la altura AD del tri´ngulo dado. En general, cada altura a se corresponde con una altura y por lo tanto el circuncentro O (ortocentro de A B C ) es el hom´logo del ortocentro H de ABC. o Esto prueba que O, H y G se encuentran sobre la misma recta. M´s a´n, G a u est´ entre O y H y HG = 2 GO. a Hay un caso especial, en el que G = O (y necesariamente entonces G = H). Esto equivale a que las mediatrices coincidan con las alturas, lo que a su vez equivale a que el tri´ngulo sea equil´tero. a a Definici´n 6.52 Se llama recta de Euler de un tri´ngulo no equil´tero a la o a a recta que contiene al su circuncentro, su baricentro y su ortocentro. Todav´ podemos llevar m´s lejos nuestro an´lisis. Sea N el punto medio ıa a a −→ − del segmento OH. Es claro que su hom´logo a trav´s de la homotecia anterior o e es el circuncentro O de ABC, luego N ha de ser el circuncentro del tri´ngulo a medial. A P E F H C B N Q G R O B C D A
- 193. 6.7. Aplicaciones 181 ´ Consideramos ahora la homotecia de centro H y raz´n 1/2. Esta transforma o el circuncentro O de ABC en el punto N , luego transforma la circunferencia circunscrita de ABC en una circunferencia ω de centro N que contiene a los puntos medios de los segmentos HA, HB y HC, llam´moslos P , Q, R. El e tri´ngulo A B C se transforma en P QR mediante la homotecia de centro G y a raz´n −2 seguida de la homotecia de centro H y raz´n 1/2 (pasando por ABC), o o pero estas transforman a N en O y O en N de nuevo, luego la composici´n fijao a N , pero ha de ser una homotecia o una traslaci´n y, como fija a N , ha de ser o una homotecia de centro N y raz´n ±1. Es f´cil ver que P no puede coincidir o a con A , luego la homotecia no puede ser la identidad, luego en definitiva se trata de la homotecia de centro N y raz´n −1 o, si se prefiere, la simetr´ puntual o ıa respecto de N . Esto implica que el c´ ırculo ω contiene tambi´n a los pies de las medianas A , e B y C . M´s a´n, los segmentos P A , QB , RC son di´metros de ω. a u a Finalmente, si el pie de la altura D es distinto de A el tri´ngulo P DA es a rect´ngulo, luego su circuncentro es N , luego D est´ tambi´n en ω, y lo mismo a a e es v´lido para E y F . Con esto hemos probado: a Teorema 6.53 En todo tri´ngulo T = ABC con ortocentro H, los puntos me- a dios de los segmentos HA, HB y HC, los pies de las alturas y los pies de las medianas est´n sobre una misma circunferencia ω cuyo centro es el punto medio a entre el ortocentro y el circuncentro de T . Poncelet llam´ a la circunferencia del teorema anterior el c´ o ırculo de los nueve puntos6 del tri´ngulo T . a El c´ ırculo de los nueve puntos de un tri´ngulo T es la circunferencia cir- a cunscrita tanto a su tri´ngulo medial como a su tri´ngulo ortico. Veamos otra a a ´ propiedad interesante. Para enunciarla necesitamos definir el angulo entre una ´ circunferencia y una recta secante: r α P Definici´n 6.54 Dada una circunferencia ω y una o recta r que la corte en dos puntos P y Q, llamaremos a ´ngulo entre r y ω en P al angulo (menor) determi- ´ 2α Q nado por r y la tangente a ω por P . Si r es tangente α a ω en P convendremos en que el ´ngulo entre r y ω a es nulo. Es f´cil ver que r determina el mismo ´ngulo α tanto en P como en Q, as´ a a ı como que ´ste es la mitad del arco menor determinado por P y Q en ω, y por e lo tanto igual a cualquier angulo inscrito en ω que abarque el arco P Q. ´ Teorema 6.55 Los ´ngulos con que un lado BC de un tri´ngulo corta a su a a ˆ ˆ ırculo de los nueve puntos tiene amplitud |B − C|. c´ 6 Existe una cierta tradici´n de llamar c´ o ırculos tanto a los c´ ırculos propiamente dichos como a las circunferencias. Conservamos el nombre usual, si bien hemos de tener presente que el c´ ırculo de los nueve puntos es en realidad una circunferencia.
- 194. 182 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Demostracion: Con la notaci´n anterior, el lado corta a la circunferencia ´ o en los punto A y D. Es f´cil ver que D = A si y s´lo si B = C (en cuyo caso el a o lado es tangente a la circunferencia), por lo que podemos suponer que D = A . Hemos de calcular cualquier ´ngulo inscrito en la circunferencia que abarque a a DA , por ejemplo DP A = DP N = DAO, pues las rectas P N y AO son paralelas (son homot´ticas desde H). e ˆ Claramente DAC = π/2 − C, mientras que π AOC π ˆ OAC = OCA = − = − B, 2 2 2 ˆ pues B est´ inscrito en la circunferencia circunscrita a ABC. a ˆ Esto implica que DAO = |B − C|. ˆ
- 195. Cap´ ıtulo VII La geometr´ af´ ıa ın Nuestra forma de percibir y concebir la realidad contiene las leyes de la geometr´ eucl´ ıa ıdea, de modo que somos capaces de reconocer inmediatamente como verdaderos muchos de sus principios, pero sucede que la l´gica de nuestra o intuici´n no coincide con la l´gica interna (algebraica) de la geometr´ que perci- o o ıa bimos. Por ejemplo, el hecho de que las rectas est´n ordenadas aparece como un e principio b´sico porque nos es dado como algo evidente e inmediato, mientras a que desde un punto de vista l´gico es algo completamente accesorio (la geo- o metr´ af´ contiene el n´cleo principal de la geometr´ y en ella es irrelevante ıa ın u ıa que el cuerpo est´ o no ordenado); rec´ e ıprocamente, el teorema de Desargues dista mucho de ser evidente, y sin embargo veremos que es un aut´ntico pilar e de la geometr´ af´ ıa ın. Hasta aqu´ hemos presentado la geometr´ partiendo de unos axiomas que ı ıa pretend´ reflejar nuestra forma de percibirla, partiendo de lo intuitivamente ıan m´s simple hacia lo intuitivamente m´s complejo. La unica excepci´n ha sido a a ´ o que hemos pospuesto hasta el ultimo lugar al axioma de las paralelas (Axioma ´ E) para mostrar que una gran parte de la teor´ es independiente de ´l, cuando ıa e en realidad es tan intuitivamente evidente como los axiomas de incidencia que han constituido nuestro punto de partida. En este cap´ ıtulo mostraremos una exposici´n alternativa de la geometr´ debida a Artin, y que no est´ guiada o ıa, a por la intuici´n, sino por la simplicidad l´gica, de modo que nos permitir´ o o a comprender el papel real que juega cada elemento en la teor´ general. ıa 7.1 Incidencia y paralelismo Los axiomas b´sicos de la geometr´ af´ son los axiomas de incidencia junta- a ıa ın mente con el axioma de las paralelas. Al incluir este ultimo axioma, los primeros ´ pueden simplificarse ligeramente. Partimos, pues, de un conjunto de puntos en el que hemos destacado dos familias de subconjuntos a los que llamaremos rec- tas y planos. Los conceptos de colinealidad, etc. se definen como es usual, pero conviene que modifiquemos la noci´n de paralelismo para aceptar que dos rectas o o planos coincidentes se consideren paralelos. De este modo, dos rectas ser´n a 183
- 196. 184 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın paralelas si est´n contenidas en un mismo plano y son coincidentes o disjuntas, a dos planos ser´n paralelos si son coincidentes o disjuntos y una recta y un plano a ser´n paralelos si son disjuntos o bien la recta est´ contenida en el plano. a a Definici´n 7.1 Un espacio af´ (tridimensional) es un conjunto E, a cuyos o ın elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vac´ ıos de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se satisfagan los axiomas siguientes: Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una unica recta, ´ que representaremos por P Q. Axioma A2 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela. ´ Axioma A3 Por cada tres puntos no colineales P , Q, R pasa un unico plano, ´ que representaremos por P QR. Axioma A4 Si una recta r tiene dos puntos en com´n con un plano π, en- u tonces r est´ contenida en π. a Axioma A5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares. Axioma A6 Si dos planos tienen un punto en com´n, entonces tienen dos u puntos en com´n. u Tenemos, pues, dos axiomas que describen las rectas, dos axiomas que des- criben los planos, un axioma de existencia de puntos y un axioma de clausura, que impone la tridimensionalidad del espacio. Del axioma A1 se sigue inmediatamente que si dos rectas se cortan, lo hacen en un unico punto. En el cap´ ´ ıtulo I exig´ ıamos que cada plano contuviera tres puntos no colineales. En realidad esto puede probarse con un argumento t´cnico e que all´ preferimos evitar. ı Teorema 7.2 Todo plano contiene tres puntos no colineales Demostracion: Dado un plano π, por definici´n es un conjunto de puntos ´ o no vac´ Sea, pues, P ∈ π. Por el axioma A5 existen puntos Q y R no colineales ıo. con P . Si ambos est´n en π ya hemos terminado, en caso contrario el plano a P QR corta a π en P y por A6 en otro punto m´s. No perdemos generalidad si a suponemos que es Q, con lo que R ∈ π. De nuevo por A6 existe un punto S no / coplanar con P , Q, R. El plano P RS corta a π en P y en otro punto P que no puede estar en P Q, pues P Q est´ contenida en P QR (por A4) y en tal caso a los planos P RS y P QR tendr´ en com´n los puntos P , R y P , luego ser´ ıan u ıan iguales (por A3) y P , Q, R, S ser´ coplanares. Por lo tanto, los puntos P , Q, ıan P son tres puntos no colineales en π. Por equilibrar la simplicidad con la generalidad hemos dado los axiomas para la geometr´ tridimensional, aunque ser´ posible trabajar axiom´ticamente con ıa ıa a espacios de cualquier dimensi´n. Es importante destacar el caso bidimensional. o Los axiomas para la geometr´ plana se obtienen de sustituir el axioma A5 por ıa
- 197. 7.1. Incidencia yparalelismo 185 la existencia de tres puntos no colineales y postular que todos los puntos est´n a contenidos en un mismo plano. Alternativamente podemos suprimir todos los axiomas que nombren planos, con lo que el sistema se reduce a tan s´lo tres o axiomas: Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una unica recta, ´ que representaremos por P Q. Axioma A2 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela. ´ Axioma A3 Existen tres puntos distintos no colineales. El teorema anterior prueba que todo plano de un espacio af´ tridimensional ın (con las rectas que contiene) es un espacio af´ bidimensional (o simplemente un ın plano af´ın). Todos los resultados que vamos a probar sobre objetos contenidos en un mismo plano se pueden probar directamente a partir de estos axiomas y son v´lidos en cualquier plano af´ a ın. Teorema 7.3 Toda recta contiene al menos dos puntos. Demostracion: Dada una recta r, por definici´n es un conjunto no vac´ ´ o ıo, luego contiene un punto P . Sean Q y R dos puntos no colineales con P . Sea s la paralela a P Q por R. Si r no contuviera m´s punto que P , entonces estar´ a ıa contenida en el plano P QR, al igual que s, y de hecho ser´ paralelas, pues P ıan no est´ en s. Pero entonces r y P Q ser´ dos paralelas a s por el punto P , lo a ıan cual es imposible. Con esto tenemos demostrados todos los axiomas de incidencia de que par- timos en el cap´ ıtulo I, luego tenemos a nuestra disposici´n todos los teoremas o que a partir de ellos probamos all´ Tambi´n es v´lida la prueba del teorema ı. e a 3.5, que enunciamos aqu´ en una forma equivalente: ı Teorema 7.4 El paralelismo es una relaci´n de equivalencia en el conjunto de o todas las rectas del espacio La existencia de planos paralelos la demostramos usando el concepto de perpendicularidad. Veamos que es innecesario: Teorema 7.5 Por un punto exterior a un plano pasa un unico plano paralelo. ´ Demostracion: Sea un plano π = P QR y sea P un punto exterior. Sea ´ P Q la paralela a P Q por P y sea P R la paralela a P R por P . Las rectas P Q y P R son paralelas a π, pues, por ejemplo, el plano que contiene a P Q y P Q corta a π en P Q, y P Q no tiene puntos en com´n con P Q, luego tampoco u con π. Los puntos P , Q y R no son colineales, pues en tal caso P Q = P R , con lo que P Q y P R deber´ ser paralelas entre s´ lo cual es absurdo. Sea ıan ı, π = P Q R . Veamos que es paralelo a π. En caso contrario la intersecci´n es o una recta t que no puede ser paralela a P Q y a P R simult´neamente, pero es a
- 198. 186 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın imposible que P Q corte a t, o de lo contrario P Q cortar´ a π, cuando hemos ıa visto que son paralelos. Lo mismo le ocurre a P R . Supongamos ahora que π es otro plano paralelo a π que pasa por P . El plano P P Q corta a π y a π en dos rectas paralelas a P Q que pasan por P , luego ambas son P Q y as´ Q ∈ π . Del mismo modo tenemos que R ∈ π , ı luego π = P Q R = π . Ahora es inmediato que el paralelismo de planos es una relaci´n de equiva- o lencia. En la prueba del teorema anterior est´ impl´ a ıcito que si una recta r est´ a contenida en un plano π, entonces la paralela a r por un punto P est´ contenida a en el plano paralelo a π por P . Definici´n 7.6 Un haz de rectas paralelas es una clase de equivalencia de rectas o paralelas, bien de todo el espacio bien en un plano prefijado. Un haz de rectas concurrentes es el conjunto de todas las rectas (del espacio o de un plano) que pasan por un mismo punto. Teorema 7.7 Todas las rectas tienen el mismo n´mero de puntos. u Demostracion: Sean r y s dos rectas. Podemos suponer que tienen un ´ punto en com´n P , pues dadas dos rectas arbitrarias, podemos tomar una ter- u cera que pase un punto de cada una. Digamos que r = P Q y s = P R. Si X ∈ r, la recta paralela a QR que pasa por X est´ contenida en el plano de r y s y no puede ser paralela a s, luego la a corta en un unico punto f (X). Esto define claramente una biyecci´n entre los ´ o puntos de r y los de s. Ejercicio: Probar que si las rectas de un espacio af´ tienen un n´mero finito p de ın u puntos, entonces todos los planos tienen p2 puntos y el espacio tiene p3 puntos. 7.2 Homotecias y traslaciones El teorema 6.8 caracteriza las homotecias y las traslaciones de un espacio af´ como las biyecciones que transforman cada recta en una paralela. Lo m´s ın a destacable es que no hace falta suponer que las biyecciones sean afines, por lo que estamos en condiciones de tomar esta caracterizaci´n como definici´n. o o Definici´n 7.8 Dado un espacio af´ E, llamaremos HT(E) al conjunto de to- o ın das las aplicaciones biyectivas de E en s´ mismo que transforman cada recta en ı una paralela. Es claro que HT(E) es un grupo con la composici´n de aplicacio- o nes. Un elemento de HT(E) es una homotecia si tiene al menos un punto fijo y es una traslaci´n si es la identidad o bien no tiene puntos fijos. o Probamos en primer lugar un resultado general: Teorema 7.9 Si dos elementos de HT(E) coinciden en dos puntos distintos cualesquiera, entonces son iguales.
- 199. 7.2. Homotecias ytraslaciones 187 Demostracion: Sean P y Q dos puntos de E y f ∈ HT(E). Veamos ´ que la imagen de cualquier otro punto R est´ determinada por las de P y Q. a Supongamos primeramente que R no est´ en la recta P Q. Entonces f [P R] es a una recta paralela a P R, luego es exactamente la recta paralela a P R que pasa por f (P ). Similarmente f [QR] es la recta paralela a QR que pasa por f (Q). Como P R y QR no son paralelas entre s´ las rectas f [P R] y f [QR] tampoco ı, lo son. En particular no son coincidentes, pero tienen en com´n el punto f (R). u Por lo tanto f (R) es necesariamente la intersecci´n de la paralela a P R por o f (P ) con la paralela a QR por f (Q), lo cual s´lo depende de f (P ) y f (Q). Con o esto hemos probado que dos elementos cualesquiera de HT(E) que coincidan sobre P Q han de coincidir sobre E salvo quiz´ la recta P Q. Tomando una recta a paralela a P Q, sobre la que ya tenemos que coinciden, el razonamiento anterior prueba que tambi´n coinciden en P Q. e En particular cada homotecia distinta de la identidad tiene un unico punto ´ fijo, al que llamaremos centro de la homotecia. Probamos ahora una caracterizaci´n de las homotecias y traslaciones me- o diante una propiedad m´s d´bil que nos ser´ util en la secci´n siguiente: a e a´ o Teorema 7.10 Sea f : E −→ E una aplicaci´n tal que para todo par de puntos o P y Q, f (Q) est´ sobre la recta paralela a P Q que pasa por f (P ). Entonces f a es constante o bien f ∈ HT(E). Demostracion: Supongamos que existen dos puntos P y Q tales que ´ f (P ) = f (Q) = X. Entonces, para todo punto R exterior a la recta P Q, tenemos que f (R) ha de estar en la recta paralela a P R por X y en la recta paralela a QR por X. Como estas rectas no son paralelas entre s´ se cortan ı, s´lo en X, luego f (R) = X para todo punto fuera de P Q. Sustituyendo P y o Q por dos puntos en una recta paralela a P Q, el razonamiento anterior nos da que f (R) = X para todo punto de P Q, luego f es constante. Dicho de otro modo, si f no es constante, entonces es inyectiva. En tal caso consideremos dos puntos cualesquiera P y Q y sea R un punto exterior a la recta f (P )f (Q). Por hip´tesis las rectas P Q y f (P )f (Q) son paralelas, luego o est´n contenidas en un mismo plano π. Sea π el plano paralelo a f (P )f (Q)R a ´ por P . Este corta a π en una recta paralela a f (P )f (Q) por P , es decir, en la recta P Q. El plano P f (P )R corta a π en una r recta paralela a f (P )R , y el plano Qf (Q)R corta a π en una recta s paralela a f (Q)R por Q. Como ambas est´n contenidas en π y no pueden ser paralelas (porque f (P )R y f (Q)R no a lo son) necesariamente se cortan en un punto R. Por hip´tesis f (R) est´ en la o a paralela a P R por f (P ) y en la paralela a QR por f (Q), luego est´ en r ∩ s y a por lo tanto f (R) = R . Esto prueba que todos los puntos exteriores a la recta f (P )f (Q) tienen antiimagen por f . Cambiando de puntos probamos lo mismo para los puntos de la recta exceptuada. Por lo tanto f es biyectiva. Finalmente, dada una recta r y un punto P ∈ r, la imagen de cualquier punto Q ∈ r ha de estar en la paralela a r por f (P ), llam´mosla r . Rec´ e ıprocamente, todo punto de r es de la forma f (Q), para un cierto punto Q que ha de estar
- 200. 188 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın en r, o en caso contrario f (Q) estar´ en la paralela a P Q por f (P ), que ser´ ıa ıa una recta distinta a r . Por lo tanto f [r] = r y as´ f ∈ HT(E). ı Definici´n 7.11 Una traza de f ∈ HT(E) es una recta r tal que f [r] = r. o Tres hechos obvios sobre trazas son los siguientes: 1. Las trazas de la identidad son todas las rectas. 2. Si f ∈ HT(E), entonces cada punto P que no sea un punto fijo para f est´ en una unica traza, a saber en la recta P f (P ). a ´ 3. Si dos trazas se cortan en un punto, entonces ´ste es un punto fijo. e Teorema 7.12 Las trazas de una homotecia distinta de la identidad son el haz de rectas que pasan por su centro. Las trazas de una traslaci´n distinta de la o identidad forman un haz de rectas paralelas al que llamaremos direcci´n de la o traslaci´n. o Demostracion: Si f es una homotecia de centro P , entonces toda recta ´ P Q es una traza, pues f [P Q] = P f (Q) ha de ser una recta paralela a P Q, luego ha de ser P Q. Rec´ ıprocamente, si QR es una traza pero no coincide con P Q, que tambi´n es una traza, entonces f (Q) = Q, luego f (Q) = Q, luego Q = P . e En cualquier caso la recta QR pasa por P . Si f es una traslaci´n, las trazas de f son claramente las rectas de la forma o P f (P ). Hemos de ver que dos cualesquiera de ellas son paralelas. Sea Qf (Q) una recta distinta. Como f no tiene puntos fijos, las dos rectas son disjuntas. Hemos de probar que est´n sobre un mismo plano. Ahora bien, f [P Q] es una a recta paralela a P Q, luego P , Q, f (P ) y f (Q) est´n sobre un mismo plano, a luego P f (P ) y Qf (Q) tambi´n. e Teorema 7.13 Si dos traslaciones coinciden sobre un punto son iguales. Demostracion: Sea f una traslaci´n y P un punto arbitrario. Sea Q un ´ o punto fuera de P f (P ). Entonces las trazas P f (P ) y Qf (Q) son paralelas, luego Qf (Q) es exactamente la paralela a P f (P ) por Q. Igualmente f (P )f (Q) es la paralela a P Q por f (P ). Como P f (P ) no es paralela a P Q, las rectas Qf (Q) y f (P )f (Q) no pueden ser paralelas, luego no son coincidentes, luego f (Q) es exactamente la intersecci´n de la paralela a P f (P ) por Q y la paralela a P Q o por f (P ). Esto prueba que dos traslaciones que coincidan sobre P coinciden tambi´n sobre un segundo punto Q, luego son iguales por 7.9. e Teorema 7.14 Las traslaciones forman un subgrupo normal de HT(E), al que representaremos por T(E). Las traslaciones con una misma direcci´n forman o tambi´n un subgrupo normal. e
- 201. 7.3. Vectores yescalares 189 Demostracion: Es obvio que la inversa de una traslaci´n es una traslaci´n ´ o o (si f no tiene puntos fijos, f −1 tampoco los tiene). Si f y g son traslaciones, entonces f ◦ g es una traslaci´n, pues si tiene un o punto fijo (f ◦ g)(P ) = P , tenemos que f (P ) = g −1 (P ), luego f = g −1 , ya que ambas son traslaciones y coinciden en un punto. Por consiguiente f ◦ g = 1, que tambi´n es una traslaci´n. e o Esto prueba que T(E) es un subgrupo de HT(E). Veamos que es normal. Hemos de ver que si f ∈ T(E) y g ∈ HT(E), entonces g −1 f g ∈ T(E). En efecto, si (g −1 f g)(P ) = P , entonces f g −1 (P ) = g −1 (P ), luego f tiene un punto fijo y es, por tanto, la identidad. As´ g −1 f g = 1 ∈ T(E). ı Es f´cil ver que la composici´n de dos traslaciones con la misma direcci´n a o o es la identidad o una traslaci´n con la misma direcci´n, as´ como que la inversa o o ı de una traslaci´n no trivial tiene la misma direcci´n. o o Si f = 1 se cumple que g −1 f g es una traslaci´n con la misma direcci´n que o o f . En efecto, dado P ∈ E, la recta g −1 (P ), f g −1 (P ) es una traza de f , luego tiene la direcci´n de f . Su imagen por g es P (g −1 f g)(P ), que es paralela a la o anterior y es una traza de (g −1 f g, luego ambas traslaciones tienen la misma direcci´n. o Teorema 7.15 Si existen traslaciones en dos direcciones distintas entonces T(E) es abeliano. Demostracion: Sean f y g dos traslaciones cualesquiera. Hemos de probar ´ que f g = gf o, equivalentemente, que f −1 g −1 f g = 1. Podemos suponer que f = 1 = g. Supongamos que f y g tienen direcciones distintas. Si f −1 g −1 f g = 1, entonces g −1 f g tiene la misma direcci´n que f , al igual que f −1 y tambi´n la o e composici´n f −1 g −1 f g (supuesta no trivial), pero del mismo modo se razona o que su direcci´n es la de g, con lo que tenemos una contradicci´n. o o Si f y g tienen la misma direcci´n, por hip´tesis existe otra traslaci´n h con o o o direcci´n distinta. Por la parte ya probada f h = hf . Por otra parte, gh no o puede tener la misma direcci´n que f , o de lo contrario g −1 (gh) = h tendr´ o ıa la misma direcci´n. As´ pues, f gh = ghf . Uniendo todo esto tenemos que o ı f gh = ghf = gf h, luego f g = gf . 7.3 Vectores y escalares La ins´lita hip´tesis del teorema anterior nos hace reparar en que ninguno o o de los teoremas anteriores nos garantiza que el grupo HT(E) sea no trivial. Garantizar la existencia de homotecias y traslaciones es un problema t´cnico e del que nos ocuparemos en la secci´n siguiente. Para sortear el obst´culo mo- o a ment´neamente introduciremos dos axiomas t´cnicos de car´cter provisional. El a e a primero se refiere a traslaciones: Axioma B1 Dados dos puntos P y Q, existe una traslaci´n TP Q que trans- o forma P en Q.
- 202. 190 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın Puesto que las traslaciones est´n determinadas por la imagen de un unico a ´ punto, la traslaci´n TP Q es unica. Ahora es obvio que existen traslaciones con o ´ direcciones distintas, por lo que el grupo de traslaciones es abeliano. Con esto podemos recuperar el conjunto de los vectores libres. Llamaremos E = T(E), usaremos notaci´n aditiva, de modo que 0 ser´ la identidad. La o a − −→ traslaci´n TP Q la representaremos por P Q, de modo que todo vector de E se o − −→ puede expresar de forma unica como OP para cualquier punto prefijado O. ´ −−→ La imagen de un punto R por la traslaci´n P Q la representaremos por o −−→ R+ P Q. Las afirmaciones siguientes son reformulaciones de hechos ya probados: −−→ 1. P P = 0, −−→ − −→ − → 2. P Q + QR = P R, 3. (P + v) + w = P + (v + w). Ahora buscamos un cuerpo con el que convertir a E en un espacio vectorial. En el cap´ıtulo anterior probamos que en un espacio af´ (en el sentido algebraico) ın K ∗ es isomorfo al grupo de homotecias lineales H(E). M´s a´n, si a˜adimos la a u n aplicaci´n nula a H(E), el conjunto que obtenemos puede ser dotado de forma o natural de estructura de cuerpo isomorfo a K. Basta definir la suma de dos homotecias f y g como la aplicaci´n dada por (f + g)(v) = f (v) + g(v). Fijando o una base, esta suma y la composici´n se corresponden con la suma y el producto o de matrices, pero las matrices de las homotecias lineales (m´s la aplicaci´n nula) a o son las de la forma α I, donde α ∈ K, luego efectivamente, con estas operaciones tenemos un cuerpo isomorfo a K. Nuestro problema es esencialmente definir las homotecias lineales en nuestro contexto, pero una homotecia lineal se caracteriza porque env´ cada vector a ıa un m´ltiplo suyo y, vistos como traslaciones, esto significa que ambos tienen la u misma direcci´n.o Definici´n 7.16 Una homotecia lineal en un espacio af´ E es un homomor- o ın fismo de grupos α : E −→ E tal que para todo v ∈ E, se cumple αv = 0 o bien αv tiene la misma direcci´n que v. Llamaremos K al conjunto de todas o las homotecias lineales de E. A los elementos de K los llamaremos tambi´n e escalares. Observar que el hecho de que una homotecia lineal α sea un homomorfismo de grupos equivale a que α(v + w) = αv + αw. El homomorfismo nulo, determinado por 0v = 0 para todo v ∈ E, es trivial- mente una homotecia lineal. Lo mismo le sucede a la identidad, determinada por 1v = v. Llamaremos −1 a la aplicaci´n dada por (−1)v = −v. Es claro que o tambi´n es una homotecia lineal. e Definici´n 7.17 Sean α, β ∈ K, definimos α + β como la aplicaci´n E −→ E o o dada por (α + β)v = αv + βv. Definimos αβ como la aplicaci´n dada por o (αβ)v = β α(v) .
- 203. 7.3. Vectores yescalares 191 Notar que, vistos como homotecias lineales, el producto de dos escalares es simplemente su composici´n. o Teorema 7.18 El conjunto de escalares K es un anillo unitario con las opera- ciones de la definici´n anterior. o Demostracion: Claramente, ´ (α+β)(v + w) = α(v + w)+β(v + w) = αv +αw +βv +β w = (α+β)v +(α+β)w, luego α + β es un homomorfismo. Si v = 0 entonces (α + β)v = 0. Si v = 0 entonces αv y βv tienen la misma traza que v, luego su suma tambi´n, es decir, e (α + β)v tiene la misma direcci´n que v, luego α + β ∈ K. o Del mismo modo se prueba que αβ ∈ K. La asociatividad y la conmutativi- dad de la suma de siguen de las de la suma en E. El neutro es 0 y el sim´trico e de α es (−1)α, pues α + (−1)α v = αv + −αv = 0 = 0v, luego α + (−1)α = 0. Tampoco presenta ning´n problema probar la propiedad distributiva (por la u izquierda y la derecha), la asociatividad del producto y el hecho de que 1 es el elemento neutro del producto (por la izquierda y la derecha). Para justificar la existencia de inversos mostraremos primero la relaci´n entre o las homotecias y las homotecias lineales: Teorema 7.19 Sea α ∈ K no nulo y P un punto dado. Existe una unica ´ −1 homotecia fα de centro P tal que Tαv = fα Tv fα , para todo v ∈ E. Demostracion: Observar que usamos la doble notaci´n v = Tv seg´n si ´ o u vemos la traslaci´n como elemento de E (con notaci´n aditiva) o como elemento o o de HT(E) (con notaci´n multiplicativa). o Veamos en primer lugar la unicidad. Sea Q un punto arbitrario y v = TP Q . Aplicando la f´rmula del enunciado al punto P tenemos o − −→ −1 P + αP Q = Tαv (P ) = fα (Tv (fα (P ))) = fα (Tv (P )) = fα (Q). Esto prueba que fα (Q) est´ completamente determinado por α y P . Adem´s a a la f´rmula anterior nos indica c´mo hemos de construir fα . o o Definimos fα mediante − −→ fα (Q) = P + αP Q. (7.1) − −→ − −→ −→ Dados dos puntos distintos Q y R, tenemos que P Q + QR = P R, luego − −→ −− → − → P + αP Q + αQR = P + αP R. Por (7.1) esto implica − −→ fα (Q) + αQR = fα (R). (7.2)
- 204. 192 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın −−→ Si αQR = 0 entonces esta ecuaci´n significa que la recta fα (Q)fα (R) es una o −− → −−→ traza de αQR, luego tambi´n de QR, luego es paralela a la recta QR, que es e − −→ otra traza de la misma traslaci´n. Si αQR = 0 tenemos que fα (Q) = fα (R). o En ambos casos fα (R) est´ sobre la recta paralela a QR por fα (Q). Podemos a aplicar el teorema 7.10 para concluir que fα es constante o bien una homotecia (no puede ser una traslaci´n no trivial porque tiene a P como punto fijo). Ahora o − −→ bien, si fuera constante, la f´rmula (7.2) implicar´ que αQR = 0 para todo o ıa − −→ vector QR, luego ser´ α = 0, en contra de la hip´tesis. As´ pues, fα es una ıa o ı homotecia de centro P . Veamos que fα cumple lo pedido. Puesto que fα (P ) = P , podemos escribir (7.1) como −−→ fα (Q) = fα (P ) + αP Q = Tαv fα (P ) , −−→ donde v = P Q es un vector arbitrario, luego −1 Q = fα Tαv fα (P ) . −1 Esto significa que la traslaci´n fα Tαv fα env´ P a Q, luego o ıa −1 fα Tαv fα = TP Q = Tv . −1 Despejando obtenemos la f´rmula del enunciado: Tαv = fα Tv fα . o Teorema 7.20 Cada homotecia se expresa de forma unica como fα , para un ´ cierto escalar α no nulo. Demostracion: Sea f una homotecia de centro P . Sea α la homotecia ´ lineal dada por T α = f −1 T f (usamos notaci´n exponencial para los escalares o cuando usamos notaci´n multiplicativa para las traslaciones). Es f´cil ver que α o a es un homomorfismo: (T T )α = f −1 T T f = f −1 T f f −1 T f = T α T α . Adem´sa α conserva las direcciones por el teorema 7.14. Por lo tanto α es un escalar, claramente no nulo. Cambiando la notaci´n en la definici´n de α tenemos que o o Tαv = f −1 Tv f para todo vector v, luego por la unicidad ha de ser f = fα . − −→ −−→ La unicidad se sigue de (7.1), pues si fα = fβ , entonces αP Q = β P Q para −−→ todo vector P Q, luego α = β. Con esto ya estamos en condiciones de probar: Teorema 7.21 El conjunto de escalares K es un anillo de divisi´n. o Demostracion: Recordemos que un anillo de divisi´n es un cuerpo no ´ o necesariamente conmutativo. S´lo falta probar que todo escalar no nulo tiene o un inverso. M´s en general, observamos que la biyecci´n α → fα entre K ∗ y a o el grupo de las homotecias de centro un punto fijo P conserva el producto, es decir, fαβ = fα fβ . En efecto, se cumple −1 (fα fβ )−1 Tv fα fβ = fβ Tαv fβ = Tβ(αv) = T(αβ)v .
- 205. 7.3. Vectores yescalares 193 Por la unicidad fα fβ = fαβ . Esto implica que K ∗ es un grupo isomorfo al grupo de homotecias de centro P . En particular todo escalar no nulo tiene un inverso. Con esto tenemos probado que E es un K espacio vectorial por la derecha, es decir, con la asociatividad mixta en la forma (αβ)v = β(αv). Enseguida veremos que la dimensi´n de E es 3 (o 2 si E es un plano af´ o ın). Con ello tendremos probado que E tiene estructura de espacio af´ en el sentido algebraico del ın cap´ıtulo IV, salvo por el hecho de que K no es necesariamente conmutativo. No podemos aspirar a demostrar la conmutatividad de K a partir de nuestros axiomas, pues es f´cil ver que si K es cualquier anillo de divisi´n entonces K 3 a o satisface los axiomas de espacio af´ tomando como rectas y planos las clases de ın congruencia m´dulo los subespacios vectoriales de dimensi´n 1 y 2, y el anillo o o de divisi´n que se obtiene seg´n la construcci´n anterior es isomorfo a K, luego o u o no es necesariamente conmutativo. La geometr´ af´ b´sica es v´lida en el ıa ın a a caso no conmutativo, pero hay algunas diferencias, como por ejemplo que las homotecias no son necesariamente afinidades. Para calcular la dimensi´n de E necesitamos un axioma adicional B2 que o introducimos tambi´n con car´cter provisional. En la secci´n siguiente demos- e a o traremos los axiomas B1 y B2 a partir del grupo A. Axioma B2 Si v y w son dos vectores distintos y no nulos con la misma direcci´n, entonces existe un α ∈ K tal que w = αv. o Los casos exceptuados se cumplen trivialmente: si v = w sirve α = 1 y si w = 0 sirve α = 0. Por lo tanto s´lo hay que exigir que v sea no nulo. La o estructura vectorial de E implica que α es unico. ´ En primer lugar daremos una forma equivalente del axioma B2. Si el axioma B1 garantizaba la existencia de traslaciones, el axioma B2 postula el hecho an´logo sobre homotecias. a Axioma B2P (para un punto P ) Para todo par de puntos Q, R tales que P , Q, R est´n alineados y sean distintos, existe una homotecia de centro P que e env´ Q a R. ıa Teorema 7.22 El axioma B2 para un punto P equivale al axioma B2 para todo punto P y tambi´n al axioma B2. e Demostracion: Supongamos el axioma B2 para un punto P y sean v, w ´ en las condiciones del axioma B2 (global). Sean Q = P + v, R = P + w. Como los dos vectores tienen la misma direcci´n, los tres puntos son colineales. Como o son distintos y no nulos, los tres puntos P , Q, R son distintos. Por B2P existe una homotecia de centro P , que ser´ de la forma fα , tal que fα (Q) = R, es a − −→ −−→ − → decir, P + αP Q = R, luego αP Q = P R, o tambi´n, αv = w. e Supongamos ahora B2 y probemos B2P para un punto arbitrario. Sean − −→ − → P , Q, R tres puntos colineales distintos. Entonces P Q y P R son vectores no
- 206. 194 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın nulos distintos con la misma direcci´n. por B2 existe un escalar no nulo tal que o −→ −−→ −− → P R = αP Q. Equivalentemente, P + αP Q = R, luego fα (Q) = R. Teorema 7.23 Si P , Q, R, S son cuatro puntos no coplanares, entonces los − − − −→ → → vectores P Q, P R, P S son una base de E. −→ − Demostracion: Sea P X un vector arbitrario. Los planos P QX y P RS ´ son distintos, luego se cortan en una recta r que contiene a P . La paralela a P Q por X est´ contenida en el primero y ha de cortar a r en un punto X ∈ P RS. a −→− − −→ El vector X X es nulo o tiene la misma direcci´n que P Q, luego por B2 existe o −→− − −→ un escalar α tal que X X = αP Q. Por lo tanto −→ − → − → − − − − −→ −→ − P X = P X + X X = αP Q + P X . La paralela a P R por X est´ contenida en P RS y no es paralela a P S, luego a −− −→ se cortan en un punto X . El vector X X es nulo o tiene la misma direcci´n o −→ −− −→ −→ que P R, luego X X = β P R, para cierto β ∈ K. As´ ı − → −− − −→ − −−→ −→ −− −→ P X = P X + X X = βP R + P X . −− −→ −→ As´ mismo, el vector P X es nulo o tiene la direcci´n de P S, luego existe ı o −− −→ −→ un γ ∈ K tal que P X = γ P S. En total obtenemos −→ − − −→ −→ − − −→ −→ −− −→ − −→ −→ −→ P X = αP Q + P X = αP Q + β P R + P X = αP Q + β P R + γ P S. − −→ −→ −→ Si αP Q + β P R + γ P S = 0, entonces −→ − −→ −→ P − γ P S = P + αP Q + β P R. −− → El punto X = P + αP Q est´ en la recta P Q, contenida en P QR, el punto a −−→ − → P + αP Q + β P R est´ en la paralela a P R por X, luego est´ tambi´n en P QR, a a e −→ mientras que el punto P − γ P S est´ en la recta P S, cuyo unico punto en com´n a ´ u −→ con P QR es P . Por lo tanto, P − γ P S = P , lo que implica que γ = 0. Del mismo modo se concluye que α = β = 0. 7.4 Los teoremas de Desargues y Papos-Pascal En esta secci´n veremos que los axiomas del grupo B se pueden demostrar o a partir de los del grupo A. M´s concretamente, resultan ser equivalentes al a teorema de Desargues. Recordemos su enunciado: Teorema de Desargues Sean r1 , r2 y r3 tres rectas distintas paralelas o concurrentes en un punto P . Sean R, R puntos en r1 , sean S, S puntos en r2 y T , T puntos en r3 distintos de P si las rectas se cortan. Si RS es paralela a R S y RT es paralela a R T entonces ST es paralela a S T .
- 207. 7.4. Los teoremasde Desargues y Papos-Pascal 195 Este enunciado es aparentemente m´s fuerte que el que dimos en el cap´ a ıtulo VI, pero observemos que si los puntos R, S, T est´n alineados, lo mismo sucede a con R , S , T , luego el teorema es trivialmente cierto. As´ mismo, si Q = Q ı entonces R = R y T = T . Vamos a probar este teorema a partir de los axiomas del grupo A, pero antes probaremos su equivalencia con los axiomas B1 y B2. Llamaremos DA al enunciado anterior cuando las rectas son paralelas y DP al enunciado anterior cuando las rectas se cortan en el punto P . Trabajamos en un espacio af´ E sin ın suponer m´s que los axiomas del grupo A. a Teorema 7.24 DA equivale al axioma B1 y DP equivale a B2P . Demostracion: Suponiendo B1 (o B2P ) tomamos como f la traslaci´n ´ o (o la homotecia de centro P ) determinada por f (Q) = Q . Entonces las rectas r1 , r2 , r3 son trazas de f . La recta f (Q)f (R) es paralela a QR y pasa por f (Q) = Q , luego es Q R , y como f (R) ha de estar en esta recta y en r2 , ha de ser f (R) = R , e igualmente f (S) = S . Por consiguiente R S = f [RS] es paralela a RS. Veamos ahora que DA implica B1. Tomemos dos puntos distintos Q y Q . Vamos a construir una traslaci´n que env´ uno sobre el otro. En primer lugar o ıe definimos una aplicaci´n T QQ definida s´lo sobre los puntos exteriores a la recta o o QQ . Dado un punto R en estas condiciones, tomamos la recta r paralela a QQ por R (con lo que r = QQ ). Las rectas QQ , QR y r est´n en un mismo plano, a luego ´ste contiene tambi´n a la recta paralela a QR por Q , que cortar´ a r en e e a un punto R . Definimos T QQ (R) = R . El punto R est´ caracterizado por el hecho de que RR es paralela a QQ y a QR es paralela a Q R . Es claro entonces que T RR (Q) = Q . Si probamos que T QQ y T P P coinciden en su dominio com´n, entonces definir´n una aplicaci´n u a o sobre todo E, a la que llamaremos TQQ y probaremos que es la traslaci´n o buscada. Sea, pues, S un punto exterior a QQ y RR y sea S = T QQ (S). Entonces tenemos tres rectas paralelas distintas, QQ , RR y SS . Adem´s QS es paralela a a Q S y QR es paralela a Q R . Por DA podemos concluir que RS es paralela a R S , lo que implica que S = T RR (S). Para probar que TQQ es una traslaci´n basta probar que cumple las con- o diciones del teorema 7.10, pues ciertamente TQQ no es constante y tiene dos trazas paralelas, a saber, QQ y RR , luego ser´ una traslaci´n. Tomamos dos a o puntos U , V y hemos de probar que V = TQQ (V ) est´ en la recta paralela a a U U por U = TQQ (U ). Si U est´ en QQ y V est´ en RR , podemos tomar un a a punto S exterior al plano que contiene a estas dos. La aplicaci´n T SS coincidir´ o a con TQQ en su dominio com´n. En cualquier caso, tomando bien, QQ , bien u RR o bien SS , encontramos una recta que no contiene a ninguno de los puntos U y V . Podemos suponer que es QQ . Si U V es paralela a QQ , entonces U V contiene tambi´n a U y V , con lo e que ciertamente V est´ en la paralela a U V por U . Si U V no es paralela a a
- 208. 196 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın QQ , entonces Q, U y V est´n dispuestos como antes Q, R y S, y el mismo a razonamiento prueba que U V es paralelo a U V . La prueba de que DP implica el axioma B2P es completamente an´loga, a cambiando traslaciones por homotecias y l´ ıneas paralelas por l´ ıneas que pasan por P . Nota Todos los resultados que hemos probado hasta ahora se adaptan sin dificultad (de hecho se simplifican) para el caso de un plano af´ La adaptaci´n ın. o del teorema anterior requiere una consideraci´n adicional. En un punto de la o prueba hemos usado que siempre es posible tomar un punto exterior a dos rectas paralelas (o concurrentes en el caso DP ⇒ B2P ). Para ello hemos tomado un punto exterior al plano que las contiene, lo cual no es viable si el espacio es plano. Si toda recta contiene al menos tres puntos no hay ning´n problema, u pues basta tomar una recta que corte a las dos dadas y tomar un tercer punto en ella. El unico caso peculiar se da si las rectas tienen exactamente dos puntos, ´ pero entonces el plano consta unicamente de cuatro puntos (y seis rectas). En ´ este caso el axioma B2P se cumple trivialmente y la existencia de traslaciones se prueba sin dificultad. Demostracion: (del teorema de Desargues) Supongamos primero que los ´ planos RST y R S T son distintos. Entonces son paralelos, pues las rectas R S y R T est´n contenidas en el plano paralelo a RST por R , luego ´ste es R S T . a e El plano que contiene a r2 y r3 corta a RST en ST y a R S T en S T , luego ambas rectas est´n contenidas en un mismo plano y son paralelas, pues est´n a a contenidas en planos paralelos. ¯ Supongamos ahora que RST = R S T . Tomemos un punto R fuera de este ¯ e ¯ ¯ plano. Sea r la recta paralela a las ri por R si ´stas son paralelas o bien r = RP ¯ si concurren en P . R¯ ¯ R R R P S S T T ¯ La recta paralela a RR por R est´ contenida en el plano que contiene a r1 a ¯ ¯ ¯ y a r, luego ha de cortar a r en un punto R . Los planos RRS y R R S son ¯ ¯ distintos y podemos aplicar el caso ya probado del teorema de Desargues para ¯ ¯ concluir que RS es paralela a R S . Del mismo modo concluimos que RT es¯ paralela a R¯ T . A su vez esto nos permite aplicar la parte ya probada a los ¯ ¯ puntos RST y R S T , lo que nos da que ST es paralela a S T , como quer´ ıamos probar.
- 209. 7.4. Los teoremasde Desargues y Papos-Pascal 197 La demostraci´n anterior es esencialmente tridimensional. El ejemplo si- o guiente muestra que no es posible demostrar el teorema de Desargues a partir de los axiomas de plano af´ ın. Ejemplo Vamos a construir un plano af´ que no satisface el teorema de ın Desargues. Tomamos Π = R2 como conjunto de puntos, aunque las rectas de Π no ser´n las usuales. Una recta usual en R2 est´ formada por los puntos (x, y) a a que cumplen una ecuaci´n del tipo ax + by = c. Si b = 0 tenemos una recta o vertical de la forma x = n, mientras que si b = 0 la ecuaci´n es equivalente a o una de la forma y = mx + n, donde m y n est´n un´ a ıvocamente determinados por la recta. Tomamos como rectas de Π las rectas usuales de la forma x = n (verticales), las de la forma y = mx + n con m ≤ 0 (lo cual incluye a las horizontales) y, para cada m, n ∈ R, m 0, los conjuntos de pares (x, y) que cumplen 2m x + n si y ≥ 0 y= m x + n si y 0 cada uno de estos conjuntos es una l´ ınea quebrada for- mada por la uni´n de dos semirrectas con origen com´n o u en el punto (n, 0), una contenida en el semiplano superior y ≥ 0 y otra en el inferior. La figura muestra algunas rectas de Π. La comprobaci´n de los tres axiomas del plano af´ no presenta ninguna o ın dificultad. El menos evidente es la existencia de una unica recta que pasa por ´ dos puntos (a, b) y (c, d) cuando b 0, d 0 y a b. Tal recta ha de ser necesariamente de las quebradas, y basta ver que las ecuaciones ma + n = b, 2mc + n = d tienen soluci´n unica (m, n) con m 0. o ´ La figura siguiente muestra un contraejemplo al teorema de Desargues: ve- mos dos tri´ngulos en posici´n de Desargues con dos pares de lados paralelos, a o mientras que el tercero se corta en P . P r1 r2 r3 S R T S R T Dejamos que el lector complete los detalles.
- 210. 198 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın Ejercicio: Probar que en Π no hay traslaciones cuyas trazas sean las rectas vertica- les. Mostrar un contraejemplo del teorema de Desargues en el que las rectas ri sean concurrentes. Definici´n 7.25 Un plano af´ es arguesiano si en ´l se cumple el teorema de o ın e Desargues. Si un plano af´ Π es sumergible en un espacio af´ E (en el sentido de que ın ın Π ⊂ E y las rectas de E contenidas en Π son exactamente las rectas de Π) enton- ces Π es arguesiano, pues E cumple el teorema de Desargues. Rec´ ıprocamente, un plano af´ arguesiano es isomorfo a un plano af´ de la forma K 2 , para un ın ın cierto anillo de divisi´n K, que puede sumergirse en K 3 , que es un espacio o af´ As´ pues, los planos arguesianos son exactamente los planos sumergibles ın. ı en espacios. Ahora mostraremos un enunciado puramente geom´trico equivalente a la e conmutatividad del anillo de divisi´n asociado a un espacio af´ (o un plano o ın arguesiano). Ya hemos observado que el grupo K ∗ es isomorfo al grupo de las homotecias con un mismo centro P . As´ pues, K ser´ un cuerpo si y s´lo si este ı a o grupo es abeliano. Definici´n 7.26 Un hex´gono es un conjunto de seis puntos ordenados A1 , A2 , o a A3 , A4 , A5 , A6 . Llamaremos lados del hex´gono a las seis rectas A1 A2 , A2 A3 , a A3 A4 , A5 A6 , A6 A1 . Dos lados de un hex´gono son contiguos si tienen un v´rtice a e en com´n, y en caso contrario son opuestos. u Teorema 7.27 (Teorema de Papos–Pascal) Sean r y s dos rectas secantes y consideremos un hex´gono tal que los v´rtices A1 , A3 , A5 est´n sobre r y A2 , a e a A4 , A6 est´n sobre s (todos ellos distintos del punto de intersecci´n). Si dos a o pares de lados opuestos son paralelos, el tercer par tambi´n lo es. e A4 A6 A2 A1 A3 A5 Vamos a probar que este teorema se cumple exactamente en los espacios afines cuyo anillo de divisi´n asociado es un cuerpo. Puesto que todos sus o elementos est´n contenidos en un plano, de hecho se cumple en los espacios a afines de dimensi´n arbitraria. o Demostracion: Supongamos en primer lugar el teorema de Papos y vea- ´ mos que K es conmutativo. Sean r y s dos rectas que se corten en un punto P . Sea A1 un punto sobre r distinto de P . Sea f una homotecia arbitraria de centro P (no trivial). Entonces f (A1 ) = A3 = A1 est´ en r y eligiendo a la homotecia apropiada podemos hacer que sea cualquier punto de r prefijado.
- 211. 7.4. Los teoremasde Desargues y Papos-Pascal 199 Tomemos otra homotecia no trivial g de centro P y un punto A2 en s distinto de P . Sea A6 = g(A2 ) = A2 , que tambi´n estar´ en s y es un punto arbitrario e a si elegimos g. Sean A5 = g f (A1 ) = g(A3 ) y A4 = f g(A2 ) = f (A6 ). Claramente A1 A6 es paralela a f (A1 )f (A6 ) = A3 A4 y A2 A3 es paralela a g(A2 )g(A3 ) = A6 A5 . Por el teorema de Papos tambi´n A1 A2 es paralela a A4 A5 . e La conmutatividad gf = f g equivale a que f g(A1 ) = g f (A1 ) , es de- cir, f g(A1 ) = A5 , pero f g(A1 ) es el punto donde la paralela a A1 A2 por f g(A2 ) = A4 corta a r, es decir, se trata efectivamente de A5 . Rec´ ıprocamente, dado un hex´gono en las condiciones del teorema de Papos, a digamos con A1 A6 paralela a A3 A4 y con A2 A3 paralela a A6 A5 , consideramos la homotecia f de centro P que cumple f (A1 ) = A3 y la homotecia g de centro P que cumple g(A2 ) = A6 . Invirtiendo el razonamiento y usando que f g = gf concluimos que A1 A2 es paralela a A4 A5 . En la secci´n siguiente veremos que una forma de garantizar geom´trica- o e mente la conmutatividad de K es mediante axiomas de ordenaci´n. El teorema o siguiente prueba que todos los espacios afines finitos (de dimensi´n mayor que o 2 junto todos los planos arguesianos finitos) son conmutativos. Teorema 7.28 (Teorema de Wedderburn) Todo anillo de divisi´n finito es o un cuerpo. Demostracion: Sea K un anillo de divisi´n finito. Sea Z el conjunto de ´ o todos los elementos de K que conmutan con todos los dem´s elementos de K. a Es f´cil ver que se trata de un cuerpo, por lo que K es un espacio vectorial a sobre Z. Si ´ste tiene q elementos, entonces el n´mero de elementos de K es q n , e u donde n es la dimensi´n de K sobre Z. o Para cada α ∈ K, el conjunto Cα formado por todos los elementos de K que conmutan con α es tambi´n un anillo de divisi´n que contiene a Z, luego e o su n´mero de elementos es q d , donde d | n (por la transitividad de grados). u Indicamos con un asterisco el conjunto que resulta de eliminar el 0. Entonces Z ∗ es el centro del grupo K ∗ y Cα es el centralizador de α = 0. La ecuaci´n de ∗ o clases que probamos en el ap´ndice del cap´ e ıtulo V es en este caso: qn − 1 qn − 1 = q − 1 + , qd − 1 d donde d recorre ciertos divisores de n, posiblemente repetidos, distintos de n. Sea cn (X) el polinomio ciclot´mico de orden n. Es claro que o xn − 1 xn − 1 = cn (x)f (x), = cn (x)g(x), xd − 1 para ciertos polinomios f (x), g(x) ∈ Z[x]. Evaluando en q vemos que cn (q) divide a todos los t´rminos de la ecuaci´n e o de clases. En particular cn (q) | q − 1.
- 212. 200 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın Por otra parte, cn (q) es el producto de factores de la forma q − ζ, donde ζ recorre las ra´ ıces n-simas primitivas de la unidad. Claramente |q − ζ| ≥ q − |ζ| = |q − 1| ≥ 1, y como q ≥ 2 la igualdad s´lo se da si ζ = 1, y entonces n = 1. En otro caso o concluimos que |cn (q)| q − 1, lo que nos da una contradicci´n. As´ pues, n = 1 o ı y K = Z es un cuerpo. 7.5 Axiomas de ordenaci´n o Una vez fundamentada la geometr´ af´ en los meros axiomas de incidencia ıa ın y paralelismo vamos a ver el papel que juegan los axiomas de ordenaci´n. Con- o viene estudiar antes algunas propiedades de los cuerpos ordenados. Trabajamos con anillos de divisi´n porque as´ los axiomas de ordenaci´n nos servir´n para o ı o a obligar al anillo de divisi´n asociado a un espacio af´ a ser isomorfo a R o a un o ın subcuerpo de R, garantizando as´ su conmutatividad. ı Definici´n 7.29 Una ordenaci´n de anillo de divisi´n K es un subconjunto o o o P de K (a cuyos elementos llamaremos positivos) que cumpla las propiedades siguientes: 1. K = −P ∪ {0} ∪ P y la uni´n es disjunta. o 2. P + P ⊂ P 3. P P ⊂ P Un anillo de divisi´n ordenado es un anillo en el que se ha seleccionado una o ordenaci´n. o Si K es un anillo de divisi´n ordenado podemos definir a b como b−a ∈ P , o y es f´cil ver que esta relaci´n resulta ser un orden total en K de modo que P a o es el conjunto de los elementos mayores que 0. Es f´cil probar las propiedades usuales de compatibilidad con el orden. Por a ejemplo, si a 0 entonces −a 0, luego a2 = (−a)2 0, y trivialmente a2 0 si a 0. Por lo tanto los cuadrados de los elementos no nulos son positivos. En particular 1 = 12 0, luego −1 0. De aqu´ que 1 + 1, 1 + 1 + 1, etc. sean ı todos positivos, luego la caracter´ ıstica de K ha de ser 0. En geometr´ las rectas aparecen ordenadas de tal modo que es imposible ıa distinguir una ordenaci´n de su inversa. La definici´n siguiente se acerca m´s a o o a lo que nos vamos a encontrar y enseguida veremos que, salvo un caso trivial, es equivalente a la anterior. Definici´n 7.30 Un anillo de divisi´n K est´ d´bilmente ordenado si sobre ´l o o a e e hay definida una relaci´n de orden total de modo que o 1. para cada a ∈ K, la aplicaci´n x → x + a conserva o invierte el orden. o 2. para cada a ∈ K, a = 0, la aplicaci´n x → ax conserva o invierte el orden. o
- 213. 7.5. Axiomas deordenaci´n o 201 Cuando en este contexto digamos que los elementos a, b, c, . . . est´n ordena- a dos deber´ entenderse que a b c, . . . o bien . . .c b a. a Es f´cil ver que todo anillo de divisi´n ordenado est´ d´bilmente ordenado. a o a e Vamos a ver que el rec´ıproco es cierto salvo en un caso: si K es el cuerpo de dos elementos entonces es obvio que est´ d´bilmente ordenado, pues s´lo admite dos a e o ordenaciones mutuamente inversas y por lo tanto cualquier biyecci´n conserva o o invierte el orden. Sin embargo no puede ser ordenado. Teorema 7.31 Si K es un anillo de divisi´n con m´s de dos elementos y est´ o a a d´bilmente ordenado, entonces est´ ordenado. e a Demostracion: En primer lugar, la caracter´ ´ ıstica de K no puede ser 2. En efecto, sean 0, 1, a tres elementos distintos en K. Si est´n ordenados en la a forma 0, 1, a, entonces sumamos 1 y obtenemos la ordenaci´n 1, 0, a+1, mientras o que si sumamos a obtenemos la ordenaci´n a, a + 1, 0. Estas dos ordenaciones o implican que 1, 0, a + 1, a, lo que contradice la ordenaci´n inicial. o Si la ordenaci´n es a, 0, 1 entonces al sumar 1 y a obtenemos a + 1, 1, 0 y o 0, a, a + 1. Las dos primeras implican a, 0, 1, a + 1, que contradice a la tercera. Dado a ∈ K ∗ consideramos las posibles ordenaciones de 0, a/2 y −a/2. Si se da −a/2, 0, a/2 entonces sumando ±a/2 obtenemos −a, −a/2, 0 y 0, a/2, a, lo que implica −a, −a/2, 0, a/2, a. En particular −a, 0, a. Si por el contrario 0, −a/2, a/2 obtenemos −a/2, −a, 0 y a/2, 0, a, de donde se sigue igualmente −a, 0, a. Cambiando la ordenaci´n de K por su inversa si es necesario, K sigue siento o un cuerpo d´bilmente ordenado con 0 1. Acabamos de probar que si P es e el conjunto de los elementos mayores que 0, entonces −P es el conjunto de los elementos menores que 0, luego se cumple el primer axioma de la definici´n deo cuerpo ordenado. Para probar el segundo axioma tomamos 0, a, b y sumamos a, con lo que obtenemos a, 2a, a + b. Sumando a en −a, 0, a obtenemos tambi´n 0, a, 2a, luego e 0, a, 2a, a + b. En particular es claro que P + P ⊂ P . Finalmente, si a, b ∈ P , entonces tenemos la ordenaci´n 0, 1, b o bien 0, b, 1, o luego tambi´n 0, a, ab o bien 0, ab, a. En ambos casos ab ∈ P . e Para introducir la ordenaci´n de un espacio af´ hemos de definir la pro- o ın yecci´n paralela entre dos rectas: si r y s son dos rectas contenidas en un plano o af´ y P , Q son un punto de cada una de ellas, entonces para cada punto X ın en r, la recta paralela a P Q por X ha de cortar a s en un punto Y , de modo que la correspondencia X → Y es claramente biyectiva. A esta aplicaci´n la o llamaremos proyecci´n de r en s paralelamente a P Q. o Definici´n 7.32 Diremos que un espacio af´ est´ ordenado si cada recta tiene o ın a asociado un orden de modo que las proyecciones paralelas conservan o invierten los ´rdenes respectivos. o Teorema 7.33 Sea E un espacio af´ sobre un anillo de divisi´n K cuyas rectas ın o tengan al menos tres puntos. Entonces E admite una ordenaci´n si y s´lo si la o o admite K.
- 214. 202 Cap´ ıtulo 7. La geometr´ af´ ıa ın Demostracion: Supongamos que E est´ ordenado. Podemos biyectar K ´ a con los puntos de una recta mediante la correspondencia α → P + αv, donde P y v son un punto y un vector prefijados. Probaremos que este orden es un orden d´bil en K y por el teorema anterior ´l o su inverso (el orden que hace e e 1 0) es una ordenaci´n de K. Antes veremos que el orden no depende de la o elecci´n de P o v. o En primer lugar cambiamos v por otro vector w = 0. Consideremos la − −→ homotecia dada por fα (Q) = P + αP Q. En particular P + αv = fα (P + v), P + αw = fα (P + w). Esto implica que las rectas que pasan por P + αv y P + αw forman un haz de rectas paralelas o, equivalentemente, cada P + αw se obtiene de P + αv por proyecci´n paralela. Por hip´tesis el orden se conserva (o invierte) y en ambos o o casos el orden en K (que hace 1 0) es el mismo. Si reemplazamos el punto P por otro punto Q, tomamos un vector v de direcci´n distinta a P Q. Entonces las rectas P + αv y Q + αv son paralelas, o al igual que las rectas que pasan por cada par de puntos de esta forma. Por lo tanto Q + αv se obtiene de P + αv por proyecci´n paralela y concluimos del o mismo modo que ambas rectas inducen el mismo orden en K. Para probar que la ordenaci´n de K es un orden d´bil observamos que, o e fijados P y v, la aplicaci´n α → α + δ en K se corresponde con la aplicaci´n o o P +αv → P +(α+δ)v = (P +δv)+αv, luego la ordenaci´n de K se convierte en o la inducida fijando P + αv y v que, seg´n hemos visto, es la misma o la opuesta. u Similarmente, la aplicaci´n α → δα en K se corresponde con la aplicaci´n o o P + αv → P + α(δv), luego el orden de K se transforma en el inducido por P y δv, que es el mismo o el inverso. Si K est´ (d´bilmente) ordenado, usamos las mismas biyecciones entre K a e y los puntos de cada recta para definir ordenaciones en ´stas. Se comprueba e de modo similar que las ordenaciones no dependen de la elecci´n de P y v, as´ o ı como que se conservan o invierten por proyecciones paralelas. Definici´n 7.34 Un anillo de divisi´n ordenado K tiene la propiedad de Arqu´ o o ı- medes si para todo a b 0 existe un n´mero natural n tal que a nb. Un u espacio af´ sobre un anillo de divisi´n K tiene la propiedad de Arqu´ ın o ımedes si la tiene K. Es f´cil expresar la propiedad de Arqu´ a ımedes en t´rminos geom´tricos: un e e espacio af´ tiene la propiedad de Arqu´ ın ımedes si y s´lo si fijado un punto P en o una recta r y una traslaci´n v de direcci´n r, aplicando a P la traslaci´n v un o o o n´mero suficiente de veces podemos superar cualquier punto Q de r. u Teorema 7.35 Un anillo de divisi´n ordenado K tiene la propiedad de Arqu´ o ı- medes si y s´lo si es isomorfo a un subcuerpo de R con el orden natural. o Demostracion: Como K est´ ordenado tiene caracter´ ´ a ıstica 0, luego con- tiene a Q. Dados a b en K, por la propiedad de Arqu´ ımedes existe un n´mero u
- 215. 7.5. Axiomas deordenaci´n o 203 natural n tal que 1/(b − a) n, luego 1/n b − a. Existe un natural m tal que a m/n y es f´cil ver entonces que a m/n b. As´ pues, entre dos elementos a ı cuales quiera de K hay un n´mero racional. Es f´cil ver que la aplicaci´n que u a o a cada a ∈ K le asigna el supremo en R del conjunto {r ∈ Q | r a} es un monomorfismo de cuerpos. Rec´ıprocamente, es inmediato que cualquier subcuerpo de R es arquimediano con el orden inducido desde R. M´s a´n, la propiedad de Arqu´ a u ımedes en Rn visto como espacio eucl´ıdeo equivale a la que introdujimos en el cap´ ıtulo II. En particular todo espacio af´ Arquimediano es conmutativo. Es f´cil ver ın a que el axioma D que usamos en el cap´ ıtulo II implica que el cuerpo asociado es exactamente R.
- 217. Cap´ ıtulo VIII La geometr´ proyectiva ıa Seg´n hemos visto en el cap´ u ıtulo anterior, una buena parte de las propiedades geom´tricas del espacio que percibimos, las que no dependen de ordenaci´n ni de e o distancias, son, desde un punto de vista matem´tico, las propiedades algebraicas a de los espacios afines. De hecho las propiedades de ordenaci´n tambi´n se pueden o e interpretar en t´rminos algebraicos como una ordenaci´n arquimediana del anillo e o de divisi´n asociado, lo cual trae como consecuencia que ´ste es de hecho un o e cuerpo y se verifica el teorema de Papos–Pascal. Esta visi´n algebraica de la o geometr´ nos da una perspectiva m´s objetiva de la misma, independiente de ıa a la forma en que tenemos de percibirla por nuestra estructura psicol´gica. Por o ejemplo, desde un punto de vista algebraico, R3 y R4 no son, ciertamente, una misma cosa, pero tienen mucho en com´ n. Desde un punto de vista intuitivo, u en cambio, la diferencia es que R3 es “todo” y R4 es “nada”. Quien entienda la geometr´ en t´rminos algebraicos se desenvolver´ en R4 casi con la misma ıa e a facilidad que en R3 , mientras que en t´rminos intuitivos es imposible concebir, e digamos, dos planos con un unico punto en com´n. ´ u Sin embargo, en este cap´ ıtulo veremos que la estructura af´ no es la forma ın m´s natural de describir la geometr´ desde un punto de vista algebraico, sino a ıa que a´n est´ sesgada por la forma de nuestra intuici´n. Existe otra estructura al- u a o gebraica todav´ m´s simple, en el sentido de m´s sim´trica y cuyas propiedades ıa a a e se siguen de principios formalmente m´s sencillos, que describe m´s eficiente- a a mente el espacio intuitivo, junto con una amplia familia de espacios algebraicos de inter´s. e Estamos hablando de la geometr´ proyectiva, cuyo principio fundamental es ıa que dos rectas paralelas se cortan “en el infinito”, de modo que un espacio pro- yectivo consiste en un espacio af´ al que hemos a˜adido un conjunto de puntos ın n ideales (puntos infinitos) de modo que cada par de rectas paralelas se corten en uno de estos puntos. La geometr´ proyectiva en sentido moderno surgi´ a ıa o principios del siglo XIX, con los trabajos de Poncelet, Chasles, Cayley, entre otros, pero sus ra´ se encuentran en los estudios iniciados en el renacimiento ıces sobre la representaci´n en perspectiva. o El problema de la perspectiva es determinar c´mo debe ‘pintarse’ un espacio o 205
- 218. 206 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa tridimensional en un cuadro para que el ojo humano lo interprete como si real- mente estuviera viendo el original. La soluci´n consiste en que cada punto del o modelo debe corresponderse con el punto donde la recta que lo une con el ojo corta al cuadro. Por supuesto, dos puntos alineados con el ojo se corresponder´n a con el mismo punto del cuadro, lo que en la pr´ctica significa que s´lo se ve el a o m´s cercano. Para simplificar el problema podemos suponer que queremos re- a presentar en perspectiva una superficie llana, digamos “el suelo” (horizontal) en un cuadro que ha de verse colgado en vertical. La figura muestra una carretera. Al pasar del plano modelo al cuadro algunas cosas se conservan y otras se distorsionan. Por ejemplo, las rectas originales siguen siendo rectas, pero las rectas paralelas dejan de serlo. Los bordes de la carretera concurren en un punto, al igual que la l´ ınea discontinua intermedia. El punto donde se cortan est´ situado sobre la recta horizontal que est´ a la altura del ojo, la “l´ a a ınea del horizonte”, cuyos puntos no se corresponden con ning´n punto real del u plano, pues las rectas que unen estos puntos con el ojo son paralelas al suelo. Si la escena contuviera otra carretera rectil´ ınea en otra direcci´n, sus lados o concurrir´ en otro punto del horizonte. ıan En general, los puntos situados detr´s del cuadro se biyectan con los puntos a bajo la l´ınea del horizonte. Los puntos situados delante del cuadro pero poste- riores al pie del observador se biyectan con los puntos del cuadro situados bajo el suelo. Si sustituy´ramos el suelo por un cristal que nos permitiera ver la parte e del cuadro situada bajo tierra, el efecto optico ser´ que el cuadro vertical llega ´ ıa hasta nuestros pies. Por otro lado, la l´ ınea paralela al cuadro y que pasa por nuestros pies no tiene cabida en el cuadro, pues las l´ ıneas que unen sus puntos con el ojo son paralelas al cuadro. Aunque esto ya no tiene inter´s en pintura, desde un punto de vista ma- e tem´tico la correspondencia entre puntos de ambos planos puede extenderse de a forma natural asignando a los puntos situados detr´s del ojo los puntos situados a sobre la l´ınea del horizonte, siguiendo el mismo criterio. De este modo tenemos
- 219. 8.1. Espacios proyectivos 207 una biyecci´n entre ambos planos salvo por dos excepciones: en el cuadro ha o aparecido la l´ınea del horizonte y ha desaparecido la l´ınea situada al pie del observador. La interpretaci´n de estos fen´menos desde el punto de vista de la geometr´ o o ıa proyectiva es la siguiente: todos los planos (proyectivos) tienen una recta adi- cional, invisible en el sentido ordinario, donde concurren las rectas paralelas. Las proyecciones perspectivas biyectan los planos proyectivos y pueden “hacer finitas” las rectas infinitas, como ocurre en el ejemplo anterior. La recta del horizonte es la proyecci´n de la recta infinita del plano horizontal, y el cuadro o muestra efectivamente c´mo concurren en ella las rectas paralelas. La recta si- o tuada al pie del observador ha desaparecido porque la proyecci´n la ha enviado o al infinito. En efecto, dos l´ ıneas que concurrieran en un punto de esta recta aparecer´ como paralelas en el cuadro. ıan 8.1 Espacios proyectivos En esta secci´n veremos que las ideas anteriores se corresponden con una o teor´ matem´tica rigurosa. Comenzamos describiendo axiom´ticamente lo que, ıa a a de acuerdo con ellas, debe ser un plano proyectivo. Definici´n 8.1 Un plano proyectivo es un conjunto E, a cuyos elementos lla- o maremos puntos, junto con una familia de subconjuntos no vac´ de E a cuyos ıos elementos llamaremos rectas, de modo que se satisfagan los axiomas siguientes: Axioma P1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una unica recta, ´ que representaremos por P Q. Axioma P2 Todo par de rectas tienen un punto en com´n. u Axioma P3 Existen tres puntos distintos no colineales. Axioma P4 Toda recta contiene al menos tres puntos. Los axiomas P1 y P3 coinciden con los correspondientes para el plano af´ ın, el axioma P4 sirve para eliminar casos triviales que no se comportan adecua- damente, pero el axioma m´s notable es P2, que niega la existencia de rectas a paralelas. Aunque aparentemente la geometr´ proyectiva contradice a la geo- ıa metr´ af´ lo cierto es que la extiende, como veremos enseguida: ıa ın, Definici´n 8.2 Sea E un plano af´ o ın. Para cada recta r de E, llamaremos Pr al haz de rectas paralelas a r. Sea r∞ el conjunto de todos los haces Pr . Llamaremos compleci´n proyectiva de E al conjunto E ∞ = E ∪ r∞ . A los o elementos de E los llamaremos puntos finitos de E ∞ , mientras que los de r∞ ser´n los puntos infinitos. Llamaremos rectas de E ∞ a los conjuntos de la forma a r = r ∪ {Pr }, donde r es una recta de E, m´s el conjunto r∞ , al que llamaremos ¯ a recta infinita de E ∞ . Por contraposici´n, a las rectas r las llamaremos rectas o ¯ finitas de E ∞ .
- 220. 208 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa En definitiva, la compleci´n proyectiva se obtiene a˜adiendo un punto infi- o n nito a cada recta, de modo que dos rectas son paralelas si y s´lo si tienen el o mismo punto infinito. Teorema 8.3 La compleci´n de un plano af´ es un plano proyectivo. o ın Demostracion: Es claro que por dos puntos finitos pasa una unica recta, ´ ´ concretamente la extensi´n de la recta af´ que pasa por ellos. Si P es un punto o ın finito y Pr un punto infinito, entonces la recta s paralela a r por P se extiende a una recta finita s que pasa por P y por Ps = Pr . Rec´ ¯ ıprocamente, una recta ¯ que pase por estos dos puntos ha de ser finita, luego de la forma t, de modo que t pasa por P y es paralela a r, luego es la misma s. Finalmente, si Pr y Ps son ¯ dos puntos infinitos, la unica recta que pasa por ellos es la recta infinita r∞ . ´ Esto prueba P1 Veamos que dos rectas cualesquiera se cortan en un punto. Si una es la recta infinita es claro, pues por construcci´n todas las rectas contienen un punto o infinito. Si las dos son finitas, digamos r y s, entonces o bien r y s tienen ¯ ¯ un punto en com´n, en cuyo caso r y s tambi´n, o por el contrario r y s son u ¯ ¯ e paralelas, en cuyo caso r y s tienen en com´n el punto infinito Pr = Ps . Esto ¯ ¯ u prueba P2. Es claro que tres puntos no colineales en el plano af´ de partida siguen ın siendo no colineales en la compleci´n, luego se cumple P3 o Toda recta af´ r tiene al menos dos puntos, y su compleci´n r tiene adem´s ın o ¯ a un tercer punto infinito, luego todas las rectas finitas tienen al menos tres puntos. Para probar P4 falta ver que la recta infinita tiene al menos tres puntos, pero tomando tres puntos finitos no colineales P , Q, R obtenemos tres rectas no paralelas dos a dos, a saber, P Q, P R, QR, y cada una de ellas se extiende con un punto infinito distinto. Rec´ıprocamente, es f´cil ver que si E es un plano proyectivo y r∞ es cual- a quiera de sus rectas entonces E r∞ se convierte en un plano af´ tomando como ın rectas los conjuntos que resultan de quitar a cada recta de E distinta de r∞ su punto de intersecci´n con ´sta. Hay que destacar el hecho de que cualquier recta o e puede tomarse como recta infinita, pues significa que desde el punto de vista de la geometr´ proyectiva no hay diferencia entre puntos finitos e infinitos, sino ıa que la distinci´n la introducimos nosotros al seleccionar una recta. o En la pr´ctica, si en un plano proyectivo E marcamos una recta r∞ como a recta infinita, podemos decir que dos rectas son paralelas si se cortan en un punto de r∞ . De este modo podemos usar el lenguaje af´ sin necesidad de ın eliminar la recta infinita, pero hemos de tener presente que ahora la noci´n de o paralelismo es relativa. Cualquier par de rectas pueden ser paralelas, sin m´sa que tomar como recta infinita una que pase por su intersecci´n.o En lugar de describir axiom´ticamente los espacios proyectivos de dimensi´n a o arbitraria haremos como en el caso af´ los definiremos algebraicamente y ın: despu´s caracterizaremos axiom´ticamente el caso tridimensional. Aunque en e a principio podr´ıamos completar cualquier espacio af´ por el mismo procedi- ın miento directo que hemos empleado con los planos, lo cierto es que un enfoque
- 221. 8.1. Espacios proyectivos 209 m´s algebraico nos dar´ modelos m´s manejables. Nuestra referencia es que a a a deseamos a˜adir un punto a cada recta, de modo que dos rectas se completen n con el mismo punto si y s´lo si son paralelas. En general, cada variedad deber´ o a ser completada con los puntos infinitos de las rectas que contiene. Sea E un espacio af´ sobre un cuerpo K. Para completar E comenzaremos ın ˆ identific´ndolo con un hiperplano de un espacio vectorial E que no contenga a al vector nulo. Siempre es posible hacer esto, la aplicaci´n que a cada punto o de E le asigna sus coordenadas en un sistema de referencia prefijado es una biyecci´n af´ entre E y K n , y a su vez la aplicaci´n que completa cada n-tupla o ın o de K n con un 1 final es una biyecci´n af´ entre K n y el hiperplano xn+1 = 1 o ın ˆ de K n+1 . En lo sucesivo, E ser´ cualquier espacio vectorial que contenga a E a como hiperplano que no pase por 0. Pronto veremos que no importa la elecci´n.o ˆ Estamos considerando a E como espacio af´ de la forma usual, es decir, ın ˆ −− → tomando como espacio vectorial asociado el propio E, con lo que P Q = Q − P . ˆ En particular tenemos que E es un subespacio de E. M´s concretamente, si a P ∈ E, tenemos E = P + E, y necesariamente P ∈ E, pues en caso contrario / ˆ O = P − P ∈ E. Como E es un hiperplano, ha de ser E = P ⊕ E. Notar tambi´n que E ∩ E = ∅, pues E es una clase m´dulo E que no contiene a 0. e o Teorema 8.4 Si E y F son dos espacios afines sobre un mismo cuerpo K, toda ˆ ˆ ˆ afinidad f : E −→ F se extiende a una unica aplicaci´n lineal f : E −→ F . ´ o Adem´s su restricci´n a E es f . a o ˆ ˆ Demostracion: Tenemos E = P ⊕ E y F = f (P ) ⊕ F . La con- ´ dici´n P → f (P ) define una aplicaci´n lineal entre los sumandos izquierdos. o o o ˆ La aplicaci´n f es la suma directa de esta aplicaci´n y f . Efectivamente, dado o P + v ∈ E, tenemos ˆ ˆ ˆ f (P + v) = f (P ) + f (v) = f (P ) + f (v) = f (P + v), ˆ luego f extiende a f . Toda aplicaci´n lineal g que cumpla las condiciones del o teorema ha de cumplir g(P ) = f (P ), luego coincide con f sobre el primer sumando. Por otra parte, si v ∈ E, entonces g(P + v) = g(P ) + g(v) = f (P ) + f (v), ˆ luego g(v) = f (v). Esto prueba que g = f . Es claro que si f es biyectiva tambi´n lo es su extensi´n. Por lo tanto, si e o tenemos un mismo espacio af´ E sumergido como hiperplano en dos espacios ın vectoriales (sin contener al 0) entonces la identidad en E se extiende a un iso- morfismo entre ambos espacios vectoriales, con lo que ambas estructuras son algebraicamente indistinguibles. De todos modos, el ejercicio siguiente muestra ˆ una forma de construir E de forma can´nica, es decir, sin elegir sistemas de o referencia ni aplicaciones arbitrarias. Ejercicio: Sea E un espacio af´ sobre un cuerpo K, sea V el conjunto de las apli- ın caciones afines de E en K. Probar que V es un espacio vectorial con las operaciones
- 222. 210 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa definidas puntualmente. Sea E = V ∗ el espacio dual de V . Sean j : E −→ E e ˆ ˆ ˆ : E −→ E las aplicaciones dadas por j(P )(f ) = f (P ), (v)(f ) = f (v). Probar que j es una afinidad cuya aplicaci´n lineal asociada es . Probar que j[E] es un hiperplano o ˆ de E que no pasa por 0. Gran parte de la simplicidad de la geometr´ proyectiva se debe a la “linea- ıa lizaci´n” que estamos empezando a encontrar: tenemos que las afinidades se o extienden a aplicaciones lineales, ahora traduciremos a conceptos lineales otros conceptos afines. Teorema 8.5 Sea E un espacio af´ ın 1. Los baricentros 1 (λ1 P1 + · · · + λn Pn ) λ ˆ son las combinaciones lineales en E. 2. Los puntos P0 , . . ., Pn son af´ ınmente independientes en E si y s´lo si son o ˆ linealmente independientes en E. Las coordenadas baric´ntricas de un e punto de E en esta base son sus coordenadas en el sentido vectorial. 3. Si (O, v1 , . . ., vn ) es un sistema de referencia af´ de E, entonces es una ın ˆ base de E, y si (α1 , . . ., αn ) son las coordenadas cartesianas de un punto de E en el sistema, entonces (1, α1 , . . ., αn ) son sus coordenadas en la base. Demostracion: 1) Recordemos que, fijado cualquier origen O, el baricentro ´ es n n n n 1 − −→ 1 1 1 O+ λi OPi = O + (λi Pi − λi O) = O + λ i Pi − O = λ i Pi . λ i=1 λ i=1 λ i=1 λ i=1 2) Es consecuencia inmediata de 1) por el teorema 4.13. 3) es evidente. Finalmente estamos en condiciones de construir los espacios proyectivos. Comenzaremos con un ejemplo. Identifiquemos cada punto (x, y) de R2 con el punto (x, y, 1) del hiperplano z = 1 de R3 . Podemos biyectar cada punto (x, y, 1) de R2 con la recta que pasa por ´l y por el origen O = (0, 0, 0). Rec´ e ıprocamente, toda recta que pasa por 0 y que no est´ contenida en el plano z = 0 se corres- e ponde con un unico punto de R2 La figura muestra dos puntos P y Q y sus ´ rectas asociadas. Q P z=1 r R z=0
- 223. 8.1. Espacios proyectivos 211 A cada recta r en R2 le podemos asociar el plano πr que la contiene y pasa por el origen O. Los puntos de r se corresponden con todas las rectas contenidas en π excepto una de ellas, la recta R donde πr corta al plano z = 0. Dos rectas r y s son paralelas si y s´lo si los planos πr y πs cortan al plano z = 0 en una o misma recta R (pues las intersecciones han de ser paralelas con un punto en com´n). u Llamemos P2 (R) al conjunto de todos los subespacios vectoriales de R3 de dimensi´n 1, es decir, todas las rectas que pasan por el origen. Entonces hemos o visto que los puntos de R2 se pueden biyectar con los elementos de P2 (R) que no est´n contenidos en el plano z = 0, y esta biyecci´n transforma cada recta a o r de R2 en el subconjunto de P2 (R) formado por los subespacios contenidos en un plano πr distintos del unico subespacio R contenido en el plano z = 0. ´ Pues bien, para cada recta r, llamamos r al conjunto de todos los elementos ¯ de P2 (R) contenidos en πr . De este modo, r contiene las rectas asociadas a ¯ los puntos de r m´s un punto infinito R, con la propiedad de que a todas las a rectas paralelas a r les a˜adimos el mismo punto R. As´ pues, P2 (R) es la n ı compleci´n proyectiva de R2 si identificamos los puntos de R2 (puntos finitos) o con los elementos de P2 (R) que no est´n contenidos en el plano z = 0, y los a puntos infinitos con los que s´ lo est´n. ı a M´s en general, para subespacio vectorial π de R3 de dimensi´n 2 (cada plano a o que pasa por el origen), definimos la recta π como el conjunto de elementos de ¯ P2 (R) contenidos en π. Si el plano π es distinto de z = 0, entonces π es la ¯ extensi´n de una recta af´ concretamente de la recta donde π corta a z = 1. o ın, Si π es el plano z = 0, entonces π est´ formado por todos los puntos infinitos, ¯ a es decir, π es la recta infinita. ¯ Definici´n 8.6 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n + 1 ≥ 2 sobre un o o cuerpo K. Llamaremos espacio proyectivo asociado a V al conjunto P(V ) for- mado por todos los subespacios de V de dimensi´n 1. Para cada subespacio W o de V observamos que P(W ) ⊂ P(V ). A los subconjuntos de P(V ) de la forma P(W ) los llamaremos variedades lineales proyectivas. Notar que P(W ) determina a W , pues W = P. P ∈P(W ) A W lo llamaremos espacio soporte de P(W ) y a P(W ) la llamaremos variedad inducida por W . Definimos dim P(W ) = dim W − 1. Si W = 0 entonces tenemos P(W ) = ∅, pues ning´n elemento de P(V ) u (ning´n subespacio de V de dimensi´n 1) est´ contenido en 0. Por lo tanto el u o a conjunto vac´ es la (´nica) variedad lineal de dimensi´n −1. Si dim W = 1 ıo u o entonces P(W ) = {W } es un punto de P(V ), luego las variedades lineales de dimensi´n 0 son los puntos.1 Llamaremos rectas, planos e hiperplanos de P(V ) o 1 En sentido estricto son los conjuntos con un solo punto. En cuanto a la interpretaci´n o esto es irrelevante, pero t´cnicamente ser´ util llamar “puntos” no a los elementos de P(V ) e a ´ sino a sus subconjuntos con un solo punto.
- 224. 212 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa a las variedades de dimensi´n 1, 2 y n − 1. La unica variedad de dimensi´n n o ´ o se obtiene tomando W = V , y es P(W ) = P(V ). Es f´cil ver que la intersecci´n de variedades lineales es una variedad lineal, a o concretamente la que tiene por espacio soporte la intersecci´n de los espacios so- o porte. A su vez esto implica que todo subconjunto X ⊂ P(V ) genera una m´ ınima variedad lineal que lo contiene, y que representaremos por X . La menor va- riedad que contiene a dos variedades dadas P(W1 ) y P(W2 ) la representaremos por P(W1 ) + P(W2 ) = P(W1 + W2 ). Puesto que P(W1 ) ∩ P(W2 ) = P(W1 ∩ W2 ), la conocida relaci´n entre las dimensiones nos da el teorema siguiente: o Teorema 8.7 Si E es un espacio proyectivo y L1 , L2 son dos variedades linea- les, entonces dim(L1 + L2 ) = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2 ). Por ejemplo, si L1 y L2 son dos rectas y est´n contenidas en un plano, a entonces la f´rmula nos da 2 = 1+1−dim(L1 ∩L2 ), luego L1 ∩L2 tiene dimensi´n o o 0 y es un punto (las rectas son secantes). Si no est´n contenidas en un plano el a miembro izquierdo es ≥ 3, luego la f´rmula nos da que es exactamente 3 y que o dim(L1 ∩ L2 ) = −1, luego las rectas son disjuntas (se cruzan). Esto prueba que todo plano proyectivo en el sentido algebraico satisface el axioma P2. Definici´n 8.8 Dados m + 1 puntos P0 , . . ., Pm en un espacio proyectivo, di- o remos que son proyectivamente independientes si la menor variedad proyectiva que los contiene es de dimensi´n m. o Si Pi = vi , entonces la menor variedad que los contiene es la inducida por v0 , . . ., vm , luego la independencia de los Pi equivale a que este subespacio tenga dimensi´n m+1 o, equivalentemente, a que los vectores vi sean linealmente o independientes. Es claro que dos puntos distintos son siempre proyectivamente independien- tes, tres puntos son independientes si y s´lo si no son colineales, cuatro puntos o son independientes si y s´lo si no son coplanares, etc. La variedad generada o por m + 1 puntos independientes en la unica variedad de dimensi´n m que las ´ o contiene, pues est´ contenida en cualquier otra y una variedad no puede es- a tar contenida en otra distinta de la misma dimensi´n (pues lo mismo deber´ o ıa suceder con los espacios soporte). Definici´n 8.9 Sea E un espacio af´ Llamaremos compleci´n proyectiva de o ın. o ˆ E al espacio proyectivo P(E) = P(E). Teorema 8.10 Sea E un espacio af´ de dimensi´n n. Sea i : E −→ P (E) la ın o aplicaci´n dada por i(P ) = P . Entonces, para cada variedad lineal af´ L de o ın E, existe una unica variedad proyectiva P(L) de P(E) de la misma dimensi´n tal ´ o que i[L] ⊂ P(L), y adem´s P(L) i[L] es una variedad proyectiva de dimensi´n a o una unidad menor.
- 225. 8.1. Espacios proyectivos 213 Demostracion: Es claro que la aplicaci´n i es inyectiva. Dada la variedad ´ o L de dimensi´n m, sea Q ∈ L. Entonces L = Q + L. Tenemos que Q ∈ L, luego o / W = Q, L es un subespacio vectorial de E ˆ de dimensi´n m + 1 y contiene a L o como hiperplano que no pasa por el 0. Tomamos P(L) = P(W ), que no es sino la compleci´n proyectiva de L, luego es una variedad proyectiva de dimensi´n o o m. Si P ∈ L, entonces P ⊂ W , luego i(P ) ∈ P(L). As´ pues, i[L] ⊂ P(L). ı Por otra parte, L contiene m + 1 puntos af´ınmente independientes, que son ˆ linealmente independientes en E, luego sus im´genes por i son puntos proyecti- a vamente independientes de P(E) contenidos en i[L]. Por consiguiente P(L) es la variedad generada por i[L], luego es la unica variedad de dimensi´n m que ´ o contiene a i[L]. Un punto arbitrario de P(L) es de la forma P = v con v ∈ W . Por lo tanto v = αQ + l, donde l ∈ L. Si α = 0 entonces α−1 v ∈ Q + L, luego P = α−1 v ∈ i[L]. Por el contrario, si α = 0 entonces P ⊂ L y L es disjunto con L, luego P ∈ i[L]. As´ pues, P(L) i[L] = P(L), que es una variedad / ı proyectiva de dimensi´n m − 1. o En definitiva, al completar un espacio af´ estamos a˜adiendo un punto ın n infinito a cada recta, una recta infinita a cada plano (formada por todos los puntos infinitos de las rectas que contiene), un plano infinito a cada espacio tridimensional, etc. En total los puntos infinitos forman un hiperplano de la compleci´n. o No obstante, desde el punto de vista proyectivo no hay diferencia alguna entre el hiperplano infinito y cualquier otro hiperplano. En efecto, si X = P(V ) es un espacio proyectivo arbitrario, un hiperplano arbitrario es de la forma Π = P(E), donde E es un hiperplano vectorial de V , es decir un subespacio de dimensi´n una unidad menor. Si v es cualquier punto de V E, entonces o E = v + E es un hiperplano af´ de V y es f´cil ver que X = P(E). Por lo tanto ın a X Π tiene estructura de espacio af´ cuyas variedades afines son los conjuntos ın, L Π, donde L es cualquier variedad proyectiva de X no contenida en Π. La elecci´n del punto v a la hora de determinar la estructura af´ de X Π o ın es irrelevante por el motivo siguiente. Dados X y Π, elegimos n + 1 puntos proyectivamente independientes en X Π, digamos, O, P1 , . . ., Pn . Tomamos re- presentantes O = v0 , Pi = vi de modo que vi ∈ E (s´lo hay una posibilidad). o Entonces los vectores vi = vi − v0 est´n en E y determinan un sistema de refe- a rencia af´ (v0 ; v1 , . . ., vn ) en X Π. Para calcular las coordenadas de un punto ın P = w en dicho sistema tomamos α tal que αw ∈ E y calculamos las coorde- nadas de αw en la base (v0 , v1 , . . ., vn ), que ser´n de la forma (1, α1 , . . ., αn ). Al a eliminar el 1 inicial tenemos las coordenadas que buscamos. Si en lugar de tomar el hiperplano v + E hubi´ramos tomado otro cualquiera, e que ser´ de la forma βv + E, tendr´ a ıamos que sustituir cada vi por βvi y cada vi por βvi . Entonces el representante adecuado de P ser´ βαw y es claro que a llegamos a las mismas coordenadas. En resumen hemos probado el teorema siguiente:
- 226. 214 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Teorema 8.11 Sea X un espacio proyectivo de dimensi´n n y sea Π = P(E) o un hiperplano. Entonces las coordenadas cartesianas de un punto finito respecto al sistema de referencia determinado por n + 1 puntos independientes de X Π no depende de la elecci´n del hiperplano E = v + E con que se determine la o estructura af´ ın. − −→ Notar, no obstante, que el vector concreto P Q ∈ E que corresponda a un par de puntos finitos P y Q s´ depende de la elecci´n del hiperplano. Observar ı o tambi´n que un conjunto de puntos de X Π es af´ e ınmente independiente si y s´lo si es proyectivamente independiente en X. o Como en el caso bidimensional, podemos decir que dos variedades proyectivas son paralelas respecto a un hiperplano Π si se cortan en una variedad contenida en Π, de modo que esta noci´n de paralelismo se corresponde con la noci´n o o usual en la geometr´ af´ de X Π. ıa ın 8.2 Homograf´ y coordenadas homog´neas ıas e Introducimos ahora los conceptos proyectivos an´logos a las afinidades y las a coordenadas cartesianas en los espacios afines. Definici´n 8.12 Sea u : V −→ W un isomorfismo entre espacios vectoriales. o Llamaremos homograf´ inducida por u a la aplicaci´n H(u) : P (V ) −→ P (W ) ıa o dada por H(u) v = u(v) . Obviamente H(u) es una biyecci´n entre los espacios proyectivos que hace o corresponder las variedades lineales. La restricci´n de H(u) a una variedad o lineal es la homograf´ inducida por la restricci´n de u al espacio soporte de la ıa o variedad. Tambi´n es claro que la composici´n de homograf´ y la inversa de e o ıas una homograf´ son de nuevo homograf´ ıa ıas. Llamaremos grupo proyectivo de un espacio proyectivo X = P(V ) al grupo de todas las homograf´ de X en s´ mismo. Lo representaremos2 por GP(X) o ıas ı GP(V ). Es claro que H : GL(V ) −→ GP(V ) es un epimorfismo de grupos. Su n´cleo u est´ formado por todas las aplicaciones lineales que dejan invariante a cada a recta de V que pasa por 0. Es claro que tales aplicaciones son exactamente las homotecias lineales de V . As´ pues, GP(V ) ∼ GL(V )/H(V ). ı = Si f : E −→ F es una afinidad biyectiva entre dos espacios afines, hemos ¯ ˆ ˆ probado que f se extiende a una unica aplicaci´n lineal f : E −→ F . Llama- ´ o remos H(f ) = H(f ¯) : P(E) −→ P(F ). Es f´cil ver que si i : E −→ P(E) y a j : F −→ P(F ) son las inclusiones can´nicas, entonces i◦H(f ) = f ◦j. Si identi- o ficamos a E y F con sus im´genes en sus compleciones, esto se interpreta como a que H(f ) es una extensi´n de f . Consecuentemente H(f ) fija al hiperplano o infinito de P(E). 2 La notaci´n usual es PGL(V ), por projective general linear group. o
- 227. 8.2. Homograf´ ycoordenadas homog´neas ıas e 215 Rec´ ıprocamente, si H(u) es una homograf´ de P(E) que fija al hiperplano ıa infinito P(E), entonces su restricci´n a E es una biyecci´n af´ En efecto, es o o ın. claro que u[E] ⊂ E, luego de hecho u[E] = E. Llamemos f a la restricci´n de o u a E y f a la restricci´n de H(u) a E. o ˆ Sea E = P + E, de modo que E = P ⊕ E. Entonces u(P ) = αP + v, donde v ∈ E. Sustituyendo u por α−1 u tenemos otro isomorfismo que induce la misma homograf´ luego podemos suponer que u(P ) = P + v. ıa, Entonces, si Q = P + w es cualquier punto de E, tenemos que u(Q) = u(P ) + f (w) = P + v + f (w) ∈ E. Si identificamos Q con su imagen en P(V ), es decir, con Q , entonces la igualdad anterior es − −→ f (Q) = H(u)(Q) = P + v + f (P Q), luego f es una afinidad. Con esto hemos probado el teorema siguiente: Teorema 8.13 Sea X un espacio proyectivo y Π un hiperplano en X. Sea E = X Π. Entonces la restricci´n induce un isomorfismo entre el grupo o GPΠ (X) de las homograf´ de X que dejan invariante a Π y el grupo GA(E) ıas de todas las biyecciones afines de E. (La restricci´n es inyectiva porque cada afinidad se extiende a una unica o ´ homograf´ Una prueba directa consiste en notar que si una homograf´ es la ıa. ıa identidad en E, entonces fija a todas las rectas de E, luego fija al punto infinito de cada recta, pero todo punto de Π es el punto infinito de una recta de E, luego la homograf´ es la identidad en X.) ıa Sabemos que una afinidad en un espacio de dimensi´n n est´ determinada o a por su imagen sobre n + 1 puntos independientes. Esto no es cierto para las homograf´ıas. Hemos de tener en cuenta n + 2 puntos. Definici´n 8.14 Un sistema de referencia en un espacio proyectivo X de di- o mensi´n n es un conjunto de n + 2 puntos tales que n + 1 cualesquiera de ellos o son proyectivamente independientes. Si X = P(V ) y v1 , . . ., vn+1 es una base de V , entonces los puntos v1 , . . ., vn+1 , v1 + · · · + vn+1 (8.1) son un sistema de referencia en X. Rec´ıprocamente, si v1 , . . ., vn+1 , vn+2 es un sistema de referencia en X, entonces v1 , . . ., vn+1 es una base de V , luego vn+2 = α1 v1 + · · · + αn+1 vn+1 , para ciertos escalares, todos no nulos, pues si uno de ellos fuera nulo los vectores restantes ser´ linealmente dependientes, en contra de la definici´n de sistema ıan o de referencia. As´ pues, sustituyendo vi por αi vi tenemos el mismo conjunto de ı puntos, pero ahora vn+2 = v1 + · · · + vn+1 , luego todo sistema de referencia es de la forma (8.1).
- 228. 216 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Teorema 8.15 Toda biyecci´n entre dos sistemas de referencia en dos espacios o proyectivos se extiende a una unica homograf´ entre ellos. ´ ıa Demostracion: Sean ´ v1 , . . ., vn+1 , v1 + · · · + vn+1 y v1 , . . ., vn+1 , v1 + · · · + vn+1 dos sistemas de referencia en dos espacios proyectivos P(V ) y P(V ). Conside- remos el isomorfismo u : V −→ V determinado por u(vi ) = vi . Es claro que la homograf´ que induce transforma un sistema en otro. ıa Rec´ ıprocamente, si H(u ) es una homograf´ que transforma un sistema en ıa otro, entonces u (vi ) = αi vi , e igualando las im´genes del ultimo componente, a ´ α1 v1 + · · · + αn+1 vn+1 = αv1 + · · · + αvn+1 , luego αi = α para todo i, es decir, u = αu, luego H(u ) = H(u). Ejercicio: Encontrar una homograf´ de un plano proyectivo en s´ mismo que deje ıa ı fijos a tres puntos no colineales sin ser la identidad. Puesto que todo espacio vectorial de dimensi´n n + 1 sobre un cuerpo K o es isomorfo a K n+1 , todo espacio proyectivo de dimensi´n n sobre un cuerpo o K es homogr´fico a Pn (K) = P(K n+1 ). Si fijamos un sistema de referencia a P1 , . . ., Pn+2 en un espacio proyectivo X, entonces existe una unica homograf´ ´ ıa f que cumple f (P1 ) = (1, . . ., 0) , . . ., f (Pn+1 ) = (0, . . ., 1) , f (Pn+2 ) = (1, . . ., 1) . A la imagen de cada punto P por esta homograf´ la llamaremos sistema de ıa coordenadas homog´neas de P respecto al sistema de referencia dado. Conviene e pensar que a cada punto P le estamos asignando una n+1-tupla de coordenadas que, a diferencia de las coordenadas cartesianas en un espacio af´ no est´n ın, a un´ıvocamente determinadas por el punto, sino que dos n+1-tuplas corresponden al mismo punto si y s´lo si son proporcionales. o Es f´cil ver que si Pi = vi para i = 1, . . ., n + 1 y Pn+2 = v1 + · · · + vn+1 a entonces las coordenadas homog´neas de un punto P = v son simplemente las e coordenadas de v en la base v1 , . . ., vn+1 . Si Π es un hiperplano de X, entonces su soporte est´ formado por los vectores de V cuyas coordenadas en la base a v1 , . . ., vn+1 satisfacen una ecuaci´n de la forma α1 x1 + · · · + αn+1 xn+1 = 0, o donde no todos los coeficientes son nulos. Por consiguiente, Π est´ formado por a los puntos de X cuyas coordenadas homog´neas satisfacen esta misma ecuaci´n. e o As´ pues, si fijamos un sistema de referencia, cada hiperplano se corresponde ı con una ecuaci´n lineal homog´nea no nula, con la unica salvedad de que dos o e ´ ecuaciones corresponden al mismo hiperplano si y s´lo si son una un m´ltiplo o u de la otra. Veamos la relaci´n entre las coordenadas cartesianas de un espacio af´ y o ın las coordenadas homog´neas de su compleci´n proyectiva. Sea X un espacio e o
- 229. 8.2. Homograf´ ycoordenadas homog´neas ıas e 217 proyectivo de dimensi´n n en el que hemos seleccionado un hiperplano infinito o Π = P(E). Hemos visto que un sistema de referencia af´ de X Π est´ formado ın a por n + 1 puntos independientes O, P1 , . . ., Pn . Un hiperplano E = v + E determina representantes O = v0 , Pi = vi con la condici´n de que vi ∈ E. o Sea vi = vi − v0 . El sistema de referencia proyectivo v0 , v1 , . . . , vn , v0 + v1 + · · · + vn es independiente de la elecci´n del hiperplano E, pues si tomamos αv + E todos o los vectores se multiplican por α y el sistema queda inalterado. Cada sistema de referencia af´ en X Π determina de este modo un sis- ın tema de referencia proyectivo en X, y es f´cil ver que si las coordenadas car- a tesianas de un punto P son (x1 , . . ., xn ), entonces sus coordenadas homog´neas e son (1, x1 , . . ., xn ). La ecuaci´n de Π en coordenadas homog´neas es x0 = 0. o e Rec´ıprocamente, fijado un sistema de referencia proyectivo, podemos tomar como hiperplano infinito el de ecuaci´n x0 = 0. Si un punto P tiene coorde- o nadas homog´neas (x0 , . . ., xn ) con x0 = 0 entonces (x1 /x0 , . . ., xn /x0 ) son las e coordenadas cartesianas de P respecto al sistema de referencia af´ determinado ın por los puntos de coordenadas homog´neas e (1, 0, 0, . . ., 0), (1, 1, 0, . . ., 0), . . . , (1, 0, . . ., 1). Fijemos un sistema de referencia (8.1) en un espacio X, sea H(u) una ho- mograf´ en X y sea A la matriz de u en la base v1 , . . ., vn+1 . Es claro que ıa si x es un sistema de coordenadas homog´neas de un punto P de X, entonces e y = xA es un sistema de coordenadas homog´neas de H(u)(P ). A la matriz e A la llamaremos matriz de coordenadas de la homograf´ H(u) en el sistema ıa de referencia dado. La matriz A est´ determinada por la homograf´ y por el a ıa sistema de referencia salvo productos por una constante. Consideremos un espacio af´ E y sea (O; v1 , . . ., vn ) un sistema de referencia ın y sea O , v1 , . . . , vn , O + v1 + · · · + vn su sistema de referencia asociado en P(E). − −→ Si f es una biyecci´n af´ dada por f (P ) = O + v + f (OP ), entonces la o ın ˆ matriz de la extensi´n de f a E es o 1 b1 · · · bn 0 . , . . A 0 donde A es la matriz de f en la base v1 , . . ., vn y (b1 , . . ., bn ) son las coordenadas de v en dicha base.
- 230. 218 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Ejemplo Veamos la expresi´n coordenada de las homograf´ de una recta o ıas proyectiva X sobre un cuerpo K. Fijamos un punto infinito y consideramos ´ un sistema de referencia af´ en el resto de la recta. Este determina a su vez ın un sistema de referencia proyectivo, de modo que la coordenada cartesiana x se corresponde con las coordenadas homog´neas (1, x). El punto infinito tiene e coordenadas homog´neas (0, 1). e La expresi´n en coordenadas homog´neas de una homograf´ H es o e ıa d b ax + b H(x) = (1, x) = (cx + d, ax + b) = 1, c a cx + d luego su restricci´n al espacio af´ (en coordenadas cartesianas) es o ın ax + b H(x) = , con ad − bc = 0. cx + d Si d = 0 esta f´rmula no tiene sentido para x = −c/d, porque en la expresi´n o o homog´nea se ve que la imagen de (1, −c/d) es (0, a − bc/d) = (0, 1), es decir, e el punto infinito. A su vez, la imagen del punto infinito es H(0, 1) = (d, b) = (1, b/d), o sea, el punto b/d, salvo si d = 0, en cuyo caso el punto infinito queda fijo y la homograf´ es una afinidad. ıa Terminamos la secci´n con una caracterizaci´n de las homograf´ de los o o ıas espacios proyectivos reales an´loga a la caracterizaci´n de las afinidades que a o vimos en el cap´ ıtulo VI. Teorema 8.16 (Teorema fundamental de la geometr´ proyectiva) Sea ıa f una biyecci´n entre dos espacios proyectivos reales de la misma dimensi´n o o n ≥ 2 tal que la imagen de tres puntos alineados cualesquiera sean tres puntos alineados. Entonces f es una homograf´ıa. Demostracion: Sea f : X −→ X . Como en el caso af´ dividimos la ´ ın, prueba en varios pasos: 1. Si A = {P0 , . . ., Pm } de un conjunto de m + 1 puntos proyectivamente independientes en X, entonces f [ A ] ⊂ f [A] . Por inducci´n sobre m. Para m = 1 se trata de la hip´tesis del teorema. o o Supong´moslo cierto para conjuntos de m puntos. Si P ∈ A , entonces a la recta P Pm corta a P0 , . . ., Pm−1 , que es un hiperplano del espacio proyectivo A . Sea Q el punto de corte. Por hip´tesis de inducci´n o o f (Q) ∈ f [ P0 , . . ., Pm−1 ] ⊂ f [P0 ], . . ., f [Pm−1 ] ⊂ f [A] . A su vez, f (P ) est´ en la recta f (Q)f (Pm ), que est´ en f [A] . a a 2. La imagen de un conjunto proyectivamente independiente es un conjunto proyectivamente independiente. En efecto, el conjunto A puede completarse hasta un conjunto A de n + 1 puntos proyectivamente independientes. Por el apartado anterior tenemos
- 231. 8.3. Perspectividades 219 que f [X] ⊂ f [A ] , luego teniendo en cuenta las dimensiones f [A ] = X , luego f [A ] es proyectivamente independiente y f [A] tambi´n. De aqu´ se e ı sigue obviamente: 3. La inclusi´n en 1) es de hecho una igualdad. En particular la imagen de o un hiperplano es un hiperplano. Si fijamos un hiperplano Π en X y Π = f [Π], entonces f induce una bi- yecci´n X Π −→ X Π en las hip´tesis del teorema fundamental de la o o geometr´ af´ luego es una afinidad, que seg´n sabemos se extiende a una ho- ıa ın, u mograf´ de X en X . La extensi´n es necesariamente f pues, fijado un punto ıa o O ∈ X Π, para todo P ∈ Π, tomamos un tercer punto Q en OP y as´ tanto ı, f (P ) como la imagen de P por la homograf´ est´n Π y en la imagen de la recta ıa a OQ, que es una recta, luego ambos son el unico punto de intersecci´n entre la ´ o recta y el hiperplano. 8.3 Perspectividades Definici´n 8.17 Sea X un espacio proyectivo, sean Π y Π dos hiperplanos o distintos en X y sea O un punto exterior a ambos. Llamaremos proyecci´n o perspectiva de centro O entre ambos hiperplanos a la aplicaci´n πO : Π −→ Π o que a cada punto P ∈ Π le hace corresponder el punto donde la recta OP corta a Π . La intersecci´n entre los dos hiperplanos se llama eje de la proyecci´n. o o La aplicaci´n que transforma un plano modelo en su imagen en un cuadro o es una proyecci´n perspectiva. La geometr´ proyectiva es el marco id´neo para o ıa o estudiar este tipo de aplicaciones, pues si quisi´ramos hacerlo desde un punto de e vista af´ tendr´ ın ıamos que distinguir constantemente casos particulares a causa del paralelismo. Por ejemplo, no todo punto tendr´ imagen por una proyecci´n ıa o perspectiva. Teorema 8.18 Toda proyecci´n perspectiva es una homograf´ o ıa. Demostracion: Consideremos una proyecci´n πO : Π −→ Π en un espacio ´ o X de dimensi´n n. El eje de la proyecci´n es una variedad de dimensi´n n − 2, o o o que con el punto O genera un hiperplano Π∞ . Sea E = X Π∞ . Las trazas de Π y Π en E son dos hiperplanos paralelos y las rectas que pasan por O forman un haz de rectas paralelas. Es f´cil ver entonces que la restricci´n a E de πO a o es simplemente la restricci´n a Π de una traslaci´n, luego se extiende a una o o afinidad de E (la traslaci´n) que a su vez se extiende a una homograf´ H en X o ıa que fija a Π∞ . Por otra parte, πO fija a los puntos de Π ∩ Π , luego H extiende a πO , que es, por consiguiente, una homograf´ıa. En la pr´ctica es m´s c´modo sustituir una proyecci´n perspectiva por una a a o o homograf´ que la extienda. Ello nos lleva al concepto de perspectividad: ıa
- 232. 220 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Definici´n 8.19 Una perspectividad en un espacio proyectivo X es una homo- o graf´ distinta de la identidad que fije a todos los puntos de un hiperplano Π, ıa llamado eje de la perspectividad, y a todos los hiperplanos que pasen por un punto O, llamado centro de la perspectividad. Si O est´ en Π la perspectividad a se llama elaci´n, mientras que si O no est´ en Π se llama homolog´ o a ıa. Al restringir una perspectividad de eje Π a X Π obtenemos una afinidad que fija a cada punto infinito, luego env´ cada recta a una paralela. Por consi- ıa guiente se trata de una traslaci´n o una homotecia (seg´n que la perspectividad o u sea una elaci´n o una homolog´ o ıa). En cualquier caso es imposible que fije a los puntos de otro hiperplano, luego Π est´ un´ a ıvocamente determinado. As´ mismo, ı O es la intersecci´n de las trazas de la homotecia-traslaci´n, luego tambi´n est´ o o e a un´ıvocamente determinado. Tambi´n es claro que existe una unica perspecti- e ´ vidad con un centro O y un eje Π dados que env´ un punto P exterior a Π a ıe cualquier otro punto Q exterior a Π, distinto de P y colineal con O y P . En la prueba del teorema 8.18 hemos visto que toda proyecci´n perspectiva o entre hiperplanos se extiende a una elaci´n. Es f´cil ver de modo similar que o a tambi´n puede extenderse a una homolog´ Rec´ e ıa. ıprocamente, es f´cil ver que a una perspectividad H en un espacio X fija a todas las rectas que pasan por su centro (expres´ndolas como intersecciones de hiperplanos). De aqu´ que a ı si tomamos un hiperplano Π distinto del eje y que no contenga al centro, la restricci´n de H es una proyecci´n perspectiva de Π en H[Π]. o o Si las perspectividades tridimensionales se interpretan como extensiones de proyecciones perspectivas, las perspectividades planas tambi´n tienen una in- e terpretaci´n importante. Consideremos de nuevo un plano vertical Π en el que o queremos representar en perspectiva un plano horizontal Π . Sea r la recta donde ambos se cortan. Consideremos la aplicaci´n π : Π −→ Π que a cada o punto de Π lo abate sobre Π (mediante un giro alrededor de r) y despu´s lo e proyecta sobre Π. En otras palabras, la aplicaci´n π pone en perspectiva cada o figura de Π: π Pues bien, la aplicaci´n π es la composici´n de (la extensi´n de) un giro con o o o una perspectividad, luego es una homograf´ M´s a´n, fija a todos los puntos ıa. a u de r, luego restringida a Π r transforma cada recta en una paralela. Por lo tanto es una homotecia o una traslaci´n, y en cualquier caso fija a un punto O, o finito o infinito, con lo que π es una perspectividad plana. Una perspectividad plana est´ determinada por su eje r, su centro O y a la imagen de un punto. En la pr´ctica (a efectos de dibujar en perspectiva) a
- 233. 8.3. Perspectividades 221 el punto cuya imagen se fija de antemano es el punto infinito de las rectas verticales. Su imagen F se llama punto de fuga, y es el punto del horizonte donde concurren las rectas verticales (las rectas que en el modelo horizontal se alejan frontalmente del observador). El eje de perspectiva representa el punto de contacto entre el cuadro y el suelo (que en la pr´ctica puede quedar fuera del a cuadro, y entonces conviene evitar su uso expl´ ıcito). El centro O depende de la posici´n del observador respecto al cuadro. Lo habitual es que se sit´e sobre o u la vertical de F por debajo del eje (si se sit´a fuera de esta vertical el cuadro u deber´ ser observado desde un angulo y no frontalmente). a ´ Con esta base se puede desarrollar matem´ticamente toda la teor´ de la a ıa perspectiva, incluyendo el problema de representar objetos tridimensionales, pero no vamos a entrar en ello. En su lugar obtendremos algunos resultados te´ricos de inter´s sobre perspectividades y proyecciones perspectivas. o e No toda homograf´ entre dos hiperplanos Π y Π es una proyecci´n pers- ıa o pectiva, pues si fijamos un punto O exterior a ambos y dos puntos P y Q en Π, es claro que πO es la unica perspectividad que transforma P y Q en πO (P ) ´ y πO (Q), mientras que hay infinitas homograf´ con esta propiedad. Por otro ıas lado, la composici´n de proyecciones perspectivas no es necesariamente una o proyecci´n perspectiva. Vamos a probar que toda homograf´ entre dos hiper- o ıa planos (posiblemente iguales) es composici´n de proyecciones perspectivas. De o este modo, los invariantes proyectivos son exactamente los invariantes por tales proyecciones. La prueba se basa en el siguiente teorema geom´trico y algunos resultados e algebraicos que veremos tras ´l. e Teorema 8.20 Sea Π un hiperplano en un espacio proyectivo X. Toda homo- log´ de Π es composici´n de dos proyecciones perspectivas en X. ıa o Demostracion: Sean P y r el centro y el eje de una homolog´ f en Π y ´ ıa Q ∈ Π r un punto distinto de P . Entonces f (Q) es un punto de Π r distinto de Q. Sea Π un hiperplano de X distinto de Π que pase por r. Sea O un punto exterior a ambos. Consideremos la perspectividad πO : Π −→ Π . Sean P y Q las im´genes a de P y Q. Como los puntos P , Q y f (Q) son colineales, los tres son coplanares con O, P y Q . La recta f (Q)Q corta a OP en un punto O distinto de O. Consideremos la perspectividad πO : Π −→ Π y veamos que f = πO ◦ πO . Si llamamos g a la composici´n, tenemos que g fija a cada punto de r, lo que o significa que g transforma cada recta de Π r en una paralela. Por lo tanto se trata de una homotecia o una traslaci´n, pero g(P ) = P , luego es una homotecia o de centro P . Como g(Q) = f (Q), necesariamente f = g. Ahora probaremos que toda homograf´ de un espacio Π se puede expresar ıa como composici´n de homolog´ o ıas. Fijemos un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y sea H un hiperplano vectorial de V . Sea G = GL(V ) y llamemos GH al subgrupo de G formado por los automorfismos que fijan a cada punto de H. Vamos a describir sus elementos. Sea, pues, u ∈ GH . Fijemos v ∈ V H, de modo que V = H ⊕ v .
- 234. 222 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Sea u(v) = h + αv, con h ∈ H y α ∈ K. Notar que α = det u. Basta tomar una base de H y completarla con v. La matriz de u en dicha base es triangular, y en la diagonal tiene una entrada igual a α y las restantes iguales a 1. Si α = 1 tomamos w = h + (α − 1)v, y es f´cil ver que u(w) = αw. a Definici´n 8.21 Sea V un espacio vectorial y H un hiperplano vectorial de V . o Una dilataci´n de V de hiperplano H, direcci´n w ∈ H y raz´n α = 0 es un o o / o automorfismo u ∈ GL(V ) que fija a cada punto de H y que cumple u(w) = αw. Equivalentemente, u es una dilataci´n si en cierta base su matriz es o α 1 .. . 1 Continuando nuestro argumento, si α = 1 entonces u(v) = h + v. Si u = 1 ha de ser h = 0. Para cada x ∈ V existe un f (x) ∈ K tal que x = h + f (x)v, para cierto h ∈ H, con lo que u(x) = h + f (x)(h + v) = x + f (x)h. Es f´cil ver a que f es una forma lineal de V de n´cleo H. u Definici´n 8.22 Sea V un espacio vectorial y H un hiperplano vectorial de o V . Una transvecci´n de V de hiperplano H es un automorfismo u ∈ GL(V ) tal o que existe un h ∈ H no nulo y una forma lineal f de n´cleo H de modo que u u(x) = x + f (x)h para todo x ∈ V . Si completamos h hasta una base de H y ´sta a una base de V , la matriz de e u tiene la forma 1 α 1 .. . 1 Rec´ ıprocamente, todo automorfismo que tenga una matriz de este tipo en una base es una transvecci´n. Hemos demostrado el teorema siguiente: o Teorema 8.23 Sea V un espacio vectorial, H un hiperplano de V y u ∈ GL(V ) que fija a cada punto de H. Entonces u es una dilataci´n o una transvecci´n, o o seg´n si det u es distinto o igual a 1. u Ahora probamos: Teorema 8.24 Sea V un espacio vectorial. El grupo GL(V ) est´ generado a por las dilataciones. El subgrupo de GL(V ) formado por los automorfismos de determinante 1 est´ generado por las transvecciones. a
- 235. 8.3. Perspectividades 223 Demostracion: Las matrices de la forma ´ k 1 .. j . α .. . .. . 1 corresponden a transvecciones. Multiplicar una matriz por la derecha por una de estas matrices equivale a sumarle a una columna otra multiplicada por α. Mediante estas operaciones podemos convertir cualquier matriz regular en una de la forma 1 .. . (8.2) 1 α En efecto, dada una matriz regular (aij ), si a12 = 0 sumamos a la segunda columna otra adecuada para que a12 sea no nulo. Multiplicamos la segunda columna por (1 − a11 )/a12 y la sumamos a la primera, con lo que obtenemos a11 = 1. Ahora es f´cil convertir la primera fila en (1, 0, . . ., 0). Del mismo modo a podemos hacer la segunda fila igual a (a21 , 1, 0, . . ., 0) sin deshacer la primera, y de aqu´ pasamos a (0, 1, 0, . . ., 0). Continuando as´ llegamos a la forma indicada. ı ı Por lo tanto, todo u ∈ GL(V ) se descompone en producto de transveccio- nes y una aplicaci´n de matriz (8.2). Claramente α = det u, luego si u tiene o determinante 1 entonces es producto de transvecciones, y en el caso general es producto de transvecciones y una dilataci´n. Basta probar que toda trans- o vecci´n es producto de dos dilataciones. Hemos de suponer que K = {0, 1}, o o de lo contrario no hay dilataciones. Si u es una transvecci´n, tomamos una dilataci´n v con el mismo hiperplano o o que u y de determinante distinto de 1. Entonces w = uv −1 fija a cada punto del hiperplano de u, pero su determinante es distinto de 1, luego es una dilataci´n, o y en consecuencia u = wv es producto de dilataciones. Si u es una dilataci´n en un espacio vectorial V de hiperplano H y tal o que u(w) = αw, entonces la homograf´ inducida por u fija a cada punto del ıa hiperplano Π = P(H) y al punto O = w , luego se trata de una homolog´ As´ ıa. ı pues: Teorema 8.25 Toda homograf´ de un espacio proyectivo es producto de ho- ıa molog´ ıas. En particular de perspectividades. Uniendo esto a los resultados anteriores: Teorema 8.26 Toda homograf´ entre dos hiperplanos Π y Π de un espacio ıa proyectivo X es producto de proyecciones perspectivas.
- 236. 224 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Demostracion: Lo tenemos probado si Π = Π . En otro caso, dada H ´ consideramos una proyecci´n perspectiva cualquiera π : Π −→ Π y tenemos o que H ◦ π −1 es producto de proyecciones perspectivas, luego H tambi´n. e 8.4 Caracterizaci´n axiom´tica o a Veamos ahora la caracterizaci´n axiom´tica de la geometr´ proyectiva tridi- o a ıa mensional, an´loga a la que en el cap´ a ıtulo anterior obtuvimos para la geometr´ ıa af´ ın. Definici´n 8.27 Un espacio proyectivo (tridimensional) es un conjunto E, a o cuyos elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vac´ de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se ıos satisfagan los axiomas siguientes: Axioma P1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una unica recta, ´ que representaremos por P Q. Axioma P2 Todo par de rectas contenidas en un mismo plano tienen un punto en com´n. u Axioma P3 Por cada tres puntos no colineales P , Q, R pasa un unico plano, ´ que representaremos por P QR. Axioma P4 Si una recta r tiene dos puntos en com´n con un plano π, en- u tonces r est´ contenida en π. a Axioma P5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares. Axioma P6 Si dos planos tienen un punto en com´n, entonces tienen dos u puntos en com´n. u Axioma P7 Toda recta contiene al menos tres puntos. Como en el caso bidimensional, los axiomas son los de la geometr´ af´ıa ın cambiando el axioma de existencia de paralelas por su negaci´n. A˜adimos o n tambi´n la condici´n de que toda recta tenga tres puntos, que es necesaria e o porque toda recta ha de resultar de adjuntar un punto infinito a una recta af´ ın, que tendr´ al menos dos puntos. Veamos algunas consecuencias sencillas de los a axiomas. Teorema 8.28 Dos planos distintos cualesquiera tienen una recta en com´n. u Demostracion: Sean π1 y π2 dos planos distintos. Basta probar que tienen ´ un punto en com´n, pues entonces por P6 y P4 tendr´n una recta en com´n, y u a u por P3 no pueden tener m´s puntos en com´n. a u Por definici´n son conjuntos no vac´ Tomemos P ∈ π1 y Q ∈ π2 . Si P = Q o ıos. ya tenemos lo que quer´ıamos. Si P = Q tomamos un punto R no colineal con P y Q (existe por P5) entonces el plano P QR corta a π1 en P , luego en una recta r, y corta a π2 en Q, luego en una recta s. Las dos rectas est´n contenidas en a
- 237. 8.4. Caracterizaci´n axiom´tica o a 225 un mismo plano, luego por P2 tienen un punto en com´n T , que est´ en π1 y u a en π2 . Teorema 8.29 Si r es una recta y π es un plano, entonces r est´ contenida en a π o bien r corta a π en un unico punto. ´ Demostracion: Por P7 tenemos que r contiene dos puntos distintos, di- ´ gamos r = P Q. Sea R un punto de π. Si P QR = π entonces r ⊂ π. En caso contrario P QR corta a π en una recta s (pues tienen un punto en com´n R). u Las rectas r y s est´n contenidas en el plano P QR, luego tienen un punto en a com´n T . Como son distintas, T es su unico punto en com´n. u ´ u Teorema 8.30 Todo plano contiene tres puntos no colineales. Demostracion: Dado un plano π, por P5 existe un punto P exterior a π y ´ por este mismo axioma y P3 existe un plano π que pasa por P . La intersecci´n o de ambos planos ha de ser una recta r. Basta probar que π contiene un punto exterior a r. Por P5 existen dos puntos no contenidos en r, digamos A y B, luego la recta AB corta a π en un punto exterior a r. Este teorema prueba que los planos contenidos en un espacio proyectivo son planos proyectivos en el sentido axiom´tico que hemos visto al comienzo del a cap´ ıtulo. Finalmente probamos que todo espacio proyectivo es la compleci´n de o un espacio af´ ın. Teorema 8.31 Sea E un espacio proyectivo y Π un plano de E. Tomemos E ∗ = E Π. Entonces E ∗ es un espacio af´ si tomamos como rectas y planos ın de E ∗ las intersecciones con E ∗ de las rectas y planos de E (cuando ´stas son e no vac´ıas). Demostracion: Cada recta r no contenida en Π corta a este plano en un ´ unico punto Pr . Llamaremos r = r {Pr }. Cada plano π = Π corta a Π en una ´ ˆ unica recta Rπ . Llamaremos π = π Rπ . ´ ˆ Dados dos puntos P y Q en E ∗ , es claro que P Q es la unica recta que pasa ´ por ellos. Dada una recta r y un punto P exterior a ella, r y P est´n contenidos ˆ a en un unico plano π, y π es el unico plano que contiene a r y a P . Toda recta ´ ˆ ´ ˆ de E ∗ contenida en π es de la forma s, donde s est´ contenida en π, y s´lo hay ˆ ˆ a o una paralela a r, a saber, la que pasa por P y Pr . ˆ Los axiomas A3 y A4 son evidentes. Sean P , Q , R tres puntos no colineales en Π. Sea S un punto exterior a Π. Entonces las rectas SP , SQ , SR contienen un tercer punto cada una, digamos P , Q, R. Es claro que los cuatro puntos P , Q, R, S son no coplanares y est´n en E ∗ . a Si dos planos π y π tienen un punto en com´n, entonces π y π tienen una ˆ ˆ u recta en com´n, que contiene tres puntos, de los cuales al menos dos est´n en u a π∩π . ˆ ˆ Los resultados del cap´ ıtulo anterior nos permiten asignar a cada punto de E ∗ una terna de coordenadas (x, y, z), fijado un sistema de referencia. Vamos a
- 238. 226 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa probar que E es equivalente a P3 (K), en el sentido de que existir´ una biyecci´n a o entre ambos que conservar´ las rectas y los planos. a Definimos las coordenadas homog´neas de un punto P de E ∗ respecto al e sistema de referencia escogido a cualquier cu´drupla (w, x, y, z) ∈ K 4 tal que a w = 0 y la terna (xw−1 , yw−1 , zw−1 ) sea la terna de coordenadas cartesianas de P en el sistema de referencia dado. Claramente, dos cu´druplas (w, x, y, z) y (w , x , y , z ) con w = 0 = w son a coordenadas homog´neas de un mismo punto P si y s´lo si existe un t ∈ K e o no nulo tal que (w , x , y , z ) = (w, x, y, z)t. En definitiva, la aplicaci´n que a o cada punto de E ∗ le hace corresponder su espacio de coordenadas homog´neas e es una aplicaci´n inyectiva i : E ∗ −→ P3 (K). Con m´s precisi´n, si Π es el o a o plano de P3 (K) inducido por el hiperplano w = 0, entonces la imagen de E ∗ es E = P3 (K) Π. Ahora bien, se comprueba sin dificultad que P3 (K) verifica los axiomas de espacio proyectivo, luego hemos probado que E es un espacio af´ ın cuyas variedades son las intersecciones con E de las variedades de E. Un plano arbitrario π de E ∗ est´ formado por los puntos cuyas coordenadas a cartesianas satisfacen una ecuaci´n de la forma ax + by + cz + d = 0. Equi- o valentemente, un punto P est´ en π si y s´lo si sus coordenadas homog´neas a o e satisfacen la ecuaci´n dw + ax + by + cz = 0. Toda ecuaci´n de este tipo (con la o o terna (a, b, c) no nula) es la ecuaci´n de un plano en coordenadas homog´neas. o e Por otra parte, esta ecuaci´n determina un hiperplano W en K 4 , de modo que o los puntos de π se corresponden con los puntos de P(W ) (que no est´n en Π ). a Por consiguiente, i biyecta los planos de E ∗ con los de E . Puesto que toda recta af´ se expresa como intersecci´n de dos planos disjuntos, tenemos ın o que i tambi´n biyecta las rectas con las rectas. M´s a´n, es obvio que i hace e a u corresponder rectas paralelas con rectas paralelas. Dado un punto P de Π, podemos tomar una recta que lo contenga y que no est´ contenida en Π. La imagen de la restricci´n a E ∗ de esta recta ser´ una e o a recta de P3 (K) menos un punto Q ∈ Π . Podemos definir i(P ) = Q. Esto es consistente, pues dos rectas distintas que pasen por P son paralelas en E ∗ , luego se transforman en rectas paralelas en E que tienen en com´n el mismo punto u de Π . Es claro que as´ tenemos una biyecci´n i : E −→ P3 (K) que transforma ı o rectas en rectas. Es f´cil ver que tambi´n transforma planos en planos, con lo a e que los espacios E y P3 (K) son geom´tricamente indistinguibles. e La introducci´n de coordenadas se basa en el teorema de Desargues, que o probamos en el cap´ ıtulo anterior a partir de los axiomas de espacio af´ Es muy ın. ilustrativo dar una prueba directa a partir de los axiomas de espacio proyectivo, pues de hecho podemos probar un resultado formalmente m´s simple que el a teorema de Desargues y mucho m´s general que ´ste. a e Definici´n 8.32 Un tri´ngulo en un espacio proyectivo E es un conjunto de o a tres puntos no colineales, a los que llamaremos v´rtices. Los lados del tri´ngulo e a ser´n las rectas que pasan por cada par de v´rtices. Diremos que dos tri´ngulos a e a ABC y A B C , con sus v´rtices en este orden, tienen a un punto O como e
- 239. 8.4. Caracterizaci´n axiom´tica o a 227 centro de perspectiva si los v´rtices A y A , B y B , C y C est´n contenidos en e a tres rectas concurrentes en O. Diremos que tienen a una recta r como eje de perspectiva si cada par de lados AB y A B , AC y A C , BC y B C se cortan en un punto de r. O r As´ si dos tri´ngulos tienen un centro de perspectiva finito, sus v´rtices ı, a e est´n sobre rectas concurrentes, mientras que si tienen un centro de perspectiva a infinito, sus v´rtices est´n sobre rectas paralelas. Si tienen un eje de perspectiva e a infinito entonces sus lados son paralelos dos a dos. Teorema 8.33 (Teorema de Desargues) En un espacio proyectivo, dos tri- a ´ngulos tienen un centro de perspectiva si y s´lo si tienen un eje de perspectiva. o Demostracion: Sean dos tri´ngulos ABC y A B C . Si dos v´rtices coin- ´ a e ciden, por ejemplo, A = A , el resultado es obvio. Por ejemplo, las rectas BB y CC (o dos rectas que pasen por estos puntos, si coinciden) se cortan en un punto O, al igual que la recta OA, luego O es un centro de perspectiva para los tri´ngulos. Del mismo modo se prueba que tienen un eje de perspectiva. a Supongamos, pues, A = A , B = B , C = C . Un razonamiento similar nos permite suponer que los lados son diferentes, es decir, AB = A B , AC = A C , BC = B C Sea π el plano que pasa por A, B, C y π el plano que pasa por A , B , C . Supongamos primeramente que π = π . Entonces se cortan en una recta s. Supongamos que los tri´ngulos tienen un eje de perspectiva r. a Sean π1 , π2 y π3 los planos que contienen respectivamente a los lados AB y A B , AC y A C , BC y B C . Como π = π , el plano π1 corta a π exactamente en la recta AB, mientras que los otros dos lo hacen en AC y BC. En particular los tres planos son distintos. π1 corta a π2 en una recta, que ha de ser AA . Similarmente π1 ∩ π3 = BB y π2 ∩ π3 = CC . La recta AA no puede estar contenida en π3 , pues entonces cortar´ a πıa en un punto de BC, luego A ser´ colineal con BC. As´ pues, AA ∩ π3 es un ıa ı unico punto O. Claramente O = π1 ∩ π2 ∩ π3 , luego las tres rectas AA , BB ´ y CC han de concurrir en O, que es, por lo tanto, un centro de perspectiva de los tri´ngulos. a
- 240. 228 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Supongamos ahora que tienen un centro de perspectiva O, Necesariamente O ha de ser distinto de los seis v´rtices. El plano OAB corta a π en una recta, e que necesariamente ha de ser A B . Similarmente, el plano OAC corta a π en A C y el plano OBC corta a π en B C . As´ pues, AB y A B est´n en un ı a mismo plano, luego se cortan en un punto, que necesariamente est´ en s. Lo a mismo sucede con los otros pares de lados, luego s es un eje de perspectiva. Ahora supongamos que los dos tri´ngulos est´n en un mismo plano π y a a supongamos que tienen un eje de perspectiva s. Sea π otro plano que corte a π en s. Sea O un punto fuera de π y π (una recta que pase por un punto de π y otro de π tiene un tercer punto fuera de ambos planos). Sean A , B y C los puntos donde las rectas OA , OB y OC cortan a π . Es f´cil ver que estos tres a puntos no son colineales. Los tri´ngulos A B C y A B C tienen a O como a centro de perspectiva. Por la parte ya probada tienen un eje de perspectiva, y concretamente es la recta s. Entonces A B y A B se cortan en un punto de s, que ha de ser tambi´n el punto donde se cortan AB y A B . Por lo tanto e A B y AB se cortan en un punto de s y lo mismo vale para los dem´s lados. a Por consiguiente s es un eje de perspectiva para ABC y A B C . Por la parte ya probada ambos tri´ngulos tienen un centro de perspectiva O . No puede ser a O = O, pues entonces A = A , B = B , C = C . Sea O el punto donde OO corta a π. Veamos que O es un centro de perspectiva para los tri´ngulos originales. Tenemos que los puntos O , A y A a son colineales. El plano que contiene a estos tres y a O corta a π en una recta que contiene a O , a A y a A , luego los tres est´n alineados. Similarmente a sucede con los otros v´rtices. e Supongamos que los tri´ngulos tienen un centro de perspectiva O. Sea O a ¯ un punto exterior a π. Sea A un tercer punto en la recta O A. Sea A la ¯ intersecci´n de OA o ¯ con O A (ambas rectas est´n en el plano OAA ). El punto ¯ a a ¯ ¯ O es el centro de perspectiva de los tri´ngulos ABC y A BC, y ´stos no est´n e a sobre el mismo plano, luego por la parte ya probada ambos tri´ngulos tienen a un eje de perspectiva r, que concretamente es la intersecci´n de los planos de o ¯ ¯ los dos tri´ngulos. O no est´ en r, pues la recta OA corta a ABC en A (si a a ¯ estuviera contenida entonces A estar´ en BC). Sea r la intersecci´n con π del ıa o plano que contiene a O y a r. Veamos que r es un eje de perspectiva para los ¯ ¯ tri´ngulos originales. Las rectas AB y A B se cortan en un punto P de r. Sea a P el punto donde O P corta a π. Se trata de un punto de r . El plano O P B e ¯ contiene tambi´n a P , a A y a A, luego su intersecci´n con π es la recta AB, o que tambi´n contiene a P . Del mismo modo se prueba que A B pasa por P , e luego los lados AB y A B se cortan en r . Lo mismo vale para AC y A C . Respecto a BC y BC , se cortan en un punto de r que ha de estar tambi´n en e π, luego en r De este resultado general se deducen inmediatamente las versiones afines que vimos en los cap´ıtulos anteriores. Por ejemplo, si las l´ ıneas que unen los v´rtices e de dos tri´ngulos son concurrentes o paralelas, eso significa que los tri´ngulos a a tienen un centro de perspectiva (finito o infinito), luego tambi´n tienen un eje e de perspectiva. Si dos pares de lados son paralelos, su eje de perspectiva pasa
- 241. 8.5. Dualidad 229 por dos puntos infinitos, luego es una recta infinita, luego el tercer par de lados se corta tambi´n en el infinito, luego son paralelos. Rec´ e ıprocamente, si dos tri´ngulos tienen los lados paralelos dos a dos, entonces se cortan en tres puntos a infinitos, contenidos en la intersecci´n de los planos de ambos tri´ngulos, es o a decir, en una recta infinita que es, por lo tanto, un eje de perspectiva. Por consiguiente los tri´ngulos tienen un centro de perspectiva, lo que significa que a las rectas que unen sus v´rtices son paralelas o concurrentes. e Como en el caso af´ un plano proyectivo no cumple necesariamente el teo- ın, rema de Desargues, lo que nos lleva a distinguir entre planos proyectivos argue- sianos y no arguesianos. Es claro que un plano proyectivo es arguesiano si y s´lo o si se puede sumergir como variedad en un espacio proyectivo. Tambi´n es claro e que un plano af´ es arguesiano si y s´lo si lo es su compleci´n proyectiva (cons- ın o o truida directamente, como hemos visto al comienzo del cap´ ıtulo). Puesto que hemos visto un ejemplo de plano af´ no arguesiano, tambi´n tenemos probada ın e la existencia de planos proyectivos no arguesianos. r Ejercicio: En un papel tenemos dos rectas no paralelas, pero P cuya intersecci´n queda fuera de los l´ o ımites de la hoja. Dado un punto P , trazar la recta que pasa por P y por la intersecci´n de o s las rectas sin usar puntos inaccesibles. Ejercicio: Probar la versi´n proyectiva del teorema de Papos–Pascal (para todo plano o proyectivo sobre un cuerpo): Sean r y r dos rectas distintas, sean A, B, C tres puntos distintos en r y A , B , C tres puntos distintos en r . Entonces los puntos CA ∩ AC AB ∩ BA y BC ∩ CB est´n alineados. a 8.5 Dualidad Nos ocupamos ahora de una de las propiedades que contribuyen a que el enfoque proyectivo de un hecho geom´trico ofrezca a menudo una visi´n m´s e o a profunda del mismo. Comenzaremos ilustr´ndola con un ejemplo sencillo. Con- a sideremos por ejemplo el axioma P1 de los planos proyectivos: Dados dos puntos distintos, hay una unica recta que los contiene. ´ Ahora transformamos la afirmaci´n anterior con la siguiente manipulaci´n o o formal: intercambiamos las palabras ‘punto’ y ‘recta’ a la vez que invertimos las inclusiones. El resultado es: Dadas dos rectas distintas, hay un unico punto contenido en ellas. ´ Vemos que el resultado es otra propiedad de los planos proyectivos, concreta- mente el axioma P2 m´s la unicidad que se sigue de P1. Llamaremos afirmaci´n a o dual de una afirmaci´n dada sobre un plano proyectivo a la afirmaci´n que re- o o sulta de intercambiar las palabras ‘punto’ y ‘recta’ e invertir las inclusiones. El principio de dualidad afirma que la afirmaci´n dual de cualquier teorema sobre o
- 242. 230 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa planos proyectivos es tambi´n un teorema. La raz´n es sencilla: el dual de cada e o axioma es un teorema (ya lo hemos comprobado para P1 y para los restantes es igual de simple), luego la demostraci´n de la afirmaci´n dual de un teorema o o se obtiene sin m´s que reemplazar cada afirmaci´n intermedia de la prueba por a o su afirmaci´n dual correspondiente. Este principio sigue siendo v´lido si in- o a corporamos como axioma el teorema de Desargues. En efecto, al dualizar un tri´ngulo obtenemos un tri´ngulo (un tri´ngulo son tres puntos no colineales y a a a las tres rectas que pasan por cada par de ellos, luego su dual son tres rectas no concurrentes y los tres puntos donde se cortan, o sea, otro tri´ngulo) y el dual a de dos tri´ngulos con un centro de perspectiva son dos tri´ngulos con un eje de a a perspectiva. Esto implica que el dual del teorema de Desargues es ´l mismo. e M´s concretamente, las dos implicaciones rec´ a ıprocas son duales entre s´ ı. Los espacios tridimensionales tambi´n satisfacen un principio de dualidad, e pero ahora las afirmaciones duales se obtienen intercambiando las palabras ‘punto’ y ‘plano’ e invirtiendo las inclusiones (las rectas son autoduales). Por ejemplo, dos afirmaciones duales son Dados tres puntos no colineales existe un unico plano que los con- ´ tiene Tres planos que no contengan una misma recta se cortan en un unico ´ punto. Vamos a interpretar algebraicamente este principio de dualidad, lo que nos permitir´ generalizarlo a espacios de dimensi´n arbitraria. Nos basamos en las a o propiedades de los espacios duales. Definici´n 8.34 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n+1 sobre un cuerpo o o K. Sea V ∗ su espacio vectorial dual. Si W es un subespacio de V definimos W ◦ = {f ∈ V ∗ | f (v) = 0 para todo v ∈ W }, que es claramente un subespacio de V ∗ . Sea w1 , . . ., wm una base de W y complet´mosla hasta una base w1 , . . ., wn+1 e ∗ ∗ de V . Sea w1 , . . ., wn+1 la base dual. Es f´cil ver entonces que a W ◦ = wm+1 , . . ., wn+1 . ∗ ∗ Por consiguiente dim W + dim W ◦ = n + 1. Similarmente, si W es un subespacio de V ∗ definimos W ◦ = {f ∈ V | f (v) = 0 para todo f ∈ W }, que es un subespacio de V . Similarmente se prueba la relaci´n entre las di- o mensiones. Ahora es claro que si W es un subespacio de V o de V ∗ se cumple W ◦◦ = W (una inclusi´n es obvia y las dimensiones dan la igualdad). De aqu´ o ı se sigue que las correspondencias W → W ◦ entre los subespacios de V y V ∗ son
- 243. 8.5. Dualidad 231 biyectivas y mutuamente inversas. Otro hecho obvio es que W1 ⊂ W2 si y s´lo o ◦ ◦ si W2 ⊂ W1 . Consideremos ahora X = P(V ) y sea X ∗ = P(V ∗ ). Sea u : V −→ V ∗ un isomorfismo. Llamemos P(X) al conjunto de todas las variedades proyectivas de X. Definimos p : P(X) −→ P(X) como la aplicaci´n dada por o p(P(W )) = P(u[W ]◦ ). Es claro que p es biyectiva, as´ como que invierte el orden: L1 ⊂ L2 si y s´lo ı o si p(L2 ) ⊂ p(L1 ). Observar que p no se altera si sustituimos u por un m´ltiplo u suyo, luego p depende s´lo de la homograf´ H inducida por u. o ıa Definici´n 8.35 Una correlaci´n en un espacio proyectivo X es una biyecci´n o o o p : P(X) −→ P(X) entre las variedades lineales de X que invierte el orden. Hemos probado que cada homograf´ H : X −→ X ∗ induce una correlaci´n ıa o entre las variedades lineales de X. A las correlaciones inducidas por homograf´ ıas las llamaremos correlaciones proyectivas. Veremos enseguida que la existencia de correlaciones implica el principio de dualidad. Antes probamos las propieda- des b´sicas de las correlaciones: a Teorema 8.36 Sea X un espacio proyectivo de dimensi´n n y consideremos en o ´l una correlaci´n p : P(X) −→ P(X). Entonces e o 1. L1 ⊂ L2 si y s´lo si p(L2 ) ⊂ p(L1 ). o 2. dim L + dim p(L) = n. 3. p(L1 + L2 ) = p(L1 ) ∩ p(L2 ), p(L1 ∩ L2 ) = p(L1 ) + p(L2 ). Demostracion: 1) es parte de la definici´n de correlaci´n. ´ o o 2) Dada una variedad L podemos formar una sucesi´n de variedades o L−1 ⊂ L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ln = X, donde dim Li = i para todo i y L = Li para alg´n i. Al aplicar p obtenemos u una sucesi´n decreciente de variedades, luego necesariamente dim p(Li ) = n − i. o 3) es consecuencia inmediata de que p es biyectiva e invierte el orden, pues necesariamente ha de enviar la menor variedad que contiene a dos dadas en la mayor variedad contenida en dos dadas, y viceversa. Ahora es claro que un espacio proyectivo X de dimensi´n n satisface el o principio de dualidad siguiente: Dada una afirmaci´n sobre X, la afirmaci´n que resulta de intercam- o o biar las variedades de dimensi´n m por las variedades de dimensi´n o o n − m e invertir las inclusiones es equivalente a la dada.
- 244. 232 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Por ejemplo, partamos de que toda recta contiene tres puntos y vamos a probar que toda variedad de dimensi´n n − 2 est´ contenida en tres hiperplanos. o a Fijamos una correlaci´n p. Dada una variedad L de dimensi´n n − 2, entonces o o p(L) es una recta, luego contiene tres puntos, que podemos expresar en la forma p(L1 ), p(L2 ), p(L3 ), donde L1 , L2 y L3 son tres hiperplanos distintos. Por consiguiente L ⊂ L1 ∩ L2 ∩ L3 . Hay una forma equivalente de expresar las correlaciones proyectivas que permite introducir una propiedad de simetr´ Un isomorfismo u : V −→ V ∗ ıa. induce una forma bilineal regular F : V ×V −→ K mediante F (v, w) = u(v)(w). Rec´ıprocamente, cada forma bilineal regular F induce un isomorfismo u por la relaci´n anterior. De este modo tenemos una biyecci´n entre isomorfismos y o o formas regulares, y cada correlaci´n proyectiva est´ inducida por una forma o a regular. Con m´s detalle, si F es la forma bilineal inducida por u y W es un subespacio a de V , entonces u[W ]◦ = {v ∈ V | F (w, v) = 0 para todo w ∈ W }. Representaremos este conjunto por W F . De este modo, la correlaci´n in- o ducida por una forma bilineal F viene dada por p(P(W )) = P(W F ). Hemos probado que dim W + dim W F = n + 1 Diremos que F es ortosim´trica si F (v, w) = 0 equivale a F (w, v) = 0, para e todo par de vectores v y w. Una forma regular en un espacio V es ortosim´trica e si y s´lo si W F F = W para todo subespacio W de V , pues si F es ortosim´trica o e entonces W ⊂ W F F , y como las dimensiones son iguales se da la igualdad, F FF F rec´ıprocamente, si F (v, w) = 0 entonces w ∈ v y v ∈ v ⊂ w , luego F (w, v) = 0. A su vez esto equivale a que la correlaci´n inducida cumpla o p(p(L)) = L, para toda variedad L, es decir, p ◦ p es la identidad. Definici´n 8.37 Una correlaci´n p es sim´trica si p ◦ p es la identidad. o o e Tenemos que una correlaci´n proyectiva es sim´trica si y s´lo si la forma bi- o e o lineal que la induce es ortosim´trica. En vista de esto es interesante caracterizar e las formas bilineales regulares ortosim´tricas: e Teorema 8.38 Sea F una forma bilineal ortosim´trica regular en un espacio e vectorial V . Entonces F est´ en uno de los dos casos siguientes: a 1. F es sim´trica, es decir, F (v, w) = F (w, v) para todo v, w ∈ V . e 2. F es antisim´trica, es decir, F (v, w) = −F (w, v) para todo v, w ∈ V . En e tal caso dim V ha de ser par. Demostracion: Para cada y ∈ V llamemos u(y) y v(y) a las formas de ´ V ∗ dadas por u(y)(x) = F (x, y) y v(y)(x) = F (y, x). El hecho de que F sea regular implica que u y v son dos isomorfismos entre V y V ∗ . La hip´tesis de o
- 245. 8.5. Dualidad 233 ortosimetr´ implica que u(y) y v(y) tienen el mismo n´cleo, luego existe un ıa u escalar ty tal que v(y) = ty u(y). Si y1 e y2 son vectores linealmente independientes, entonces v(y1 + y2 ) = ty1 +y2 u(y1 + y2 ) = ty1 u(y1 ) + ty2 u(y2 ), de donde se sigue que ty1 = ty1 +y2 = ty2 . Es f´cil ver entonces que el escalar a ty no depende de y (si V tiene dimensi´n 1 se llega inmediatamente a la misma o conclusi´n). Por consiguiente v(y) = t u(y), para todo y. o Distinguimos dos casos. Si existe un vector a ∈ V tal que F (a, a) = 0, entonces u(a) = v(a) = 0, de donde t = 1, luego F (x, y) = u(y)(x) = v(y)(x) = F (y, x), es decir, F es sim´trica. Si F (a, a) = 0 para todo vector a, entonces e 0 = F (v + w, v + w) = F (v, w) + F (w, v), luego F (v, w) = −F (w, v) para todo para de vectores, luego F es antisim´trica. e Falta ver que en este caso la dimensi´n del espacio es par. o Sea e1 , . . ., en una base de V y e∗ , . . ., e∗ su base dual. La matriz A de u en 1 n estas bases tiene en el lugar (i, j) a u(ei )(ej ) = F (ej , ei ). La antisimetr´ nos ıa da entonces que At = −A. Tomando determinantes |A| = (−1)n |A|, luego n ha de ser par, pues |A| = 0. Esta clasificaci´n es satisfactoria porque ahora basta conocer la matriz de F o en una base para saber si es o no ortosim´trica (seg´n si la matriz es sim´trica e u e o antisim´trica). e En particular resulta que las correlaciones proyectivas sim´tricas de los pla- e nos proyectivos son las inducidas por formas bilineales sim´tricas (no pueden e ser antisim´tricas porque est´n definidas sobre un espacio tridimensional). e a Dado un espacio proyectivo X, llamaremos H(X) al conjunto de todos los hi- perplanos de X. Cada correlaci´n se restringe a una biyecci´n p : X −→ H(X). o o A tales biyecciones se las llama dualidades, y si la correlaci´n es sim´trica se o e llaman polaridades. Por el teorema 8.36, cada dualidad determina la correlaci´n o que la define. Una polaridad p empareja cada punto P de X con un hiperplano Π. Diremos que P es el polo de Π y que Π es el hiperplano polar de P . Si U es la n + 1-tupla de coordenadas homog´neas de un punto Q respecto a e un sistema de referencia y A es la matriz de una dualidad proyectiva p en dicho sistema (es decir, la matriz de una forma bilineal que la induzca), entonces p(Q) es el hiperplano de ecuaci´n U AX t = 0. o El ejemplo m´s simple lo tenemos cuando A es la matriz identidad. Fi- a jado un sistema coordenada, el hiperplano polar del punto (a1 , . . ., an+1 ) es el determinado por la ecuaci´n a1 x1 + · · · an+1 xn+1 = 0, y viceversa. o Notemos que si H es una homograf´ en X, entonces H se extiende a una ıa biyecci´n H : P(X) −→ P(X) que conserva las inclusiones (H(L) = H[L]). El o
- 246. 234 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa comportamiento de las homograf´ as´ extendidas es muy similar al de las co- ıas ı rrelaciones, salvo que no invierten las inclusiones. El teorema siguiente muestra la compatibilidad entre ambas nociones: Teorema 8.39 Sea H una homograf´ en un espacio proyectivo X y sean p y ıa q dos correlaciones proyectivas en X. Entonces H ◦ p y p ◦ H son correlaciones proyectivas p ◦ q es una homograf´ıa. Demostracion: Los tres hechos se prueban de forma similar. Veamos tan ´ s´lo que p ◦ q es una homograf´ Fijemos un sistema de referencia proyectivo o ıa. y sean A y B las matrices de p y q en dicho sistema. Sea U la n + 1-tupla de coordenadas homog´neas de un punto Q. Entonces p(Q) es el hiperplano de e ecuaci´n U AX t = 0. La imagen por q de este hiperplano es U AB −1 , luego p ◦ q o es la homograf´ inducida por el isomorfismo de matriz AB −1 . ıa Si p y q son correlaciones no necesariamente proyectivas, lo unico que po- ´ demos decir de p ◦ q es que es una biyecci´n que conserva las colineaciones. Si o estamos en un espacio proyectivo real podemos concluir que se trata de una homograf´ por el teorema fundamental. En particular, si p es una correlaci´n ıa o arbitraria y q es proyectiva, tenemos que p ◦ q = H es una homograf´ luego ıa, p = q ◦ H −1 es tambi´n proyectiva. En definitiva: e Teorema 8.40 Toda correlaci´n en un espacio proyectivo real es proyectiva. o El principio de dualidad se aplica a enunciados que contienen homograf´ ıas. Para verlo, dada una homograf´ H ∈ GP(X) y una dualidad p, definimos ıa H p : X −→ X como la homograf´ dada por H p (Q) = p H[p−1 (Q)] . ıa Veamos un ejemplo. Diremos que una homograf´ H tiene un centro de ıa perspectiva O si fija a los hiperplanos que pasan por el punto O, y diremos que H tiene un eje de perspectiva Π fija a todos los puntos del hiperplano Π. Recordemos que hemos definido una perspectividad como una homograf´ ıa distinta de la identidad que tiene un centro y un eje de perspectiva. Ahora bien, es claro que se cumple la afirmaci´n siguiente: o Toda homograf´ con un eje de perspectiva tiene un centro de pers- ıa pectiva. La raz´n es que al restringir la homograf´ al complementario de su eje tiene o ıa que ser una traslaci´n o una homotecia. Vamos a probar el teorema dual: o Toda homograf´ con un centro de perspectiva tiene un eje de pers- ıa pectiva. Fijamos una correlaci´n proyectiva p. Basta observar que si H tiene a O o por centro de perspectiva, entonces H p tiene a p(O) como eje de perspectiva: en efecto, si Q ⊂ p(O), entonces O ⊂ p−1 (Q), luego H p−1 (Q) = p−1 (Q), luego Q = H p (Q). Por consiguiente H p tiene un centro de perspectiva E, y un razonamiento similar muestra que p−1 (E) es un eje de perspectiva de H. En general podemos dualizar cualquier afirmaci´n que haga referencia a o homograf´ considerando a ´stas autoduales. ıas e
- 247. 8.6. Razones doblesy separaci´n harm´nica o o 235 8.6 Razones dobles y separaci´n harm´nica o o Introducimos ahora otro de los conceptos fundamentales de la geometr´ ıa proyectiva. Antes conviene establecer un convenio util para trabajar con pers- ´ pectividades y homograf´ıas. La notaci´n o A1 , . . ., An − B1 , . . ., Bn ∧ indicar´ que los puntos colineales distintos A1 , . . ., An se transforman respec- a tivamente en B1 , . . ., Bn por una homograf´ Cuando la homograf´ sea una ıa. ıa proyecci´n perspectiva de centro O y queramos indicarlo expl´ o ıcitamente escri- biremos O A1 , . . ., An = B1 , . . ., Bn . ∧ Notemos que un sistema de referencia proyectivo en una recta est´ formado a simplemente por tres puntos distintos. Por lo tanto, una homograf´ H entre ıa rectas queda completamente determinada en cuanto conocemos la imagen de tres puntos distintos P , Q, R, es decir, que H : P QR − P Q R sirve como ∧ definici´n de una homograf´ H (siempre que las dos ternas de puntos sean o ıa colineales). Si consideramos un cuarto punto S, entonces existe un unico punto S tal ´ que P QRS − P Q R S . Para determinarlo basta observar que S ha de tener ∧ las mismas coordenadas respecto a P , Q , R que S respecto a P, Q, R. Esto nos lleva a la definici´n de raz´n doble: o o Definici´n 8.41 Dados cuatro puntos distintos P , Q, R, S en una recta pro- o yectiva X sobre un cuerpo K, llamaremos raz´n doble entre ellos a o α R(P, Q, R, S) = ∈ K ∪ {∞}, β donde (α, β) son las coordenadas homog´neas de S respecto al sistema de refe- e rencia P, Q, R. Estamos adoptando el convenio de que α/β = ∞ si y s´lo si β = 0. Vea- o mos una caracterizaci´n sencilla pero pr´ctica. Tomemos como punto infinito o a de P2 (K) a ∞ = (1, 0). Los dem´s puntos (α, β) pueden identificarse con a los escalares α/β. Dados P , Q, R, S, existe un unico S ∈ P2 (K) tal que ´ P QRS − ∞ 0 1 S . Entonces R(P, Q, R, S) = S , pues claramente la homo- ∧ graf´ P QR − ∞ 0 1 no es m´s que el sistema de coordenadas determinado por ıa ∧ a los puntos P , Q, R. Visto as´ es obvio que la raz´n doble se conserva por homograf´ es decir, ı o ıas, que si P QRS − P Q R S , entonces ∧ R P, Q, R, S = R(P , Q , R , S ). El teorema siguiente explica el nombre de “raz´n doble”. o
- 248. 236 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Teorema 8.42 Sean P1 , P2 , P3 , P4 cuatro puntos distintos de una recta pro- yectiva cuyas coordenadas cartesianas en un sistema de referencia dado sean x1 , x2 , x3 , x4 respectivamente (pueden ser finitas o infinitas). Entonces x3 − x1 x3 − x2 R(P1 , P2 , P3 , P4 ) = : . x4 − x1 x4 − x2 Demostracion: Podemos suponer que x1 , x2 y x3 son finitas. Considere- ´ mos la aplicaci´n H : P2 (K) −→ P2 (K) dada por o x3 − x1 x3 − x2 H(x) = : . x − x1 x − x2 Se trata de una homograf´ pues puede expresarse como ıa, (x3 − x1 )x − x2 (x3 − x1 ) H(x) = , (x3 − x2 )x − x1 (x3 − x2 ) y su determinante es (x3 − x1 )(x3 − x2 )(x2 − x1 ). Adem´s se cumple claramente H(x1 ) = ∞, H(x2 ) = 0, H(x3 ) = 1. La com- a posici´n del sistema de coordenadas dado con la aplicaci´n H es una homograf´ o o ıa que hace corresponder P1 P2 P3 P4 − ∞ 0 1 H(x4 ), luego la raz´n doble es H(x4 ), ∧ o lo que nos da la f´rmula indicada. o Es obvio que existe una homograf´ que hace corresponder cuatro puntos ıa colineales con otros cuatro puntos colineales si y s´lo si sus razones dobles coin- o ciden. Veamos ahora la interpretaci´n geom´trica de la raz´n doble. o e o Sea X un espacio proyectivo en el que hemos seleccionado un hiperplano infinito Π. Entonces X Π tiene estructura de espacio af´ Sea L una recta ın. en X no contenida en Π. Sean P1 , P2 , P3 , P4 cuatro puntos distintos en L. Supongamos que todos ellos son finitos. Consideremos un sistema de referencia af´ (O; v1 , . . ., vn ) tal que O y O + v1 est´n en L. Entonces las coordenadas de ın e cada Pi son de la forma (xi , 0, . . ., 0). Es claro que xi es la coordenada de Pi en el sistema de referencia (O; v1 ), luego podemos calcular la raz´n doble mediante o −− −→ la f´rmula del teorema anterior. Es claro que P1 P3 = (x3 − x1 )v1 , etc. luego la o raz´n doble es o −− −→ −− −→ P1 P3 P2 P3 R(P1 , P2 , P3 , P4 ) = − − : − − . −→ −→ P1 P 4 P2 P4 Supongamos ahora que P2 = ∞ = L ∩ Π. Entonces (x3 − x2 )/(x4 − x2 ) = 1 y la expresi´n se reduce a o −− −→ P 1 P3 R(P1 , ∞, P3 , P4 ) = − − . −→ P1 P4 En particular, si R(P1 , ∞, P3 , P4 ) = −1 entonces P1 es el punto medio del segmento P3 P4 (suponiendo car K = 2).
- 249. 8.6. Razones doblesy separaci´n harm´nica o o 237 Las tres rectas que atraviesan el camino de la fi- gura est´n equiespaciadas, por lo que los puntos ori- a ∞ ginales cumplen R(Q, ∞, P, R) = −1. Sin embargo, la perspectividad transforma el punto infinito de la R recta P R en un punto finito, luego la raz´n doble, o Q aunque sigue siendo −1, ya no se interpreta como P la proporci´n entre los vectores y vemos que, en o efecto, Q ya no es el punto medio del segmento P R. Vemos, pues, que las homograf´ no conservan los puntos medios de los segmentos, ni en general la ıas proporci´n entre vectores. Sin embargo, las afinidades env´ puntos infinitos o ıan en puntos infinitos, de donde se sigue que, como ya sabemos, s´ conservan las ı proporciones. La vista humana es capaz de estimar razones dobles, pues podemos estimar (incluso con un solo ojo) la proporci´n entre dos segmentos vistos oblicuamente. o El hecho de que las homograf´ conservan las razones dobles contiene impl´ ıas ı- citamente el teorema de Tales. En efecto, consideremos un tri´ngulo ABC y a una recta r en su plano que no pase por sus v´rtices. Digamos que r corta a los e Pb lados AB, AC y BC en los puntos Pc , Pb y Pa . Entonces CPa B = APc B. Si ∧ tomamos un punto D en BA y un punto E en BC es evidente que la recta DE Pb pasar´ por el punto Pb si y s´lo si CPa BE = APc BD, lo que a su vez equivale a o ∧ a que R(C, Pa , B, E) = R(A, Pc , B, D). En particular, si tomamos como r la recta infinita, lo que hemos probado equivale a que las rectas AC y DE son paralelas si y s´lo si o −→ − − −→ CB AB −→ = −→ , − − CE BD que es justo lo que afirma el teorema de Tales. Pc B D E Pb A C Pa Vamos a seguir esta l´ ınea de argumentos para probar que las medianas de un tri´ngulo se cortan en un punto. M´s en general, probaremos el teorema a a siguiente:
- 250. 238 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Teorema Si la recta DE de la figura es paralela a C AB, entonces Ω es el punto medio de AB. Para probarlo lo transformaremos primero en un D E teorema proyectivo, es decir, eliminaremos el concepto de paralelismo. Tracemos una figura similar pero con el punto infinito de las rectas paralelas proyectado en A Ω B un punto finito Ω . Esta configuraci´n es muy importante en geometr´ proyectiva, por lo que o ıa hemos de introducir algunas definiciones. C D E F A Ω B Ω Definici´n 8.43 Un cuadril´tero completo en un plano proyectivo es una figura o a formada por cuatro puntos no colineales tres a tres, llamados v´rtices junto e con las seis rectas que unen cada par de ellos, llamadas lados. Dos lados se dicen contiguos u opuestos seg´n si tienen o no un v´rtice en com´n. Las tres u e u intersecciones de lados opuestos se llaman puntos diagonales del cuadril´tero. a La figura anterior muestra un cuadril´tero completo, cuyos v´rtices y puntos a e diagonales est´n marcados con cuadrados y tri´ngulos respectivamente. Es f´cil a a a ver que los tres puntos diagonales son siempre distintos entre s´ ı. Dados cuatro puntos colineales A, B, Ω, Ω , diremos que el par (A, B) separa harm´nicamente al par (Ω, Ω ) si A y B son dos v´rtices de un cuadril´tero o e a completo, Ω es un punto diagonal y Ω es la intersecci´n con AB de la recta que o une los otros dos puntos diagonales. Lo representaremos H(A, B; Ω, Ω ). El teorema que queremos probar es una consecuencia inmediata de este im- portante resultado: Teorema 8.44 Si A, B, Ω, Ω son cuatro puntos colineales distintos, entonces H(A, B; Ω, Ω ) si y s´lo si R(A, B, Ω, Ω ) = −1. o Demostracion: Supongamos que H(A, B; Ω, Ω ). Sea entonces un cua- ´ dril´tero completo de v´rtices A, B, D y E de modo que Ω sea un punto a e diagonal y Ω sea la intersecci´n con AB de los otros dos, digamos C y F (ver o la figura). Tomemos como sistema de referencia proyectivo los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), F (1, 1, 1).
- 251. 8.6. Razones doblesy separaci´n harm´nica o o 239 Respecto a este sistema, la recta AB tiene ecuaci´n z = 0, mientras que CF o tiene ecuaci´n x = y. Por consiguiente Ω(1, 1, 0). o Del mismo modo vemos que AC es y = 0 y F B es x = z. Por consiguiente D(1, 0, 1) y similarmente se calcula E(0, 1, 1). De aqu´ obtenemos que DE tiene ecuaci´n z = x + y. Se trata de la ecuaci´n ı o o del plano que contiene a (0, 0, 0) y a las dos ternas de coordenadas. Por ejemplo se obtiene de x y z 1 0 1 = 0. 0 1 1 Con esto podemos concluir que Ω (1, −1, 0). Es claro que si eliminamos la ultima coordenada (nula) de los puntos de la recta AB obtenemos sus coordena- ´ das homog´neas respecto a un sistema de referencia de la recta. Concretamente e queda A(1, 0) = ∞, B(0, 1) = 0, Ω(1, 1) = 1, Ω (1, −1) = −1. Ahora es claro por definici´n que R(A, B, Ω, Ω ) = −1. o Rec´ıprocamente, dados A, B, Ω, es f´cil construir un punto P tal que a H(A, B; Ω, P ). Por la parte ya probada R(A, B, Ω, P ) = −1 = R(A, B, Ω, Ω ), luego P = Ω . Ejercicio: Sea X un plano proyectivo sobre un cuerpo K. Probar que car K = 2 equivale a que los puntos diagonales de un cuadril´tero completo est´n alineados, y a e tambi´n a que los puntos diagonales de todo cuadril´tero completo est´n alineados. e a e La negaci´n de este hecho se conoce como axioma de Fano. o Usando el teorema 8.42 es f´cil ver que a H(A, B; Ω, Ω ) ⇔ H(B, A; Ω, Ω ) ⇔ H(A, B; Ω , Ω) ⇔ H(Ω, Ω ; A, B), En particular, si DE es paralela a AB, entonces el punto Ω es infinito y H(Ω, Ω ; A, B) luego R(Ω, Ω , A, B) = −1, que equivale a que Ω sea el punto medio de A y B, como quer´ ıamos probar. Las equivalencias anteriores expresan que la separaci´n harm´nica de dos o o pares de puntos depende unicamente de los pares, A, B y Ω, Ω , sin importar el ´ orden de ambos ni el orden de sus componentes. Es claro que dados tres puntos colineales distintos A, B y Ω, existe un unico punto Ω distinto de los anteriores ´ tal que H(A, B; Ω, Ω ). A dicho punto se le llama el conjugado harm´nico de Ω o respecto a A, B. As´ dos puntos cualesquiera A y B dividen la recta que los ı, contiene en pares de conjugados. Hay una configuraci´n m´s general en torno a los cuadril´teros completos o a a que conviene introducir. Definici´n 8.45 Diremos que seis puntos (no necesariamente distintos) en una o recta r forman un conjunto cuadrangular, y lo representaremos Q(ABC; DEF ), si existe un cuadril´tero completo con v´rtices exteriores a r y de modo que A, a e B, C sean las intersecciones con r de los lados que pasan por tres de los v´rtices e y D, E, F sean las intersecciones con r de los lados opuestos respectivos.
- 252. 240 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa A D B C F E Observar que si Q(ABC; DEF ) las unicas coincidencias posibles son A = D, ´ B = E o C = F . Veamos en primer lugar que esta configuraci´n est´ relacionada o a con la separaci´n harm´nica: o o Teorema 8.46 Cuatro puntos distintos cumplen H(A, B; C, D) si y s´lo si o Q(ABC; ABD). Demostracion: Si Q(ABC; ABD) entonces A y B son dos puntos diago- ´ nales de un cuadril´tero completo. Si llamamos O al tercer punto diagonal y a C , D a los v´rtices del cuadril´tero de uno de los lados que pasan por A, seg´n e a u O indica la figura, entonces ABCD = AB C D , y es claro que H(A, B ; C D ), ∧ luego lo mismo es v´lido para ABCD. a C D A C B D Rec´ıprocamente, si H(A, B; C, D) tomamos un punto arbitrario C fuera de la recta, elegimos D en AC , trazamos CC , BD y la recta que pasa por A y la intersecci´n de estas dos. Con ello determinamos una figura como la anterior o salvo que el punto D no es necesariamente el dado, sino otro punto D∗ . Por la parte ya probada resulta que H(A, B; C, D∗ ), luego D = D∗ y por consiguiente Q(ABC; ABD). El resultado principal que vamos a probar sobre conjuntos cuadrangulares es el siguiente: Teorema 8.47 Si M = N entonces la relaci´n M N AB − M N A B es equi- o ∧ valente a Q(M AB; N B A ). Demostracion: Supongamos M N AB − M N A B . Tomemos una recta ´ ∧ por M y un punto O1 fuera de las dos rectas. Sean A1 y B1 las intersecciones con la recta elegida de las rectas O1 A y O1 B. Sea O2 = A A1 ∩ B B1 . O2 A1 B1 O1 A B N A B M
- 253. 8.6. Razones doblesy separaci´n harm´nica o o 241 O 1 O 2 Entonces M AB = M A1 B1 = M A B . Puesto que una homograf´ est´ ∧ ∧ ıa a determinada por la imagen de tres puntos, esta sucesi´n de perspectivas ha de o fijar a N , lo cual s´lo es posible si N est´ alineado con O1 y O2 , lo que implica o a Q(M AB; N B A ). El razonamiento se invierte sin dificultad. Si aplicamos el razonamiento del teorema anterior con M = N , obtenemos una homograf´ con M como unico punto fijo, y viceversa. Usaremos la notaci´n ıa ´ o M M AB − M M A B para indicar que la homograf´ tiene a M como unico ∧ ıa ´ punto fijo. Observar que M M A − M M A determina una unica homograf´ ∧ ´ ıa, pues, considerando como infinito el punto M , una homograf´ que cumpla esto ıa ha de ser una traslaci´n, luego est´ determinada por la imagen de un punto A. o a Una leve modificaci´n del razonamiento anterior nos da el teorema siguiente: o Teorema 8.48 La relaci´n M M AB − M M A B equivale a Q(M AB; M B A ). o ∧ Ejercicio: Probar que cinco puntos de un conjunto cuadrangular determinan el sexto. Ejercicio: Probar que una relaci´n Q(ABC, ABC) equivale a que la caracter´ o ıstica del cuerpo sea 2. Es inmediato que en una relaci´n Q(ABC; A B C ) podemos permutar las o tres componentes de uno de los grupos siempre y cuando permutemos igualmente las otras tres. Un hecho no inmediato pero que ya estamos en condiciones de probar es el siguiente: Teorema 8.49 La relaci´n Q(ABC; A B C ) equivale a Q(A B C ; ABC). o Demostracion: Si A = A , B = B , C = C no hay nada que probar. Por ´ lo tanto podemos suponer que se cumplen a lo sumo dos igualdades. Si de hecho se dan dos igualdades aplicamos 8.46. Si se cumple a lo sumo A = A podemos aplicar uno de los dos ultimos teoremas para concluir que AA BC − AA C B . ´ ∧ Tomando la homograf´ inversa tenemos que A AB C − A ACB, lo que a su ıa ∧ vez equivale a Q(A B C ; ABC). Veamos ahora un par de aplicaciones m´s de las razones dobles y la sepa- a raci´n harm´nica. o o Teorema 8.50 (Teorema de Menelao) Tres puntos X, Y , Z situados en los lados BC, AC y AB de un tri´ngulo son colineales si y s´lo si a o −→ − −→ − −→ BX CY AZ −→ − −→ − = −1. −→ XC YA ZB Demostracion: Sean A∞ , B∞ , C∞ y P∞ los puntos infinitos de las rectas ´ P∞ BC, AC, AB y XY . Sea A = AP∞ ∩ BC. Tenemos Y B∞ CA = XA∞ CA , ∧ luego −→ − −→ − YC XC − = R(Y, B∞ , C, A) = R(X, A∞ , C, A ) = − → . → − YA XA
- 254. 242 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa P∞ C∞ Z A Y B A X C A∞ B∞ ∞ P La colinealidad de X, Y , Z equivale a ZC∞ AB = XA∞ A B, o tambi´n a ∧ e −→ −→ − ZA XA − = R(Z, C∞ , A, B) = R(X, A∞ , A , B) = −→ −→ . − ZB XB Por lo tanto X, Y , Z son colineales si y s´lo si o −→ − −→ − −→ −→ − −→ − −→ − BX CY AZ BX CX AX −→ − −→ − −→ = −→ − −→ − −→ = −1. − XC YA ZB XC XA XB Teorema 8.51 (Ceva) En un tri´ngulo, tres cevianas AX, BY , CZ son con- a currentes si y s´lo si o −→ −→ − − − → BX CY AZ −→ − − = 1. − → − → XC Y A ZB Demostracion: Sea D = XY ∩ AB. Supongamos primero que D es finito. ´ C Y X A Z B D Entonces, por el teorema de Menelao, −→ − −→ − −→ − BX CY AD −→ − −→ −→ = −1 − XC YA DB Es claro que las cevianas son concurrentes si y s´lo si Z y D son conjugados o harm´nicos respecto a A y B, lo cual a su vez equivale a que o −→ − −→ AZ BZ −→ : −→ = −1. − − AD BD
- 255. 8.6. Razones doblesy separaci´n harm´nica o o 243 Multiplicando las dos igualdades obtenemos la condici´n de Ceva. o D Si D es el punto infinito entonces X ∞ CB = Y ∞ CA, luego ∧ R(X, ∞, C, B) = R(Y, ∞, C, A), donde ∞ representa un punto distinto en cada caso. Por consiguiente −→ − −→ − XC YC −→ = − . − → XB YA Por otra parte, el hecho de que Z y D sean conjugados harm´nicos equivale o a que Z sea el punto medio de A y B, es decir, a que −→ ZA − = −1. −→ ZB La conclusi´n es obvia. o Para terminar la secci´n aplicaremos los resultados sobre separaci´n harm´- o o o nica al estudio de las involuciones, que definimos a continuaci´n. Su inter´s se o e debe en gran parte a que las involuciones son las polaridades proyectivas de las rectas. Definici´n 8.52 Una involuci´n en una recta proyectiva X es una homograf´ o o ıa I : X −→ X de orden 2, es decir, tal que I = 1 pero I ◦ I = 1. Diremos que dos puntos P y Q de X son conjugados respecto a I si I(P ) = Q. Es claro que cada punto tiene un unico conjugado respecto a una involuci´n ´ o dada (que puede ser ´l mismo). Si P es el conjugado de Q, entonces Q es el e conjugado de P . Teorema 8.53 Las involuciones de una recta coinciden con sus polaridades sim´tricas. e Demostracion: Sea A la matriz de una involuci´n f en un sistema de ´ o referencia cualquiera. Entonces A2 es un m´ltiplo de la matriz identidad. Plan- u teando las ecuaciones a las que esto conduce llegamos f´cilmente a que a u v A= , donde u2 + vw = 0. w −u Consideremos la polaridad sim´trica p que en el mismo sistema de referencia e tiene matriz v −u B= . −u −w El punto polar de un punto de coordenadas (a, b) es el que tiene ecuaci´n o v −u x (a, b) = 0, −u −w y
- 256. 244 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa es decir, (av −bu)x+(−au−bw)y = 0. El punto es, pues, (au+bw, av −bu), que coincide con la imagen de (a, b) por f . Por consiguiente f = p. Rec´ ıprocamente, toda polaridad sim´trica tiene matriz B en un sistema de referencia arbitrario, e y la homograf´ de matriz A es una involuci´n que coincide con la polaridad ıa o dada. Ejercicio: Probar que la unica polaridad antisim´trica de una recta proyectiva es la ´ e identidad. Teorema 8.54 Sea X una recta proyectiva. 1. Si H ∈ GP(X) cumple H(P ) = Q y H(Q) = P para dos puntos distintos P y Q, entonces H es una involuci´n. o 2. Dados dos pares (A, A ), (B, B ) (sin puntos comunes) existe una unica ´ involuci´n I respecto a la cual son pares conjugados. o 3. Tres pares (A, A ), (B, B ) y (C, C ) son conjugados respecto a una invo- luci´n si y s´lo si Q(A, B, C; A , B , C ). o o 4. Si A y B son puntos fijos de una involuci´n I, entonces cada par de puntos o conjugados respecto de I son conjugados harm´nicos respecto de A y B. o 5. Toda homograf´ en X es producto de dos involuciones. ıa Demostracion: 1) Sea P = v y Q = w . Si H = H(u), entonces ´ u(v) = αw y u(w) = βv. La matriz de u en la base v, w es 0 α A= , β 0 y es claro que A2 = αβI, luego H 2 = 1. 2) Si uno de los pares tiene componentes distintas, digamos A = A , entonces la homograf´ AA B − A AB es una involuci´n por 1), y claramente es la unica ıa ∧ o ´ para la cual los pares dados son conjugados. El caso en que A = A y B = B lo deduciremos de 4) 3) Podemos suponer que al menos A = A . Si existe la involuci´n enton- o ces AA BC − A AB C . Por otra parte A AB C − AA C B por el apartado ∧ ∧ anterior. Componiendo ambas homograf´ tenemos AA BC − AA C B , que ıas ∧ por el teorema 8.47 equivale a Q(ABC; A B C ). Si se cumple esta condici´n o llegamos igualmente a AA BC − A AB C , lo que implica la existencia de la ∧ involuci´n. o 4) Basta hacer A = A , B = B en 3) y usar el teorema 8.46. Ahora podemos completar la prueba de 2): Dados dos puntos distintos A y B, existe una unica involuci´n con A y B como puntos fijos pues, dado otro ´ o punto C, la imagen de C ha de ser necesariamente su conjugado harm´nico o respecto de A y B, digamos C , que cumple ABCC − ABC C, y entonces ´sta ∧ e es la unica involuci´n posible. ´ o
- 257. 8.7. Espacios sobrecuerpos ordenados 245 5) Sea f una homograf´ Podemos suponer que es distinta de la identidad. ıa. Sea A un punto no fijado por f . Sea f (A) = A = A y f (A ) = A . Sea I la involuci´n determinada por AA A − A A A (notar que A puede ser igual o o ∧ distinto a A ). Entonces J = (f ◦I) intercambia A y A , luego es una involuci´n. o Por consiguiente f = J ◦ I. Conviene observar que, aunque una homograf´ en una recta puede tener en ıa general 0, 1 o 2 puntos fijos, lo cierto es que una involuci´n no puede tener un o unico punto fijo, pues tom´ndolo como punto infinito obtenemos una afinidad de ´ a orden 2, de ecuaci´n f (x) = a + bx, no puede ser b = 1 pues entonces no tendr´ o ıa orden 2 (aqu´ hay que suponer car K = 2), y entonces la ecuaci´n x = a + bx ı o tiene como soluci´n un segundo punto fijo. o Ejercicio: Dos involuciones se llaman harm´nicas si su producto es una involuci´n. o o Probar que dos involuciones son harm´nicas si y s´lo si conmutan. o o 8.7 Espacios sobre cuerpos ordenados Sabemos que una ordenaci´n sobre un cuerpo se traduce en que en los es- o pacios afines asociados cada recta tiene asociadas dos ordenaciones naturales, mutuamente inversas. En esta secci´n exploraremos las consecuencias que tiene o en geometr´ proyectiva el trabajar con un cuerpo ordenado. ıa Para interpretar intuitivamente lo que sigue hemos de pensar que los ex- tremos de una recta af´ se unen en el punto infinito, con lo que una recta ın proyectiva es en realidad una circunferencia. As´ del mismo modo que dos ı, puntos en una circunferencia no determinan un segmento, sino que la dividen en dos arcos, igualmente dos puntos en una recta proyectiva no determinan un segmento, sino dos. Si los puntos son finitos, un segmento es el usual, y el otro est´ formado por los puntos exteriores al segmento m´s el punto infinito. Si te- a a nemos un punto finito y otro infinito, los dos segmentos que aparecen son las dos semirrectas con origen en el punto finito. Vemos, pues, que los conceptos afines de “segmento” y “semirrecta” corresponden a un mismo concepto proyectivo: una semirrecta no es m´s que un segmento con un extremo infinito. a A lo largo de toda la secci´n supondremos que los espacios proyectivos que o consideramos est´n definidos sobre un cuerpo ordenado K (en particular de a ıstica 0). Dada una recta proyectiva X = P(V ), dos puntos de X son caracter´ de la forma A = v y C = w , donde v y w son linealmente independientes. Definimos los conjuntos S+ (v, w) = { u | u = αv + βw con αβ ≥ 0}, S− (v, w) = { u | u = αv + βw con αβ ≤ 0}. Es claro que todo punto de X distinto de A y C est´ en uno y s´lo uno de a o ´ los dos conjuntos anteriores. Ambos contienen infinitos puntos. Unicamente A y C est´n en ambos a la vez. Los llamaremos segmentos de extremos A y C. a
- 258. 246 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Si cambiamos los generadores de P y Q por v = av y w = bv, entonces seg´n los signos de a y b suceder´ u a S+ (v, w) = S+ (v , w ) y S− (v, w) = S− (v , w ) o bien S+ (v, w) = S− (v , w ) y S− (v, w) = S+ (v , w ). De este modo, cada par de puntos A y C divide la recta en dos segmentos, si bien es imposible distinguir uno de otro (la distinci´n depende de la elecci´n de o o los generadores). Pese a esto, es posible distinguirlos en funci´n de un sistema o de referencia, pues entonces podemos elegir como generador de cada punto finito el vector que corresponde a las coordenadas homog´neas de la forma (1, α). As´ e ı, dados dos puntos P (1, α) y Q(1, β), podemos definir aα bβ S+ (P, Q) = {a(1, α) + b(1, β) | ab ≥ 0} = 1, + ab ≥ 0 a+b a+b = {(1, λα + (1 − λ)β) | 0 ≤ λ ≤ 1} , que es el segmento de extremos α y β en el sentido de la geometr´ af´ y ıa ın, S− (P, Q), que es el complementario del anterior. Si consideramos un punto P (1, α) y el punto infinito Q(0, 1), entonces b S+ (P, Q) = {a(1, α) + b(0, 1) | ab ≥ 0} = 1, α + ab 0 ∪ {∞} a = {(1, λ) | α ≤ λ} ∪ {∞}, que es una de las semirrectas de origen en α. Similarmente se comprueba que S− (P, Q) es la semirrecta complementaria. Con esto hemos probado lo que hab´ ıamos afirmado: al quitarle el punto infinito a un segmento proyectivo obtenemos un segmento af´ o bien el com- ın, plementario de un segmento af´ o bien una semirrecta. ın, Si no fijamos un sistema de referencia, para distinguir los dos segmentos con un mismo par de extremos hemos de usar un tercer punto: Dados tres puntos distintos A, B, C en una recta, definimos ABC como el segmento de extremos A y C que contiene a B. Veamos algunas propiedades: Teorema 8.55 Sean A, B, C puntos de una recta proyectiva X. 1. ABC = CBA. 2. Si D ∈ ABC, A = D = C, entonces ABC = ADC. 3. Si D ∈ ABC entonces ABC ∪ ADC = X y ABC ∩ ADC = {A, C}. / 4. Dado ABC, existen puntos P y Q tales que ABC = AP B ∪ BQC y AP B ∩ BQC = {B}.
- 259. 8.7. Espacios sobrecuerpos ordenados 247 5. Si D ∈ ABC, D = A, B, C entonces existe P tal que BP D ⊂ ABC. 6. Una homograf´ ABC − A B C transforma ABC en A B C . ıa ∧ Demostracion: Las tres primeras propiedades son consecuencias inmedia- ´ tas de la definici´n de segmento. La ultima es inmediata y las propiedades 4) o ´ y 5) se reducen a las propiedades de los segmentos afines. Por ejemplo, para probar 4) tomamos como punto infinito un punto del segmento complementario a ABC y lo que hay que probar es que si B ∈ AC entonces AC = AB ∪ BC, AB ∩ BC = {B}, lo cual es obvio. En general, cualquier propiedad b´sica sobre segmentos se prueba sin difi- a cultad reduci´ndola a una recta af´ mediante una elecci´n oportuna del punto e ın o infinito. Aunque, como ya hemos dicho, no podemos ordenar las rectas proyectivas, s´ podemos introducir un concepto importante a la hora de “localizar” figuras: ı Definici´n 8.56 Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos en una recta pro- o yectiva. Diremos que el par AB separa al par CD, y lo representaremos por AB CD, si D ∈ ACB. / A Esto significa que los dos segmentos de extremos A y B son ACB y ADB. En particular cualquiera de los seg- mentos de extremos A y B corta a cualquiera de los seg- C mentos de extremos C y B. Por el contrario, si AB ∦ CD, B entonces tenemos C, D ∈ ACB, luego existe un P tal que D CP D ⊂ ACB. Si tomamos un punto infinito en el segmento complementario de ACB tenemos una inclusi´n de segmentos usuales con extre- o mos distintos, luego es claro que CP D es disjunto del segmento complementario de ACB. Por lo tanto: Teorema 8.57 Cuatro puntos colineales distintos cumplen AB CD si y s´lo o si los dos segmentos de extremos A y B cortan a cada uno de los segmentos de extremos C y D. Similarmente se prueba: Teorema 8.58 La relaci´n AB o CD equivale a AB DC, BA CD, CD AB y AC ∦ BD. La separaci´n de segmentos se caracteriza de forma muy simple mediante o las razones dobles: Teorema 8.59 Cuatro puntos colineales distintos cumplen AB CD si y s´lo o si R(A, B, C, D) 0.
- 260. 248 Cap´ ıtulo 8. La geometr´ proyectiva ıa Demostracion: Consideremos un sistema de referencia en la recta de modo ´ que las coordenadas de A y B sean respectivamente O e ∞. Entonces −→ AC R(A, B, C, D) = −→ − AD − → −→ − y es claro que AB CD si y s´lo si los vectores AC y AD tienen sentidos o opuestos, lo que equivale a que la raz´n anterior sea negativa. o Como consecuencia vemos que la separaci´n harm´nica es un caso particular o o de separaci´n, pues H(A, B; C, D) equivale a R(A, B, C, D) = −1. o Teorema 8.60 Si H(A, B; C, D) entonces AB CD. Terminamos la secci´n con unas propiedades de las involuciones. Conviene o introducir la siguiente nomenclatura habitual: Definici´n 8.61 Diremos que una homograf´ de una recta proyectiva es el´ o ıa ıp- tica, parab´lica o hiperb´lica seg´n si tiene 0, 1 o 2 puntos fijos. o o u M´s adelante explicaremos el motivo de estos nombres. En la secci´n anterior a o hemos visto que no existen involuciones parab´licas. Si suponemos que en el o cuerpo K todos los elementos positivos tienen ra´ cuadrada entonces existen ız s´lo dos formas can´nicas de matrices de involuciones. En efecto: o o Teorema 8.62 Toda involuci´n admite en un sistema de referencia adecuado o una matriz de la forma 0 1 M= . (8.3) ±1 0 Si el signo es positivo la involuci´n es el´ o ıptica y si es negativo es hiperb´lica. o M´s en general, una involuci´n es el´ a o ıptica o hiperb´lica seg´n si el determinante o u de cualquiera de sus matrices es positivo o negativo. Demostracion: Una involuci´n en una recta X = P(V ) est´ inducida por ´ o a un automorfismo f . Sea v1 ∈ V tal que v1 no sea un punto fijo. Sea v2 = f (v1 ). Entonces f (v2 ) = av1 para un cierto a ∈ K. Sea v2 = v2 / |a|. Entonces es claro que f (v1 ) = |a| v2 y f (v2 ) = ± |a| v1 . Si cambiamos f por f / |a| la involuci´n inducida es la misma, pero ahora la matriz en la base v1 , v2 es de la o forma indicada en el enunciado. Los puntos fijos de la involuci´n se corresponden con los valores propios de o la matriz M , que son las ra´ıces de pol car M = x2 + ∆, donde ∆ = ±1 es el determinante de M . As´ pues, M tiene dos valores propios distintos o ninguno ı seg´n si ∆ 0 o ∆ 0. Por ultimo observamos que, aunque el determinante u ´ no es un invariante de las matrices de una misma homograf´ matrices de una ıa, misma homograf´ en una misma base se diferencian en un factor constante ıa a = 0, luego sus determinantes se diferencian en a2 0, luego el signo del determinante s´ es invariante, y podemos calcularlo a partir de cualquier matriz. ı
- 261. 8.7. Espacios sobrecuerpos ordenados 249 Teorema 8.63 Cada par de puntos conjugados por una involuci´n el´o ıptica se- para a cualquier otro par. Si la involuci´n es hiperb´lica ning´n par separa a o o u ning´n otro. u Demostracion: Supongamos primer que la involuci´n tiene dos puntos ´ o fijos O y P . Entonces podemos tomar a P como punto infinito y sabemos que cada par de puntos conjugados A, A ha de cumplir H(O, ∞; A, A ), lo que significa que O es el punto medio de A y A , es claro entonces que si B y B son tambi´n conjugados los segmentos AOA y BOB son conc´ntricos, luego uno e e est´ contenido en el otro, y los extremos no se separan. a Supongamos ahora que existen dos pares de conjugados (A, A ) y (B, B ) que no se separan y veamos que la involuci´n es hiperb´lica, o sea, que su o o determinante es negativo. La matriz de la involuci´n respecto a dos generadores o de A y A ser´ de la forma (8.3). Sean (x, y) unas coordenadas homog´neas de a e B en dicha base. Entonces unas coordenadas de B ser´n (±y, x). Por hip´tesis a o B y B est´n en el mismo segmento de extremos A y A , lo que se traduce en a que el signo de xy es el mismo que el de ±xy, luego el signo es positivo y el discriminante de M es negativo.
- 263. Cap´ ıtulo IX Secciones c´nicas o Las figuras fundamentales de la geometr´ eucl´ ıa ıdea plana son, sin duda, las rectas y las circunferencias. En el cap´ ıtulo anterior hemos estudiado las rectas desde el punto de vista de la geometr´ proyectiva, pero no hemos dicho ıa nada acerca de circunferencias. En realidad el concepto de circunferencia es ajeno a la geometr´ proyectiva, pues por lo pronto depende del concepto de ıa distancia, y la distancia eucl´ ıdea no puede extenderse al espacio proyectivo. M´s a precisamente, lo que sucede es que, al contrario que las rectas, las circunferencias no son invariantes proyectivos o, dicho de otro modo, para representar una circunferencia en perspectiva, la figura que hemos de dibujar no es generalmente una circunferencia, sino una c´nica. o En general la perspectiva achata las circunferencias convirti´ndolas en “elip- e ses”, pero si el observador se halla sobre la circunferencia, el punto situado a sus pies ser´ enviado al infinito, con lo que la representaci´n ser´ sustancialmente a o a distinta (una par´bola), y si el observador se encuentra dentro de la circunfe- a rencia la proyecci´n tiene dos puntos en el infinito y es una hip´rbola. o e En este cap´ ıtulo estudiaremos las c´nicas que hemos introducido en la sec- o ci´n 4.8 desde el punto de vista de la geometr´ proyectiva. Para ello vamos a o ıa necesitar algunos resultados adicionales de algebra lineal a los que dedicamos la ´ primera secci´n. o 9.1 Clasificaci´n de formas bilineales sim´tricas o e En esta secci´n consideramos matrices y espacios vectoriales definidos sobre o un cuerpo arbitrario k de caracter´ ıstica distinta de 2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n sobre k y sea F : V ×V −→ k una o forma bilineal sim´trica en V . Sabemos que, fijada una base de V , la aplicaci´n e o F est´ determinada por una matriz A con la propiedad de que si dos vectores v y a w tienen coordenadas X e Y respecto a la base dada, entonces F (v, w) = XAY t . Definici´n 9.1 Diremos que dos matrices sim´tricas A y B son congruentes si o e existe una matriz regular M tal que A = M BM t . 251
- 264. 252 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Es claro que todas las matrices correspondientes a una misma forma bilineal sim´trica son congruentes entre s´ y que si B es la matriz de una forma F e ı, en una cierta base, cualquier matriz A congruente con B es la matriz de F en una base adecuada. En efecto, dadas dos bases de V , si X e Y son las coordenadas de v y w respecto a una de ellas, sus coordenadas respecto de la otra ser´n de la forma XM e Y M , donde M es la matriz de cambio de base, a luego F (v, w) = XM BM t Y t , donde B es la matriz de F en esta segunda base. Por la unicidad de la matriz de una forma bilineal, la matriz de F en la primera base ha de ser A = M BM t . Esto prueba que las matrices de F respecto de dos bases de V son congruentes. Igualmente se razona que si A es la matriz de F en una base, entonces B es la matriz de F en la base determinada por M a partir de la base dada. Ahora encontraremos invariantes y formas can´nicas para las matrices de las o formas bilineales sim´tricas, de modo an´logo a como hicimos con las matrices e a de los endomorfismos de un espacio vectorial. La gu´ del procedimiento que ıa vamos a seguir consiste en tratar a las formas bilineales sobre un espacio vectorial como si fueran el producto escalar en Rn . As´ diremos que dos vectores de ı, un espacio vectorial V son ortogonales respecto a una forma bilineal sim´tricae F : V × V −→ K si cumplen F (v, w) = 0. Lo representaremos v ⊥ w. Hemos de tener presente que la semejanza s´lo llega hasta cierto punto. As´ o ı, para una forma arbitraria pueden ocurrir casos como que un vector no nulo sea ortogonal a s´ mismo, o incluso a todos los dem´s vectores. Pese a ello vamos a ı a probar que V tiene siempre una base ortogonal, es decir, una base v1 , . . ., vn tal que vi ⊥ vj = 0 cuando i = j. Teorema 9.2 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre un cuerpo de o caracter´ ıstica distinta de 2 y sea F una forma bilineal sim´trica en V . Entonces e V admite una base ortogonal respecto a F . Demostracion: Lo probaremos por inducci´n sobre la dimensi´n de V . ´ o o En dimensi´n 1 cualquier base es ortogonal. Supuesto cierto para espacios de o dimensi´n n−1, consideremos un espacio de dimensi´n n. Si F es id´nticamente o o e nula cualquier base es ortogonal. En caso contrario existen vectores v, w tales que F (v, w) = 0. Entonces F (v + w, v + w) = F (v, v) + 2F (v, w) + F (w, w). Necesariamente, uno de los tres vectores v, w, v + w no es ortogonal a s´ ı mismo. Llamemos v1 a este vector. Sea W = {v ∈ V | v ⊥ v1 }. Claramente W es un subespacio vectorial de V (el subespacio ortogonal a v1 ). En general los subespacios ortogonales no tienen el buen comportamiento del caso eucl´ıdeo, pero en este caso podemos probar que V = v1 ⊕ W . En efecto, si w ∈ W ∩ v1 entonces w = αv1 ⊥ v1 , es decir, αF (v1 , v1 ) = 0, lo que implica α = 0. Por consiguiente v1 ∩ W = 0.
- 265. 9.1. Clasificaci´n deformas bilineales sim´tricas o e 253 Por otra parte, W es el n´cleo de la aplicaci´n lineal V −→ K dada por u o v → F (v1 , v), cuya imagen es todo K (porque no es nula), luego dim W = n − 1, y esto implica que V = v1 ⊕ W . Por hip´tesis de inducci´n W tiene una base ortogonal respecto a la res- o o tricci´n de F , digamos v2 , . . ., vn . Es claro que v1 , . . ., vn es una base ortogonal o de V . Es obvio que la matriz de una forma bilineal en una base ortogonal es una matriz diagonal. Por lo tanto hemos probado lo siguiente: Teorema 9.3 Toda matriz sim´trica sobre un cuerpo de caracter´ e ıstica distinta de 2 es congruente con una matriz diagonal. ´ (Observar que la simetr´ de la matriz es necesaria. Este es el motivo por el ıa cual nos hemos restringido a formas sim´tricas.) e Las matrices diagonales no son formas can´nicas, pues nada impide que o dos matrices diagonales sean congruentes. El problema de encontrar invarian- tes y formas can´nicas se vuelve extremadamente delicado a partir de este o punto, y depende profundamente del cuerpo considerado. S´lo hay un senci- o llo resultado que podemos a˜adir en general: Una matriz diagonal de la forma n A = [a2 b1 , . . ., a2 bn ], con cada ai = 0 es congruente con B = [b1 , . . ., bn ], pues 1 n A = M BM t , donde M = [a1 , . . ., an ], es decir, podemos eliminar cuadrados de la diagonal. Esto nos resuelve el problema en cuerpos donde todo elemento sea un cuadrado, como es el caso de C y, en general, de todo cuerpo algebraicamente cerrado. En efecto: Teorema 9.4 Sea K un cuerpo de caracter´ ıstica distinta de 2 en el que todo elemento sea un cuadrado. Entonces toda matriz sim´trica A sobre K es con- e gruente con una unica matriz de la forma [1, . . ., 1, 0, . . ., 0], donde r es el rango ´ de A. r En efecto, toda matriz A es congruente con una matriz diagonal, que ser´ de a la forma [a2 , . . ., a2 , 0, . . ., 0], y podemos eliminar los cuadrados para convertirlos 1 r en unos. Es obvio que dos matrices congruentes son equivalentes, luego tienen el mismo rango, luego el n´mero de ceros y unos que aparecen es fijo. u En particular dos matrices sim´tricas sobre C (de las mismas dimensiones) e son congruentes si y s´lo si tienen el mismo rango, y esto es comprobable en la o pr´ctica. Nos interesa llegar a un resultado similar para matrices sobre R. En a este caso ya no podemos contar con que todo n´mero real sea un cuadrado. Lo u que tenemos es que todo n´mero real es de la forma ±a2 . Por lo tanto toda u matriz sim´trica real es congruente con una de la forma [±a2 , . . ., ±a2 , 0, . . ., 0], e 1 r y ´sta a su vez es congruente con una de la forma [1, . . ., 1, −1, . . ., −1, 0, . . ., 0]. e Vamos a probar que estas matrices son can´nicas, es decir, que dos distintas o nunca son congruentes. Teorema 9.5 (Ley de inercia de Sylvester) Todas las matrices diagonales congruentes con una matriz real sim´trica A tienen el mismo n´mero s de coe- e u ficientes positivos, al que llamaremos signatura de A. El n´mero de coeficientes u negativos ser´ necesariamente r − s, donde r es el rango de A. a
- 266. 254 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Demostracion: Consideremos una forma bilineal F en un espacio vectorial ´ V definida por la matriz A en una cierta base. Sean v1 , . . ., vn y w1 , . . ., wn dos bases de V en las que la matriz de F sea diagonal. Podemos suponer que estas matrices son [a1 , . . ., ar , 0, . . ., 0] y [b1 , . . ., br , 0, . . ., 0], donde r es el rango de las matrices, ai 0 para i = 1, . . ., s, ai 0 para i = s + 1, . . ., r, bi 0 para i = 1, . . ., s , bi 0 para i = s + 1, . . ., r. Hemos de probar que s = s . Sean S = v1 , . . ., vs , T = vs +1 , . . ., vn . Veamos que S ∩ T = 0. En efecto, s todo v ∈ S es de la forma v = αi vi , luego i=1 s s s F (v, v) = αi αj F (vi , vj ) = 2 αi F (vi , vi ) = αi ai ≥ 0. 2 i,j=1 i=1 i=1 Adem´s F (v, v) = 0 si y s´lo si αi = 0 para todo i, si y s´lo si v = 0. a o o Similarmente se prueba que si v ∈ T entonces F (v, v) ≤ 0 y F (v, v) = 0 si y s´lo si v = 0. Ahora es claro que S ∩ T = 0. o Tomando dimensiones vemos que s + n − s ≤ n, o sea, s ≤ s . Del mismo modo se prueba la desigualdad contraria. El teorema anterior nos permite definir la signatura de una forma bilineal sim´trica real como la de cualquiera de sus matrices. Ahora es claro que una e matriz sim´trica real de rango r y signatura s es congruente con la matriz e diagonal [1, . . ., 1, −1, . . ., −1, 0, . . ., 0], s r−s y que dos matrices de esta forma no pueden ser congruentes, pues tienen distinto rango o signatura. Por consiguiente: Teorema 9.6 Dos matrices sim´tricas reales son congruentes si y s´lo si tienen e o el mismo rango y la misma signatura. En realidad el teorema anterior es v´lido en cualquier cuerpo ordenado en a el que los elementos positivos sean cuadrados. Esto incluye, por ejemplo, al cuerpo de los n´meros reales constructibles con regla y comp´s. La obtenci´n u a o de formas can´nicas en cuerpos como Q requiere resultados importantes de o teor´ de n´meros. ıa u Con el teorema anterior tenemos resuelto el problema te´rico que nos hab´ o ıa- mos planteado, pero conviene que nos detengamos a dar un m´todo para calcular e en la pr´ctica la signatura de una matriz sim´trica real, pues la forma de hacerlo a e es muy simple. Vamos a probar que todo se reduce a calcular los valores propios de la matriz. Nos basamos en el teorema siguiente:
- 267. 9.1. Clasificaci´n deformas bilineales sim´tricas o e 255 Teorema 9.7 Sea h : V −→ V un endomorfismo en un espacio vectorial eucl´ ıdeo. Si la matriz de h en una base ortonormal es sim´trica, entonces V e tiene una base ortonormal formada por vectores propios de h. Demostracion: Sea A la matriz de h a la que alude el enunciado. En ´ primer lugar probaremos que su polinomio caracter´ ıstico tiene todas sus ra´ ıces reales. Sea λ ∈ C una de sus ra´ ıces. Entonces zA = λz para un cierto z ∈ Cn ¯z ¯z no nulo. Conjugando, z A = λ¯, luego A¯t = λ¯t . Multiplicando por z queda ¯ z ¯ z t = zA¯t = λz z t . Es claro que z z t = 0, luego λ = λ. λz ¯ z ¯ ¯ ¯ Sean λ1 , . . ., λr las ra´ distintas del polinomio caracter´ ıces ıstico de A, es decir, los valores propios de A. Para cada i, sea Vi el espacio de vectores propios asociado. Veamos que si i = j entonces Vi ⊥ Vj . Sean x e y las coordenadas de dos vectores en Vi y Vj respectivamente. Entonces xA = λi x, yA = λj y, luego Ay t = λj y t . Multiplicando obtenemos λi xy t = xAy t = λj xy t . Puesto que λi = λj ha de ser xy t = 0, lo que prueba que los vectores correspondientes son ortogonales. Sea W = V1 ⊥ · · · ⊥ Vr . Veamos que h[W ⊥ ] ⊂ W ⊥ . En efecto, sea v ∈ W ⊥ . Sean x las coordenadas de v e y las coordenadas de un vector de Vi . Entonces xy t = 0 y yA = λi y, luego xAy t = λi xy t = 0. Como xA son las coordenadas de h(v), concluimos que h(v) es ortogonal a cada Vi , luego a W . Esto prueba que h puede restringirse a un endomorfismo de W ⊥ . Es f´cil ver a que la matriz de h en cualquier base ortonormal es sim´trica (basta probar que e toda matriz de la forma M AM t lo es). Si W ⊥ = 0, la matriz de h|W ⊥ en una base ortonormal ser´ sim´trica (basta completarla hasta una base ortonormal a e de V y usar que la matriz de h en esta base lo es). Aplicando lo ya probado llegamos a que h tiene un vector propio en W ⊥ , pero esto es absurdo, pues todos los vectores propios de h est´n en W . As´ pues, W ⊥ = 0 y V = W ⊥ W ⊥ = W . a ı Ahora basta tomar una base ortonormal en cada Vi y unirlas todas. Equivalentemente, hemos probado que toda matriz sim´trica es semejante e a una matriz diagonal y, m´s a´n, que la matriz de semejanza puede tomarse a u ortogonal (pues transforma una base ortonormal en otra base ortonormal). En t´rminos de los invariantes de una matriz, lo que hemos probado es que e las matrices sim´tricas reales tienen todos sus divisores elementales de grado 1, e por lo que la dimensi´n del espacio fundamental de un valor propio es su mul- o tiplicidad en el polinomio caracter´ıstico. Ahora probamos el resultado que nos interesa: Teorema 9.8 Sea F una forma bilineal sim´trica en un espacio vectorial eucl´ e ı- deo. Entonces existe una base ortonormal de V que es ortogonal para F . Demostracion: Sea A la matriz de F en una base ortonormal de V , que ´ ser´ sim´trica. Sea h el endomorfismo de V que en dicha base tiene matriz a e A. Por el teorema anterior V tiene una base e1 , . . ., en formada por vectores propios de h, es decir, si llamamos x1 , . . ., xn a sus coordenadas en la base
- 268. 256 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o original, xi A = λi xi , luego si i = j se cumple F (ei , ej ) = xi Axt = λi xi xt = 0, j j luego la base es ortogonal para F . As´ pues, dada una matriz sim´trica real A, podemos considerar un espacio ı e eucl´ ıdeo y en ´l una forma bilineal que tenga matriz A en una base ortonormal. e Si B es la matriz de F en la base dada por el teorema anterior, tenemos que B es diagonal y B = M AM t , donde M es la matriz del cambio de base entre dos bases ortonormales, luego es ortogonal, luego M t = M −1 . Esto significa que las matrices A y B son semejantes, luego los coeficientes de la diagonal de B son los valores propios de A. En resumen: Teorema 9.9 Dada una matriz sim´trica real A, la matriz diagonal B formada e con los valores propios de A (repetidos seg´n su multiplicidad en el polinomio u caracter´ ıstico) es congruente con A (y la matriz de congruencia puede tomarse ortogonal). Por lo tanto la signatura de A es el n´mero de valores propios u positivos. 9.2 C´nicas proyectivas y afines o Aunque en la secci´n 4.8 hemos definido las c´nicas en el contexto de un o o plano af´ eucl´ ın ıdeo, es decir, mediante propiedades que involucran distancias, en realidad podemos llegar a las mismas curvas mediante una definici´n v´lida o a en cualquier plano af´ Una primera aproximaci´n ser´ la definici´n siguiente, ın. o ıa o basada en las formas can´nicas que hemos obtenido para las c´nicas en el teo- o o rema 4.36: Definici´n 9.10 Una c´nica af´ (real) es un conjunto de puntos del plano af´ o o ın ın (real) que en un sistema de referencia arbitrario satisfacen una ecuaci´n de la o forma a x2 + b y 2 + d xy + e x + f y + c = 0 (9.1) con alguno de los coeficientes a, b, d no nulo. Observemos que esta definici´n no depende del sistema de referencia consi- o derado, es decir, que un conjunto de puntos verifica una ecuaci´n de tipo (9.1) o en un sistema de referencia si y s´lo si verifica otra (no la misma) respecto de o otro sistema de referencia cualquiera. Esto se debe a que las coordenadas de un punto respecto de dos sistemas de referencia dados est´n relacionados por a ecuaciones de la forma x = p + rx + sy , y = q + tx + uy , ru − st = 0, y es claro que al sustituir estas ecuaciones en (9.1) obtenemos otra ecuaci´n o del mismo tipo. Igualmente concluimos que la imagen de una c´nica por una o biyecci´n af´ es de nuevo una c´nica. o ın o Tambi´n es obvio que las c´nicas en el sentido de la definici´n 4.35 son c´nicas e o o o en este sentido general, incluidas las circunferencias, que admiten ecuaciones
- 269. 9.2. C´nicas proyectivasy afines o 257 de la forma x2 + y 2 = r2 . Sin embargo, no es cierto que toda c´nica en el o sentido de 9.10 lo sea tambi´n en el sentido de 4.35. Por ejemplo, es obvio e que, seg´n 9.10, la ecuaci´n xy = 0 define una c´nica que est´ formada por dos u o o a rectas, mientras que x2 + y 2 = 0 define una c´nica formada por un solo punto. o No obstante, enseguida veremos c´mo se pueden excluir estos casos triviales y o determinar las ecuaciones de tipo (9.1) que definen realmente elipses, par´bolas a o hip´rbolas. e Antes de ocuparnos de esta cuesti´n, vamos a introducir el concepto de o c´nica en un plano proyectivo, que no es sino una ligera modificaci´n de la o o definici´n anterior: o Definici´n 9.11 Sea X un plano proyectivo real. Una c´nica en X es un o o conjunto de puntos caracterizado por que sus coordenadas en un cierto sistema de referencia satisfacen una ecuaci´n de la forma o a x2 + b y 2 + c z 2 + d xy + e xz + f yz = 0 (9.2) con alg´n coeficiente no nulo. u Notemos que si un punto tiene coordenadas homog´neas (x, y, z) respecto de e un sistema de referencia dado, cualquier terna (λx, λy, λz) con λ = 0 es tambi´n e una terna de coordenadas homog´neas para el mismo punto, pero es claro que e la primera satisface la ecuaci´n (9.2) si y s´lo si lo hace la segunda, es decir, o o que el hecho de que las coordenadas homog´neas de un punto cumplan o no la e ecuaci´n es independiente de la elecci´n concreta de ´stas. o o e Notemos tambi´n que toda ecuaci´n de la forma (9.2) se puede expresar e o matricialmente como XAX t = 0, para una cierta matriz sim´trica A. Basta e tomar a d/2 e/2 A = d/2 b f /2 . e/2 f /2 c Rec´ ıprocamente, toda matriz sim´trica A no nula define una c´nica de ecuaci´n e o o XAX t = 0. Dados dos sistemas de referencia proyectivos en X, las coordenadas de un mismo punto entre ambos sistemas est´n relacionadas por una ecuaci´n de la a o forma X = X M , para una cierta matriz regular M , luego los puntos de una c´nica que en un sistema de referencia est´ asociada a una matriz A, en el otro o a son los puntos de la c´nica dada por X M AM t X t = 0. Esto prueba que la o definici´n anterior no depende del sistema de referencia, en el sentido de que si o una curva satisface la ecuaci´n (9.2) respecto de un sistema de referencia con o matriz A, entonces en cualquier otro sistema de referencia satisfar´ una ecuaci´n a o an´loga con matriz M AM t . An´logamente se razona que la imagen de una a a c´nica por una homograf´ es una c´nica. Adem´s, dos matrices corresponden o ıa o a a la misma c´nica en dos sistemas de referencia proyectivos (o a una c´nica y a o o su imagen por una homograf´ si y s´lo si son congruentes. ıa) o
- 270. 258 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Al igual que sucede con la definici´n de c´nica af´ la de c´nica proyectiva o o ın, o tambi´n incorpora algunos casos triviales que conviene excluir. Para identifi- e carlos empezamos observando que, dada una c´nica proyectiva con matriz A, o el teorema 9.5 nos da que A es congruente con una unica matriz diagonal cuya ´ diagonal est´ formada por ceros, unos y menos unos, y esto equivale a que, a cambiando de sistema de referencia (o, equivalentemente, aplicando una homo- graf´ podemos transformar una ecuaci´n general de tipo (9.2) en una de las ıa), o siguientes: x2 + y 2 + z 2 = 0, x2 + y 2 − z 2 = 0, x2 + y 2 = 0, x2 − y 2 = 0, x2 = 0. (Notemos que no hace falta considerar, por ejemplo, −x2 − y 2 = 0 porque es equivalente a la tercera ecuaci´n de la lista anterior.) o La primera ecuaci´n no la cumple ning´n punto, la tercera la cumple s´lo el o u o punto (0, 0, 1), la cuarta la cumplen los puntos de las rectas x + y = 0, x − y = 0 y la quinta la cumplen los puntos de la recta x = 0. Los tres ultimos casos se ´ distinguen de los dos primeros por que la matriz A es singular. As´ pues, el ı unico caso no trivial es el segundo. ´ Concluimos que hay cinco tipos de c´nicas proyectivas. Para distinguirlos o introducimos el concepto de ´ ındice de una matriz sim´trica real A: Si A tiene e rango r y signatura s, el ´ ınimo entre s y r − s. De este modo, ındice de A es el m´ dos matrices A y B tienen el mismo rango y el mismo ´ ındice si y s´lo si A es o congruente con ±B. Esto nos da la siguiente clasificaci´n de las c´nicas: o o Rango ´ Indice Ecuaci´n o Tipo 2 2 2 3 0 x +y +z =0 Imaginaria 3 1 x2 + y 2 − z 2 = 0 Real 2 0 x2 + y 2 = 0 Punto 2 1 x2 − y 2 = 0 Dos rectas 1 0 x2 = 0 Recta Las c´nicas propiamente dichas son las que hemos llamado “reales”. Las o c´nicas imaginarias son vac´ o ıas. Dos c´nicas del mismo tipo est´n inducidas o a por matrices congruentes, luego existe una homograf´ que transforma una en ıa otra. Enseguida veremos que las c´nicas reales tienen m´s de un punto pero no o a contienen rectas, de donde se sigue que una c´nica no puede ser de dos tipos a o la vez, y que, de hecho, dos c´nicas son del mismo tipo si y s´lo si existe una o o homograf´ que transforma una en otra. El tipo de una c´nica queda, pues, ıa o determinado por el rango y el ´ındice de una cualquiera de sus matrices. Las c´nicas de rango menor que tres se llaman degeneradas. Mientras no o indiquemos lo contrario, la palabra “c´nica” la reservaremos para las c´nicas o o reales. As´ desde un punto de vista proyectivo, todas las c´nicas son iguales. ı, o Teorema 9.12 Por cinco puntos no alineados tres a tres pasa una unica c´nica. ´ o
- 271. 9.2. C´nicas proyectivasy afines o 259 Demostracion: Podemos tomar a cuatro de los puntos como sistema de re- ´ ferencia, de modo que sus coordenadas ser´n (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (1, 1, 1). a Sea A la matriz en este sistema de una c´nica que pase por los cinco puntos. o Para que pase por los tres primeros ha de ser de la forma 0 a b A = a 0 c . b c 0 Para que pase por (1, 1, 1) ha de cumplirse la ecuaci´n a + b + c = 0. Para o que A sea regular ha de ser abc = 0. Puesto que podemos sustituir la matriz A por un m´ltiplo sin que ello var´ la c´nica que define, podemos suponer b = 1. u ıe o En definitiva ha de ser 0 a 1 A= a 0 −1 − a , con a = 0, −1. 1 −1 − a 0 El quinto punto tendr´ coordenadas (x, y, z). La c´nica pasar´ por ´l si y a o a e s´lo si o yz − xz a= . xy − yz No puede ocurrir que xy − yz = 0, pues esto implica que el quinto punto est´ a en la recta y = 0 o en la recta x − z = 0, luego estar´ alineado con (0, 0, 1) ıa y (1, 0, 1) o bien con (0, 1, 0) y (1, 1, 1). Por el mismo motivo no puede ocurrir que el valor de a as´ determinado sea 0 o −1. ı El teorema anterior prueba adem´s que dos matrices corresponden a la a misma c´nica real si y s´lo si se diferencian en un factor constante. Una variante o o de la prueba anterior nos da el hecho siguiente, que ya hab´ ıamos comentado: Teorema 9.13 Una c´nica no contiene tres puntos colineales. o Demostracion: Puesto que todas las c´nicas son proyectivamente equiva- ´ o lentes (transformables mediante homograf´ ıas) el teorema anterior prueba que toda c´nica contiene cinco puntos no colineales tres a tres. Si contuvieran tres o puntos colineales A, B, C, podr´ ıamos tomar dos puntos m´s D y E de modo a que B, C, D, E fueran no colineales tres a tres. Tomamos un sistema de refe- rencia respecto al cual los cuatro ultimos puntos tengan coordenadas (1, 0, 0), ´ (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (1, 1, 1). Si el primer tiene coordenadas (x, y, z), los c´lculos a del teorema anterior muestran que la matriz de la c´nica en este sistema de o referencia tiene determinante nulo. Con esto termina la prueba de que los cinco tipos de c´nicas que hemos o distinguido son disjuntos dos a dos. Nuestra definici´n de c´nica vale igual para planos proyectivos complejos. o o Los tipos posibles de c´nicas dependen s´lo del rango de la matriz asociada. o o Las formas can´nicas son: o x2 + y 2 + z 2 = 0, x2 + y 2 = 0, x2 = 0.
- 272. 260 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o El primer tipo es una c´nica propiamente dicha (no degenerada), el segundo o es el par de rectas x − iy = 0 y x + iy = 0, el tercero es la recta x = 0. Luego las unicas c´nicas no triviales son nuevamente las no degeneradas. ´ o Veamos ahora la relaci´n entre las c´nicas proyectivas y las c´nicas afines o o o definidas al principio de esta secci´n. o Si fijamos una recta infinita r en el plano proyectivo X y consideramos el espacio af´ E = X r, sabemos que cada sistema de referencia af´ en ın ın E determina un sistema de referencia en X respecto al cual las coordenadas cartesianas (x, y) se corresponden con las coordenadas homog´neas (x, y, 1) y la e recta infinita r tiene ecuaci´n z = 0. Entonces, un punto finito (x, y, 1) cumple o la ecuaci´n (9.2) si y s´lo si sus coordenadas afines (x, y) cumplen la ecuaci´n o o o (9.1). Rec´ıprocamente, todo plano af´ E puede completarse hasta un plano ın proyectivo X, por lo que cada c´nica af´ dada por una ecuaci´n (9.1) puede o ın o extenderse a una c´nica proyectiva que cumpla la ecuaci´n correspondiente (9.2). o o Notemos que en la definici´n 9.10 hemos exigido que la ecuaci´n (9.1) tuviera o o no nulo alguno de los coeficientes a, b, d, pero es que si los tres son nulos entonces la correspondiente c´nica proyectiva es degenerada, luego con ello s´lo o o est´bamos eliminando por adelantado algunos de los casos triviales. Observemos a tambi´n que cualquier c´nica proyectiva degenerada se restringe a una c´nica e o o af´ trivial, pues si, por ejemplo, est´ formada por dos rectas, su restricci´n ın a o tambi´n estar´ formada por dos rectas (o por una, si es que la otra era la e a recta infinita, aunque entonces no cumplir´ el requisito de que abd = 0). Por a lo tanto, si consideramos unicamente c´nicas reales, la restricci´n a E de una ´ o o c´nica proyectiva es una c´nica af´ y, rec´ o o ın ıprocamente, toda c´nica af´ no trivial o ın se extiende a una c´nica proyectiva. o Ahora vamos a probar que el concepto de c´nica real es equivalente al con- o cepto de c´nica definido en la secci´n 4.8, es decir, que no introduce ninguna o o curva que no sea una elipse, una hip´rbola o una par´bola. Para comparar e a ambas definiciones hemos de partir de un plano af´ eucl´ın ıdeo E, que comple- tamos hasta un plano proyectivo X. Consideremos una c´nica af´ en E cuya o ın extensi´n a X no sea degenerada (aunque admitimos que pueda ser imaginaria, o y as´ llegaremos a un criterio sencillo para determinar cu´ndo una c´nica no ı a o degenerada es real y cu´ndo imaginaria). a Fijemos un sistema de referencia ortonormal en E respecto al cual la ecuaci´n o de la c´nica sea (9.1). Vamos a reducirla a una forma can´nica aplicando iso- o o metr´ (o, equivalentemente, pasando a otro sistema de referencia ortonormal). ıas La matriz asociada a la compleci´n proyectiva es o a d/2 e/2 A = d/2 b f /2 . e/2 f /2 c Observemos que la submatriz A0 formada por las dos primeras filas y co- lumnas es no nula, pues de lo contrario la c´nica ser´ degenerada. En virtud o ıa del teorema 9.9, existe una matriz ortogonal M tal que M A0 M t es diagonal. El
- 273. 9.2. C´nicas proyectivasy afines o 261 cambio de coordenadas (x, y) = (x , y )M corresponde a una isometr´ en E que transforma ıa x ax2 + by 2 + dxy = (x, y)A0 y en ux 2 + vy 2 , donde u y v son los valores propios de A0 . Por lo tanto, transforma (9.1) en una ecuaci´n de la forma o a x2 + b y 2 + e x + f y + c = 0, donde los coeficientes a, b, e, f , c son distintos de los de la ecuaci´n original. o Si a = 0, observamos que ax2 + ex = a(x + e/2a)2 − e2 /4a, luego la traslaci´n o x = x + e/2a transforma la ecuaci´n en otra de la forma o a x2 + b y 2 + f y + c = 0. Si b = 0 podemos hacer igualmente f = 0. Como a y b no pueden ser simult´neamente nulos, podemos acabar con una de estas dos ecuaciones: a ax2 + by 2 + c = 0, by 2 + ex + c = 0. (9.3) En el primer caso a, b y c han de ser no nulos, o la c´nica ser´ degenerada. o ıa Distinguimos varios casos: • Si a, b y c tienen el mismo signo la c´nica es imaginaria. Notemos que po- o demos suponer que los tres coeficientes son positivos y entonces la ecuaci´n o equivale a 2 2 x y − − = 1. c/a c/b • En otro caso, si a y b son ambos negativos, podemos cambiar el signo para que sean ambos positivos, y entonces c es negativo. La ecuaci´n o equivale entonces a la de una elipse (incluyendo la posibilidad de que sea una circunferencia) en forma can´nica: o 2 2 x y + = 1. −c/a −c/b • Si a y b tienen signos distintos (intercambiando x e y si es necesario, lo cual es una isometr´ podemos suponer que b y c son negativos, con lo ıa), que tenemos la hip´rbola e 2 2 x y − = 1. −c/a c/b
- 274. 262 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Por ultimo, en la segunda ecuaci´n ha de ser e = 0 o la c´nica ser´ degene- ´ o o ıa rada. La traslaci´n x = x − c/e la convierte en o by 2 + ex = 0, que claramente es equivalente a y 2 = −(e/b)x, correspondiente a una par´bola. a Con esto hemos demostrado: Teorema 9.14 Las c´nicas en el sentido de la definici´n 4.35 coinciden con o o las c´nicas afines reales. o En efecto, hemos probado que, pasando de un sistema de referencia ortonor- mal a otro la ecuaci´n pasa a ser una de las ecuaciones can´nicas que hab´ o o ıamos encontrado para cada tipo de c´nica eucl´ o ıdea. Equivalentemente, hemos pro- bado que toda c´nica af´ no degenerada en un plano eucl´ o ın ıdeo se puede trans- formar mediante una isometr´ en una dada por una de las cuatro ecuaciones ıa x2 y2 x2 y2 x2 y2 − − 2 = 1, + 2 = 1, − 2 = 1, y 2 = 4px. a2 b a2 b a2 b Si estamos dispuestos a considerar biyecciones afines en general y no s´loo isometr´ (o, equivalentemente, sistemas de referencia afines cualesquiera, sin ıas tener en cuenta ninguna estructura eucl´ıdea en el plano), las cuatro ecuaciones anteriores (que en realidad son infinitas, pues hay una para cada elecci´n de a, o b y p) se transforman en −x2 − y 2 = −1, x2 + y 2 = 1, x2 − y 2 = 1, y2 = x mediante la transformaci´n (x , y ) = (x/a, x/b) en los tres primeros casos y o x = 4px en el tercero. Por consiguiente, hay tres familias de c´nicas eucl´ o ıdeas salvo isometr´ pero solo tres c´nicas (reales) afines salvo biyecci´n af´ ıa o o ın. Es posible saber a qu´ tipo corresponde una c´nica dada sin necesidad de e o encontrar el cambio oportuno de sistema de referencia. Para ello observamos que si en la ecuaci´n (9.2) hacemos z = 0 obtenemos la ecuaci´n a x2 +b y 2 +d xy = 0, o o que representa los puntos de intersecci´n de la c´nica con la recta infinita z = 0. o o La figura formada por estos puntos es el an´logo a una c´nica en dimensi´n 1, a o o y est´ asociada a la submatriz A0 . Una afinidad de E (vista como homograf´ a ıa en X) se restringe a una homograf´ en X, que transformar´ la intersecci´n en ıa a o otra figura determinada por una ecuaci´n similar asociada a una matriz 2 × 2 o congruente con A0 (multiplicada por un escalar no nulo). Por consiguiente, el rango y el ´ ındice de esta submatriz (o s´lo el rango si el plano proyectivo es o complejo) son invariantes afines, es decir, se conservan al aplicar afinidades a las c´nicas. Los llamaremos rango e ´ o ındice reducidos de la c´nica af´ dada. o ın Por supuesto, el rango y la signatura de toda la c´nica (de toda la matriz A) o se conservan por homograf´ luego en particular por afinidades, y son tambi´n ıas, e invariantes afines. La tabla siguiente contiene los cuatro invariantes para las cuatro ecuaciones a las que hemos reducido la ecuaci´n general (bajo la hip´tesis de que fuera no o o degenerada).
- 275. 9.2. C´nicas proyectivasy afines o 263 R i R0 i0 Ecuaci´n o Tipo 3 0 2 0 −x − y = 1 2 2 Imaginaria 3 1 1 0 x = y2 Par´bola a 3 1 2 0 x2 + y 2 = 1 Elipse 3 1 2 1 x2 − y 2 = 1 Hip´rbola e Vemos que conociendo los invariantes sabemos el tipo de c´nica correspon- o diente a una ecuaci´n dada de rango m´ximo. Seg´n anunci´bamos, hemos o a u a incluido las c´nicas imaginarias en la discusi´n porque as´ hemos obtenido un o o ı criterio sencillo para determinar si una ecuaci´n dada corresponde a una c´nica o o real o imaginaria. Aunque hemos obtenido x2 − y 2 = 1 como forma can´nica para la hip´rbola, o e aplicando la afinidad (x , y ) = (x + y, x − y) podemos transformarla en xy = 1, que a menudo resulta m´s manejable. a Con esto tenemos probado que el concepto de c´nica proyectiva (real) se o corresponde exactamente con las c´nicas eucl´ o ıdeas propiamente dichas (elipses, par´bolas e hip´rbolas), sin a˜adir ninguna otra clase de curva, pero de tal a e n forma que cualquier c´nica puede transformarse en cualquier otra mediante una o homograf´ıa. Ahora observamos que, fijada una recta infinita, hay otra forma de distinguir los tres tipos de c´nicas: o Teorema 9.15 Sea X un plano proyectivo real y sea E = X r un plano af´ ın resultante de fijar una recta infinita r en E. Entonces una c´nica af´ en E o ın es una elipse, una par´bola o una hip´rbola si y s´lo si corta a r en 0, 1 o 2 a e o puntos. Demostracion: El n´mero de puntos que una c´nica tenga en la recta ´ u o infinita no depende del sistema de referencia af´ en que expresemos su ecuaci´n, ın o luego basta considerar las tres ecuaciones can´nicas de la tabla anterior. Para la o elipse tenemos x2 + y 2 = 1, que se completa hasta la c´nica proyectiva x2 + y 2 = o z 2 , cuyos puntos infinitos son los puntos de coordenadas homog´neas (x, y, 0) e que cumplen x2 + y 2 = 0. Esta ecuaci´n implica x = y = 0, pero las tres o coordenadas homog´neas no pueden ser nulas, luego la elipse no tiene puntos e infinitos. Para la par´bola tenemos la ecuaci´n proyectiva xz = y 2 , y sus puntos a o infinitos cumplen y 2 = 0, luego el unico es (0, 1, 0). ´ Para la hip´rbola tenemos la ecuaci´n x2 − y 2 = z 2 , cuyos puntos infinitos e o cumplen (x + y)(x − y) = 0, luego ha de ser x = ±1, lo que s´lo lo cumplen dos o puntos: (1, ±1, 0). Notemos que si consider´ramos una c´nica imaginaria, su ecuaci´n proyec- a o o tiva es −x2 − y 2 = z 2 y sus puntos infinitos tendr´ que cumplir −x2 − y 2 = 0, ıan luego tampoco hay. Por ello se habla m´s precisamente de elipses imaginarias, a es decir, convendremos en considerar las c´nicas imaginarias como elipses. o
- 276. 264 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o La idea que subyace en el teorema anterior es que, desde el punto de vista proyectivo, todas las c´nicas son elipses. Una hip´rbola es una elipse de la que o e —por el sistema de referencia que estamos considerando— vemos dos puntos de menos, y por eso la vemos “partida” en dos mitades, mientras que una par´bola a es una elipse de la que vemos un punto de menos, y por eso la vemos “abierta”, aunque de una sola pieza. Ejemplo Consideremos la c´nica de ecuaci´n o o x2 + 3y 2 − 4xy + 2x + 4y + 4 = 0. En coordenadas homog´neas es x2 + 3y 2 − 4xy + 2xz + 4yz + 4z 2 = 0. e Calculando el determinante de la matriz asociada vemos que no es degenerada. Haciendo z = 0 obtenemos la ecuaci´n de sus puntos infinitos: x2 −4xy+3y 2 = 0. o Como y = 0 es claramente imposible podemos hacer y = 1, con lo que obtenemos x2 − 4x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = 1, 3. As´ pues, la c´nica pasa por los ı o puntos infinitos (1, 1, 0) y (3, 1, 0) y es, por lo tanto, una hip´rbola. e 9.3 La polaridad de una c´nica o En esta secci´n vamos a considerar un plano proyectivo P sobre un cuerpo o arbitrario de caracter´ ıstica distinta de 2. Utilizaremos la siguiente definici´no provisional de c´nica, que m´s adelante sustituiremos por otra m´s restrictiva. o a a Notemos que es satisfecha por las c´nicas reales en un plano proyectivo real, por o lo que todo cuando deduzcamos de esta definici´n ser´ aplicable en particular o a al caso que ven´ıamos considerando hasta ahora. Definici´n 9.16 Una c´nica en un plano proyectivo P es el conjunto C de o o los puntos de P cuyas coordenadas respecto de un sistema de referencia dado satisfacen una ecuaci´n de la forma XAX t = 0, para cierta matriz regular o sim´trica A. Supondremos adem´s que es no trivial en el sentido de que contenga e a al menos cuatro puntos no colineales. Las observaciones siguientes a la definici´n 9.11 son v´lidas en general: cam- o a biar de sistema de referencia equivale a cambiar la matriz A por otra matriz congruente. La matriz A define una polaridad p en P que es independiente del sistema de referencia, pues si pasamos a otro, tanto la matriz de la c´nica como la de o la polaridad se transforman en otra congruente a trav´s de la misma matriz. e Si un punto Q tiene coordenadas X, entonces p(Q) es la recta formada por los puntos cuyas coordenadas Y satisfacen XAY t = 0, luego un punto Q est´ en C a si y s´lo si Q ∈ p(Q), es decir, si y s´lo si pertenece a su recta polar. o o Consideremos ahora dos puntos distintos P y Q con coordenadas homog´neas e X e Y . Los puntos de la recta R que pasa por X e Y son los de la forma λX +Y ,
- 277. 9.3. La polaridadde una c´nica o 265 donde s´lo estamos perdiendo el propio punto X, que no se corresponde con o ning´n valor de λ. Uno de estos puntos estar´ en la c´nica si y s´lo si cumple u a o o (λX + Y )A(λX + Y )t = 0, es decir, λ2 XAX t + 2λXAY t + Y AY t = 0. Si P ∈ C, entonces la ecuaci´n de segundo grado el λ puede tener dos / o soluciones, una sola o ninguna, luego cada recta R corta a la c´nica a lo sumo o en dos puntos. Esto nos lleva a la definici´n siguiente: o Definici´n 9.17 Una recta es tangente a una c´nica si la corta en un solo o o punto, y es secante si la corta en dos puntos. Continuando el razonamiento anterior, supongamos que el punto P est´ en a la c´nica, con lo que XAX t = 0. Vemos entonces que la ecuaci´n anterior nos o o da un unico valor de λ correspondiente a otro punto de la recta R que corta a ´ la c´nica, salvo si XAY t = 0, es decir, salvo si Q ⊂ p(P ). As´ pues la recta o ı polar de un punto P ∈ C es la unica tangente a C que pasa por P , mientras que ´ cualquier otra recta que pasa por P es secante a C. El teorema siguiente resume lo que hemos obtenido y alg´n hecho adicional: u Teorema 9.18 Sea C una c´nica en un plano proyectivo P. o 1. Cada recta corta a C a lo sumo en dos puntos. 2. Por cada punto P ∈ C pasa una unica recta tangente a C, mientras que ´ las restantes son secantes. 3. Existe una unica polaridad pC en P que a cada punto P ∈ C le hace co- ´ rresponder la recta tangente a C por P. La llamaremos polaridad asociada a C. 4. Un punto P est´ en P si y s´lo si es autopolar, es decir, si y s´lo si a o o P ⊂ pC (P ). 5. El polo de una recta secante a C es la intersecci´n de las tangentes en los o puntos de corte. Demostracion: La unicidad de la polaridad de una c´nica se debe a que ´ o estamos suponiendo que C contiene cuatro puntos no colineales, y dos polari- dades p y p que coincidan sobre un sistema de referencia proyectivo han de ser iguales, pues p ◦ p es una homograf´ que fija a un sistema de referencia, luego ıa es la identidad. S´lo falta demostrar la ultima propiedad, que se sigue de las propiedades o ´ b´sicas de las polaridades: como la recta pasa por los puntos de corte, las a polares de estos puntos (es decir, las rectas tangentes) han de pasar por el polo de la recta.
- 278. 266 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Ejemplo Vamos a calcular la recta tangente a la elipse x2 + y2 = 1 3 por el punto (x, y) = ( 8/3, 1). Para ello consideramos sus coordenadas ho- mog´neas ( 8/3, 1, 1) y las multiplicamos por la matriz de la elipse: e 1/3 0 0 ( 8/3, 1, 1) 0 1 0 = ( 8/27, 1/3, −1). 0 0 −1 La ecuaci´n de la recta tangente es 8/27x + (1/3)y − z = 0, que en coor- o denadas afines es 8/27x + (1/3)y − 1 = 0 o, equivalentemente, y =3− 8/3x. En los t´rminos que acabamos de introducir, tenemos que la recta infinita e es tangente a las par´bolas y es secante a las hip´rbolas, mientras que no corta a e a las elipses. Definici´n 9.19 Las tangentes a una hip´rbola por sus puntos infinitos se lla- o e man as´ ıntotas. El centro de una c´nica es el polo de la recta infinita. o As´ el centro de una c´nica es un punto infinito si y s´lo si pertenece a ı, o o su propia recta polar, lo cual equivale a que est´ en la c´nica y a que la recta e o infinita sea tangente, es decir, a que la c´nica sea una par´bola. Las elipses y las o a hip´rbolas, por el contrario tienen el centro finito. En el caso de una hip´rbola, e e como la recta infinita es secante, su polo es el punto en el que se cortan las tangentes por los puntos de corte, es decir, el centro de una hip´rbola es el e punto donde se cortan sus as´ ıntotas. Tenemos as´ una definici´n af´ del centro de una c´nica, mientras que la ı o ın o definici´n que ten´ o ıamos hasta ahora era eucl´ ıdea (lo hab´ ıamos definido como el punto medio de los focos, y la noci´n de punto medio es af´ pero la de foco o ın, no). El lector puede comprobar que la nueva definici´n de centro coincide con o la anterior sin m´s que calcular la polar de la recta infinita para las ecuaciones a can´nicas del teorema 4.36 y comprobar que obtiene (0, 0) para las elipses y las o hip´rbolas y el punto infinito de tangencia (1, 0, 0) para la par´bola. e a Ahora sabemos, por ejemplo, que cualquier biyecci´n af´ transforma el cen- o ın tro de una c´nica en el centro de la imagen. o
- 279. 9.3. La polaridadde una c´nica o 267 Ejemplo Consideremos de nuevo la hip´rbola de ecuaci´n e o x2 + 3y 2 − 4xy + 2x + 4y + 4 = 0. Ya hemos visto que sus puntos infinitos son (1, 1, 0) y (3, 1, 0). Su centro es el punto (x, y, 1) cuya recta polar tiene coordenadas (0, 0, a), es decir 1 −2 1 (x, y, z) −2 3 2 = (0, 0, a), 1 2 2 lo que se traduce en las ecuaciones x − 2y + z = 0 −2x + 3y + 2z = 0 La soluci´n es (7, 4, 1). En coordenadas cartesianas el centro es (7, 4). o Las as´ ıntotas son las polares de los puntos infinitos: 1 −2 1 x (1, 1, 0) −2 3 2 y = 0, 1 2 2 z 1 −2 1 x (3, 1, 0) −2 3 2 y = 0, 1 2 2 z Al desarrollar obtenemos −x + y + 3z = 0 y x − 3y + 5z = 0. Las ecuaciones cartesianas son, pues, 1 5 y = x − 3, y = x + . 3 3 Para representar gr´ficamente la hip´rbola conviene parametrizarla del modo a e siguiente. Tomamos uno cualquiera de sus puntos, por ejemplo (1, 1, 0) y consi- deramos el haz de rectas que pasa por ´l. Se trata del haz de rectas paralelas a e ıntota por este punto, es decir, y = x + m − 3, donde el par´metro m var´ la as´ a ıa en R. La constante −3 hace que para m = 0 tengamos la as´ ıntota, mientras que para los dem´s valores la recta correspondiente corta a la hip´rbola en un unico a e ´ punto finito (porque ha de ser secante y uno de los puntos de corte es infinito), que puede calcularse resolviendo el sistema formado por la ecuaci´n de la recta o y la de la c´nica. El resultado es o −3m2 + 14m − 19 −m2 + 8m − 19 , 2m 2m Cuando m recorre los intervalos ]−∞, 0[ y ]0, +∞[ la expresi´n anterior nos o da cada una de las dos ramas de la hip´rbola. e
- 280. 268 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o 40 30 20 10 -20 -10 10 20 30 40 -10 -20 Ejercicio: Demostrar que una par´bola no puede tener pares de tangentes paralelas, a y que por el centro de una elipse o una hip´rbola no pasan tangentes, salvo las as´ e ıntotas en el caso de una hip´rbola. e Ejercicio: Demostrar a partir de las ecuaciones can´nicas que la directriz de una o c´nica es la polar de su foco correspondiente. o 9.4 El teorema de Steiner El tratamiento algebraico de las c´nicas que hemos desarrollado hasta aqu´ es o ı bastante agil en el caso de planos reales y complejos, pero es poco adecuado para ´ otros cuerpos. Adem´s depende fuertemente de los sistemas de coordenadas. En a esta secci´n veremos que las c´nicas se pueden caracterizar geom´tricamente de o o e un modo muy simple, lo que permite desarrollar gran parte de la teor´ sobre ıa cuerpos arbitrarios y de forma mucho m´s intuitiva. Necesitamos algunas pro- a piedades sobre haces de rectas. En primer lugar sus expresiones en coordenadas: En un plano proyectivo X, consideremos el haz de rectas de centro un ´ punto O. Lo representaremos por HO . Este est´ determinado por dos cua- a lesquiera de sus rectas, digamos r y r . Fijemos un sistema de referencia, de modo que las rectas tengan ecuaciones ax + by + cz = 0 y a x + b y + c z = 0. Consideremos la polaridad p asociada al sistema de referencia, esto es, la que en ´l tiene matriz identidad. Entonces p(r) y p(r ) son los puntos A(a, b, c) y e B(a , b , c ). La polaridad biyecta HO con los puntos de la recta p(O). Las coordenadas homog´neas de un punto cualquiera de p(O) = AB son las dadas e por (a, b, c) + λ(a , b , c ), donde λ ∈ K ∪ {∞}, entendiendo que λ = ∞ se corresponde con el punto (a , b , c ). Volviendo a aplicar p concluimos que los miembros de HO son las
- 281. 9.4. El teoremade Steiner 269 rectas de ecuaci´n o (ax + by + cz) + λ(a x + b y + c z) = 0, con λ ∈ K ∪ {∞}. o ¯ Una homograf´ H ∈ GP(X) induce una biyecci´n H : HO −→ HH(O) dada ıa por r → H[r]. A una biyecci´n de este tipo la llamaremos una homograf´ entre o ıa los haces de rectas. Sean O y O dos puntos cualesquiera y r, r dos rectas tales que O no est´ en r y O no est´ en r . Veamos que existe una correspondencia natural e e entre las homograf´ HO −→ HO y las homograf´ r −→ r . Concretamente, ıas ıas a cada homograf´ H entre los haces le corresponde la homograf´ dada por ıa ıa P → H(OP ) ∩ r . Su inversa asigna a cada homograf´ H entre las rectas la ıa dada por s → O H(s ∩ r). En efecto, es obvio que ambas correspondencias son una inversa de la otra, luego s´lo hay que probar que las aplicaciones as´ definidas son realmente ho- o ı ıas. ¯ mograf´ Sea H una homograf´ entre los haces y sea s = H[r]. La proyecci´n ıa o perspectiva de s en r de centro O se extiende a una perspectividad f de centro O . Como fija a las rectas que pasan por O es claro que la homograf´ H ◦ f ıa induce la misma homograf´ entre los haces de rectas, pero adem´s transforma ıa a r en r . Por lo tanto podemos suponer que H[r] = r . En tal caso, la aplicaci´n o que hemos definido entre r y r es simplemente la restricci´n de H, luego es una o homograf´ ıa. Rec´ıprocamente, si H : r −→ r es una homograf´ tomamos un sistema de ıa, referencia formado por O, dos puntos A, B en r y un cuarto punto D. Por otra parte, consideramos el sistema de referencia formado por O , H(A), H(B), D , donde D es cualquier punto de la recta O H(D ∩ r) no contenido en r. Sea H la homograf´ del plano que transforma un sistema de referencia en otro. ıa Entonces H induce una homograf´ entre los haces de rectas y ´sta a su vez ıa e induce una homograf´ de r en r que coincide en tres puntos con la dada, luego ıa ¯ es la dada. Es claro que H es la aplicaci´n que le hemos asignado a H. o En particular esto implica que dadas tres rectas en un haz HO , existe una unica homograf´ que las transforma en tres rectas dadas de otro haz HO . ´ ıa Vamos a obtener la expresi´n en coordenadas de una homograf´ entre dos o ıa haces. Una homograf´ que transforme las rectas ax+by+cz = 0 y a x+b y+c z = 0 ıa en las rectas ux + vy + wz = 0 y u x + v y + w z = 0 se corresponde a trav´s e de p con una homograf´ que transforma los puntos (a, b, c) y (a , b , c ) en los ıa puntos (u, v, w) y (u , v , w ). Una tercera recta del haz ser´ de la forma a (ax + by + cz) + λ0 (a x + b y + c z) = 0, con λ0 ∈ K {0}, que se transformar´ en una recta a (ux + vy + wz) + µ0 (u x + v y + w z) = 0, con µ0 ∈ K {0}.
- 282. 270 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o La homograf´ asociada a trav´s de p transformar´ (a, b, c) + λ0 (a , b , c ) en ıa e a (u, v, w) + µ0 (a , b , c ). Es claro que una (y por tanto la unica) homograf´ que ´ ıa cumple estas condiciones es la dada por µ0 (a, b, c) + λ(a , b , c ) → (u, v, w) + λ (a , b , c ), λ0 luego la homograf´ entre los haces de rectas es la dada por ıa µ0 ax + by + cx + λ(a x + b y + c z) = 0 → ux + vy + wz + λ (u x + v y + w z) = 0. λ0 Notemos que podemos multiplicar por µ0 /λ0 los coeficientes (u , v , w ) sin alterar por ello la ecuaci´n de la recta, y entonces la ecuaci´n de la homograf´ o o ıa entre haces se expresa simplemente como ax + by + cx + λ(a x + b y + c z) = 0 → ux + vy + wz + λ(u x + v y + w z) = 0. Es claro que toda correspondencia de este tipo es una homograf´ entre haces. ıa ıa ¯ Diremos que una homograf´ H : HO −→ HO entre dos haces con centros distintos O = O es una proyecci´n perspectiva si H es una perspectividad (m´s o a exactamente, si existe una perspectividad H , no necesariamente H, tal que ¯ ¯ H = H ). ıa ¯ Una homograf´ H es una perspectividad si y s´lo si fija la recta OO . En o efecto, si H es una perspectividad de centro P , como ha de cumplir H(O) = O , los puntos P , O y O han de ser colineales, luego H fija a OO . Rec´ıprocamente, ¯ si H fija a OO , tomamos dos rectas r y s en HO distintas de OO y sus im´genes a r = H[r] y s = H[s]. Sean Q = r ∩ r , Q = s ∩ s . Sea P = OO ∩ QQ . La proyecci´n perspectiva de centro P entre r y s se extiende a una perspectividad o de centro P que transforma O en O y Q en Q , luego induce una homograf´ ıa entre los haces que coincide con la dada en OO , r y s, luego es la dada. ıa ¯ Notar que una homograf´ H : HO −→ HO con O = O no puede fijar a ninguna recta salvo a lo sumo a OO , luego decir que no es perspectiva equivale a decir que no fija a ninguna recta. Finalmente podemos probar: Teorema 9.20 (Steiner) Sean O y O puntos distintos en un plano proyectivo ¯ real o complejo. Sea H : HO −→ HO una homograf´ no perspectiva. Entonces ıa ¯ cada recta r ∈ HO corta a H(r) en un unico punto Pr . La figura C formada por ´ todos los puntos Pr es una c´nica no degenerada, y toda c´nica no degenerada o o puede obtenerse de esta forma. Demostracion: Fijemos un sistema de referencia en el plano X. ´ La ecuaci´n de la homograf´ entre las rectas es o ıa ax + by + cx + λ(a x + b y + c z) = 0 → ux + vy + wz + λ(u x + v y + w z) = 0.
- 283. 9.4. El teoremade Steiner 271 Un punto de coordenadas (x, y, z) estar´ en C si y s´lo si satisface las ecua- a o ciones de ambos haces de rectas con el mismo valor de λ, es decir, si y s´lo o si ax + by + cz ux + vy + wz − =− , ax+by+cz ux+v y+w z o equivalentemente, si y s´lo si o (ax + by + cz)(u x + v y + w z) − (a x + b y + c z)(ux + vy + wz) = 0. (Hay que considerar aparte el caso λ = ∞, donde los denominadores se anulan, pero la conclusi´n es la misma.) o Al operar la ultima ecuaci´n obtenemos ciertamente la ecuaci´n de una ´ o o c´nica. Notemos que no puede ser id´nticamente nula, pues no todos los puntos o e de X est´n en C. M´s exactamente, cada recta que pasa por O distinta de a a OO contiene un unico punto adicional de C (su intersecci´n con su imagen), ´ o teniendo en cuenta adem´s que C es infinito, concluimos que C no puede ser a una c´nica degenerada (no es vac´ ni un punto, ni una recta ni un par de o ıa, rectas, pues en los ultimos casos habr´ una recta por O que contendr´ infinitos ´ ıa ıa puntos de C). Rec´ıprocamente, si C es una c´nica no degenerada, tomamos en ella cinco o puntos A, B, C, D, E no colineales tres a tres. Existe una unica homograf´ de ´ ıa HA en HB que transforma AC, AD y AE en BC, BD y BE respectivamente. ¯ Si fuera perspectiva, es decir, de la forma H, donde H es una perspectividad, entonces el eje de H no pasar´ por O ni O , pues H(O) = O , y los puntos ıa C, D, E tendr´ que estar sobre dicho eje, pero no son colineales. As´ pues, ıan ı la homograf´ no es perspectiva, luego por la parte ya probada determina una ıa c´nica C que claramente contiene a los cinco puntos que hemos tomado, luego o C=C. Esta caracterizaci´n de las c´nicas no degeneradas es mucho m´s adecuada o o a como definici´n de c´nica en un cuerpo arbitrario, pues en cuerpos cuya es- o o tructura algebraica no sea tan simple como la de R o C resulta ser mucho m´s a operativa que la que hasta ahora manej´bamos. As´ pues: a ı Definici´n 9.21 Sea X un plano proyectivo sobre un cuerpo arbitrario. Una o c´nica en X es la figura formada por las intersecciones de rectas hom´logas de o o dos haces de rectas distintos a trav´s de una homograf´ no perspectiva. e ıa Para estudiar las c´nicas as´ definidas necesitaremos suponer, como es habi- o ı ıstica distinta de 2. Otro tual, que el cuerpo del plano proyectivo tiene caracter´ caso patol´gico que conviene excluir es el del cuerpo de tres elementos, pues en o el plano que ´l determina no existen cinco puntos no colineales tres a tres, y e todos los teoremas sobre c´nicas se vuelven triviales. o Notemos tambi´n que una implicaci´n del teorema de Steiner es v´lida en e o a general, de modo que una c´nica est´ formada por los puntos cuyas coordenadas o a en un sistema de referencia dado satisfacen una ecuaci´n de la forma XAX t = 0, o donde A es una cierta matriz sim´trica. En general no sabemos obtener formas e
- 284. 272 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o can´nicas para la matriz A, pero sabemos al menos que eligiendo el sistema de o referencia la podemos tomar diagonal. Su determinante ha de ser no nulo, pues en caso contrario ser´ de la forma [1, a, 0], y la ecuaci´n correspondiente ser´ ıa o ıa x2 + a y 2 = 0, que corresponde al punto (0, 0, 1) si −a no es un cuadrado en K o a las rectas x + b y = 0, x − b y = 0 si −a = b2 , y ni un punto ni dos rectas son una c´nica. As´ pues: o ı Teorema 9.22 Los puntos de una c´nica est´n caracterizados por que sus coor- o a denadas en un sistema de referencia dado satisfacen una ecuaci´n de la forma o XAX t = 0, donde A es una matriz sim´trica regular. e Lo que no sabemos determinar en general es qu´ matrices corresponden a e c´nicas y cu´les no, pero al menos sabemos que las c´nicas en el sentido de la o a o definici´n 9.21 cumplen tambi´n la definici´n 9.16 que hemos usado para definir o e o la polaridad de una c´nica, luego todos los resultados sobre polaridades son o v´lidos para la definici´n de c´nica que finalmente hemos adoptado.1 a o o 9.5 Propiedades de las c´nicas proyectivas o Vamos a extraer las primeras consecuencias de la definici´n general de c´nica o o proyectiva que acabamos de dar, entre las cuales estar´n los hechos que ya a conoc´ ıamos para el caso particular de las c´nicas reales y complejas. En primer o lugar es importante notar lo siguiente: dados cinco puntos A, B, C, D, E no colineales tres a tres, podemos construir una c´nica que los contiene a partir de o la homograf´ entre HA y HB que hace corresponder las rectas AC, AD y AE ıa con BC, BD y BE, respectivamente. Para abreviar, las correspondencias como ´sta entre rectas de dos haces las representaremos as´ A(CDE) − B(CDE). e ı: ∧ Hay que destacar que esto no prueba que por los cinco puntos dados pase una unica c´nica, pues para ello hemos de probar que no importa la elecci´n de ´ o o A y B como centros de los haces o, dicho de otro modo, que otra homograf´ ıa como C(ABE) − D(ABE) define la misma c´nica. Todav´ no estamos en ∧ o ıa condiciones de probarlo. Sea C la c´nica determinada por la homograf´ A(CDE) − B(CDE). Vea- o ıa ∧ mos c´mo determinar expl´ o ıcitamente los dem´s puntos de C a partir de los cinco a que tenemos. M´s concretamente, tomamos una recta arbitraria r que pase por a C y vamos a ver que corta a C en un unico punto distinto de C salvo en un ´ caso excepcional (en que r ser´ tangente a C). Podemos suponer que r no pasa a por A, pues en tal caso es claro que A y C son los unicos puntos de C en r. ´ Similarmente suponemos que B no est´ en r. a 1 El requisito de que la c´nica contenga al menos cuatro puntos no colineales s´lo lo hemos o o usado para asegurar la unicidad de la polaridad de una c´nica. Sin ´l se demuestra igualmente o e que cada recta corta a una c´nica a lo sumo en dos puntos, luego las c´nicas no contienen o o ternas de puntos colineales. La existencia de cuatro puntos se cumple porque el cuerpo ha de tener al menos tres elementos, luego cada recta tiene al menos cuatro puntos, luego cada haz de rectas tiene al menos cuatro rectas, luego cada c´nica tiene al menos cuatro puntos. o
- 285. 9.5. Propiedades delas c´nicas proyectivas o 273 Seg´n hemos visto al comienzo de la secci´n, la homograf´ entre los haces de u o ıa rectas de A y B que define la c´nica determina una homograf´ sobre r. Si P y o ıa Q son los puntos donde AD y AE cortan a r, sus im´genes por esta homograf´ a ıa son los puntos P y Q donde BD y BE cortan a r. Ciertamente P = P y Q = Q , luego la homograf´ de r es la dada por CP Q − CP Q . ıa ∧ r B C A T Q S Q E D C P P Ahora observamos que los puntos de r que est´n en C son los puntos fijos de a CP Q − CP Q . Como la homograf´ no es la identidad, o bien C es su unico ∧ ıa ´ punto fijo o bien tiene uno m´s C . En ambos casos existe un unico punto a ´ C (igual o no a C) tal que C CP Q − C CP Q (ver la p´g. 241). Seg´n los ∧ a u teoremas 8.47 y 8.48, el punto C est´ un´ a ıvocamente determinado por la relaci´n o Q(C P Q; CQ P ). Veamos c´mo construir expl´ o ıcitamente C , lo que nos mostrar´ que la igual- a dad C = C se da s´lo para una elecci´n de r. Vamos a construir un cuadril´tero o o a completo que nos d´ el conjunto cuadrangular anterior. Si r pasa por D es in´til e u seguir, pues D es el punto buscado y es distinto de C. En caso contrario consi- deramos los puntos S = BD ∩ AC y T = SQ ∩ AE. Es f´cil ver que no est´n a a en r. Ahora basta considerar el cuadril´tero completo de v´rtices A, D, S, T . a e El punto C ser´ DT ∩ r. a Se cumplir´ C = C si y s´lo si T est´ en DC. Si esto sucede, los puntos S y T a o a est´n determinados directamente por los puntos de partida (independientemente a de r), pues S = BD ∩ AC y T = DC ∩ AE, luego Q = BE ∩ ST tambi´n est´ e a determinado por los cinco puntos. As´ la recta r ha de ser necesariamente ı, CQ , donde Q est´ determinado como acabamos de indicar. Rec´ a ıprocamente, invirtiendo el razonamiento es claro que para esta r se cumple C = C . Si recordamos que C es cualquier punto de C distinto de A y B, podemos afirmar: Teorema 9.23 Si C es una c´nica y C es cualquiera de sus puntos, entonces o cada recta de HC corta a C en dos puntos, excepto una, que s´lo la corta en C. o A dicha recta excepcional la llamaremos tangente a C en C. Esto ya lo sab´ ıamos, pero en realidad hemos probado mucho m´s. Lo que a realmente hemos obtenido se puede enunciar as´ı:
- 286. 274 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Sea C una c´nica determinada por una homograf´ entre dos haces o ıa de rectas de centros A y B. Sean C, D, E tres puntos m´s de a C. Entonces un sexto punto C est´ en C si y s´lo si los puntos a o S = AC ∩ BD, T = AE ∩ DC y Q = BE ∩ CC est´n alineados. a B C A T Q S E D C Es claro que S, T y Q son las intersecciones de los lados opuestos del hex´gono ACC DBE. Vamos a cambiar la notaci´n para poner de manifiesto a o una importante simetr´ en la afirmaci´n anterior. Hacemos A1 = A, B1 = B, ıa o A2 = D, B2 = C, C1 = C , C2 = E. El resultado es: Sea C una c´nica determinada por una homograf´ entre dos haces o ıa de rectas de centros A1 y B1 . Sean A2 , B2 , C2 tres puntos m´s de a C. Entonces un sexto punto C1 est´ en C si y s´lo si los puntos a o S = A1 B2 ∩ B1 A2 , T = A1 C2 ∩ A2 C1 y U = B1 C2 ∩ B2 C1 est´n a alineados. Ahora el hex´gono es A1 B2 C1 A2 B1 C2 . Lo importante es que la condici´n a o sobre S, T , U no se altera si cambiamos los sub´ ındices 1 por los sub´ ındices 2. Por consiguiente tenemos: Sean A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 seis puntos distintos no colineales tres a tres. Entonces C1 est´ en la c´nica determinada por a o A1 (A2 B2 C2 ) − B1 (A2 B2 C2 ) ∧ si y s´lo si C2 est´ en la c´nica determinada por o a o A2 (A1 B1 C1 ) − B2 (A1 B1 C1 ). ∧ As´ dados cinco puntos A1 , B1 , A2 , B2 , C2 si llamamos C1 a la c´nica ı, o determinada por A1 (A2 B2 C2 ) − B1 (A2 B2 C2 ) y C2 a la c´nica determinada por ∧ o A2 (A1 B2 C2 ) − B2 (A1 B2 C2 ), ambas resultan ser la misma c´nica. En efecto, ∧ o ambas contienen a los cinco puntos dados y si C1 es cualquier otro punto de C1 , entonces la c´nica dada por A2 (A1 B1 C1 ) − B2 (A1 B1 C1 ) contiene tambi´n a o ∧ e C2 , luego se trata de C2 , luego C1 ⊂ C2 . Intercambiando los papeles obtenemos la otra inclusi´n. o Para probar que no importa elegir A1 , B1 o A1 , B2 observamos que A1 , B1 determinan la misma c´nica que C1 , C2 y ´stos la misma que A1 , B2 . o e Ahora s´ podemos afirmar: ı
- 287. 9.5. Propiedades delas c´nicas proyectivas o 275 Teorema 9.24 Por cinco puntos no colineales tres a tres pasa una unica c´nica. ´ o De hecho tenemos que cualquier c´nica est´ definida a partir de una homo- o a graf´ entre los haces de rectas de centros dos cualesquiera de sus puntos. Esto ıa nos permite expresar de forma completamente sim´trica la condici´n que hemos e o obtenido para que seis puntos distintos formen parte de una c´nica: o Teorema 9.25 (Teorema de Pascal) Seis puntos no colineales tres a tres est´n contenidos en una misma c´nica si y s´lo si los lados opuestos de un a o o hex´gono cualquiera que los tenga como v´rtices se cortan en tres puntos coli- a e neales. Sigamos recogiendo consecuencias: Si C es una c´nica y A, B son dos cuales- o quiera de sus puntos, entonces la c´nica est´ determinada por una homograf´ o a ıa entre los haces de rectas por A y B. Si P ⊂ C es distinto de A y B entonces la recta AP es la hom´loga de BP . Esto determina la imagen de cualquier recta o por A excepto la tangente a C, que no corta a la c´nica en ning´n otro punto o u P , y la recta AB. Similarmente, las rectas BP cubren todas las del haz de rectas por B excepto la tangente en B y la misma AB. Como la homograf´ no ıa puede ser perspectiva y por lo tanto no fija a ninguna recta, ha de hacer corres- ponder AB con la tangente por B y la tangente por A con AB. Si convenimos en representar por P P la tangente a C por un punto P , entonces la expresi´n o AP → BP recoge todos los casos. Expresaremos que esta correspondencia es una homograf´ mediante la notaci´n A[P ] − B[P ], donde los corchetes indican ıa o ∧ que P es una variable (que en este caso recorre los puntos de C). Esto es, en un contexto general, el n´cleo del teorema de Steiner: u Teorema 9.26 (Steiner) Si C es una c´nica, A y B son dos cualesquiera de o sus puntos y P recorre los puntos de C, entonces A[P ] − B[P ]. ∧ Nos ocupamos ahora del estudio de las tangentes. Hemos probado que si conocemos cinco puntos A, B, C, D, E en una c´nica, podemos trazar la tan- o gente por uno de ellos, digamos C determinando los puntos S = BD ∩ AC, T = DC ∩ AE y Q = BE ∩ ST . La tangente es entonces CQ . Tenemos, pues, el teorema siguiente, que contiene la informaci´n necesaria o para trazar la tangente a una c´nica por un punto dado: o Teorema 9.27 Sean A, B, C, D, E cinco puntos distintos en una c´nica C. o Sea r la tangente a C por C. Entonces los puntos r ∩ BE, AE ∩ CD y BD ∩ CA son colineales. B E D Q T S A C
- 288. 276 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Este teorema puede verse como una variante del teorema de Pascal, donde hemos identificado dos puntos en uno. En efecto, imaginemos un hex´gono en a el que dos v´rtices tienen el mismo nombre: e C C C D A D A B E B E Llamemos lados opuestos del pent´gono a los mismos que en el hex´gono, es a a decir, AC y DB; CD y AE; BE y CC, entendiendo que CC es la tangente a la c´nica por C. Lo que afirma el teorema anterior es que si los v´rtices de un o e pent´gono est´n contenidos en una c´nica, entonces los pares de lados opuestos a a o se cortan en puntos colineales. Ejercicio: Probar que existe una unica c´nica que pasa por cuatro puntos dados no ´ o colineales tres a tres y cuya tangente en uno de ellos es una recta dada (que no pase por los otros). Antes de seguir conviene introducir un par de t´rminos utiles: e ´ Definici´n 9.28 diremos que una figura formada por puntos y rectas est´ ins- o a crita en una c´nica si todos sus puntos est´n en la c´nica. Diremos que la figura o a o est´ circunscrita a la c´nica si todas sus rectas son tangentes a la c´nica. a o o As´ por ejemplo, el teorema de Pascal implica que los pares de lados opues- ı tos de un hex´gono inscrito en una c´nica se cortan en puntos colineales, y a o seg´n hemos explicado lo mismo vale para pent´gonos. Del mismo modo po- u a demos identificar dos pares de lados en un hex´gono, y el teorema de Pascal a sigue siendo cierto. De hecho hay dos teoremas, seg´n que los pares de lados u que identifiquemos sean contiguos u opuestos. Por ejemplo, con la notaci´n o que hemos empleado para probar el teorema de Pascal, tenemos el hex´gono a ACC DBE. Si identificamos los pares de lados contiguos A = E y B = D obtenemos que si un cuadril´tero ACC B est´ inscrito en una c´nica, entonces a a o los puntos AB ∩ CC , C B ∩ AA y AC ∩ BB son colineales. La prueba es lite- ralmente la misma del teorema de Pascal sin m´s que interpretar AE como la a tangente por A y BD como la tangente por B. Nos limitamos a dar una figura ilustrativa:
- 289. 9.5. Propiedades delas c´nicas proyectivas o 277 T P P, Q Q C A C S B Si identificamos dos pares de v´rtices opuestos obtenemos una configuraci´n e o especialmente sencilla: Teorema 9.29 Si un cuadril´tero completo est´ inscrito en una c´nica, las a a o tangentes de dos v´rtices se cortan en un punto colineal con los dos puntos e diagonales que no est´n sobre el lado determinado por dichos v´rtices. a e Ejercicio: Probar que por tres puntos dados no colineales para una unica c´nica ´ o cuyas tangentes en dos de ellos sean dos rectas dadas. Ejercicio: Enunciar y demostrar la versi´n del teorema de Pascal para un tri´ngulo o a inscrito en una c´nica (identificando tres pares de v´rtices en un hex´gono). o e a El razonamiento con que hemos obtenido (entre otras cosas) el teorema de Pascal tiene todav´ una consecuencia m´s que debemos destacar. ıa a Teorema 9.30 (Desargues) Consideremos un cuadril´tero completo inscrito a en una c´nica C y una recta r que no pase por ninguno de sus v´rtices pero o e que corte a C en uno o dos puntos. Entonces ´stos son conjugados respecto a e la involuci´n que determinan los pares de puntos donde los lados opuestos del o cuadril´tero cortan a r. a Demostracion: Recordemos del teorema 8.54 que los pares de puntos ´ donde los lados opuestos del cuadril´tero cortan a r son en efecto conjugados a respecto a una (´nica) involuci´n. Volviendo a la situaci´n que describ´ u o o ıamos al comienzo de la secci´n (ver la figura de la p´g. 273), supongamos que r corta a o a C en los puntos C y C (iguales o distintos) y que los v´rtices del cuadril´tero e a
- 290. 278 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o son A, B, D, E. Entonces la involuci´n en r es la determinada por los pares o (P, Q ) y (P , Q), pero por otra parte hemos visto que el cuadril´tero de v´rtices a e A, D, S, T determina la relaci´n Q(C , P, Q; C, Q , P ), luego sus pares de lados o opuestos determinan en r la involuci´n para la cual son conjugados (P, Q ), o (P , Q) y (C, C ). Los dos primeros pares prueban que se trata de la misma involuci´n que la del cuadril´tero dado y por lo tanto (C, C ) es tambi´n un par o a e de conjugados respecto a ella. Es f´cil ver que si se identifica B con D (y por lo tanto BD pasa a ser la a tangente a la c´nica por este punto), todo el razonamiento vale igualmente y o nos lleva a este caso particular del teorema de Desargues: Teorema 9.31 Consideremos un tri´ngulo inscrito en una c´nica C y una recta a o r que no pase por ninguno de ellos pero que corte a C en uno o dos puntos. Entonces ´stos son conjugados respecto a la involuci´n que determinan el par e o de puntos donde dos lados del tri´ngulo cortan a r y el par donde el tercer lado a y la tangente al v´rtice opuesto cortan a r. e La polaridad asociada a una c´nica nos permite utilizar argumentos de dua- o lidad. Para ello hemos de definir el concepto dual al de c´nica: o Definici´n 9.32 Una c´nica de rectas es el conjunto de todas las rectas que o o pasan por pares de puntos hom´logos respecto a una homograf´ entre dos rectas o ıa que no sea una proyecci´n perspectiva. o Es claro que una polaridad transforma una c´nica en una c´nica de rectas, o o por lo que todos los teoremas que hemos probado sobre c´nicas admiten un dual o sobre c´nicas de rectas. En particular el concepto dual de recta tangente es lo o que se llama un punto de tangencia de una recta r perteneciente a una c´nica o de puntos. Se trata, naturalmente, de un punto de r por el que no pasa ninguna otra recta de la c´nica. Por dualidad tenemos que cada recta de una c´nica de o o rectas contiene un unico punto de tangencia. ´ Si consideramos concretamente la polaridad asociada a una c´nica dada o obtenemos el teorema siguiente: Teorema 9.33 Las tangentes a una c´nica de puntos forman una c´nica de o o rectas y los puntos de tangencia de una c´nica de rectas forman una c´nica de o o puntos. Demostracion: Para probar la primera afirmaci´n basta aplicar la po- ´ o laridad de la c´nica. Para la segunda tomamos una c´nica de rectas C1 . Al o o aplicarle una polaridad p obtenemos una c´nica de puntos C2 cuyas tangentes o son las rectas polares de los puntos de tangencia de la c´nica de partida. Si p o es la polaridad de C2 , al aplicarla obtenemos una nueva c´nica de rectas C3 . La o composici´n p ◦ p es una homograf´ que transforma C1 en C3 . Si Q es un punto o ıa de tangencia de C1 , entonces p(Q) es una tangente a C2 , luego p (p(Q)) es un punto de C2 . Esto prueba que los puntos de tangencia de C1 forman una c´nica o de puntos.
- 291. 9.5. Propiedades delas c´nicas proyectivas o 279 Ejercicio: Probar el dual del teorema 9.18 aplicando una polaridad. Deducir direc- tamente la segunda parte del teorema anterior. Todos los teoremas que hemos visto sobre c´nicas dan lugar a teoremas o duales sin m´s que intercambiar “c´nica de puntos” por “c´nica de rectas” y a o o “tangente” por “punto de tangencia”. A su vez, el teorema dual se puede aplicar a la c´nica de tangentes de una c´nica dada, lo que nos da un tercer enunciado. o o El paso del primero al tercero se obtiene conservando el concepto de “c´nica” o pero intercambiado “punto de la c´nica” por “tangente a la c´nica”. o o Por ejemplo, para formular el dual del teorema de Pascal hemos de notar que el dual de “hex´gono” es “hex´gono” (entendiendo por hex´gono la figura a a a formada por seis puntos y las rectas que los unen c´ ıclicamente). En efecto, una polaridad transforma el hex´gono de v´rtices ABCDEF en el hex´gono de a e a v´rtices p(AB) p(BC) p(CD) p(DE) p(EF ) p(F A). As´ pues: e ı Teorema 9.34 Los lados de un hex´gono pertenecen a una c´nica de rectas si a o y s´lo si las tres rectas que unen v´rtices opuestos son concurrentes. o e Si aplicamos esto a la c´nica de tangentes de una c´nica dada obtenemos: o o Teorema 9.35 (Brianchon) Un hex´gono est´ circunscrito a una c´nica si y a a o s´lo si las tres rectas que unen v´rtices opuestos son concurrentes. o e Pascal demostr´ el teorema que lleva su nombre en 1640 (a los 16 a˜os de o n edad). Lo prob´ primero para circunferencias y luego generaliz´ por proyecci´n. o o o Brianchon demostr´ el teorema anterior en 1806. Su prueba conten´ trazas de o ıa la teor´ de la dualidad. ıa Vamos a describir geom´tricamente la polaridad de una c´nica. Nuestro e o punto de partida ser´ la descripci´n que de ella nos da el teorema 9.18. a o Observemos en primer lugar que tres tangentes a una c´nica no pueden ser o concurrentes. Esto es el dual de que tres puntos de una c´nica no son colineales. o Por lo tanto, dada una c´nica C, por cada punto Q pasan a lo sumo dos tangentes o de C. Supongamos que as´ es, es decir, supongamos que A1 y A2 son puntos ı distintos de C cuyas tangentes pasan por Q. Si p es la polaridad de C tenemos que Q ⊂ p(A1 ) ∩ p(A2 ), luego p(Q) = A1 A2 . As´ pues, si por un punto dado pasan dos tangentes a C, la polar del punto ı es la recta que pasa por los puntos de tangencia. Veamos ahora que si por Q pasa una unica tangente a C es necesario que Q ´ est´ en la c´nica, con lo que p(Q) es la tangente. En efecto, supongamos que A e o es un punto de C cuya tangente pasa por Q. Si A = Q entonces la polar p(Q) es una recta que pasa por A distinta de la tangente p(A), luego corta a C en un segundo punto B. Como B ⊂ p(Q), tenemos tambi´n Q ⊂ p(B), es decir, Q e est´ tambi´n en la tangente de un segundo punto de C. a e Resumamos en un teorema lo que hemos obtenido hasta ahora:
- 292. 280 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Teorema 9.36 Un punto Q est´ en una c´nica C si y s´lo si hay una unica a o o ´ tangente a C que pasa por Q. En caso contrario las tangentes a C que pasan por Q son dos o ninguna. Si pasan dos tangentes, la recta polar de Q es la que pasa por los puntos de tangencia. Las c´nicas de rectas admiten un tratamiento algebraico an´logo al de las o a c´nicas de puntos. Para verlo hemos de introducir el concepto de coordena- o das homog´neas de una recta. Una recta r est´ formada por los puntos cuyas e a coordenadas en un sistema de referencia dado cumplen una ecuaci´n de la forma o ax+by +cz = 0. La terna (a, b, c) determina la recta y est´ determinada por ella a salvo un factor constante. Diremos que (a, b, c) son las coordenadas homog´neas e de r en el sistema de referencia dado. En estos t´rminos, si A es la matriz de una polaridad en un sistema de e referencia dado y X son las coordenadas homog´neas de un punto, su polar e est´ formada por los puntos cuyas coordenadas Y cumplen XAY t = 0, lo que a se interpreta como que XA son las coordenadas homog´neas de la recta po- e lar. Rec´ıprocamente, si Y son las coordenadas homog´neas de una recta, las e coordenadas homog´neas de su polo han de cumplir XA = Y , luego el polo es e Y A−1 . Si aplicamos esto a la polaridad de una c´nica vemos que una recta de o coordenadas homog´neas X ser´ tangente a la c´nica si y s´lo si las coordenadas e a o o XA−1 de su polo cumplen la ecuaci´n XA−1 AA−1 X t = 0, o sea, XA−1 X = 0. o ´ Esta es la ecuaci´n de la c´nica de tangentes asociada a la c´nica dada. En o o o general: Teorema 9.37 Dado un sistema de referencia, cada c´nica de rectas tiene aso- o ciada una matriz regular sim´trica A de modo que una recta pertenece a la c´nica e o si y s´lo si sus coordenadas homog´neas satisfacen la ecuaci´n XAX t = 0. La o e o matriz de una c´nica de puntos y la de su c´nica de tangentes son mutuamente o o inversas. Pasemos ahora a interpretar geom´tricamente la polar de cualquier punto. e Teorema 9.38 Supongamos que un cuadril´tero completo est´ inscrito en una a a c´nica C. Entonces la recta polar de un punto diagonal es la recta que pasa por o los otros dos puntos diagonales. Q B H D A C Demostracion: Aplicamos el teorema 9.29: Sea Q el punto diagonal y ´ sean AB y CD los lados que pasan por Q. Sean D1 y D2 los otros dos puntos
- 293. 9.5. Propiedades delas c´nicas proyectivas o 281 diagonales. Entonces las tangentes a la c´nica por A y B se cortan en un punto o X ⊂ D1 D2 . Por lo tanto p(X) = AB. Como Q ⊂ p(X), tambi´n X ⊂ p(Q). e De igual modo, las tangentes por C y D se cortan en un punto Y ⊂ D1 D2 que ser´ distinto de X, o si no tendr´ a ıamos cuatro tangentes concurrentes. Con- cluimos igualmente que Y ⊂ p(Q), luego p(Q) = XY = D1 D2 . Dado un punto Q que no est´ en una c´nica C, siempre podemos encontrar e o un punto A en C tal que la recta AQ sea secante a la c´nica (a lo sumo hay que o excluir dos puntos para los cuales la recta sea tangente). Si B es el otro punto donde AQ corta a C, excluyendo A, B y los dos posibles puntos de tangencia, siempre podemos encontrar un tercer punto C tal que la recta QC corte a C en un cuarto punto D, y as´ formamos un cuadril´tero completo cuyos v´rtices est´n ı a e a en C y que tiene a Q como punto diagonal. Esto nos permite aplicar el teorema anterior para trazar la polar de cualquier punto. M´s a´n, si observamos el a u punto H de la figura anterior concluimos inmediatamente lo siguiente: Teorema 9.39 Sea C una c´nica, Q un punto y consideremos una recta que o pase por Q y corte a C en dos puntos A y B distintos de Q. Entonces la recta polar de Q contiene al conjugado harm´nico de Q respecto de A y B. o Ejercicio: Explicar c´mo se construye el polo de una recta dada respecto a una c´nica o o dada (dualizar la construcci´n de la recta polar). o Ejercicio: Un tri´ngulo se dice autopolar si y s´lo si cada v´rtice es el polo de su lado a o e opuesto. Probar que un tri´ngulo es autopolar respecto a una c´nica si y s´lo si es el a o o tri´ngulo diagonal de un cuadril´tero inscrito en la misma. a a Los teoremas que hemos visto hasta aqu´ son tambi´n muy utiles en su forma ı e ´ dual. Dejamos a cargo del lector escribir los enunciados duales de cada uno de ellos. En lo sucesivo los usaremos cuando convenga. Definimos, no obstante, el concepto dual de un cuadril´tero completo, que aparece en muchos de estos a enunciados. Definici´n 9.40 Un cuadril´tero completo dual es una figura formada por cua- o a tro rectas no concurrentes tres a tres, llamadas lados, junto con los seis puntos donde se cortan, llamados v´rtices. Dos v´rtices son contiguos si comparten un e e lado y opuestos en caso contrario. Las tres rectas que unen los pares de v´rtices e opuestos se llaman rectas diagonales del cuadril´tero dual. a Veamos ahora un resultado cuya importancia se pondr´ de manifiesto m´s a a adelante: Teorema 9.41 Sea C una c´nica y r una recta que no sea tangente a C. La o aplicaci´n f : r −→ r dada por f (Q) = p(Q) ∩ r es una involuci´n en r. o o Demostracion: Notemos en primer lugar que f es biyectiva, pues la pola- ´ ridad p biyecta los puntos de r con las rectas que pasan por su polo. Ninguna de ´stas es r, pues si r pasara por su polo ser´ tangente a C, luego cada una e ıa corta a r en un unico punto distinto en cada caso. ´
- 294. 282 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Fijemos un sistema de referencia y sea A la matriz p. Sean Q1 y Q2 las coor- denadas homog´neas de dos puntos A y B de r y sean R1 , R2 las coordenadas e t t de sus im´genes por f , de modo que Q1 AR1 = Q2 AR2 = 0. a Claramente Q1 + Q2 son las coordenadas homog´neas de un punto de r, e cuya imagen por f ser´ un punto de coordenadas αR1 + βR2 , pero como po- a demos cambiar cada Ri por un m´ltiplo sin variar el punto que representan, u podemos suponer que de hecho las coordenadas de la imagen son R1 + R2 , y por consiguiente (Q1 + Q2 )(R1 + R2 ) = 0, de donde Q1 R2 + Q2 R1 = 0. Tomemos ahora cualquier punto C ⊂ r, cuyas coordenadas ser´n de la forma a Q = αQ1 + βQ2 . Entonces p(C) es la recta de ecuaci´n (αQ1 + βQ2 )AX t = 0. o El punto f (C) ser´ el unico de r que cumple esta ecuaci´n, pero es inmediato a ´ o comprobar que esto le sucede a αR1 + βR2 . Esto prueba que f es la homograf´ que transforma los puntos de coordenadas ıa Q1 , Q2 , Q1 + Q2 en los puntos de coordenadas R1 , R2 , R1 + R2 . Es inmediato comprobar que se trata de una involuci´n. o Definici´n 9.42 Diremos que dos puntos Q y R son conjugados respecto de o una c´nica C si uno est´ contenido en la recta polar del otro. Dos rectas son o a conjugadas si una contiene al polo de la otra. Acabamos de probar que si r es una recta no tangente a una c´nica C, o entonces los pares de conjugados en r respecto a C son pares de conjugados respecto a una involuci´n que llamaremos involuci´n inducida por C en r. o o Ejercicio: Sea C una c´nica y O un punto no contenido en ella. Probar que la o aplicaci´n de HO en s´ mismo que a cada recta le asigna su unica conjugada en el haz o ı ´ es una involuci´n, a la que se llama involuci´n inducida por la c´nica en el haz. o o o 9.6 Homograf´ entre c´nicas ıas o Definici´n 9.43 Dadas dos c´nicas C1 y C2 en dos planos proyectivos, una o o homograf´ entre ellas es una aplicaci´n H : C1 −→ C2 inducida por restricci´n ıa o o a partir de una homograf´ entre los planos correspondientes. ıa Puesto que una c´nica contiene un sistema de referencia proyectivo, es claro o que cada homograf´ entre c´nicas determina la homograf´ entre los planos ıa o ıa que la induce, y a su vez ´sta determina una biyecci´n entre las tangentes de e o ambas c´nicas. En la pr´ctica no distinguiremos entre una homograf´ entre o a ıa dos c´nicas y la homograf´ (entre planos) que la induce. Vamos a probar que o ıa siempre existen homograf´ entre dos c´nicas dadas: ıas o Teorema 9.44 Sean C1 y C2 dos c´nicas no necesariamente en el mismo plano, o sean A, B, C tres puntos de C1 y A , B , C tres puntos de C2 . Entonces existe una unica homograf´ entre las c´nicas tal que ABC − A B C . ´ ıa o ∧
- 295. 9.6. Homograf´ entrec´nicas ıas o 283 Demostracion: Sea P el punto donde se cortan las tangentes a C1 por A ´ y B, sea P el punto donde se cortan las tangentes a C2 por A y B . Es claro que A, B, C, P forman un sistema de referencia proyectivo del plano de C1 , y A , B , C , P forman un sistema de referencia del plano de C2 . La homograf´ ıa ABCP − A B C P transforma C1 en una c´nica que contiene a los puntos A , ∧ o B y C y cuyas tangentes en A y B son las rectas A P y B P , es decir, esta c´nica y C2 tienen tres puntos y dos tangentes en com´n, luego son iguales (esto o u se sigue f´cilmente de 9.29). a Adem´s, cualquier homograf´ entre las c´nicas que cumpla ABC − A B C a ıa o ∧ ha de transformar las tangentes de la primera en las de la segunda, luego P en P , luego es necesariamente la inducida por ABCP − A B C P . ∧ Es claro que el conjunto de todas las homograf´ de una c´nica C en s´ ıas o ı misma forma un grupo, al que llamaremos GP(C) y que podemos identificar con un subgrupo de GP(X), donde X es el plano de C. Si HO es el haz de rectas que pasan por un punto O, las homograf´ de HO ıas forman tambi´n un grupo, al que llamaremos GP(HO ). Sabemos que si r es e una recta que no pasa por O, cada homograf´ H ∈ GP(HO ) se corresponde con ıa ıa ¯ ¯ ¯ una homograf´ H|r ∈ GP(r) dada por H|r (P ) = H(OP ) ∩ r. Adem´s es f´cil a a ver que esta correspondencia es un isomorfismo de grupos, luego concluimos que GP(HO ) ∼ GP(r). = Ahora probaremos que si O es un punto de una c´nica C, entonces o GP(C) ∼ GP(H0 ) ∼ GP(r). = = En efecto, para cada homograf´ H ∈ GP(C) definimos H ∗ ∈ GP(HO ) ıa mediante H ∗ (OP ) = OH(P ), donde P ∈ C, entendiendo, como es habitual, que OO es la tangente en O. Veamos que H ∗ es realmente una homograf´ ıa. Si H(O) = O se trata simplemente de la homograf´ inducida por H (vista como homograf´ del ıa ıa plano). Si por el contrario H(O) = O = O, entonces H ∗ es la composici´n o ¯ de H : HO −→ HO con la homograf´ HO −→ HO inducida por la c´nica ıa o (teorema 9.26). La correspondencia es obviamente inyectiva y tambi´n es suprayectiva pues, e ¯ dada H ∈ GP(HO ), consideramos tres puntos A, B, C en C y los puntos A , B , C tales que H(OA) = OA , etc. La homograf´ ABC − A B C induce una ıa ∧ homograf´ en GP(HO ) que coincide con la dada sobre las tres rectas OA, OB, ıa OC, luego es la dada. Conviene recordar la forma en que act´a la com- u B posici´n de los isomorfismos anteriores entre GP(C) o A y GP(r). Fijado un punto O en C que no est´ en r, si e A una homograf´ de C hace corresponder los puntos A ıa B O y A , entonces su imagen en r hace corresponder los puntos B y B . r En realidad la figura sugiere una forma de biyectar los puntos de una c´nica o con los de una recta. En efecto, la aplicaci´n f : C −→ r dada por f (P ) = OP ∩r o
- 296. 284 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o ∼ es obviamente biyectiva, y el isomorfismo GP(C) = GP(r) es simplemente el dado por H → H f = f −1 Hf . Ahora podemos traducir a homograf´ sobre c´nicas todos los resultados que ıas o conocemos sobre homograf´ sobre rectas. Por ejemplo, si una homograf´ en ıas ıa una c´nica intercambia dos puntos A y B, podemos asegurar que se trata de una o involuci´n. En realidad es m´s interesante la direcci´n contraria: representar o a o una homograf´ de una recta como homograf´ sobre una c´nica hace mucho ıa ıa o m´s f´cil su estudio, como pronto veremos. Antes vamos a usar las biyecciones a a entre c´nicas y rectas para introducir coordenadas homog´neas en una c´nica. o e o Sea C una c´nica y fijemos en ella tres puntos P0 , P1 y P∞ . Tomemos una o recta r que no pase por P∞ y determinemos en ella los puntos Q0 , Q1 y Q∞ como las im´genes de los de C por la biyecci´n f anterior. La recta af´ r Q∞ a o ın tiene estructura de cuerpo con Q0 y Q1 como neutros de la suma y el producto. La biyecci´n f traslada esta estructura de cuerpo a C P∞ . Vamos a ver que o el resultado no depende de la elecci´n de r, sino tan s´lo de los tres puntos o o tomados como sistema de referencia. En efecto, dados dos puntos x e y en C P∞ , consideremos la homograf´ ıa H dada por P∞ xy − P∞ yx. Se trata de una involuci´n2 que f transporta ∧ o a Q∞ f (x)f (y) − Q∞ f (y)f (x). Existe una unica involuci´n en r con estas ∧ ´ o propiedades, luego necesariamente es la que tiene expresi´n en coordenadas o I(α) = u + v − α, donde u y v son las coordenadas de f (x) y f (y) respectivamente (pues efectiva- mente I permuta u y v y deja fijo a ∞). Luego I(0) = u + v. As´ pues, H(P0 ) = x + y. En resumen, fijados P0 , P1 y P∞ , la suma ı de dos puntos de C P∞ se calcula como H(P0 ), donde H es la involuci´n o P∞ xy − P∞ yx. ∧ Del mismo modo se comprueba que xy se calcula como H(P1 ), donde H es la involuci´n P∞ xy − P0 yx, pues f la transforma necesariamente en la involuci´n o ∧ o cuya expresi´n en coordenadas es I(α) = uv/α, donde, como antes, u y v son o las coordenadas de f (x) y f (y). Con todo esto es inmediato el teorema siguiente: Teorema 9.45 Sea C una c´nica en un plano proyectivo X sobre un cuerpo K. o Sean P0 , P1 y P∞ tres puntos en C. Definimos en C P∞ las operaciones dadas por P∞ xy P0 − P∞ yx (x + y), P∞ xy P1 − P0 yx (xy). ∧ ∧ Entonces C P∞ tiene estructura de cuerpo isomorfo a K. A´n podemos decir m´s. En las condiciones de la discusi´n previa al teorema u a o anterior, hemos visto que el sistema de referencia P0 , P1 , P∞ en C determina el sistema de referencia Q0 , Q1 , Q∞ en la recta r, luego podemos definir las coordenadas homog´neas de un punto P ∈ C como las coordenadas de f (P ). e 2 Notar que no excluimos la posibilidad x = y (ver 8.54).
- 297. 9.6. Homograf´ entrec´nicas ıas o 285 Esto no depende de r, pues si tomamos otra recta r (siempre con la condici´n o de que no pase por P∞ ), entonces tenemos dos biyecciones fr y fr , y es claro −1 que fr ◦fr es la proyecci´n perspectiva de centro P∞ , luego es una homograf´ o ıa, y transforma el sistema de referencia Q0 , Q1 , Q∞ de r inducido por el de C en el sistema de referencia en r inducido por el de C. Por consiguiente fr (P ) y fr (P ) tienen las mismas coordenadas homog´neas en los sistemas de referencia e respectivos. Si representamos las coordenadas homog´neas de un punto P de una c´nica e o C como (1, x), con x ∈ K ∪ {∞}, la correspondencia P → x es un isomorfismo entre C P∞ y K. En principio puede haber varios isomorfismos, pero s´lo uno o corresponde a una asignaci´n de coordenadas. o Ahora podemos caracterizar las homograf´ entre c´nicas en t´rminos de ıas o e coordenadas homog´neas: e Teorema 9.46 Una biyecci´n f : C1 −→ C2 entre dos c´nicas es una homo- o o graf´ si y s´lo si al fijar un sistema de referencia en cada c´nica la coordenada ıa o o y ∈ K ∪ {∞} de la imagen de un punto de coordenada x viene dada por una relaci´n de la forma o ax + b y= , donde ad − bc = 0. cx + d Demostracion: Si la aplicaci´n f es una homograf´ consideramos la apli- ´ o ıa caci´n g : HP∞ −→ HP∞ dada por g(P∞ Q) = P∞ f (Q). Se trata de una o 1 2 1 2 1 2 homograf´ pues si f (P∞ ) = P∞ la aplicaci´n g es simplemente la homograf´ ıa, o ıa 1 2 inducida por f , mientras que si f (P∞ ) = A = P∞ entonces g es la composici´n o ¯ de f : HP∞ −→ HA con la homograf´ HA −→ HP∞ inducida por C2 . 1 ıa 2 1 Tomamos una recta r1 que no pase por P∞ y una recta r2 que no pase 2 por P∞ y consideramos los sistemas de referencia inducidos desde las c´nicas o as´ como las aplicaciones fr1 y fr2 . Sabemos que la homograf´ g induce una ı ıa homograf´ h : r1 −→ r2 . La figura muestra la situaci´n: ıa o 1 P∞ 2 r1 P∞ h(P ) f (P ) P P r2 Si P ∈ C1 , entonces fr1 (P ) es el punto P ∈ r1 colineal con P y P∞ , la 1 1 2 homograf´ g transforma P∞ P en P∞ f (P ) y entonces h transforma P = fr1 (P ) ıa en P∞ f (P ) ∩ r2 , o sea, h(fr1 (P )) = fr2 (f (P )). 2 Por definici´n, las coordenadas homog´neas de P son las de P y las de f (P ) o e son las de h(P ). Como h es una homograf´ la relaci´n entre ellas es la indicada ıa o en el enunciado.
- 298. 286 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Rec´ ıprocamente, si f satisface una ecuaci´n como la del enunciado, ´sta de- o e termina una homograf´ h entre las rectas r1 y r2 , con la cual podemos construir ıa una homograf´ entre las c´nicas invirtiendo el proceso anterior. La homograf´ ıa o ıa que obtenemos verifica la misma relaci´n que f en coordenadas, luego ha de ser o la propia f . Los resultados que hemos obtenido se expresan m´s simplemente si definimos a una homograf´ entre una recta y una c´nica (o al rev´s) como una biyecci´n ıa o e o entre ambas cuya expresi´n en coordenadas sea del tipo o ax + b y= , donde ad − bc = 0. cx + d Es inmediato comprobar que si una tal biyecci´n tiene una expresi´n en o o coordenadas de este tipo respecto a un par concreto de sistemas de referencia, entonces tiene una expresi´n similar respecto a cualquier otro par. Tambi´n o e es claro que la composici´n de cualquier tipo de homograf´ (recta/c´nica, o ıas o c´nica/recta, recta/recta, c´nica/c´nica) es de nuevo una homograf´ as´ como o o o ıa, ı que la inversa de una homograf´ es una homograf´ ıa ıa. La aplicaci´n que a cada punto de una c´nica le asigna sus coordenadas o o homog´neas respecto a un sistema de referencia dado es una homograf´ entre e ıa la c´nica y P1 (K), si O es un punto de una c´nica C y r es una recta que no pasa o o por O, la aplicaci´n f : C −→ r dada por f (P ) = OP ∩ r es una homograf´ o ıa, que podemos llamar proyecci´n perspectiva de centro O. o Ejercicio: Probar que dados tres puntos en una c´nica y otros tres en una recta existe o una unica homograf´ entre ambas que los hace corresponder en un cierto orden. ´ ıa El teorema siguiente contiene en esencia algo que afirmamos sin prueba al definir las c´nicas, y es que en un espacio eucl´ o ıdeo toda c´nica puede obtenerse o mediante una sola proyecci´n perspectiva a partir de un c´ o ırculo. Teorema 9.47 Sean C1 y C2 dos c´nicas en planos distintos π1 y π2 de modo o que la recta r = π1 ∩ π2 es tangente a ambas por un mismo punto A. Entonces existe una proyecci´n perspectiva que transforma C1 en C2 . o Demostracion: Sean B y C dos puntos m´s en C1 , sean P y Q los puntos ´ a donde las tangentes a C1 por B y C cortan a r. Como P y Q est´n sobre a una tangente a C2 , existen puntos B y C en C2 distintos de A tales que sus tangentes pasan por P y Q. Las rectas BB y CC se cortan en un punto O fuera O de π1 y π2 . Entonces ABCP Q = AB C P Q , luego la proyecci´n perspectiva ∧ o desde O transforma C1 en una c´nica que comparte con C2 los puntos A, B , C o y sus tangentes por todos ellos, luego ha de ser C2 . El resto de la secci´n lo dedicamos a estudiar las homograf´ de una c´nica. o ıas o Su comportamiento es especialmente simple. Teorema 9.48 Si A = A , B, B son dos pares de puntos hom´logos por una o homograf´ en una c´nica, entonces AB ∩ A B est´ sobre una recta r indepen- ıa o a diente de la elecci´n de los puntos A y B. o
- 299. 9.6. Homograf´ entrec´nicas ıas o 287 Demostracion: Hemos visto que cada homograf´ en una c´nica [P ] − [P ] ´ ıa o ∧ induce una homograf´ en HA dada por A[P ] − A[P ]. Si componemos ´sta con ıa ∧ e la homograf´ del teorema de Steiner, es decir, A [P ] − A[P ], obtenemos la ıa ∧ homograf´ A [P ] − A[P ] entre los haces HA y HA . Esta homograf´ fija a ıa ∧ ıa la recta AA , luego es una proyecci´n perspectiva, es decir, est´ inducida por o a una perspectividad H. Sea r su eje de perspectiva. Entonces cada par de rectas hom´logas AB y B A se cortan en r (para todo punto B). Falta probar o que r es independiente de A. Ahora bien, si tomamos tres puntos distintos A, B, C con im´genes distintas de ellos tres A , B , C , los puntos AB ∩ A B, a A C ∩ C A, BC ∩ C B son colineales, por el teorema de Pascal aplicado al hex´gono AB CA BC . Si llamamos r0 a la recta que los contiene, vemos que a r0 es la recta r determinada por A y tambi´n la determinada por B. Esto e prueba que si A y B tienen im´genes distintas de ellos mismos (es decir, salvo a si A = B o B = A) ambos determinan la misma recta. Si A = B tomamos un tercer punto C tal que C y C sean distintos de A, A , B, B y concluimos que A, y B determinan ambos la misma recta que C. Por dualidad tenemos tambi´n el teorema siguiente: e Teorema 9.49 Si r = r , s = s son dos pares de tangentes hom´logas por una o homograf´ en una c´nica, entonces la recta que pasa por r ∩s y r ∩s es colineal ıa o con un punto O independiente de la elecci´n de las rectas r y s. o Definici´n 9.50 La recta r y el punto O determinados por los dos teoremas o anteriores reciben el nombre de eje y centro de la homograf´ considerada. ıa Una homograf´ en una c´nica (distinta de la identidad) ıa o P A queda completamente determinada en cuanto conocemos su eje y un par de puntos hom´logos A = A . En efecto, para o encontrar el hom´logo de otro punto P no tenemos m´s que r o a A unir A con P A ∩r. La imagen P ser´ el punto de intersecci´n a o P de esta recta con la c´nica. o La construcci´n dual nos permite trazar la imagen de cualquier tangente a o partir de dos tangentes hom´logas y del centro de la homograf´ Estas cons- o ıa. trucciones muestran tambi´n que los puntos fijos de una homograf´ en una e ıa c´nica C son precisamente las intersecciones de su eje con C. o Teorema 9.51 El centro de una homograf´ en una c´nica es el polo de su eje. ıa o A B C O A B C R S
- 300. 288 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Demostracion: Consideremos tres pares de puntos hom´logos A = A , ´ o B = B , C = C . Sean R = A B ∩ B A y S = A C ∩ C A. De este modo RS es el eje de la homograf´ Las tangentes en A y B se cortan en el polo de AR, ıa. y las tangentes en A y B se cortan en el polo de A R, luego la recta polar de R es la que une ambos puntos de intersecci´n. Similarmente se calcula la polar o de S y la intersecci´n O entre ambas es el polo de RS. Pero, por definici´n, el o o punto O as´ calculado es el centro de la homograf´ ı ıa. Hemos visto c´mo una homograf´ en una c´nica puede calcularse f´cilmente o ıa o a a partir de su eje o de su centro. La situaci´n es a´n m´s simple en el caso de o u a las involuciones. Teorema 9.52 Si A y A son conjugados por una involuci´n en una c´nica, o o entonces la recta AA pasa por su centro. O r A B A B Demostracion: Sean A = A y B, B dos pares de puntos conjugados por ´ la involuci´n. Entonces AB ∩ BA est´ en el eje, y es claro que su imagen o a por la homograf´ que genera la involuci´n es ´l mismo. Todo punto del eje ıa o e puede expresarse de este modo para un B adecuado, luego la homograf´ fija a ıa cada punto de su eje y es, por consiguiente, una perspectividad. Basta probar que su centro de perspectiva coincide con el centro de la involuci´n. Por el o teorema anterior basta probar que el centro de perspectiva O es el polo del eje de perspectiva r. Si tomamos dos pares de conjugados A = A , B = B , entonces los puntos AB ∩ A B y AB ∩ A B est´n en r (notar que el segundo a es A B ∩ A B ). Ahora basta aplicar el teorema 9.38. Con esto podemos construir muy f´cilmente las operaciones en una c´nica, a o pues ´stas se definen en t´rminos de involuciones. Por ejemplo, para calcular e e una suma x + y trazamos la tangente por ∞ y la cortamos con xy, lo que nos da el centro de la involuci´n requerida. Al unirlo con 0 obtenemos x + y. o Similarmente con el producto: x x ∞ 0 ∞ 1 y y x+y 0 xy
- 301. 9.7. C´nicas sobrecuerpos ordenados o 289 Ejercicio: Describir las construcciones para la resta, la divisi´n y la ra´ cuadrada en o ız una c´nica. Interpretar geom´tricamente el hecho de que (cuando el cuerpo es R) los o e n´meros positivos tienen ra´ cuadrada y los negativos no. u ız Ejercicio: Describir el grupo aditivo de una par´bola cuando se toma como P∞ su a punto infinito. Describir el grupo multiplicativo de una hip´rbola cuando se toma e como P0 y P∞ sus puntos infinitos. Es claro que todo punto O que no est´ contenido en una c´nica C es el e o centro de una unica involuci´n en C. Basta considerar dos rectas secantes a C ´ o que pasen por O. Si ´stas cortan a la c´nica en A, A y B, B , la involuci´n e o o AA BB − A AB B tiene claramente centro O. ∧ En el cap´ ıtulo anterior vimos que toda homograf´ en una recta (y por lo ıa tanto en una c´nica) es producto de dos involuciones. El teorema siguiente nos o da la relaci´n entre los centros y los ejes. o Teorema 9.53 El eje de la composici´n de dos involuciones de una c´nica es o o la recta que une sus centros y el centro de la intersecci´n de sus ejes. o Demostracion: Tomemos dos puntos A y B de la c´nica que no sean ´ o puntos fijos o conjugados de ninguna de las involuciones ni de su composici´n. o Entonces la primera involuci´n los transforma en otros dos puntos A1 , B1 , y o la segunda transforma ´stos en otros dos puntos A2 , B2 , de modo que los seis e puntos son distintos. Si O1 y O2 son los centros de las involuciones, por el teorema 9.52 sabemos que O1 = AA1 ∩ BB1 y O2 = A1 A2 ∩ B1 B2 . Al aplicar el teorema de Pascal al hex´gono AA1 A2 BB1 B2 concluimos que O1 O2 contiene a a AB2 ∩ BA2 , que por definici´n es un punto del eje de la composici´n. Por lo o o tanto dicho eje ha de ser O1 O2 . Aplicando la polaridad de la c´nica obtenemos o que el centro es la intersecci´n de los ejes. o O1 B1 A1 O2 A A2 B B2 9.7 C´nicas sobre cuerpos ordenados o Nos ocupamos ahora de las propiedades adicionales que cumplen las c´nicas o cuando el plano que las contiene est´ construido sobre un cuerpo ordenado. a Aunque una gran parte de la teor´ es v´lida para un cuerpo ordenado arbitrario ıa a K, las cosas se simplifican si suponemos que todos los elementos positivos de K tienen ra´ cuadrada, y as´ lo haremos. Esto nos permite contar con el ız ı teorema 8.63.
- 302. 290 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Todos los resultados que ya tenemos sobre ordenaci´n de rectas se transmiten o autom´ticamente a las c´nicas a trav´s de las homograf´ (y de hecho resultan a o e ıas m´s intuitivos). Por ejemplo, si seleccionamos un sistema de referencia P0 , a P1 , P∞ en una c´nica C, cada punto de la c´nica distinto de P∞ admite unas o o coordenadas homog´neas (x, 1) o, equivalentemente, una coordenada cartesiana e x ∈ K, de modo que el orden de K se transmite a una ordenaci´n de C P∞ . o Si cambiamos P0 o P1 la ordenaci´n resultante es la misma o la inversa (pues o las coordenadas cartesianas en dos sistemas de referencia est´n relacionados por a una ecuaci´n de la forma y = ax + b, con a = 0, que conserva o invierte el orden o seg´n el signo de a). u Si r es una recta y H : C −→ r es una homograf´ podemos definir el arco ıa, ABC en C como la antiimagen por H del segmento H(A)H(B)H(C). Esto no depende de la elecci´n de la recta o la homograf´ pues si H : C −→ r o ıa, es otra elecci´n, entonces la aplicaci´n H −1 ◦ H : r −→ r es una homo- o o graf´ luego conserva los segmentos, es decir, transforma H (A)H (B)H (C) ıa, en H(A)H(B)H(C), luego la antiimagen del primero por H coincide con la antiimagen del segundo por H. Si tomamos como homograf´ una proyecci´n perspectiva nos convenceremos ıa o de que la ordenaci´n y los arcos en una c´nica son lo que intuitivamente cabe o o esperar: C A B A B C Todas las propiedades sobre segmentos que hemos probado para rectas son v´lidas para arcos en c´nicas y las pruebas son todas inmediatas. La definici´n a o o de separaci´n de pares de puntos vale ahora para pares de puntos sobre c´nicas, y o o todas las propiedades se demuestran igualmente (o se deducen de las ya probadas a trav´s de homograf´ e ıas). Introducimos ahora un concepto genuinamente bidimensional. Vamos a dis- tinguir los puntos interiores y exteriores de una c´nica. Hay varias formas o equivalentes de definir estos conceptos. Tomaremos una bastante pr´ctica y a demostraremos su equivalencia con algunas otras. Definici´n 9.54 Sea C una c´nica y sea A un punto no contenido en ella. o o Diremos que A es un punto interior (resp. exterior) a C si por A no pasa ninguna tangente (resp. pasan dos tangentes) a C. De este modo, todo punto del plano de una c´nica C es interior a C, est´ en o a C o es exterior a C seg´n si el n´mero de tangentes que pasan por ´l es 0, 1 o 2. u u e Hay una caracterizaci´n m´s abstracta pero muy util de estos conceptos: o a ´ dado un punto O que no est´ contenido en una c´nica C, un punto fijo para la e o involuci´n de centro O es un punto cuya tangente pasa por O, luego la involuci´n o o
- 303. 9.7. C´nicas sobrecuerpos ordenados o 291 ser´ el´ a ıptica o parab´lica seg´n que O sea un punto interior o exterior. El o u teorema 8.63 implica ahora: Teorema 9.55 Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos en una c´nica. En- o tonces se cumple AB CD si y s´lo si AB ∩ CD es un punto exterior, luego o AB ∦ CD si y s´lo si AB ∩ CD es interior. o Es obvio que los puntos de una recta tangente (distintos del de tangencia) son todos exteriores, pues si por un punto que no est´ en una c´nica pasa una a o tangente a la misma, de hecho pasan dos. El teorema siguiente describe la distribuci´n entre puntos interiores y exteriores en una recta secante: o Teorema 9.56 Sea C una c´nica y r una recta que corte a C en dos puntos A o y B. Entonces uno de los segmentos en r de extremos A y B est´ formado por a puntos interiores (aparte de los extremos) y el segmento complementario est´ a formado por puntos exteriores. Demostracion: Sea C un punto en uno de los segmentos de C de extremos ´ A y B. Consideremos la proyecci´n perspectiva de C en r de centro C. Es claro o que fija A y B. Si P es cualquier punto del arco ACB entonces tenemos por definici´n que AB ∦ CP , luego el punto AB ∩ CP es exterior, pero ´ste es la o e proyecci´n perspectiva de P desde C, es decir, la imagen del arco ACB es uno o de los segmentos de r de extremos A y B y est´ formado por puntos exteriores. a An´logamente, si P es un punto del arco complementario de ACB entonces a AC CP , luego la proyecci´n AB ∩ CP es interior, con lo que todos los puntos o del segmento imagen en r son interiores. Para completar esta descripci´n tendr´ o ıamos que probar que si una recta no corta a una c´nica entonces todos sus puntos son exteriores, pero para ello o necesitamos algunas consideraciones previas. Deduciremos esto y varias cosas m´s a partir de una misma construcci´n que pasamos a describir: a o Partamos de dos puntos O y O conjugados respecto a una c´nica C, es decir, o tales que uno est´ contenido en la polar del otro. Supongamos que O es interior. e Probaremos, entre otras cosas, que O es exterior. Q A B O O O C D En primer lugar tomamos una recta que pase por O y que corte a C en dos puntos A y B. Podemos suponer que AB no contiene al punto O (aunque no excluimos de momento que O pueda estar en C y ser, por tanto, A o B). Como O es interior, las rectas AO y BO no pueden ser tangentes a C, luego cortan a la c´nica en dos puntos C y D distintos de los anteriores. La recta CD o cortar´ a AB en un punto O . Vamos a probar que O = O . a
- 304. 292 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Sea Q el punto de intersecci´n de las tangentes por A y B. Entonces tenemos o que p(Q) = O O , luego Q est´ contenido en p(O ) y en p(O ). Por el teorema a 9.38 sabemos que O ⊂ p(O ), y por hip´tesis O ⊂ p(O ), luego en definitiva o p(O ) = p(O ) = OQ, de donde O = O y la figura que tenemos es en realidad: Q A B O O C D Recordemos que podemos llegar a esta situaci´n siempre que O sea interior o a C y O ⊂ p(O). Aplicando dos veces el teorema 9.55 vemos que AC BD, porque O es interior, y de aqu´ que O es exterior. Con esto tenemos demostrado ı lo siguiente: Teorema 9.57 La recta polar de un punto interior de una c´nica contiene o unicamente puntos exteriores (en particular no corta a la c´nica). Equivalente- ´ o mente, si una recta pasa por un punto interior de una c´nica entonces su polo o es un punto exterior. Pero en realidad tenemos m´s. Tomemos una recta r que pase por un punto a interior O de C (con lo que en particular no es tangente a C). Sabemos que la aplicaci´n que a cada punto de r le asigna su unico conjugado en r (es decir, o ´ la intersecci´n de su polar con r) es una involuci´n. Sea O el conjugado de o o O. Entonces tenemos la situaci´n anterior. Ahora llamamos Q a la intersecci´n o o de las tangentes por A y C, que se encuentra sobre la recta OO , ya que esto equivale a que p(Q) contenga a p(OO ) y, efectivamente, p(Q) = AC y el polo de OO es el tercer punto diagonal del cuadril´tero completo de v´rtices A, B, a e C, D. Sea Q = AC ∩ r. Entonces la involuci´n que C determina en r es la dada o por OO QQ − O OQ Q. ∧ A Q Q B O O C D A Ahora bien, es claro que DBAC = OO QQ y, como O es interior, AD BC, ∧ luego DB ∦ AC, luego OO ∦ QQ . El teorema 8.63 nos permite concluir que la involuci´n en r es hiperb´lica, lo que obviamente se traduce en que C corta a r en o o dos puntos distintos. El rec´ ıproco es evidente, y as´ tenemos otra caracterizaci´n ı o del concepto de punto interior: Teorema 9.58 Un punto O es interior a una c´nica C si y s´lo si toda recta o o que pasa por O corta a C en dos puntos distintos.
- 305. 9.7. C´nicas sobrecuerpos ordenados o 293 En particular una recta que no corte ni toque a una c´nica ha de estar o formada completamente por puntos exteriores, tal y como quer´ ıamos probar. M´s a´n, por un punto exterior O siempre pasa una recta sin puntos en com´n a u u con la c´nica. Basta tener en cuenta que p(O) es secante a la c´nica (hay dos o o puntos en la c´nica cuyas tangentes pasan por O y entonces p(O) pasa por los o puntos de tangencia). Por consiguiente p(O) contiene un punto interior Q, luego O ⊂ p(Q) y ya hemos visto que p(Q) est´ formada por puntos exteriores. a Resumimos todo esto en el teorema siguiente: Teorema 9.59 Sea C una c´nica. Un punto P es interior a C si y s´lo si todas o o las rectas que pasan por P son secantes a C, el punto P est´ en C si y s´lo si a o por ´l pasa una unica tangente a C, y P es exterior si y s´lo si por P pasa una e ´ o recta exterior (es decir, disjunta) a C. Tambi´n tenemos probado el teorema siguiente sobre polares: e Teorema 9.60 Las polares de los puntos interiores de una c´nica son las rectas o exteriores, las polares de los puntos exteriores son las rectas secantes, y las polares de los puntos de la c´nica son las tangentes. o Ejercicio: Dados dos puntos A y B ambos interiores (o ambos exteriores) a una c´nica, existe un segmento de extremos A y B formado completamente por puntos o interiores (o exteriores). Ejercicio: El centro de una elipse es un punto interior, mientras que el de una hip´rbola es exterior. e Terminamos con unos teoremas que ilustran una t´cnica de trabajo con e homograf´ sobre rectas: la de representarlas sobre c´nicas. ıas o Teorema 9.61 En una recta real, dos involuciones distintas al menos una de las cuales sea el´ ıptica tienen un unico par com´n de puntos conjugados. ´ u Demostracion: Es equivalente probar el teorema para involuciones sobre ´ rectas que para involuciones sobre c´nicas, pero en este ultimo caso el resultado o ´ es inmediato: una involuci´n el´ o ıptica tiene por centro un punto interior, luego la recta que une los dos centros corta a la c´nica en dos puntos, que obviamente o ser´n conjugados para ambas involuciones. La unicidad es clara. a Conviene destacar el siguiente caso particular: Teorema 9.62 Una involuci´n el´ o ıptica en una recta real tiene un unico par ´ de puntos conjugados harm´nicamente separados respecto a un par de puntos o prefijado. Si las involuciones son ambas hiperb´licas hemos de exigir un poco m´s: o a Teorema 9.63 Dos involuciones hiperb´licas en una recta real cuyos pares de o puntos fijos no se separen tienen un unico par com´n de puntos conjugados. ´ u
- 306. 294 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Demostracion: Podemos trabajar con una c´nica en lugar de una recta. ´ o Sean A, A y B, B los pares de puntos fijos. Las rectas AA y BB se cortan en un punto exterior P , la polar de P corta a la c´nica en dos puntos C y o C . La recta CC contiene a la intersecci´n O de las tangentes por A y A y a o la intersecci´n O de las tangentes por B y B , que son los centros de las dos o involuciones dadas, luego es claro que ambas conjugan a C y C . La unicidad es obvia. 9.8 Complexificaci´n o Los resultados de la secci´n anterior se aplican principalmente al caso de los o planos proyectivos reales. Si consideramos un plano complejo perdemos todas las propiedades de ordenaci´n, pero a cambio ganamos cierta simplicidad en algunos o aspectos. Por ejemplo, toda involuci´n en una recta compleja tiene dos puntos o fijos. Para probarlo s´lo hemos de adaptar de forma obvia el razonamiento del o teorema 8.62. A su vez esto implica que toda recta tiene en com´ n uno o dos u puntos con una c´nica. En efecto, si la recta no es tangente, entonces la c´nica o o induce una involuci´n sobre la recta que empareja a los puntos conjugados por o su polaridad. Los puntos fijos de esta involuci´n han de ser puntos de corte. o El estudio de los espacios proyectivos complejos tiene gran inter´s en geo- e metr´ algebraica, aunque nosotros no entraremos en ello. Aqu´ nos limitaremos ıa ı a usarlos como auxiliares en el estudio de los espacios reales. Para ello observa- mos que la inclusi´n R ⊂ C implica evidentemente Pn (R) ⊂ Pn (C). Puesto que o todo espacio proyectivo real es equivalente (a trav´s de una homograf´ con un e ıa) espacio Pn (R), es claro que todo espacio proyectivo real X se puede sumergir ¯ en un espacio complejo X de la misma dimensi´n de modo que la relaci´n entre o o XyX ¯ sea la misma que entre Pn (R) y Pn (C). Es posible construir X de forma ¯ can´nica a partir de X mediante productos tensoriales, pero no ser´ necesario o a entrar en ello. En su lugar nos apoyaremos en que cualquier cosa que probemos para Pn (R) es de hecho v´lida para cualquier espacio proyectivo de dimensi´n n. a o ¯ Al espacio X lo llamaremos complexificaci´n de X. o Puesto que es dif´ imaginar incluso un plano proyectivo complejo, quiz´ ıcil a sea de ayuda pensar en la relaci´n an´loga que existe entre P2 (Q) y P2 (R) o, o a m´s simplemente a´n, entre los planos afines Q2 y R2 . a u Cada recta racional es de la forma (a, b) + t(p, q), donde t recorre Q. Es claro que est´ contenida en una unica recta real, a saber la que resulta de permitir a ´ que t recorra todo R. Sin embargo hay rectas reales irracionales, en el √ sentido de que no contienen ninguna recta racional. Por ejemplo, la recta t(1, 2 ) no contiene m´s punto racional que (0, 0), pues siempre que la primera coordenada a es racional (no nula) la segunda es irracional. Volviendo al caso de un espacio proyectivo real X y su complexificaci´n o ¯ X, a los puntos de X los llamaremos puntos reales, mientras que a los de X ¯ los llamaremos puntos complejos. A los puntos complejos que no sean reales los llamaremos imaginarios.
- 307. 9.8. Complexificaci´n o 295 Es claro que un conjunto de vectores de Rn+1 es linealmente independiente sobre R si y s´lo si lo es sobre C visto como subconjunto de Cn+1 (si los vectores o son independientes sobre R y tenemos una combinaci´n lineal nula con coefi- o cientes en C, entonces tomando partes reales y partes imaginarias obtenemos dos combinaciones lineales nulas de los mismos vectores pero con coeficientes reales, y as´ tanto las partes reales de los coeficientes como las imaginarias son ı nulas). Por consiguiente un conjunto de puntos de Pn (R) es proyectivamente independiente visto en Pn (R) si y s´lo si lo es visto en Pn (C). o Enunciando esto mismo en general, tenemos que si X es un espacio proyec- tivo real un conjunto de puntos reales es proyectivamente independiente en X o ¯ si y s´lo si lo es en X. De aqu´ que cada variedad L en X est´ contenida en ı a una unica variedad L ´ ¯ en X de la misma dimensi´n (la generada en X por un ¯ o ¯ generador independiente de L en X). Llamaremos variedades complejas a las ¯ variedades de X, de entre ellas, llamaremos variedades reales a las que extien- den a las variedades de X, mientras que a las variedades complejas que no sean reales las llamaremos variedades imaginarias. ¯ Podemos identificar las variedades de X con las variedades reales de X, pues se cumplen todas las propiedades de compatibilidad que cabe esperar, como ¯ ¯ L1 ∩ L2 = L1 ∩ L2 , etc. Toda homograf´ entre dos espacios reales se extiende de forma unica a sus ıa ´ complexificaciones. Basta tomar un sistema de referencia real y considerar la homograf´ compleja que sobre dicho sistema act´a como la dada. Llamaremos ıa u homograf´ reales a las extensiones de homograf´ entre espacios reales. Se ıas ıas caracterizan por que hacen corresponder puntos reales con puntos reales (o tambi´n por que sus matrices respecto a sistemas de referencia reales son reales). e Salvo que aparezca expl´ ıcitamente el adjetivo “complejo” o “imaginario”, cuando hablemos de puntos, rectas, homograf´ ıas, etc. se sobrentender´ que a son reales. Son los unicos que nos interesa estudiar. Los puntos imaginarios ´ ser´n, como ya hemos dicho, auxiliares cuyo inter´s reside en que sabemos que a e forman un espacio proyectivo. Rara vez nos interesar´n las rectas y homograf´ a ıas imaginarias. Con las c´nicas no sucede exactamente lo mismo. Toda c´nica en un plano o o real se extiende a una c´nica en su complexificaci´n (la que pasa por cinco o o puntos de la dada). A estas extensiones las llamaremos c´nicas reales. La o diferencia es que hay ciertas c´nicas imaginarias que podemos estudiar junto o a las reales, y adem´s conviene hacerlo. Se trata de las c´nicas cuya ecuaci´n a o o en un sistema de referencia real tiene coeficientes reales. Hemos probado que cualquiera de estas c´nicas, en un sistema de referencia adecuado, tiene asociada o la ecuaci´n x2 +y 2 +z 2 = 0. Son las c´nicas que llam´bamos “imaginarias” y que o o a entonces dec´ ıamos que correspond´ al conjunto vac´ Ahora podemos decir ıan ıo. que corresponden a ciertas c´nicas de la complexificaci´n del plano compuestas o o ´ ıntegramente de puntos imaginarios. En lo sucesivo la palabra “c´nica” (en un plano real) har´ referencia a una o a c´nica (compleja no degenerada) cuya ecuaci´n en un sistema de referencia real o o
- 308. 296 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o tenga coeficientes reales. Existen, pues, dos clases de c´nicas en un espacio real, o las reales y las imaginarias, en el sentido de que dos c´nicas son del mismo tipo o si y s´lo si existe una homograf´ (real) que transforma una en otra. o ıa Si C es una c´nica en un plano real X y A es su matriz en un sistema de o referencia, entonces A es la matriz de su extensi´n C respecto al mismo sistema o de referencia. La recta polar en X de un punto Q cuyas coordenadas homog´neas e sean X0 es la recta de ecuaci´n X0 AX t = 0, y ´sta es tambi´n la ecuaci´n de la o e e o ¯ ¯ recta polar de Q en X, luego p(Q) en X es la extensi´n de p(Q) en X. En este o sentido podemos decir que la polaridad asociada a la extensi´n de C extiende a o la polaridad de C. M´s a´n, es claro que un punto es real si y s´lo si lo es su recta a u o polar (si la polar es real admite una ecuaci´n con coeficientes reales, digamos o C, y entonces CA−1 son unas coordenadas homog´neas reales del polo). e Si aplicamos esto en particular a los puntos de la c´nica, vemos que la o ¯ tangente a C por un punto real (vista en X) es la extensi´n de su tangente en o X, en otras palabras, que una tangente a una c´nica real por un punto real no o contiene un segundo punto imaginario en com´n con la c´nica, o tambi´n: si u o e una recta real corta a una c´nica en dos puntos, ´stos son ambos reales o ambos o e imaginarios. Si seleccionamos una recta infinita r en un plano real, ´sta tiene uno o dos e puntos en com´n (reales o imaginarios) con cualquier c´nica C, Si C tiene s´lo u o o un punto en com´n con r, es decir, si r es tangente a C, entonces el punto de u tangencia (el polo de una recta real) es un punto real, luego C es una c´nicao real (ya que las c´nicas imaginarias no contienen ning´n punto real) y por o u consiguiente es (la extensi´n de) una hip´rbola. o e Si r corta a C en dos puntos reales concluimos del mismo modo que C es (la extensi´n de) una hip´rbola. o e Por ultimo, si r corta a C en dos puntos imaginarios tenemos dos posibilida- ´ des, o bien la c´nica es real, y entonces se trata de una elipse, o bien la c´nica o o es imaginaria. En resumen, podemos redefinir los conceptos de par´bola, hip´rbola y elipse a e del modo siguiente: Definici´n 9.64 En un espacio af´ real, una par´bola es una c´nica con un o ın a o unico punto en com´n (necesariamente real) con la recta infinita, una hip´rbola ´ u e es una c´nica que corta a la recta infinita en dos puntos reales y una elipse es o una c´nica que corta a la recta infinita en dos puntos imaginarios. o De este modo, las par´bolas e hip´rbolas son siempre reales y son las exten- a e siones de las par´bolas e hip´rbolas en el plano real, mientras que una elipse a e puede ser real (y entonces es la extensi´n de una elipse del plano real) o bien o imaginaria. Tenemos, pues, cuatro tipos de c´nicas afines: hip´rbolas, par´bolas, elipses o e a reales y elipses imaginarias. Es claro que dos c´nicas son del mismo tipo si y o s´lo si hay una afinidad (real) que transforma una en otra. o
- 309. 9.8. Complexificaci´n o 297 Hasta aqu´ hemos distinguido por claridad entre los conceptos de un plano ı real y sus extensiones a su complexificaci´n. En lo sucesivo ya no volveremos a o hacer tal distinci´n. Hemos de pensar que las rectas y c´nicas contienen puntos o o imaginarios que no corresponden con ninguna representaci´n intuitiva, pero que o pueden usarse coherentemente en expresiones como, “la recta r corta a la elipse C en dos puntos imaginarios”. Cuando se trabaja conjuntamente con puntos reales e imaginarios, a menudo surge el problema de probar que un determinado punto es real. Ahora probare- ´ mos un resultado util a este respecto. Este gira en torno al concepto de puntos ´ imaginarios conjugados. Definici´n 9.65 Diremos que dos puntos son imaginarios conjugados si son o imaginarios, est´n situados sobre una recta real y la involuci´n en ella que los a o fija es real. Podr´ıamos definir igualmente “imaginarios conjugados sobre una c´nica”,o sin m´s que cambiar “recta” por “c´nica”. Entonces se cumple que dos puntos a o imaginarios conjugados sobre una c´nica son tambi´n imaginarios conjugados o e sobre una recta. En efecto, si P y Q son puntos imaginarios sobre una c´nica o real y la involuci´n que los fija es real, entonces su eje tambi´n es una recta real o e que corta a la c´nica en P y Q, luego la involuci´n que la c´nica induce en dicho o o o eje por conjugaci´n es real y tiene a P y Q por puntos fijos. o As´ mismo podemos definir el concepto de rectas imaginarias conjugadas ı respecto a un haz de rectas sobre un punto real. Su relaci´n con los puntos o conjugados imaginarios es la siguiente: Ejercicio: Probar que las rectas que unen un punto real con dos puntos imaginarios conjugados son imaginarias conjugadas. El resultado que, como anticip´bamos, ayuda a veces a probar que determi- a nados puntos son reales es el siguiente: Teorema 9.66 Si A1 , A2 y B1 , B2 son dos pares de puntos imaginarios con- jugados sobre rectas distintas, entonces las rectas A1 B1 y A2 B2 se cortan en un punto real. Demostracion: Por definici´n de puntos imaginarios conjugados, las rec- ´ o tas A1 A2 y B1 B2 son reales, luego se cortan en un punto real C. Sea A el conjugado de C respecto a la involuci´n que fija a A1 y A2 y sea B el conjugado o de C respecto a la involuci´n que fija a B1 y B2 Los puntos A y B son ambos o reales. Por el teorema 9.62 podemos tomar dos puntos reales P y Q separados harm´nicamente por A y C y conjugados respecto a la involuci´n (el´ o o ıptica) que fija a A1 , A2 e igualmente dos puntos reales R y S separados harm´nicamente o por B y C y conjugados respecto a la involuci´n que fija a B1 y B2 . Como los o conjuntos harm´nicos son proyectivos tenemos o ACP Q = BCRS ∧ y ACP Q = BCSR. ∧
- 310. 298 Cap´ ıtulo 9. Secciones c´nicas o Cada una de estas proyecciones perspectivas transforma dos pares de con- jugados respecto a la involuci´n el´ o ıptica que fija a A1 y A2 en dos pares de conjugados respecto a la involuci´n el´ o ıptica que fija a B1 y B2 , de donde se sigue f´cilmente que han de transformar todo par de conjugados por la primera a en un par de conjugados por la segunda. En particular las im´genes de A1 y A2 a han de ser B1 y B2 en un cierto orden. Este orden ha de ser distinto para cada una, pues de lo contrario coincidir´ sobre cuatro puntos y ser´ la misma. ıan ıan Por consiguiente una de las dos transforma A1 en B1 y A2 en B2 . Si P es el centro de dicha proyecci´n, entonces P = A1 B1 ∩ A2 B2 y, como la proyecci´n o o es real, su centro P tambi´n lo es. e
- 311. Cap´ ıtulo X La geometr´ parab´lica ıa o Dedicamos este cap´ ıtulo a estudiar la geometr´ eucl´ ıa ıdea desde el punto de vista de la geometr´ proyectiva. En realidad trabajaremos en un contexto m´s ıa a general, la geometr´ parab´lica, cuyo inter´s principal para nosotros ser´ que ıa o e a permite extender una parte de la geometr´ eucl´ ıa ıdea a la complexificaci´n de un o espacio real. Emplearemos t´cnicas sint´ticas, y por simplicidad lo haremos en e e dimensi´n 2. Despu´s esbozaremos la forma de generalizar algebraicamente los o e resultados a dimensiones superiores. Para motivar la descripci´n proyectiva de la geometr´ eucl´ o ıa ıdea vamos a recorrer primero el camino inverso. Partamos de un plano eucl´ ıdeo E y veamos qu´ aporta la estructura eucl´ e ıdea a su compleci´n proyectiva P(E). o Para cada punto Q de la recta infinita r podemos considerar las rectas finitas que pasan por Q, que forman un haz de rectas paralelas en E. Una recta es perpendicular a una de ellas si y s´lo si lo es a las dem´s, y las rectas que o a cumplen esto forman un haz de rectas paralelas, que cortan a r en un mismo punto, al que podemos llamar I(Q). Si escribimos la aplicaci´n I en un sistema o de referencia veremos f´cilmente que se trata de una involuci´n. a o De este modo, todo plano eucl´ıdeo induce en su recta infinita una involuci´n o I con la propiedad de que dos rectas son perpendiculares si y s´lo si sus puntos o infinitos son conjugados. Ejercicio: Probar que la involuci´n inducida en la recta infinita es la inducida por o conjugaci´n a partir de cualquier circunferencia. o 10.1 Espacios parab´licos o Definici´n 10.1 Un plano parab´lico es un plano proyectivo X en el que hemos o o especificado una recta infinita r y en ella una involuci´n I a la que llamaremos o involuci´n ortogonal. El grupo parab´lico de X ser´ el grupo de las afinidades o o a f de X que conservan la involuci´n, es decir, tales que f I(Q) = I f (Q) . o Lo representaremos por Sem(X) y a sus elementos los llamaremos semejanzas 299
- 312. 300 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o de X. Diremos que dos rectas (finitas) s y t son ortogonales o perpendiculares si sus puntos infinitos son conjugados por I. Un plano parab´lico X es en particular un plano af´ Cuando hablemos de o ın. puntos y rectas de X se sobrentender´ que son finitos salvo que se indique lo a contrario. Una semejanza es una afinidad que conserva la perpendicularidad de rectas. El teorema siguiente es inmediato a partir de la definici´n anterior: o Teorema 10.2 En un plano parab´lico X, por cada punto pasa una unica per- o ´ pendicular a una recta dada, dos rectas son paralelas tienen las mismas perpen- diculares, dos rectas con una perpendicular com´n son paralelas. u Un plano parab´lico no es exactamente un plano eucl´ o ıdeo pues, por ejemplo, si la involuci´n I es hiperb´lica entonces existen rectas perpendiculares a s´ o o ı mismas. M´s detalladamente, llamaremos puntos circulares de X a los puntos a fijos de I, si es que existen, y los representaremos por C1 y C2 . Las rectas finitas que pasan por los puntos circulares son perpendiculares a s´ mismas, y ı las llamaremos rectas is´tropas. o Seg´n el teorema 8.62, s´lo existen dos geometr´ parab´licas en un plano u o ıas o proyectivo real, seg´n si la involuci´n ortogonal es el´ u o ıptica o hiperb´lica (es o decir, seg´n si existen o no puntos circulares). El caso el´ u ıptico corresponde, como ya hemos dicho, con la geometr´ eucl´ ıa ıdea usual, mientras que el caso hiperb´lico tiene inter´s porque es el unico posible en un plano complejo. o e ´ Aunque ya hemos dicho que vamos a trabajar sint´ticamente con un plano e parab´lico arbitrario, no est´ de m´s que veamos qu´ es la perpendicularidad o a a e desde un punto de vista algebraico. Diremos que dos vectores u u v son orto- gonales si determinan rectas perpendiculares. Lo representaremos por u ⊥ v, como es habitual. Convenimos que el vector nulo es ortogonal a cualquier otro. Teorema 10.3 Si X es un plano parab´lico, existe una forma bilineal regular o sim´trica F sobre su espacio vectorial asociado de modo que dos vectores u y v e son ortogonales si y s´lo si F (u, v) = 0. o Demostracion: Tomemos un sistema de referencia af´ arbitrario de origen ´ ın O. Consideramos las coordenadas cartesianas en este sistema as´ como las coor- ı denadas homog´neas asociadas, respecto a las cuales la recta infinita es z = 0. e Los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 0) determinan un sistema de referencia en la recta infinita respecto al cual el punto (x, y, 0) tiene coordenadas homog´neas e (x, y). Seg´n el teorema 8.53, la involuci´n ortogonal es una polaridad sim´trica. u o e Sea A su matriz. Sea F la forma bilineal que en el sistema de referencia dado tiene matriz A. Dado un vector no nulo u de coordenadas (a, b), la recta que pasa por O y O + u es −bx + ay = 0, y su punto infinito es (a, b, 0). Su conjugado ortogonal es el punto (c, d, 0) determinado por c (a, b)A = 0. d
- 313. 10.1. Espacios parab´licos o 301 Si llamamos v al vector de coordenadas (c, d), entonces las rectas de direcci´n o v son las que pasan por (c, d, 0), luego tenemos que u ⊥ v, y por otro lado la ecuaci´n anterior implica F (u, v) = 0. o Es claro entonces que todos los vectores v ortogonales a u cumplen la relaci´n o F (u, v) = 0. El rec´ ıproco se prueba invirtiendo el argumento. Notemos que la involuci´n ortogonal determina la forma bilineal F salvo un o factor escalar no nulo. Rec´ ıprocamente, toda forma bilineal sim´trica regular e determina una involuci´n en la recta infinita, por lo que un plano parab´lico o o puede definirse como un plano af´ E tal que en E se ha especificado una forma ın bilineal sim´trica regular. e Si partimos de un espacio eucl´ıdeo E, es f´cil probar que cualquier circun- a ferencia induce en la recta infinita la involuci´n ortogonal. Esto es tanto como o decir que si dos tangentes a una circunferencia son paralelas, entonces la recta que une los puntos de tangencia es perpendicular a ambas. En el camino in- verso que estamos recorriendo vamos a usar este hecho para dar una definici´n o provisional de circunferencia. Teorema 10.4 Sean O y P dos puntos de un plano parab´lico tales que la recta o que determinan no sea is´tropa. Entonces existe una unica c´nica C de centro o ´ o O que pasa por P y que induce en la recta infinita la involuci´n ortogonal. o Demostracion: Sea P∞ el punto infinito de la recta OP y sea P el conju- ´ gado harm´nico de P respecto a O y P∞ . Es claro que P ha de pertenecer a la o c´nica que queremos construir (por las propiedades del centro de una c´nica). o o Sea X un punto de la recta infinita e Y su X conjugado respecto a la involuci´n ortogonal. o Las rectas P X y P Y son distintas, o de lo con- ıamos X = Y = P∞ , y la recta OP trario tendr´ ser´ is´tropa. Del mismo modo concluimos que ıa o P X = OY . Sea S = P X∩P Y y T = P X∩OY . Si P X es tangente a la c´nica o que buscamos, entonces la po- P lar de X ha de ser OP , luego S Y = P∞ . En este caso tenemos O T simplemente S = T = P . Su- Y pongamos ahora que P X no es P tangente a la c´nica que busca- o mos. Y Entonces Y = P∞ y claramente P OP P∞ = ST P X, luego P ∧ y S son conjugados harm´nicos respecto a X y T . Por otra parte o la recta P X ha de cortar a la c´nica en otro punto S . Si S = X o P∞ entonces S = X = Y = S = T . Si S = X entonces la polar de X, que es OY , ha de contener al conjugado harm´nico de X respecto de S y P o (teorema 9.39), que necesariamente ha de ser T , luego en cualquier caso S = S y S est´ en la c´nica. a o
- 314. 302 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o En resumen, la c´nica que buscamos est´ formada necesariamente por los o a puntos de la forma P X ∩ P Y , donde X recorre la recta infinita e Y = I(X). Ahora bien, es claro que P [X] − P [Y ] y ya hemos visto que las rectas P X y ∧ P Y nunca coinciden, luego la homograf´ no es perspectiva, y por consiguiente ıa los puntos de la forma indicada forman en efecto una c´nica. o Definici´n 10.5 Una circunferencia en un plano parab´lico es cualquier c´nica o o o que induzca en la recta infinita la involuci´n ortogonal. o En estos t´rminos hemos probado que si la recta OP no es is´tropa entonces e o existe una unica circunferencia de centro O que pasa por P . Obviamente las ´ circunferencias son elipses si la involuci´n ortogonal es el´ o ıptica y son hip´rbolas e si es hiperb´lica, y en este caso todas las circunferencias pasan por los puntos o circulares (de aqu´ su nombre). ı Ahora vamos a construir las isometr´ para lo cual nos apoyaremos en que ıas, toda isometr´ es producto de reflexiones, que en el caso bidimensional que nos ıa ocupa son simplemente las simetr´ respecto a una recta. ıas Definici´n 10.6 Una reflexi´n es una homolog´ de orden 2 cuyo centro C es o o ıa un punto infinito y cuyo eje r corta a la recta infinita en el punto I(O). Por definici´n, el centro de una homolog´ no est´ sobre su eje, luego no o ıa a puede ser un punto circular y el eje no puede ser is´tropo. Por el teorema 8.54, o cada recta no is´tropa r es el eje de una unica reflexi´n. En efecto, el centro es o ´ o necesariamente el conjugado ortogonal del punto infinito de r, luego la reflexi´n o ha de fijar las rectas perpendiculares a r. Si s es cualquiera de estas rectas y P es el punto de corte con r, entonces la restricci´n a s de la reflexi´n es la unica o o ´ involuci´n que fija al punto infinito y a P . Concretamente env´ cada punto a o ıa su conjugado harm´nico respecto a estos dos. Es f´cil construir expl´ o a ıcitamente una homolog´ con estas caracter´ ıa ısticas. El teorema siguiente clarifica la idea que subyace en la prueba de 10.4: Teorema 10.7 Si C es una circunferencia de centro O y f es una reflexi´n o respecto a una recta que pasa por O, entonces f deja invariante a C. M´s a´n, a u si P y S son dos puntos (finitos) de C, existe una reflexi´n cuyo eje pasa por O o y que transforma P en S. Demostracion: Sea C el centro de la reflexi´n. La polar de C pasa por O ´ o (porque O es el polo de la recta infinita) y por I(C) (porque I es la involuci´no inducida por C en la recta infinita). Por lo tanto es el eje r. Si por C pasan tangentes a C los puntos de tangencia ser´n las intersecciones de r con C, y f los a deja invariantes. Si P es cualquier otro punto de C entonces la recta CP corta a C en otro punto P con la propiedad de que la polar r contiene al conjugado harm´nico de C respecto a P y P , pero esto significa tambi´n que P = f (P ). o e As´ pues, f [C] = C. ı
- 315. 10.1. Espacios parab´licos o 303 Si P y S son puntos de C, es claro que la recta OP no es is´tropa, pues si o existen puntos circulares C1 y C2 , entonces las rectas OCi son tangentes a la circunferencia, luego no contienen a P . Si S = P es obvio que P es su propio conjugado por la reflexi´n de eje OP . Si P es el punto que en la prueba de o 10.4 llam´bamos P entonces S es la imagen de P por la reflexi´n respecto a la a o perpendicular a OP por O. Si S es cualquier otro punto entonces se encuentra en la situaci´n de dicha prueba, y vemos que es el conjugado de P respecto a la o reflexi´n de eje OY . o Como consecuencia inmediata obtenemos: Teorema 10.8 Las reflexiones son semejanzas. Demostracion: Consideremos una reflexi´n f de eje r y centro C. Sea O ´ o un punto cualquiera en r y P cualquier punto fuera de r tal que la recta OP no sea is´tropa. Sea C la circunferencia de centro O que pasa por P . Por el o teorema anterior f [C] = C. Pensemos por un momento en una homograf´ f : X −→ Y entre dos planos ıa proyectivos cualesquiera, de modo que C es una c´nica en X que induce una o involuci´n I en una recta s. Entonces es claro que f [C] es una c´nica en Y que o o induce en f [s] la involuci´n f −1 If . o Si aplicamos esto al caso en que X = Y , f es la reflexi´n que tenemos, s o es la recta infinita, C la circunferencia e I la involuci´n ortogonal, vemos que o f [C] = C induce en f [s] = s la involuci´n f −1 If , pero ´sta tiene que ser I, luego o e I = f −1 If , como hab´ que probar. ıa Definici´n 10.9 Definimos el grupo de isometr´ de un plano parab´lico X o ıas o como el grupo generado por las reflexiones. Lo representaremos por Is(X). Por el teorema anterior sabemos que Is(X) es un subgrupo de Sem(X). Observemos que las homotecias y las traslaciones son obviamente semejanzas, pues fijan cada punto de la recta infinita. Veamos que las traslaciones son tambi´n isometr´ e ıas: Teorema 10.10 El producto de dos reflexiones con ejes paralelos es una tras- laci´n. Toda traslaci´n cuyo centro no sea un punto circular es producto de o o dos reflexiones de ejes paralelos. Si el centro es circular entonces la traslaci´n o es producto de cuatro reflexiones. En particular todas las traslaciones son iso- metr´ıas. Demostracion: Sean f y g dos reflexiones con ejes paralelos. Sea P∞ el ´ punto infinito com´n de sus ejes. Ambas fijan a P∞ y a su centro I(P∞ ) = P∞ , u luego ambas inducen la misma involuci´n en la recta infinita. Por consiguiente o f ◦ g deja invariante cada punto de la recta infinita, as´ como a todas las rectas ı que pasan por I(P∞ ), luego se trata de una traslaci´n. o Sea T una traslaci´n y O un punto arbitrario. Sea P el punto medio entre o O y T (O) y sea P∞ el punto infinito de esta misma recta. Sean r y r las rectas
- 316. 304 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o perpendiculares a OT (O) por O y P . Si P∞ no es un punto circular podemos considerar las reflexiones fr y fr de ejes r y r respectivamente. La composici´n o fr ◦ fr es una traslaci´n que hace corresponder O con T (O), luego fr ◦ fr = T . o Si T tiene como centro un punto circular es claro que podemos expresar T como suma de dos traslaciones con centros arbitrarios (no circulares), y cada una de ellas se puede descomponer en producto de dos reflexiones. Entre las isometr´ se encuentran tambi´n las simetr´ puntuales: ıas e ıas Teorema 10.11 La composici´n de dos reflexiones respecto a ejes perpendicu- o lares es la simetr´ puntual respecto a su punto de intersecci´n. ıa o Demostracion: Sean f y g dos reflexiones en las condiciones indicadas. ´ Sea O el punto de intersecci´n de sus ejes. Entonces ambas inducen la misma o involuci´n en la recta infinita, la que fija a los puntos infinitos de sus ejes. Por o lo tanto f g fija a cada punto de la recta infinita, y tambi´n a O, luego a todas e las rectas que pasan por O. Por consiguiente f g es la homolog´ de centro O y ıa eje la recta infinita, es decir, la simetr´ puntual respecto a O. ıa El teorema siguiente nos permitir´ estudiar la acci´n de las isometr´ sobre a o ıas las circunferencias: Teorema 10.12 Si una isometr´ fija a un punto O, entonces se expresa como ıa producto de reflexiones cuyos ejes pasan por O. Demostracion: Una isometr´ es de la forma f1 · · · fn , donde cada fi es ´ ıa una reflexi´n. Sea fi la reflexi´n cuyo eje es paralelo al de fi y pasa por O o o (quiz´ fi = fi ). Entonces fi fi = Ti es una traslaci´n (quiz´ la identidad) y a o a fi = Ti fi . La isometr´ dada es ıa f1 · · · fn = T1 f1 · · · Tn fn . El grupo de traslaciones es un subgrupo normal del grupo de las afinidades, luego si T es una traslaci´n y f una afinidad se cumple que f −1 T f = T es una o traslaci´n, y T f = f T . Usando esto repetidas veces llegamos a que o f1 · · · fn = f1 · · · fn T, para una cierta traslaci´n T , que cumple T (O) = O, luego T = 1 y el teorema o est´ probado. a El teorema 10.7 implica ahora: Teorema 10.13 Si una isometr´ fija a un punto O, entonces fija todas las ıa circunferencias de centro O. Ahora podemos probar las propiedades de rigidez de las semejanzas e iso- metr´ ıas: Teorema 10.14 Si una semejanza fija a dos puntos O y P tales que la recta OP no es is´tropa, entonces es una reflexi´n o bien la identidad. o o
- 317. 10.1. Espacios parab´licos o 305 Demostracion: Sea f la semejanza. Como f fija tambi´n al punto infinito ´ e de la recta OP , de hecho fija a cada punto de esta recta. El conjugado de dicho punto infinito tambi´n es fijado, luego f fija a todas las rectas perpendiculares e a OP . Consideremos la circunferencia C de centro O y que pasa por P . Entonces f [C] es una circunferencia (porque f conserva la involuci´n ortogonal), tambi´n o e de centro O y que pasa por P , luego por la unicidad f [C] = C. La homograf´ ıa que f induce en C es la identidad o bien intercambia cada par de puntos donde una perpendicular a OP corta a la c´nica, luego es una involuci´n y f tambi´n. o o e En este caso es obvio que se trata de la reflexi´n de eje OP . o Para isometr´ el resultado es m´s fuerte: ıas a Teorema 10.15 Si una isometr´ fija a un punto O y a una recta no is´tropa ıa o que pasa por O, entonces es la identidad, una reflexi´n o una simetr´ puntual. o ıa Demostracion: Sea f la isometr´ y C una circunferencia de centro O que ´ ıa pase por un punto P de la recta del enunciado. Dicha recta ha de cortar a C en otro punto P (no puede ser tangente porque entonces P estar´ en la recta ıa polar de O, que es la recta infinita). Sabemos que f fija a C, luego fija a P y P o bien los intercambia. Si los fija entonces el teorema anterior nos da que f es una reflexi´n o bien la identidad. Si los intercambia, consideremos la reflexi´n o o g respecto a la recta perpendicular a OP que pasa por O. Entonces h = f g fija a O y a P , luego de nuevo por el teorema anterior se trata de la identidad o de la reflexi´n de eje OP , con lo que f = gh es una reflexi´n o bien la simetr´ o o ıa puntual respecto a O. El teorema siguiente nos permite probar que la clasificaci´n de isometr´ o ıas que ya conocemos para los planos eucl´ ıdeos es v´lida igualmente en planos pa- a rab´licos arbitrarios: o Teorema 10.16 Sean f1 , f2 y f3 tres reflexiones cuyos ejes concurran en un punto O (finito o infinito). Entonces la composici´n f1 f2 f3 es una reflexi´n o o cuyo eje pasa por O. Demostracion: Si O es infinito, es decir, si los ejes son paralelos, entonces ´ f2 f3 es una traslaci´n. La prueba del teorema 10.10 muestra que f2 f3 = f1 f4 , o donde f4 es una reflexi´n respecto a un eje paralelo a los otros. Por lo tanto o f1 f2 f3 = f1 f1 f4 = f4 . r Q4 3 Q3 r2 Supongamos ahora que O es un punto finito. Po- demos suponer que los ejes de las tres reflexiones son Q2 distintos dos a dos, pues si dos coinciden el resultado es trivial. Sea P un punto cualquiera tal que la recta r1 OP no sea is´tropa. Sea C la circunferencia de cen- o tro O que pasa por P . Si Q1 es cualquier punto de C, Q6 Q1 definimos Q2 = f1 (Q1 ), Q3 = f2 (Q2 ), Q4 = f3 (Q3 ), Q5 = f1 (Q4 ) y Q6 = f2 (Q5 ). Q5
- 318. 306 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Supongamos que los seis puntos as´ definidos son distintos dos a dos. Enton- ı ces es claro que Q1 Q2 es paralela a Q4 Q5 y Q2 Q3 es paralela a Q5 Q6 . Por el teo- rema de Pascal concluimos que Q6 Q1 es paralela a Q3 Q4 , de donde f3 (Q6 ) = Q1 . As´ pues, (f1 f2 f3 )2 (Q1 ) = Q1 . ı Si los seis puntos no son distintos hemos de estudiar qu´ coincidencias pueden e darse. Notemos en general que Qi = Qi+2 , pues el paso de Qi a Qi+1 se hace mediante una reflexi´n de eje distinto a la que transforma Qi+1 en Qi+2 , y si o se diera la igualdad ambos ejes deber´ pasar por O y por el punto medio de ıan Qi y Qi+1 , luego ser´ el mismo. Un primer caso a considerar es si Q1 = Q4 . ıan La conclusi´n es entonces inmediata. Notamos tambi´n que cualquiera de las o e igualdades Q2 = Q5 o Q3 = Q6 implica Q1 = Q4 . Podemos, pues, descartarlas a todas. Si hacemos una tabla con las igualdades que pueden darse, veremos que las unicas son las de la forma Qi = Qi+1 (incluyendo Q6 = Q1 ). Por ejemplo, la ´ igualdad Q1 = Q5 implica Q2 = Q4 , que es imposible. Adem´s, si dos puntos a consecutivos coinciden el siguiente ha de ser distinto. Por lo tanto todas las identificaciones permiten aplicar una de las variantes del teorema de Pascal. Hay que tener en cuenta que una tangente a C por un punto P es perpendicular a OP (pues la polar del punto infinito de la tangente es OP , y pasa por su conjugado ortogonal). As´ pues, tenemos que (f1 f2 f3 )2 (Q1 ) = Q1 para todo punto (finito) Q1 de ı C, luego (f1 f2 f3 )2 = 1. Tenemos que f1 f2 f3 es una isometr´ que fija a O y a ıa la recta Q1 Q4 (entendida como la tangente a C si Q1 = Q4 ). Tambi´n fija al e punto infinito de esta recta y a la recta perpendicular que pasa por O. A su vez esto implica que f1 f2 f3 es la identidad, una reflexi´n (cuyo eje pasa por O) o la o simetr´ puntual de centro O. Para probar que se trata de una reflexi´n basta ıa o ver que su restricci´n a la recta infinita no es la identidad. o Sean g1 , g2 y g3 las restricciones a la recta infinita de f1 , f2 y f3 . Se trata de tres involuciones hiperb´licas. Si g1 = g2 la conclusi´n es obvia. En caso o o contrario, si g1 g2 g3 = 1 tendr´ ıamos g1 = g2 g3 . Sea P uno de los puntos fijos de g1 . Entonces Q = g2 (P ) = P , pues en caso contrario g1 y g2 tendr´ los ıan mismos puntos fijos (el otro es necesariamente el conjugado ortogonal de P ) y ser´ iguales. Por lo tanto g3 (Q) = P . As´ pues, g2 y g3 tienen el par (P, Q) en ıan ı com´n, pero partiendo del segundo punto fijo de g1 obtenemos otro par com´n u u de conjugados, luego g2 = g3 y llegamos a una contradicci´n. o Definici´n 10.17 Un giro en un plano parab´lico es un producto de dos re- o o flexiones cuyos ejes concurran en un punto O, llamado centro del giro. Un movimiento es un producto de un n´mero par de reflexiones, una simetr´ es un u ıa producto de un n´mero impar de reflexiones. u Teorema 10.18 Sea f una isometr´ en un plano parab´lico y O uno de sus ıa o puntos. 1. Se cumple que f = gT , donde T es una traslaci´n y g una isometr´ que o ıa fija a O.
- 319. 10.1. Espacios parab´licos o 307 2. Si f fija a O entonces f es un giro de centro O o bien una reflexi´n cuyo o eje pasa por O. 3. Los giros de centro O forman un grupo abeliano. 4. f no puede ser a la vez un movimiento y una simetr´ ıa. 5. Todo movimiento es un giro o una traslaci´n. o Demostracion: 1) Es evidente: si f (O) = O basta tomar como T la ´ traslaci´n que cumple T (O) = O . o 2) se sigue del teorema anterior y 10.12. 3) El teorema anterior implica claramente que los giros de centro O forman un grupo. Para probar que es abeliano hemos de ver que si f1 , f2 , f3 , f4 son reflexiones cuyos ejes pasan por O, entonces f1 f2 f3 f4 = f3 f4 f1 f2 . Por el teorema anterior tenemos que f2 f3 f4 tiene orden 2, luego f2 f3 f4 = f4 f3 f2 . Por lo tanto f1 f2 f3 f4 = f1 f4 f3 f2 , y del mismo modo f1 f4 f3 = f3 f4 f1 , luego f1 f2 f3 f4 = f3 f4 f1 f2 . 4) Si f se pudiera expresar como producto de un n´mero par y de un n´mero u u impar de reflexiones, componiendo con una traslaci´n (dos o cuatro reflexio- o nes) podemos suponer que f fija a un punto O, luego por el argumento de 2) tendr´ ıamos que f ser´ a la vez un giro y una reflexi´n, pero esto es imposible, ıa o porque una reflexi´n fija a una recta y un giro s´lo fija a un punto. o o 5) Basta probar que todo movimiento f (excepto las traslaciones cuyo centro es un punto circular) se expresa como producto de dos reflexiones. Tenemos que f se descompone como f = gT , donde T es una traslaci´n y g es un movimiento o que fija a un punto O, luego es un giro de centro O. Si el centro de T no es un punto circular descomponemos T = h1 h2 en producto de dos reflexiones, donde podemos exigir que el eje de h1 pase por O. Sea g = g1 g2 , donde las dos reflexiones pasan por O. Entonces h3 = g1 g2 h1 es una reflexi´n y gT = g1 g2 h1 h2 = h3 h1 h1 h2 = h3 h2 . o Si el centro de T es un punto circular entonces T = T1 T2 , donde los factores son traslaciones con centros no circulares. Si g = 1 entonces gT1 es un giro y gT1 T2 tambi´n. Si g = 1 tenemos el caso que hemos exceptuado. e Para terminar con las generalidades sobre la geometr´ parab´lica introdu- ıa o cimos las nociones de congruencia y semejanza: Definici´n 10.19 Dos figuras en un plano parab´lico son semejantes (resp. o o congruentes) si existe una semejanza (resp. isometr´ que transforma una en ıa) otra. A menudo resulta util esta caracterizaci´n de las isometr´ ´ o ıas: Teorema 10.20 Una semejanza que transforma una circunferencia en otra ıa. congruente es una isometr´
- 320. 308 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Demostracion: Sea f una semejanza en las condiciones del teorema. Sea ´ g una isometr´ entre la circunferencia indicada y su imagen por f . Entonces ıa f g −1 es una semejanza que deja fija a una circunferencia. Basta probar que f g −1 es una isometr´ o, equivalentemente, podemos suponer que f fija a la ıa circunferencia. Sea P un punto de la circunferencia. Existe una reflexi´n h o cuyo eje pasa por el centro O de la circunferencia y que transforma f (P ) en P . Por lo tanto f h fija a P (y a O). Por el teorema 10.14 concluimos que f h es una reflexi´n, luego f es una isometr´ o ıa. Como no estamos suponiendo una ordenaci´n en el cuerpo no podemos ha- o blar de congruencia de segmentos, pero s´ de congruencia de vectores: ı −− → −→ − Diremos que dos vectores AB y CD son congruentes si lo son los pares de −− → −→ − puntos (A, B) y (C, D). Lo representaremos por AB ≡ CD. La definici´n no depende de la elecci´n de los puntos A y B, ya que si o o − −→ −− −→ −→ − tenemos AB = A B , entonces la traslaci´n de vector AA es una congruencia o entre (A, B) y (A , B ), luego no importa qu´ par tomamos para compararlo con e el de otro vector. Diremos que un vector v es is´tropo si lo son las rectas de direcci´n v. Si o o existen puntos circulares entonces hay dos subespacios de vectores is´tropos. o Teorema 10.21 Si v es un vector no is´tropo, entonces los unicos vectores o ´ de v congruentes con v son v y −v. Dos vectores is´tropos no nulos son o congruentes. Demostracion: Sea O un punto cualquiera y P = O + v. Si v no es ´ is´tropo podemos construir la circunferencia C de centro O que pasa por P . La o recta OP no puede ser tangente a C, luego corta a la c´nica en otro punto P , o de modo que la polar de O, es decir, la recta infinita, contiene al conjugado harm´nico de O respecto a P y P , es decir, O es el punto medio entre P y P o o, equivalentemente, P = P − v. Una isometr´ que transforme el par (O, P ) ıa en otro par (O, Q) ha de fijar a O, luego tambi´n a C, luego Q ha de estar sobre e −→ − C, si adem´s OQ ha de estar en v , es decir, si la recta OQ ha de ser OP , a necesariamente Q ha de ser P o P , con lo que tenemos lo pedido. Para probar la segunda parte es suficiente suponer que AB y AC son las dos −−→ − → rectas is´tropas y probar que AB ≡ AC. o Consideremos la reflexi´n f cuyo centro es el punto infinito de la recta BC o y cuyo eje pasa por A. Toda reflexi´n conjuga los puntos circulares, luego o f [AB] = AC y, como la recta BC ha de quedar fija, necesariamente f (B) = C. Teorema 10.22 La circunferencia de centro O que pasa por un punto P est´ a − −→ −→− formada por todos los puntos Q tales que OP ≡ OQ (m´s los puntos circulares, a si los hay).
- 321. 10.2. El planoeucl´ ıdeo 309 −− → −→ − Demostracion: Si OP ≡ OQ entonces existe una isometr´ que fija a O y ´ ıa ´ que transforma P en Q. Esta fijar´ la circunferencia, luego Q estar´ tambi´n a a e en ella. Por otro lado, si Q es un punto de la circunferencia seg´n 10.7 tenemos u que existe una reflexi´n cuyo eje pasa por O y que transforma P en Q, luego o −− → −→ − OP ≡ OQ. Ejercicio: Probar que por tres puntos no colineales entre s´ ni con ning´n punto ı u circular pasa una unica circunferencia. ´ Ejercicio: Probar que si P y Q son dos puntos de una circunferencia de centro O entonces existe un unico giro de centro O que transforma P en Q. ´ 10.2 El plano eucl´ ıdeo Definimos un plano eucl´ ıdeo como un plano parab´lico real cuya involuci´n o o ortogonal es el´ıptica. En esta secci´n estudiaremos los planos eucl´ o ıdeos as´ı definidos y probaremos, entre otras cosas, que son los mismos que ya tenemos definidos axiom´tica y algebraicamente. Las primeras observaciones adicionales a que podemos hacer frente a la teor´ general sobre planos parab´licos son las ıa o siguientes: no hay puntos circulares, luego las circunferencias son elipses, luego el centro de una circunferencia es un punto interior, luego toda recta que pasa por el centro de una circunferencia corta a ´sta en dos puntos. e Acabamos de hacer uso de la ordenaci´n del cuerpo, con la que tampoco o cont´bamos en la teor´ general. Otra consecuencia es que podemos hablar a ıa del segmento AB determinado por dos puntos distintos A y B. Es claro que una afinidad transforma un segmento en otro si y s´lo si hace corresponder sus o extremos: Seg´n la definici´n de congruencia de vectores es claro entonces que u o − −→ −→− AB ≡ CD si y s´lo si o AB ≡ CD. El teorema siguiente introduce la proporcionalidad entre segmentos. Teorema 10.23 Si u y v son dos vectores no nulos existe un unico n´mero real ´ u α 0 tal que v ≡ ±α u. −→ −→ − Demostracion: Podemos representar los vectores como u = OA y v = OB. ´ Sea C la circunferencia de centro O que pasa por A. Sea A uno de los puntos donde OB corta a C. Existe una reflexi´n cuyo eje pasa por O y que transforma o A en A, luego transforma B en un punto B colineal con O y A. As´ pues, ı −→ − → − − − → v = OB ≡ OB = α OA = α u. El teorema 10.21 prueba que podemos cambiar α por −α para garantizar que es positivo, a la vez que nos da la unicidad. Dados dos segmentos AB y CD definimos la raz´n entre ambos como el o − −→ −→ − unico n´mero real α 0 tal que AB ≡ ±α CD. La representaremos por ´ u AB . CD
- 322. 310 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Si los segmentos son colineales podemos conservar el signo de la raz´n, pero o este signo se pierde irremediablemente cuando comparamos segmentos no coli- neales, pues podemos obtener uno u otro seg´n la isometr´ que usemos para u ıa compararlos. De la propia definici´n se desprende que las isometr´ conservan o ıas las razones entre segmentos. Si fijamos un segmento unidad podemos asignar una longitud a cada seg- mento AB como su raz´n respecto a la unidad establecida. La representaremos o indistintamente por AB o por d(A, B), pues tambi´n es la distancia entre A y e B. De nuevo es obvio que las isometr´ conservan las distancias entre puntos. ıas M´s a´n, se cumple d(A, B) = d(C, D) si y s´lo si AB ≡ CD. a u o −−→ En efecto, si P Q es el segmento unidad y u = P Q, entonces d(A, B) es − −→ el unico α 0 tal que AB ≡ ±α u, luego si d(C, D) es tambi´n α, entonces ´ e −−→ −→ − AB ≡ CD. El teorema 10.22 puede expresarse ahora como que una circunferencia de centro O est´ formada por todos los puntos cuya distancia a O es un valor cons- a tante, al que llamamos radio de la circunferencia. El radio de una circunferencia es, pues, la distancia de su centro a uno cualquiera de sus puntos. Cada punto O y cada r 0 determinan una unica circunferencia de centro O y radio r. ´ Es obvio que las isometr´ transforman cada circunferencia en otra de igual ıas radio. Esto nos lleva a la caracterizaci´n natural de las isometr´ o ıas: Teorema 10.24 Una biyecci´n af´ en un plano eucl´ o ın ıdeo es una isometr´ si y ıa s´lo si conserva las distancias entre puntos. o Demostracion: Si una biyecci´n af´ conserva las distancias entonces ´ o ın transforma circunferencias en circunferencias (lo que implica que es una seme- janza), pero como tambi´n conserva el radio, ha de ser una isometr´ (por 10.20, e ıa pues dos circunferencias del mismo radio son congruentes por una traslaci´n que o haga corresponder sus centros). Para relacionar todo esto con los planos eucl´ ıdeos en el sentido algebraico hemos de expresar vectorialmente los conceptos que estamos manejando: − −→ Definimos la norma de un vector v = AB como v = d(A, B). Puesto que las isometr´ (en particular las traslaciones) conservan las distancias es claro ıas que esta definici´n no depende de los puntos escogidos como origen y extremo o − −→ de v. Si leemos en sentido inverso esta definici´n, tenemos que d(A, B) = AB . o Es claro que v ≡ w si y s´lo si v = w , por lo que en realidad no o necesitaremos hablar m´s de equivalencia de vectores. a Diremos que dos vectores forman una base ortonormal si son ortogonales y tienen norma 1. Un sistema de referencia af´ (O; u, v) es ortonormal si su base ın es ortonormal. Teorema 10.25 Sean u y v dos vectores cuyas coordenadas en una base or- tonormal sean (a, b) y√ , b ) respectivamente. Entonces u ⊥ v si y s´lo si (a o aa + bb = 0, y u = a2 + b2 .
- 323. 10.2. El planoeucl´ ıdeo 311 Este teorema afirma que la perpendicularidad y la norma en un plano eucl´ ı- deo en el sentido que aqu´ le hemos dado al t´rmino coinciden con los inducidos ı e por el producto escalar dado por uv = aa + bb , donde (a, b) y (a , b ) son las coordenadas de u y v en una base ortonormal prefijada. Probaremos este teorema juntamente con el que enunciamos a continuaci´n, que implica en par- o ticular que todo espacio eucl´ ıdeo en el sentido algebraico puede obtenerse de esta forma a partir de una involuci´n apropiada en la recta infinita: o Teorema 10.26 Dada una base en un plano af´ real X, existe una unica in- ın ´ voluci´n el´ o ıptica sobre la recta infinita de X de modo que la base es ortonormal respecto a la estructura parab´lica inducida por ella. o Demostracion: Sea u, v una base arbitraria. Podemos representarla en la ´ −→ −→ − forma u = OA, v = OB. Consideramos las coordenadas cartesianas respecto a esta base, as´ como las coordenadas homog´neas asociadas, respecto a las cuales ı e la recta infinita es z = 0. Para que u ⊥ v es necesario que los puntos infinitos de las rectas OA y OB sean conjugados respecto de la involuci´n ortogonal. Sus coordenadas son o (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Para que u = v es necesario que A y B est´n sobre la misma circun- e ferencia de centro O. Para ello han de ser conjugados respecto a una reflexi´n o cuyo eje pase por O. Dicho eje ha de pasar tambi´n por el punto medio de e A(1, 0) y B(0, 1), luego es la recta y = x, la cual ha de ser perpendicular a AB. Los puntos infinitos de estas rectas son (1, 1, 0) y (−1, 1, 0). Por consiguiente la unica involuci´n posible es la determinada por los pares ´ o de conjugados (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 0), (−1, 1, 0). Los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 0) determinan un sistema de referencia en la recta infinita respecto al cual las coordenadas homog´neas de un punto e (x, y, 0) son (x, y). Una matriz de la involuci´n ortogonal (vista como polaridad) o determinada por los dos pares anteriores es la identidad, pues efectivamente conjuga a ambos pares. De aqu´ se sigue que es el´ ı ıptica. Seg´n el teorema 10.3 la ortogonalidad en X est´ determinada por la forma u a bilineal que en el sistema de referencia dado tiene matriz identidad. Esto signi- fica que dos vectores de coordenadas (a, b) y (a , b ) en la base dada son orto- gonales si y s´lo si aa + bb = 0. Vamos a probar que respecto a esta base y la o involuci´n que hemos fijado se cumplen las f´rmulas del teorema 10.25, lo que o o probar´ que la base es efectivamente ortonormal. El teorema 10.25 estar´ as´ a a ı demostrado, pues dada una base ortonormal cualquiera en un plano eucl´ ıdeo, la involuci´n ortogonal ser´ necesariamente la que hemos construido aqu´ luego o a ı, verificar´ las f´rmulas pedidas. a o Calculemos la norma de un vector de coordenadas (a, b) su- b poniendo que la unidad de longitud es u. Si b = 0 se trata M simplemente de |a|. Supongamos que b = 0. Consideramos la circunferencia de centro (0, 0) y que pasa por (a, b). Hemos de a x calcular el punto (x, 0) en que ´sta corta a la recta y = 0 y tal que x 0. Los e
- 324. 312 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o puntos (x, 0) y (a, b) son conjugados por una reflexi´n cuyo eje pasa por (0, 0). o ´ Este tambi´n ha de pasar por el punto medio entre ambos, que es e a+x b M= , . 2 2 Dicho eje ha de ser perpendicular a la recta que pasa por los dos puntos, que tiene vector director (a − x, b). Al desarrollar M ⊥ (a − x, b) obtenemos (a + x)(a − x) b2 + = 0, 2 2 √ luego a2 + b2 = x2 , o tambi´n, x = a2 + b2 . Esta f´rmula vale igualmente si √e o b = 0. As´ pues, (a, b) = a2 + b2 . ı A partir de aqu´ podemos contar con todos los resultados que conocemos ı sobre espacios eucl´ ıdeos en el sentido algebraico, aunque el lector puede entre- tenerse deduciendo por su cuenta en este contexto las propiedades elementales de normas, distancias etc. S´lo nos faltar´ comprobar que las semejanzas tal y como las hemos definido o ıa aqu´ coinciden con las definidas en t´rminos algebraicos. Lo dejamos como ı e ejercicio. Ejercicio: Probar que dos circunferencias cualesquiera son homot´ticas. Si no son e conc´ntricas existen dos homotecias que transforman una en la otra, salvo si tienen e el mismo radio, en cuyo caso una de las homotecias tiene el centro en el infinito y es, por lo tanto, una traslaci´n. Deducir que toda semejanza es la composici´n de una o o isometr´ con una homotecia. ıa A continuaci´n se˜alaremos algunos hechos de inter´s sobre varios aspectos o n e de la geometr´ eucl´ ıa ıdea. La polaridad de una circunferencia Consideremos ahora una circunferen- cia C de centro O y radio r. Vamos a estudiar su polaridad. Consideremos un punto Q = O (pues ya sabemos que la polar de O es la recta infinita). Sea r = p(Q) y P∞ el punto infinito de r. Entonces la polar de P∞ pasa por O (el polo de la recta infinita) y por Q (el polo de r). As´ pues, se trata de OQ. ı El punto infinito de OQ es el conjugado de P∞ por la involuci´n inducida por o C en la recta infinita, es decir, la involuci´n ortogonal. En otras palabras, r o es perpendicular a OQ. Para determinar r basta conocer el punto donde ´sta e ´ corta a OQ. Este es el conjugado de Q respecto a la involuci´n que C induce o
- 325. 10.2. El planoeucl´ ıdeo 313 ´ en OQ. Esta est´ determinada por el hecho de que fija a los dos puntos en que a OQ corta a C. Tomemos un sistema de referencia af´ (O, v) de modo que v ın tenga norma 1 y la direcci´n de OQ. Entonces los puntos de C en OQ tienen o coordenadas ±r. La unica involuci´n que los fija es la que tiene ecuaci´n ´ o o r2 y= , x pues, efectivamente, ´sta cumple e las condiciones y es unica. Vemos, por tanto, ´ −→ − − − → que si p(Q) ∩ OQ = R, entonces OQ OR = r2 . Adem´s Q y R est´n en la a a misma semirrecta respecto de O, y esto caracteriza completamente a la polar. Definici´n 10.27 Diremos que dos puntos Q y R son mutuamente inversos o respecto a la circunferencia de centro O y radio r si ambos se encuentran sobre −→ − − −→ la misma semirrecta de origen O y adem´s OQ OR = r2 . Convenimos en a que O es el inverso de todos los puntos infinitos. En estos t´rminos, la polar de un punto Q respecto a una circunferencia de e centro O es la perpendicular a OP que pasa por el inverso de P . Una f´rmula para la raz´n doble Vamos a probar una conocida f´rmula o o o para la raz´n doble de cuatro puntos A, B, C, D sobre una recta r. Si P es o cualquier punto exterior a r entonces sen AP C sen BP C R(A, B, C, D) = : . sen AP D sen BP D Es importante aclarar que los senos deben tomarse con el signo apropiado. Dados tres puntos no colineales X, Y , Z y fijado un sistema de referencia ortonormal de origen X existe un unico angulo θ ∈ ]−π, π[ tal que el giro de ´ ´ −→ − −→ − angulo θ transforma la semirrecta XY en XZ. Definimos sen Y XZ = sen θ. ´ El signo de θ depende del sistema de referencia, pero el miembro derecho de la f´rmula es independiente de ´ste pues, si lo cambiamos, todos los signos se o e conservan o todos cambian, y en ambos casos la expresi´n queda inalterada. o Si en particular tomamos el sistema de referencia con el se- gundo eje paralelo a una recta r que no contenga a X, es f´cil a ver que podemos escoger una ordenaci´n en r de modo que para o Z todo par de puntos Y , Z en r el signo de sen Y XZ es positivo X o negativo seg´n si Y Z o Z Y . Teniendo esto en cuenta u θ as´ como la expresi´n ı o Y −→ −→− AC BC R(A, B, C, D) = −→ : −→ , − − AD BD es claro que los signos de los dos miembros de la f´rmula que queremos probar o son iguales, y basta probar que los valores absolutos tambi´n lo son. e
- 326. 314 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Recordemos que (ABC) es el ´rea del tri´ngulo ABC. Cla- a a A ramente tenemos P B AC BC (AP C)(BP D) |R(A, B, C, D)| = : = C AD BD (AP D)(BP C) D AP CP sen AP C BP DP sen BP D = AP DP sen AP D BP CP sen BP C sen AP C sen BP C = : . sen AP D sen BP D Bisectrices Ahora caracterizaremos la bisectriz de un ´ngulo en t´rminos pro- a e yectivos. Ante todo conviene definir la raz´n doble de cuatro rectas concurrentes o como la de los puntos donde ´stas cortan a una recta cualquiera. La elecci´n e o de la recta es irrelevante, pues dos cu´druplas correspondientes a dos elecciones a distintas est´n en perspectiva. Es claro que la raz´n doble es un invariante a o respecto a homograf´ entre haces. A su vez diremos que dos pares de rectas ıas en un haz est´n separadas harm´nicamente si su raz´n doble es −1. a o o Dadas dos rectas cualesquiera r1 y r2 concurrentes en s1 r1 un punto P , por el teorema 9.62, que se traduce inmediata- mente a haces de rectas, existen dos unicas rectas perpendi- s2 ´ culares s1 y s2 que pasan por P harm´nicamente conjugadas o r2 respecto a r1 y r2 . La reflexi´n de eje s1 induce una invo- o luci´n en el haz que fija a s1 y s2 , luego ha de hacer corresponder r1 con r2 , y o lo mismo vale para la reflexi´n de eje s2 . Esto implica f´cilmente que cada una o a de las rectas s1 y s2 es la bisectriz de dos de los ´ngulos opuestos por el v´rtice a e que determinan r1 y r2 . Complexificaci´n La involuci´n ortogonal de un espacio eucl´ o o ıdeo se extiende a una unica involuci´n en la recta infinita de su complexificaci´n, que tendr´ dos ´ o o a puntos circulares imaginarios conjugados. Es claro que las circunferencias, se- mejanzas e isometr´ reales siguen si´ndolo respecto de la geometr´ parab´lica ıas e ıa o de la complexificaci´n, por lo que identificaremos cada uno de estos conceptos o con su extensi´n correspondiente. o Las coordenadas de los puntos circulares en una base ortonormal han de ser de la forma (x, y, 0) de modo que x2 +y 2 = 0, luego son concretamente (1, ±i, 0). De aqu´ se sigue que una c´nica contiene a uno de ellos si y s´lo si los contiene ı o o a los dos (la ecuaci´n de la c´nica tiene coeficientes reales y se satisface con las o o coordenadas de uno de los puntos, al aplicar la conjugaci´n compleja obtenemos o que tambi´n se satisface con el otro). Por lo tanto las circunferencias son las e c´nicas que pasan por al menos uno de los puntos circulares. o Ejercicio: Probar que los movimientos se diferencian de las simetr´ en que los ıas primeros fijan a los puntos circulares y las segundas los intercambian.
- 327. 10.2. El planoeucl´ ıdeo 315 Veamos una importante f´rmula debida a Cayley que relaciona el angulo o ´ entre dos rectas con cierta raz´n doble imaginaria. Dadas dos rectas r1 y r2 o concurrentes en un punto O, existen dos giros de centro O que transforman una en la otra. Fijado un sistema de referencia ortonormal de centro O, cada giro tiene asociado un angulo m´dulo 2π (que en realidad es independiente del ´ o sistema de referencia salvo por el signo). Si uno de los giros que transforman r1 en r2 es el de ´ngulo α, el otro es el de ´ngulo α + π. Definimos el ´ngulo entre a a a r1 y r2 como ´ste valor de α, que est´ determinado m´dulo π, y lo represen- e a o taremos por r1 r2 . Si tomamos −π/2 ≤ r1 r2 ≤ π/2 entonces el valor absoluto es el menor ´ngulo que forman las dos rectas, mientras que el signo indica si a para girar r1 hasta superponerla a r2 —recorriendo el menor de los dos angulos ´ posibles—hemos de girar en sentido horario (argumentos decrecientes) o an- tihorario (argumentos crecientes). Este signo depende del sistema de referencia respecto al cual definimos los argumentos. Una caracterizaci´n m´s manejable del ´ngulo entre dos rectas es la siguiente: o a a tomamos un argumento θi de un punto de ri distinto de O. Esto significa que el vector (cos θi , sen θi ) tiene la direcci´n de ri . Es claro que θi est´ determinado o a m´dulo π. Su interpretaci´n es que un giro de angulo θi transforma el primer o o ´ eje coordenado en ri , luego un giro de angulo −θi seguido de un giro de angulo ´ ´ θ2 transformar´ r1 en el eje coordenado y luego en r2 . As´ pues, r1 r2 = θ2 − θ1 . a ı Considerando las coordenadas homog´neas asociadas al sistema de referen- e cia elegido, es claro que los puntos infinitos de ri son (cos θi , sen θi , 0). Por otra parte, en la prueba del teorema 10.25 hemos visto que en el sistema de referen- cia formado por los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), la involuci´n ortogonal, o vista como polaridad, tiene por matriz la identidad, luego las coordenadas de los puntos circulares satisfacen la ecuaci´n x2 + y 2 = 0. Por consiguiente los o puntos circulares tienen coordenadas (1, −i, 0) y (1, i, 0). Sean I1 e I2 las rectas imaginarias que pasan por O y por los puntos circulares. Calculamos la raz´n doble R(r1 , r2 , I1 , I2 ) usando los puntos donde las cuatro o rectas cortan a la recta infinita, que en coordenadas cartesianas son: sen θ1 sen θ2 , , −i, i. cos θ1 cos θ2 Si llamamos θ = θ2 − θ1 = r1 r2 tenemos que −i − sen θ1 cos θ1 −i − sen θ2 cos θ2 R(r1 , r2 , I1 , I2 ) = : i− sen θ1 cos θ1 i− sen θ2 cos θ2 cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2 + i (cos θ1 sen θ2 − sen θ1 cos θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2 − i (cos θ1 sen θ2 − sen θ1 cos θ2 ) cos(θ2 − θ1 ) + i sen(θ2 − θ1 ) = = cos2 θ − sen2 θ + 2i cos θ sen θ cos(θ2 − θ1 ) − i sen(θ2 − θ1 ) = cos 2θ + i sen 2θ.
- 328. 316 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o En definitiva: 1 r1 r2 = arg R(r1 , r2 , I1 , I2 ), 2 que est´ determinado m´dulo π, como ya sab´ a o ıamos.1 Es claro que el segundo miembro de esta f´rmula es independiente del sistema de referencia salvo por un o detalle: si cambiamos de orden I1 , I2 la raz´n doble se invierte y su argumento o cambia de signo. Para que la expresi´n de la derecha nos d´ el ´ngulo entre o e a las dos rectas con el signo adecuado a un sistema de referencia dado hemos de llamar I1 al punto circular cuyas coordenadas son (−i, 1, 0) y no (i, 1, 0). Notar adem´s que el segundo miembro no var´ si sustituimos una recta ri por una a ıa paralela. Ejercicio: Probar mediante la f´rmula de Cayley que r1 r3 = r1 r2 + r2 r3 . o Ejercicio: Probar que r1 r2 + r2 r3 + r3 r1 = π y deducir que los ´ngulos de un tri´ngulo a a suman dos rectos. Dualizaci´n de teoremas eucl´ o ıdeos Terminamos con un ejemplo de una t´cnica muy general que permite obtener nuevos teoremas eucl´ e ıdeos a partir de otros conocidos. Se trata de generalizarlos a teoremas proyectivos, considerar los enunciados duales y particularizar los resultados de nuevo al plano eucl´ ıdeo. Consideremos por ejemplo: Las alturas de un tri´ngulo se cortan en un punto. a Ejercicio: Deducir este hecho del apartado 3 del teorema 8.54. El siguiente enunciado proyectivo es equivalente al teorema cl´sico que aca- a bamos de citar: Si T es un tri´ngulo en un plano real, r una recta que no contiene a a ninguno de sus v´rtices e I una involuci´n el´ e o ıptica en r, entonces las rectas que unen cada v´rtice de T con el conjugado de la intersecci´n e o con r del lado opuesto son concurrentes. Para probarlo basta tomar a r como recta infinita y a I como involuci´n o ortogonal. Entonces las rectas descritas son las alturas del tri´ngulo. Ahora a consideramos el enunciado dual. Notemos que una polaridad transforma una involuci´n en una recta en una involuci´n en el haz de rectas de su polo. As´ o o ı pues, queda: Si T es un tri´ngulo en un plano real, O un punto exterior a sus a lados e I una involuci´n el´ o ıptica en el haz de rectas de O, entonces los puntos de corte entre cada lado de T y la recta conjugada a la que une O y el v´rtice opuesto son colineales. e 1 La expresi´n habitual de esta f´rmula es r r = − i log R(r , r , I , I ), donde log repre- o o 1 2 2 1 2 1 2 senta al logaritmo complejo, que nosotros no hemos definido.
- 329. 10.3. El planode Lorentz 317 Ahora particularizamos este enunciado al caso en que I es la involuci´n en o O que hace corresponder cada recta con su perpendicular (la inducida en el haz de O desde la recta infinita). El resultado es relativamente simple: Dado un tri´ngulo T y un punto O no a contenido en ninguno de sus lados, los puntos donde cada lado corta a la per- pendicular a la recta que une O con el v´rtice opuesto son colineales. e Obtenemos as´ un enunciado “dual” cuya prueba directa no es evidente. ı De hecho por este m´todo de generalizaci´n proyectiva y dualizaci´n se han e o o obtenido teoremas eucl´ ıdeos que hubiera sido dif´ descubrir de otro modo. ıcil 10.3 El plano de Lorentz Aqu´ estudiaremos el plano parab´lico real cuando la involuci´n ortogonal es ı o o hiperb´lica. Antes de particularizar a R es interesante hacer una observaci´n ge- o o neral. En cada plano proyectivo existe una unica geometr´ en estas condiciones ´ ıa pues, dadas dos involuciones hiperb´licas en la recta infinita, una homograf´ o ıa que transforme los puntos fijos de una en los puntos fijos de la otra transformar´ a de hecho una involuci´n en la otra, por lo que cualquier extensi´n al plano con- o o servar´ todas las propiedades definibles a partir de dichas involuciones, y por lo a tanto las geometr´ respectivas tendr´n exactamente las mismas caracter´ ıas a ısticas. A los planos parab´licos cuya involuci´n ortogonal es hiperb´lica se les llama o o o en general planos artinianos.2 El plano artiniano real recibe el nombre de plano de Lorentz y se trata del primer ejemplo que nos encontramos de geometr´ no ıa ıdea.3 Uno de los motivos por los que este plano resulta de inter´s es porque eucl´ e contiene esencialmente la geometr´ de la teor´ de la relatividad especial (en ıa ıa realidad la geometr´ de la relatividad especial es la del espacio de Minkowski, ıa que es el an´logo tetradimensional del plano de Lorentz, pero las caracter´ a ısticas m´s importantes se encuentran igualmente en dos dimensiones). a Para interpretar adecuadamente la geometr´ del plano de Lorentz conviene cono- ıa cer algunos conceptos elementales sobre la cinem´tica relativista. El precio que hay a que pagar por trabajar en dos dimensiones en lugar de cuatro es que hemos de suponer que el espacio f´ ısico tiene una dimensi´n en lugar de tres. Definimos un suceso como o un hecho puntual tanto en el espacio como en el tiempo, es decir, un suceso es algo que sucede en un punto dado y en un momento dado. Imaginemos un observador ´ dotado de un reloj y capaz de medir la distancia entre dos puntos cualesquiera. Este puede identificar cada suceso con un par de n´meros reales (x, t), donde x representa u 2 Artin los llam´ planos hiperb´licos, pero esta nomenclatura no encaja con la tradicional o o en geometr´ proyectiva, donde un plano hiperb´lico es otra cosa. ıa o 3 En cierto sentido el plano proyectivo real es tambi´n un ejemplo de geometr´ no eucl´ e ıa ıdea, pues contradice el axioma de las paralelas, pero podemos considerarlo como una extensi´n del o espacio eucl´ıdeo usual, cosa que no puede decirse del plano de Lorentz.
- 330. 318 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o la distancia entre el observador y el punto donde ocurri´ el suceso y t es el instante o en qu´ ocurri´ seg´n su reloj. El signo de x distingue a los dos puntos del espacio e o u (rectil´ ıneo) situados a la misma distancia, mientras que el signo de t es positivo si el suceso ocurri´ despu´s del instante 0 y negativo en caso contrario. o e De este modo, el observador puede representar la totalidad de C los sucesos en un plano real. La figura muestra algunos ejemplos. El punto O es el suceso (0, 0), es decir, el punto del espacio donde se encontraba el observador en el instante en que puso a 0 su reloj, juntamente con dicho instante. La recta vertical que pasa B por O est´ formada por los sucesos de la forma (0, t), es decir, a son los sucesos de “la vida” del observador. A esta recta se la llama l´ınea de universo del observador, pues son los sucesos del universo que el observador experimenta directamente. Cada recta O A horizontal representa los sucesos de la forma (x, t0 ), para un t0 fijo, es decir, son todos los sucesos acaecidos en un mismo instante t0 , por lo que las rectas horizontales se llaman rectas de simultaneidad. La recta paralela que aparece en ınea de universo de otro observador4 que permanece en reposo respecto la figura es la l´ al primero. Este observador medir´ los sucesos con su propio criterio, por lo que las a coordenadas de un mismo suceso ser´n distintas seg´n el observador. Si suponemos a u que ambos usan las mismas unidades de longitud y de tiempo, y que ambos toman el mismo instante como origen de tiempos, el suceso (x, t) del primer observador ser´ a (x+x0 , t), para el segundo, donde x0 es la posici´n del primer observador medida por el o segundo. Si admitimos que los observadores podr´ haber adoptado criterios distintos ıan para determinar qu´ semirrecta es positiva y cu´l negativa, o si los observadores parten e a de distintos or´ıgenes temporales o usan unidades distintas la ecuaci´n tendr´ algunas o a constantes adicionales, pero no vamos a entrar en ello. Lo unico importante ahora es ´ comprender que los pares (x, t) son en realidad las coordenadas de un suceso respecto a un sistema de referencia determinado por el observador. Consideremos ahora la recta AB de la figura. Se trata de la l´ ınea de universo de un tercer observador que se acerca al primero. El suceso B representa el encuentro de ambos observadores. En principio la l´ ınea de universo de un observador O , desde el punto de vista de un observador O, no tiene por qu´ ser una recta. El hecho de que e lo sea se traduce, por el teorema de Tales, en que O ve a O recorrer espacios iguales en tiempos iguales, es decir, que O se acerca o aleja de O con velocidad constante. Si la l´ ınea de universo de O tiene ecuaci´n x = vt + x0 , entonces la constante v es o la velocidad con que O se acerca o aleja de O. En el diagrama la velocidad de un observador es la inversa de la pendiente de su l´ ınea de universo. Por ejemplo, la recta AC representa a otro observador que parti´ del mismo punto que AB pero con la mitad o de velocidad, de modo que le cuesta el doble de tiempo encontrarse con O. De este modo, para un observador O las rectas verticales son l´ ıneas de universo de observadores en reposo respecto a O, mientras que las rectas oblicuas representan observadores en movimiento uniforme, tanto m´s r´pido cuanto m´s se acerquen a la horizontal. Las a a a rectas horizontales (l´ ıneas de simultaneidad) son las unicas que no pueden ser l´ ´ ıneas de universo de ning´ n observador, pues nadie puede estar simult´neamente en todos u a los puntos del espacio. 4 El t´rmino “observador” no debe interpretarse literalmente. Por ejemplo, este segundo e observador podr´ ser una silla situada a una cierta distancia de nosotros. Cuando hablamos ıa de la forma en que el observador mide un suceso queremos decir la forma en que lo har´ un ıa observador hipot´tico sentado en la silla. e
- 331. 10.3. El planode Lorentz 319 Ahora llegamos al punto crucial, y es determinar la relaci´n entre las coordenadas espaciotemporales de o C dos observadores que se aproximan o se alejan entre s´ Por ejemplo, cabe esperar que el diagrama espa- ı. ciotemporal del observador AC de la figura anterior sea el dado por la figura adjunta. B Observamos que la pendiente de AB ha aumen- tado, lo que significa que su velocidad ha disminuido. Esto es l´gico, pues AC estaba “persiguiendo” a AB, o luego la velocidad con la que el ´ste se aleja de aqu´l e e es en realidad la diferencia entre sus velocidades. O A Ejercicio: Supongamos que un observador O ve la l´ınea de universo de otro observador O como la dada por la ecuaci´n x = vx + x0 . Determinar la relaci´n entre las o o coordenadas (x, t) de un suceso para O y las coordenadas (x , t ) del mismo suceso respecto de O . Suponer que ambos observadores usan las mismas unidades y la misma orientaci´n izquierda/derecha, pero no necesariamente el mismo origen de tiempos. o Pues bien, el ultimo esquema es incorrecto seg´ n la teor´ especial de la relatividad. ´ u ıa Supongamos que las dos rectas verticales del primer diagrama representan las l´ ıneas de universo de dos estrellas que distan un a˜ o luz. La recta AC es la l´ n ınea de universo de una nave que parte de una estrella (o de uno de sus planetas) con rumbo a la otra. Su velocidad es la mitad de la velocidad de la luz, con lo que el viaje le cuesta dos a˜os. En el momento de su partida, la nave env´ un mensaje de radio a su destino, n ıa que viaja a la velocidad de la luz y, por consiguiente, es recibido un a˜ o despu´s. La n e l´ ınea de universo del mensaje es la recta AB. Si la segunda figura reflejara realmente las observaciones desde la nave, tendr´ ıamos que concluir que desde ella el mensaje de radio se ha desplazado a la mitad de la velocidad de la luz. Un mensaje similar que hubiera sido enviado en sentido contrario se habr´ visto moverse a 1,5 veces la ıa velocidad de la luz. Esto tendr´ consecuencias muy interesantes, pues un observador ıa podr´ determinar su velocidad midiendo la velocidad de la luz en distintas direcciones. ıa Pensemos por ejemplo en la Tierra, que sigue al Sol en un movimiento a trav´s del e espacio a una velocidad desconocida en principio. Comparando la posici´n del Solo con la de otras estrellas es posible determinar aproximadamente la direcci´n y la o velocidad en la que el Sol se mueve por la Galaxia, pero esto es s´lo aproximado, pues o las estrellas tambi´n se mueven. Si en un laboratorio midi´ramos la velocidad de la e e luz en direcciones distintas, un c´lculo sencillo nos permitir´ determinar la velocidad a ıa absoluta de la tierra, as´ como la direcci´n en que se mueve. ı o Esto se ha intentado en la pr´ctica. Se trata de los famosos experimentos de a Michelson y Morley (1881–1887) cuyo resultado fue completamente negativo. Estas y muchas otras experiencias confirman que la velocidad de la luz es la misma en todas direcciones y respecto a todos los observadores. En realidad hay que hacer una precisi´n: un observador es inercial si no est´ sometido a la acci´n de ninguna o a o fuerza. El principio de relatividad afirma que todos los observadores inerciales son equivalentes, en el sentido de que las leyes de la f´ ısica se expresan con las mismas f´rmulas respecto a cualquiera de ellos, y en particular la velocidad de la luz es la o misma en todos ellos. El diagrama correcto ser´ el de la figura siguiente. a Al exigir que la l´ınea de universo del rayo de luz tenga la misma pendiente en los dos diagramas nos encontramos con que los dos observadores discrepan en muchos aspectos. Antes veamos en qu´ coinciden: ambos observadores estar´n de acuerdo en e a que su encuentro se produjo en el instante C, el segundo observador est´ legitimado a
- 332. 320 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o a afirmar que su partida se produjo en A y el segundo puede afirmar que recibi´ el o mensaje en B. Todos estos hechos son absolutos, en el sentido de que es absurdo discutirle al primer observador cu´ndo recibi´ ´l el mensaje. a oe C C B B A O A A A Sin embargo el primer observador afirmar´ que el tiempo transcurrido entre A y a B es el mismo que entre A y C (un a˜o), por lo que indirectamente deducir´ que n a el suceso A es simult´neo con el suceso O. Por el contrario, el segundo observador a replicar´ que el tiempo transcurrido entre B y C es el doble que entre A y B, por lo a que considerar´ que el instante A de su partida es simult´neo con un instante A que, a a desde el punto de vista del primer observador, es medio a˜ o posterior a O. As´ pues, n ı cada observador tendr´ su propia l´ a ınea de simultaneidad, OA para el primero, A A para el segundo. Un an´lisis m´s detallado permite probar que ambos observadores a a diferir´n tambi´n en la distancia recorrida y en el tiempo que ha durado el viaje, pero a e no entraremos ahora en ello. Insistiendo en la cuesti´n de la simultaneidad, vemos que o una forma en que el primer observador podr´ probar que es ´l quien tiene raz´n ser´ ıa e o ıa que un tercer observador partiera del mismo punto que el segundo pero al doble de la velocidad de la luz. Si as´ se hiciera, encontrar´ al primer observador en el suceso A , ı ıa y podr´ atestiguar que el segundo observador ya hab´ partido cuando ´l sali´, luego ıa ıa e o ´ste no podr´ mantener consistentemente que parti´ simult´neamente a A . M´s a´n, e ıa o a a u la l´ ınea de universo de este tercer observador ser´ AA , luego si el segundo quisiera ıa mantener su postura deber´ admitir que el tercero ha ido de A hasta A en tiempo ıa cero, lo cual es absurdo. Para que la teor´ de la relatividad sea consistente es necesario que este tercer ıa observador sea f´ ısicamente imposible o, equivalentemente, que nada pueda viajar al doble de la velocidad de la luz. Cambiando las condiciones del ejemplo se ve que es necesario que nada pueda superar la velocidad de la luz. De este modo, sucesos situados a tal distancia espaciotemporal que ni siquiera una onda luminosa pueda ir de uno a otro (como es el caso de A y A o de A y O) no est´n conectados causalmente, a por lo que no existe ning´ n criterio objetivo en virtud del cual alguien pueda decir que u uno es anterior o posterior a otro en el tiempo. Ya no es cierto, pues, que cualquier l´ ınea no horizontal pueda ser una l´ ınea de universo. S´lo pueden serlo aquellas cuya o pendiente no sea inferior a la de los rayos de luz. Puede probarse que cualquier l´ ınea por debajo de las de los rayos de luz es la l´ ınea de simultaneidad de un observador adecuado. Todo esto puede deducirse del principio de relatividad, pero en lugar de ello vamos a mostrar directamente la conclusi´n, es decir, veremos que la geometr´ o ıa del plano de Lorentz es consistente con los postulados de la relatividad especial. Espacio y tiempo Sea X un plano de Lorentz. Su recta infinita tiene dos puntos circulares C1 y C2 , que la dividen en dos segmentos. A los puntos de
- 333. 10.3. El planode Lorentz 321 uno de estos segmentos distintos de sus extremos los llamaremos puntos infinitos espaciales, y a los del otro puntos infinitos temporales. Con esto las rectas que- dan divididas en tres categor´ ıas: is´tropas, espaciales y temporales, seg´n que o u su punto infinito sea un punto circular, un punto espacial o un punto temporal. Dos rectas paralelas son del mismo tipo. Un segmento ser´ is´tropo, espacial o a o temporal seg´n lo sea la recta que lo contiene. Un vector no nulo v es is´tropo, u o espacial o temporal si lo son las rectas de direcci´n v. Si r es una recta no is´tropa o o y P es su punto infinito, su conjugado ortogonal es su conjugado harm´nico res- o pecto a los puntos circulares, luego ´stos separan (harm´nicamente) a P e I(P ). e o Esto significa que P es espacial si y s´lo si I(P ) es temporal, luego las rectas o perpendiculares a rectas espaciales son temporales y viceversa.5 Veamos la interpretaci´n de estos conceptos en t´rminos de la geometr´ af´ o e ıa ın al tiempo que introducimos una precisi´n adicional: la distinci´n entre pasado o o y futuro e izquierda y derecha. Definici´n 10.28 Una orientaci´n es un par ordenado (v1 , v2 ) de vectores o o is´tropos linealmente independientes. o Una orientaci´n as´ definida divide a los vectores no is´tropos en cuatro o ı o regiones angulares, seg´n que sus coordenadas en la base v1 , v2 tengan signos u (+, +), (−, −), (+, −) o (−, +). Fijado un punto O, el sistema de referencia (O, v1 , v2 ) determina un sistema de coordenadas homog´neas respecto al cual la recta infinita es z = 0. Los e puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 0) determinan un sistema de referencia en la recta infinita respecto al cual las coordenadas de (x, y, 0) son (x, y). Si un vector tiene coordenadas (a, b) en la base v1 , v2 , entonces la recta que pasa por O con direcci´n dicho vector es −bx + ay = 0, y su punto infinito es (a, b, 0), o que respecto a la recta infinita es (a, b) y en coordenadas cartesianas es a/b. As´ pues, los vectores de las clases (+, +) y (−, −) corresponden a rectas cuyos ı puntos infinitos tienen la coordenada cartesiana positiva y los de las otras dos clases a puntos cuya coordenada cartesiana es negativa. Estas clases son los dos segmentos que determinan en la recta infinita los puntos P0 = (0, 1) y P∞ = (1, 0), es decir, los puntos circulares. En general hemos tomado como puntos infinitos espaciales a los de uno de estos dos segmentos, arbitrariamente. Respecto de una orientaci´n dada, o tomaremos como puntos infinitos espaciales a los del segmento determinado por los vectores de las clases (+, −) y (−, +), de modo que ´stos ser´n precisamente e a los vectores espaciales, y los vectores temporales ser´n los de las clases (+, +) a y (−, −). Ahora diremos que un vector espacial apunta a la derecha o a la izquierda seg´n si est´ en la clase (−, +) o (+, −). Un vector temporal apunta u a al futuro o al pasado seg´n si est´ en la clase (+, +) o (−, −). u a 5 Las rectas is´tropas ser´n las l´ o a ıneas de universo de los rayos de luz, las rectas temporales ser´n las l´ a ıneas de universo de observadores inerciales y las rectas espaciales ser´n las l´ a ıneas de simultaneidad. M´s exactamente: las l´ a ıneas de simultaneidad de un observador ser´n las a perpendiculares a su l´ınea de universo.
- 334. 322 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o v1 v2 Futuro Izquierda Derecha Pasado Notar que podr´ıamos haber empezado por el concepto de orientaci´n y haber o definido a partir de aqu´ las rectas espaciales y temporales, pero sucede que estos ı conceptos juegan un papel central en la geometr´ del plano de Lorentz, mientras ıa que la orientaci´n y la consecuente distinci´n entre pasado y futuro e izquierda o o y derecha es secundaria. Por ello hemos de tener presente que la distinci´n o espacial/temporal depende s´lo de la distinci´n entre los dos segmentos en que o o los puntos circulares dividen a la recta infinita, pero no de una orientaci´n en o particular. Semejanzas e isometr´ ıas Veamos en qu´ grado respetan las distinciones e entre espacio y tiempo las distintas clases de aplicaciones del plano de Lorentz. Consideremos un punto O y sea P otro punto tal que la recta OP no sea is´tropa. o Digamos, por ejemplo, que es temporal, aunque todo vale igual si es espacial. ´ Sabemos que existe una unica circunferencia C de centro O que pasa por P . Esta ´ ser´ una hip´rbola que pasa por los puntos circulares, luego las rectas is´tropas a e o que pasan por P ser´n sus as´ a ıntotas. La recta OP es secante a C, luego C la divide en dos segmentos, uno formado por puntos exteriores (el que contiene a O) y otro formado por puntos interiores (el que contiene a su punto infinito, que es temporal). Por otro lado, C tambi´n divide a la recta infinita en un segmento e de puntos interiores y otro de puntos exteriores, pero estos segmentos tienen por extremos los puntos circulares, luego uno es el de los puntos espaciales y otro el de los puntos temporales. Como acabamos de ver que existe un punto interior temporal, vemos que los puntos infinitos interiores son exactamente los temporales. As´ pues, todas las rectas temporales cortan a C, mientras que las ı espaciales son exteriores. Una isometr´ que fije a O ha de fijar a C, luego ha de transformar la recta ıa OP en una recta OP tal que P ⊂ C, luego la recta OP ha de ser temporal. Rec´ıprocamente, toda recta temporal es de la forma OP , con P ⊂ C, luego existe una isometr´ que fija a O y transforma P en P , luego OP en OP . ıa Teniendo en cuenta que las traslaciones conservan el car´cter espacial y a temporal, podemos suprimir la restricci´n de que las isometr´ fijen a O, y as´ o ıas ı concluimos: Teorema 10.29 Dos rectas del plano de Lorentz son del mismo tipo (espaciales, temporales o is´tropas) si y s´lo si son congruentes. o o En particular, y a diferencia de lo que sucede en un plano eucl´ ıdeo, no todas las rectas son congruentes. M´s en concreto: una recta no es congruente con a ninguna de sus perpendiculares. Por otra parte, dadas dos rectas no is´tropas o
- 335. 10.3. El planode Lorentz 323 AB y A B , es claro que la homograf´ ABC1 C2 − A B C1 C2 es una semejanza ıa ∧ que transforma una en otra, luego todas las rectas no is´tropas son semejantes. o Ejercicio: Probar que en el plano de Lorentz no es cierto que toda semejanza sea composici´n de una homotecia y una isometr´ o ıa. Diremos que una circunferencia es temporal si las rectas que la cortan y pasan por su centro son temporales o, equivalentemente, si los puntos infinitos interio- res a ella son temporales. Similarmente definimos una circunferencia espacial. Hemos probado que toda circunferencia es espacial o temporal y es claro que dos circunferencias congruentes han de ser del mismo tipo. En cambio, todas las circunferencias son semejantes. Una rama de una hip´rbola es uno de los arcos en que la dividen los puntos e infinitos. Por definici´n, dos cualesquiera de sus puntos A y B no est´n separa- o a dos por los puntos infinitos, luego la recta que los une corta a la recta infinita en un punto exterior. Esto significa que el segmento af´ AB (el que no contiene ın al punto infinito) est´ formado por puntos interiores, luego no contiene puntos a de las as´ ıntotas. Esto significa que la rama est´ contenida en uno de los angulos a ´ determinados por las as´ ıntotas. Un argumento similar prueba que puntos de ramas distintas est´n en semiplanos distintos respecto a ambas as´ a ıntotas, luego concluimos que las ramas de una hip´rbola est´n en dos de los angulos opuestos e a ´ por el v´rtice determinados por sus as´ e ıntotas. De aqu´ se sigue f´cilmente que, respecto de una orien- ı a taci´n dada, de las dos ramas de una circunferencia espa- o cial de centro O, una est´ formada por los puntos P tales a −−→ que OP apunta hacia la izquierda y otra por los punto −−→ P tales que OP apunta hacia la derecha. Similarmente para circunferencias temporales. La figura muestra dos circunferencias del mismo centro. Una temporal, con su rama futura en la parte superior y su rama pasada en la inferior, y otra espacial, con su rama izquierda a la izquierda y su rama derecha a la derecha. Veamos ahora el efecto sobre la orientaci´n de las semejanzas e isometr´ o ıas. Sea v1 , v2 una orientaci´n de un plano de Lorentz. Si f es una semejanza, o entonces f fija o invierte los puntos circulares, luego f (v1 ) ha de ser un m´ltiplo u de v1 o de v2 y lo mismo sucede con f (v2 ). Supongamos que f (v1 ) = αv2 y f (v2 ) = βv1 , con α 0 y β 0. Entonces es f´cil ver que f transforma cada a vector que apunta hacia el futuro en un vector que apunta hacia la derecha, cada vector que apunta hacia el pasado en un vector que apunta hacia la izquierda, cada vector que apunta hacia la derecha en un vector que apunta hacia el pasado y cada vector que apunta hacia la izquierda en un vector que apunta hacia el futuro. Podemos analizar as´ todas las posibilidades, pero lo importante es que ı en cualquier caso f act´a igual sobre todos los vectores de un mismo tipo, es u decir, que si f transforma un vector que apunta hacia el futuro en un vector que apunta hacia la izquierda, entonces transforma a todos los vectores que apuntan hacia el futuro en vectores que apuntan hacia la derecha, etc.
- 336. 324 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Restrinj´monos ahora a isometr´ a ıas. Si una reflexi´n f tiene, por ejemplo, o eje espacial, es claro que conservar´ la izquierda y la derecha. En cambio, si a v es perpendicular al eje, tendremos f (v) = −v, luego los vectores que apun- tan hacia el futuro se transforman en vectores que apuntan hacia el pasado y viceversa. Diremos entonces que f conserva la orientaci´n espacial pero no la o temporal. Similarmente, las reflexiones con eje temporal conservan la orien- taci´n temporal pero no la espacial. En cualquier caso, una reflexi´n nunca o o conserva la orientaci´n. o Si componemos dos reflexiones que conserven ambas la orientaci´n espacial o o ambas la temporal obtendremos un giro que conserva la orientaci´n, mientras o que si componemos una reflexi´n que conserva la orientaci´n espacial con otra o o que conserve la orientaci´n temporal obtendremos un giro que no conserva nin- o guna de las dos orientaciones. A los primeros los llamaremos giros orientados. Las isometr´ que conservan la orientaci´n son las composiciones de traslaciones ıas o con giros orientados, y forman un subgrupo del grupo de los movimientos. Distancia A continuaci´n nos ocupamos del problema de definir una distancia o entre puntos. No podemos definir la proporci´n entre dos vectores cualesquiera, o pues un vector espacial no puede ser congruente con ning´n vector temporal. u Sin embargo s´ podemos comparar dos vectores del mismo tipo. El an´logo al ı a teorema 10.23 es ahora el siguiente: Teorema 10.30 Si u y v son dos vectores ambos espaciales o ambos temporales existe un unico n´mero real α 0 tal que v ≡ ±α u. ´ u −→ −→ − Demostracion: Podemos representar los vectores como u = OA y v = OB. ´ Supongamos, por ejemplo, que ambos son temporales. Sea C la circunferencia de centro O que pasa por A. Claramente la circunferencia es temporal, luego la recta OB ha de cortarla en un punto A . Como A y A est´n ambos sobre C, a existe una isometr´ que fija a O y transforma A en A. Sea B la imagen de B ıa por dicha isometr´ que obviamente est´ sobre la recta OA. Por consiguiente ıa, a −→ − v ≡ OB = α u. El teorema 10.21 prueba que podemos cambiar α por −α para garantizar que es positivo, a la vez que nos da la unicidad. Esto nos permite definir la raz´n entre dos segmentos AB y CD, ambos del o mismo tipo, como el unico escalar positivo ´ AB α= , CD − −→ −→ − tal que AB ≡ ±α CD. Si fijamos dos unidades de longitud, una espacial y otra temporal, podemos definir la longitud de un segmento arbitrario no is´tropo o como su raz´n respecto a la unidad correspondiente, espacial o temporal, y o − −→ la norma de un vector no is´tropo v = AB como la longitud del segmento o AB. La representaremos tambi´n por v . Como en el caso eucl´ e ıdeo se prueba ahora que dos segmentos o vectores ambos espaciales o ambos temporales son congruentes si y s´lo si tienen la misma longitud (o norma). Respecto a los o
- 337. 10.3. El planode Lorentz 325 segmentos y vectores is´tropos (no nulos), sabemos por el teorema 10.21 que o todos son congruentes entre s´ Si convenimos en que los segmentos is´tropos ı. o tienen todos longitud nula y que los vectores is´tropos tienen todos norma nula, o podemos extender el resultado anterior al caso is´tropo, cuyo enunciado queda o como sigue: Teorema 10.31 Dos segmentos o (vectores no nulos) del mismo tipo (espacia- les, temporales o is´tropos) son congruentes si y s´lo si tienen la misma longitud o o (la misma norma). Dado un punto O y un r 0, los puntos cuya distancia a O es igual a r (m´s los puntos circulares) forman dos circunferencias de centro O y radio r. a Un punto P est´ en una u otra seg´n si la recta OP es espacial o temporal. De a u aqu´ se sigue a su vez: ı Teorema 10.32 Una biyecci´n af´ es una isometr´ si y s´lo si conserva el o ın ıa o car´cter espacial, temporal o is´tropo de los segmentos, as´ como su longitud. a o ı Demostracion: Si conserva los vectores is´tropos entonces conserva la ´ o involuci´n ortogonal, luego es una semejanza. Si conserva las longitudes de o segmentos transforma cada circunferencia C en otra circunferencia C del mismo radio. Si adem´s conserva el car´cter de los segmentos entonces C y C son a a ambas espaciales o ambas temporales. Pero dos circunferencias del mismo radio y del mismo car´cter son congruentes (a trav´s de una traslaci´n que haga a e o corresponder sus centros), luego por 10.20 la afinidad es una isometr´ ıa. Producto escalar Vamos a ver que el plano de Lorentz puede ser descrito en t´rminos algebraicos de forma an´loga al plano eucl´ e a ıdeo. Definici´n 10.33 Un sistema de referencia ortonormal es un sistema de re- o ferencia (O; v1 , v2 ) tal que v1 ⊥ v2 , v1 = v2 = 1, v1 es espacial y v2 es temporal. El sistema de referencia est´ orientado si el vector espacial apunta a hacia la derecha y el temporal hacia el futuro. Sabemos que la ortogonalidad de vectores puede expresarse en t´rminos de e una forma bilineal sim´trica regular F . Su matriz en un sistema de referencia e ortonormal ser´ de la forma a 1 0 A= . 0 a (Podemos exigir un 1 porque la forma bilineal est´ determinada salvo un a factor escalar. Con esta restricci´n, la forma F es unica.) Ahora bien, no todas o ´ las matrices de este tipo son posibles. Es necesario que impliquen la existencia de vectores is´tropos. Un vector de coordenadas (x, t) ser´ is´tropo si cumple o a o x (x, t)A = 0, t
- 338. 326 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o es decir, si x2 + at2 = 0. Esta ecuaci´n tiene dos soluciones si y s´lo si a 0. o o Por lo tanto la matriz de la forma bilineal ha de ser 1 0 A= , con c 0. 0 −c2 Entonces los vectores is´tropos son los que cumplen x2 − c2 t2 = 0, es de- o cir x = ±ct. Las rectas is´tropas ser´n las que en el sistema de referencia o a considerado tienen ecuaciones de la forma x = ±ct + x0 . Veamos que, como en el caso eucl´ ıdeo, la forma F tambi´n nos permite e calcular las normas. Consideremos un vector espacial v que en el sistema de referencia dado tenga coordenadas (a, b). La circunferencia centrada en el origen (0, 0) y que pasa por (a, b) cortar´ al eje espacial en un punto (x, 0), de modo a que |x| es por definici´n la norma de v. El punto (x, 0) puede obtenerse a partir o de (a, b) por una reflexi´n cuyo eje pasa por (0, 0). Dicho eje pasar´ tambi´n o a e por el punto medio entre (x, 0) y (a, b), que es a+x b M= , . 2 2 La direcci´n del eje viene dada por el vector de coordenadas M , y ha de ser o perpendicular a la recta que une (x, 0) con (a, b), cuyo vector director es (a−x, b). La condici´n M ⊥ (a − x, b) equivale a x2 = a2 − c2 b2 , luego o v = a2 − c2 b2 = F (v, v). En particular vemos que una condici´n necesaria para que un vector v sea o espacial es que F (v, v) = a2 − c2 b2 0. Si partimos de un vector temporal tendremos que buscar el corte de la cir- cunferencia con el eje temporal, luego buscaremos un punto (0, x). C´lculos a an´logos nos llevan a la ecuaci´n a2 − c2 b2 + c2 x2 = 0, luego en tal caso a o √ −a2 + c2 b2 −F (v, v) v = = . c c Por consiguiente, una condici´n necesaria para que un vector sea temporal o es que F (v, v) = a2 − c2 b2 0. M´s a´n, hemos probado que v = 1 equivale a que a u 1 si v es espacial, F (v, v) = −c2 si v es temporal. Por consiguiente, la matriz de F en cualquier base ortonormal ser´ la misma a matriz A, con la misma constante c. En resumen: Teorema 10.34 Si en un plano de Lorentz fijamos arbitrariamente una unidad de longitud espacial y otra temporal, entonces existe una unica constante c 0 ´ de modo que en cualquier sistema de referencia ortonormal se cumple:
- 339. 10.3. El planode Lorentz 327 1. Dos vectores de coordenadas (x, t) y (x , t ) son ortogonales si y s´lo si o xx − c2 tt = 0. 2. Las rectas is´tropas son las determinadas por las ecuaciones x = ±ct + x0 . o 3. Un vector de coordenadas (x, t) es is´tropo si x2 − c2 t2 = 0, temporal si o x2 − c2 t2 0 y espacial si x2 − c2 t2 0. 4. La norma de un vector de coordenadas (x, y) es √ x2 − c2 t2 si (x, y) es espacial, (x, y) = −x2 + c2 t2 si (x, y) es temporal. c Usando esto podemos probar: Teorema 10.35 Una biyecci´n af´ es una isometr´ si y s´lo si transforma o ın ıa o un sistema de referencia ortonormal en un sistema de referencia ortonormal. Demostracion: La aplicaci´n lineal asociada f transforma una base or- ´ o tonormal (u, v) en otra base ortonormal (u , v ). Dado cualquier w = xu + tv, tendremos que f (w) = xu + tv , luego w y f (w) se calculan ambos a partir de (x, t) por las f´rmulas del teorema anterior, luego w = f (w) y por con- o siguiente f conserva distancias. Adem´s esto muestra que f transforma cada a vector en otro del mismo tipo. Concluimos que f es una isometr´ ıa. Las leyes de la teor´ de la relatividad especial se enuncian muy f´cilmente en ıa a t´rminos de la geometr´ del plano de Lorentz: e ıa 1. Un observador inercial es un sistema de referencia ortonormal orientado. 2. Si dos sucesos tienen coordenadas (x0 , t0 ) y (x1 , t1 ) respecto a un observador inercial, el tiempo transcurrido entre ellos para dicho observador es |t1 − t0 | y la distancia que los separa es |x1 − x0 |. 3. Las l´ ıneas de universo de los rayos de luz son las rectas is´tropas. o ıneas is´tropas tengan ecuaciones de la forma x = ±ct+x0 nos El hecho de que las l´ o permite interpretar ahora la constante c como la velocidad de la luz. Hemos probado que ´sta es la misma para todos los observadores inerciales. e Notemos que la constante c no depende de la estructura parab´lica del es- o pacio de Lorentz, sino de la elecci´n de las unidades de longitud. Si cambiamos o el vector unitario temporal v2 por v2 = c−1/2 v2 , tendremos que F (v2 , v2 ) = −1, es decir, con esta nueva unidad de tiempo c = 1. F´ ısicamente esto se interpreta como que si tomamos como unidad de tiempo el a˜o, entonces tomamos como n unidad de longitud el a˜o luz, con lo que la velocidad de la luz resulta ser de 1 n a˜o luz por a˜o. En resumen, no perdemos generalidad si suponemos c = 1, pero n n pese a ello conservaremos la c para que las f´rmulas que obtengamos coincidan o con las usuales en la teor´ de la relatividad. ıa Los ultimos resultados que hemos obtenido sugieren que adoptemos una ´ serie de convenios que simplifican considerablemente la teor´ En primer lugar ıa.
- 340. 328 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o definimos el producto escalar de dos vectores v y w, cuyas coordenadas en una base ortonormal sean (x, t) y (x , t ), como v w = xx − c2 tt . Sabemos que esta definici´n es independiente de la base elegida. El producto o escalar es una forma bilineal sim´trica regular. Ahora podemos decir que un e vector v es is´tropo, espacial o temporal seg´n si v v es igual, mayor o menor o u que 0. Tenemos que la norma de un vector arbitrario v viene dada por √ vv si v es espacial o is´tropo, o v += √ −v v c si v es temporal. Hemos a˜adido el super´ n ındice + porque en este punto vamos a introducir una nueva norma respecto a la cual todos los resultados se expresan de forma mucho m´s simple: a √ v v si v es espacial o is´tropo, o v = √ vv c si v es temporal. La unica diferencia es que hemos eliminado el signo negativo en el caso ´ temporal, de modo que la ra´ cuadrada ha de entenderse como un n´mero ız u imaginario puro √ parte real positiva. Observar que si c = 1 la definici´n se con o reduce a v = v v. La relaci´n entre ambas normas es que la primera es el o m´dulo de la segunda. o Ahora ya no tenemos vectores espaciales y temporales con la misma norma. Al contrario, la norma diferencia a los vectores espaciales (cuya norma es real) de los temporales (cuya norma es imaginaria). Del mismo modo, consideraremos que la longitud de un segmento temporal es imaginaria. Al incorporar a la norma la distinci´n entre espacio y tiempo, muchos enunciados se simplifican o formalmente. El teorema siguiente recoge los m´s importantes. a Teorema 10.36 Sea X un espacio de Lorentz en el que hemos fijado unas unidades de longitud y de tiempos. Sea r un n´mero real positivo o imaginario u puro con parte real positiva. 1. Un segmento es espacial, temporal o is´tropo seg´n que su longitud sea o u real, imaginaria o nula. 2. Una biyecci´n af´ en X es una isometr´ si y s´lo si conserva las normas o ın ıa o (o las distancias). 3. Para cada punto O, el conjunto formado por los puntos circulares m´sa todos los puntos P tales que OP = r es una circunferencia de centro O. Diremos que su radio es r. Toda circunferencia es de esta forma. 4. Una circunferencia es espacial o temporal seg´n si su radio es real o ima- u ginario.
- 341. 10.3. El planode Lorentz 329 Adem´s tenemos un perfecto an´logo al teorema de Pit´goras: a a a Teorema 10.37 (Teorema de Pit´goras) Si c = 1 y ABC es un tri´ngulo a a rect´ngulo con hipotenusa AB, entonces a 2 2 2 AB = CB + CA . Demostracion: La prueba es la misma que en el caso eucl´ ´ ıdeo. Tenemos − −→ −→ − − → −→ − − → que AB = CB − CA y CB ⊥ CA, luego 2 −→ − − → −→ − − → 2 2 −→ − − → 2 2 AB = (CB − CA)(CB − CA) = CB + CA − 2CB CA = CB + CA . Ahora podemos caracterizar f´cilmente los conceptos de futuro/pasado, iz- a quierda/derecha en t´rminos de coordenadas. Consideremos un sistema de re- e ferencia ortonormal y una orientaci´n. Los vectores de coordenadas (−c, 1) y o (c, 1) son is´tropos linealmente independientes, luego los vectores que determi- o nan la orientaci´n han de ser de la forma α(−c, 1) y β(c, 1). Comparando los o signos de las coordenadas de los vectores de la base (1, 0) y (0, 1) respecto a estas dos bases de vectores is´tropos se concluye que α y β son ambos positivos. o Por consiguiente los vectores (−c, 1) y (c, 1) determinan la misma orientaci´n o que la dada. Usando estos vectores es f´cil probar: a Teorema 10.38 Un vector temporal (espacial) cuyas coordenadas en un sis- tema de referencia ortonormal orientado sean (x, y) apunta hacia el futuro (ha- cia la derecha) si y s´lo si t 0 (resp. x 0) y apunta hacia el pasado (hacia o la izquierda) si t 0 (resp. x 0). Ejemplo Consideremos el caso de la nave que viaja a la mitad de la velocidad de la luz entre dos estrellas a un a˜ o luz de distancia. Esta descripci´n es la correspondiente n o a un observador situado en cualquiera de las dos estrellas. Veamos ahora la situaci´n o desde el punto de vista de un observador en la nave. C C B B A O A A A Con las unidades que estamos manejando se cumple c = 1. Tenemos que OA = 1, √ OC = 2i, luego AC = 12 + (2i)2 = 3 i. Por lo tanto el observador de la nave dir´ a √ que la duraci´n del viaje ha sido de 3 a˜os (aproximadamente un a˜o y nueve meses). o n n Si llamamos AA a la perpendicular a AC por A, su vector director (a, b) ha de ser
- 342. 330 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o perpendicular a (−1, 2) (tomamos las coordenadas en el primer sistema de referencia), luego −a − 2b = 0, o sea, el vector director es (1, −2). Como la recta pasa por A(0, 1) √ es f´cil ver que A tiene coordenadas (0, 1/2), luego AA = 12 + (i/2)2 = 3/2, lo a que significa que la distancia entre las dos estrellas para el segundo observador es de √ 3/2 = 0, 87 a˜os luz. n Giros Vamos a investigar las propiedades del plano de Lorentz que explican los resultados del ejemplo anterior. Todo depende de los giros. Sabemos que los giros con un centro com´n forman un grupo abeliano. En el caso del espacio u eucl´ıdeo ´ste es isomorfo a R/Z, y un isomorfismo viene dado por e cos 2πα sen 2πα α→ . − sen 2πα cos 2πα La situaci´n en el plano de Lorentz es muy distinta. Dado un punto O, o consideramos una circunferencia C de centro O. Un giro de centro O ha de fijar a O y a los dos puntos circulares, luego est´ un´ a ıvocamente determinado por la imagen de un punto cualquiera P1 ⊂ C, que ha de ser otro punto P de C. Graduemos la c´nica tomando como P0 y P∞ los puntos circulares. Sabemos o que C P∞ tiene estructura de cuerpo isomorfo a R, luego los puntos finitos de C tienen estructura de grupo isomorfo a R∗ . Dado cualquier punto finito P ⊂ C, la multiplicaci´n por P transforma P1 en P . Como fija a los puntos circulares o es una semejanza, como fija a la circunferencia es una isometr´ y de hecho un ıa, giro (de nuevo porque fija a los puntos circulares). As´ pues, es el unico giro ı ´ que transforma P1 en P . Es claro entonces que si un giro f de centro O cumple f (P1 ) = Pα , la correspondencia f → α es un isomorfismo entre el grupo de giros y el grupo multiplicativo R∗ . Ejercicio: Probar que el grupo de giros orientados se corresponde con ]0, +∞[. Veamos esto mismo desde un punto de vista algebraico. Tomemos un sis- tema de referencia ortonormal u1 , u2 y consideremos los vectores v1 y v2 de coordenadas 1 1 √ (c, 1) y √ (c, −1). 2c 2c Son dos vectores is´tropos linealmente independientes. Adem´s v1 v2 = 1. Por o a consiguiente f (v1 ) = α v1 y f (v2 ) = β v2 . Adem´s a 1 = v1 v2 = f (v1 )f (v2 ) = αβv1 v2 = αβ. As´ pues, la matriz de f en la base v1 , v2 es ı α 0 Mα = , 0 α−1 y es claro que la aplicaci´n α → Mα es un isomorfismo de grupos. De las o relaciones 1 v1 = √ (cu1 + u2 ) 2c 1 v2 = √ (cu1 − u2 ) 2c
- 343. 10.3. El planode Lorentz 331 se sigue f´cilmente que la matriz de este mismo giro en la base u1 , u2 es: a 1 −1 −1 α 1 0 c 1 −√ √ 2 −c c 0 α−1 2c c −1 α + α−1 α − α−1 2 2c = α − α−1 α + α−1 . c 2 2 As´ pues, la matriz de un giro en un sistema ortonormal cualquiera es de la ı forma α + α−1 α − α−1 2 2c ±Gα = ± α − α−1 α + α−1 , con α 0. c 2 2 Notemos que indirectamente hemos probado que Gα Gβ = Gαβ . Es conve- niente conservar la notaci´n aditiva que tenemos en el caso eucl´ o ıdeo, as´ que ı vamos a componer el isomorfismo α → Gα con el isomorfismo R −→ ]0, +∞[ determinado por una funci´n exponencial. Ello nos lleva a la definici´n siguiente: o o Definici´n 10.39 Sea e 1 un n´mero real. Definimos las funciones seno y o u coseno hiperb´lico (en base e) como las dada por: o ex − e−x ex + e−x senh x = , cosh x = . 2 2 En estos t´rminos hemos probado lo siguiente: e Teorema 10.40 Las matrices de los giros en un sistema de referencia ortonor- mal son las de la forma 1 cosh α senh α ±Gα = ± c , con α ∈ R. c senh α cosh α Adem´s se cumple la relaci´n Gα Gβ = Gα+β . a o Ahora conviene investigar las propiedades de las funciones hiperb´licas. Para o ello podemos suponer c = 1. Fijado un sistema de referencia, la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 est´ formada por los puntos (x, t) que satisfacen la a ecuaci´n x2 − t2 = 1. Uno de sus puntos es (1, 0), y todos los dem´s pueden o a obtenerse a partir de ´ste mediante un giro. Por otra parte tenemos que sus e puntos son los de la forma ±(1, 0)Gα = ±(cosh α, senh α), para α ∈ R. Vemos, pues, que del mismo modo que (cos α, sen α) recorre una circunfe- rencia en el plano eucl´ ıdeo, la expresi´n an´loga con las funciones hiperb´licas o a o recorre una circunferencia en el plano de Lorentz o, m´s exactamente, recorre a una rama de la hip´rbola. La otra rama se obtiene con el signo negativo. e
- 344. 332 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o En particular obtenemos la relaci´n fundamental entre las razones hiperb´- o o licas: cosh2 α − senh2 α = 1. De la definici´n se sigue que cosh α 0, la relaci´n anterior prueba que de o o hecho ha de ser cosh α ≥ 1. Hemos probado que cualquier par (x, t) con x 0 y tal que x2 − t2 = 1 es de la forma (cosh α, senh α). De hecho la expresi´n es o unica, pues hay un unico giro que transforme un punto de una circunferencia en ´ ´ otro dado. Si desarrollamos la igualdad Gα Gβ = Gα+β obtenemos las f´rmulas o para el seno y el coseno hiperb´lico de una suma. Las incluimos en este teorema: o Teorema 10.41 Las funciones hiperb´licas senh : R −→ R y cosh : R −→ R o cumplen las propiedades siguientes: 1. cosh2 α − senh2 α = 1. 2. cosh(α + β) = cosh α cosh β + senh α senh β, senh(α + β) = cosh α senh β + senh α cosh β. 3. cosh 0 = 1, senh 0 = 0, cosh(−α) = cosh α, senh(−α) = − senh α. 4. Para cada par de n´meros reales (x, t) con x 0 existe un unico α ∈ R u ´ tal que x = cosh α, t = senh α. Ejercicio: Probar que si 0 ≤ α β entonces coshα cosh β, senh α senh β. Deducir que cosh α toma exactamente dos veces cada valor x ∈ ]1, +∞[ y que senh α toma una sola vez cada valor real. Ejercicio: Deducir las f´rmulas del ´ngulo doble y del ´ngulo mitad. o a a Ejercicio: Estudiar la funci´n tangente hiperb´lica tanh : R −→ R dada por o o senh x tanh x = . cosh x Notemos ahora que si un giro tiene matriz Gα en un sistema de referencia ortonormal (con origen en el centro de giro) entonces su matriz en cualquier otro sistema de referencia del mismo origen es G±α , pues la traza del giro es 2 cosh α, y es un invariante. Por consiguiente la expresi´n ±Gα asigna a cada o giro f un signo sig f (que es −1 si f intercambia las ramas de las circunferencias y 1 si las deja invariantes) y un ´ngulo α determinado salvo signo. a Ejercicio: Probar que la matriz de cambio de base respecto a dos sistemas de referen- cia ortonormales orientados y con el mismo origen es de la forma Gα . Deducir que un giro tiene la misma matriz en todos los sistemas de referencia ortonormales orientados con origen en su centro. En t´rminos de las funciones hiperb´licas los puntos finitos de la circunfe- e o rencia espacial de radio r y centro el origen de coordenadas son los de la forma r (±r)α = (±r cosh α, ± senh α), α ∈ R. c
- 345. 10.3. El planode Lorentz 333 Los puntos finitos de la circunferencia temporal de radio ir son los que tienen coordenadas (±ir)α = (±rc senh α, ±r cosh α), α ∈ R, es decir, los que se obtienen a partir de (0, r) mediante giros de angulo α. ´ As´ respecto a un sistema de referencia dado, todo punto distinto del origen ı, se expresa de forma unica como rα , donde r es un n´mero real o imaginario puro ´ u no nulo y α es cualquier n´mero real. Diremos que r y α son las coordenadas u polares del punto. El n´mero α es el argumento del punto. Tambi´n podemos u e hablar de las coordenadas polares de un vector no nulo. As´ la acci´n de un ı, o giro de angulo α sobre un vector es sumarle α a su argumento y multiplicarlo ´ por su signo. Ejercicio: Definir el ´ngulo que forman dos rectas, ambas espaciales o ambas tempo- a rales. Probar que el ´ngulo α entre las rectas de vectores v1 y v2 (ambas espaciales o a ambas temporales) viene dado por |v1 v2 | cosh α = + v + . v1 2 Consideremos dos observadores inerciales A ≡ (O; u1 , u2 ) y B ≡ (O , v1 , v2 ). La l´ ınea de universo de B es la recta que pasa por O y tiene direcci´n v2 . Las coordenadas o de v2 respecto al primer observador ser´n de la forma (c senh α, cosh α), para un cierto a α ∈ R (notar que, como v2 apunta hacia el futuro, su segunda componente es positiva), y la ecuaci´n de dicha l´ o ınea de universo ser´ de la forma x = vt+x0 , donde v = c tanh α. a La interpretaci´n f´ o ısica de v es clara: se trata de la velocidad con que A ve alejarse a B. Si v = 0 (o equivalentemente, α = 0) los observadores est´n en reposo relativo. a Por otra parte, la interpretaci´n geom´trica de α tambi´n es clara: se trata del ´ngulo o e e a hiperb´lico que forman las l´ o ıneas de universo de ambos observadores. La condici´n o α = 0 equivale a que ´stas sean paralelas. e De las relaciones trigonom´tricas se sigue f´cilmente que e a 1 v/c cosh α = , senh α = . v2 v2 1− c2 1− c2 (Notar que el signo del seno el de v.) Es claro que al aplicar a u2 el giro de ´ngulo α obtenemos v2 , y como u1 es unitario, a ortogonal a u2 y apunta hacia la derecha, al aplicarle el giro de ´ngulo α se convierte a en v2 . Por consiguiente, si un vector tiene coordenadas (x, t) respecto al observador A, sus coordenadas respecto a B ser´n (x , t ) = (x, t)G−α , y seg´n las relaciones a u anteriores esto equivale a: x − vt t− v c2 x x = , t = . v2 v2 1− c2 1− c2 Si el suceso O tiene coordenadas (x0 , t0 ) respecto al observador B, las coordenadas respecto a B del suceso que en A tiene coordenadas (x, y) son x − vt t− v c2 x x = x0 + , t = t0 + . v2 v2 1− c2 1− c2
- 346. 334 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Estas f´rmulas se conocen como relaciones de Lorentz, y muestran claramente o las propiedades de la geometr´ relativista. Veamos cu´les son sus consecuencias. ıa a Supongamos que B lleva consigo una regla de longitud L. Los extremos de la regla en un instante dado t tendr´n para B coordenadas (a , b ), (a + L, b ). Despejamos x en a la f´rmula anterior: o v2 x = (x − x0 ) 1 − 2 + vt, c sustituimos (x , t ) = (a , b ), (x , t ) = (a + L, b ) y restamos los valores de x resultan- tes. Lo que obtenemos es que para el observador A la regla de B mide v2 L =L 1− , c2 por lo que A considera que la regla de B es m´s corta de lo que B afirma. Del mismo a modo se prueba que si el reloj de B mide un tiempo T entre dos sucesos, el tiempo transcurrido seg´n A ser´ de u a v2 T =T 1− 2, c lo cual nos indica que, seg´ n A, el reloj de B atrasa. u Si v = 0 no hay discrepancias. Si los observadores empiezan a moverse, cada cual est´ legitimado para afirmar que es el otro el que se mueve, mientras ´l permanece en a e reposo, por lo que ninguno notar´ variaci´n alguna en su regla o su reloj, sin embargo a o cada uno ver´ menor la regla del otro y ver´ correr m´s lentamente el reloj del otro.6 a a a La reducci´n de la regla7 y el retraso del reloj ser´n tanto mayores cuanto mayor sea o a la velocidad relativa v. Si A pudiera ver a B moverse a la velocidad de la luz, ver´ıa su regla con longitud 0 y su reloj parado. Esto es imposible, pero dado un suceso de duraci´n arbitrariamente grande (para A) siempre es posible encontrar un observador o B (sin m´s que exigir que v sea suficientemente grande) de modo que perciba el mismo a suceso con duraci´n tan peque˜a como se desee. o n La interpretaci´n geom´trica de todo esto es que la relaci´n entre los sistemas de o e o referencia de dos observadores inerciales es que uno se obtiene del otro aplic´ndole un a giro orientado (m´s una traslaci´n si no tienen el mismo origen de coordenadas), cuyo a o a ´ngulo depende unicamente de la velocidad relativa. ´ Ejemplo En el caso de la nave que viaja entre las dos estrellas, tenemos que la velocidad relativa es v = 1/2 (en realidad v = −1/2 respecto del observador en A la estrella y v = 1/2 respecto del observador B en la nave). El tiempo de viaje ha sido de 2 a˜os para A, mientras que B dice que ha sido de n √ T = 2 1 − (1/2)2 = 3 a˜os.n 6 Este efecto puede compararse con dos personas que se ven desde lejos. Cada una ver´ a a la otra menor que a s´ misma. Sin embargo los efectos de las f´rmulas de Lorentz no ı o corresponden a ilusiones ´pticas, sino a las magnitudes que cada observador medir´ realmente o a si sus instrumentos son suficientemente exactos. Cuando una part´ ıcula subat´mica inestable o es acelerada a velocidades cercanas a la de la luz, el tiempo que tarda en desintegrarse aumenta considerablemente, y no es que “parezca” que la part´ ıcula vive m´s tiempo, es que la part´ a ıcula vive m´s tiempo. a 7 Debemos comentar que en el caso tetradimensional (con un espacio de tres dimensio- nes) esta reducci´n afecta s´lo a la direcci´n del movimiento, mientras que las longitudes o o o perpendiculares al movimiento permanecen inalteradas.
- 347. 10.3. El planode Lorentz 335 Por lo tanto A afirma que el √ reloj de B ha ido m´s lento. Sin embargo B considera a que el inici´ de su viaje (de 3 a˜os) fue simult´neo del suceso A , y A afirma que o n a entre A y C ha pasado un tiempo de √ 3 1 − (1/2)2 = 1, 5 a˜os, n √ que es menos de 3, luego B afirma que es el reloj de A el que atrasa. Ejercicio: Seg´n comentamos al principio de la secci´n, si un observador A ve moverse u o a un observador A a una velocidad v y A ve moverse a un observador A a una velocidad v , no es cierto que A vea moverse a A a una velocidad v = v + v . Si estas velocidades corresponden a ´ngulos hiperb´licos α, α y α , es f´cil ver que a o a α = α + α . Usar la f´rmula de la tangente hiperb´lica de una suma para expresar o o esta relaci´n en t´rminos de las velocidades. o e Semejanzas Para acabar la descripci´n del plano de Lorentz caracterizaremos o las semejanzas en t´rminos similares al caso eucl´ e ıdeo. El resultado b´sico es el a siguiente: Teorema 10.42 Una biyecci´n af´ f en el plano de Lorentz es una semejanza o ın si y s´lo si existe un n´mero real k tal que para todo par de vectores u y v se o u cumple f (u)f (v) = k u v. Demostracion: Es obvio que una aplicaci´n que cumpla esto conserva ´ o la ortogonalidad, luego es una semejanza. Rec´ ıprocamente, si f conserva la ortogonalidad, consideramos una base ortonormal u, v. Si α y β son escalares tales que α u u + β v v = 0, entonces α u + β v ⊥ u + v, luego α f (u) + β f (v) ⊥ f (u) + f (v) y tambi´n α f (u)f (u) + β f (v)f (v) = 0. e Esto prueba que los vectores de R2 dados por (u u, v v) y (f (u)f (u), f (v)f (v)) tienen los mismos vectores ortogonales (α, β) (en el sentido eucl´ıdeo usual), luego son linealmente dependientes, es decir, existe un n´mero real k (no nulo) tal que u f (u)f (u) = k u u y f (v)f (v) = k v v. Usando la bilinealidad del producto es f´cil concluir que este k cumple esto a mismo con cualquier otro vector. Es claro que el n´mero k que cumple el teorema anterior√ a un´ u est´ ıvocamente determinado por f . Llamaremos raz´n de f al n´mero r = k, donde k puede o u ser real positivo o bien imaginario puro con parte real positiva. El teorema anterior implica claramente que si f es una semejanza de raz´n o r entonces para todo par de puntos A y B se cumple 2 2 f (A)f (B) = r2 AB . (10.1)
- 348. 336 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Por consiguiente |f (A)f (B)| = |r| |AB|. Si r es real el segmento AB y su imagen tienen ambos el mismo car´cter espacial o temporal, mientras que si r a es imaginario el car´cter se invierte. a Es evidente entonces que las isometr´ son las semejanzas de raz´n 1. La ıas o raz´n (en este sentido) de una homotecia de radio r es |r|. La raz´n de la o o composici´n de una semejanza de raz´n r con una semejanza de raz´n r es √ o o o r2 r 2 , que en general no es lo mismo que r r . Ejercicio: Probar que si una afinidad f cumple 10.1 entonces es una semejanza de raz´n r. o Ejercicio: Describir las semejanzas de raz´n i. Probar que toda semejanza es pro- o ducto de una isometr´ una homotecia y (quiz´) una semejanza de raz´n i. ıa, a o 10.4 Propiedades m´tricas de las c´nicas e o Ahora estamos en condiciones de caracterizar los conceptos m´tricos de una e c´nica, como son sus focos, sus ejes, sus v´rtices, etc. Vamos a definirlos de o e nuevo sin tener en cuenta las definiciones dadas en la secci´n 4.8. Al final de o la secci´n ser´ evidente que las nuevas definiciones son equivalentes a las dadas o a all´ ı. Definici´n 10.43 Sea C una c´nica. Un eje de C es una recta tal que la reflexi´n o o o respecto a ella deja invariante a C. Un foco F de C es un punto tal que los pares de rectas conjugadas respecto a C que pasan por F son perpendiculares. Un v´rtice de C es un punto de C tal que su tangente es perpendicular al di´metro e a que pasa por ´l. e Salvo que indiquemos lo contrario, cuando hablemos de focos, v´rtices y e ejes de una c´nica entenderemos que son reales. As´ todos los di´metros de o ı, a una circunferencia son ejes, todos sus puntos son v´rtices y su unico foco es su e ´ centro. La situaci´n en las dem´s c´nicas es muy distinta. o a o Teorema 10.44 Una par´bola tiene un unico eje y un unico v´rtice. Adem´s a ´ ´ e a el eje es el di´metro que pasa por el v´rtice. a e Demostracion: Sea O el centro de la par´bola. Que un punto V sea un ´ a v´rtice significa que la recta OV es perpendicular a la tangente por V , es decir, e que ´sta pasa por el conjugado ortogonal O de O. Pero por O pasan s´lo dos e o tangentes a la par´bola. Una es la recta infinita, y la otra toca a la c´nica en a o un punto V que resulta ser el unico v´rtice. ´ e Veamos que OV es un eje. Dado un punto P en la par´bola que no sea V , la a perpendicular a OV por P pasa por O , luego no es tangente a la par´bola, luego a la corta en un segundo punto P . Como OV es la polar de O , el teorema 9.39 nos permite concluir que P y P se corresponden por la reflexi´n respecto a OV . o Finalmente veamos que OV es el unico eje. Si una recta r es un eje entonces ´ la reflexi´n de eje r ha de fijar a la par´bola. Como es una isometr´ es claro o a ıa,
- 349. 10.4. Propiedades m´tricasde las c´nicas e o 337 que ha de fijar a su unico v´rtice, luego V est´ en r. La reflexi´n ha de fijar ´ e a o tambi´n a la tangente por V , lo que s´lo es posible si dicha tangente t es igual e o a r o perpendicular a r. No puede ser t = r, pues, dado un punto P en la par´bola distinto de V , la perpendicular a t por P pasa por O, luego no corta a a la par´bola en otro punto finito, luego la imagen de P por la reflexi´n respecto a o a t, que es otro punto en dicha perpendicular, queda fuera de la c´nica. As´ o ı pues, r es perpendicular a t y pasa por V , luego es OV . La situaci´n en los dem´s tipos de c´nicas no es tan f´cil de estudiar. Re- o a o a cogemos en un teorema lo que podemos obtener por razonamientos similares a los que acabamos de emplear. Teorema 10.45 Sea C una c´nica que no sea una par´bola. Entonces: o a 1. Una recta es un eje de C si y s´lo si es un di´metro perpendicular a su o a di´metro conjugado. a 2. Un punto de C es un v´rtice si y s´lo si est´ sobre un eje. e o a Demostracion: Si r es un eje de C, la reflexi´n de eje r es una isometr´ ´ o ıa que deja fija a C, luego fija a su centro O, luego O est´ en r, es decir, r es a un di´metro. Al fijar a C, la reflexi´n respecto a r transforma pares de rectas a o conjugadas en pares de rectas conjugadas. Como fija a r, tambi´n fija a su e di´metro conjugado, pero esto s´lo es posible si ´ste es perpendicular a r. a o e Rec´ıprocamente, si r es un di´metro perpendicular a su di´metro conjugado a a r , entonces el polo de r es el punto infinito de r , digamos P∞ . Dado un punto Q en C, la perpendicular a r por Q es QP∞ . Si es la tangente por Q entonces Q est´ en la polar de P∞ , o sea, en r, luego es fijado por la reflexi´n respecto a o de r. Si por el contrario QP∞ corta a la c´nica en otro punto Q , entonces el o teorema 9.39 garantiza que Q y Q se corresponden por la reflexi´n respecto a o r. En cualquier caso esta reflexi´n fija a C. o Si un punto V de C est´ en un eje r, entonces el polo de r es el punto infinito a de su di´metro conjugado r , por donde pasa tambi´n la tangente por V a C, a e luego ´sta es perpendicular a r. Rec´ e ıprocamente, si V es un v´rtice y r es el e di´metro que pasa por V , entonces su polo es el punto infinito de la tangente a por V y tambi´n el del di´metro conjugado, luego ´stas son rectas paralelas y e a e la tangente es perpendicular a r, luego el di´metro conjugado tambi´n. a e Este teorema no afirma nada sobre la existencia de ejes o v´rtices. Vamos e a probar que toda c´nica que no sea una par´bola ni una circunferencia tiene o a exactamente dos ejes. El n´mero de v´rtices depender´ de forma obvia del tipo u e a de c´nica. Al mismo tiempo probaremos que existen dos focos. o Sea C una hip´rbola o una elipse real o imaginaria que no sea una circunfe- e rencia, es decir, que no pase por ninguno de los puntos circulares C1 y C2 . Sean l1 , l2 las tangentes a C que pasan por C1 y l3 , l4 las tangentes por C2 . Sean F1 , F2 , F1 , F2 las intersecciones entre estas tangentes, en el orden que indica la figura:
- 350. 338 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o B∞ C1 A∞ l2 l1 F1 F1 l3 C2 O l4 F2 F2 El cuadril´tero completo dual de lados l1 , l2 , l3 , l4 est´ circunscrito a C y a a sus pares de v´rtices opuestos son (C1 , C2 ), (F1 , F2 ), (F1 , F2 ). Por el dual del e teorema 9.38, las tres rectas determinadas por estos pares son los lados de un tri´ngulo autopolar, es decir, tal que cada v´rtice es el polo del lado opuesto. a e Sus v´rtices son los puntos A∞ , B∞ , O, definidos como indica la figura. e Por lo tanto tenemos que O es el polo de la recta infinita C1 C2 , luego O es el centro de C. En particular es un punto real. Veremos que las rectas a = F1 F2 y b = F1 F2 son los unicos ejes de C. Por comodidad los llamaremos ya ejes aunque ´ no hayamos probado todav´ que lo son. Similarmente, a los puntos F1 , F2 , F1 , ıa F2 los llamaremos focos, aunque probaremos que s´lo dos de ellos cumplen la o definici´n que hemos dado, mientras que los otros dos ser´n puntos imaginarios. o a De momento tenemos que los ejes son dos di´metros y que hay dos focos sobre a cada eje. Adem´s los focos son los v´rtices de un cuadril´tero completo cuyos a e a puntos diagonales son el centro O y los puntos circulares. Por la propia definici´n o de separaci´n harm´nica tenemos H(O, A∞ ; F1 , F2 ) y H(O, B∞ ; F1 , F2 ). Esto o o significa que si un foco es real el otro foco del mismo eje tambi´n lo es, y ambos e se encuentran sim´tricamente situados respecto al centro. e Consideremos un punto real X fuera de C y de las cuatro tangentes li . Aplicamos el dual del teorema 9.30 al punto X y al cuadril´tero completo dual a de lados li . Concluimos que las tangentes a C por X (digamos t1 y t2 ) son conjugadas (en el haz de rectas de centro X) respecto de la involuci´n que hace o corresponder los pares (XC1 , XC2 ), (XF1 , XF2 ), (XF1 , XF2 ). Sean x1 y x2 las rectas fijadas por esta involuci´n. Tenemos entonces o H(x1 , x2 ; t1 , t2 ), H(x1 , x2 ; XC1 , XC2 ). Ahora bien, XC1 y XC2 son las rectas fijas respecto a la involuci´n que o induce en el haz de rectas la involuci´n ortogonal, luego x1 y x2 son tambi´n o e conjugadas por dicha involuci´n, es decir, son perpendiculares. Similarmente, t1 o y t2 son las rectas fijas por la involuci´n que C induce en el haz de rectas, luego o
- 351. 10.4. Propiedades m´tricasde las c´nicas e o 339 x1 y x2 tambi´n son conjugadas respecto a C. Tenemos, pues, que x1 y x2 son e un par com´n respecto a las involuciones inducidas en el haz de centro X tanto u por la involuci´n ortogonal como por C. Ambas involuciones son distintas. Para o verlo basta tener en cuenta que XC1 no es tangente a C, luego no se cumple p(XC1 ) ⊂ XC1 , luego la conjugaci´n respecto a C no fija a XC1 , mientras o que la involuci´n ortogonal s´ lo hace. Por consiguiente x1 y x2 son el unico o ı ´ par com´n de ambas involuciones, es decir, x1 y x2 son el unico par de rectas u ´ perpendiculares conjugadas que pasan por X. Por el teorema 9.61 (para el caso de involuciones sobre un haz de rectas) podemos concluir que x1 y x2 son ambas reales. Consideremos ahora el caso particular en que X = O. Entonces los tres pares que determinan la involuci´n en el haz de rectas son (OC1 , OC2 ), (OF1 , OF2 ), o (OF1 , OF2 ), pero OF1 = OF2 y OF1 = OF2 , luego las rectas x1 , x2 son en este caso los dos ejes. Acabamos de probar que son el unico par de di´metros ´ a conjugados perpendiculares, o sea, los unicos ejes de la c´nica. ´ o Teorema 10.46 Una hip´rbola o una elipse real o imaginaria que no sea una e circunferencia tiene exactamente dos ejes. Continuando con nuestro argumento, ahora sabemos que los puntos A∞ , B∞ son reales. Volvamos al caso en que X es un punto real arbitrario fuera de las tangentes li . Supongamos adem´s que no est´ en los ejes ni en la recta infinita. a a Entonces las rectas x1 y x2 cortan al eje a = F1 F2 en dos puntos reales X1 y X2 . Recordemos que H(O, A∞ ; F1 , F2 ). Por otra parte H(x1 , x2 ; XF1 , XF2 ), pues las dos ultimas rectas son conjugadas respecto a la involuci´n que fija a ´ o las dos primeras, luego H(X1 , X2 ; F1 , F2 ). De aqu´ se siguen varias consecuencias. En primer lugar, si los pares (X1 , X2 ) ı y (O, A∞ ) tuvieran un elemento en com´n, tendr´ de hecho los dos elementos u ıan en com´n, pero entonces XO y XA∞ ser´ perpendiculares, y como XA∞ es u ıan paralela al eje OA∞ , tendr´ ıamos que XO es perpendicular a dicho eje, luego ser´ el eje OB∞ , mientras que hemos tomado X fuera de esta recta. ıa As´ pues, los pares (X1 , X2 ) y (O, A∞ ) son distintos, y la involuci´n que fija ı o a F1 y F2 coincide con la que los hace corresponder, luego es una involuci´n o real. Esto implica que F1 y F2 son reales o imaginarios conjugados. Lo mismo vale para F1 y F2 . Ahora bien, puesto que los puntos circulares son imaginarios conjugados, si F1 y F2 tambi´n lo son, el teorema 9.66 nos da que F1 y F2 e son reales. Rec´ ıprocamente, si F1 y F2 son reales entonces F1 y F2 han de F 2 ser imaginarios, pues F1 F2 = C1 C2 y, si F2 fuera real, tambi´n lo ser´ C1 y ∧ e ıan C2 . En resumen: dos de los focos son reales y los otros dos son imaginarios conjugados. No perdemos generalidad si suponemos que F1 y F2 son reales. La involuci´n que C induce en el haz de rectas de centro un foco real Fi fija o a las tangentes Fi C1 y Fi C2 , y lo mismo sucede con la involuci´n que induce en o dicho haz la involuci´n ortogonal, luego ambas son la misma. Por consiguiente, o los pares de rectas conjugadas respecto a C que pasan por Fi son perpendiculares, es decir, Fi es realmente un foco. Rec´ ıprocamente, si un punto real P cumple
- 352. 340 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o la definici´n de foco, las tangentes a C por P deben pasar por C1 y C2 , luego P o es uno de Fi . As´ pues: ı Teorema 10.47 Una hip´rbola o una elipse real o imaginaria que no sea una e circunferencia tiene exactamente dos focos. Ambos est´n sobre un eje y sim´- a e tricamente situados respecto al centro. El eje que contiene a los focos se llama eje mayor de la c´nica, mientras que al otro se le llama eje menor. Si la c´nica o o es real los focos son puntos interiores. Una forma de ver que los focos son interiores es observar que los focos ima- ginarios son las intersecciones con el eje menor de las tangentes a la c´nica por o los focos reales. Como son imaginarios, dichas tangentes tambi´n han de serlo, e luego por los focos no pasan tangentes reales. Ejercicio: ¿Por qu´ en la figura los focos aparecen como puntos exteriores? e Los ejes de C no pueden ser tangentes (porque pasan por el centro), luego cada uno corta a C en dos puntos distintos (reales o imaginarios conjugados). Digamos que a corta a C en A1 , A2 y que b corta en B1 , B2 . Llamaremos v´rtices e a estos cuatro puntos, aunque no son necesariamente reales. Obviamente en una elipse imaginaria son todos imaginarios. En una elipse real son todos reales (porque el centro es interior) y en una hip´rbola los v´rtices del eje mayor son e e reales (porque este eje pasa por los focos, que son interiores), mientras que los del eje menor han de ser imaginarios conjugados, pues dicho eje es la polar de A∞ , que es un punto interior, luego el eje menor es exterior y no corta a C. Definici´n 10.48 Llamaremos directrices de una c´nica a las polares de sus o o focos. Si llamamos d1 , d2 , d1 y d2 a las polares de F1 , F2 , F1 , F2 respectivamente, tenemos que d1 y d2 son rectas reales exteriores a la c´nica (salvo en el caso o de una elipse imaginaria, en que esto no tiene sentido). Las directrices d1 y d2 pasan por el polo de F1 F2 , que es B∞ , luego son paralelas al eje menor, luego perpendiculares al eje mayor. Similarmente, d1 y d2 pasan por A∞ y son conjugadas imaginarias. d1 B1 d2 D1 A1 F1 O F 2 A2 D2 B2 Veamos ahora una propiedad importante de los focos de una elipse real o de una hip´rbola. Tomemos un punto real finito X en C que no est´ en sus e e ejes. Por el dual del teorema 9.30 tenemos que la tangente t a C por X es una recta doble de la involuci´n en el haz de rectas de centro X que empareja o
- 353. 10.4. Propiedades m´tricasde las c´nicas e o 341 (XC1 , XC2 ), (XF1 , XF2 ), (XF2 , XF2 ). La otra recta fijada, digamos n, ha de ser la conjugada harm´nica de t respecto a XC1 y XC2 , luego la conjugada de t o respecto a la involuci´n inducida en el haz por la involuci´n ortogonal. Es decir, o o t y n son perpendiculares. Se dice que n es la recta normal a la c´nica por X. o Tenemos tambi´n que XF1 y XF2 son conjugadas harm´nicas respecto a t y n. e o Por consiguiente: Teorema 10.49 Si C es una elipse real que no sea una circunferencia (o una hip´rbola), entonces la normal (tangente) a C por uno cualquiera de sus puntos e X es la bisectriz del angulo F1 XF2 , donde F1 y F2 son sus focos. ´ En realidad en la prueba hemos excluido la posibilidad de que X fuera uno de los v´rtices de la c´nica, pero este caso es trivial. El teorema anterior puede e o interpretarse como que si un rayo de luz parte de un foco de una elipse y se refleja en ella, entonces el rayo reflejado pasar´ por el otro foco. Si la c´nica a o es una hip´rbola el rayo reflejado estar´ tambi´n sobre la recta que pasa por el e a e otro foco, pero se reflejar´ en sentido contrario. Es esta propiedad la que ha a dado lugar al t´rmino “foco”. e Volvemos ahora a las par´bolas. S´lo nos queda probar que una par´bola a o a tiene un unico foco. Si C es una par´bola, la recta infinita es tangente a C. ´ a El punto de tangencia es el centro O. Entonces las tangentes a C por cada punto circular Ci son la propia recta infinita y otra recta li . Sea Li el punto de tangencia y sea F = l1 ∩ l2 . La polar de F es la recta d = L1 L2 . C2 Veamos que F y d son reales. La polaridad de la c´nica hace corresponder cada punto de o O la recta infinita con una recta que pasa por O. C1 La involuci´n ortogonal se corresponde con una o involuci´n cuyas rectas fijas son OL1 y OL2 . o L2 A su vez, esta involuci´n induce otra sobre la o d A par´bola, cuyos puntos fijos son L1 y L2 . Como a L1 la par´bola es real, ´stos son imaginarios conju- a e gados, luego la recta que los une es real, pero F ´sta es d, luego su polo F tambi´n es real, as´ como la recta OF y el punto A e e ı donde ´ste corta a la par´bola. e a Como en el caso de las elipses y las hip´rbolas e se razona f´cilmente que F es el unico foco de la a ´ par´bola. Adem´s es un punto interior, luego la a a directriz es exterior. Veamos que A es el v´rtice de la par´bola, e a con lo que OA ser´ su eje. Sea B∞ el polo de OA, a es decir, el punto infinito de la tangente por A. Entonces las rectas F B∞ y OA son conjugadas F y pasan por F , luego son perpendiculares. Por A consiguiente B∞ es el conjugado ortogonal de O. d En particular la tangente por A es perpendicular
- 354. 342 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o a OA, lo que prueba que A es el v´rtice. Puesto que F est´ en la polar de B∞ , e a tenemos adem´s que B∞ est´ en d, luego la directriz es perpendicular al eje. a a Teorema 10.50 Una par´bola tiene un unico foco, el cual es un punto interior a ´ situado sobre su eje. Sea P un punto real de una hip´rbola C. Aplicamos el dual del teorema 9.31 e al tri´ngulo de v´rtices C1 , C2 , F y al punto X, con lo que resulta que la a e tangente t por X es una recta fija de la involuci´n que en el haz de rectas de o centro X determinan los pares XC1 , XC2 y XF , XA∞ . Si n es la otra recta fija, tenemos que XC1 y XC2 est´n separados harm´nicamente por t y n, luego a o t y n son conjugadas respecto de la involuci´n que fija a XC1 y XC2 , pero ´sta o e es la involuci´n inducida en el haz por la involuci´n ortogonal, luego t y n son o o perpendiculares y n es la recta normal a C por X. Con esto llegamos al an´logo a de 10.49: Teorema 10.51 Si C es una par´bola y F es su foco, la tangente y la nor- a mal a C por uno cualquiera de sus puntos X son las bisectrices de los angulos ´ determinados por XF y la paralela al eje por X. Podemos interpretar esto como que un espejo parab´lico condensa en su foco o ´ todos los rayos de luz que le llegan paralelamente a su eje. Esta es la raz´n por o la que las antenas parab´licas tienen forma de paraboloide, que es la superficie o que se genera al girar una par´bola alrededor de su eje. a Ejercicio: Probar que por un punto que no est´ sobre una c´nica y que no sea un foco e o pasa exactamente un par de rectas perpendiculares conjugadas respecto a la misma. Consideremos una c´nica real C que no sea una circunferencia. Sea F uno o de sus focos y d la directriz correspondiente. Sea D el punto en que d corta al eje mayor a. Sea H el punto tal que D es el punto medio de F y H. Sea h la paralela a d que pasa por h. Consideremos la homolog´ f de centro F y eje h ıa que transforma D en el punto infinito de DH. Considerando razones dobles se ve enseguida que la imagen del punto infinito ha de ser D (por ser el conjugado harm´nico de D respecto a F y H). Por otra parte f deja invariante el punto o infinito com´n a d y h, luego f [d] intercambia d con la recta infinita. u Como F es el polo de d respecto a C, es claro que F ser´ el polo de la recta a infinita respecto de f [C], es decir, F es el centro de C. Las tangentes a C que pasan por F tocan a C en dos puntos de d, y f los transforma en los puntos infinitos de dichas tangentes, pero por definici´n de o foco ´stos son los puntos circulares. As´ pues, los puntos circulares est´n en e ı a f [C], luego f [C] es una circunferencia. Sea P cualquier punto de C y P = f (P ). Sea X = P P ∩ h y P∞ el punto infinito de P P . Entonces XP∞ P F − P∞ XP F , luego R(X, P∞ , P, F ) = ∧ R(P∞ , X, P , F ) = R(X, P∞ , F, P ), es decir, −→ − −→ − XP XF −→ = − → , − − XF XP
- 355. 10.4. Propiedades m´tricasde las c´nicas e o 343 de donde −→ − − −→ − → −→ − − −− → −→ − XF + F P XP + P F FP P F −→ − = −→ − ⇒ −→ − = − →. − XF XP XF XP P D F D P Ahora tomamos m´dulos y aplicamos el teorema de Tales o FP XF FD P F PF = = ⇒ = , FP XP P D P D FD donde D es el punto donde la perpendicular a d desde P corta a d. Ahora notamos que P D es la distancia de P a d. Por otra parte P F no depende de P , pues es el radio de f [C]. Por consiguiente: Definici´n 10.52 Sea C una c´nica real que no sea una circunferencia. La o o raz´n entre las distancias de un punto de C a uno de sus focos y a su directriz o correspondiente es constante y la llamaremos excentricidad de C. Puesto que la reflexi´n respecto al eje menor transforma la c´nica en s´ o o ı misma, es f´cil ver que la excentricidad no depende del foco con que se calcula. a En particular, si A es el v´rtice que se encuentra en la misma semirrecta que F e respecto al centro, la excentricidad puede calcularse como AF e= . AD Puesto que la homolog´ f transforma la recta infinita en la directriz d, es ıa claro que C ser´ una elipse, una par´bola o una hip´rbola seg´n si d es exterior, a a e u tangente o secante a f [C]. Seg´n el caso, el cociente u PF e= FD ser´ menor, igual o mayor que 1. Por consiguiente: a Teorema 10.53 Una c´nica C es una elipse, una par´bola o una hip´rbola o a e seg´n si su excentricidad es menor, igual o mayor que 1. u
- 356. 344 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o Esto vale para las circunferencias si convenimos que su excentricidad es 0. Por otra parte, dado un punto cualquiera F , una recta cualquiera d que no pase por O y un n´mero e 0, la figura C de los puntos tales que la raz´n de u o las distancias a F y d es e forman una c´nica real no degenerada. En efecto, o tomando un sistema de referencia ortonormal adecuado podemos suponer que F = (0, 0) y d ≡ x = D, con D 0. Entonces la condici´n equivale a o x2 + y 2 = e2 (D − x)2 . Esta ecuaci´n corresponde a la c´nica de matriz o o 1 − e2 0 e2 D A= 0 1 0 . (10.2) e2 D 0 −e2 D2 Su determinante es −e2 D2 , luego no es degenerada. Adem´s haciendo y = 0 a obtenemos que la ecuaci´n se cumple para x = e+1 D, luego C no es imaginaria. o e M´s a´n, F es un foco de C. Para probarlo notamos primero que d = p(F ), a u luego la intersecci´n de D con C est´ formada por los puntos de contacto de o a las tangentes que pasan por F . Haciendo x = D en la ecuaci´n obtenemos que o ´stos son (D, ±Di, 1), luego las tangentes son las rectas que pasan por estos e puntos y (0, 0, 1). Es claro que contienen a los puntos (D, ±Di, 0) = (1, ±i, 0), que son los puntos circulares, luego F es ciertamente un foco y d la directriz correspondiente. As´ pues: ı Teorema 10.54 Dada una recta d, un punto F que no est´ en D y un n´mero e u e 0, la figura formada por todos los puntos tales que la raz´n de las distancias o a F y d sea igual a e es una c´nica real con un foco igual a F , directriz d o y excentricidad e. Toda c´nica real que no sea una circunferencia es de esta o forma. Esto implica que toda c´nica que no sea una circunferencia est´ completa- o a mente determinada por su excentricidad, uno de sus focos y su directriz co- rrespondiente. Las semejanzas conservan las proporciones, por lo que tambi´n e conservan la excentricidad de las c´nicas. Como fijan o invierten los puntos o circulares, es claro que conservan los focos (luego tambi´n las directrices). Por e otra parte, dadas dos c´nicas, siempre es posible transformar la primera me- o diante una semejanza para obtener otra con un foco y una directriz com´n con u la segunda. Si ambas ten´ la misma excentricidad, entonces la c´nica que ıan o obtenemos coincide con la segunda. En resumen: Teorema 10.55 Dos c´nicas reales son semejantes si y s´lo si tienen la misma o o excentricidad. Como siempre, el argumento no incluye las circunferencias, pero el resultado es v´lido igualmente para ellas. En particular dos par´bolas cualesquiera son a a semejantes.
- 357. 10.4. Propiedades m´tricasde las c´nicas e o 345 Algunas relaciones Vamos a probar varias relaciones importantes entre los elementos de una c´nica, la mayor´ de las cuales las conocemos ya de la o ıa secci´n 4.8. Conviene introducir algunas definiciones: o Llamaremos semiejes mayores de una elipse a los segmentos que unen su centro con sus v´rtices en el eje mayor. Tambi´n llamaremos semieje mayor a la e e longitud de estos segmentos, y la representaremos por a. An´logamente se define a el semieje menor, que representaremos por b. En una hip´rbola s´lo tenemos e o definido el semieje mayor. La distancia focal de una elipse o una hip´rbola es la e distancia de su centro O a cualquiera de sus focos, y la representaremos por c. √ Para una hip´rbola, definimos formalmente b = c2 − a2 . e Teorema 10.56 Sea C una c´nica real. Entonces: o 1. Si C es una elipse, sus puntos son exactamente los que cumplen P F1 + P F2 = 2a. 2. Si C es una hip´rbola, sus puntos son exactamente los que cumplen e P F1 − P F2 = ±2a. 3. Si C es una elipse, la distancia de un v´rtice menor a uno de los focos es e a, y se cumple a2 = b2 + c2 . 4. Si C es una elipse o una hip´rbola, e = c/a. e 5. Si C es una hip´rbola, el angulo que forman sus as´ e ´ ıntotas es el dado por 2 cos θ = 1 − . e2 Demostracion: 1) Dado un punto P de C, sean D1 y D2 los puntos de las ´ directrices donde se alcanza la distancia de ´stas a P . Entonces e P F1 + P F2 = e P D1 + e P D2 = e D1 D2 . Por lo tanto la suma de las distancias a los focos es constante. Evalu´ndola a en un v´rtice es f´cil ver que es exactamente 2a. Se comprueba sin dificultad e a que los puntos que cumplen esta ecuaci´n forman una c´nica que contiene a C, o o luego ha de ser C. 2) La prueba es similar a la anterior, salvo que ahora P D1 − P D2 es la distancia entre las dos directrices con signo positivo o negativo seg´n la rama u en que est´ P , luego la diferencia de distancias s´lo es constante en m´dulo. e o o 3) Si B es uno de los v´rtices menores, tenemos que BF1 + BF2 = 2a, pero e ambos sumandos son iguales. Si A es un v´rtice mayor, el tri´ngulo BAF1 es e a rect´ngulo, lo que nos da la relaci´n a2 = b2 + c2 . En particular vemos que el a o semieje mayor es ciertamente mayor que el semieje menor.
- 358. 346 Cap´ ıtulo 10. La geometr´ parab´lica ıa o 4) La matriz (10.2) corresponde a una c´nica arbitraria con un foco en (0, 0) o y directriz x = D. Es f´cil calcular su centro y su v´rtice: a e e2 D eD O − , A ,0 , 1 − e2 1+e luego ed e2 D a= , c= , |1 − e2 | |1 − e2 | luego ciertamente e = c/a. 5) La√ onica de matriz A seg´n 10.2 corta a la recta infinita en los pun- c´ u tos (1, ± e2 − 1, 0), luego sus as´ √ ıntotas son las polares de estos puntos, cuyas ecuaciones son (1 − e2 )x ± e2 − 1 y + e2 D = 0. Los vectores directores son √ (± e2 − 1, 1 − e2 ) y al calcular el angulo que forman obtenemos la f´rmula ´ o pedida. Las hip´rbolas cuyas as´ e ıntotas forman angulos rectos se llaman equil´teras. ´ √ a Seg´n el teorema anterior son exactamente las de excentricidad e = 2. u Ejercicio: Si A1 y A2 son los v´rtices mayores de una elipse o una hip´rbola y F es e e uno de sus focos, F A1 F A2 = b2 . 10.5 Espacios de dimensiones superiores Un espacio parab´lico es un espacio af´ en cuyo hiperplano infinito se ha o ın fijado una polaridad sim´trica. Si no existen puntos autopolares obtenemos el e espacio eucl´ıdeo usual. En general, fijar una polaridad sim´trica en el hiperplano e infinito es equivalente a fijar una forma bilineal sim´trica en el espacio vectorial e asociado al espacio af´ (en realidad cada polaridad determina una forma bilineal ın salvo una constante). El n´mero de geometr´ reales parab´licas distintas u ıas o aumenta con la dimensi´n. En dimensi´n 3 todav´ tenemos s´lo dos, una o o ıa o correspondiente a la polaridad de ´ ındice 0 (la geometr´ eucl´ ıa ıdea) y otra a la polaridad de ´ ındice 1, que es el an´logo tridimensional del plano de Lorentz. a En dimensi´n 4 tenemos ya tres espacios, el eucl´ o ıdeo, de ´ındice 0, el espacio de Minkowski, de ´ ındice 1, que es el aut´ntico espacio de la teor´ de la relatividad e ıa especial, y el de ´ ındice 2, que puede verse como suma de dos planos de Lorentz. Un estudio sint´tico de los espacios parab´licos puede volverse poco pr´ctico e o a en dimensiones superiores, pero un enfoque algebraico desde el punto de vista de la geometr´ proyectiva puede ser en ciertos casos preferible al tratamiento ıa puramente af´ que es el m´s habitual. El lector no deber´ tener problemas en ın, a ıa generalizar a dimensi´n tres los resultados algebraicos que hemos obtenido en o este cap´ ıtulo. En tal caso el plano infinito puede contener una c´nica circular o en lugar de dos puntos circulares. El papel an´logo al de las c´nicas lo juegan las llamadas cu´dricas, que a o a algebraicamente pueden definirse como las figuras formadas por los puntos que
- 359. 10.5. Espacios dedimensiones superiores 347 en un sistema de referencia satisfacen una ecuaci´n matricial similar a la de o las c´nicas. Entre ellas se encuentran las esferas, que juegan el papel de las o circunferencias.
- 361. Cap´ ıtulo XI La geometr´ circular ıa Sabemos que los puntos de una c´nica se corresponden con los de una recta o a trav´s de las proyecciones perspectivas con centro en un punto de la c´nica. e o Estas proyecciones son homograf´ ıas, lo que en muchas ocasiones nos ha per- mitido tratar a las c´nicas como rectas o viceversa. En este cap´ o ıtulo vamos a estudiar una relaci´n similar entre figuras con una dimensi´n m´s. No hemos o o a desarrollado la teor´ de las “c´nicas bidimensionales”, las llamadas cu´dricas, ıa o a pero no perdemos generalidad, y de hecho es m´s natural, si nos centramos en a la relaci´n entre el plano y la esfera. o 11.1 La proyecci´n estereogr´fica o a Aunque no hemos hablado de esferas hasta ahora, los hechos que necesita- mos sobre ellas son todos elementales y requieren poco m´s que el teorema de a Pit´goras. Comencemos con la definici´n. a o Definici´n 11.1 Una esfera de centro un punto O y radio r 0 en un espacio o tridimensional eucl´ ıdeo E es el conjunto de todos los puntos de E cuya distancia a O es igual a r. Si fijamos un sistema de referencia con origen en O, es claro que la esfera est´ formada por los puntos cuyas coordenadas cumplen la ecuaci´n a o x2 + y 2 + z 2 = r2 . Si π es un plano, la distancia de O a π se define como la distancia de O al punto donde la perpendicular a π por O corta a π. Es f´cil ver que es la menor a distancia posible entre O y un punto de π. Se comprueba sin dificultad que si S es la esfera de centro O y radio r y si la distancia de O a π es d, √entonces S ∩ π es vac´ si d r, un punto si d = r o una circunferencia de radio r2 − d2 ıa si d r. Rec´ıprocamente, toda circunferencia contenida en S es la intersecci´n o con S del plano que la contiene. 349
- 362. 350 Cap´ ıtulo 11. La geometr´ circular ıa Es muy pr´ctico referirse a una esfera con el vocabulario propio de la geo- a graf´ Fijado un sistema de referencia con origen en su centro, el punto (0, 0, r) ıa. es el polo norte, el punto (0, 0, −r) es el polo sur, la circunferencia z = 0 es el ecuador, las circunferencias que pasan por ambos polos son los meridianos y las circunferencias determinadas por planos paralelos al ecuador son los paralelos. Ahora podemos definir la proyecci´n estereogr´fica de una esfera S en su o a plano ecuatorial π como la aplicaci´n que a un punto P de S que no sea el polo o norte N le hace corresponder el punto P donde la recta N P corta a π. Observar que las rectas que pasan por N y son paralelas a π forman un plano que dista r del centro de la esfera, luego ninguna de ellas corta a S en otro punto P , luego la proyecci´n est´ bien definida y es f´cil ver que biyecta S {N } con π. o a a N P P Conviene calcular su expresi´n en coordenadas. Por simplicidad supondre- o mos que la esfera tiene radio 1. Dado uno de sus puntos P = (x, y, z) que no sea el polo norte, la recta que lo une con N es (0, 0, 1) + λ(x, y, z − 1), λ ∈ R. El valor de λ que hace que este punto est´ en π es el que cumple 1+λ(z −1) = 0, e o sea, λ = 1/(1 − z). El punto de corte es x y P = , ,0 . 1−z 1−z As´ pues, si tomamos como sistema de referencia en π el formado por O y ı los dos primeros vectores de la base del sistema de referencia de E, la expresi´n o en coordenadas de la proyecci´n estereogr´fica es o a x y f (x, y, z) = , . 1−z 1−z Tambi´n es f´cil obtener una expresi´n para la inversa. Dado un punto e a o P = (a, b) en π, la recta que pasa por N y P es (0, 0, 1) + λ(a, b, −1), λ ∈ R, y los puntos de esta forma que est´n en la esfera son los que cumplen a (λa)2 + (λb)2 + (1 − λ)2 = 1, lo que implica que o bien λ = 0 (que corresponde al polo norte) o bien 2 λ= , a2 + b2 + 1
- 363. 11.1. La proyecci´nestereogr´fica o a 351 que corresponde al punto 2a 2b a2 + b2 − 1 g(a, b) = , 2 , 2 . (11.1) a2 + b2 + 1 a + b2 + 1 a + b2 + 1 La situaci´n que encontramos no es completamente an´loga al caso bidi- o a mensional. Al proyectar una c´nica en una recta pod´ o ıamos asignar tambi´n una e imagen al centro de la proyecci´n de modo que toda la c´nica se correspond´ o o ıa con toda la recta proyectiva. En cambio, si tratamos de extender la proyecci´n o estereogr´fica a la compleci´n proyectiva de π nos encontramos con que hay in- a o finitos puntos infinitos a los que tenemos que asignar una antiimagen mientras que s´lo nos queda un punto en la esfera al que asignar una imagen. o Por lo tanto, tenemos que los puntos de la esfera no se corresponden con los del plano proyectivo, sino con los del plano completado con un unico punto ´ infinito. Llegados aqu´ la teor´ encaja con otra parte de la geometr´ proyec- ı ıa ıa tiva. Podemos identificar los puntos del plano af´ real con los de la recta af´ ın ın compleja, con la diferencia de que la compleci´n proyectiva de la recta compleja o se obtiene adjuntando un solo punto. As´ pues, resulta que los puntos de la ı esfera se corresponden de forma natural con los de la recta proyectiva compleja. Fijado un sistema de referencia en el espacio de la esfera y otro en la recta compleja, una biyecci´n entre esfera y recta es la dada por o x y f (x, y, z) = +i , 1−z 1−z entendiendo que f (0, 0, 1) = ∞. Alternativamente, f (x, y, z) = (x + yi, 1 − z). Aunque desde un punto de vista estricto la recta proyectiva compleja es toda ella una recta, sin m´s distinci´n, lo cierto es que, fijado en ella un sistema de a o referencia proyectivo, podemos pensar en ella como R2 ∪ {∞} y hablar de rectas y circunferencias reales. Enseguida veremos que conviene adoptar el convenio siguiente: Consideraremos que el punto infinito pertenece a todas las rectas de R2 , de modo que es colineal con cualquier par de puntos finitos. Por ejemplo, con este convenio podemos enunciar: Teorema 11.2 La proyecci´n estereogr´fica biyecta las circunferencias de la o a esfera con las rectas y las circunferencias de R2 ∪ {∞}. Demostracion: Una circunferencia en la esfera S est´ formada por los ´ a puntos que cumplen la ecuaci´n de un plano: Ax + By + Cz + D = 0. La o expresi´n (11.1) nos da entonces que las coordenadas (a, b) de sus im´genes han o a de cumplir 2Aa + aBb + C(a2 + b2 − 1) + D(a2 + b2 + 1) = 0, o equivalentemente, (C + D)(a2 + b2 ) + 2Aa + 2Bb + (D − C) = 0. (11.2)
- 364. 352 Cap´ ıtulo 11. La geometr´ circular ıa Rec´ıprocamente, todos los puntos que cumplen (11.2) provienen de puntos en la circunferencia dada. Ahora bien, esta ultima ecuaci´n corresponde a una ´ o circunferencia si C = −D y a una recta si C = −D. Notemos que esto sucede si y s´lo si el polo norte (0, 0, 1) est´ en la circunferencia de partida, luego las o a circunferencias que pasan por el polo norte son las que se transforman en rectas, las cuales contienen, por convenio, la imagen del polo norte. Por otra parte es claro que ajustando A, B, C y D se puede hacer que los coeficientes de (11.2) tomen cualquier conjunto de valores, luego todas las circunferencias y todas las rectas del plano son im´genes de circunferencias de a la esfera. 11.2 Transformaciones circulares En esta secci´n describiremos las homograf´ de la recta proyectiva compleja o ıas P1 (C) = R2 ∪ {∞} desde el punto de vista de la geometr´ eucl´ ıa ıdea de R2 . En la secci´n siguiente las relacionaremos con la esfera a trav´s de la proyecci´n o e o estereogr´fica. a Sabemos que las homograf´ de la recta compleja son las aplicaciones de la ıas forma az + b f (z) = , con ad − bc = 0. cz + d Si c = 0 tenemos simplemente una aplicaci´n de la forma f (z) = az + b. Si o c = 0 podemos expresarla como a b − adc f (z) = + , c cz + d con lo que en cualquier caso f se expresa como composici´n de aplicaciones de o la forma z → az + b con la inversi´n z → 1/z. Vamos a estudiar por separado o cada una de estas aplicaciones. Comencemos por la ultima. ´ z La aplicaci´n z → 1/z transforma 0 en el punto infinito. o Si z = 0 entonces admite una expresi´n en coordenadas po- o lares como z = |z|θ , y entonces su inverso es |z|−1 . Ahora −θ bien, el punto |z|−1 es el inverso de z respecto a la circun- θ |z|−1 θ ferencia de centro 0 y radio 1 en el sentido de la definici´n o z −1 10.27, luego z → z −1 es la composici´n de esta inversi´n o o con la reflexi´n respecto al eje real. o Consideremos ahora las aplicaciones de la forma z → az + b. Podemos descomponerlas como composici´n de un producto z → az y una suma z → b+z. o La suma es geom´tricamente una traslaci´n, luego se expresa como producto de e o dos reflexiones. El producto se descompone a su vez en los productos a z→ z y z → |a|z. |a|
- 365. 11.2. Transformaciones circulares 353 El primero es un giro, luego tambi´n es un producto de dos reflexiones. El e segundo es una homotecia de centro 0. Veamos que puede expresarse como composici´n de dos inversiones respecto a dos circunferencias de centro 0. En o efecto, la inversi´n respecto a la circunferencia unitaria transforma cada n´mero o u z de argumento θ en |z|−1 , y si ahora aplicamos la inversi´n respecto a la θ o circunferencia de radio r obtenemos r2 |z|θ . Si r = |a| esto es |a|z. Con esto tenemos probada la mitad del teorema siguiente: Teorema 11.3 Las homograf´ de P1 (C) son las aplicaciones expresables como ıas composici´n de un n´mero par de reflexiones respecto de rectas e inversiones o u respecto de circunferencias. Demostracion: Hay que probar que un producto de dos reflexiones/inver- ´ siones es una homograf´ Observar que las inversiones respecto a circunferencias ıa. no son biyectivas en el plano proyectivo eucl´ ıdeo, pues hacen corresponder el centro de la circunferencia con todos los puntos infinitos, pero s´ lo son en P1 (C), ı si convenimos que intercambian el centro con el unico punto infinito. Del mismo ´ modo podemos considerar a las biyecciones afines de R2 como biyecciones en P1 (C) si convenimos que todas ellas fijan a ∞. El producto de dos reflexiones es un giro o una traslaci´n. Las traslaciones o son de la forma z → z + a, luego son homograf´ ıas. Si f es un giro de centro O, entonces z → f (z + 0) − 0 es un giro de centro O, luego existe un n´mero u complejo a de m´dulo 1 tal que f (z + O) − O = az, luego f (z) = a(z − O) + O, o luego es una homograf´ ıa. Consideremos ahora una reflexi´n f y una inversi´n g. Supongamos primero o o que el eje de f pasa por el centro de la circunferencia fijada por g. Conside- remos una traslaci´n que lleve dicho centro al punto 0, seguida de un giro de o centro 0 que transforme el trasladado del eje de f en el eje real, seguido de una homotecia de centro 0 que transforme la traslaci´n de la circunferencia de g en o la circunferencia unidad. Si llamamos h a esta composici´n, es claro que h es o una homograf´ M´s a´n, es una semejanza del plano eucl´ ıa. a u ıdeo. Es f´cil ver que a h−1 f h es la reflexi´n respecto al eje real y que h−1 gh es la inversi´n respecto o o de la circunferencia unidad. Por consiguiente h−1 f h h−1 gh y h−1 gh h−1 f h son ambos iguales a la homograf´ z → 1/z, luego f g y gf tambi´n son homograf´ ıa e ıas. Supongamos ahora que el eje de f no pasa por el centro de la circunferencia de g. Sea f una reflexi´n respecto a una recta que pase por dicho centro. En- o tonces f g = f f f g es el producto de dos homograf´ luego es una homograf´ ıas, ıa, e igualmente se prueba que gf lo es. Si tenemos una composici´n de dos inversiones f y g, tomamos como h la o reflexi´n respecto a la recta que pasa por los centros de sus circunferencias (una o cualquiera si ambos coinciden). Entonces f g = f hhg es un producto de dos homograf´ luego es una homograf´ y lo mismo vale para gf . ıas, ıa, Definici´n 11.4 Llamaremos transformaciones circulares a las biyecciones de o P1 (C) en s´ mismo que se expresan como producto de reflexiones e inversiones. ı
- 366. 354 Cap´ ıtulo 11. La geometr´ circular ıa Una transformaci´n circular es directa si se expresa como producto de un n´mero o u par de reflexiones e inversiones. En caso contrario es inversa. Llamaremos grupo circular al grupo de todas las transformaciones circulares. Hemos probado que las homograf´ en C son las transformaciones circulares ıas directas. Una transformaci´n circular no puede ser a la vez directa e inversa, o pues en tal caso podr´ ıamos expresar una reflexi´n o una inversi´n como producto o o de un n´mero par de ellas, luego ser´ una homograf´ pero esto es imposible, u ıa ıa, pues las reflexiones y las inversiones fijan a infinitos puntos. Es claro que las homograf´ que fijan a ∞ son las de la forma z → az + b y ıas hemos visto que ´stas se descomponen en producto de un n´mero par de reflexio- e u nes (sin que aparezcan inversiones). M´s en general, si f es una transformaci´n a o circular que fija a ∞, o bien es una homograf´ y estamos en el caso anterior, o ıa bien es inversa, y entonces podemos tomar cualquier reflexi´n g y tenemos que o h = f g es una homograf´ que fija a ∞, luego f = hg es tambi´n producto de ıa e reflexiones. Puesto que las composiciones de reflexiones son las semejanzas de R2 , hemos probado lo siguiente: Teorema 11.5 Las transformaciones circulares que fijan a ∞ son exactamente las semejanzas de R2 . Si una transformaci´n circular f es directa y deja fijos a tres puntos (finitos o o no) entonces es la identidad, porque es una homograf´ Si f es inversa esto ıa. ya no es cierto, pero s´lo hay dos posibilidades. En efecto, sea g la reflexi´n o o respecto de la recta que pasa por los tres puntos fijos si son colineales o la inversi´n respecto de la circunferencia que pasa por ellos si no lo son. Entonces o f g es una homograf´ que fija a los tres puntos, luego es la identidad, luego ıa f = g. Hemos probado el teorema siguiente: Teorema 11.6 Si una transformaci´n circular fija a tres puntos (finitos o no), o entonces es la identidad, una reflexi´n o una inversi´n. o o De aqu´ podemos deducir muchas consecuencias interesantes: ı Teorema 11.7 Si f es una transformaci´n circular y g es una reflexi´n o una o o inversi´n, entonces f −1 gf es una reflexi´n o una inversi´n. o o o Demostracion: Sean A, B, C tres puntos fijados por g. Entonces f −1 gf ´ fija a f (A), f (B) y f (C), luego por el teorema anterior es la identidad, una reflexi´n o una inversi´n. Como es una transformaci´n inversa no puede ser la o o o identidad. Teorema 11.8 Las transformaciones circulares transforman cada circunferen- cia y cada recta en una circunferencia o una recta. Demostracion: Sea f una transformaci´n circular. Dada una recta o ´ o circunferencia C, sea g la reflexi´n o inversi´n que fija a sus puntos. Entonces o o f −1 gf es tambi´n una reflexi´n o una inversi´n, y fija exactamente a los puntos e o o de f [C], luego f [C] es una recta o una circunferencia.
- 367. 11.3. Homograf´ enla esfera ıas 355 Teorema 11.9 Si C y C son dos rectas/circunferencias, existe una transfor- maci´n circular que transforma una en otra. o Demostracion: Tomemos tres puntos P , Q, R en C y tres puntos P , Q , ´ R en C y sea f la homograf´ P QR − P Q R . La imagen de C por f contiene ıa ∧ tres puntos de C , luego ha de ser C , pues por tres puntos pasa una unica ´ recta/circunferencia. En vista de los teoremas anteriores resulta razonable introducir los convenios siguientes: Definici´n 11.10 Llamaremos circunferencias de P1 (C) a las rectas y a las o circunferencias. Llamaremos inversiones tanto a las reflexiones como a las in- versiones (respecto a circunferencias). En estos t´rminos las transformaciones circulares transforman circunferen- e cias en circunferencias, y cualquier par de circunferencias est´n conectadas por a una transformaci´n circular. Por tres puntos cualesquiera pasa una unica cir- o ´ cunferencia. El teorema fundamental de la geometr´ af´ nos permite caracterizar las ıa ın transformaciones circulares: Teorema 11.11 Una biyecci´n de P1 (C) en s´ mismo es una transformaci´n o ı o circular si y s´lo si transforma circunferencias en circunferencias. o Demostracion: Sea f una biyecci´n que transforme circunferencias en ´ o circunferencias. Sea f (∞) = P . Sea g cualquier transformaci´n circular que o cumpla g(P ) = ∞. Entonces f g transforma circunferencias en circunferencias y deja fijo a ∞, luego vista como aplicaci´n en R2 transforma rectas en rectas. o Por el teorema fundamental de la geometr´ af´ se trata de una biyecci´n af´ ıa ın o ın, luego se extiende a una homograf´ en R2 . Como transforma circunferencias ıa en circunferencias es una semejanza, luego es una transformaci´n circular y f o tambi´n. e Ejercicio: Probar que cada circunferencia C divide al plano en dos partes, de modo que dos puntos est´n en la misma parte si y s´lo si existe un segmento de circunferencia a o que los contiene y no corta a C. Adem´s una transformaci´n circular hace corresponder a o dos puntos a un mismo lado de una circunferencia con puntos a un mismo lado de su imagen. 11.3 Homograf´ en la esfera ıas Los resultados de la secci´n anterior muestran que la geometr´ circular no o ıa distingue las rectas de las circunferencias. Esto resulta completamente natural cuando se relaciona con la geometr´ de la esfera. ıa Definici´n 11.12 Sea S una esfera en un espacio tridimensional eucl´ o ıdeo E. Una homograf´ en S es una biyecci´n f : S −→ S inducida por restricci´n a ıa o o partir de una homograf´ en E que fije a S. ıa
- 368. 356 Cap´ ıtulo 11. La geometr´ circular ıa Vamos a probar que la proyecci´n estereogr´fica hace corresponder las ho- o a mograf´ de una esfera con las transformaciones circulares de la recta compleja. ıas Las homograf´ de E transforman planos en planos, luego las homograf´ ıas ıas de una esfera S transforman circunferencias en circunferencias. Cuando compo- nemos una homograf´ f en S con la proyecci´n estereogr´fica p obtenemos una ıa o a biyecci´n p−1 f p de la recta compleja en s´ misma que claramente transforma o ı circunferencias en circunferencias, luego es una transformaci´n circular. Hemos o de probar que toda transformaci´n circular puede obtenerse de este modo. De o hecho basta probar que todas las reflexiones de la recta compleja provienen de homograf´ en la esfera, ahora bien, dada una inversi´n f , la antiimagen ıas o en S del conjunto de puntos fijados por f es una circunferencia en S, luego si probamos que existe una homograf´ que fija a dicha circunferencia, su co- ıa rrespondiente en P1 (C) ser´ una transformaci´n circular que fija a la misma a o circunferencia que f , luego ser´ f . En resumen, basta probar que para cada a circunferencia C en S existe una homograf´ en S que no es la identidad pero ıa fija a todos los puntos de C. r Q Sea π el plano de C, sea r la perpendicular a π que pasa por el centro O de S, sean N y M los puntos donde N r corta a S, sea π cualquier plano que contenga a r, sea C la circunferencia en que π corta a S, sea s = π ∩ π , A s B que es una recta perpendicular a r. Sean A y B los puntos donde s corta a r, sea Q el polo de s. O El punto Q es el conjugado harm´nico de O respecto o a M y N , luego no depende de la elecci´n de π . La o involuci´n en C de centro Q cumple ABM N − ABN M . o ∧ Consideremos ahora la homolog´ f de centro Q y eje π ıa M que env´ M a N . Su restricci´n a cada plano π cumple ABM − ABN , luego ıa o ∧ es de hecho la involuci´n anterior, luego en particular fija a S ∩ π , luego f fija o a S, con lo que induce una homograf´ en S que ciertamente fija a cada punto ıa de C. Con esto tenemos demostrado el teorema que persegu´ ıamos: Teorema 11.13 La proyecci´n estereogr´fica induce un isomorfismo entre el o a grupo de homograf´ de una esfera y el grupo de transformaciones circulares ıas de la recta proyectiva compleja. Este teorema nos permite traducir a t´rminos de homograf´ en esferas los e ıas resultados que ya conocemos sobre transformaciones circulares. Por ejemplo, dada una circunferencia C en una esfera S, existe una unica homograf´ en S ´ ıa distinta de la identidad que fija a todos sus puntos, a la cual llamaremos in- versi´n respecto a C. Toda homograf´ en una esfera es producto de reflexiones. o ıa Si una homograf´ fija a tres puntos es la identidad o la inversi´n respecto a la ıa o circunferencia que los contiene. A su vez, el teorema anterior nos aporta un dato importante sobre las trans- formaciones circulares:
- 369. 11.4. Conservaci´n deangulos o ´ 357 Teorema 11.14 La restricci´n de una transformaci´n circular a una circun- o o ferencia es una transformaci´n circular. M´s a´n, cada homograf´ entre dos o a u ıa circunferencias se extiende a una unica transformaci´n circular directa. ´ o Demostracion: La restricci´n de una transformaci´n circular a una cir- ´ o o cunferencia C puede descomponerse en producto de tres homograf´ ıas: primero la inversa de la proyecci´n estereogr´fica, que es una proyecci´n perspectiva o a o que transforma C en una circunferencia C en S, luego la homograf´ que in- ıa duce en la esfera la homograf´ correspondiente a la transformaci´n dada, que ıa o transforma C en otra circunferencia C , y por ultimo la restricci´n a C de la ´ o proyecci´n estereogr´fica, que es de nuevo una proyecci´n perspectiva. o a o Dada una homograf´ entre dos circunferencias, tomamos tres puntos de la ıa primera y consideramos la transformaci´n circular directa que coincide sobre o ellos con la homograf´ dada. Obviamente ambas han de coincidir sobre toda la ıa circunferencia y la unicidad es clara. 11.4 Conservaci´n de ´ngulos o a Vamos a definir el angulo entre dos circunferencias secantes y probaremos ´ que las transformaciones circulares conservan ´ngulos. Antes conviene aclarar a las posiciones relativas entre dos circunferencias cualesquiera: Teorema 11.15 Dos circunferencias distintas tienen cero, uno o dos puntos en com´n. Seg´n el caso se llaman disjuntas, tangentes o secantes. Dado un u u punto A en una circunferencia C y un punto B que no est´ en C, existe una e unica circunferencia C que pasa por B y toca a C en A. ´ Demostracion: Aplicando una transformaci´n circular si es preciso, pode- ´ o mos suponer que una de las circunferencias pasa por ∞ y la otra no, con lo que tenemos una recta y una circunferencia (en el sentido usual), luego efectivamente se cortan en a lo sumo dos puntos. Respecto a la segunda parte, aplicando una transformaci´n circular podemos o suponer que A es el punto infinito, con lo que el resultado equivale a que por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela. ´ En lo sucesivo convendremos que la tangente a una circunferencia por dos de sus puntos es ella misma. De este modo, si P es un punto de una circunferencia C y Q es otro punto cualquiera (en C o fuera de C), existe una unica circunferencia ´ tangente a C que pasa por P y Q. En estos t´rminos la recta tangente a una e circunferencia por uno de sus puntos es la circunferencia tangente por dicho punto y por ∞. Dos rectas secantes forman dos pares de ´ngulos opuestos por el v´rtice. a e Llamaremos ´ngulo entre ambas a la medida del menor de ellos. El ´ngulo entre a a una circunferencia y una recta secante es el ´ngulo entre la recta y la recta a tangente por cualquiera de los puntos de corte. No importa la tangente que se
- 370. 358 Cap´ ıtulo 11. La geometr´ circular ıa escoja, pues la reflexi´n respecto a la perpendicular a la recta por el punto medio o de los puntos de corte deja invariante a la recta y transforma una tangente en otra. El ´ngulo entre dos circunferencias (usuales) secantes es el ´ngulo entre a a sus tangentes por los puntos de corte. Tambi´n es claro que no importa el punto e de corte elegido. Con esto tenemos definido el ´ngulo entre dos circunferencias secantes cua- a lesquiera. La definici´n puede resumirse as´ el angulo entre dos circunferencias o ı: ´ es el ´ngulo entre sus rectas tangentes por ∞ y uno de los puntos de corte. a Teorema 11.16 Las transformaciones circulares conservan los angulos entre ´ circunferencias. Demostracion: Sean C1 y C2 dos circunferencias secantes y sea P un ´ punto de corte (podemos suponerlo finito). Sea ti la tangente a Ci por P o bien ti = Ci si Ci es una recta. Entonces el ´ngulo entre C1 y C2 es por definici´n a o el ´ngulo entre t1 y t2 . Una inversi´n respecto de una circunferencia (usual) de a o centro P deja invariantes a t1 y t2 y transforma cada circunferencia Ci en una recta sin m´s punto en com´n con ti que ∞ (o bien ti = Ci ). En cualquier caso a u transforma a Ci en una recta paralela a ti , de modo que estas rectas forman entre s´ el mismo ´ngulo que las circunferencias de partida. ı a Sean ahora Ci las im´genes de cada Ci por una transformaci´n circular a o arbitraria. Del mismo modo podemos transformarlas en dos rectas que forman el mismo ´ngulo que ellas. a El teorema se reduce, pues, a probar que si una transformaci´n circular hace o corresponder dos pares de rectas secantes, entonces el ´ngulo que forman es el a mismo. Sea f una transformaci´n circular que haga corresponder dos rectas secantes o r1 y r2 con dos rectas secantes r1 y r2 . Sea O el punto de corte de las primeras y O el punto de corte de las segundas. Entonces o bien f (O) = O y f (∞) = ∞ o bien f (O) = ∞ y f (∞) = O . En el segundo caso podemos componer f con una inversi´n respecto a una circunferencia de centro O , lo cual deja inalteradas o a r1 y r2 pero hace que ∞ quede fijo. Por lo tanto los dos pares de rectas se corresponden por una semejanza, y las semejanzas conservan los ´ngulos. a Los teoremas anteriores ilustran una potente t´cnica para obtener resultados e sobre circunferencias: reducirlos mediante inversiones a resultados sobre rectas. El ejercicio y los teoremas siguientes son tres ejemplos m´s. a Ejercicio: Probar que si dos circunferencias son ortogonales, cada una de ellas queda fija por la inversi´n respecto de la otra. o Teorema 11.17 Sean C1 y C2 dos circunferencias secantes. Sea P un punto de corte y Q un punto cualquiera. Sea C1 la tangente a Ci por P y Q. Entonces el angulo entre C1 y C2 es el mismo que entre C1 y C2 . ´ Demostracion: Basta aplicar una transformaci´n circular f que convierta ´ o Q en ∞. Basta probar que f [C1 ] y f [C2 ] forman el mismo ´ngulo que f [C1 ] y a f [C2 ], pero esto es cierto por definici´n de angulo entre circunferencias. o ´
- 371. 11.4. Conservaci´n deangulos o ´ 359 Teorema 11.18 Sean P , Q, R y S cuatro puntos colineales y sea C una cir- cunferencia que tenga a P Q por di´metro. Entonces H(P, Q; R, S) si y s´lo si a o toda circunferencia que pasa por R y S es ortogonal a C. Demostracion: Supongamos H(P, Q; R, S). Aplicando una inversi´n po- ´ o demos suponer que P es el punto infinito. Entonces Q es el punto medio de R y S y la circunferencia C es la recta perpendicular a RS por Q. En estas condiciones es f´cil ver que toda circunferencia que pasa por R y S es ortogonal a a C. Supongamos ahora que se cumple esta propiedad. Tomemos una circunfe- rencia C cualquiera que pase por R y S. Por hip´tesis corta ortogonalmente a o C en dos puntos A y B. Consideremos ahora la circunferencia C que pasa por A, R y el conjugado harm´nico de R respecto de P y Q. Por la parte anterior o C tambi´n es ortogonal a C, ahora bien, por dos puntos A y R pasa una unica e ´ circunferencia ortogonal a C, luego C = C , de donde S ha de ser el conjugado harm´nico de R respecto de P y Q. o Ahora vamos a definir el angulo entre dos circunferencias en una esfera y ´ probaremos que la proyecci´n estereogr´fica conserva los ´ngulos. o a a Definici´n 11.19 Si dos circunferencias en una esfera S se cortan en un punto o P , definimos el ´ngulo que forman como el angulo entre sus rectas tangentes a ´ por P . El teorema siguiente prueba en particular que el angulo entre dos circunfe- ´ rencias secantes en una esfera no depende de cu´l de los dos puntos de corte se a toma para calcularlo. Teorema 11.20 La proyecci´n estereogr´fica conserva ´ngulos. o a a Demostracion: Observemos en primer lugar que si C es una circunferencia ´ en una esfera S y C es una circunferencia tangente a C por un punto P , entonces ambas tienen la misma recta tangente por P , concretamente, la intersecci´n de o los planos de C y C . Por lo tanto, si tenemos dos circunferencias C1 y C2 y C1 , C2 son sus tangentes por P y por otro punto Q, el ´ngulo entre C1 y C2 a es el mismo que el ´ngulo entre C1 y C2 . Por el teorema 11.17, lo mismo vale a para las proyecciones, luego basta probar el teorema para circunferencias que se corten en un par de puntos ant´ ıpodas P y Q. Sean p1 y p2 las proyecciones estereogr´ficas de una esfera en dos planos a π1 y π2 . Sea f : π1 −→ π2 una isometr´ entre ellos. Entonces p−1 p1 f es ıa 2 una biyecci´n de π2 en s´ mismo que transforma circunferencias en circunferen- o ı cias, luego es una transformaci´n circular, luego conserva angulos, luego p−1 p1 o ´ 2 tambi´n conserva ´ngulos. e a Esto implica que al proyectar dos circunferencias de una esfera en un plano obtenemos dos circunferencias que forman el mismo ´ngulo independientemente a del plano sobre el que proyectemos. En particular, podemos utilizar la pro- yecci´n respecto al plano perpendicular a la recta P Q. o
- 372. 360 Cap´ ıtulo 11. La geometr´ circular ıa En estas condiciones es f´cil ver que las rectas tangentes a C1 y C2 tanto por a P como por Q son paralelas a las proyecciones de C1 y C2 , luego los angulos ´ son los mismos. 11.5 El teorema de Feuerbach Terminamos el cap´ıtulo con una interesante aplicaci´n de la geometr´ circu- o ıa lar a la geometr´ eucl´ ıa ıdea: Teorema 11.21 (Teorema de Feuerbach) El c´ ırculo de los nueve puntos de un tri´ngulo es tangente a sus cuatro circunferencias tritangentes. a Demostracion: Consideremos un tri´ngulo ABC. Sean A1 , B1 y C1 los ´ a puntos medios de sus lados, etiquetados como indica la figura. El c´ ırculo de los nueve puntos es el que pasa por estos tres puntos medios. B C B0 A B1 C0 B3 A1 A B C C1 Consideremos la circunferencia inscrita C1 y una de las circunferencias cir- ˆ cunscritas C2 , concretamente la que tiene su centro en la bisectriz de A. Si el lado BC es perpendicular a esta bisectriz, entonces es f´cil ver que el tri´ngulo a a es is´sceles, ambas circunferencias tocan a BC en su punto medio A1 y el c´ o ırculo de los nueve puntos tiene tambi´n a BC por tangente, con lo que efectivamente e toca a C1 y C2 . ˆ Supongamos que BC no es perpendicular a la bisectriz de A. Entonces la reflexi´n respecto a ella fija a C1 y C2 , luego transforma a BC en otra recta o tangente ambas circunferencias. Digamos que ´sta corta a los lados del tri´ngulo e a en los puntos A , B y C . El punto A est´ sobre la bisectriz de A. a ˆ Las rectas AB, AC, BC y B C son los lados de un cuadril´tero completo a dual circunscrito tanto a C1 como a C2 , luego su tri´ngulo diagonal es autopolar a para ambas. Sus lados son las rectas AA , BB , CC . Ahora bien, como el lado AA pasa por los centros de las circunferencias, su polo es infinito, luego las rectas BB y CC son paralelas y perpendiculares a AA . Sean B0 y C0 los puntos de corte, es decir, los v´rtices finitos del tri´ngulo. Notar que el e a cuadril´tero completo de v´rtices B, B , C, C prueba que H(B0 , C0 ; A, A ). a e
- 373. 11.5. El teoremade Feuerbach 361 Teniendo en cuenta que A1 es el punto medio de BC, es f´cil ver que B0 y a C0 est´n a la misma distancia de A1 , luego podemos trazar una circunferencia a C de centro A1 que pase por B0 y C0 . Los puntos B0 y C0 son conjugados respecto de las circunferencias C1 y C2 y son colineales con sus centros, luego est´n harm´nicamente separados por los a o dos pares de puntos donde ´stas cortan a AA . Podemos aplicar el teorema e 11.18 y concluir que C es ortogonal tanto a C1 como a C2 . Por lo tanto la inversi´n respecto a C deja fijas a cada una de ellas. Para probar el teorema o bastar´ ver que esta inversi´n transforma el c´ a o ırculo de los nueve puntos en la recta B C , pues ´sta es tangente a las circunferencias Ci , luego el c´ e ırculo de los nueve puntos tambi´n lo ser´. e a La recta A1 B1 es paralela a AB, luego no es paralela a B C . Sea B2 el ˆ punto de corte. Notemos que como AA es la bisectriz de A, el punto C0 es el punto medio del segmento CC . La recta A1 B1 pasa por el punto medio de CB y es paralela a BC , luego contiene a C0 . Por otra parte, del hecho de que BB y CC sean paralelas junto con que A1 es el punto medio de BC se sigue que A1 es el punto medio del segmento que une C0 con el punto B3 en que A1 B1 corta a BB . Por consiguiente B3 tambi´n est´ en C. Ahora observamos que e a B B0 C0 AA = B3 C0 B1 B2 , ∧ y como H(B0 , C0 ; A, A ), tambi´n H(B3 , C0 ; B1 , B2 ), luego la involuci´n que C e o induce en la recta A1 B1 por inversi´n (que fija a C0 y B3 ) conjuga B1 con B2 , o es decir, transforma B1 en un punto de la recta B C . Sim´tricamente se prueba e que el inverso de C1 est´ tambi´n sobre B C y ciertamente el inverso de A1 a e es el punto infinito, luego el inverso del c´ ırculo de los nueve puntos es la recta BC. A causa de este teorema, el c´ ırculo de los nueve puntos se conoce tambi´n e como c´ ırculo de Feuerbach.
- 375. Cap´ ıtulo XII La geometr´ hiperb´lica ıa o La geometr´ hiperb´lica es la geometr´ no eucl´ ıa o ıa ıdea m´s pr´xima a la geo- a o metr´ eucl´ ıa ıdea, pues satisface todos los axiomas de la geometr´ absoluta (gru- ıa pos A, B, C y D) y, por consiguiente, se distingue tan s´lo en que incumple o el axioma de las paralelas. Aunque podemos definir espacios hiperb´licos de o cualquier dimensi´n, nos limitaremos a estudiar el caso bidimensional por sim- o plicidad. Un plano hiperb´lico puede obtenerse a partir de un plano proyectivo o por un proceso formalmente similar a como se obtiene un plano eucl´ ıdeo. Para obtener un plano eucl´ ıdeo primero seleccionamos una recta, lo que nos permite distinguir entre puntos finitos e infinitos y definir la noci´n de paralelismo, con o lo que tenemos un espacio af´ Despu´s fijamos una involuci´n el´ ın. e o ıptica en la recta infinita, con lo que podemos definir la perpendicularidad, las semejanzas y las isometr´ıas. Para obtener un plano hiperb´lico basta seleccionar una c´nica o o real en lugar de una recta. Esto nos divide los puntos del plano proyectivo en tres clases: puntos finitos (los interiores a la c´nica), puntos infinitos (los de la o c´nica) y puntos ultrainfinitos (los exteriores a la c´nica). El plano hiperb´lico o o o propiamente dicho est´ formado por los puntos finitos, de modo que dos rectas a que se corten en un punto infinito o ultrainfinito son disjuntas desde el punto de vista hiperb´lico. Es f´cil ver entonces que por un punto exterior a una recta o a pasan infinitas paralelas. Una diferencia importante respecto a la geometr´ af´ es que ahora no nece- ıa ın sitamos introducir ninguna estructura adicional para definir la perpendiculari- dad. El papel de la involuci´n ortogonal lo juega aqu´ la polaridad de la c´nica, o ı o y el hecho de que est´ determinada por la propia c´nica termina traduci´ndose e o e en que los conceptos an´logos a los de afinidades, semejanzas e isometr´ se con- a ıas funden en uno solo en el caso hiperb´lico. En particular no hay m´s semejanzas o a que las isometr´ ıas. Pasemos a detallar todas estas ideas. 12.1 El plano hiperb´lico o Definici´n 12.1 Un plano hiperb´lico es un plano proyectivo real en el que o o se ha seleccionado una c´nica real, a la que llamaremos c´nica infinita. A los o o 363
- 376. 364 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o puntos interiores a la c´nica infinita los llamaremos puntos finitos, a los de la o c´nica los llamaremos infinitos y a los exteriores ultrainfinitos. Llamaremos o grupo hiperb´lico al grupo de las homograf´ que fijan a la c´nica. Las rectas o ıas o finitas ser´n las que contengan puntos finitos. a Salvo que indiquemos lo contrario, cuando hablemos de puntos y rectas en un plano hiperb´lico sobrentenderemos que se trata de puntos y rectas finitas. o Es claro que toda recta finita contiene exactamente dos puntos infinitos, los cuales determinan dos segmentos, uno formado por los puntos finitos y otro por los ultrainfinitos. Observar que las aplicaciones del grupo hiperb´lico hacen o corresponder puntos finitos con puntos finitos, pues ´stos se caracterizan por e que por ellos no pasan tangentes a la c´nica, y esta propiedad se conserva por o homograf´ ıas. En lugar de definir las rectas paralelas como las que no tienen puntos (finitos) en com´n, conviene distinguir dos clases de paralelismo: u Diremos que dos rectas son paralelas o ultraparalelas seg´n si se cortan en u un punto infinito o ultrainfinito. De este modo, dos rectas sin puntos (finitos) comunes son paralelas o ultraparalelas. Es claro que por un punto exterior a una recta pasan exactamente dos rectas paralelas, e infinitas ultraparalelas. Diremos que dos rectas son perpendiculares si son conjugadas respecto a la c´nica infinita. La prueba del teorema siguiente es elemental: o Teorema 12.2 Por cada punto pasa una unica perpendicular a una recta dada. ´ Dos rectas son ultraparalelas si y s´lo si tienen una perpendicular com´n, y en o u tal caso es unica. ´ Diremos que las rectas perpendiculares a una dada forman un haz de rectas ultraparalelas, y es claro que tales haces est´n en correspondencia con los puntos a ultrainfinitos. Tenemos, pues, que un plano hiperb´lico es un subconjunto de un plano o proyectivo. Si dotamos a ´ste de estructura eucl´ e ıdea tendremos una represen- taci´n del plano hiperb´lico como subconjunto de un plano eucl´ o o ıdeo, con lo que muchos de los teoremas eucl´ ıdeos se traducir´n a teoremas hiperb´licos. Vea- a o mos que esto se puede hacer de modo que la relaci´n entre ambos planos sea o especialmente simple. Sea O cualquier punto del plano hiperb´lico, sea r su polar, que ser´ una o a recta ultrainfinita, consideremos el espacio eucl´ ıdeo que resulta de tomar a r como recta infinita con la involuci´n (el´ o ıptica) inducida por la c´nica infinita. o Entonces dicha c´nica se convierte en una circunferencia C de centro O, las o rectas hiperb´licas coinciden con los segmentos eucl´ o ıdeos de extremos en C y las relaciones de orden hiperb´licas coinciden con las eucl´ o ıdeas. Definici´n 12.3 Se llama modelo de Klein del plano hiperb´lico al espacio o o formado por los puntos interiores de una circunferencia eucl´ ıdea C y tomando como rectas las cuerdas de C.
- 377. 12.1. El planohiperb´lico o 365 Todos los conceptos referentes al plano hiperb´lico se definen en t´rminos de o e la estructura proyectiva del plano que lo contiene, pero es util relacionarlos con ´ la geometr´ eucl´ ıa ıdea a trav´s del plano de Klein. Por ejemplo, observamos que e las perpendiculares hiperb´licas a una recta que pasa por el centro O del plano o de Klein coinciden con las eucl´ıdeas. Ejercicio: Describir en t´rminos geom´tricos sencillos la construcci´n de la perpen- e e o dicular a una recta por un punto dado en el plano de Klein. Ejemplo: Como muestra de la utilidad del plano de Klein probaremos el hecho siguiente: La proyecci´n ortogonal de una recta en otra que no sea perpen- o dicular a ella tiene por imagen una semirrecta si ambas rectas son paralelas y un segmento en caso contrario. Podemos tomar uno de los puntos de la recta imagen como centro del plano de Klein, con lo que ´sta es un di´metro del e a mismo. La proyecci´n ortogonal desde la otra recta coincide o entonces con la eucl´ ıdea, pero dicha recta es un segmento, luego su imagen es otro segmento salvo en el caso de que ambas tengan un extremo com´n, es decir, salvo que se trate u de rectas paralelas. Observemos que todas las homograf´ del grupo hiperb´lico conservan la ıas o perpendicularidad, luego todas ellas son el equivalente a las semejanzas de la geometr´ parab´lica. Si queremos definir las isometr´ como en el caso pa- ıa o ıas rab´lico deberemos empezar por definir las reflexi´n respecto a una recta. Es o o claro que s´lo hay una definici´n razonable: la reflexi´n respecto de una recta o o o r ha de tener orden 2, luego ha de ser una involuci´n de la c´nica infinita, y o o adem´s ha de fijar los puntos de r, luego ha de ser la involuci´n que fija a los dos a o puntos de intersecci´n de r con C. En definitiva, hemos de definir una reflexi´n o o como una involuci´n hiperb´lica de la c´nica infinita. Ahora bien, examinando o o o la prueba del apartado 5) del teorema 8.54 observamos que toda involuci´n o el´ ıptica se descompone en producto de dos involuciones hiperb´licas, luego de o hecho toda homograf´ del grupo hiperb´lico es producto de reflexiones, luego ıa o hemos de considerarlas a todas como isometr´ ıas. Definici´n 12.4 A las homograf´ del grupo hiperb´lico las llamaremos tam- o ıas o bi´n isometr´ e ıas. Diremos que dos figuras son congruentes si existe una isometr´ ıa que transforma una en otra. Notemos que las isometr´ que dejan fijo al centro O del plano de Klein ıas fijan tambi´n a su recta polar, que es la recta infinita, luego son biyecciones e afines. Puesto que fijan a la circunferencia, de hecho son isometr´ eucl´ ıas ıdeas. El rec´ ıproco es obvio, luego tenemos que las isometr´ hiperb´licas del plano ıas o de Klein que fijan a su centro son exactamente las eucl´ıdeas, es decir, los giros de centro O y las reflexiones respecto de rectas que pasan por O. En particular
- 378. 366 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o la reflexi´n respecto de una recta r que pasa por O fija a todos los puntos de o r y, como O puede ser cualquier punto, esto vale para todas las reflexiones hiperb´licas. o Con esto tenemos definidos todos los conceptos que aparecen en los axiomas de la geometr´ absoluta excepto las relaciones de orden en una recta, pero ´stas ıa e son f´ciles de definir: si a una recta que quitamos un punto infinito o ultrainfinito a obtenemos una recta af´ con dos ordenaciones naturales, las restricciones de ın estas ordenaciones al segmento finito no dependen del punto que hemos quitado, por lo que tenemos dos ordenaciones naturales en porci´n finita de la recta. En o el plano de Klein las relaciones de orden hiperb´licas coinciden con las eucl´ o ıdeas. Ahora es f´cil comprobar que el plano hiperb´lico cumple a o los axiomas de la geometr´ absoluta. Los grupos A y B y el ıa axioma D se comprueban sin dificultad alguna en el plano de Klein. Por ejemplo, un tri´ngulo en el plano de Klein es un a tri´ngulo eucl´ a ıdeo contenido en la circunferencia infinita, si una recta hiperb´lica corta a uno de sus lados y no pasa por o ninguno de los v´rtices, entonces ha de cortar a otro de los lados, porque esta e propiedad se cumple en el plano eucl´ıdeo. Esto demuestra el axioma B5 para el plano hiperb´lico. Igualmente se prueban los dem´s axiomas. o a Los axiomas de congruencia requieren mayor atenci´n porque la congruencia o hiperb´lica no coincide con la eucl´ o ıdea, como tampoco lo hacen la perpendicu- laridad ni mucho menos el paralelismo. Pensemos, por ejemplo, que si el plano de Klein satisface realmente los axiomas del grupo C entonces una recta debe contener infinitos segmentos disjuntos de la misma longitud, pero dicha recta es un segmento eucl´ ıdeo, y no contiene infinitos segmentos eucl´ ıdeos de la misma longitud. Lo que sucede es que los segmentos hiperb´licos son m´s cortos desde o a el punto de vista eucl´ ıdeo cuanto m´s cerca est´n del borde del c´ a a ırculo finito. Pese a ello, vamos a reducir tambi´n al caso eucl´ e ıdeo la comprobaci´n del los o axiomas del grupo C. S´lo necesitamos este hecho adicional: dados dos puntos o P y Q existe una isometr´ hiperb´lica que transforma uno en otro. De hecho ıa o vamos a ver que existe una que los intercambia. Sea r la recta que los une. Sean A y B sus puntos infinitos. El teorema 9.63 nos da que existe un unico par M , ´ N de puntos de r harm´nicamente conjugados respecto de P y Q y respecto de o A y B. Uno de los dos, digamos M ser´ finito y el otro ultrainfinito. Entonces a la polar de N es una recta finita s que pasa por M . La reflexi´n respecto de s o fija a M e intercambia a P y Q. Notar que M es el punto medio hiperb´lico del o segmento P Q. Ahora vamos a probar los axiomas de congruencia. El axioma C1 es obvio. Para C2 hemos de partir de tres puntos A, B, A y una semirrecta s de origen A . Hemos de probar que existe un unico punto B en s tal que AB ≡ A B . ´ Aplicando una isometr´ podemos suponer que A es el centro del plano de ıa Klein, con lo que la semirrecta es un radio del c´ ırculo. Mediante otra isometr´ ıa transformamos el segmento AB en un segmento A B . Ahora podemos aplicar
- 379. 12.1. El planohiperb´lico o 367 un giro de centro A , que es una isometr´ hiperb´lica, para transformar A B ıa o en un segmento A B con B en s. Para probar la unicidad hemos de ver que si A B ≡ A B con B en s entonces B = B . Ahora bien, una isometr´ entre los dos segmentos hace ıa corresponder sus extremos. Componi´ndola si es preciso con una isometr´ que e ıa intercambie A y B podemos suponer que fija a A . Pero si una isometr´ fijaıa a A y transforma B en B (ambos en la misma semirrecta) necesariamente B = B , pues la isometr´ es tambi´n una isometr´ eucl´ ıa e ıa ıdea. La prueba de C3 es simple: dados A, B, C colineales y A , B , C colineales tambi´n tales que AB ≡ A B y BC ≡ B C , entonces existe una isometr´ que e ıa transforma A en A y B en B . La imagen de C ha de ser un punto C en la misma semirrecta que C con origen B y de modo que B C ≡ BC ≡ B C , luego por C2 ha de ser C = C . El axioma C4 se comprueba exactamente igual que C2: dado un angulo ´ L, una semirrecta s y un semiplano π cuya frontera sea la prolongaci´n de s, o suponemos que el origen de s es el centro del c´ ırculo, transportamos el angulo ´ para que su v´rtice este en dicho centro y aplicamos un giro para obtener un e a ´ngulo de lado s y, si es necesario, una simetr´ para que quede contenido en π. ıa La unicidad se prueba de forma similar. Antes de probar C5 hemos de probar que la definici´n de congruencia de o tri´ngulos que dimos en el cap´ a ıtulo I coincide con la que aqu´ hemos dado. Una ı implicaci´n es evidente. Supongamos que ABC ≡ ABC en el sentido de que sus o lados y angulos son congruentes. Entonces existe una isometr´ que transforma ´ ıa A y B en A y B respectivamente. Componi´ndola con una reflexi´n respecto e o a AB podemos suponer que ´sta transforma C en un punto C en el mismo e semiplano que C respecto de A B . Por C4 se ha de cumplir B A C = B A C y A B C = A B C . Por consiguiente A C = A C y B C = B C , luego C = C es el punto de corte de ambas rectas. As´ pues, A B C es la imagen ı de ABC, luego son congruentes en el sentido general. Ahora la prueba de C5 es completamente an´loga a la de C2 y C4 (pero no a hace falta probar la unicidad). As´ pues: ı Teorema 12.5 El plano hiperb´lico cumple los axiomas de la geometr´a abso- o ı luta, pero no cumple el axioma E sobre la unicidad de las paralelas. Las diferencias entre la geometr´ eucl´ ıa ıdea y la hiperb´lica se hacen notables o en cuanto hablamos de perpendicularidad y paralelismo. Ya hemos visto que dos rectas paralelas no tienen perpendiculares comunes. Otro hecho ins´lito es o que dos pares cualesquiera de rectas paralelas son congruentes (pues cada uno est´ determinado por tres puntos infinitos, y existe una isometr´ que transporta a ıa tres puntos infinitos cualesquiera en otros tres). Ejercicio: Probar que dos pares de rectas ultraparalelas correspondientes a un mismo haz son congruentes.
- 380. 368 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o 12.2 Medida de segmentos y ´ngulos a Sabemos que el plano hiperb´lico cumple todos los resultados que probamos o en el cap´ıtulo II. En particular podemos asociar a cada segmento una longi- tud real, definida salvo un factor constante, de modo que dos segmentos son congruentes si y s´lo si tienen la misma longitud. Como ya hemos comentado, o aunque representemos el plano hiperb´lico como un c´ o ırculo eucl´ ıdeo de centro O, la longitud hiperb´lica no puede coincidir con la eucl´ o ıdea ni siquiera en el caso de segmentos con un extremo en O. Vamos a buscar una expresi´n para la longitud hiperb´lica de un segmento. o o Por el teorema 2.17, cualquier invariante que cumpla m(u + v) = m(u) + m(v) para todo par de segmentos u y v nos da la longitud de los segmentos respecto a cierta unidad de medida. A la hora de buscar un invariante es l´gico pensar o en la raz´n doble. o Dados dos puntos P y Q, llamaremos P∞ y Q∞ a los puntos infinitos de la recta P Q de modo que el orden de los cuatro sea P∞ , P, Q, Q∞ . La cantidad P Q∞ ∞ R(P, Q, Q∞ , P∞ ) es ciertamente invariante por iso- P R Q metr´ıas. Adem´s, si un punto R est´ entre P y Q a a es inmediato comprobar la relaci´no R(P, Q, Q∞ , P∞ ) = R(P, R; Q∞ , P∞ )R(R, Q, P∞ , Q∞ ). Nos interesa una relaci´n de este tipo pero aditiva, no multiplicativa. Para o ello basta tomar logaritmos. Notemos que como P Q ∦ P∞ Q∞ la raz´n dobleo es positiva. De hecho es f´cil ver que es mayor que 1, pues a P Q∞ QQ∞ |R(P, Q, Q∞ , P∞ )| = : P P ∞ QP ∞ ´ y ciertamente P Q∞ QP ∞ QQ∞ P P ∞ . Este es el motivo por el que hemos considerado esta raz´n doble y no R(P, Q, P∞ , Q∞ ), que es la inversa de la o anterior, y por lo tanto menor que 1. Seg´n esto podemos definir u 1 d(P, Q) = log R(P, Q, Q∞ , P∞ ) 2 y tenemos que d(P, Q) es un n´mero real positivo invariante por isometr´ u ıas y cuando P , Q, R son tres puntos colineales con R entre P y Q se cumple d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q). Convenimos adem´s que d(P, P ) = 0. a As´ d(P, Q) es la distancia hiperb´lica entre los puntos P y Q. En lugar de ı, o la constante 1/2 podr´ıamos haber elegido cualquier otro n´mero real positivo. u Modificar esta constante equivale a cambiar de unidad de longitud. M´s adelante a justificaremos esta elecci´n particular. o Es clara la analog´ entre la f´rmula que hemos encontrado para la medida ıa o de segmentos hiperb´licos y la f´rmula de Cayley que dimos en el cap´ o o ıtulo X para la medida de angulos eucl´ ´ ıdeos. En el caso de los ´ngulos la proximidad a
- 381. 12.2. Medida desegmentos y angulos ´ 369 es m´s que formal, pues podemos reducir la medida de angulos hiperb´licos a ´ o a la de angulos eucl´ ´ ıdeos. En efecto, sabemos que las isometr´ que fijan al ıas centro O del plano de Klein son las mismas para la geometr´ eucl´ ıa ıdea y para la hiperb´lica, de donde se sigue que dos angulos de v´rtice O son congruentes o ´ e para una si y s´lo si lo son para la otra. A su vez de aqu´ se sigue que la suma o ı de ´ngulos de v´rtice O es la misma en ambos casos y la medida de ´ngulos, a e a tal y como la construimos en el cap´ ıtulo II no depende de nada m´s, luego la a medida eucl´ ıdea coincide con la hiperb´lica en el caso de ´ngulos de v´rtice O. o a e Seg´n la f´rmula de Cayley, si r1 y r2 son dos rectas que pasan por O el ´ngulo u o a que forman mide 1 r1 r2 = arg R(r1 , r2 , I1 , I2 ), 2 donde I1 y I2 son las rectas que pasan por O y por los puntos circulares. Si obtenemos una expresi´n invariante por isometr´ hiperb´licas y que o ıas o coincida con ´sta sobre las rectas que se cortan en O, tendremos una medida de e a ´ngulos hiperb´licos. Ahora bien, esto es f´cil de conseguir: o a Teorema 12.6 El angulo que forman dos rectas hiperb´licas secantes r1 y r2 ´ o viene dado por la expresi´n1 o 1 arg R(r1 , r2 , I1 , I2 ), r1 r2 = 2 donde I1 e I2 son las tangentes a la c´nica infinita por el punto r1 ∩ r2 . o Efectivamente, esta expresi´n es invariante por isometr´ y si el punto de o ıas corte es el centro del plano de Klein entonces las tangentes pasan por los puntos circulares, luego el angulo coincide con el eucl´ ´ ıdeo. La f´rmula anterior nos da el (menor) angulo orientado determinado por dos o ´ rectas secantes, donde ‘orientado’ quiere decir que cambia de signo si cambiamos el orden de las rectas. Para eliminar esta dependencia del orden podemos tomar el argumento en [−π, π] y tomar el valor absoluto. Esto nos da la medida (en el sentido del cap´ıtulo II) del angulo agudo (o recto) que determinan las dos rectas. ´ Para calcular el angulo entre dos semirrectas aplicamos la f´rmula anterior si ´ o calculamos el complementario (restando el resultado de π) si el ´ngulo que a queremos medir es obtuso. Vamos a deducir unas f´rmulas muy utiles para calcular longitudes y angulos o ´ ´ hiperb´licos a partir de las coordenadas homog´neas de los puntos y rectas. o e Sea A la matriz de la c´nica infinita en un sistema de referencia dado. Sea o f (X, Y ) = XAY t , de modo que la ecuaci´n de la c´nica es f (X, X) = 0. Sean o o X e Y las coordenadas homog´neas de dos puntos interiores a la c´nica. La e o recta que los une est´ formada por los puntos de coordenadas X + λY , donde a λ ∈ R ∪ {∞}. Esta recta corta a la c´nica en los puntos correspondientes a los o valores de λ que satisfacen la ecuaci´n o 0 = f (X + λY, X + λY ) = λ2 f (Y, Y ) + 2f (X, Y )λ + f (X, X). 1 Como en el caso de la f´rmula de Cayley, debemos se˜ alar que la expresi´n habitual de o n o esta f´rmula es r1 r2 = − 2 log R(r1 , r2 , I1 , I2 ), donde log representa al logaritmo complejo. o i
- 382. 370 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o Concretamente: −f (X, Y ) ± f (X, Y )2 − f (X, X)f (Y, Y ) λ= . f (Y, Y ) Podemos considerar a λ como la coordenada cartesiana de un punto de la recta XY respecto a un sistema de referencia de origen X y en el que Y es el punto infinito. Si llamamos λ1 y λ2 a los dos valores dados por la f´rmula o anterior y P1 , P2 a los puntos correspondientes, entonces λ1 R(X, Y, P1 , P2 ) = R(0, ∞, λ1 , λ2 ) = . λ2 Para calcular d(X, Y ) hemos de ordenar P1 y P2 de modo que la raz´n doble sea o mayor que 1. Si los ponemos en orden equivocado lo unico que sucede es que el ´ logaritmo cambia de signo, por lo que en lugar de preocuparnos por determinar el orden correcto en este caso lo que haremos ser´ a˜adir un valor absoluto a la a n f´rmula. As´ la distancia hiperb´lica entre los puntos de coordenadas X e Y es o ı, o 1 f (X, Y ) + f (X, Y )2 − f (X, X)f (Y, Y ) d = log 2 f (X, Y ) + f (X, Y )2 − f (X, X)f (Y, Y ) 2 1 f (X, Y ) + f (X, Y )2 − f (X, X)f (Y, Y ) = log 2 f (X, X)f (Y, Y ) El coseno hiperb´lico biyecta los n´meros positivos con los n´meros mayores o u u que 1, luego es equivalente conocer d que cosh d. Sin embargo vamos a ver que la expresi´n de cosh d es algo m´s simple. Calculamos o a f (X, Y ) + f (X, Y )2 − f (X, X)f (Y, Y ) e±d = , f (X, X)f (Y, Y ) de donde se obtiene f´cilmente a ed + e−d |f (X, Y )| cosh d = = . 2 f (X, X)f (Y, Y ) Ahora particularizamos al caso en que la c´nica es la circunferencia de radio 1 o y los puntos son X = (x, y, 1), Y = (x , y , 1). Entonces f (X, Y ) = xx + yy − 1, luego en total obtenemos: Teorema 12.7 La distancia hiperb´lica d en el plano de Klein entre dos puntos o cuyas coordenadas cartesianas son (x, y) y (x , y ) viene dada por 1 − xx − yy cosh d = . (1 − x2 − y 2 )(1 − x 2 − y 2 )
- 383. 12.2. Medida desegmentos y angulos ´ 371 Los mismos c´lculos nos dan una expresi´n similar para el angulo entre dos a o ´ rectas. Hemos de partir de la ecuaci´n F (X, Y ) = XA−1 Y y las coordenadas o homog´neas X e Y de dos rectas finitas que se corten en un punto P . Entonces e X +λY recorre todas las rectas que pasan por P y los valores de λ que obtenemos corresponden a las dos tangentes imaginarias por P a la c´nica infinita. Si o llamamos θ al angulo entre las dos rectas, llegamos a que ´ 2 1 F (X, Y ) + F (X, Y )2 − F (X, X)F (Y, Y ) θ = ± arg . 2 F (X, X)F (Y, Y ) M´s a´n, si recordamos la deducci´n de la f´rmula de Cayley veremos que a u o o en realidad la raz´n doble que hemos calculado tiene m´dulo 1 y as´ o o ı 2 F (X, Y ) + F (X, Y )2 − F (X, X)F (Y, Y ) cos 2θ ± i sen 2θ = . F (X, X)F (Y, Y ) Ahora usamos que cos 2θ + i sen 2θ = (cos θ + i sen θ)2 , con lo que simplificamos el cuadrado y tomamos la parte real. El resultado es F (X, Y ) cos θ = . F (X, X)F (Y, Y ) Si lo aplicamos al caso en que la c´nica infinita es la circunferencia unidad, o la ecuaci´n tangencial es F (X, Y ) = xx + yy − zz , con lo que llegamos al o teorema siguiente: Teorema 12.8 El angulo hiperb´lico θ en el plano de Klein entre dos rectas ´ o cuyas coordenadas homog´neas son (x, y, z) y (x , y , z ) viene dado por e xx + yy − zz cos θ = . (x2 + y 2 − z 2 )(x 2 + y 2 − z 2 ) Ejemplo: Consideremos un cuadril´tero hiperb´lico con tres a o C b D θ ´ngulos rectos del que conocemos las longitudes a y b de dos a de sus lados. Vamos a usar las f´rmulas que hemos obtenido o a a para calcular el cuarto angulo. No perdemos generalidad si ´ suponemos que sus v´rtices tienen coordenadas A(0, 0), B(x, 0), e C(0, y), D(x, y) en el plano de Klein. A b B Lo primero que conviene observar es que el angulo θ es ´ agudo. Para ello no hay m´s que construir la perpendicular a a CD por D y observar que forma con CD un angulo mayor que ´ θ. Por lo tanto, si calculamos el angulo entre CD y BD esta- ´ remos calculando θ y no su complementario. Incidentalmente hemos probado que no existen rect´ngulos hiperb´licos. a o
- 384. 372 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o El teorema 12.7 nos da 1 1 cosh a = √ , cosh b = , 1 − x2 1 − y2 de donde podemos despejar x = tanh a, y = tanh b. Por otra parte el teorema 12.8 aplicado a las rectas CD = (0, 1, −y) y BD = (1, 0, −x) nos da xy cos θ = , (1 − y 2 )(1 − x2 ) y al sustituir los valores de x e y en funci´n de a y b llegamos a o cos θ = senh a senh b. Ejercicio: ¿Qu´ sucede si senh a senh b ≥ 1? e Ejercicio: Probar que la hipotenusa de un tri´ngulo rect´ngulo es mayor que cual- a a quiera de los catetos. Deducir que la distancia m´s corta entre un punto y una recta a se alcanza en el pie de la perpendicular a la recta por el punto. Ejercicio: Con la notaci´n del ejemplo anterior, probar que senh a senh a y por o lo tanto a a. Deducir que la distancia m´s corta entre dos puntos de dos rectas a ultraparalelas es la que media entre los pies de su unica perpendicular com´n. Probar ´ u tambi´n que si una recta tiene dos puntos a la misma distancia de otra recta, entonces e no pueden ser paralelas. La distancia entre dos rectas paralelas Veamos otra aplicaci´n del teo- o rema 12.7. Consideremos dos rectas paralelas. No perdemos generalidad si suponemos que son las rectas y = 0 e y = 1 − x del plano de Klein. La distancia a la primera del punto (x, y) de la segunda viene dada por √ 1 − x2 1+x 1 1 cosh d = = = 1+ . 1 − x2 − (1 − x)2 2x 2 x A la vista de esta f´rmula es claro que si r y s son dos rectas paralelas no o hay dos puntos en r a la misma distancia de s, as´ como que la recta r puede ı orientarse de modo que la distancia a s de un punto P de r se hace arbitra- riamente peque˜a si P se toma suficientemente a la derecha y arbitrariamente n grande se P se toma suficientemente a la izquierda. En particular no hay una m´ınima distancia entre las dos rectas. 12.3 El modelo de Poincar´ e Del mismo modo que el plano de Klein relaciona la geometr´ hiperb´lica ıa o con la eucl´ ıdea, hay otro modelo de plano hiperb´lico, debido a Poincar´, que o e relaciona la geometr´ hiperb´lica con la geometr´ circular. ıa o ıa
- 385. 12.3. El modelode Poincar´ e 373 Consideremos una esfera S y sea D el c´ ırculo delimitado por su ecuador C. Sea O su centro. Podemos considerar D como plano de Klein, en cuyo caso lo llamaremos DK . Sea DP el mismo c´ ırculo D, pero visto ahora como subconjunto de la recta proyectiva compleja. Sea G : DK −→ DP la biyecci´n definida como o sigue: A cada punto P de DK le asignamos el punto P donde la perpendicular a D por P corta a una de las semiesferas de S. A continuaci´n proyectamos o P mediante la proyecci´n estereogr´fica desde el polo de la semiesfera opuesta, o a con lo que obtenemos un punto P = G(P ). P P P Consideramos a DP como plano hiperb´lico tomando como rectas las im´- o a genes por G de las rectas de DK , entendiendo que dos rectas G[r] y G[s] son perpendiculares si y s´lo si lo son r y s, y que las isometr´ de DP son las o ıas aplicaciones de la forma G−1 f G, donde f es una isometr´ en DK . El inter´s de ıa e esta construcci´n radica en que la geometr´ de DP puede describirse de forma o ıa natural en t´rminos de la geometr´ circular de la recta compleja, sin ninguna e ıa referencia a la geometr´ de DK . ıa En primer lugar notamos que al levantar las rectas de DK sobre la semiesfera ´stas se transforman en los cortes de S con los planos verticales, que son las e circunferencias perpendiculares a C. M´s exactamente, las rectas hiperb´licas se a o transforman en las porciones de estas circunferencias contenidas en la semiesfera elegida. Al aplicar la proyecci´n estereogr´fica obtenemos que las rectas de DP o a son simplemente las intersecciones con DP de las circunferencias de la recta compleja perpendiculares a C. Entre ellas se encuentran las rectas que pasan por O. A cada isometr´ f de DK le podemos asignar la unica transformaci´n circu- ıa ´ o lar directa f que coincide con f en C. Notemos que las transformaciones cir- culares directas que fijan a C fijan tambi´n a los puntos de DP . Es claro que e la correspondencia f → f biyecta las isometr´ con las transformaciones cir- ıas culares directas que fijan a C. Vamos a probar que f = G−1 f G. Si A y B son dos puntos de C, entonces f transforma la recta AB de DK en f (A)f (B). Por otra parte G[AB] es el arco de la circunferencia ortogonal a C que pasa por A y por B, luego f [G[AB]] es el arco de la circunferencia ortogonal a C que pasa por f (A) y f (B), luego G−1 [f [G[AB]]] = f (A)f (B). As´ pues, f y Gf G−1 ı coinciden sobre rectas. Expresando cada punto de DK como intersecci´n de dos o rectas vemos que tambi´n coinciden sobre puntos. e Por consiguiente, las isometr´ de DP son las transformaciones circulares ıas directas que fijan a C.
- 386. 374 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o Para acabar de caracterizar la geometr´ de DP probaremos que los angulos ıa ´ entre dos rectas (circunferencias) de DP son los mismos que en la geometr´ ıa circular. Esto se debe a que G deja invariantes a las rectas de DK que pa- san por O, luego el angulo entre dos rectas de DP que pasan por O coincide ´ con el ´ngulo entre estas mismas rectas en DK , que coincide con el eucl´ a ıdeo, que a su vez coincide con el ´ngulo entre ellas en la geometr´ circular, luego a ıa efectivamente el ´ngulo entre dos rectas que pasan por O para la geometr´ de a ıa DP y para la geometr´ circular es el mismo. Como las isometr´ de DP son ıa ıas transformaciones circulares, conservan angulos para las dos geometr´ luego la ´ ıas, igualdad de angulos es v´lida para rectas que se corten en un punto arbitrario. ´ a Por ultimo notamos que, dado que la geometr´ de DK est´ descrita com- ´ ıa a pletamente en t´rminos de la geometr´ circular, no necesitamos suponer que e ıa DK es un c´ ırculo eucl´ ıdeo, sino que todo lo dicho vale en general tomando como DK uno de los lados (c´ ırculo o semiplano) que determina una circunferencia en la recta proyectiva compleja. En resumen: Definici´n 12.9 Llamaremos modelo de Poincar´ del plano hiperb´lico al con- o e o junto de los puntos situados a un mismo lado D (c´ ırculo o semiplano) de una circunferencia C en la recta proyectiva compleja, tomando como rectas las in- tersecciones con D de las circunferencias perpendiculares a C. Las isometr´ ıas hiperb´licas son entonces las transformaciones circulares directas que fijan a C. o Los ´ngulos hiperb´licos coinciden con los de la geometr´ circular. a o ıa Hemos probado que la geometr´ del plano de Poincar´ es exactamente la ıa e misma que la del plano de Klein. Aunque con las nociones de recta, isometr´ y ıa perpendicular tenemos totalmente caracterizada la geometr´ hiperb´lica, vamos ıa o ver que tambi´n hay una expresi´n sencilla para la longitud hiperb´lica en el e o o plano de Poincar´ en t´rminos de la geometr´ circular. e e ıa Veamos primero un caso particular. Tomemos como C el c´ ırculo de centro O y radio 1 en el plano z = 0 y consideremos el punto (x, 0, 0) del plano de Klein. Su imagen en el plano de Poincar´ se obtiene √ andolo, por ejemplo, a la e elev´ semiesfera superior, lo que nos da el punto (x, 0, 1 − x2 ), y despu´s calculando e la intersecci´n con z = 0 de la recta que une este punto con el polo sur (0, 0, −1). o Un c´lculo sencillo nos da que dicha imagen es el punto (x , 0), donde a x x = √ . 1+ 1 − x2 En t´rminos de n´meros complejos dicha imagen es simplemente el n´ mero e u u x + 0i = x . Vamos a calcular la distancia hiperb´lica en el plano de Poincar´ entre los o e puntos P (0, 0) y Q(x, 0). Los puntos infinitos involucrados son P∞ (−1, 0) y Q∞ (1, 0). Entonces 1+x 1 1+x R(P, Q, Q∞ , P∞ ) = , luego dK (P, Q) = log . 1−x 2 1−x
- 387. 12.4. Trigonometr´ hiperb´lica ıa o 375 ´ Esta ha de ser tambi´n la distancia hiperb´lica entre P = 0 y Q = x en e o el plano de Poincar´. Vamos a expresarla en t´rminos de 0, x y los puntos e e infinitos de la recta que determinan, que son P∞ = −1 y Q∞ = 1. Para ello observamos que 2 √ 2 1+x 1 + x + 1 − x2 R(P , Q , Q∞ , P∞ ) 2 = = √ 1−x 1 − x + 1 − x2 √ √ 1 + x + (1 + x) 1 − x2 (1 + x)(1 + 1 − x2 ) = √ = √ 1 − x + (1 − x) 1 − x2 (1 − x)(1 + 1 − x2 ) 1+x = = R(P, Q, Q∞ , P∞ ). 1−x As´ pues, tomando logaritmos queda que la distancia hiperb´lica en el plano ı o de Poincar´ entre P y Q viene dada por e dP (P , Q ) = log R(P , Q , Q∞ , P∞ ). En principio tenemos probada esta f´rmula cuando P = 0 y Q est´ sobre el o a eje real, pero ambos miembros de la igualdad son invariantes por las isometr´ ıas del plano de Poincar´ (las transformaciones circulares conservan la raz´n doble), e o y todo par de puntos puede transformarse mediante una isometr´ en un par en ıa las condiciones anteriores. Esto prueba el teorema siguiente: Teorema 12.10 La distancia hiperb´lica entre dos puntos P y Q en el plano o de Poincar´ viene dada por e dP (P, Q) = log R(P, Q, Q∞ , P∞ ), donde P∞ y Q∞ son los puntos infinitos de la recta (circular) P Q, de modo que el orden entre los cuatro puntos sea P∞ , P , Q, Q∞ . Ejercicio: Transportar la estructura hiperb´lica del plano de Poincar´ a una se- o e miesfera mediante la proyecci´n estereogr´fica. Describir las rectas, los ´ngulos y las o a a isometr´ ıas. 12.4 Trigonometr´ hiperb´lica ıa o Los tri´ngulos hiperb´licos verifican relaciones trigonom´tricas algo m´s a o e a complejas que las de los tri´ngulos eucl´ a ıdeos, pero igualmente manejables. Consideremos un tri´ngulo rect´ngulo hiperb´lico. Diga- a a o B ✡ mos que sus v´rtices son A, B, C, sus lados a, b, c y sus e ✡β a ´ngulos α, β, γ, donde γ = π/2. No perdemos generalidad si ✡ c✡ a suponemos que las coordenadas cartesianas de los v´rtices son e ✡ A(0, 0), B(x, y), C(x, 0). Como A es el centro del plano de ✡ Klein el angulo hiperb´lico α coincide con el ´ngulo eucl´ ´ o a ıdeo ✡α A b C
- 388. 376 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o correspondiente. Llamemos z = x2 + y 2 , es decir, z es la longitud eucl´ ıdea de la hipotenusa del tri´ngulo. El teorema 12.7 nos da las relaciones a √ 1 − x2 1 1 cosh a = √ , cosh b = √ , cosh c = √ . 1−z 2 1−x 2 1 − z2 Es f´cil despejar de las dos ultimas a ´ x = tanh b, z = tanh c. De la primera obtenemos (1 − x2 ) cosh2 a − y 2 cosh2 a = 1 − x2 ⇒ y 2 cosh2 a = (1 − tanh2 b) senh2 a, con lo que tanh a y= . cosh b De aqu´ se obtienen todas las f´rmulas trigonom´tricas hiperb´licas sobre ı o e o tri´ngulos rect´ngulos. Con ellas podemos calcular los cinco elementos del a a tri´ngulo a partir de dos cualesquiera de ellos. En primer lugar vemos c´mo a o calcular los angulos si conocemos dos de los lados. ´ Conocidos un cateto y la hipotenusa Si conocemos b y c podemos apro- vechar que el angulo hiperb´lico α coincide con el eucl´ ´ o ıdeo, con lo que x tanh b cos α = = . z tanh c Por simetr´ se ha de cumplir la f´rmula an´loga con el otro cateto, luego ıa o a tanh b = cos α tanh c, (12.1) tanh a = cos β tanh c. (12.2) Conocidos los catetos Si conocemos a y b usamos la tangente de α: y tanh a tan α = = . x senh b Por simetr´ la misma f´rmula ha de valer para el c´lculo de β, con lo que ıa o a tanh a = tan α senh b, (12.3) tanh b = tan β senh a. (12.4) El teorema de Pit´goras hiperb´lico Veamos ahora c´mo calcular un lado a o o si conocemos los otros dos. Con esto podremos resolver cualquier tri´nguloa rect´ngulo conocidos dos lados. Sustituimos los valores de x, y, z en la relaci´n a o ıdea z 2 = x2 + y 2 , con lo que obtenemos pitag´rica eucl´ o tanh2 a tanh2 c = tanh2 b + . cosh2 b
- 389. 12.4. Trigonometr´ hiperb´lica ıa o 377 Usando la relaci´n obvia entre cosenos y tangentes hiperb´licas llegamos a o o 1 1 1 1 1− 2 =1− 2 + 1− , cosh c cosh b cosh2 b cosh2 a que se reduce a cosh c = cosh a cosh b. (12.5) Conocidos un lado y un ´ngulo Las f´rmulas que hemos dado para los a o cosenos y las tangentes nos permiten ya resolver este caso. No obstante la f´rmula anterior nos da tambi´n expresiones para los senos: o e y tanh a senh a cosh c senh a sen α = = = = . z cosh b tanh c cosh a cosh b senh c senh c As´ pues: ı senh a = sen α senh c, (12.6) senh b = sen β senh c. (12.7) a ´ Conocidos dos ´ngulos Este es el punto m´s peculiar de la trigonometr´ a ıa hiperb´lica, y es que nos permite calcular los lados de un tri´ngulo conocidos o a sus ´ngulos. De momento lo probamos s´lo para tri´ngulos rect´ngulos, pero a o a a luego veremos que vale en general. Dividimos (12.1) entre (12.7) y aplicamos (12.5): cos α tanh b senh c cosh c = = = cosh a. sen β tanh c senh b cosh b Similarmente se prueba la f´rmula an´loga. Multiplic´ndolas y aplicando o a a (12.5) obtenemos una tercera que nos permite calcular la hipotenusa: cos α = sen β cosh a, (12.8) cos β = sen α cosh b, (12.9) 1 = tan α tan β cosh c. (12.10) La suma de los ´ngulos Hay una f´rmula de la trigonometr´ eucl´ a o ıa ıdea que ya no es v´lida en el caso hiperb´lico, y es que la suma de los ´ngulos de un tri´ngulo a o a a no es igual a π. De hecho siempre es menor que π. De momento lo probamos a a ¯ ´ para tri´ngulos rect´ngulos. Llamemos β al angulo eucl´ ıdeo correspondiente a β, de modo que ¯ y cos β = = tanh a = cos β cos β. z cosh b tanh c cosh b ¯ Puesto que los angulos son agudos, se cumple β β, luego ´ π ¯ π α+β+ α + β + = π. 2 2
- 390. 378 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o Tri´ngulos arbitrarios La resoluci´n de tri´ngulos arbitrarios se consigue a o a descomponi´ndolos en dos tri´ngulos rect´ngulos. Para ello trazamos una de e a a las alturas, y hay que distinguir dos casos seg´n si el pie P queda entre los dos u v´rtices opuestos o no. e B B ❍ ◗◗ ❙ ❍❍ ◗ ❙ ❍ c ◗a ❙ ❍❍ q ◗ q c ❙ ❍a ◗ ❍ ◗ ❙ ❍❍ α p b−p γ ◗ ◗ p ❙α b γ❍ ❍ A C P C P A De todos modos hay ocasiones en las que las pruebas se pueden reducir al primer caso (figura de la izquierda), pues por el teorema 2.26 sabemos que los a ´ngulos de un tri´ngulo no suman m´s de π, luego al menos dos de ellos son a a agudos. Si suponemos que A y C lo son, entonces el pie P de la altura por C est´ a necesariamente entre A y C. Por ejemplo, teniendo en cuenta que los angulos no ´ rectos de los tri´ngulos rect´ngulos suman menos de π/2, basta considerar este a a primer caso para concluir que los angulos de cualquier tri´ngulo ABC suman ´ a menos de π. Teorema 12.11 La suma de los angulos de un tri´ngulo hiperb´lico es siempre ´ a o menor que π. Vamos a ver que tres de los seis elementos de un tri´ngulo determinan los a otros tres. Para ello probaremos teoremas an´logos hiperb´licos al teorema de a o los senos y el teorema del coseno. Teorema 12.12 (Teorema de los senos) Todo tri´ngulos hiperb´lico satis- a o face la relaci´n o sen α sen β sen γ = = . senh a senh b senh c Demostracion: Supongamos la situaci´n de la figura de la izquierda. En- ´ o tonces senh q = sen γ senh a, senh q = sen α senh c, y al igualar obtenemos la relaci´n buscada. Si la situaci´n es la de la figura de o o la derecha la prueba es similar. En geometr´ hiperb´lica contamos con dos teoremas del coseno, uno para ıa o lados y otro para angulos: ´ Teorema 12.13 (Teorema del coseno) Todo tri´ngulo hiperb´lico satisface a o las relaciones cosh a = cosh b cosh c − senh b senh c cos α, cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cosh a.
- 391. 12.4. Trigonometr´ hiperb´lica ıa o 379 Demostracion: Como en el teorema anterior, suponemos que el pie de la ´ altura por B queda entre A y C. El caso contrario es an´logo. a cosh a = cosh q cosh(b − p) = cosh q (cosh b cosh p − senh b senh p) = cosh b cosh c − senh b cosh c tanh p = cosh b cosh c − senh b cosh c cos α tanh c = cosh b cosh c − senh b senh c cos α. Sea δ = P BC. cos α = cosh q sen(β − δ) = cosh q sen β cos δ − cosh q cos β sen δ = cosh q cosh(v − p) sen γ sen β − cos β cos γ = cosh a sen γ sen β − cos β cos γ. Es f´cil ver que con estas f´rmulas podemos resolver cualquier tri´ngulo.2 a o a En particular, si conocemos los tres angulos el teorema del coseno para ´ngulos ´ a nos permite calcular los tres lados. Por consiguiente: Teorema 12.14 Dos tri´ngulos hiperb´licos son congruentes si y s´lo si tienen a o o los tres angulos iguales. ´ He aqu´ otra consecuencia interesante de los teoremas del coseno: ı Teorema 12.15 Si dos tri´ngulos tienen sus lados proporcionales entonces son a iguales. Demostracion: La prueba se basa en que en ning´n momento hemos ´ u especificado la base e de las razones hiperb´licas. De este modo, si tenemos dos o tri´ngulos de lados ABC y A B C de modo que a = ka, b = kb, c = kc, con a k 0, observamos que eka + e−ka (ek )a + (ek )−a coshe ka = = = coshke a, 2 2 y lo mismo vale para el seno hiperb´lico, por lo que el teorema del coseno o aplicado al segundo tri´ngulo (con base e) es a coshke a = coshke b coshke c − senhke b senhke c cos α , y si lo comparamos con el teorema del coseno para el primer tri´ngulo tomando a como base ke concluimos que cos α = cos α , luego α = α y los tri´ngulos tienen a sus ´ngulos iguales, luego son iguales. a 2 Como en el caso eucl´ıdeo, si conocemos dos lados y un ´ngulo distinto del que forman a puede haber dos soluciones.
- 392. 380 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o Ejemplo: el ´ngulo de paralelismo Consideremos una recta cualquiera r y a un punto exterior P . Sea s la perpendicular a r por P y sea Q = r ∩ s. Podemos suponer que Q es el centro del plano de Klein y que r es el eje x. Sea t una de las paralelas a r por P . Sea R = r ∩ t. Entonces P QR es lo que se llama un tri´ngulo rect´n- a a Q gulo asint´tico, con dos lados infinitos y un angulo nulo. o ´ Las mismas t´cnicas que hemos empleado con los tri´n- e a α d gulos rect´ngulos usuales nos dan la relaci´n entre sus a o P R dos unicos elementos finitos, el lado d = P Q y el ´ngulo ´ a ˆ α = Q, a saber: cos α = tanh d. Tambi´n es f´cil ver que α es el mismo para las dos paralelas por P y recibe e a el nombre de ´ngulo de paralelismo a r por P . Su interpretaci´n es sencilla: las a o rectas que forman con s un angulo inferior a α cortan a r, las dos que forman ´ a ´ngulo α son paralelas y las que forman angulo superior a α son ultraparalelas. ´ Hemos probado que el angulo de paralelismo a una recta por un punto es agudo ´ y depende unicamente de la distancia d del punto a la recta. ´ Ejercicio: Probar la relaci´n de Lobachevski para el ´ngulo de paralelismo: o a α tan = e−d . 2 12.5 Las isometr´ hiperb´licas ıas o Vamos a describir con m´s detalle los distintos tipos de isometr´ hiperb´- a ıas o licas. Los dos primeros los conocemos ya, pero los incluimos por completitud. Reflexiones Recordemos que hemos definido la reflexi´n respecto a una recta o r como la isometr´ que induce en la c´nica infinita la involuci´n que fija a los ıa o o puntos infinitos de r. Al representarla en el plano de Klein con centro en un punto de r vemos que la reflexi´n ha de ser una isometr´ eucl´ o ıa ıdea, por lo que ha de ser la simetr´ respecto de r y por consiguiente fija a todos los puntos de ıa r. En el modelo de Poincar´ las reflexiones coinciden con las de la geometr´ e ıa circular. Desde un punto de vista puramente hiperb´lico la reflexi´n respecto a o o la recta r es la isometr´ que a cada punto P lo lleva al punto situado sobre la ıa perpendicular a r por P y a la misma distancia de ´sta que P . e Giros Un giro de centro O es la composici´n de dos reflexiones respecto de dos o rectas que se cortan en O. Tomando a O como centro del plano de Klein vemos que los giros as´ definidos coinciden con los eucl´ ı ıdeos, luego los giros hiperb´licos o con un mismo centro O forman un grupo isomorfo a R/Z. Las im´genes de un a punto P por todos los giros de centro O forman una circunferencia de centro O, donde una circunferencia hiperb´lica de centro O se define igual que una o eucl´ ıdea, es decir, como el conjunto de puntos situados a una misma distancia r de su centro. Existe cierta tradici´n de llamar ciclos a las circunferencias o
- 393. 12.5. Las isometr´hiperb´licas ıas o 381 hiperb´licas. En el plano de Klein de centro O las circunferencias hiperb´licas de o o centro O coinciden con las eucl´ ıdeas. En general las circunferencias hiperb´licas o de centro O pueden caracterizarse como las c´nicas formadas por puntos finitos o y que cortan a la c´nica infinita en los puntos (imaginarios) por donde pasan o las tangentes a ´sta desde O. Sabemos que toda isometr´ que fije a un punto e ıa es una reflexi´n o un giro. o Giros infinitos Definimos un giro alrededor de un punto infinito O como la composici´n de dos reflexiones cuyos ejes pasen por O, es decir, los giros in- o finitos son la composici´n de dos reflexiones respecto a dos rectas paralelas. o La mejor representaci´n de un giro infinito nos la da el modelo de Poincar´, o e tomando como conjunto de puntos finitos un hiperplano. No perdemos genera- lidad si suponemos que el centro del giro O es el punto infinito en el sentido de la geometr´ circular. Entonces las rectas que pasan por O son las rectas verti- ıa cales (suponiendo que representamos la frontera del semiplano como una recta horizontal), y la composici´n de dos reflexiones respecto a dos de estas rectas o es simplemente una traslaci´n (eucl´ o ıdea) en direcci´n horizontal. Vemos, pues, o que los giros hiperb´licos alrededor de un punto infinito O forman un grupo o isomorfo a R. Las im´genes de un punto por todos los giros de centro un punto infinito O a constituyen una figura llamada horociclo de centro O. En el caso concreto del semiplano de Poincar´, los horociclos de centro ∞ son las rectas horizontales. e De aqu´ deducimos varios hechos que son invariantes por isometr´ y por lo ı ıas, tanto v´lidos para horociclos con centro arbitrario: a • Por cada punto finito pasa un unico horociclo de centro un punto infinito. ´ Dos horociclos con el mismo centro son disjuntos. • Si P es un punto de un horociclo H de centro O, las unicas rectas cuyo ´ ´ unico punto en com´n con H es P son OP y su perpendicular por P . u • Dados dos puntos de un horociclo de centro O, existe un unico giro de ´ centro O que transforma uno en el otro. Consideremos una transformaci´n circular que convierta el semiplano de o Poincar´ en un c´ e ırculo D con circunferencia C de centro P . Sea O la imagen de ∞. Entonces el di´metro OP es la imagen de una recta vertical, luego los a horociclos de centro ∞ se transforman en las circunferencias contenidas en D que pasan por O y perpendiculares a OP , luego todas ellas tienen comparten con C la recta tangente por O. En general, dos c´nicas se dicen osculantes (lat. o ‘que se besan’) si comparten un punto y su tangente por el mismo. Puesto que s´lo hay una circunferencia en D osculante a C por P que pase por un punto o dado de OP , concluimos que todas ellas son horociclos. As´ pues: ı Los horociclos en el plano de Poincar´ circular son las circunferen- e cias osculantes a la circunferencia infinita.
- 394. 382 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o El paso del plano de Poincar´ al plano de Klein puede verse como una com- e posici´n de dos proyecciones perspectivas, luego los horociclos en el plano de o Klein son c´nicas osculantes a la c´nica infinita, pero esto s´lo no las caracte- o o o riza. Si H es un horociclo de centro O en el plano de Klein y P es uno de sus puntos, entonces la tangente a H por O es una recta que corta a H unicamente ´ en P , luego sabemos que ha de ser perpendicular a OP . A su vez esto se traduce en que el polo de OP respecto a H coincide con su polo respecto a la c´nicao infinita C. Definici´n 12.16 Se dice que dos c´nicas son hiperosculantes en un punto P o o si ambas pasan por P con la misma tangente t y los puntos de t tienen la misma polar respecto de ambas c´nicas. o En estos t´rminos tenemos que los horociclos son c´nicas hiperosculantes a e o la circunferencia infinita. El teorema siguiente prueba que esto los caracteriza. Teorema 12.17 Dada una c´nica C, un punto P en C y un punto Q que no o est´ en C ni sobre su tangente t por P , existe una unica c´nica hiperosculante e ´ o a C por P que pasa por Q. Demostracion: Sea P el otro punto donde la recta P Q corta a C. Conside- ´ ramos la unica elaci´n de centro P y eje t que transforma P en Q. Obviamente ´ o transforma C en una c´nica C que pasa por P con tangente t. Adem´s si R es o a cualquier punto de t distinto de P , la elaci´n transforma su polar respecto de o C en su polar respecto de C , pero como dicha polar pasa por P , en realidad queda invariante, luego ciertamente C es hiperosculante. Dada una c´nica cualquiera C hiperosculante a C por P y que pase por Q, o consideramos una recta cualquiera r que pase por Q y que corte a t en un punto R. La polar de R respecto de C lo ha de ser tambi´n respecto de C . Sea R e el punto donde corta a r. Entonces C ha de contener al conjugado harm´nicoo de P respecto de (R, R ). De este modo podemos obtener tantos puntos de C como queramos. Por consiguiente C es unica. ´ As´ pues, podemos afirmar: ı Los horociclos del plano proyectivo son las c´nicas hiperosculantes o a la c´nica infinita y formadas por puntos finitos (salvo el punto de o contacto). En el caso concreto del plano de Klein podemos dar una caracterizaci´n o mucho m´s simple. Sea H un horociclo de centro O, sea P el centro del plano de a Klein y sea Q el punto de H situado sobre OP . Sea d la distancia (eucl´ ıdea) entre O y Q. Teniendo en cuenta que H ha de ser la proyecci´n de una circunferencia o desde la esfera que tiene por ecuador a la circunferencia infinita, es f´cil ver que el √ a di´metro de esta circunferencia ha de ser 2d (suponemos que la circunferencia a infinita tiene radio 1), que a su vez ha de coincidir con el eje menor de H. As´ ı pues, Los horociclos del plano de Klein son las elipses osculantes a la cir- √ cunferencia infinita cuyos ejes miden d y 2d, con 0 d 2.
- 395. 12.5. Las isometr´hiperb´licas ıas o 383 Ejercicio: Probar que los horociclos de centro O quedan fijos por las reflexiones respecto de rectas que pasan por O. Ejercicio: Probar que si dos puntos P y Q est´n en un mismo horociclo de centro O, a entonces la distancia de P a OQ es igual a la distancia de Q a OP . Deducir de aqu´ ı una caracterizaci´n de los horociclos en t´rminos de la distancia hiperb´lica. o e o Hagamos una ultima observaci´n sobre los horociclos: la transformaci´n de ´ o o una recta horizontal del semiplano de Poincar´ en un horociclo en el plano e hiperb´lico visto como subconjunto del plano proyectivo es una composici´n de o o proyecciones perspectivas, luego es una homograf´ Los giros infinitos de centro ıa. O son traslaciones horizontales en el semiplano de Poincar´, luego inducen sobre e los horociclos las homograf´ de la forma Px → Px+y , luego lo mismo vale en ıas el modelo proyectivo. Traslaciones Definimos una traslaci´n hiperb´lica como la composici´n de o o o dos reflexiones respecto a rectas hiperparalelas. El modelo que muestra m´s a claramente las traslaciones es el semiplano de Poincar´. Si lo identificamos e concretamente con el semiplano y 0 en R2 , no perdemos generalidad si supo- nemos que la perpendicular com´n a los ejes de las dos reflexiones es el semieje u x = 0. Entonces estos ejes son dos semicircunferencias de centro (0, 0) y es f´cil a ver que la composici´n de las reflexiones respecto a ambas es una homotecia o (x, y) → (αx, αy) con α 0. M´s a´n, toda homotecia de centro (0, 0) y raz´n a u o positiva es una traslaci´n hiperb´lica. o o Tambi´n es claro que la unica recta fijada es el semieje vertical. En general, e ´ cada traslaci´n hiperb´lica fija a una unica recta, a la que llamaremos eje de la o o ´ traslaci´n. Las traslaciones con un eje dado forman un grupo isomorfo a R∗ . o Las im´genes de un punto P a trav´s de todas las traslaciones de eje r forman a e una figura llamada curva equidistante a r por P . En el modelo de traslaci´n en o el semiplano de Poincar´, las equidistantes al semieje x = 0 son las semirrectas e que pasan por el origen. Su nombre se debe a que si P no est´ en r, la equidis- a tante a r por P est´ formada por todos los puntos que a Q est´n en el mismo semiplano que P respecto a r y cuya a P distancia a r es la misma que la de P . La raz´n es que, si o r es la semirrecta x = 0 en el semiplano de Poincar´, la e semicircunferencia de centro (0, 0) que pasa por un punto Q de una equidistante es la perpendicular a r por Q, y lo mismo vale para P , y la traslaci´n que lleva o P a Q es una isometr´ que transforma una en la otra. ıa Dada una recta r y un n´mero d 0, existen dos equidistantes a una u distancia d de r, una en cada uno de los semiplanos determinados por r. Si pasamos a un c´ ırculo las dos equidistantes a una recta se convierten en dos arcos de circunferencia que pasan por sus puntos infinitos. Al pasar al modelo proyectivo nos encontramos con que las dos equidistantes se convierten en dos arcos de una misma c´nica. o
- 396. 384 Cap´ ıtulo 12. La geometr´ hiperb´lica ıa o En efecto: No perdemos generalidad si suponemos que R r es un di´metro (digamos el horizontal) del plano de Klein. a Por concretar supondremos que la circunferencia infinita C Q P es la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 y que r es el eje y = 0. Sean P y Q los puntos infinitos de r. Las tangentes a C por P y Q son las rectas verticales x = ±1. Dado cualquier punto R es claro que existe una unica c´nica C ´ o osculante a C por P y Q y que pasa por R. Es f´cil obtenerla como imagen de C por una afinidad que fija a los ejes a x = 0 e y = 0, por lo que C es una elipse con estas rectas como ejes. Una reflexi´n respecto a una recta vertical intercambia los puntos P y Q as´ como o ı las tangentes a C (luego tambi´n a C) por estos puntos. Adem´s fija a dos e a puntos de C, luego de hecho fija a C. Por consiguiente las traslaciones de eje r, que son composici´n de dos de estas reflexiones, tambi´n fijan a C. Esto prueba o e que la equidistante a r por R est´ contenida en C. M´s concretamente en el a a arco de C que est´ en el mismo semiplano que R respecto a r. Por otra parte, a cada recta vertical ha de cortar a la equidistante a r por R y s´lo corta a dicho o arco de C en un punto, luego tenemos la igualdad. Falta probar que el arco opuesto de C es la otra equidistante correspondiente a la misma distancia, pero esto es evidente, pues la reflexi´n respecto a r fija o a C (porque una elipse es sim´trica respecto de sus ejes), luego cada punto del e arco opuesto dista de r lo mismo que su sim´trico. En resumen: e Las equidistantes a una recta r son las c´nicas osculantes a la c´nica o o infinita por los puntos infinitos de r. M´s exactamente, son los dos a arcos en que estos puntos dividen a la c´nica. o Reflexi´n con traslaci´n Una reflexi´n con traslaci´n es simplemente la o o o o composici´n de una traslaci´n con la reflexi´n respecto de su eje. o o o Teorema 12.18 Toda isometr´ del plano proyectivo distinta de la identidad ıa es de uno de los cinco tipos anteriores. Demostracion: Recordemos del cap´ ´ ıtulo IX que toda homograf´ en una ıa c´nica determina un centro y un eje. De la propia definici´n se sigue que el eje o o pasa por los puntos fijos de la c´nica si es que los hay. Por lo tanto, el eje es o secante, tangente o exterior a la c´nica seg´n si la homograf´ es hiperb´lica, o u ıa o parab´lica o el´ o ıptica. En el ultimo caso el eje corta a la c´nica en dos puntos ´ o imaginarios, fijados por la extensi´n de la homograf´ a la complexificaci´n. o ıa o Es claro entonces que la homograf´ ha de fijar al eje en cualquier caso, y ıa por consiguiente tambi´n al centro, que es su polo. Recordemos tambi´n el e e teorema 9.53, seg´n el cual el centro de la composici´n de dos involuciones es u o la intersecci´n de los ejes de ´stas. o e Sea, pues, una isometr´ hiperb´lica f de centro O y eje r. Si O es un punto ıa o finito entonces podemos tomarlo como centro del plano de Klein y concluir que f ha de ser un giro o una reflexi´n. Como la restricci´n de f a la circunferencia o o
- 397. 12.5. Las isometr´hiperb´licas ıas o 385 infinita es el´ıptica (el eje es exterior) de hecho ha de ser un giro. As´ pues, los ı giros son las isometr´ hiperb´licas con centro finito. El centro del giro coincide ıas o con el centro en el sentido general. Si O es infinito, podemos descomponer f en producto de dos involuciones, y sus ejes pasar´n por O y no pueden ser tangentes (porque no hay involuciones a parab´licas) luego son rectas finitas y por consiguiente f es un giro infinito de o centro O. Concluimos que los giros infinitos son las isometr´ hiperb´licas de ıas o centro infinito. El centro del giro coincide con el centro en sentido general. Si O es ultrainfinito entonces el eje r es una recta finita. Si f es una in- voluci´n entonces es la reflexi´n respecto a r. En caso contrario expresamos o o f como composici´n de dos involuciones. La prueba del teorema 8.54 muestra o que podemos exigir que una de ellas sea hiperb´lica, es decir, una reflexi´n. Si o o ambas son reflexiones entonces f es una traslaci´n, pues los ejes de las refle- o xiones se cortan en el punto ultrainfinito O. Notamos tambi´n que el eje de la e traslaci´n coincide con el eje en sentido general. o Si una de las involuciones sea el´ıptica el determinante de f ha de ser negativo. Consideramos la reflexi´n g respecto a r. Entonces f g fija a los puntos infinitos o de r, luego sigue teniendo eje r, pero tiene determinante positivo. As´ pues, ı ha de descomponerse en producto de dos reflexiones y es, por consiguiente, una traslaci´n. Por consiguiente, f = (f g)g es una simetr´ con traslaci´n. Es f´cil o ıa o a ver que f g = gf . Finalmente probamos que las isometr´ pueden caracterizarse como en el ıas caso eucl´ ıdeo como las biyecciones que conservan las distancias. M´s a´n, de a u hecho toda semejanza es una isometr´ıa. Teorema 12.19 Una biyecci´n f de (el conjunto de puntos finitos del) plano o hiperb´lico en s´ mismo que cumpla d f (P ), f (Q) = k d(P, Q), para todo par o ı de puntos P y Q, con k 0, es una isometr´ En particular ha de ser k = 1. ıa. Demostracion: Es f´cil ver que tres puntos P , Q, R son colineales si y ´ a s´lo si ordenados adecuadamente cumplen d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q). Por o lo tanto f transforma puntos colineales en puntos colineales, luego transforma rectas en rectas. M´s a´n, f transforma un tri´ngulo en otro con sus lados a u a proporcionales, luego ha de ser k = 1 y adem´s f conserva ´ngulos. Sean P y a a Q dos puntos cualesquiera. Existe una isometr´ g que coincide con f sobre P y ıa Q. Basta probar que f g −1 es una isometr´ y esta aplicaci´n tiene las mismas ıa, o propiedades que f adem´s de que fija a P y Q. Podemos suponer, pues, que f a fija a estos puntos. De aqu´ se sigue que f fija a cada punto de la recta P Q. ı Es f´cil ver que f fija o intercambia los semiplanos respecto de P Q. Com- a poni´ndola si es preciso con la reflexi´n respecto de P Q podemos suponer que e o los fija. Dado cualquier punto R exterior a P Q sea R = f (R). Los tri´ngulos a P QR y P QR son congruentes y est´n en el mismo semiplano respecto a P Q, a luego han de ser iguales, luego f (R) = R, luego f es la identidad.
- 399. Cap´ ıtulo XIII La geometr´ el´ ıa ıptica Hasta ahora hemos estudiado dos ejemplos de geometr´ m´tricas, es decir, ıas e geometr´ donde est´ definida la distancia entre dos puntos y la perpendiculari- ıas a dad entre rectas. Una es la geometr´ de los planos parab´licos, que se obtienen ıa o eliminando una recta de un plano proyectivo; la segunda es la geometr´ hi- ıa perb´lica, en la que nos quedamos s´lo con los puntos interiores de una c´nica. o o o La geometr´ el´ ıa ıptica, que vamos a estudiar ahora, es la geometr´ m´trica del ıa e plano proyectivo completo, considerando a todos los puntos finitos. As´ como la ı geometr´ hiperb´lica incumple el axioma E de Euclides porque por un punto ıa o exterior a una recta pasa m´s de una paralela, la geometr´ el´ a ıa ıptica lo incumple en sentido contrario: como bien sabemos, en un plano proyectivo no existen paralelas. Formalmente, la geometr´ el´ ıa ıptica se puede desarrollar de forma completa- mente an´loga a la hiperb´lica. El unico cambio es que vamos a tomar como a o ´ c´nica infinita una c´nica imaginaria, de modo que no d´ lugar a ninguna di- o o e visi´n de los puntos del plano. Al igual que en los otros casos, podr´ o ıamos definir espacios el´ ıpticos de cualquier dimensi´n, pero nosotros nos limitaremos al caso o plano porque es completamente representativo y m´s simple en la pr´ctica. a a 13.1 El plano el´ ıptico Definici´n 13.1 Un plano el´ o ıptico es un plano proyectivo real en el que hemos seleccionado una c´nica imaginaria (c´nica infinita). Diremos que dos rectas o o son perpendiculares si son conjugadas respecto a la c´nica infinita. Llamare- o mos grupo el´ıptico o grupo de isometr´ al grupo de las homograf´ que fijan ıas ıas a la c´nica infinita. Dos figuras son congruentes si existe una isometr´ que o ıa transforma una en otra. Vamos a introducir un modelo que nos permita relacionar la geometr´ ıa el´ ıptica con la eucl´ ıdea. El plano proyectivo es de la forma P(V ), donde V es un espacio vectorial tridimensional real. Existe un sistema de referencia pro- yectivo respecto al cual la c´nica infinita tiene ecuaci´n x2 + y 2 + z 2 = 0. Este o o 387
- 400. 388 Cap´ ıtulo 13. La geometr´ el´ ıa ıptica sistema de referencia se corresponde con una base de V . Dotamos a V del pro- ducto escalar que en dicha base tiene matriz identidad, es decir, el producto respecto al cual dicha base es ortonormal. M´s en general, podemos considerar a a V como un espacio af´ eucl´ ın ıdeo en el que hemos fijado un sistema de refe- rencia ortonormal de modo que los puntos del plano proyectivo son las rectas que pasan por el origen O y las coordenadas homog´neas de un punto son las e coordenadas en el sistema de referencia fijado de uno de los puntos (que no sea O) de la recta correspondiente. Dos puntos de coordenadas X e Y son conjugados respecto de la c´nica o infinita si y s´lo si XY t = 0, es decir, si y s´lo si vistos como rectas de V son o o ortogonales. Las rectas proyectivas est´n formadas por los puntos que cumplen una a ecuaci´n ax + by + cz = 0, es decir, son los planos de V que pasan por O. o Tambi´n es claro que un punto y una recta son conjugados si y s´lo si, vistos e o como recta y plano, uno es perpendicular al otro. Todas estas relaciones se pueden simplificar si escogemos representantes con- cretos en V para los puntos proyectivos. Sea S la esfera en V de centro O y radio 1. Cada recta que pasa por O corta a S en dos puntos ant´ ıpodas. En t´rminos proyectivos, cada punto tiene dos ternas de coordenadas homog´neas e e sujetas a la restricci´n x2 + y 2 + z 2 = 1. Podemos, pues, identificar el plano o proyectivo con el conjunto de los pares de puntos ant´ ıpodas de S. De ahora en adelante y salvo que indiquemos lo contrario, cuando hablemos de un punto de S nos referiremos a un par de puntos ant´ ıpodas considerados como un solo objeto. Las rectas proyectivas se corresponden con las intersecciones con S de los planos que pasan por su centro, es decir, son los llamados c´ ırculos m´ximos de la esfera, a las circunferencias cuyo radio coincide con el de la esfera. Dos circunferencias son ortogonales (en el sentido de la geometr´ el´ ıa ıptica) si la perpendicular por el origen del plano de una pasa por la otra. En otros t´rminos, que si tomamos e a una como ecuador de la esfera, sus perpendiculares son las circunferencias que pasan por los polos. Es f´cil ver que esto equivale a que sean ortogonales en el a sentido del cap´ıtulo 11. Consideremos ahora una isometr´ el´ ıa ıptica f . Podemos verla tambi´n como e un automorfismo de V (visto como espacio vectorial). Sean X e Y las coordena- das de dos puntos y sean X e Y las coordenadas de sus im´genes. Puesto que a f ha de conservar la polaridad de la c´nica infinita, los puntos ser´n conjugados o a si y s´lo si lo son sus im´genes, es decir, XY t = 0 es equivalente a X Y t = 0. o a Esto significa que f conserva la ortogonalidad en V , luego es una semejanza, luego f = kg, donde k es un n´mero real no nulo y g es una isometr´ lineal u ıa de V . Ahora bien, es claro que f y g inducen la misma homograf´ en el plano ıa proyectivo, luego podemos concluir que las isometr´ el´ ıas ıpticas est´n inducidas a por las isometr´ lineales de V . El rec´ ıas ıproco es cierto: si f es una isometr´ ıa lineal y A es su matriz en el sistema de referencia que estamos considerando, un punto est´ en la c´nica infinita si sus coordenadas (imaginarias) cumplen a o XX t = 0. Su imagen por f tiene coordenadas XA y, como A es una matriz ortogonal, XAAt X t = XX t = 0, luego la imagen sigue en la c´nica. En re- o
- 401. 13.1. El planoel´ ıptico 389 sumen: las isometr´ el´ ıas ıpticas son exactamente las homograf´ inducidas por ıas las isometr´ lineales de V o, equivalentemente, por las isometr´ de V (visto ıas ıas como espacio af´ que fijan a O. ın) Definici´n 13.2 Llamaremos modelo esf´rico de la geometr´ el´ o e ıa ıptica al con- junto S formado por los pares de puntos ant´ ıpodas de una esfera eucl´ ıdea. Las rectas el´ ıpticas son los c´ ırculos m´ximos. Dos rectas son perpendiculares si lo a son sus tangentes en los puntos de corte. Una isometr´ el´ ıa ıptica es la restricci´n o a S de una isometr´ del espacio eucl´ ıa ıdeo que fija al centro de S. Adem´s hemos visto que el polo de una recta en el modelo esf´rico es el par a e de polos (en el sentido geogr´fico) cuando consideramos a la recta como ecuador. a Las isometr´ del modelo esf´rico son en particular homograf´ luego con- ıas e ıas, servan angulos en el sentido del cap´ ´ ıtulo 11. Podemos, pues, definir el angulo ´ entre dos rectas el´ıpticas en la esfera como el ´ngulo eucl´ a ıdeo entre sus tan- gentes por los puntos de corte y es claro entonces que dos pares de rectas son congruentes si y s´lo si forman el mismo ´ngulo. Veamos que el angulo entre o a ´ dos rectas puede definirse sin hacer referencia al modelo esf´rico exactamente e como en la geometr´ hiperb´lica, es decir, ıa o 1 r1 r2 = |arg R(r1 , r2 , I1 , I2 )| , 2 donde I1 e I2 son las tangentes a la c´nica infinita por el punto r1 ∩ r2 y el o argumento se toma en ]−π, π[. En efecto, el angulo definido as´ es sin duda invariante por isometr´ Basta ´ ı ıas. probar que ambas definiciones coinciden sobre rectas que pasan por el polo norte (0, 0, 1). Sus coordenadas homog´neas ser´n de la forma (a, b, 0) y (a , b , 0). Sus e a tangentes por el polo norte ser´n las intersecciones de los planos ax + by = 0 y a a x + b y = 0 con el plano z = 1. Ahora bien, podemos identificar el plano z = 1 con el plano af´ que resulta de eliminar la recta z = 0 en el plano proyectivo ın de partida. Entonces las tangentes cuyo angulo hemos de medir son las propias ´ rectas iniciales (sin su punto infinito). Con m´s detalle: en este plano af´ a ın tenemos ahora una estructura eucl´ ıdea, de modo que las coordenadas cartesianas (x, y) correspondientes a las coordenadas homog´neas (x, y, 1) est´n asociadas a e a un sistema de referencia ortonormal. Hasta aqu´ tenemos que el ´ngulo entre las ı a rectas definido en el modelo esf´rico corresponde con el ´ngulo entre ellas mismas e a respecto a esta estructura eucl´ıdea. Este ´ngulo puede calcularse por la f´rmula a o de Cayley, que es formalmente id´ntica a la que queremos probar. S´lo hemos e o de asegurarnos de que las tangentes a la c´nica infinita por el punto de corte o (0, 0, 1) coinciden con las rectas is´tropas por dicho punto, pero esto es obvio, o pues ambas son las rectas x ± iy = 0. En efecto, ambas pasan por los puntos circulares (1, ±i, 0) y sus coordenadas homog´neas cumplen x2 + y 2 + z 2 = 0. e Podemos plantearnos la f´rmula an´loga a la distancia hiperb´lica entre dos o a o puntos P y Q en t´rminos de la raz´n doble R(P, Q, P∞ , Q∞ ), donde P∞ y e o Q∞ son los puntos de corte entre la c´nica infinita y la recta P Q. Ahora bien, o
- 402. 390 Cap´ ıtulo 13. La geometr´ el´ ıa ıptica puesto que las coordenadas homog´neas de un punto coinciden con las de su e polar, vemos que las coordenadas de P∞ y Q∞ son tambi´n las de las rectas e tangentes a la c´nica infinita por el punto en que se cortan las polares de P y o Q, luego dicha raz´n doble es un n´mero complejo de m´dulo 1 cuyo argumento o u o es el ´ngulo entre dichas polares. Esto nos lleva a la definici´n siguiente, donde a o recogemos tambi´n la definici´n de angulo que hemos discutido anteriormente. e o ´ Definici´n 13.3 Llamaremos distancia el´ o ıptica entre dos puntos P y Q como 1 d(P, Q) = |arg R(P, Q, P∞ , Q∞ )| , 2 donde P∞ y Q∞ son los puntos en que la recta P Q corta a la c´nica infinita y o el argumento se toma en ]−π, π[. El ´ngulo el´ a ıptico entre dos rectas r1 y r2 es 1 r1 r2 = |arg R(r1 , r2 , I1 , I2 )| , 2 donde I1 e I2 son las tangentes a la c´nica infinita por el punto r1 ∩ r2 y el o argumento se toma en ]−π, π[. Ambas magnitudes pueden variar en [0, π/2[, con el convenio de que son nulas si los puntos o las rectas son iguales. Ambas se conservan por isometr´ıas. Hemos probado que la distancia entre dos puntos es el angulo entre sus polares. ´ En el modelo esf´rico la distancia entre dos puntos P y Q coincide con el ´ngulo e a entre las rectas OP y OQ, donde O es el centro de la esfera. El ´ngulo entre a dos rectas es el definido en el cap´ıtulo 11. Tambi´n es claro que dos pares de puntos/rectas son congruentes si y s´lo e o si su distancia/´ngulo es el mismo. a Exactamente el mismo argumento que en el caso de la geometr´ hiperb´lica ıa o nos lleva a las f´rmulas: o xx + yy + zz cos d = , x2 + y2 + z2 x2+y2+z2 xx + yy + zz cos θ = , x2 + y2 + z2 x2+y2+z2 donde (x, y, z) y (x , y , z ) son las coordenadas homog´neas de dos puntos/rec- e tas. No obstante estas f´rmulas se siguen inmediatamente del modelo esf´rico o e usando las propiedades del producto escalar en V . 13.2 Bil´teros y tri´ngulos a a La ordenaci´n circular de la geometr´ el´ o ıa ıptica confiere a plano propiedades muy distintas de las que se siguen de la ordenaci´n lineal de las geometr´ o ıas eucl´ ıdea e hiperb´lica. Para empezar hemos de tener presente que dos puntos no o
- 403. 13.2. Bil´teros ytri´ngulos a a 391 determinan un segmento, sino dos segmentos complementarios. De este modo, cuando hablemos de un segmento AB habremos de entender que se trata de uno de los dos segmentos de extremos A y B. Recordemos que hab´ ıamos adoptado el convenio de llamar ACB al segmento de extremos A y B que contiene a C. Es f´cil ver que un segmento y su complementario no son congruentes salvo a que los extremos disten π/2. Por ello no podemos definir la longitud de un seg- mento como la distancia entre sus extremos, ya que en tal caso estar´ ıamos asig- nando la misma longitud a segmentos complementarios no congruentes. Para definir adecuadamente la longitud de un segmento nos basaremos en el hecho siguiente, que se comprueba sin dificultad en el modelo esf´rico: e Cada segmento el´ıptico AB contiene un unico punto C con la pro- ´ piedad de que d(A, C) = d(C, B). Lo llamaremos punto medio del segmento. Ahora definimos la longitud de un segmento como el doble de la distancia de sus extremos a su punto medio. La idea es que en el modelo esf´rico un segmento e es un arco de circunferencia de amplitud menor que π (en realidad es un par de arcos ant´ıpodas de amplitud menor que π), por lo que la mitad de un segmento es un arco de amplitud menor que π/2 y as´ la amplitud de este arco s´ coincide ı ı con la distancia entre sus extremos, luego la longitud del segmento completo as´ ı definida coincide con su amplitud como arco. Ahora s´ podemos afirmar que dos ı segmentos son congruentes si y s´lo si tienen la misma longitud. Es f´cil probar o a que la longitud de un segmento y la de su complementario suman π. Podemos expresar esto diciendo que las rectas tienen longitud π. Una recta no divide al plano en dos partes. Dos rectas no lo dividen en cuatro angulos, sino en dos regiones que pode- ´ mos llamar bil´teros. Un bil´tero tiene un v´rtice y dos lados. a a e Dos puntos est´n en el mismo bil´tero si existe un segmento a a que los une sin cortar a los lados. Una forma f´cil de probar a estos hechos es observar que los bil´teros son simplemente los a semiplanos que determina una recta en el espacio af´ queın resulta de tomar a la otra como recta infinita. Podemos asignar una medida al a ´ngulo de cada bil´tero del mismo modo que hemos hecho con los segmentos. a La suma de los ´ngulos de dos bil´teros complementarios es π. a a Consideremos tres puntos no colineales A, B, C. To- memos AB como recta infinita. Entonces los bil´teros de a v´rtice A y lados AB y AC se convierten en los dos semipla- e nos determinados por AC. La recta BC es secante a AC, luego divide al plano en cuatro angulos. Dos puntos est´n ´ a en el mismo ´ngulo si y s´lo si el segmento (af´ que los a o ın) une no corta a BC ni a AC, o equivalentemente, si y s´lo si existe un segmento o que los une y no corta a ninguna de las rectas AB, AC, BC. Esta caracterizaci´n es sim´trica y no depende de la recta que hemos to- o e mado como infinita ni del orden de los puntos, luego podemos afirmar que tres puntos no colineales A, B, C dividen al plano en cuatro partes que llamaremos
- 404. 392 Cap´ ıtulo 13. La geometr´ el´ ıa ıptica tri´ngulos de v´rtices A, B, C. Es claro por las definiciones que dos puntos a e est´n en el mismo tri´ngulo de v´rtices A, B, C si y s´lo si est´n en el mismo a a e o a bil´tero de v´rtice A y lados AB, AC, en el mismo bil´tero de v´rtice B y lados a e a e BA, BC y en el mismo bil´tero de v´rtice C y lados CA y CB. Llamaremos a e ˆ ˆ ˆ A, B y C para un tri´ngulo dado T a los bil´teros de v´rtices A, B, C que a a e contienen a T , y los llamaremos ´ngulos de T a Sea T un tri´ngulo de v´rtices A, B, C. Podemos tomar una recta que pase a e ˆ por A pero no est´ contenida en A. Si la convertimos en recta infinita las rectas e AB y AC se vuelven paralelas y T se convierte en el conjunto de los puntos comprendidos entre ambas y que est´n en uno de los semiplanos determinados a por BC. Vemos entonces que de los dos segmentos que B y C determinan en a ´ ˆ BC, uno est´ contenido en el angulo A y el otro es exterior a ´l. e En general, llamaremos lado opuesto al v´rtice A al segmento de BC conte- e ˆ nido en A. Lo mismo vale para los otros v´rtices. Dado un tri´ngulo T , cada uno e a de los otros tres tri´ngulos con sus mismos v´rtices comparte con T un angulo a e ´ y su lado opuesto. Los otros dos lados y angulos son los complementarios de los ´ de T . Si, al igual que antes, representamos a un tri´ngulo T como el conjunto de a puntos afines comprendidos entre dos rectas paralelas y situados en un mismo semiplano respecto a una tercera recta r, veremos claramente que existe una recta que no corta a ninguno de sus lados (ni pasa por sus v´rtices). Basta e tomar una recta paralela a r en el semiplano opuesto a T . Tenemos, pues, que siempre existe una recta que no corta a ninguno de los lados de un tri´ngulo. Si a tomamos esta recta como infinita T se convierte en un tri´ngulo af´ ordinario. a ın De aqu´ podemos traducir al plano el´ ı ıptico algunos teoremas sobre la ordenaci´n o lineal. Por ejemplo, una recta no puede cortar a los tres lados de un tri´ngulo. a Sin embargo, el hecho de que exista una recta que no corta a los v´rtices y lados e de un tri´ngulo implica que corta a los complementarios de los lados, luego estos a segmentos no son los lados de ning´n tri´ngulo. u a Esto muestra que tres segmentos pueden conectar tres puntos y pese a ello no ser los lados de ning´n tri´ngulo. u a Con m´s detalle: digamos que un tri´ngulo tiene lados a, a a b, c y llamemos −a, −b, −c a los complementarios. Enton- ces los otros tri´ngulos tienen lados (a, −b, −c), (−a, b, −c) a y (−a, −b, c). Las otras cuatro combinaciones son imposi- bles. Vemos entonces que si en una combinaci´n posible de o segmentos cambiamos uno por su complementario obtenemos una combinaci´n o imposible y viceversa. Teorema 13.4 Un lado de un tri´ngulo es menor que la suma de los otros dos. a Demostracion: Consideremos un tri´ngulo el´ ´ a ıptico ABC. Supongamos que AB es el lado mayor. Si el tri´ngulo tiene dos lados iguales mayores o iguales a que el tercero la desigualdad es obvia. Bastar´ probar que AB AC + CB. a Trabajamos en el modelo esf´rico. Sea O el centro de la esfera. En cuanto e sigue AB representar´ el segmento eucl´ a ıdeo de extremos A y B y en lugar del segmento el´ıptico correspondiente.
- 405. 13.2. Bil´teros ytri´ngulos a a 393 Sea D el punto sobre AB que hace AOD = AOC. Sea O − −→ C el punto sobre la semirrecta OC tal que OC = OD. Entonces AOC = AOD, pues tienen dos lados iguales y el ´ngulo entre ellos, luego AC = AD. a Ahora, BC AB − AC = AB − AD = DB. Los D B A tri´ngulos OBC y OBD tienen dos lados iguales y un lado a desigual BC DB, luego BOC BOD = AOB − AOD, C es decir, BOC AOB − AOC, que en t´rminos del tri´ngulo el´ e a ıptico original es AB AC + CB, como hab´ que probar. ıa Ejercicio: Probar que un lado de un tri´ngulo el´ a ıptico es siempre mayor que la diferencia de los otros dos. Teorema 13.5 La suma de los lados de un tri´ngulo es menor que 2π. a Demostracion: Si el tri´ngulo tiene lados a, b, c, consideramos uno de ´ a los tri´ngulos adyacentes, digamos el de lados π − a, π − b, c. Por el teorema a anterior c π − a + π − b, luego a + b + c 2π. Al aplicar la polaridad de la c´nica infinita a las rectas que pasan por el o v´rtice de un bil´tero y est´n contenidas en ´l obtenemos un segmento. Es e a a e f´cil ver que si el ´ngulo del bil´tero mide a lo sumo π/2 lo mismo le ocurre al a a a segmento, y en tal caso el ´ngulo del bil´tero coincide con el que forman sus a a lados y la longitud del segmento coincide con la distancia entre sus extremos, y adem´s sabemos que ambas coinciden. Es decir, la polaridad transforma a bil´teros rectos y agudos en segmentos de la misma longitud. Pasando por los a complementarios vemos que tambi´n es cierto para bil´teros obtusos. e a En particular la polaridad transforma los tres angulos de un tri´ngulo T ´ a en tres segmentos que conectan los polos de sus lados. La longitud de cada segmento es igual a la amplitud del angulo del que proviene. Sin embargo estos ´ segmentos no son los lados de ning´n tri´ngulo. Para probarlo observamos que u a un punto P del tri´ngulo est´ contenido en una recta contenida en cada angulo, a a ´ luego su recta polar pasa por un punto de cada segmento. Por consiguiente, los complementarios de estos segmentos s´ son los lados de un tri´ngulo (al ı a tomar complementarios tres veces pasamos de una combinaci´n imposible a o otra posible). Definici´n 13.6 Llamaremos tri´ngulo polar de un tri´ngulo el´ o a a ıptico T al tri- a ´ngulo que tiene por v´rtices los polos de las prolongaciones de sus lados y por e lados los complementarios de los segmentos formados por los polos de las rectas contenidas en sus ´ngulos. a Hemos probado que si T es el tri´ngulo polar de T y los ´ngulos de T miden a a α, β y γ, entonces los lados de T miden π − α, π − β, π − γ. Veamos que los ´ngulos de T son los complementarios de los bil´teros for- a a mados por las polares de los puntos de los lados de T . Digamos que los v´rtices e
- 406. 394 Cap´ ıtulo 13. La geometr´ el´ ıa ıptica de T son A, B, C y sus lados opuestos son a, b, c. Tomemos un punto Q de la o a ˆ recta BC. Entonces Q estar´ en a si y s´lo si la recta AQ est´ en A, si y s´lo si a o p(AQ) no est´ en el lado de T de extremos p(AB), p(AC), si y s´lo si p(Q) no a o est´ en el bil´tero de v´rtice p(BC), si y s´lo si p(Q) est´ en el complementario a a e o a de dicho bil´tero. a Con esto es inmediato el teorema siguiente: Teorema 13.7 Si T es un tri´ngulo el´ a ıptico y T es su tri´ngulo polar, entonces a T es el tri´ngulo polar de T . Si los angulos de T miden α, β, γ y sus lados a ´ miden a, b, c, entonces los lados de T miden π − α, π − β, π − γ y sus angulos ´ miden π − a, π − b, π − c. Este teorema nos permite extender a la geometr´ el´ ıa ıptica el principio de dualidad de la geometr´ proyectiva. Veamos una primera aplicaci´n: ıa o Teorema 13.8 La suma de los angulos de un tri´ngulo es mayor que π y menor ´ a que 3π. Demostracion: Si los angulos del tri´ngulo son α, β, γ, entonces el teorema ´ ´ a anterior aplicado al tri´ngulo polar nos da 0 π − α + π − β + π − γ 2π, a luego π α + β + γ 3π. Ejercicio: Probar que un tri´ngulo coincide con su polar si y s´lo si todos sus lados a o y ´ngulos miden π/2. a 13.3 Isometr´ el´ ıas ıpticas Las isometr´ el´ ıas ıpticas son mucho m´s simples que las eucl´ a ıdeas o las hi- perb´licas. Consideremos el modelo esf´rico. Una isometr´ el´ o e ıa ıptica est´ indu- a cida por una isometr´ eucl´ ıa ıdea que fija a la esfera, y sabemos que en un sistema de referencia adecuado su matriz ha de ser de la forma cos θ sen θ 0 − sen θ cos θ 0 . 0 0 ±1 Si multiplicamos todos los coeficientes por −1 obtenemos otra isometr´ ıa eucl´ıdea que induce la misma isometr´ el´ ıa ıptica (pues estamos componi´ndola e con la isometr´ que intercambia los puntos ant´ ıa ıpodas). Por consiguiente po- demos suponer que la ultima entrada es un +1. En definitiva, cada isometr´ ´ ıa ıptica est´ inducida por un unico giro en R3 . el´ a ´ El eje del giro corta al plano el´ ıptico en un unico punto O. Es claro que O ´ es un punto fijo, al igual que lo es su recta polar r. Si el angulo θ es distinto ´ de π entonces O es el unico punto fijo y r la unica recta fija. Si θ = π entonces ´ ´ la isometr´ fija tambi´n a todos los puntos de r y a todas las rectas que pasan ıa e por O. En definitiva:
- 407. 13.4. Trigonometr´ el´ ıa ıptica 395 Teorema 13.9 Si f es una isometr´ del plano el´ ıa ıptico distinta de la identi- dad, existen un punto O y una recta r un´ ıvocamente determinados, a los que llamaremos centro y eje de f de modo que los unicos puntos fijados por f son ´ O y quiz´ los puntos de r, y las unicas rectas fijadas por f son r y quiz´ las a ´ a rectas que pasan por O. Adem´s r es la recta polar de O. a Por razones obvias las isometr´ el´ ıas ıpticas se llaman tambi´n giros. e 13.4 Trigonometr´ el´ ıa ıptica La trigonometr´ el´ ıa ıptica es completamente an´loga a la hiperb´lica. Con- a o sideremos un tri´ngulo de v´rtices A, B, C, lados a, b, c y angulos α, β, γ, a e ´ relacionados como es habitual. Comenzaremos demostrando el teorema del co- seno. Supongamos primeramente que α y b son agu- C dos. Sea P la proyecci´n ortogonal de C sobre el o plano AOB y sea M su proyecci´n ortogonal sobre o a OA. El plano CP M es perpendicular a OA, pues contiene las rectas CP y CM , ambas perpendi- hc culares a OA. Por consiguiente, las rectas M P b y M C son paralelas a las tangentes a la esfera O B por M contenidas en los planos OAB y OAC res- P c pectivamente, es decir, CM P = α. Claramente M se tiene adem´s que OM = cos b, M C = sen b, a M P = sen b cos α, P C = sen b sen α. A −→ −→ − − − − → − −→ Consideremos la suma de vectores OM + M P + P C = OC y proyect´mosla e ortogonalmente sobre la recta OB. Si llamamos p a la proyecci´n es f´cil com- o a probar que −→ − p(OM ) = cos b cos c, −→ − p(M P ) = sen b cos α cos(π/2 − c) = sen b sen c cos α, − −→ p(P C) = 0, − −→ p(OC) = cos a. Por lo tanto cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α. (13.1) −→− Si α π/2 entonces cambia el sentido de M P , pero tambi´n cambia el signo e de cos α, luego la f´rmula sigue siendo v´lida. Si b π/2 entonces aplicamos o a la f´rmula al tri´ngulo adyacente de lados a, π − b, π − c y el mismo ´ngulo o a a α y obtenemos la misma f´rmula para el tri´ngulo dado. Si α = π/2 entonces o a M = P y si b = π/2 entonces O = M . En ambos casos la f´rmula se deduce sin o dificultad.
- 408. 396 Cap´ ıtulo 13. La geometr´ el´ ıa ıptica Volviendo al caso en que α y b son agudos, consideremos ahora la proyecci´n o sobre el eje perpendicular al plano AOB. Entonces −→ − p(OM ) = 0, −→ − p(M P ) = 0, − −→ p(P C) = sen b sen α, − −→ p(OC) = sen hc , donde hc es la altura del tri´ngulo que une C con c. Tenemos, pues, a sen hc = sen b sen α, y como antes se comprueba que esta relaci´n es v´lida en el caso general. o a Aplic´ndola a β obtenemos sen hc = sen a sen β. Despejando sen hc e igualando a obtenemos el teorema de los senos. As´ pues, ı sen a sen b sen c = = . (13.2) sen α sen β sen γ Las f´rmulas (13.1) y (13.2) se conocen como f´rmulas de Bessel. o o La f´rmula (13.1) muestra que si dos tri´ngulos tienen los lados iguales o a entonces tambi´n tienen los angulos iguales, y de aqu´ se sigue f´cilmente que e ´ ı a son congruentes. Por dualidad, si dos tri´ngulos tienen los angulos iguales a ´ tambi´n son congruentes. De hecho, aplicando la f´rmula (13.1) al tri´ngulo e o a polar obtenemos el teorema del coseno para un lado: cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cos a. (13.3) Dejamos a cargo del lector la comprobaci´n de que todas las f´rmulas de o o la trigonometr´ hiperb´lica son v´lidas para tri´ngulos el´ ıa o a a ıpticos cuando las razones hiperb´licas se sustituyen por las correspondientes circulares. Todas o las comprobaciones son f´ciles a partir de las f´rmulas que ya tenemos. Por a o ejemplo, el teorema del coseno cuando α = π/2 se convierte en el teorema de Pit´goras el´ a ıptico: cos a = cos b cos c. Cada relaci´n tiene una dual, resultante de aplicarla al tri´ngulo polar. Por o a ejemplo, todo tri´ngulo rectil´tero (con un lado recto, digamos a) cumple a a cos α = − cos β cos γ.
- 409. Bibliograf´ ıa [1] Artin, E. Alg`bre g´om´trique. Gautier Villars, Paris, 1972 e e e [2] Baker, A. Breve introducci´n a la teor´ de n´meros. Alianza Ed., Madrid, o ıa u 1986. [3] Bastida, J.R. Field extensions and Galois theory. Addison-Wesley P.C., California, 1984. [4] Busemann, H., Kelly, P.J. Projective Geometry and Projective Metrics. Academic Press, New York, 1953. [5] Coxeter H.S.M., Greitzer, S.L Geometry revisited. L. W. Singer Company, 1967 [6] Edwards, H.M. Fermat’s last theorem. Springer, New York, 1977. [7] Hungerford, T.W. Algebra. Springer, New York, 1974. [8] Jennings, G.A. Modern Geometry with Applications. Springer, New York, 1994. [9] Nieto Vales, J.M. Curso de trigonometr´ esf´rica. Servicio de Publicacio- ıa e nes de la Universidad de C´diz, 1996. a [10] Revent´s, A. Geometria axiom`tica. Institut d’Estudis Catalans, Barce- o a lona, 1993. [11] Seidenberg, A. Lectures in Projective Geometry. Van Nostrand, Princeton, 1968. [12] Snapper, E., Troyer, R.J. Metric Affine Geometry. Dover, New York, 1971. [13] Stillwell, J. Geometry of Surfaces. Springer, New York, 1992. [14] Tisseron, C. G´ometries affine, projective et euclidienne. Hermann, Paris, e 1988. [15] Veblen, O, Young, J.W. Projective Geometry. Blaisdell, New York, 1938 (vol I), 1946 (vol II). 397
- 410. ´ Indice de Materias adyacentes(´ngulos), 7 a as´ ıntota, 266 af´ ın aplicaci´n, 83 o baricentro, 69, 87 espacio, 79 Bessel (f´rmulas), 396 o afinidad, 83 bil´tero, 391 a af´ ınmente independientes, 80 bisectriz, 17 agudo (´ngulo), 18 a altura, 57 cateto, 18 amplitud, 102 Cayley (f´rmula), 315 o de un arco, 47 centro, 266 de perspectiva, 234 de un angulo, 45 ´ de una homograf´ en una c´- ıa o a ´ngulo, 6 nica, 287 agudo, 18 de una semejanza, 151 de un tri´ngulo, 8 a cevianas, 67 entre circunferencias, 357, 359 circulares (puntos), 300 entre dos vectores, 89 c´ ırculo, 21 inscrito, 59 de los nueve puntos, 181 llano, 14 circuncentro, 63 obtuso, 18 circunferencia, 21, 302, 380 recto, 18 circunscrita, 63, 124 semiinscrito, 60 inscrita, 65 suplementario, 14 circunradio, 63 a ´ngulos circunscrita (figura), 276 adyacentes, 7 colineales (puntos), 2 alternos, 51 compleci´n proyectiva, 207, 212 o internos/externos, 50 complemento ortogonal, 94 opuestos por el v´rtice, 7 e complexificaci´n, 294 o antisim´trica (forma), 232 e congruencia, 9, 95, 307, 308, 387 aplicaci´n af´ 83 o ın, de matrices, 169, 251 arco, 290 c´nica, 264, 271 o abarcado, 59 af´ 256 ın, a ´rea (de un tri´ngulo), 58 a de rectas, 278 arguesiano (plano), 198 eucl´ ıdea, 110 argumento, 99 proyectiva, 257 Arqu´ ımedes (propiedad de), 29, 202 conjugaci´n, 116, 136 o artiniano (plano), 317 harm´nica, 239 o 398
- 411. ´ INDICE DE MATERIAS 399 respecto a una involuci´n, 243 o equivalencia (de matrices), 153 conjunto cuadrangular, 239 escaleno, 12 constructibilidad, 121 esfera, 349 convexo, 6 espacial (punto, etc.), 321 coordenadas espacio, 2 baric´ntricas, 87 e af´ 79, 184 ın, cartesianas, 84 eucl´ıdeo, 90 homog´neas, 216, 226, 284 e ordenado, 201 polares, 99, 333 director, 79 coplanares (puntos), 2 eucl´ıdeo, 90 correlaci´n, 231 o fundamental, 167, 168 proyectiva, 231 proyectivo, 211, 224 sim´trica, 232 e soporte, 211 coseno, 62, 99 estereogr´fica (proyecci´n), 350 a o hiperb´lico, 331 o eucl´ ıdeo cruce (de rectas), 3 espacio, 90 cuadrado, 53 espacio af´ 90 ın, cuadril´tero a excentricidad, 343 completo, 238 excentro, 67 dual, 281 exradio, 67 cuerda, 21, 46 exterior (punto), 2 exterior/interior, 290 dilataci´n, 222 o direcci´n, 188 o factores invariantes, 153, 155, 160, de un vector, 74 163 directriz, 340 foco, 336 distancia, 34, 90 forma bilineal el´ ıptica, 390 antisim´trica, 232 e hiperb´lica, 368 o ortosim´trica, 232 e divisores elementales, 153, 160 sim´trica, 232 e di´metro, 21 a forma can´nica, 156, 161, 172 o dual, 229 frontera dualidad, 233 de un c´ ırculo, 21 de un semiplano, 5 ecuaci´n de clases, 137 o de un tri´ngulo, 8 a eje de un angulo, 6 ´ de perspectiva, 234 funci´n o de una c´nica, 336 o exponencial, 42 de una homograf´ en una c´- ıa o logar´ıtmica, 42 nica, 287 radical, 106 geometr´ 2 ıa, elaci´n, 220 o eucl´ıdea, 50 elipse, 106, 296 m´trica, 9 e entre, 4, 14 ordenada, 3 equil´tero (tri´ngulo), 12 a a giro, 99, 173, 306, 380 equipolentes (vectores), 74 infinito, 381
- 412. 400 ´ INDICE DE MATERIAS orientado, 324 llano (´ngulo), 14 a grupo longitud, 34 af´ 139 ın, Lorentz circular, 354 plano, 317 de traslaciones, 140 relaciones, 334 el´ ıptico, 387 hiperb´lico, 364 o matriz lineal, 139 de coordenadas, 217 ortogonal, 149 ortogonal, 149 proyectivo, 214 medianas, 69 mediatriz, 21 haz de rectas, 186 m´dulo, 38, 116 o hex´gono, 198 a movimiento, 178, 306 hiperosculantes, 382 hiperplano, 79 norma, 74, 90, 324 hipotenusa, 18 n´mero u hip´rbola, 109, 296 e complejo, 115 homograf´ 214, 286 ıa, constructible, 121 el´ ıptica, parab´lica, hiperb´li- o o real, 31 ca, 248 en una esfera, 355 obtuso (´ngulo), 18 a entre c´nicas, 282 o ordenaci´n, 200 o entre haces de rectas, 269 d´bil, 200 e homolog´ 220 ıa, orientaci´n (del plano de Lorentz), o homotecia, 141, 186 321 lineal, 141, 190 ortocentro, 70 ortogonal imaginarios conjugados, 297 grupo, 149 incentro, 65 matriz, 149 ´ ındice, 258 ortogonalidad, 89, 90, 300 reducido, 262 ortonormal, 90 inradio, 65 ortosim´trica (forma), 232 e inscrita (figura), 276 osculante, 381 intervalo, 39 inversi´n, 356 o paralelismo, 3, 80, 184, 364 inversos (puntos), 313 paralelogramo, 52 involuci´n, 243 o parte entera, 38 inducida por una c´nica, 282 o parte real/imaginaria, 116 ortogonal, 299 par´bola, 111, 296 a isometr´ 93, 303, 365, 387 ıa, perpendicular, 18, 20, 300, 364, 387 directa/indirecta, 178 perspectividad, 220 lineal, 94 pi, 45 is´sceles (tri´ngulo), 12 o a plano, 2, 79 is´tropas (rectas), 300 o arguesiano, 229 is´tropo, 308 o artiniano, 317 de Lorentz, 317 Klein (plano de), 364 el´ ıptico, 387
- 413. ´ INDICE DE MATERIAS 401 eucl´ ıdeo, 309 a una circunferencia, 23 hiperb´lico, 363 o planos, 3 parab´lico, 299 o rectas, 3 proyectivo, 207 segmento, 4, 245 Poincar´ (plano de), 374 e semejantes (tri´ngulos), 53 a polaridad, 233 semejanza, 150, 299, 307 de una c´nica, 265 o de matrices, 157 polinomio lineal, 150 caracter´ıstico, 165 semicircunferencia, 46 m´ınimo, 158, 160, 163 semihaz de semirrectas, 14 pol´ ıgono regular, 124 semiplano, 5 potencia, 106 complementario, 6 primos de Fermat, 126 semirrecta, 5 principio de dualidad, 231 complementaria, 5 producto escalar, 89, 90, 328 seno, 62, 99 prolongaci´n o hiperb´lico, 331 o de un segmento, 4 sentido (de un vector), 74 de un semiplano, 6 separaci´n, 247 o de una semirrecta, 5 harm´nica, 238 o proporci´n, 34 o signatura, 253, 254 proyecci´n o simetr´ 175, 306 ıa, paralela, 142, 201 puntual,axial,especular, 175 perspectiva, 219, 270, 286 sim´trica (forma), 232 e proyectivamente independientes, 212 sistema de referencia, 84 punto, 2, 79 can´nico, 86 o de tangencia, 278 orientado, 325 finito, 207 ortonormal, 325 infinito, 207, 364 proyectivo, 215 medio, 16, 174 soporte ultrainfinito, 364 de un c´ ırculo, 21 de un angulo, 6 ´ rango, 156 reducido, 262 suma raz´n, 324 o de segmentos, 10 de una semejanza, 335 de ´ngulos, 15 a raz´n doble, 235 o ortogonal, 94 entre rectas, 314 suplementarias (variedades), 142 recta, 2, 79 suplementarios (´ngulos), 14 a de Euler, 180 graduada, 30 Tales (posici´n de), 53 o orientada, 73 tangente, 104 rect´ngulo, 53 a a una circunferencia, 23 reflexi´n, 175, 302, 365 o a una c´nica, 273 o relatividad especial, 317 hiperb´lica, 332 o rombo, 53 temporal (punto, etc.), 321 Teorema secantes de Brianchon, 279
- 414. 402 ´ INDICE DE MATERIAS de Cayley, 166 libre, 75 de Ceva, 242 propio, 167 de Desargues, 145, 194, 227 vectores ortogonales, 89, 90 sobre c´nicas, 277 o v´rtice e de Feuerbach, 360 de un tri´ngulo, 8 a de Gram-Schmidt, 91 de un angulo, 6 ´ de la potencia, 105 de una c´nica, 336 o de los senos, 63, 104 de Menelao, 241 de Papos–Pascal, 198 de Pit´goras, 56, 329 a de Steiner, 270, 275 de Sylow, 118 de Sylvester, 253 de Tales, 55, 143 de Wedderburn, 199 del coseno, 63, 378 fund. de la geom. af´ 146 ın, fund. de la geom. proyectiva, 218 fundamental del algebra, 118 ´ torsi´n, 153 o transformaci´n circular, 353 o transvecci´n, 222 o traslaci´n, 140, 186, 383 o traza, 167, 188 tri´ngulo, 8, 226 a el´ ıptico, 392 equil´tero, 12 a escaleno, 12 is´sceles, 12 o medial, 179 o ´rtico, 70 polar, 393 ultraparalelismo, 364 valor absoluto, 38 valor propio, 167 variedad inducida, 211 lineal, 79 proyectiva, 211 vector de posici´n, 84 o director, 75 fijo, 74